A solução de uma equação diferencial parcial pode ser encontrada pelo método de separação de variáveis. A formulação da função atual foi ilustrada por resultados numéricos para convergência no caso de um plano. Chalhub, Sphaier e Alves (2013) apresentaram uma nova metodologia para resolução de problemas de transferência de calor convectiva utilizando a técnica de transformação integral generalizada.
A primeira abordagem é a técnica da transformada integral generalizada resolvendo a equação de Bessel.
Equa¸ c˜ ao da energia
Este é o problema estendido de Graetz, que leva em consideração a transferência de calor conjugada e inclui os efeitos da difusão axial. A técnica de transformação integral generalizada é usada para determinar a solução numérico-analítica do problema geral.
Adimensionaliza¸ c˜ ao
Reforçando que o número de Nusselt é uma quantidade realmente importante no estudo da convecção forçada, pois representa o coeficiente de transferência de calor por convecção na sua forma adimensional. Portanto, reorganizando a equação para este problema, o número de Nusselt local pode ser calculado usando a seguinte formulação:
T´ ecnica da transformada integral generalizada (GITT)
O processo gera o seguinte sistema conectado de EDOs:. onde os coeficientes An,m , Bn,m e Cn,m são dados por:. Todos os coeficientes acima são calculados analiticamente, exceto An,m que deve ser calculado numericamente devido à falta de solução analítica para este termo. Geralmente é integrado duas vezes por partes, pois melhora a convergência, mas este problema porém não permite que isso seja feito no coeficiente Cn,m devido à condutividade térmica descontínua e à derivada indefinida na interface líquido-sólido.
O sistema de equações pode ser reescrito em forma matricial: onde A, B e C são representações matriciais dos coeficientes An,m, Bn,m e Cn,m respectivamente, θ e b são representações vetoriais de ¯θm e bm respectivamente. 2nmax (63) onde Gn, m são os coeficientes da matriz G contendo os autovetores de M como colunas, ωm são os autovalores de M e cm são constantes arbitrárias. A técnica consiste em integrar a equação principal e substituir a derivada por integrais da equação principal.
Contudo, deve-se notar que a convergência poderia ser melhor se fosse realizado um balanço integral.
M´ etodo das Diferen¸ cas Finitas (FDM)
Finalmente, para resolver o sistema algébrico de equações gerado pela formulação FDM, qualquer algoritmo de resolução de sistema linear pode ser utilizado para realizar a tarefa. Para este trabalho foi utilizada a rotina LinearSolve do Mathematica para resolver o sistema algébrico. Esta seção discute os resultados numéricos encontrados pela plataforma de computação Wolfram Mathematica.
O objetivo aqui é avaliar a taxa de convergência da solução utilizando GITT, comparar com trabalhos já publicados para validar os resultados, apresentar a distribuição de Nusselt como uma função cão de posições axiais e apresentar a distribuição de temperatura do canal. Os resultados nas tabelas a seguir são analisados principalmente para diferentes números de Biot e P´eclet, de acordo com a posição axial (ξ), ordem de truncamento (nmax) e combinações de ˜kz e ˜kr. A faixa de condutividade térmica foi escolhida com base na aplicação de canais ortotrópicos não metálicos na indústria, e levando em consideração a condutividade térmica da água pura igual a 0,5704 W/m.K, segundo Medeiros, Barbosa e Fontes (2010).
Como exemplo (CALLISTER, 2012) podemos citar a utilização de canais poliméricos ortotrópicos reforçados com fibra de vidro com condutividade térmica 0,2 W/m.K, canais de polietileno com condutividade t condutividade térmica 0,5 W/m.K, entre outros materiais na faixa entre 0,1 e 1 W/m.K, sendo as condutividades adimensionais nestes casos iguais a 0,35 e 0,87, respectivamente, justificando a faixa de condutividades térmicas simuladas. A utilização desses materiais na indústria tem crescido nos últimos anos devido à sua baixa condutividade térmica. O número de Nusselt é escolhido para a análise da taxa de convergência devido à sua importância neste tipo de problema de transferência de calor.
An´ alise de convergˆ encia
O aumento do número de P'eclet em relação à tabela 1 parece ter forte influência na melhoria da taxa de convergência na entrada do canal em ξ=0,01. Em todos os casos desta tabela, a taxa de convergência é pior na entrada do canal. Comparando esta tabela com a tabela 3, é novamente possível perceber a influência que o aumento do número P´eclet tem na melhoria da taxa de convergência na entrada do canal, e também em outras posições.
O efeito da variação da taxa de convergência parece ser fortemente dependente dos números de Biot e P´eclet. Por outro lado, o grau de convergência aumenta significativamente quando o número de P'eclet aumenta para 10. Para todas as tabelas, o pior grau de convergência é verificado na entrada do canal na posição ξ= 0,01 devido à descontinuidade da fronteira doença.
