Considerando a importância da história da matemática na educação, este trabalho visa resgatar a essência dos logaritmos e situá-los na atualidade. Podemos perceber a necessidade do uso de logaritmos no século XVII e a necessidade de utilizá-los em uma sociedade repleta de informações e tecnologias, bem como a forma como esta ferramenta se relacionou com outros tópicos da matemática na época em que foi inventada e como isso acontece hoje e quais fatores tornam esse tema tão relevante na matemática.
Contexto Histórico
Com o desenvolvimento das cidades e do comércio, iniciou-se na Itália um movimento cultural conhecido como Renascimento, que mais tarde influenciou todos os pensamentos e costumes da Europa ao longo da era moderna. O principal objetivo dos artistas renascentistas era a libertação do desmascaramento da personalidade humana, que se tornara notável devido aos progressos provocados pelas mudanças dos tempos modernos e que, portanto, seria claramente visível nas pinturas e esculturas mais importantes da época. . Além de Copérnico, mas agora no campo da matemática e da física, destaca-se o inglês Isaac Newton, famoso pelas suas inúmeras descobertas a respeito das leis da natureza e pela sua enorme contribuição para o avanço do Cálculo.
Surgiu na França René Descartes, o pai do racionalismo, o criador da geometria analítica e que se tornou famoso no campo da filosofia principalmente por sua obra Discurso do Método. No campo religioso, o pensamento renascentista refletiu-se na chamada Reforma Protestante, cujo movimento surgiu na própria Igreja Católica como forma de desafio aos valores morais e éticos impostos pelos padres da época. nessa altura já não eram coerentes com o novo pensamento europeu confirmado no renascimento científico e artístico. Este foi o início da Reforma, que se espalhou pela Europa e deu origem a outros movimentos religiosos como o Calvinismo (Suécia), o Puritanismo (Inglaterra), os Huguenotes (França), o Reformismo (Holanda) e o Presbiterianismo (Escócia).
Foi o início da Contra-Reforma, que mais tarde, com a aliança entre a Igreja e o poder civil, levaria à institucionalização dos Estados absolutos.
Biografias
John Napier
Henry Briggs
RESUMO GERAL DA OBRA MIRIFICI LOGARITHMORUM CANONIS
Definição de logaritmo, segundo Napier
No caso de Napier, para que os números da progressão geométrica (x) fossem muito próximos, era necessário levar a base do logaritmo muito próxima de um. Portanto, pode-se dizer que Napier teria escolhido o número 1 − 10−7 como base de seu sistema de logaritmos (ou, para evitar casas decimais, multiplicou cada potência por 107. Observemos que L = 0 significa que o medida do segmento CQ é zero, e neste caso o ponto P ainda não se desviou do ponto A, então PB = AB = 107, conforme derivação feita anteriormente no sistema de equações diferenciais.
Portanto, podemos concluir que o coeficiente de desaceleração na velocidade do ponto P foi 10−7 e os intervalos de tempo levados em consideração para que os movimentos contínuos dos pontos P e Q fossem discretos. Assim, a Tabela 5.1 representa a situação original considerada por Napier, em que 𝑡𝑖, 𝑉𝑄, 𝐶𝑄, 𝐶𝑃, 𝐴𝑃, 𝑃𝐵 são: os valores dos tempos, os valores da velocidade do ponto Q nesses diferentes momentos, os valores das distâncias percorridas pelo ponto Q nesses diferentes momentos, os valores das distâncias percorridas pelo ponto P nesses diferentes momentos, os valores da velocidade do ponto P nesses diferentes momentos, e os valores das distâncias que o ponto P tem que percorrer nesses diferentes momentos. Ao resolver o sistema de equações diferenciais e a explicação que foi apresentada posteriormente, podemos afirmar que já Napier trouxe implicitamente ideias que mais tarde caracterizariam a própria função logarítmica.
Assim, comparamos a definição original não apenas com a definição de logaritmo, mas também com a definição de função logarítmica encontrada no livro de Dante.
Definição de logaritmo e de função logarítmica, segundo Dante
Definição de Logaritmo e Função Logarítmica: Napier vs. Dante Podemos notar isso nas duas introduções que precedem as definições dadas por.
Definição de logaritmo e de função logarítmica: Napier versus Dante
Vale ressaltar que as progressões não são mencionadas diretamente por Dante nos capítulos sobre logaritmos, principalmente porque só são explicadas no capítulo 11 de seu livro. Isso mostra que ele criou seu sistema de logaritmos sem essa ferramenta matemática, fundamental para a definição de logaritmos em qualquer texto educacional atual que trate do assunto. Como já referimos, no tratamento dos logaritmos e na definição criada por Napier, verificam-se implicitamente alguns conceitos que caracterizam a função logarítmica.
Talvez a principal delas resida no fato de que para cada seno de um determinado arco obtemos um único logaritmo e, além disso, cada logaritmo está associado a um único seno, o que evidencia não apenas uma relação funcional, mas também uma relação -um .neste sistema logarítmico. Mostrámos também que Napier propõe uma tabela de logaritmos baseada, essencialmente, na função 𝑓(𝑥) = log1. Imaginando que o aumento da distância de 107 se deve ao deslocamento do ponto P para a esquerda do ponto A, segundo a definição de Napier, o ponto Q se moveria para a esquerda do ponto C.
Consequências da definição de logaritmo: Napier vs. Dante Dante apresentou esta parte da seguinte forma:.
Consequências da definição de logaritmo: Napier versus Dante
Portanto, entende-se aqui que o logaritmo acima não é a base decimal, mas sim a base.
