2.1 Pontos quânticos (PQs)

Estados ligados a Majorana em nanodispositivos de pontos quânticos acoplados a uma cadeia de átomos em zigue-zague sobre um supercondutor topológico. PALAVRAS-CHAVE: Estados ligados de Majorana (MBS), Método analítico recursivo para funções de Green em equilíbrio, Ponto quântico, Em forma de T, Qubit.

INTRODUÇÃO

Introdução

A detecção experimental de férmions de Majorana foi realizada 77 anos depois de proposta por Ettore Majorana. Neste trabalho discutimos a cadeia em zigue-zague e a influência desta rede triangular na formação de modos ímpares de Majorana.

FUNDAMENTOS TEÓRICOS

• Pontos quânticos (PQs)
• O formalismo de funções de Green para pontos quânticos
• A equação de movimento de Heisenberg
• Férmions de Majorana
• A cadeia de átomos em zigue zague
• Fase Topológica: Casos limitantes
• Fase topológica trivial (µ ≠ 𝟎 𝐞 𝒉 𝜶 = ∆ 𝜶 = 0)
• Fase topológica (µ = 𝟎 𝐞 𝒉 𝜶 = ∆ 𝜶 ≠ 0)
• O hamiltoniano do sistema: Ponto quântico acoplado a cadeia de átomos em

A equação (17) corresponde à entrada ou saída de elétrons (férmions comuns) de um local da cadeia de átomos em zigue-zague. Descreveremos o hamiltoniano da cadeia de átomos em zigue-zague na representação dos férmions de Majorana [1].

METODOLOGIA

A equação da condutância, transmitância e densidade de estados para o

A função de Green exata

Depois adicionamos uma nova cidade e calculamos a função de Green do novo sistema para 2 cidades e assim por diante. Desta forma, podemos calcular a função de Green exata para o último sítio L da cadeia de átomos em zigue-zague.

A função de Green do ponto quântico com 1 sítio na cadeia de átomos em

Na equação (44), notamos que o operador 𝑑0 interage com os eletrodos e com o primeiro sítio da cadeia de átomos em zigue-zague através do parâmetro de acoplamento 𝜆. Porém, é necessário encontrar as funções de Green associadas aos eletrodos dados por 𝐺𝑘𝛼,𝑑𝑟 0(𝑡, 𝑡′) e também ao primeiro sítio da cadeia de átomos dado por 𝐺𝑐𝑟10(𝑡, 𝑡′). A equação (72) mostra a interação entre o ponto quântico e o primeiro local da cadeia de átomos em zigue-zague.

Assim, para o sistema proposto no capítulo 2 e com apenas 1 sítio, foram encontradas as equações e (72), todas no domínio do tempo e, que descrevem as interações físicas do sistema e, assim, podemos trabalhar nelas de forma que podemos encontrar a função de Green do sistema: Ponto quântico acoplado a um único sítio. Devido à otimização dos cálculos, as equações e (72), que estão no domínio do tempo, serão transferidas para o domínio da frequência através de uma transformada de Fourier [48-49] aplicada às funções de Green correspondentes com 𝑡′ = 0. Isso nos dá temos uma oportunidade melhor de investigar as propriedades do sistema através da função de Green que iremos calcular.

A equação (81) fornece a função de Green que descreve toda a dinâmica do sistema proposto no Capítulo 2, mas apenas para 1 lugar. Enfatizamos que se 𝜆 = 0, não haverá acoplamento entre o ponto quântico e a cadeia de átomos em zigue-zague.

A função de Green do ponto quântico com 2 sítios na cadeia de átomos em

Equações no domínio da frequência para o sistema contendo 2 sítios

Com as equações (142) a (149) no domínio da frequência, transformaremos cada par de equações para o formalismo matricial, e isso será discutido na próxima seção. Nesta seção agruparemos as equações (142) a (149) em pares e as transformaremos no formalismo matricial, o que facilita os cálculos para encontrar a função de Green exata para o sistema contendo pontos quânticos mais 2 sítios na cadeia de zigue-zague átomos. A partir dessas equações com formalismo matricial, podemos encontrar 𝐺𝑑𝑟0𝑑0(𝜔), que é a função de Green exata para o sistema em estudo.

Após seu cálculo, substituímos seu resultado na equação (169) e assim encontramos a função de Green desejada 𝐺𝑑𝑟0𝑑0(𝜔).

