Problema A B H σ =σ versus H1:σ2A ≠σB2 Estatística do teste: W =SB2 /SA2

Capítulo 13

Problema 01

(a) ₂ ^95%

(

)

2 2

1 = ⇒ < = ⇒ =





<a P F a a

S P S

(b) ₂ ^95%

(

)

2 2

1 = ⇒ > = ⇒ =





>b P F b b

S P S

Problema 02

Porque as duas amostras são independentes.

Problema 03

2 2

0 : _{A B}

H σ =σ versus H₁:σ²_A <σ_B²

Estatística do teste: W =S_B² /S_A². Sob H0, W ~ F(14;9). Região crítica: Tomando α=5%, temos RC =]0;0,378[. Valor observado: w₀ =sB² /s²A =(1600/1000)² =2,56.

Como w₀ não pertence à região crítica, não rejeitamos H₀, ou seja, não há evidências de que a fábrica A seja mais coerente que a fábrica B na política salarial.

Problema 04

2 2

0 : _{A B}

H σ =σ versus H₁:σ²_A ≠σ_B²

Estatística do teste: W =S_B² /S_A². Sob H0, W ~ F(16;20).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;0,373[∪]2,547;+∞[. Valor observado: w₀ = s²B /s²A =0,1734/0,0412= 4,21.

Como w₀ pertence à região crítica, rejeitamos H₀, ou seja, há evidências de que as variâncias dos comprimentos dos produtos das duas fábricas sejam diferentes.

Intervalo de confiança para o quociente das variâncias (γ =95%):

681 , 2 e 393 , 0

% 95 ) ) 16

; 20 (

(f₁ <F < f₂ = ⇒ f₁ = f₂ =

P .

Logo: 1,653 11,283

0412 , 0

1734 , 6810 , 0412 2

, 0

1734 , 3930 , 0

1 2 1

2 2

2 2 1 2 2 2

1 < < ⇒ < < ⇒ < <

σ σ σ

σ σ

σ

a B a

B

S f S S

f S

Problema 05

Teste de igualdade de variâncias: H₀:σ_H² =σ_M² versus H₁:σ_H² ≠σ_M² Estatística do teste: W =S_M² /S_H² . Sob H0, W ~ F(49;49).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;0,567[∪]1,762;+∞[.

Valor observado: w₀ =s²M /sH² =(0,9/0,8)² =1,27. Como w₀ não pertence à região crítica, aceitamos a hipótese de igualdade de variâncias.

Teste de igualdade de médias: H₀ :µ_H =µ_M versus H₁:µ_H ≠ µ_M Estatística do teste:

M H p

M H

n S n

X T X

1 1 +

= − . Sob H0, T ~t₉₈.

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−1,984[∪]1,984;+∞[.

Valor observado: 2,936

50 1 50 851 1 , 0

7 , 3 2 , 3

0 =−

+

= −

t . Como t₀ pertence à região crítica,

concluímos que o tempo médio de adaptação das mulheres é maior que o dos homens.

Suposição: Os tempos de adaptação de homens e mulheres têm distribuições normais com variâncias iguais

Problema 06

B

H₀ :µA =µ versus H₁:µ_A ≠ µ_B Estatística do teste:

B A p

B A

n S n

x T x

1 1 +

= − . Sob H0, T ~t₉₈.

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−1,984[∪]1,984;+∞[.

Valor observado: 2,250

50 1 50 20 1

71 62

0 =−

+

= −

t . Como t₀ pertence à região crítica, concluímos

que os gastos médios das duas filiais não são iguais.

[ 062 , 1

; 938 , 16 ] 938 , 7 50 9

20 2 984 , 1 1 9

) 1 (

%) 95

;

(∆ = − ± _95% + =− ± × =− ± = − −

B A p B

A x t S n n

x IC

Problema 07

Teste de igualdade de variâncias: H₀:σ²_A =σ_B² versus H₁:σ²_A ≠σ_B² Estatística do teste: W =S_B² /S_A². Sob H0, W ~ F(11;14).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;0,298[∪]3,095;+∞[.

Valor observado: w₀ =s²B/sA² =(15/10)² =2,25. Como w₀ não pertence à região crítica, aceitamos a hipótese de igualdade de variâncias.

