• Problemas de Otimização

(1)

Otimização Matemática e Aplicações

Socorro Rangel

Departamento de Ciências da Computação e Estatística e-mail: socorro@ibilce.unesp.br

(2)

Sumário

• Problemas de Otimização

• Aplicações:

– Indústria de Móveis

– Indústria de Refrigerantes

• Ferramentas Computacionais

(3)

Motivação

"Existem duas maneiras de aumentar a eficiência de uma loja, empresa, ou indústria. Uma delas requer a melhoria tecnológica, isto é, atualização dos equipamentos, mudança no processo tecnológico, descoberta de novos e melhores tipos de matéria prima.

A outra maneira, até hoje muito menos utilizada, envolve melhorias na organização do planejamento e da produção. Isto é, melhorias no processo de distribuição do trabalho entre as máquinas da empresa, distribuição de matéria prima, combustível, entre outros fatores."

(Kantorovich (1939) in Dantzig, 1963, pg 22)

(4)

Motivação

 Por que usar modelos matemáticos para auxiliar a tomada de decisão?

– Solução matemática X solução impírica – Melhor entendimento da empresa

– Ferramenta de apoio a tomada de decisão

(5)

Elementos de um modelo de otimização

DECISÕES

Identificar as possíveis soluções (decisões)

Definir Variáveis de Decisão OBJETIVOS

Definir critérios de avaliação capazes de indicar que uma decisão é preferível a outras

Definir Função Objetivo RESTRIÇÕES

Identificar quais as restrições que limitam as decisões a serem tomadas Definir Conjunto de Equações ou Inequações

(6)

Forma Geral de um Modelo de Otimização

min ou max (função objetivo) sujeito a

(restrições principais - equações ou inequações) (tipo das variáveis de decisão)

Classes de Modelos de Otimização

• Linear contínuo

• Linear Inteiro

• Não linear

• Misto

(7)

Modelo de Otimização Linear











ou , , ser pode

~ onde

0 ,...

,

~ ...

...

~ ...

...

~ ...

...

a sujeito

...

max) min(

2 1

2 2 1

1

2 2

22 1

22

1 1

1 2

12 1

11

2 2 1

1

n

m n

mn p

mp m

m

n n p

p

n n p

p

n n

x x

x

b x

a x

a

b x

a x

a

b x

a x

a

x c x

c x

c z

ou

Inteiro Misto

, inteiras

x

p

x

x , ,...

,

₁ ₂

(8)

O Problema da Mochila

• elementos conhecidos:

– um conjunto de itens

– peso e valor de de cada item

– Capacidade da Mochila (peso máximo)

• elementos desconhecidos: um subconjunto de itens a serem incluidos na mochila cuja soma dos pesos é menor ou igual que a capacidade da mochila

• Objetivo: encontrar o subconjunto de itens com o maior valor possível

(9)

Modelo de Otimização Inteira

Sujeito a

10 4

5 3 x

₁

 x

₂

 x

₃



3 2

1

10 10

40 z

max  x  x  x

1 ou 0

, ,

₂ ₃

1

x x 

x

possíveis soluções! Como encontrar a solução ótima?

2 n

O Problema da mochila

n 1,..., j

1 /

0 

j  x

C x

p x

p

₁ ₁



₂ ₂

 ... 

_n _n

 Sujeito a

n n

x v x

v x

v   

 ...

z

max

₁ ₁ ₂ ₂

(10)

Enumerar as Soluções: é Sempre Possível?

n 2

ⁿ

3 8

5 32

10 1024

100 1.26 x 10

³⁰

Computador:

1 solução 1s

1.26x10

³⁰

soluções ~4 x 10

²²

anos!!!!

O que fazer

então?

(11)

Como podemos ver, tentar resolver os problemas de otimização inteira pelo método de enumeração completa é inviável.

Precisamos de técnicas mais avançadas:

• Enumeração implícita (branch and bound)

• Geração de Colunas (inclusão de variáveis)

• Planos de corte poliédricos (inclusão de inequações)

• Heurísticas

• Combinação dos Métodos acima (branch-cut- and price).

