Pré-Cálculo
Camila Perraro Sehn Eduardo de Sá Bueno Nóbrega
FURG - Universidade Federal de Rio Grande
Projeto Pré-Cálculo
Este projeto consiste na formulação de uma apostila contendo os principais assuntos trabalhados na disciplina de Matemática no período do Ensino Médio, tendo a função de fixar
conhecimentos para facilitar o aprendizado de novas disciplinas na faculdade.
A apostila contém assuntos como Polinômios, Produtos Notáveis, Trigonometria, Funções e outros.
Conhecimentos estes que são de extrema importância para o aprendizado de Cálculo Diferencial e Integral, Àlgebra Linear, Geometria Analítica e afins.
Introdução
Apresentaremos nesta aula os assuntos:
Produtos Notáveis
Frações
PRODUTOS NOTÁVEIS
Produtos Notáveis
Quadrado da soma de dois termos:
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro,maisduas vezes o produto do primeiro pelo segundo, maiso quadrado do segundo.
(x+y)2=x2+2xy +y2 (1) Note que:(x +y)2= (x+y)(x +y)
Produtos Notáveis
Quadrado da diferença de dois termos:
O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro,menosduas vezes o produto do primeiro pelo segundo,maiso quadrado do segundo.
(x−y)2=x2−2xy +y2 (2) Note que:(x −y)2= (x−y)(x −y)
Exemplo:
(7x−4)2= (7x)2−2(7x)(4) + (4)2=49x2−56x +16
Produtos Notáveis
Produto da soma pela diferença de dois termos:
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo,menoso quadrado do segundo termo.
(x+y)(x −y) =x2−y2 (3) Exemplo:
(3a+x)(3a−x) = (3a)2−(x)2=9a2−x2
Produtos Notáveis
Cubo da soma de dois termos:
O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro, maistrês vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo,maistrês vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo,maiso cubo do segundo.
(x +y)3=x3+3x2y+3xy2+y3 (4) Note que:(x +y)3= (x+y)(x +y)(x+y)
Exemplo
Produtos Notáveis
Cubo da diferença de dois termos:
O cubo da diferença de dois termos é igual ao cubo do
primeiro,menostrês vezes o produto do quadrado do primeiro pelo segundo,maistrês vezes o produto do primeiro pelo quadrado do segundo,menoso cubo do segundo.
(x −y)3=x3−3x2y+3xy2−y3 (5) Note que:(x −y)3= (x−y)(x −y)(x−y)
Exemplo:
FRAÇÕES
Simplificação de Frações
Regras Básicas:
Para simplificar frações deve-se ter conhecimento das propriedades das frações.
Citaremos algumas formas de operações com números fracionários.
Operações com Frações
Soma e Subtração:
Quando as frações possuem denominadores iguais:
É necessário somar ou subtrair os numeradores, conservando os denominadores.
Quando as frações possuem denominadores diferentes:
Neste caso,o primeiro passo é obter frações equivalentes, de denominadores iguais aommc(mínimo múltiplo comum) dos denominadores das frações em questão.
Operações com Frações
Multiplicação e Divisão:
Multiplicação:
Multiplica-se o numerador com numerador e denominador com denominador. Se necessário, simplifica-se o produto.
Divisão:
Deve-se multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda. Se necessário, simplifica-se o resultado.
Operações com Frações
Exponenciação:
É indiferente resolver primeiro a exponenciação ou a divisão:
Exemplo:
µ1 2
¶2
= 12 22 = 1
4 =0,25
Efetuando-se primeiramente a divisão obtém-se o mesmo resultado:
Exemplo:
µ1 2
¶2
= (0,5)2=0,25
Operações com Frações
Expoente Fracionário:
Da mesma forma como na divisão entre frações, a ocorrência de expoente fracionário causa a inversão da operação.