Teste de igualdade de médias: H₀ :µ_A =µ_B versus H₁:µ_A ≠ µ_B Estatística do teste:

B A p

B A

n S n

X T X

1 1 +

= − . Sob H0, T ~t₂₅.

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−2,060[∪]2,060;+∞[.

Valor observado: 0,830

12 1 15 45 1 , 12

52 48

0 =−

+

= −

t . Como t₀ não pertence à região crítica,

concluímos que os dois processos produzem resultados similares.

Problema 08

No problema 4, rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias.

Teste de igualdade de médias: H₀ :µ_A =µ_B versus H₁:µ_A ≠ µ_B Estatística do teste:

B A

B A

n S n S

X T X

B A

2 2

+

= − . 0,002

2

=

=

A A

n

A s ; 0,010

2

=

=

B B

n

B s ;

( )

16 / 010 , 0 20 / 002 , 0

) 010 , 0 002 , 0 ( )

1 /(

) 1

/( ^{2 2}

2 2

2

2

+ ≈

= +

− +

−

= +

B

A B n

n A

B

ν A . Sob H0 , T ~t₂₂

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−2,074[∪]2,074;+∞[.

Valor observado: 0,272

17 1734 , 0 21 0412 , 0

12 , 21 15 , 21

0 =

+

= −

t . Como t₀ não pertence à região

crítica, concluímos não há diferença entre as médias populacionais dos comprimentos dos produtos das duas fábricas.

Problema 09 87 ,

=9

xL ; sL² =5,92; x_A =9,23; sA² =0,79.

Teste de igualdade de variâncias: H₀:σ_L² =σ_A² versus H₁ :σ_L² ≠σ²_A Estatística do teste: W =S_L² /S_A². Sob H0, W ~F(6;7).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;0,176[∪]5,119;+∞[.

Valor observado: w₀ =sl² /sa² =5,92/0,79=7,51. Como w₀ pertence à região crítica, rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias.

Teste de igualdade de médias: H₀:µ_L =µ_A versus H₁:µ_L ≠µ_A Estatística do teste:

A A L L

A L

n S n S

X T X

2 2 +

= − . 0,846

2

=

=

L L

n

A s ; 0,097

2

=

=

A A

n

B s ;

( )

7 / 097 , 0 6 / 846 , 0

) 097 , 0 846 , 0 ( ) 1 /(

) 1

/( ^{2 2}

2 2

2

2

+ ≈

= +

− +

−

= +

B

A B n

n A

B

ν A . Sob H0 , T ~t₇

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−2,365[∪]2,365;+∞[.

Valor observado: 0,666

8 79 , 0 7 92 , 5

23 , 9 87 , 9

0 =

+

= −

t . Como t₀ não pertence à região crítica,

não há evidências de que os salários médios populacionais dos dois grupos de profissionais sejam diferentes.

Problema 10

População C C C C C C C C C C T T T T T T T T T T Produção 6,0 6,6 6,8 6,9 7,0 7,0 7,0 7,1 7,4 8,0 6,6 6,7 6,8 6,8 6,8 6,8 6,8 6,9 6,9 7,5

Postos 1 2,5 7,5 12 15 15 15 17 18 20 3 4 8 8 8 8 8 12 12 19

=87

WS ; 105

2 21 10 2

) 1 ) (

( = m N + = × =

W

E _S ;

21 , 169 19 264

20 12

10 10 12

21 10 ) 10

) ( 1 ( 12 12

) 1 ) (

(

1

3 × =

×

×

− ×

×

= ×

− − + −

=

∑

= e

i

i i

S d d

N N

mn N

W mn Var

C

H₀:µT =µ versus H₁:µ_T >µ_C Estatística do teste:

) (

) (

S S S

W Var

W E

Z =W − . Sob H₀, Z ~ N(0,1), aproximadamente.

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]1,645;+∞[.

Valor observado: 1,384

21 , 169

105 87

0 = − =−

z . Como z₀ não pertence à região crítica, não há evidências de que o novo fertilizante aumente a produção.