Métodos de Solução de problemas de

Otimização Inteira Mista

(12)

Aplicações

Problemas de Corte e empacotamento

(Cutting and Packing Problems)

(13)

Panorama da indústria moveleira

• Forte dispersão geográfica, porém concentrada em pólos regionais localizados principalmente nas regiões Sul e Sudeste do país

•Pólo de Votuporanga-SP: empresas de pequeno e médio porte, móveis retilineos.

• Matéria prima principal: painéis de madeira - compensados, aglomerados e chapas de fibras comprimidas (MDF- Médium-Density Fiberboard)

Planejamento da Produção: Corte de

Matéria Prima na Indústria de Móveis

(14)

O processo de produção de um móvel

1 – Corte da matéria prima: problema de corte de estoque bidimensional

390^x110^x12 (6) 450^x132^x15 (3)

600^x440^x15 (2)

370^x110^x12 (3)

388^x377^x03 (3) 410^x383^x03 (3)

445^x213^x03 (4)

2 - furação, colagem, pintura

3 – Os itens são agrupados, empacotados e aramazenados -Armazenamento de itens cortados deve ser evitado

- Espaço limitado para armazenar produto final^.

objetos

item

(15)

Tipo de Corte

Guilhotinado ortogonal em até três estágios

1º

2º

3º

(16)

A serra

Ajuste de acordo com

a largura da faixa ajuste de acordo com o comprimento

do item Capacidade da serra – corte de varios

objetos simultaneamente (até 60mm de

espessura)

(17)

Solução clássica

• Sistema Cortebi - Método Simplex com geração de colunas; Padrões de corte em dois estágios de Gilmory e Gomory (1965).

• Se mostrou útil como um sistema de apoio a decisão devido a rapidez e qualidade da solução

• Resolveu exemplares do problema com até 20 itens em menos que dois segundos e com perda total entre 3,07% e 5,27% . A indústria aceita até 6%.

Rejeitado (perda 4,19%) Aceito (perda 2,73%)

(18)

Padrão Tabuleiro

(ou 1-grupo) 1^o estágio - faixas 2^o estágio – faixas são cortadas simultaneamente

Padrões de corte n-grupos

•As faixas obtidas no primiro estágio são agrupadas e cortadas simultaneamente no segundo estágio

•Os padrões 1-grupo posuem baixo custo operacional e podem ser identificados como subpadrões nos padrões de corte utilizados pela indústria.

Padrão de corte da indústria Subpadrão tabuleiro

(19)

Heuristica para gerar padrões tabuleiros compostos

1 2 2 B

A

1 2 2 B

Remoção

A

de faixas

(20)

Estudo Computacional

Máquina:

PC AMD-Athlon 2200, 256 RAM

Software: XPressMP Suite

Exemplares: Produtos fabricados com itens (objetos) de

diferentes espessuras (3, 6, 15,18, 20, e 25mm). Um problema de

corte de estoque para cada tipo de objeto.

(21)

Usados pela Industria Gerados pela heuristica

03mm12mm15mm

Resultados 1: Padrões de corte para P1

(22)

Produto Heuristica Industria

Nr.

Pad. Nr.

Obj perda Nr.

Pad. Nr.

Obj perda

P1 8 142 4,2% 6 143,5 4,3%

P2 16 240 4,3% 12 240 4,5%

P3 33 236 4,9% 27 240 4,9%

Total 57 618 4,5% 45 624 4,6%

Resultados 2: 1 lote de cada produto

(23)

Aplicações

Problemas Integrados de dimensionamento e sequenciamento de lotes (Lot-scheduling Problems)

(24)

• Várias linhas de produção

• Vários tanques para armazenamento de líquido

• Garrafas recicláveis e descartáveis

• Refrigerantes em diversos sabores e tamanhos

Planejamento da Produção na Indústria de

Bebidas

(25)

Uma linha de produção

(Empresa de Médio porte na região de S. J. do Rio Preto)

• Esteira rolante

• Máquinas alinhadas em série

• lavar garrafas

• encher

• fechar

• rotular

• empacotar

(26)

A unidade de produção

Determinar a quantidade e a ordem de

produção de refrigerantes de forma a satisfazer a demanda do mercado, com objetivo de minimizar os custos de

produção,

armazenamento e preparo de

máquinas.

..

.