Exemplo:
823 =√3
82=√3 64=4
RADICAIS
Radicais
Definição:
Ondeaebsão números reais enum número inteiro e positivo, podemos escrever:
√n
a=b (6)
Nomenclatura:
√n
a=radical a=radicando
Radicais
Propriedades dos Radicais
Primeira Propriedade:
Quando o índice do radical é igual ao expoente do radicando, a raiz é exata e igual à base da potência do radicando.
√n
an=a (7)
Ondea>0 enum número inteiro e positivo.
Exemplo:
√3
23=2
Radicais
Propriedades dos Radicais
Segunda propriedade:
A raiz do produto de dois ou mais fatores é igual ao produto das raízes de mesmo índice de cada fator.
√n
ab =√n a√n
b (8)
Ondea>0,b>0 enum número inteiro e positivo.
Exemplo:√
9.16=√
144=12 ou√ 9√
16=3.4=12
Radicais
Propriedades dos Radicais
Terceira propriedade:
A raiz do quociente de dois números é igual ao quociente da raiz de mesmo índice de cada número.
n
ra b =
√n
a
√n
b (9)
Ondea>0,b>0 enum número inteiro e positivo.
Exemplo:
r7 8 =
√7
√8
Radicais
Propriedades dos Radicais
Quarta propriedade:
O valor de um radical não se modifica quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical e o expoente do radicando por um mesmo número inteiro positivo.
√n
am= n.p√
am.p (10)
Ondea>0 em,n,pnúmeros inteiros e positivos.
√n
am = n:p√
am:p (11)
Ondea>0 em,n,pnúmeros inteiros e positivos.
Radicais
Introdução de um fator externo no radicando:
Para introduzir um fator externo em um radicando, devemos escrevê-lo com o mesmo expoente do índice do radical.
p√n a=pn
pn.a (12)
Ondea>0,nepnúmeros inteiros e positivos.
Exemplo:
3√ 5=√
32.5=√
9.5=√ 45
Radicais
Simplificação de radicais:
Simplificar um radical significa escrevê-lo com termos mais simples, com o auxílio das propriedades citadas anteriormente.
Geralmente, é necessário decompor o radicando em fatores primos antes de aplicar as propriedades dos radicais.
Lembrando que, número primo é aquele que é divisível por um ou por ele mesmo.
Exemplos:
√8
74= 8:4√
74:4=√ 7 3√
8x3=3√
23x3=3√ 22.2√
x2x =3.2√ 2x√
x =6x√ 2x
Radicais
Redução de radicais ao mesmo índice:
Para reduzir dois ou mais radicais ao mesmo índice:
1 Determinamos o mmc dos índices dos radicais, obtendo o índice comum.
2 Dividimos o mmc encontrado pelo índice de cada radical.
3 Multiplicamos cada quociente pelo expoente do respectivo radicando.
Radicais
Redução de radicais ao mesmo índice:
Exemplo:
Reduzir ao mesmo índice os radicais:√4 23e√6
32
1 MMC ( Mínimo Múltiplo Comum) entre 4 e 6= 12
2 12:4= 3 12:6= 2
3 4.3
√23.3= 12√ 29
6.2√
32.2= 12√ 34
√ √
Radicais
Operações com radicais:
Adição algébrica de radicais semelhantes:
Para obter a soma algébrica de radicais semelhantes,
adicionamos algebricamente os fatores externos e reduzimos a expressão a um só radical.
Exemplo:
2√
3+5√ 3−√
3= (2+5−1)√
3=6√ 3
Radicais
Multiplicação de radicais:
Radicais de mesmo índice:
A multiplicação de radicais de mesmo índice é igual a outro radical em que o índice é o mesmo e o radicando é igual ao produto dos radicandos.
√n
a√n b=√n
ab (13)
Radicais
Multiplicação de radicais:
Radicais de índices diferentes:
Para multiplicar radicais de índices diferentes, devemos reduzi-los a um mesmo índice antes de efetuar a operação.
Exemplo:
√3
3√4 2= 12√
3412√
23= 12√ 8112√
8= 12√
81.8= 12√ 648
Radicais
Divisão de radicais:
Radicais de mesmo índice:
A divisão de radicais de mesmo índice é igual a outro radical em que o índice é o mesmo e o radicando é igual ao quociente dos radicandos.