914 , 0 ) 384 , 1 (

ˆ= P Z >− = α

Problema 11

(a)

w 3 4 5 6 7

P(Ws=w) 1/6 1/6 1/3 1/6 1/6 (b)

w 3 4 5 6 7 8 9 10 11

P(Ws=w) 1/15 1/15 2/15 2/15 1/5 2/15 2/15 1/15 1/15 (c)

w 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P(Ws=w) 1/20 1/20 1/10 3/20 3/20 3/20 3/20 1/10 1/20 1/20

Problema 12

(a) 42

2 14 6 2

) 1 ) (

( = m N + = × =

W

E _S ; 49

12 14 6 7 12

) 1 ) (

( = nm N + = × × =

W

Var _S

% 43 , 80 ) 857 , 0 ( ) 7 / ) 42 48 ( ( ) 48

(W ≤ =P Z ≤ − =P Z≤ =

P _S .

(b) 76

2 19 8 2

) 1 ) (

( = m N + = × =

W

E _S ; 126,67

12 19 8 10 12

) 1 ) (

( =nm N + = × × =

W

Var _S

% 43 , 95 ) 688 , 1 ( ) 67 , 126 / ) 76 95 ( ( ) 95

(W ≤ =P Z ≤ − =P Z ≤ =

P _S .

(c) 105

2 21 10 2

) 1 ) (

( = m N + = × =

W

E _S ; 175,00

12 21 20 10 12

) 1 ) (

( = nm N + = × × =

W

Var _S

% 93 , 99 ) 175 , 3 ( ) 175 / ) 105 63 ( ( ) 63

(W ≥ =P Z≥ − =P Z≥− =

P _S .

Problema 13 (a)

w 6,5 8,0 9,0 9,5 10,5 11,5 12,0 13,0 14,5 P(Ws=w) 1/10 1/10 1/10 1/10 1/5 1/10 1/10 1/10 1/10 (b)

w 6,5 8,5 10,5 12,5 14,5 P(Ws=w) 1/10 1/5 2/5 1/5 1/10 (c)

w 3 5 6 8

P(Ws=w) 1/10 3/10 3/10 3/10 Problema 14

P11

(a) m = 2; n = 2 (b) m = 2; n = 4

- 0,10 0,20 0,30 0,40

3 4 5 6 7

Postos

Prob.

- 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25

3 4 5 6 7 8 9 10 11

Postos

Prob.

(c) m = n = 3

- 0,05 0,10 0,15 0,20

6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Postos

Prob.

P13

(a) m = n =3 ; d1 = d2 = 1; d3 = 2; d4 = d5 = 1 (b) m = n =3 ; d1 = d2 = d3 = 2

- 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12

6,0 |-- 6,5 7,5 |-- 8,0 9,0 |-- 9,5 10,5 |-- 11,0 12,0 |-- 12,5 13,5 |-- 14,0 Postos

Densidades de Prob.

- 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45

6,5 8,5 10,5 12,5 14,5

Postos

Prob.

(c) m = 2; n =3 ; d1 = d2 = 1; d3 = 3

- 0,10 0,20 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70

3 |-- 5 5 |-- 7 7 |-- 9

Postos

Prob.

Problema 15

População C C C T T T T

Observ. 1 4 8 3 3 5 7

Postos 1 4 7 2,5 2,5 5 6

=16

WS ; 16

2 8 4 2

) 1 ) (

( = m N + = × =

W

E _S ;

857 , 7 6 6

7 12

3 4 12

8 3 ) 4

) ( 1 ( 12 12

) 1 ) (

(

1

3 × =

×

×

− ×

×

= ×

− − + −

=

∑

= e

i

i i

S d d

N N N mn

W mn Var

% 50 ) 0 ( 857 , 7

16 16 )

( ) ( )

( ) ) (

ˆ ( = > =









 > −

≅











 −

− >

=

≥

= P Z P Z

W Var

W E w W

Var W E P W

w W P

S S S

S S

α S

Problema 16 29 ,

=4

d ; s_D² =9,90

Teste de igualdade de médias: H₀ :µ_D =0 versus H₁:µ_D >0 Estatística do teste:

SD

D

T = n . Sob H0, T ~t₆

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]1,943;+∞[.

Valor observado: 3,603

90 , 9

29 , 4 7

0 = × =

t . Como t₀ pertence à região crítica, rejeitamos H0. Ou seja, há evidências de que o cartaz produz um efeito positivo nas vendas médias.

