O Problema do Corte Unidimensional

(1)

(2)

O Problema do Corte Unidimensional

Indústrias de papel, tecido, vidro, barras de aço , entre outras, fabricam seus produtos em peças de tamanho fixo (tamanho padrão).

Estas peças são depois divididas em tamanhos

menores a serem definidos de acordo com a necessidade do cliente.

O problema do corte consiste em determinar como

cortar o menor número de peças de tamanho padrão L,

(3)

O Problema do Corte Unidimensional

Peça Padrão de tamanho L:

L

l₁ l₂ l₃

Itens pedidos:

(4)

O Problema do Corte Unidimensional

Esquemas de corte:

Esquema 1:

5 peças l

₁

l

₁

l

₁

l

₁

l

₁

L

l

₁

(5)

O Problema do Corte Unidimensional

Esquemas de corte:

Esquema 1:

5 peças l

₁

Esquema 2:

2 peças l

₂

l

₁

l

₁

l

₁

l

₁

L

l

₁

l

₂

L

l

₂

(6)

O Problema do Corte Unidimensional

Esquemas de corte:

Esquema 1:

5 peças l₁

Esquema 2:

2 peças l2

Esquema 3:

l

₁

l

₁

l

₁

l

₁

L

l

₁

l

₂

L

l

₂

(7)

O Problema do Corte Unidimensional

Como Definir um Esquema de corte?

Encontrar as soluções da seguinte equação:

L y

l y

l

₁ ₁



₂ ₂

 ... 

_m _m



m 1,...,

j inteiro, e

0 

j



y

(8)

O Problema da Mochila Inteiro

C x

p x

p

₁ ₁



₂ ₂

 ... 

_n _n



n n

x v

x

v   

 ...

z

max

₁ ₁ ₂ ₂

m 1,...,

j inteiro, e

0 

j



x

(9)

O Problema do Corte Unidimensional

Vamos considerar um problema onde:

L = 170 cm

l

₁

= 30 cm, l

₂

=50cm, l

₃

=55cm

e a demanda para os itens menores é:

d

₁

= 80, d

₂

=120, d

₃

=110

Quantos esquemas de corte são possíveis?

170 55

50 30 y

₁

 y

₂

 y

₃



1,2,3 j

inteiro, e

0 



y

(10)

O Problema do Corte Unidimensional

Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:

1

l₁ 0

l₂ 0

l₃ 1

perda 115

(11)

O Problema do Corte Unidimensional

Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:

1 19

l₁ 0 2

l₂ 0 0

l₃ 1 2

perda 115 0

(12)

O Problema do Corte Unidimensional

Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:

1 19 22

l₁ 0 2 3

l₂ 0 0 1

l₃ 1 2 0

perda 115 0 30

(13)

O Problema do Corte Unidimensional

Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:

1 19 22 23

l₁ 0 2 3 4

l₂ 0 0 1 1

l₃ 1 2 0 0

perda 115 0 30 0

(14)

O Problema do Corte Unidimensional

Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:

1 19 22 23 24

l₁ 0 2 3 4 1

l₂ 0 0 1 1 2

l₃ 1 2 0 0 0

perda 115 0 30 0 5

(15)

O Problema do Corte Unidimensional

Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:

1 19 22 23 24 27

l₁ 0 2 3 4 1 2

l₂ 0 0 1 1 2 1

l₃ 1 2 0 0 0 1

perda 115 0 30 0 5 40

(16)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

Neste problema temos:

elementos conhecidos:

(17)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

elementos conhecidos: esquema de corte, demanda de cada ítem

(18)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

elementos conhecidos: esquema de corte, demanda de cada ítem elementos desconhecidos:

(19)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

elementos desconhecidos: quantas vezes um determinado esquema de corte será usado

(20)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

objetivo a ser alcançado:

(21)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

objetivo a ser alcançado: usar o menor número possível de esquemas de corte

(22)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

restrições:

(23)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

restrições: o número de itens obtidos com os esquemas de corte usados de ser maior ou igual a demanda

(24)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

x

j

VARIÁVEIS DE DECISÃO

Quantas vezes usar um determinado esquema de corte Faça j = 1,2,3,...n representar os diversos esquemas de corte

Defina então:

= número de vezes que o esquema de corte j será usado.

(25)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

Objetivo a Objetivo a

Usar o menor número possível de esquemas de corte:

Objetivo b Objetivo b

Seja r

_j

a perda associada ao esquema de corte j Minimizar a perda total:

x

n

x x

z    ... 

min

₁ ₂

n n

x r x

r x

r

z    ... 

min

₁ ₁ ₂ ₂

(26)

Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional

Restrições

O número de itens obtidos de cada tipo deve ser maior ou igual a demanda.

Seja a

_ij

o número de peças do tipo i obtidas usando o esquema de corte j. Para atender a demanda do item 1 temos que:

1 1

2 12

1

11

x a x ... a x b

a   

_n _n



De uma maneira geral, a restrição relativa ao item i é dada por:

(27)

Modelo de Otimização Para o Problema do Corte Unidimensional

(Objetivo a) (Objetivo a)

inteiras e

, 0 ,...

,

...

a sujeito

...

max) min(

2 1

2 2 1

1

2 2

2 22 1

22

1 1

2 12 1

11

2 1















n

m n

mn m

m

n n

n

x x

x

b x

a x

a

b x

a x

a

b x

a x

a

x x

x z

ou

(28)

Modelo de Otimização Para o Problema do Corte Unidimensional

Podemos escrever as restrições do problema na forma matricial:







































m n

mn m

m

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

2 1 2

1

2 1

2 22

21

1 12

11

* ...

...



Observe que cada coluna da matriz esta associada a um esquema de corte.

Em geral n ==>

(29)

Problema do Corte Unidimensional Exemplo 1a

• Considerando apenas 6 padrões de corte:

inteiro ,

0 ,

, ,

110 120 80 1

1 2 0

2 1 0

1 4 0

1 3 2

0 2 1

0 0 a sujeito

min

27 24

23 22

19 1

27 24

23 22

19 1



 







 









 







 









 







 









 







 









 







 









 







 









 







 











x x

z

(30)

Problema do Corte Unidimensional Exemplo 1a - Solução

Considerando apenas 6 padrões de corte:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 115.0000

Usar:

o esquema de corte 19 o esquema de corte 19 55 vezes 55 vezes

A A

^t^t₁₉₁₉

= (2, 0, 2) = (2, 0, 2)

(31)

Problema do Corte Unidimensional Exemplo 1b

• Considerando apenas 6 padrões de corte:

inteiro ,

0 ,

, ,

110 120 80 1

1 2 0

2 1 0

1 4 0

1 3 2

0 2 1

0 0 a sujeito

5 40

0 30

0 115

min

27 24

23 22

19 1

27 24

23 22

19 1

27 24

23 22

19 1



 







 









 







 









 







 









 







 









 







 









 







 









 







 











x x

z

(32)

Problema do Corte Unidimensional Exemplo 1b - Solução

Considerando apenas 6 padrões de corte:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00

Usar:

o o esquema de corte 19 esquema de corte 19 55 vezes 55 vezes

A A

^t^t₁₉₁₉

= (2, 0, 2) = (2, 0, 2)

(33)

Esquemas de corte para o Problema do Corte Unidimensional - Exemplo 1

0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2 0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1