TRANSIÇÃO COMPLEXA DO CÁLCULO: SITUAÇÕES DE ENSINO SOBRE A JUSTIFICAÇÃO DA SÉRIE LAURENT E A IDENTIFICAÇÃO DE CATEGORIAS. TRANSIÇÃO COMPLEXA DO CÁLCULO: SITUAÇÕES DIDÁTICAS RELATIVAS À JUSTIFICAÇÃO DA SÉRIE LAURENT E À IDENTIFICAÇÃO DE CATEGORIAS INTUITIVAS / Monique Rafaela Monteiro Marinho Marinho. No Capítulo 2 detalharemos esta teoria no contexto da resolução de situações didáticas envolvendo a noção de série de Laurent.
PROBLEMÁTICA
- Revisão Bibliográfica
- Transição Complexa Do Cálculo - Tcc e A Visualização
- Justificativa do Tema de Pesquisa
- Delimitação do Problema
Como já havíamos mencionado, no Brasil faltam pesquisas científicas empíricas a respeito do ensino de Análise Complexa – AC. Ou seja, (LIEBO, 2011) não ignora as implicações para o ensino e a aprendizagem, no que diz respeito à visualização de funções na variável complexa. Um pouco mais adiante (LIEBO, 2011, p. 4) são mencionadas três classes de modelos para visualização de funções na variável complexa.
Teoria das Situações Didáticas-TSD
Dito isso, utilizaremos a teoria das situações didáticas - TSD, (BROUSSEAU, 1986) na qual analisamos a utilização de tal proposta como metodologia de ensino, em relação ao processo de aprendizagem em Matemática, mais especificamente, de acordo com nossa interesse da investigação. Ou seja, através do TSD, ferramenta de mediação didática, desenvolveremos atividades/situações-problema, que nos permitirão identificar raciocínios intuitivos de forma empírica, que aceitamos como objetivo geral da nossa investigação. Desta forma, o aluno analisará a região do anel em que a série converge/diverge, com predomínio do simbolismo formal.
Categorias Intuitivas no Ensino de Variável Complexa
E sim, afirmamos que ela se origina de uma relação estabelecida entre sujeito-objeto, num momento inicial, de forma tácita. A generalização aparece mais ou menos repentinamente, acompanhada por uma sensação de autoconfiança.” (FISCHBEIN, 1987, p. 59). Por outro lado, a teoria das categorias intuitivas permite compreender de forma mais cognitiva os tipos de manifestações que os alunos desenvolvem.
Metodologia de Pesquisa-Engenharia Didática
Depois, na segunda fase, planeamos as situações didáticas que iremos utilizar, salientando que o planeamento é realizado através da tabela de problemas identificados através da consulta aos livros do CA. Comentários: O objetivo desta fase é comparar as hipóteses que definimos quando planejamos as situações de ensino, e após a coleta de dados iremos interpretá-las para que possamos validar nosso estudo. Pretende-se, como já foi referido mais detalhadamente, obter suporte teórico para a preparação das nossas situações de ensino.
ANÁLISES PRELIMINARES DA ENGENHARIA DIDÁTICA
Um Olhar Para o Contexto Histórico da Análise Complexa
BOTAZZINNI (1986, p. 162) comenta ainda que “uma das primeiras contribuições para o estudo da teoria das funções se deveu ao engenheiro Pierre A. BOTAZZINNI, 1986, p. 162) ressalta ainda que “em seu relatório à academia , Cauchy originalmente relembrou seu próprio teorema sobre o assunto e depois declarou o teorema de Laurent da seguinte forma": BOTAZZINNI, 1986, p. 163) enfatiza que "de fato, através da generalização do teorema de Cauchy, Laurent mostrou que se uma função f(z) f(x iy) é holomórfico, em um domínio de anel, com centro c, será representado de forma única, através de uma série denotada por aj(z c)i.