Problema 17

Em elaboração

Proble ma 18

Em elaboração Problema 19

Em elaboração

Problema 20 50 ,

=1

d ; sD =2,9

Teste de igualdade de médias: H₀ :µ_D =0 versus H₁:µD >0 Estatística do teste:

D

D S

D S

D

T = n = 6 . Sob H0, T ~ t₅

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]2,015;+∞[.

Valor observado: 1,275 9

, 2

50 , 1 6

0 = × =

t . Como t₀ não pertence à região crítica, não há evidências de que a pausa aumente a produtividade média dos trabalhadores.

Problema 21

=12

xD ; s_D² =35,7; x_N =10; s_N² =105,7.

Teste de igualdade de variâncias: H₀:σ_D² =σ²_N versus H₁:σ²_D ≠σ²_N Estatística do teste: W =S_N² /S_D². Sob H0, W ~ F(14;14).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;0,403[∪]2,484;+∞[. Valor observado: w₀ =sN² /sD² =105,7/35,7=2,96. Como w₀ pertence à região crítica, rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias.

Teste de igualdade de médias: H₀:µ_D =µ_N versus H₁ :µ_D ≠µ_N Estatística do teste:

N N D D

N D

n S n S

X T X

2 2 +

= − . 2,381

2

=

=

D D

n

A s ; 7,048

2

=

=

N N

n

B s ;

( )

15 / 048 , 7 15 / 381 , 2

) 048 , 7 381 , 2 ( )

1 /(

) 1

/( ^{2 2}

2 2

2

2

+ ≈

= +

− +

−

= +

B

A B n

n A

B

ν A . Sob H0 , T ~t₂₂.

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−2,074[∪]2,074;+∞[.

Valor observado: 0,651

15 7 , 105 15

7 , 35

10 12

0 =

+

= −

t . Como t₀ não pertence à região crítica,

não há evidências de que as produtividades médias dos dois períodos sejam diferentes.

No entanto, a produtividade do período noturno tem variância maior.

Problema 22

Teste de igualdade de variâncias: H₀ :σT² =0,85² versus H₁:σ_T² ≠0,85²

Estatística do teste: ₂

2 2

0 2 2

0 0,85

24 )

1

(n− S_T = S_T

= σ

χ . Sob H0, W ~χ₂₄² .

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;12,401[∪]39,364;+∞[.

Valor observado: 51,903

85 , 0

25 , 1 24

2 2 2

0 = × =

χ . Como w₀ pertence à região crítica,

concluímos que a variância dos salários dos torneiros mecânicos é maior que a variância dos salários da indústria mecânica como um todo.

Teste de igualdade de médias: H :µ =3,64 versus H :µ ≠3,64

Histograma

0 2 4 6 8 10 12 14

< 65,0 65,7 |-- 66,4

67,1 |-- 67,8

68,5 |-- 69,2

69,9 |-- 70,6

71,3 |-- 72,0

72,7 |-- 73,4

> 74,1

Classe

Freqüência

Estatística do teste:

( ) ( )

T T T

T

S X S

n

T = X −µ₀ = 5 −3,64

. Sob H₀ , T ~t₂₄. Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−2,064[∪]2,064;+∞[.

Valor observado: 2,32

25 , 1

) 64 , 3 22 , 4 ( 5

0 = − =

t . Como t₀ pertence à região crítica,

concluímos que o salário médio dos torneiros mecânicos é maior que o salário médio da indústria mecânica como um todo.

Problema 23 (a)

Média 69,8

Desvio Padrão 1,90

Mínimo 65,6

1^o quartil 68,9

Mediana 69,7

3^o quartil 71,0

Máximo 73,8

(b) pˆ = proporção estimada de municípios em que o gasto com pessoal é maior que 70%;

Nˆ = número estimado de municípios em que o gasto com pessoal é maior que 70%;

Temos que: pˆ =20/50=0,4; Nˆ =200× pˆ =200×0,4=80

Portanto, estima-se que 80 municípios tenham gasto com pessoal superior a 70% do orçamento.

(c) H₀ :σ² = 20² versus H₁:σ² <20²

Estatística do teste: ₂

2 2

0 2 2

0 20

49 )

1

(n S S

− =

= σ

χ . Sob H₀, W ~ χ₄₉² .