Ao utilizar malha 500x500 e malhas mais refinadas, a taxa de erro cai significativamente e consequentemente há uma melhoria na taxa de convergência. A partir de nmax = 50 já é possível notar uma melhora significativa na taxa de convergência para θ, embora ainda seja baixa por ser a região de entrada do canal. O Gráfico 5 mostrou que com o aumento do P'eclet, a velocidade de convergência de θ aumentou significativamente na entrada, mesmo com poucas adições.
Valida¸ c˜ ao dos resultados com a literatura
Em relação à Tabela 10, os resultados estão próximos da literatura existente (ROHSENOW; HARTNETT; CHO, 1998), como pode ser visto na Figura 11. Os resultados de Rohsenow, Hartnett e Cho (1998) também foram colocados ao lado dos resultados obtidos em este trabalho na mesma coluna à direita. Para Bi=1, o fluxo não se desenvolve termicamente em posições axiais menores ou iguais a 0,2.
De 0,3 até valores mais distantes da entrada, Nusselt não varia mais e o fluxo se desenvolve termicamente. Para valores de Bi iguais a 100 e posições axiais distantes da entrada (de ξ=0,2) o líquido é desenvolvido. Nesta tabela é possível ver que o número de Nusselt diminui à medida que β aumenta para todos os números de P'eclet e condutividades térmicas simulados.
A Tabela 12 mostra uma comparação entre os métodos GITT e FDM para cálculo de θ para validação deste parâmetro. Os resultados obtidos pelo FDM aproximam-se muito dos obtidos pelo GITT e apresentam um erro muito pequeno (erro inferior a 1 por cento). Portanto, os resultados do FDM servem de parâmetro para comparação e validação dos resultados do GITT, que é a metodologia principal do trabalho.
N´ umero de Nusselt
A Figura 18 mostra algum comportamento semelhante aos casos anteriores, com diferentes valores de Nusselt na entrada e nas posições próximas, e também mostra uma maior tendência ao desenvolvimento térmico com o aumento do P´eclet. Analisando a partir da posição ξ=10, fica bem visível no gráfico que as curvas apresentam valores de Nusselt que não se alteram mais, e permanecem constantes imediatamente após a posição ξ=1. A Figura 22 mostra o maior decaimento de Nusselt da entrada para pequenos valores de P'eclet em comparação com a Figura 21.
Ao analisarmos todas as curvas da distribuição de Nusselt em cada posição axial, percebemos que à medida que o número de P'eclet aumenta, a corrente se desenvolve em posições axiais mais próximas da posição axial de entrada do canal. Em todos os casos onde β=1 é possível perceber que o valor de Nusselt é extremamente dependente do número de P'eclet, para cada valor de Biot, principalmente na entrada do canal, e também em posições axiais próximas à entrada. Este aumento significativo de Nusselt é perceptível para estas posições em comparação com os casos onde β < 1.
Como esperado, onde β=1, os gráficos e tabelas não mostram variação no número de Nusselt se todos os parâmetros permanecerem iguais e outras condutividades térmicas forem simuladas, pois este número afeta o valor de Nusselt, pois quando β=1, a parede do canal é insignificante. Em suma, em todos os casos sem exceção, à medida que P´eclet aumenta, os valores de Nusselt diminuem gradativamente e se aproximam da solução para o caso sem difusão axial. Vimos que o comportamento de Nusselt pode variar significativamente dependendo da variação dos parâmetros em torno do problema.
Distribui¸ c˜ ao de temperatura
Pela figura 26 vemos que na região de entrada temos temperaturas próximas de θ=1 e para regiões mais distantes da entrada do canal temos temperaturas próximas de θ=0. Na figura 28 vemos o mesmo comportamento, com temperaturas próximas à entrada iguais a 1, satisfazendo assim a condição de contorno. Para o FDM, a malha 2000x200 mostrou-se eficiente através da análise de convergência, mas a entrada apresenta problemas de convergência, assim como o GITT devido à descontinuidade da condição de contorno na entrada.
Uma análise da convergência da solução mostrou que taxas de convergência muito boas são observadas para valores elevados de número de P'eclet, Biot e proporção de aspecto para posição, aqueles mais distantes da entrada do canal. Observou-se uma redução na taxa de convergência na entrada do canal, como esperado devido à descontinuidade da condição de contorno. Quanto mais próximo o valor da relação de aspecto estiver de 1, menor será o valor da espessura da parede simulada.
Por outro lado, quanto mais próximo o valor da relação de aspecto se aproximar de zero, maior será o valor da espessura da parede simulada. A análise da distribuição de Nusselt também mostrou que para casos simulados de canais com parede desprezível Nusselts é altamente dependente de P´eclet em posições axiais próximas à entrada para valores baixos de P´eclet devido à maior variação de Nusselt nessas posições. Em relação à análise geral do problema, foram apresentados resultados ilustrativos mostrando a variação do número de Nusselt local com posições axiais para diferentes valores de P´ eclet, Biot, razão de aspecto e condutividade térmica.
On the solution of the heat equation with the time-dependent coefficient. International Journal of Heat and Mass Transfer, v. Hybrid formulation and solution for transient conjugate conduction-external convection. International Journal of Heat and Mass Transfer, Rio de Janeiro, RJ, p.
