O trabalho também mostra que há utilidade para interpolação e ajuste de curvas usando o método dos mínimos quadrados no ensino médio, que pode ser enriquecido pela modelagem de problemas cotidianos. No trabalho foi realizada uma análise temporal por interpolação e ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados de algumas situações da cidade de Iporá, localizada no estado de Goiás. Realizar análise temporal de problemas diários em Iporá com interpolação e ajuste de curvas;
Concepções sobre Modelagem Matemática
Assim, todos esses fatores apontam para a modelagem matemática como um processo rico e criativo, que deve ser valorizado pelos diferentes aspectos favorecidos por esta prática educativa. A modelagem matemática é recomendada na tentativa de superar a crise no ensino, pois é capaz de responder à questão que dificulta o processo de ensino e aprendizagem da matemática: Por que devo aprender isso? Assim, a modelagem matemática é um método de ensino, pois é dada ao aluno a oportunidade de estudar situações-problema por meio de pesquisas, desenvolvendo seu interesse e aguçando seu senso crítico.
Modelo Matemático
Dentro desta perspectiva, a modelagem matemática está focada na possibilidade de envolver os alunos em um ambiente capaz de investigar situações que surgem na realidade, mas não apenas para problematizar, mas, fundamentalmente, para que haja a possibilidade de questioná-la e tirar conclusões através da matemática. . .
Entraves apontados para o uso da Modelagem Matemática
Os alunos estão acostumados a ver o professor como um transmissor de conhecimento e, quando colocado no meio do processo de ensino-aprendizagem, como responsável pelos resultados obtidos e pela dinâmica do processo. Muitos professores não se sentem capacitados para desenvolver a modelagem em seus cursos, por desconhecimento do processo ou medo de se envergonharem com as aplicações da matemática em áreas com as quais não estão familiarizados. Uma das formas é resolver o sistema linear obtido anteriormente, formas de resolver este sistema podem ser encontradas em [7] e [9].
Método de Lagrange
- Cálculo Sistemático para o Método de Lagrange
- Erro na Interpolação
- Interpolação Linear
- Lagrange para Pontos Igualmente Espaçados
O esquema prático de interpolação de Lagrange calcula o valor do polinômio de interpolação em um ponto (não tabulado) sem determinar a expressão do polinômio. É o erro no ponto x quando a função é substituída pelo seu polinômio de interpolação calculado em x. Esta forma do polinômio de interpolação é particularmente útil para determinar fórmulas para integração numérica de funções.
Outras Formas do Polinômio Interpolação
Método de Newton
Para obter a fórmula de Newton para o polinômio de interpolação, devemos primeiro definir algumas funções. Tal como no caso de Lagrange, existe um esquema prático para calcular o valor do polinómio de interpolação num ponto, não incluído na tabela, sem determinar a expressão do polinómio. Finalmente, para um polinômio de grau n: αn=Pn(x)'f(x). 33) Este resultado permite avaliar o comportamento da derivada de ordem n + 1 de uma função y=f(x) (supondo que exista) através das diferenças distribuídas de ordem n+1 desta função no intervalo [ a, b].
Então ao analisar uma tabela de diferenças divididas de uma função, se as diferenças de ordem k forem praticamente constantes, significa que a função está muito próxima de um polinômio de grau k.
Método de Newton-Gregory
Consideremos então a construção deste polinômio de interpolação quando o argumento nexi é igualmente distribuído através de h=xi+1−xi, dentro de n−1. Porém, podemos calcular diferenças ordinárias de uma função de uma forma mais simples, como mostraremos a seguir. Como no caso das diferenças divididas, os resultados a serem utilizados para construir o polinômio de interpolação, para argumentos iguais de h, são os primeiros valores de cada coluna de diferença, embora devamos construir a tabela inteira, pois novamente, os valores não são independentes um do outro.