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;33,93[.

Valor observado: 0,440

20 90 , 1 49

2 2 2

0 = × =

χ . Como w₀ pertence à região crítica,

concluímos que os gastos com pessoal na primeira região são mais homogêneos, isto é, têm variância menor, que na segunda região.

Problema 24 (a)

Teste de igualdade de variâncias: H₀:σ₁² =σ₂² versus H₁ :σ₁² ≠σ₂² Estatística do teste: W =S₂² /S₁². Sob H0, W ~F(49;99).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;0,601[∪]1,597;+∞[. Valor observado: w₀ =s₂² /s₁² =9/4=2,25. Como w₀ pertence à região crítica, rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias.

04 , 0 100 / 4

1 2

1 = =

= n

A s ; 9/50 0,18

2 2

2 = =

= n

B s ; 71

49 / 18 , 0 99 / 04 , 0

) 18 , 0 04 , 0 (

2 2

2 ≈

+

= +

ν .

[ 935 , 1

; 065 , 0 ] 935 , 0 1

18 , 0 04 , 0 994 , 1 ) 11 12 ( )

(

%) 95

; (

2 2 2 1 2 1 95 , 0

; 71 2 1 2

1

=

±

=

= +

±

−

= +

±

−

=

− n

s n t s

x x IC µ µ

Como os dois extremos do intervalo são positivos, concluímos que o tempo médio gasto pelos operários da primeira fábrica para concluir a tarefa é maior que o dos operários da segunda fábrica.

(b) Suposições: Os tempos gastos para concluir a tarefa têm distribuição normal com variâncias desiguais e desconhecidas. As amostras são aleatórias.

Problema 25

Teste de igualdade de variâncias: H₀:σ_I² =σ_II² versus H₁:σ_I² ≠σ²_II Estatística do teste: W =S_II² /S_I². Sob H0, W ~ F(9;11).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;0,256[∪]3,588;+∞[.

Valor observado: w₀ =s_II² /s_I² =100/25=4. Como w₀ pertence à região crítica, rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias.

Teste de igualdade de médias: H₀:µ_I =µ_II versus H₁:µ_I ≠µ_II Estatística do teste:

II II I I

II I

n S n S

X T X

2 2

+

= − . 25/12 2,083

2

=

=

=

I I

n

A s ; 100/10 10

2

=

=

=

II II

n

B s ;

( )

9 / 10 11 / 083 , 2

) 10 083 , 2 ( ) 1 /(

) 1

/( ^{2 2}

2 2

2

2

+ ≈

= +

− +

−

= +

II

I B n

n A

B

ν A . Sob H0 , T ~t₁₃.

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−2,179[∪]2,179;+∞[.

Valor observado: 0,288

10 083 , 2

74 75

0 =

+

= −

t . Como t₀ não pertence à região crítica, não há evidências de que as notas médias dos dois tipos de ensino sejam diferentes. Porém, o ensino do Tipo I apresenta notas mais homogêneas.

Problema 26 (a)

Empresários:H₀:µ =7,6 versus H₁:µ≠7,6

Estatística do teste:

( ) ( )

E E E

E E E

S X S

n

T X − = 90 −7,6

= µ

. Sob H0 , T ~t₈₉. Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−1,987[∪]1,987;+∞[.

Valor observado: 1,963

9 , 2

) 6 , 7 0 , 7 ( 90

0 = − =−

t . Como t₀ não pertence à região crítica, não há evidências de que a afirmação dos empresários seja falsa.

Operários:H₀:µ =6,5 versus H₁:µ≠6,5

Estatística do teste:

( ) ( )

O O O

O O O

S X S

n

T X − = 60 −6,5

= µ

. Sob H0 , T ~t₅₉. Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−2,001[∪]2,001;+∞[.

Valor observado: 1,936

4 , 2

) 5 , 6 1 , 7 ( 60

0 = − =

t . Como t₀ não pertence à região crítica, não há evidências de que a afirmação dos operários seja falsa.