Propriedades operatórias dos logaritmos: Napier versus Dante
- Propriedades operatórias dos logaritmos apresentadas por Dante
- Propriedades operatórias apresentadas por Napier
Propriedades operativas apresentadas por Napier 1ª propriedade: logaritmo de um produto 1ª propriedade: logaritmo de um produto. A quarta propriedade que Dante apresenta refere-se à mudança de base, mas esta propriedade não existe para Napier, pois consideramos apenas uma base, nomeadamente 1 − 10−7. Além disso, como mostrámos na secção 5.4, a ideia básica que temos hoje não se aplica ao sistema logarítmico de Napier.
A partir destas demonstrações, os eruditos podem julgar quão grande vantagem estes logaritmos proporcionam: já que pela adição destes para a multiplicação, pela subtração para a divisão, pela divisão por dois para a extração de raízes quadradas, e por três para raízes cúbicas, e para outras prostaféresces. [o uso de identidades trigonométricas para facilitar a multiplicação, todo o trabalho computacional pesado é evitado; e demos alguns exemplos disso primeiro neste livro. No que diz respeito à última linha da tabela comparativa das características operacionais, vale ressaltar que, de fato, para Napier, não só não houve mudança de base, como nem mesmo a base não está definida em seu sistema de logaritmos , como já demonstramos na seção 5.4. Vincent8, que primeiro definiu logaritmos com base em um sistema discreto, e deve a William Jones uma exposição sistemática de logaritmos baseada na ideia básica, desenvolvida nas Tabelas de Logaritmos de William Gardiner em 1742.
Aplicações,Interdisciplinaridade e Contextualização dos logaritmos na
- Aplicações: Napier versus Dante
- Interdisciplinaridade e Contextualização dos logaritmos na Matemática
Assim, ao longo dos capítulos sobre logaritmos, além de mostrar exemplos, exercícios e leituras que trazem diversas aplicações do tema, como na economia e na dinâmica populacional, Dante apresenta uma tabela que não apenas resume toda a história dos logaritmos e suas aplicações, mas também conecta diretamente o logaritmo ao mundo de hoje, ou como ele chama, à era da informática. Portanto, apresentamos brevemente uma tabela que compara as aplicações que pudemos verificar em nosso trabalho, bem como a contextualização dos logaritmos na própria matemática e a interdisciplinaridade presente nas duas abordagens estudadas. Achamos que levar a história dos logaritmos em sala de aula é necessário, pois a partir dela alunos e professores poderão se entusiasmar com o tema, entendendo a motivação para utilização dessa ferramenta matemática na época em que foi inventada, como foi desenvolvida e como foi desenvolvido e qual a sua importância hoje.
Quando pensamos em pesquisas historiográficas com foco no ensino de matemática, procuramos, portanto, mostrar que é possível encontrar semelhanças e diferenças entre duas abordagens colocadas em contextos completamente diferentes, através da conexão feita entre as informações conceituais extraídas da origem de logaritmos e o que é apresentado em um livro didático atual. Da definição de Napier deduzimos que o logaritmo de um produto (ou quociente) não é exatamente a soma (ou diferença) dos logaritmos, ao contrário do que está escrito no livro de Dante, e a ideia básica que temos hoje não se aplica para o caminho. Napier abordou logaritmos. Em seguida, partindo da definição de didática da Matemática apresentada na seção 5.6.2, comparamos de forma simples dois processos didáticos (interdisciplinaridade e contextualização de logaritmos em matemática) que Napier e Dante se apropriaram para que suas ideias pudessem ser bem assimiladas.
Acreditamos que as comparações que fazemos neste trabalho ainda podem ser aprofundadas, a partir da análise dos aspectos conceituais dos logaritmos e da educação matemática, que estabelecem uma relação entre abordagens dos logaritmos em diferentes contextos.
História do logaritmo natural como área
A abordagem simples dada pelo autor merece atenção especial, pois o logaritmo natural como área faz parte de um processo histórico-evolutivo da matemática, que não se limita aos logaritmos, mas também nos leva ao problema do quadrado da hipérbole, que Arquimedes não conseguiu resolver, passando de Fermat Gregorius de Saint-Vicent até chegar a Newton e Leibniz, que através do cálculo diferencial e integral mostraram como encontrar soluções para problemas deste tipo com eficiência e clareza. Quanto à questão do quadrado da hipérbole, é importante notar no breve resumo abaixo, adaptado do livro “e: a história de um número”, o quão importante foi um conceito implícito na função logarítmica e que, como pode ser visto. no capítulo 5, esteve presente em toda a ideia de logaritmos apresentada na obra Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Teremos assim a quadratura de qualquer retângulo e portanto de qualquer polígono, pois um polígono pode ser dividido em triângulos e estes podem ser obtidos pela simples construção de um retângulo.
Então Fermat não evitou usar uma série infinita e, interessado em elevar ao quadrado uma família de curvas, encontrou uma fórmula que expressava a área sob a curva 𝑦 = 𝑥𝑛, onde n é um número inteiro positivo. Apesar de todo esse esforço, Fermat não ficou satisfeito, ou seja, pensou que uma aproximação da superfície sob esta família de curvas poderia ser ainda mais precisa, aumentando o número de retângulos e reduzindo seu tamanho. Então um jesuíta belga chamado Gregorius de Saint Vincent notou que, para n = -1, enquanto as bases formam uma progressão geométrica, os retângulos usados para aproximar a superfície sob a hipérbole têm todos áreas iguais.
Contudo, uma questão permaneceu em aberto: “Qual será a base deste logaritmo que determina numericamente a área sob a hipérbole?”
