XXXI Congresso de Iniciação Científica
Métodos numéricos para solução de PVI’s
Leonardo Alves da Silva, Cássio Machiaveli Oishi, Campus de Presidente Prudente, Faculdade de Ciências e Tecnologia, Ciência da Computação, leo-alves14@hotmail.com
Palavras Chave: Equações diferenciais ordinárias, Problema de valor inicial, Métodos numéricos.
Introdução
Basicamente todo problema da engenharia ou ciência que envolve fenômenos biológicos, químicos, físicos, econômicos, entre outros, tem como ponto inicial de sua solução a formulação de modelos matemáticos (normalmente sistemas de equações diferenciais) para explicar tais fenômenos.
A solução analítica de tais modelos (principalmente os contínuos ou em partes contínuos) é difícil ou impossível de ser encontrada e é nesse ponto que entram os métodos numéricos de solução. Eles têm como responsabilidade discretizar tais modelos, criar algoritmos para resolver o modelo discretizado e implementar tais algoritmos em alguma linguagem de programação. À medida que utilizamos mais pontos na discretização os métodos numéricos nos oferecem soluções mais próximas da solução exata, podendo chegar tão próximas quanto o problema exija.
O trabalho em questão abordará métodos numéricos para solução de um tipo específico de problema envolvendo equações diferencias, chamado de Problema de Valor Inicial (PVI), no qual é dado uma equação diferencial ordinária do primeiro grau, da forma y’(x) = f(x,y(x)), e o valor de y(a), onde [a, b] é o domínio de y, e deseja-se obter o valor da função y. Tais métodos oferecem aproximações da função y para alguns pontos do seu domínio. Serão discutidos 3 tipos de métodos:
método de Euler progressivo, método de Euler regressivo e método centrado.
Objetivo
O objetivo do trabalho é estudar os métodos numéricos para solução de PVI’s e realizar uma comparação entre as soluções oferecidas por esses métodos e a solução exata do problema.
Material e Métodos
Os métodos serão estudados utilizando o livro citado na referência e serão implementados utilizando o software GNU-Octave.
Resultados e Discussão
Os métodos numéricos para solução de PVI’s consistem em basicamente duas partes: a discretização do domínio [a, b] da função y, afim de escolher os pontos para os quais serão obtidas as
aproximações para y, e a substituição de y’(x) na EDO por sua aproximação oferecida por algum meio de aproximação de derivadas que usa o Teorema de Taylor como base. O que diferencia os métodos é o tipo de aproximação de derivada escolhida.
No trabalho constatou-se que os métodos de Euler progressivo e regressivo convergem com ordem O(h) e o método centrado converge com ordem O(h2), ou seja, sendo h a distância entre dois pontos consecutivos da discretização do domínio de y, para os dois primeiros métodos o erro dado entre a solução oferecida pelo método e a solução exata será da ordem de h, enquanto para o terceiro método esse erro será da ordem de h2, ou seja, o método centrado convergirá mais rápido para a solução exata a medida que se diminui o intervalo de discretização do que outros dois.
Na Figura 1 é possível observar como as soluções oferecidas pelos 3 métodos são muito próximas da solução exata, mesmo com poucos pontos de discretização, com destaque para o método centrado, confirmando o que foi dito acima.
Figura 1: Comparação entre as soluções oferecidas pelos métodos numéricos utilizando 10 pontos de discretização e a solução exata do PVI dado por y’(x) – y(x) = -x2 + 1 com y(0) = 0.5 e 0 ≤ x ≤ 2.
Conclusões
Pode-se concluir a precisão dos métodos numéricos, com destaque para o método centrado.
Agradecimentos
Ao orientador Cássio Machiaveli Oishi.
1 R. J. LeVeque, Finite Diference Methods for Ordinary and Partial Differential Equations: Steady-state and time-dependent problems.
SIAM, 2008.