Estágio I – Xaroparia

Linha de produção 1 Linha de produção 2 ^... Linha de produção m

Estágio II - Envase Propocionador (Bebida) Tanque

Concen- trados, aromas, essências e sucos

água

(27)

Atraso da linha Atraso do tanque

Linha (Envase de refrigerantes) Tanque (Preparo do xarope para produção do refrigerante)

Estágio I Estágio II

Linha m Tanque m

5

3 3 4

1 2

d

c c

a b

Sincronizado

Subp. 1 Subp. 2 Subp. 3 Subp. 4 Subp. 5 Subp. 6

d

Tanque m

Linha m

a b c c d d

1 2 3 3 4 5

Não sincronizado

Subp. 1 Subp. 2 Subp. 3 Subp. 4 Subp. 5 Subp. 6

Tempo troca

i para j k para l

Desafio: Sincronia no Processo de Produção

(28)

Modelo Dois Estágios Multi-Máquinas (P2EMM - Otimização Inteira Mista)

•Demanda dos refrigerantes (itens);

•Tempos de produção;

•Tempos de troca de itens nas linhas de produção;

•Capacidade das Máquinas;

•Tempos de troca de xarope no tanque;

•Capacidade dos tanques;

•Quantidade de xarope utilizada em cada item;

•Custos: estoque, troca de item, troca de xarope;

Elementos Conhecidos

Restrições

•Fornecimento dos xaropes necessários para produção;

•Capacidade dos tanques;

•Troca de xarope nos tanques;

• troca de itens nas linhas;

•Capacidade da linha (tempo de produção);

•Atendimento da demanda;

•Sincronia entre preparo de xarope e envase do líquido

Critério de Otimização

•Minimizar os custos de estoque, atraso, custo de troca de itens nas linhas e xarope nos tanques;

•Estágio I – xaroparia: 8 classes de restrições

•Estágio II – envase: 8 classes

•de restrições

(29)

•Computador: Pentium 4, 1.0 Gb de RAM, 3.2 Ghz 256 Mb

•Software: AMPL/CPLEX 10.0.

• 15 exemplares (2 linhas de envase, 2 máquinas, 23 tipos de itens, 18 tipos de xaropes)

•Total de variáveis variáveis binárias restrições 86.359 4.575 86.140

•Métodos de solução

•Branch and cut (CPLEX)

•Estratégia de Decomposição (ED)

•Estratégia de Relaxação (ER)

•Heuristica relax and fix (RF)

Estudo Computacional

(30)

Resultados

• O modelo P2EMM mostrou-se útil na representação do problema de programação da produção de refrigerantes.

• A resolução de exemplares deste modelo mostrou as limitações dos sistemas de última geração disponíveis atualmente (Gap > 98% , 4 horas de cpu)

• Necessidade de se buscar métodos específicos de solução que explorem a estrutura combinatória do problema.

• Combinação ER + RF gerou soluções melhores que a

fornecida pela Fábrica (26,3%).

(31)

Ferramentas Computacionais

• Comerciais - Versão de estudante

XPRESS: http://www.dashoptimization.com/

MPL: http://www.maximal-usa.com/

AMPL: http:www.ampl.com/

(acompanha sistema de resolução: e.g. CPLEX, LINDO)

•Não Comerciais

CLP (COIN-OR Linear Program Solver) http://www.coin-or.org/Clp/

LPSOLVE - http://lpsolve.sourceforge.net/5.5/

ZIMPL - http://www.zib.de/koch/zimpl/

(32)

Publicações Selecionadas

1. RANGEL, S. . Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira. 1. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC, 2005. 82 p.

2. RANGEL, S. ; LEMOS, Renato Brigido . Manual do sistema CorteBI - Interface Gráfica. São José do Rio Preto,: Departamento de Ciências de Computação e Estatística - DCCE/UNESP, 2007 (Relatório Técnico).

3. RANGEL, S. ; FIGUEIREDO, A. . O problema de corte de estoque em indústrias de móveis de pequeno e médio porte 2007 (Relatório Técnico - Submetido para publicação).

4. MOSQUERA, Gabriela Perez ; RANGEL, S. . Minimização do número de ciclos da serra no problema de corte de estoque 2007 (Relatório Técnico - Submetido para publicação).

5. FERREIRA, D. ; MORABITO, R. ; RANGEL, S. . Abordagens de solução para o problema integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes de produção de refrigerantes com dois estágios e múltiplas máquinas 2007 (Relatório Técnico - Submetido para publicação).