A função de Green do ponto quântico com 3 sítios na cadeia de átomos em

A equação (189) mostra que o sítio 1 interage com o ponto quântico através do parâmetro de acoplamento 𝜆, com o sítio 2 através da constante de acoplamento ℎ1 e do parâmetro de Cooper ∆1, e com o sítio 3 através da constante de acoplamento ℎ2 e do parâmetro de Cooper ∆2. A equação (194) mostra o local 2 interagindo com o local 1 apenas através da constante de acoplamento ℎ1 e do parâmetro de Cooper ∆1. Observamos que o sítio 3 interage com o sítio 1 através do parâmetro de acoplamento ℎ2 e com o substrato supercondutor através do parâmetro de Cooper ∆2.

Equações no domínio da frequência para o sistema com 3 sítios

Análogo à subseção 3.4.1 deste trabalho, aplicamos a transformada de Fourier às funções de Green encontradas para transformá-las do domínio do tempo para o domínio da frequência. Com as equações no domínio da frequência descritas nesta Seção 3.7, cada par de equações será transformado no formalismo matricial e isso será discutido na próxima seção.

O formalismo matricial para equações no domínio da frequência para o

A partir dessas equações no formalismo matricial, podemos encontrar 𝐺𝑑𝑟0𝑑0(𝜔), que é a função de Green exata para o sistema investigado. No caso limite 𝜆 = 0, ou seja, ao desacoplar a cadeia de átomos em zigue-zague, recuperamos o resultado esperado para o ponto quântico apenas com os eletrodos, mostrado pela equação (187).

O conjunto de equações matriciais generalizadas para n sítios

Na próxima seção apresentamos o caso específico do modelo proposto que contém: Ponto quântico acoplado a eletrodos por fatores de acoplamento simétrico dados por Γ = ΓE. Além disso, o PQ está conectado a uma cadeia em zigue-zague contendo cinco sítios pelo fator de acoplamento λ e a cadeia está sobre um supercondutor topológico.

A função de Green exata para o modelo contendo 5 sítios

Por exemplo, a Figura 7 e a Equação (269) mostram o quarto sítio interagindo com o segundo e terceiro sítios através das matrizes de acoplamento H e J, que representam os acoplamentos das amplitudes dos pares do supercondutor topológico à cadeia em ziguezague e ao mais próximo existente. vizinho pulando na corrente. Além disso, a equação (270) representa as interações eletrônicas entre a terceira localização com a primeira, segunda, quarta e quinta localização através das matrizes de acoplamento H, J, S e K, respectivamente. Usando o método de matriz iterativa para desacoplar essas equações , obtemos 𝑮𝟎′, que corresponde a uma matriz 2x1 e representa a função verde exata de PQ, dada por:.

Com todas as funções de Green já calculadas no Capítulo 3 para o modelo: Ponto quântico acoplado a uma cadeia de átomos em zigue-zague, o próximo capítulo discutirá os resultados de transmissão 𝑇(𝜔), condutância 𝐺𝑐(𝜔) e densidade dos estados LDOS obtidos ao longo do sistema proposto com três, quatro e cinco localizações na fase trivial, na fase topológica e na situação topológica mais geral.

RESULTADOS

A densidade de estados LDOS para o caso da fase topológica e situação

A curva vermelha correspondente à fase trivial com λ = 5 e Δ = 0 mostra uma lacuna de energia em 𝜔 = 0, típica da assinatura de férmions comuns no nanofio. Além disso, a curva preta representa o tunelamento eletrônico para λ = 0 e Δ = 5, ou seja, a cadeia está desconectada do PQ e o supercondutor topológico está fortemente acoplado à cadeia. Na Figura 9b, foram realizados cálculos para obtenção da densidade de estados LDOS eletrônica para o modelo proposto contendo três, quatro e cinco locais.

Portanto, para garantir a presença de MBS na cadeia para três, quatro e cinco lugares na situação topológica mais geral em ω = 0, precisamos aumentar numericamente os pontos de ajuste dos parâmetros de acoplamento entre a cadeia PQ e o salto para os três processos.

A transmitância para o caso da fase topológica e situação topológica mais

Aqui as curvas de transmissão foram obtidas no FT e STG, respectivamente, com ɛd = 0 para a cadeia de 3 a 5 sítios e os demais parâmetros foram ajustados para garantir MBS em ω = 0. Nas Fig. maior contribuição do primeiro pico adjacente ao MBS e também para 3 locais um deslocamento deste pico próximo ao nível de Fermi. Além disso, na Figura 9d para o STG, uma dependência de h foi adicionada aos parâmetros livres e novamente confirmamos que a topologia em cadeia cria subintervalos próximos ao nível de Fermi, devido ao tipo de acoplamento entre os sítios adjacentes.