Estudo Didático do Objeto Matemático em Livros Didáticos
- Escolhas e Justificativas Para Uma Análise de Livros
- Soares (2014)
- Lins Neto (2012)
- Uma breve perspectiva acerca das obras consultadas
(SOARES, 2014, p. 40) porém fornece ao leitor uma formulação alternativa das equações de Cauchy-Riemann, como ele observa. Teorema: Syn, onde é contínuo e se as derivadas parciais de u e v existem e satisfazem as condições de Cauchy-Riemann em todos os pontos de A, então f é holomórfico em A. O autor lembra ao leitor a definição de 'uma função holomórfica , na medida em que dizemos que um ponto é uma singularidade isolada de se existe um disco ( ), centrado em , tal que é holomórfico em todo o disco, exceto no ponto. O autor também menciona que a fórmula integral de Cauchy nos permite obter uma descrição precisa do comportamento em torno de tal ponto.
O autor encerra o Capítulo I com um estudo de funções contínuas, no qual define preliminarmente a convergência de pontos (LINS NETO, 2012, p. 38), levando em consideração a sequência de funções. Ainda neste capítulo, discutimos detalhadamente o estudo das séries de potências, que (LINS NETO, 2012, p. 69) define como uma sequência de funções ( ), definida intuitivamente por ( ) = a0 e para s. A seguir o autor apresenta de forma geométrica que o desenvolvimento da série neste caso só é possível no disco | |( ), ou seja, o local onde ocorrerá sua convergência.
Para finalizar o capítulo sobre integração no plano complexo, o autor trabalha na ideia do teorema de Green, no qual considera , - , uma curva regular Cr por partes, ou seja, uma divisão do intervalo [0 ,1 faz não permitido. ], e a curva deve ser continuada. Portanto, estudaremos funções holomórficas com mais detalhes, como já mencionamos no Capítulo II, que uma função holomórfica em um subconjunto aberto de C é na verdade da classe C∞ neste subconjunto aberto. Portanto, veremos mais adiante que esta função é de fato analítica, a qual representaremos em séries de potências.
Neste capítulo, o autor inicia com o resultado do teorema de Cauchy-Goursat (p.186), uma das demonstrações mais importantes em que considera uma função holomórfica. Outra aplicação importante é a fórmula integral de Cauchy, que o autor discute na p.193, como sendo uma função holomórfica onde caminho de homotopia aberto e fechado para uma constante em. Posteriormente, o autor apresenta o teorema de Liouville (p.198), no qual considera uma função inteira finita, portanto a ideia é mostrar que se trata de uma constante.
ANÁLISES E EXPERIMENTAÇÃO
Caracterização do Locus da Investigação
O objetivo desta situação é que o aluno aprenda sobre a existência da região do anel, na qual podemos contar com a convergência de séries de potências individuais, cuja resolução ocorrerá no desenvolvimento de Laurent. Decida uma região do plano complexo em que possamos contar com a convergência da expansão associada à seguinte função: F(z) = (𝑧 ) (𝑧. Os objetivos desta situação são (i) levar o aluno a calcular a convergência desta série de potências, de acordo com o teorema de Laurent, descobrimos que podemos determinar uma função analítica, e então descrever seus componentes, ou seja, a parte real e imaginária desta função, (ii) percebemos a existência de uma região de anel , em que podemos contar com a convergência de cada série de potências, cuja resolução ocorrerá no desenvolvimento de Laurent.
Por outro lado, enfatizamos o nosso olhar para algo que não prevíamos, mas que mesmo assim foi exposto pelo aluno no momento específico da dialética da ação, em que ele descreveu e exibiu ações gestuais, para descrever/marcar. os comportamentos de convergência e divergência das séries de potências, cujo desenvolvimento de Laurent pode ser visualizado, no quadro geométrico. Por outro lado, na imagem abaixo, registramos o momento em que procurou definir e compreender uma visão geométrico-analítica do comportamento da convergência da parte correspondente às potências positivas da série de Laurent, do lado direito . Transcreveremos então diversos momentos de diálogo mediado pelo pesquisador em que o aluno tenta determinar o comportamento para a série de potências, pois diversas intuições foram identificadas ao longo deste curso.
