Palavras-chave: Escoamento ideal, Campo de velocidades, Modelagem matemática, Equação de Bernoulli, Matemática experimental. Contudo, a construção de um modelo matemático é insuficiente para garantir a consistência dos seus resultados. A Modelagem Matemática trata da obtenção e validação de modelos matemáticos e, como apontam Biembengut e Hein (2019), é tão antiga quanto a própria Matemática.
Modelagem como m ´etodo cient´ıfico de pesquisa
Biembengut e Hein (2019) explicam que a aplicação de um modelo depende da forma como os resultados parciais estão relacionados. Embora não haja consenso sobre a definição de Modelagem Matemática, Bassanezi (2014) e Biembengut e Hein (2019) consideram fundamental a atividade de desenvolver modelos que descrevam bem como os sistemas se comportam, para eles. obter e validar modelos matemáticos. Vale ressaltar que o modelo matemático que se desenvolve é limitado pela teoria que o fundamenta, sendo fundamental reconhecer os casos em que a teoria é necessária e suficiente e os casos que exigem maior esforço e criatividade ou mesmo é mesmo ' uma combinação de estratégias e teorias.
Além disso, Banerjee (2014) comenta que a formulação de modelos matemáticos requer a superação de obstáculos intrínsecos ao ato de modelar. Este capítulo apresenta o desenvolvimento teórico de tópicos selecionados relacionados à Mecânica dos Fluidos que serão utilizados na análise do problema proposto neste artigo, com ênfase na Equação de Navier-Stokes em escoamentos incompressíveis e no desenvolvimento da equação de Bernoulli. Primeiro, comentamos as forças que atuam sobre uma unidade infinitesimal de matéria, a tensão normal e a tensão de cisalhamento, e definimos o que é um fluido.
Os efeitos da tensão de cisalhamento e sua relação com a viscosidade também são discutidos. Posteriormente, partindo do campo de velocidades, comentamos a equação de continuidade, a equação de quantidade de momento linear e a equação de Navier-Stokes, finalizando com a equação de Euler.
Forc¸as e tens ˜oes de superf´ıcie
Para finalizar o capítulo, há o desenvolvimento da equação de Bernoulli, derivada da equação de Euler, do princípio de conservação da massa e do princípio de conservação do momento linear, além da introdução de uma propriedade de fluxo chamada vorticidade. Conforme apresentado por White (2011), ao tomar uma área infinitesimal, 𝑑𝐴 → 0, as componentes normal e tangencial de 𝑑 ⃗𝐹 são chamadas de tensão normal 𝜎 e tensão de cisalhamento𝜏, representadas pelas equações (3.1) e (3.2), respectivamente. Nessa perspectiva, White (2011) expressa que um fluido é qualquer substância que se deforma continuamente enquanto uma tensão de cisalhamento atua sobre ela, por menor que seja seu módulo.
E o volume de controle é qualquer região do espaço onde o fluido flui, onde o limite geométrico é a superfície de controle. Um contraponto é que esse caminho envolve o uso de matemática mais extensa e geralmente se torna um problema com equações diferenciais parciais, como afirmam Fox, McDonald e Pritchard (2014). Alternativamente, uma abordagem de volume de controle não aplica as leis da física diretamente aos objetos, mas sim ao próprio volume.
Essa aproximação dos efeitos das leis físicas, para Fox, McDonald e Pritchard (2014), é a desvantagem da utilização do volume de controle. Também foi postulado, por Isaac Newton, que a tensão de cisalhamento (𝜏) é proporcional à viscosidade (𝜇) e a mudança na velocidade de cada camada em relação à distância de separação entre as camadas é (𝑢/𝑑𝑦), ou seja ,.
Est ´atica
Para ilustrar o efeito viscoso, vamos supor que todas as partículas de fluido se movem na mesma direção mostrada na Figura 5. Como explicam C¸ engel e Cimbala (2015), as forças que interagem com os fluidos são as que determinam seu estado em repouso ou em movimento. Para cada volume de controle, C¸ engel e Cimbala (2015) afirmam que dois tipos de forças atuam sobre ele: forças de superfície e forças de campo/volumétricas.
As forças superficiais surgem da interação através do contato com outras partículas, enquanto as forças globais são distribuídas por toda a extensão de um corpo, como um campo eletromagnético ou gravidade. Para ilustrar esta ação das forças superficiais e das forças de campo, assumimos a existência do volume de controle tetraédrico mostrado na Figura 6, para um fluido em repouso. Além disso, suponha que a única força volumétrica que atua no volume de controle seja a gravidade e que as forças superficiais atuem em cada face do tetraedro.
Neste caso, a tensão de cisalhamento é inexistente, restando apenas a tensão normal em ambos os lados do volume de controle. Como o fluido está em repouso, as forças que atuam em cada unidade de massa devem equilibrar as forças que atuam na superfície.
Din ˆamica
A equação (3.20) determina a derivada da velocidade do material, o primeiro termo do lado direito da equação é a aceleração local e o segundo termo é a aceleração de convecção. Além disso, a expressão (3.20) permite-nos obter formulações matemáticas para as leis básicas que regem o movimento dos fluidos, entre as quais este texto mostra o princípio da conservação da massa e o princípio da conservação da quantidade linear. Assim, considere a existência de um volume de controle infinitesimal de dimensões 𝑑𝑥, 𝑑𝑦 e 𝑑𝑧 conforme mostrado na Figura 7.