Ao adicionar um sítio à cadeia para a fase topológica (FT) e a situação topológica mais geral (STG), aumentamos o número de possíveis interações eletrônicas entre sítios, ou seja, aumenta a complexidade dos saltos de cadeia contendo quatro sítios. Observamos a ligação do substrato supercondutor topológico à cadeia em zigue-zague em Δ = 0,6 (curva vermelha em FT) e Δ = 0,065 (curva vermelha em STG). Ao incluir outro local na cadeia em zigue-zague, aumentamos a complexidade dos saltos na cadeia, com três picos adjacentes aparecendo perto do nível de Fermi, que são caracterizados por férmions regulares, mas ajustando adequadamente o acoplamento da amplitude de acoplamento para Δ = 1,11 (curva azul em FT) e Δ = 0,13 (curva azul em STG), ainda garantimos a presença de MBS nas extremidades da cadeia contendo cinco sítios.

A condutância para o caso da fase topológica e situação topológica mais geral

A escolha do parâmetro de acoplamento h (saltos) para o modelo proposto está ancorada experimentalmente na geometria da cadeia estudada, que se refere à rede óptica obtida pela técnica do átomo frio [6-7]. Esta técnica experimental permite o controle da amplitude de acoplamento ℎ1 = ℎ2 = ℎ presente no hamiltoniano do modelo e a consequente construção da geometria da cadeia em zigue-zague. A Figura 11 mostra a condutância de um modelo contendo cinco locais com parâmetros de acoplamento de pontos quânticos ɛd, acoplamento de eletrodo Γ e parâmetro de Cooper Δ fixados previamente e com diferentes saltos (h).

Além disso, investigamos o acoplamento entre a cadeia PQ (λ) com parâmetros definidos como ɛd = -1, Δ = 0,5, Γ = 1 para dois tipos de saltos com dependência do acoplamento no parâmetro Cooper na situação topológica mais geral ( STG). Devido à dependência do MBS do parâmetro de acoplamento da cadeia PQ (λ), foi analisado que o MBS pode ser modulado mecanicamente em experimentos MBJ [50], alterando a distância entre o PQ e a cadeia. Os parâmetros ɛd = 0, Γ = 1, Δ = 2 foram definidos e fixos, e variamos os parâmetros de acoplamento do hop h e do acoplamento da cadeia PQ de acordo com a dependência λ = 2h.

Para ℎ = 0,4 correspondente à Figura 12a (cor preta) garantimos a mobilidade do túnel de elétrons, porém, sem a presença de MBS. Tais resultados têm o potencial de monitorar o espectro de MBS na cadeia triangular, relacionando-o com técnicas experimentais aplicáveis ​​ao modelo proposto.

CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS

Conclusões

O efeito da desordem na cadeia não afeta a estrutura qualitativa do espectro de energia do estado ligado de Majorana, desde que os parâmetros de acoplamento estejam adequadamente ajustados para garantir zero modos de Majorana nas extremidades da cadeia; entretanto, para o sítio 5, temos a eliminação de um par de picos adjacentes em relação ao MBS, como pode ser visto nas Figuras 10a, 10b e 10c. Mostramos que pode ser aplicado a sistemas nos quais os PQs são determinados por outro processo, por exemplo formado a partir de InAs, InSb ou nanofios únicos.

Perspectivas

This model is an extension of the Kitaev chain [13] and, in addition, it is a realistic experimental example for the detection of Majorana fermions [17]. We performed calculations to obtain the Green's function of the model proposed in Fig.1a for the largest finite quantity desired, as shown by Kraus et al. This process extends to the LDOS of the most general topological situation (STG) with μ 0 andhα Δα.

This reaffirms the robustness of the MBS for ω0, even with the increased complexity of the chain jump processes (Fig. 1b). Linking the fourth and fifth sites at the end of the chain increases the number of interactions. The choice of the pair amplitudes (Δ) is experimentally based on the technique of Raman-induced dissociation of .

3 Conduction of the system in the five-site STG with fixed parameters 2d −3,Γ 1 and λ8.5Γ, while varying the pair amplitudes and moving to aΔ0.5 and h2.5 (black color), bΔ1.0 and h5.0 (red color), andcΔ1.5 enh7.5 (blue color) (Color figure online). We determined the level of the QD 2d, the level of the leads Γ and the pair amplitudes Δ. Furthermore, we varied the point-chain coupling λ and hoph, respectively.