A relação entre as diferenças divididas de ordem n e as diferenças ordinárias de ordem n de uma função f(x) é dada pelo seguinte resultado. Esta forma do polinômio de interpolação é conhecida como Método Newton-Gregory de Polinômio de Interpolação [15]. Podemos observar que as diferenças de ordem comuns de um polinômio de grau n da forma: Pn(x) = anxn+an−1xn−1+· · ·+a1x+a0 são iguais a an!hnan.
Portanto, vimos nesta seção que a interpolação permite a aproximação de um valor de x ∈ [a, b] através de um polinômio interpolador sobre uma função f(x) ou mesmo pontos tabulados. Mas se quisermos encontrar um valor aproximado para algum x que não pertence ao intervalo [a, b], é mais conveniente usar o Ajuste de Curva. Portanto, a próxima seção tratará do assunto ajuste de curvas e em particular do método dos mínimos quadrados.
Portanto, precisamos ajustar essas funções tabuladas com uma função que seja uma aproximação dos valores tabulados e nos permita extrapolar com alguma confiança.
Caso Contínuo
Método dos Quadrados Mínimos
- Caso Discreto
- Caso Contínuo
- Caso Não Linear
- Teste de Alinhamento
- Cálculo do Erro no Método dos Quadrados Mínimos
Quando aplicamos o Ajuste de Curva pelo método dos Mínimos Quadrados, é possível determinar o erro analisando o resíduo r. Na próxima seção serão feitas aplicações de ajuste de curvas utilizando o método dos mínimos quadrados e será apresentado o valor do erro através do resíduo em cada um. As Seções 3 e 4 mostraram os aspectos teóricos de Interpolação e Ajuste de Curvas utilizando o método de mínimos quadrados.
A ideia é conscientizar sobre o crescente número de mortes e mostrar que a matemática, por meio do ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados, pode ser uma ferramenta para uma análise provisória do problema. O objetivo é mostrar uma expectativa do número de mortes por câncer na cidade de Iporá nos próximos anos. Assim, após pesquisa no site do Ministério da Saúde, foram coletados os dados apresentados na Tabela 5 referentes ao número de mortes por câncer nos últimos anos, no município de Iporá.
Utilizando o ajuste da curva de mínimos quadrados e observando o gráfico de dispersão, concluímos que os pontos tabulados devem ser ajustados por uma função linear, ou seja, ϕ(x) =α1+α2x. Agora com os dados tabulados do número de mortes por câncer em Iporá, modelados pela função ϕ(x) = 1,9396x+ 12,5, daremos uma perspectiva para o número de mortes por câncer na cidade nos próximos anos. Por exemplo, podemos prever uma aproximação para o número de mortes por câncer em Iporá nos anos de 2020 e 2050.
Porém, com a função de aproximação ϕ(x) = 1,9396x+ 12,5, podemos fazer uma estimativa do número de mortes por câncer em Iporá nos próximos anos.
Número de Alunos no Ensino Básico em Iporá
No início mencionamos que os dados transmitiram a impressão de diminuição de alunos da Educação Básica em Iporá. Após realizar a análise temporal através do método dos Mínimos Quadrados, percebemos que há de facto um declínio no número de alunos no Ensino Básico e é provável que continue a ocorrer. Agora com os dados tabulados do número de alunos da Educação Básica em Iporá, modelados pela função ϕ(x x), pode-se fazer uma perspectiva para o número de alunos da Educação Básica em Iporá.
Vamos prever, por exemplo, uma boa aproximação para o número de alunos da Educação Básica em Iporá nos anos de 2015, 2020 e 2025. Depois, fazendo as alterações necessárias, encontramos os valores para o número de alunos da Educação Básica em Iporá nos anos desejados, conforme tabela 14. Portanto, utilizando a função de aproximação ϕ(x) =−210,215x é possível fazer uma estimativa para o número de alunos da educação básica em Iporá nos próximos anos.