As duas amostras colhidas justificam, ao nível de significância de 5%, as afirmações dos dois grupos. Porém, se tomássemos um nível de significância um pouco maior (6%, por exemplo), concluiríamos a partir da amostra dos empresários que o salário médio é menor que 7,6 e a

partir da amostra dos operários que o salário médio é maior que 6,5 (já que os valores das estatísticas t₀ das duas amostras encontram-se próximas dos extremos dos intervalos construídos). Logo, é possível que o salário médio seja um valor intermediário entre aqueles afirmados pelos operários e pelos empresários.

Problema 27

(a) Proprietário da torrefação: Bilateral.

(b) Fabricante de A: Unilateral à esquerda (c) Fabricante de B: Unilateral à direita Problema 28

70 ,

−4

=

d ; sD =4,5

Teste de igualdade de médias: H₀ :µD =0 versus H₁:µD <0 Estatística do teste:

D

D S

D S

D

T n 5

=

= . Sob H₀, T ~t₄.

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−2,132[.

Valor observado: 2,090

5 , 4

) 70 , 4 ( 5

0 = × − =−

t . Como t₀ não pertence à região crítica, não há evidências, ao nível de significância de 5%, de que a droga reduz a pressão arterial média.

Suposições: As diferenças entre a pressão arterial depois de tomar a droga e antes de tomá -la têm distribuição normal.

Problema 29

425 , 0 400 / 170

ˆ_H = =

p ; pˆ_M =194/625=0,310. 10

, 0

0 :p_H − p_M =

H versus H₁ :p_H −p_M ≠0,10 Estatística do teste:

M M M

H H H

M H

n p p

n p p

p Z p

ˆ ) 1 ˆ ( ˆ )

1 ˆ (

10 , ˆ 0 ˆ

+ −

−

−

= − . Sob H0, como os tamanhos

amostrais são grandes, Z ~ N(0,1).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−1,96[∪]1,96;+∞[.

Valor observado: 0,473 625

290 , 0 310 , 0 400

575 , 0 425 , 0

10 , 0 310 , 0 425 , 0

0 =

+ ×

×

−

= −

z . Como z₀ não pertence

à região crítica, não há evidências de que a afirmação do partido seja falsa.

Problema 30

B

H₀ :µA =µ versus H₁:µ_A ≠µ_B Estatística do teste:

B A

B A

n S n S

x T x

B A

2 2

+

= − . 81

2

=

=

A A

n

A s ; 192

2

=

=

B B

n

B s ;

( )

75 / 192 10 / 81

) 192 81 ( )

1 /(

) 1

/( ^{2 2}

2 2

2

2

+ ≈

= +

− +

−

= +

B

A B n

n A

B

ν A . Sob H0 , T ~t₁₃₂.

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−1,978[∪]1,978;+∞[.

Valor observado: 2,421

192 81

1230 1190

0 =−

+

= −

t . Como t₀ pertence à região crítica, concluímos que as lâmpadas produzidas pela fábrica B têm vida média populacional maior que as produzidas pela fábrica A.

Problema 31 (a)

Procedimento 1: X_i(nota da i-ésima criança submetida ao método A) e Y_i (nota da i- ésima criança submetida ao método B), i = 1, ..., 20 ;

Procedimento 2: D_i = X_i −Y_i, i = 1, ..., 20, ondeX_ie Y_isão as notas das crianças do i- ésimo par, submetidas aos métodos A e B, respectivamente.

(b)

Procedimento 1: H₀ :µ_X =µ_Y versus H₁:µ_X ≠µ_Y; Procedimento 2: H₀ :µD =0 versus H₁:µD ≠0. (c) As estatísticas dos testes são dadas por:

Procedimento 1:

20 20

2 2

Y

X S

S y T x

+

= − ; Procedimento 2:

SD

T = 20D .

(d) O procedimento 2, pois nesse caso controlamos um fator externo que pode interferir no aprendizado. Ou seja, se houver diferença entre os resultados dos dois métodos, essa diferença deve-se realmente aos métodos.

Problema 32

75 , 0 400 / ˆ_I =300 =

p ; pˆ_T =40/160=0,25 (a) H₀ :p_I = p_T versus H₁: p_I ≠ p_T

Estatística do teste:

T T T I

I I

T I

n p p n

p p

p Z p

ˆ ) 1 ˆ ( ˆ ) 1 ˆ (

ˆ ˆ

+ −

−

= − . Sob H0, como os tamanhos

amostrais são razoavelmente grandes, Z ~ N(0,1).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−1,96[∪]1,96;+∞[.