Em relação ao quadro anterior, podemos citar que o aluno 4 encontra uma única região na qual podemos contar simultaneamente com a convergência das séries de potências, e isso pode ser observado com o argumento que ele faz, quando diz. Um facto muito interessante que estamos a trabalhar neste tema é a certeza/incerteza, porque lembramos que noutras intervenções realizadas com os alunos trabalhamos o ‘anel de Laurent’, que consiste na obtenção de uma área de anel para a qual a série converge. Desta forma, o aluno desenvolve soluções analíticas para determinar a região em que a série assume comportamento de convergência.
Nas figuras a seguir registramos, com a mediação do professor da disciplina de Variáveis Complexas, momentos em que ele descreve uma situação de ação, conforme (BROUSSEAU, 1986). Na imagem abaixo registramos o momento em que o aluno passa pela solução analítica do teorema trabalhado na disciplina de Variáveis Complexas. Desta forma, o professor propõe ao aluno uma situação didática que consiste em inspecionar o comportamento de um determinado ponto e analisar uma região em que a série converge/diverge.
Os Sujeito da Pesquisa e o Acompanhamento das Sessões de
Análise A Priori das Situações de Ensino
Análise A Posteriori das Situações Didáticas
Validação do Estudo
- Validação interna
- Validação externa
Dito isto, desenvolvemos situações com foco na série de Laurent, que teve como objetivo utilizar o Geogebra, onde acreditamos que os alunos, através das situações propostas nesta dissertação, adquiriram as noções de convergência/divergência e função analítica, de forma mais dinâmica, utilizando também seus conhecimentos anteriores. Assim, o estudo da visualização no ensino de Variáveis Complexas foi viabilizado através da teoria TCC, que se mostrou uma ferramenta para a compreensão de valores que incluem um significado dimensional. Começamos a abordar nossa compreensão da Teoria das Situações Didáticas - TSD, (BROUSSEAU, 1986), a metodologia de ensino, na qual enfatizamos sua importância, pois foi relevante para nosso estudo, pois acreditamos que, embora os alunos de Matemática não estão acostumados a trabalhar com atividades e/ou situações que articulem temas matemáticos de forma que os estimulem a mobilizar seus conhecimentos para tomar decisões e estudar suas construções, pois muitas vezes o conhecimento é transmitido de forma pronta e completa. vejamos então que a adequação desta teoria no processamento das situações didáticas do nosso estudo, possibilitou um cenário de aprendizagem diferenciado, sendo o próprio aluno o autor de seu conhecimento.
Por outro lado, utilizamos a Engenharia Didática como metodologia de pesquisa (ARTIGUE, 1988), onde tratamos da descrição das fases previstas por um projeto de pesquisa em Didática da Matemática, que possibilita a obtenção de conhecimentos didáticos sobre alguns conteúdos matemáticos, em um contexto de transição. No que diz respeito à primeira fase desta metodologia, apresentamos então um olhar sobre a história da análise complexa, onde este estudo nos permitiu compreender como se deu o processo de construção do conhecimento matemático do nosso objeto matemático, a série de Laurent, bem como o conhecimento relacionado. Ressaltamos que na primeira situação os alunos 1 e 2 realizaram uma importante manifestação gestual onde percebemos que não se limitaram apenas à abordagem analítica já definida que criaram sua própria representação.
Nas imagens a seguir, no ato de nossas observações, no que diz respeito à mediação do professor, registramos discussões que enfatizam as representações geométricas de forma intuitiva, ou seja, os momentos registrados abaixo enfatizam fases de institucionalização, que segundo (BROUSSEAU, 1986 ) consiste em institucionalizar o conhecimento onde este será considerado patrimônio cultural. Nessa mediação, o professor, por meio de um recurso computacional, o software GeoGebra, estimula o aluno a identificar regiões de anéis onde as séries convergem/divergem. A ação do aluno é detectar intuitivamente áreas onde a série se concentra em determinado momento e áreas onde a série explode.
Então, através dos dados produzidos pelos alunos, podemos interpretar suas opiniões sobre algumas questões abordadas ao final da disciplina de variáveis complexas, onde, em relação à questão 1, verificamos o reconhecimento dos alunos sobre a abstração. caráter envolvendo a referida disciplina.