√n
a
√n
b = n ra
b ou √n a:√n
b=√n
a:b (14)
Exemplo:√ r
Radicais
Divisão de radicais:
Radicais de índices diferentes:
Para dividir radicais de índices diferentes, devemos reduzi-los a um mesmo índice antes de efetuar a operação.
Exemplo:√ 2
√3
3 =
√6
23
√6
32 =
√6
8
√6
9 = 6 r8
9
Radicais
Potenciação de radicais:
Para elevar um radical a uma potência, elevamos o radicando ao expoente dessa potência.
(√n
a)m=√n
am (15)
Ondeareal,minteiro,ninteiro e positivo.
Exemplo:
(√
3)5=√
35=√
34.3=√ 34√
3= 2:2√ 34:2√
3=
√ √ √ √
Radicais
Radiciação de radicais:
Para extrair a raiz de uma raiz, multiplicamos os índices e conservamos o radicando.
m
q
√n
a= m.n√
a (16)
Ondeareal,meninteiros e positivos.
Exemplo:
p√
10= 2.2√
10=√4 10
Observação:Antes de calcular a raiz de uma raiz, é conveniente introduzir todos os termos no radicando mais
Radicais
Racionalização de denominadores:
Em frações em que os denominadores são raízes
não-exatas(números irracionais), deve-se transformar estes denominadores em números racionais, multiplicando o
numerador e o denominador por um mesmo número diferente de zero. Tal processo chama-seRacionalização de
denominadores.
Radicais
Racionalização de denominadores:
Fração com denominador na forma √n am
Quando o denominador da fração é um radical da forma√n am, multiplicamos o numerador e o denominador por√n
an−mpara racionalizar esse denominador.
Exemplo:
Racionalizar o denominador de 1
√3:
Multiplicamos o numerador e o denominador por√ 3(2−1):
√1 = 1√
√ √3 =
√3
√ =
√3
√ =
√3
Radicais
Racionalização de denominadores:
Fração com denominador na forma√ a+√
b
Quando o denominador da fração é uma expressão da forma
√a+√
b, multiplicamos o numerador e o denominador por
√a−√
bpara racionalizar esse denominador.
Radicais
Racionalização de denominadores:
Exemplo:
Racionalizar o denominador de 1
√5+1:
Multiplicamos o numerador e o denominador por√ 5−1:
√ 1
5+1 = 1(√ 5−1) (√
5+1)(√
5−1) =
√5−1 (√
5)2−12 =
√5−1 5−1 =
√5−1 4
Radicais
Racionalização de denominadores:
Fração com denominador na forma√ a−√
b
Quando o denominador da fração é uma expressão da forma
√a−√
b, multiplicamos o numerador e o denominador por
√a+√
bpara racionalizar esse denominador.
Radicais
Racionalização de denominadores:
Exemplo:
Racionalizar o denominador de 5
√3−1:
Multiplicamos o numerador e o denominador por√ 3+1:
√ 5
3−1 = 5(√ 3+1) (√
3−1)(√
3+1) = 5√ 3+5 (√
3)2−12 = 5√
3+5 3−1 = 5√
3+5 2
Exercícios
1 Simplifique a equação 3n+1+3n−1 3n+1 .
2 Calcule√3
108+2√3
32−6√3 4.
3 Calcule µ√
3+1 2
¶2
Muito obrigado pela atenção!
Bibliografia
Malveira, Linaldo. Matemática Fácil para 8asérie. 9aedição.
São Paulo: Ática, 1993.
Álvaro Andrini e Maria José Vasconcellos. Praticando Matemática. São Paulo: Editora do Brasil, 1aedição, São Paulo.
G.Cavalcante, Luiz. Para Saber Matemática, 6asérie.
2aedição. São Paulo: Saraiva, 2006.
Guelli, Oscar. Matemática: uma aventura do pensamento.