Valor observado: 12,344

160 75 , 0 25 , 0 400

25 , 0 75 , 0

25 , 0 75 , 0

0 =

+ ×

×

= −

z . Como z₀ pertence à região

crítica, concluímos que na cidade industrial a proporção de favoráveis ao projeto governamental é maior que na cidade turística.

(b) Seja N o número de pessoas em cada cidade e p a proporção de favoráveis ao projeto nas duas cidades.

5 , 2 0

25 , 0 75 , 0 2

ˆ ˆ ˆ

2

2 + = + =

= + ⇒

+ =

= ^{I T I T} p^I p^T

p p p N

Np p Np

00041 , 160 0

75 , 0 25 , 0 400

25 , 0 75 , 0 4 1 ˆ )

1 ˆ ( ˆ ) 1 ˆ ( 4 ) 1 ˆ ˆ (

) 1 ( ) 1 ( 4 1 4

) ˆ ( ) ˆ ) (

(ˆ

=

 

 × + ×

=



 



 − + −

=

⇒



 



 −

− + + =

=

T T T I

I I

T T T

I I I T

I

n p p n

p p p

ar V

n p p

n p p p

Var p

p Var Var

Logo: IC(p;90%)= pˆ±1,645 Var(pˆ) =0,5±1,645 0,00041 =]0,467;0,533[ Problema 33

4 ,

=17

xA ; sA² =3,6; xB =16,0; sB² =18,0.

Teste de igualdade de variâncias: H₀:σ²_A =σ_B² versus H₁:σ²_A ≠σ_B² Estatística do teste: W =S_B² /S_A². Sob H0, W ~ F(9;9).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;0,248[∪]4,026;+∞[.

Valor observado: w₀ =s²B/sA² =18,0/3,6=5,0. Como w₀ pertence à região crítica, rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias.

Teste de igualdade de médias: H₀ :µ_A =µ_B versus H₁:µ_A ≠ µ_B

Estatística do teste:

B A

B A

n S n S

X T X

B A

2 2

+

= − . 0,36

2

=

=

A A

n

A s ; 1,8

2

=

=

B B

n

B s ;

( )

9 / 8 , 1 9 / 36 , 0

) 8 , 1 36 , 0 ( ) 1 /(

) 1

/( ^{2 2}

2 2

2

2

+ ≈

= +

− +

−

= +

B

A B n

n A

B

ν A . Sob H0 , T ~t₁₂.

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−2,179[∪]2,179;+∞[.

Valor observado: 0,953

8 , 1 36 , 0

0 , 16 4 , 17

0 =

+

= −

t . Como t₀ não pertence à região crítica, não há evidências de que as resistências médias dos dois tipos de montagem sejam

diferentes. No entanto, no tipo cruzado (A) as resistências são mais homogêneas que no tipo quadrado (B).

Problema 34 2 ,

=14

xA ; sA² =6,17; x_B =11,8; sB² =4,94. (a)

Teste de igualdade de variâncias: H₀:σ²_A =σ_B² versus H₁:σ²_A ≠σ_B² Estatística do teste: W =S_A²/S_B². Sob H₀, W ~F(5;8).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;0,148[∪]4,817;+∞[.

Valor observado: w₀ =s²A/sB² =6,17/4,94=1,25. Como w₀ não pertence à região crítica, não rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias.

Teste de igualdade de médias: H₀ :µ_A =µ_B versus H₁:µ_A >µ_B Estatística do teste:

B A p

B A

n S n

X T X

1 1 +

= − . Sob H₀, T ~t₁₃.

Região crítica: Tomando α =1%, temos que RC =]2,650;+∞[.

Valor observado: 1,948

9 1 6 327 1 , 2

8 , 11 2 , 14

0 =

+

= −

t . Como t₀ não pertence à região crítica, não

há evidências de que a dieta A seja mais eficaz que a dieta B.

