XXXI Congresso de Iniciação Científica
O Triângulo de Sierpinski e o ladrilhamento do plano.
Patrícia Bertini da Silva, Tatiana Miguel Rodrigues de Souza (orientadora), Bauru, Faculdade de Ciências, Matemática, patriciabertini2015@gmail.com.
Palavras Chave: Geometria, Geometria Fractal, Dimensão.
Introdução
A natureza em geral é constituída por formas nas quais predominam a irregularidade e o caos. Tentar simplificá-las usando figuras da geometria clássica seria inadequado.
A Geometria Fractal, na qual se torna possível o surgimento de objetos com dimensão fracionária, oferece um método para analisar e descrever objetos e formas naturais, contrapondo-se as limitações da Geometria Euclidiana.
Esses “objetos” foram denominados fractais por Benöit Mandelbrot, precursor dos estudos da Geometria Fractal. As figuras de fractais são geradas a partir de processos iterativos e uma de suas principais características é a autossemelhança, isto é, cada uma de suas partes é semelhante à figura total.
Objetivo
O objetivo deste trabalho foi estudar a Geometria Fractal e suas diferenças com Geometria Euclidiana.
Neste trabalho, em particular, apresentaremos o Triângulo de Sierpinski e calcularemos sua dimensão fractal e mostraremos que esta é diferente da dimensão do triângulo na Geometria Euclidiana.
Material e Métodos
Foram consultados os livros que constam na bibliografia. Também foi usado o software
“Geogebra” com o qual foi possível construir computacionalmente o fractal apresentado.
Resultados e Discussão
Inicialmente vamos construir o Fractal de Sierpinski.
Considere um triângulo equilátero e o divida em três segmentos iguais. No segmento intermediário construa um triângulo equilátero e logo após retire o segmento, (o que seria a base do triângulo), ficando assim com quatro segmentos congruentes. Repita esse processo sucessivamente nos segmentos restantes.
Figura 1. Processo para obtenção do Triângulo de Sierpinski.
Na geometria euclidiana convencionou-se que um ponto tem dimensão zero, uma reta tem dimensão 1,
um plano tem dimensão 2 e o espaço tem dimensão 3. A partir desses conceitos analisaremos a dimensão de objetos com autossemelhança.
Denotando por N o número de partes que o objeto foi dividido e r o fator de redução, ou seja, o valor em que a figura total é multiplicada para se obter cada parte. Assim, a dimensão D de um objeto com autossemelhança satisfaz a seguinte relação: N = 1/rD.
Em objetos da geometria euclidiana verifica-se essa relação. Suponhamos um segmento de reta e o dividimos em três partes iguais. Assim, cada parte será 1/3 do segmento inicial. Nesse caso temos N = 3 e r = 1/3. Utilizado a relação acima, temos: 3 = 1/(1/3)1.
Portanto, a dimensão de um segmento é 1, o que é válido na geometria euclidiana, isto é, esse objeto ocupa totalmente o espaço delimitado pela figura inicial. Já no caso de um fractal, ele pode ocupar partes ou ultrapassar esse espaço.
A dimensão de um fractal seria o quanto de espaço esse fractal ocupa dentro de onde ele está inserido.
Sabemos que N = 1/rD é equivalente à N = (1/r)D, então se aplicarmos logaritmo nos dois lados dessa igualdade temos:
log(N) = log (1/r)D Þ log(N) = D.log(1/r) Þ D = log(N)/log(1/r).
Para o Triângulo de Sierpinski, sabemos que a cada iteração os triângulos são reduzidos à metade do inicial, isto é, r = 1/2. Além disso, em cada nível do fractal são obtidas 3 partes do anterior, ou seja, N = 3. Portanto, temos:
D = log 3/log (1/(1/2)) = log 3/log 2 ≈ 1,59
Conclusões
Portanto, a dimensão do Triangulo de Sierpiski é, aproximadamente, 1,59. Esse valor é um pouco menor que 2, a dimensão de um triângulo, o que mostra que esse fractal não ocupa totalmente o plano, ou seja, com ele não seria suficiente para cobrir todo o plano.
Agradecimentos
Agradecemos ao Departamento de Matemática FC/UNESP.
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1 Barbosa, R.; “Descobrindo a Geometria Fractal”, Coleção Tendências Em Educação Matemática, Autêntica, 2002.
2.Barnsley, M.F; “Fractals Everywhere”, Academic Press Professional 1993.