Observando os dados obtidos sobre o número de alunos da Educação Básica em Iporá, percebemos que foram apresentadas informações sobre os anos e 2012. Então, vamos tentar responder à questão levantada sobre o número de alunos nos anos e 2011 por Interpolação. Determinado o Polinômio de Interpolação de Lagrange (57), podemos encontrar uma aproximação para o número de alunos da Educação Básica na cidade de Iporá nos anos e2011.
Para calcular o número de alunos do ensino básico em 2011, utilizaremos o esquema prático do método de Lagrange.
Crescimento da frota de veículos de Iporá
Ajustando a curva pelo método dos mínimos quadrados e observando o diagrama de dispersão, concluímos que os pontos tabulados podem ser ajustados com uma função exponencial, ou seja, uma função do tipo ϕ(x) = α1αx2. Deve-se lembrar que o objetivo do método dos mínimos quadrados é aproximar uma função ou dados tabulares com uma família linear de parâmetros. Portanto, precisamos linearizar o problema com uma transformação conveniente para usar o método dos mínimos quadrados.
Pois com a função obtida pelo Ajuste de Curvas pelo método dos Mínimos Quadrados é possível encontrar aproximações para a quantidade de veículos na cidade em anos futuros. Como já mencionado, hoje o trânsito é um dos problemas da cidade de Iporá e um dos grandes entraves nesse contexto decimal do trânsito de Iporá é o forte crescimento da frota de veículos. É preciso lembrar que atrelado ao crescimento da frota de veículos está o problema da poluição ambiental.
Fica evidente que esse aumento da frota causado por diversos fatores, como a facilidade de adquirir um veículo por meio de financiamento, é um fator positivo em outros aspectos para a sociedade. Porém, esse aumento significativo da frota exige atitudes das autoridades e da sociedade para mitigar os transtornos causados por esse maior número de veículos. Por exemplo, é preciso buscar alternativas para o problema do estacionamento no centro da cidade.
Nesse sentido, a matemática, por meio do Ajuste de Curvas, pode contribuir para a conscientização dos governos e de toda a sociedade iporã sobre a necessidade de novas medidas e atitudes para lidar com esse crescimento da frota.
Produto Interno Bruto de Iporá
A função encontrada com o Ajuste de Curvas pelo método dos Mínimos Quadrados permite estimar o PIB da cidade de Iporá nos próximos anos. Cientes da importância da água e também do uso racional que devemos fazer dela, faremos uma análise temporária do consumo de água na cidade de Iporá. Utilizando a matemática como ferramenta através do Ajuste de Curvas pelo método dos Mínimos Quadrados, forneceremos algumas perspectivas para o consumo de água nos próximos anos no município.
Desta forma, obtivemos dados da concessionária (ver tabela 24) sobre o consumo de água na cidade de Iporá. Usando ajuste de curva de mínimos quadrados e análise de gráfico de dispersão, concluímos que os pontos tabulares podem ser ajustados com uma função linear, ou seja, ϕ(x) = α1+α2x. Por fim, temos a função de aproximação (85) que modela o consumo anual de água na cidade de Iporá.
Com esta função podemos realizar uma análise temporal do consumo de água na cidade para os próximos anos. E analisando os dados e a função de aproximação, percebemos que a função está aumentando, portanto o consumo de água na cidade também está e provavelmente continuará a crescer. A introdução de modelos como este do uso da água urbana no processo de ensino e aprendizagem fortalece a relação entre teoria e prática, aumentando o interesse e a motivação dos alunos para aprender.
Ajustando curvas pelo método dos Mínimos Quadrados e avaliando o gráfico de dispersão, entendemos que os pontos em forma tabular podem ser ajustados por uma função linear, ou seja, ϕ(x) = α1+α2x. Neste momento, a matemática por ajuste de curvas pelo método dos mínimos quadrados é uma excelente forma de mostrar e alertar sobre o declínio da população de Ipora. Novamente, a matemática por ajuste de curvas utilizando o método dos mínimos quadrados favorece discussões críticas sobre um problema de natureza social.