037 , 0 ) 948 , 1 ˆ =P(t₁₃ > = α

(b)

Dieta A A A A A A B B B B B B B B B

Ganho de peso 11 12 14 15 15 18 8 10 11 11 12 12 13 13 16

Postos 4 7 11 13 13 15 1 2 4 4 7 7 9,5 9,5 14

=62

WS ; 48

2 16 6 2

) 1 ) (

( = m N + = × =

W

E _S ;

71 , 70 14 60

15 12

9 6 12

16 9 ) 6

) ( 1 ( 12 12

) 1 ) (

(

1

3 × =

×

×

− ×

×

= ×

− − + −

=

∑

= e

i

i i

S d d

N N

mn N

W mn Var

B

H₀ :µA =µ versus H₁:µ_A >µ_B Estatística do teste:

) (

) (

S S S

W Var

W E

Z =W − . Sob H₀, Z ~ N(0,1), aproximadamente.

Região crítica: Tomando α =1%, temos que RC =]2,326;+∞[. Valor observado: 1,665

71 , 70

48 62

0 − =

=

z . Como z₀ não pertence à região crítica, não há evidências de que a dieta A seja mais eficaz que a dieta B.

048 , 0 ) 665 , 1 (

ˆ = P Z > = α

Problema 35

2 1 0 :µ =µ

H versus H₁:µ₁ <µ₂ Estatística do teste:

2 1

2 1

1 1

n S n

x T x

p +

= − . Sob H0, T ~t₁₈.

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]−∞;−1,704[.

Valor observado: 1,627

10 1 10 123 1 , 4

83 80

0 =−

+

= −

t . Como t₀ não pertence à região crítica, não

há evidências de que a média da primeira população seja menor.

Problema 36 15 ,

=8

xN ; sN² =1,34; x_C =7,25; sC² = 3,01. Teste t

Teste de igualdade de variâncias: H₀:σ_N² =σ_C² versus H₁:σ_N² ≠σ_C² Estatística do teste: W =S_C² /S_N². Sob H0, W ~ F(9;9).

Região crítica: Tomando α=5%, temos que RC =]0;0,248[∪]4,026;+∞[.

Valor observado: w₀ =sC² /s²N =3,01/1,34=2,26. Como w₀ não pertence à região crítica, não rejeitamos a hipótese de igualdade de variâncias.

Teste de igualdade de médias: H :µ =µ versus H :µ >µ

Estatística do teste:

C N p

C N

n S n

X T X

1 1 +

= − . Sob H0, T ~t₁₈.

Região crítica: Tomando α = 5%, temos que RC =]1,734;+∞[.

Valor observado: 1,365

10 1 10 475 1 , 1

25 , 7 15 , 8

0 =

+

= −

t . Como t₀ não pertence à região crítica,

não há evidências de que o novo método tenha nota média maior.

095 , 0 ) 365 , 1 ˆ=P(t₁₈ > =

α .

Teste de Wilcoxon

Método C C C C C C C C C C

Notas 4,5 5,0 6,5 6,5 7,5 7,5 7,5 8,0 9,5 10,0 Postos 1 2 4 4 9,5 9,5 9,5 12,5 17,5 19,5

Método N N N N N N N N N N

Notas 6,5 7,0 7,0 7,5 8,0 8,5 8,5 9,0 9,5 10,0 Postos 4 6,5 6,5 9,5 12,5 14,5 14,5 16 17,5 19,5

=121

WS ; 105

2 21 10 2

) 1 ) (

( = m N + = × =

W

E _S ;

50 , 172 19 114

20 12

10 10 12

21 10 ) 10

) ( 1 ( 12 12

) 1 ) (

(

1

3 × =

×

×

− ×

×

= ×

− − + −

=

∑

= e

i

i i

S d d

N N N mn

W mn Var

C

H₀:µN =µ versus H₁:µ_N >µ_C Estatística do teste:

) (

) (

S S S

W Var

W E

Z =W − . Sob H₀, Z ~ N(0,1), aproximadamente.

Região crítica: Tomando α = 5%, temos que RC =]1,96;+∞[. Valor observado: 1,218

50 , 172

105 121

0 − =

=

z . Como z₀ não pertence à região crítica, não há evidências de que o novo método tenha nota média maior.

112 , 0 ) 218 , 1 (

ˆ= P Z > = α

Problema 37

2 ) 1 2 (

1+ + + = +

=

+ N N

N W

W_{R S} L .

Problema 40

Em elaboração

Problema 41

Em elaboração