A Equação (3.22) indica que para cada ponto no campo de velocidade a taxa de variação da massa fluindo é zero. Da mesma forma, a forma geométrica do volume de controle permanece a mesma em qualquer intervalo de tempo. Em relação ao princípio da conservação do momento linear, C¸ engel e Cimbala (2015) argumentam que a soma das forças superficiais e das forças volumétricas é equilibrada pela taxa de variação do momento linear para um volume de controle.
A Equação (3.23) expressa que a resultante das forças superficiais e das forças volumétricas é proporcional ao vetor que indica a taxa de variação do momento linear ao longo do tempo. É uma equação diferencial parcial de segunda ordem, não linear e sem solução analítica geral, apenas para casos específicos.
Equac¸ ˜ao de Bernoulli
Com base em Thomas, Weir e Hass (2014), descobrimos que a velocidade angular é perpendicular ao plano de rotação do fluido e seu módulo indica a taxa de rotação do campo vetorial𝑉⃗ , em torno de um ponto P. Fox, McDonald e Pritchard (2014) confirmaram que apenas tensões de cisalhamento podem gerar rotação de partículas. Dado um ponto P de um fluido irrotacional, as partículas próximas a P não giram em torno dele, não há vórtice em P.
No entanto, Fox, McDonald e Pritchard (2014) alertam que a rotação de uma partícula fluida não deve ser confundida com um fluxo que consiste em faixas circulares ou correntes parasitas. A Equação (3.34) mostra que em um fluxo constante, as propriedades do fluido não mudam com o tempo. A Equação (3.40) é conhecida como Equação de Bernoulli, considerada uma das equações mais importantes da Mecânica dos Fluidos.
Mas Fox, McDonald e Pritchard (2014) argumentam que as restrições utilizadas na formulação da equação de Bernoulli são um tanto irrealistas, pois existem poucos fluidos que oferecem propriedades próximas às assumidas para estas hipóteses. Embora apresente limitações, a equação de Bernoulli é versátil e pode ser utilizada em problemas que envolvem fluxo, bombeamento de água e até mesmo arrasto aerodinâmico, conforme ilustrado por White (2011).
Modelagem do problema hidrodin ˆamico e modelo te ´orico
Este capítulo tem como objetivo utilizar os desenvolvimentos apresentados no Capítulo 3 para construir e validar um modelo matemático para descrever o escoamento de um fluido através de um orifício circular sob a ação exclusiva da gravidade. De acordo com o princípio da conservação da massa, o volume por unidade de tempo que flui, constantemente. A equação (4.19) é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem que relaciona a variação da altura ℎ, em função do tempo, às quantidades constantes 𝐴𝑤, 𝐴ℎ e 𝑔.
Observe que enquanto a equação (4.27) permite determinar facilmente o tempo que o tanque levará para esvaziar, a equação (4.28) mostra outros detalhes da dinâmica do fluxo. Observe que os únicos parâmetros da funçãoℎ(𝑡)s são a altura inicial e as áreas da seção transversal do tanque e do orifício, sendo que a altura inicial tem pouca influência no perfil do fluxo, sendo um fator de deslocamento do gráfico. Por outro lado, os outros dois parâmetros determinam a forma da curva, pois a relação entre as superfícies definirá a abertura da parábola.
Além disso, deve-se notar que usar a equação (3.19) para modelar o fenômeno só faz sentido para o intervalo de tempo começando em 𝑡= 0 e terminando no topo do par de bolas, 𝑡 = 𝐴𝐴𝑤 . A Figura 9 ilustra o perfil do fluxo em um tanque com água em diferentes alturas iniciais em função do tempo.
Validac¸ ˜ao do modelo
Em termos de modelagem matemática de fenômenos caracterizados por um processo dinâmico, a formulação do modelo pode muitas vezes preceder a análise dos dados experimentais. Um aspecto que também merece comentário é a matemática utilizada para estudar fluidos. Porém, os autores da Mecânica dos Fluidos utilizada neste trabalho utilizam elementos da Álgebra Multilinear.
Este trabalho pode ser entendido como a concretização da interdisciplinaridade de pelo menos cinco disciplinas: Cálculo Diferencial e Integral 3, Interface da Matemática com a Tecnologia da Informação, Laboratório de Matemática 2, Equações¸ íons. Além disso, acredito que este trabalho constituiu uma fonte de experiência na minha formação docente, uma vez que a Modelagem Matemática também é uma tendência de ensino com foco na criatividade, na liberdade, na experimentação no pensamento reflexivo, que visa ensinar que apenas reproduz informações, para se opor. Modelagem matemática é fazer contas com as próprias mãos, expandir visões matemáticas do mundo e observar relações matemáticas até então implícitas entre os objetos que compõem um cenário.
Neste trabalho, a Modelagem Matemática é tratada como um método de pesquisa científica, mas é brilhante como a modelagem, quando usada como estratégia de ensino e aprendizagem, pode abordar questões do Ensino Superior, como simetrias de grupos, e adaptá-la ao Ensino Primário, conforme ilustrado . por Biembengut e Hein (2019). A análise matemática de escoamentos em que a viscosidade está presente fica como proposta de pesquisa.
