XXIV Congresso de Iniciação Científica
Série de Puiseux associada a uma curva algébrica plana.
Rafaela Soares de Carvalho, Michelle Ferreira Zanchetta Morgado (orientadora), Instituto de Biociên- cias, Letras e Ciências Exatas, campus de São José do Rio Preto, curso: Matemática,
email: rafaela_sc_@hotmail.com, bolsa de iniciação científica da FAPESP.
Palavras Chave: curvas, poliedro de Newton.
Introdução
Neste trabalho, dada uma curva algébrica plana X, descrevemos o método para a obtenção da série de Puiseux associada a X. Uma importante aplicação deste processo é no caso onde a curva possui pon- tos singulares. Ele é utilizado para obter uma resolu- ção de singularidades da curva, ou seja, encontrar uma curva não singular Y que mantém de uma certa maneira propriedades boas de X.
Material e Métodos
A metodologia utilizada baseou-se em estudos indi- viduais, reuniões semanais e pesquisas bibliográfi- cas.
Resultados e Discussão
Definição: Uma curva algébrica plana X é o conjun- to dos pontos
(
x,y)
em C2 tais que f(x,y)=0, para algum polinômio não constante f em C[x,y].Definição: Para cada termo aijxiyj de f ∈C[x,y], marcamos o ponto ( ji, ) no plano. Traçamos em seguida aqueles segmentos ligando dois ou mais destes pontos, com a propriedade de que a reta determinada isola os demais pontos do semiplano oposto ao da origem. Definimos por poliedro de Newton de f , denotado por Γf, a fronteira deste conjunto.
Para cada segmento do poliedro de Newton temos uma equação de reta da forma x+miy=ni. Seja
} {mi
=mín
µ . Denotemos por γ =nkonde µ=mk. Dizemos que
µ
eγ
são os números associados ao poliedro de Newton de f .Exemplo: Seja f(x,y)=y4−2x3y2−4x5y+x6−x7. Temos o seguinte poliedro de Newton:
Método de Newton
Dado f∈C[x,y], vamos descrever a construção de uma sequência f1,,...,fn,... obtida indutivamente através dos respectivos poliedros de Newton.
Associado ao poliedro de Newton de f temos os números µ0 e γ0 com µ0 =p0/ q0 e mdc(p0,q0)=1. Desta forma, f0(x.y)= f0*(x,y)+h0(x,y) onde
β α γ β µ α
αβx y a y
x
f
∑
= +
=
0 0
) ,
*(
0 e α β
γ β µ α
αβx y a y
x
h
∑
>
+
=
0 0
) ,
0( .
Temos que f0*(x,txγ0)=xγ0g0(t). Seja t0 uma raiz de g0(t). Seja f1(x1,y1) tal que
) , ( ))
( ,
(x10 x1 0 t0 y1 x10 0f1 x1 y1
f q p + = γ q .
Associado ao poliedro de Newton de f1 temos os números µ1 e γ1 com µ1= p1/ q1 e mdc(p1,q1)=1 e da mesma maneira obtemos t1=1 e f2(x2,y2). Indutivamente, por esse processo no passo n+1 se constrói o poliedro de fn e obtém os números µn e
γn com µn = p /n qn e mdc(pn,qn)=1.
Teorema. Para qualquer equação da forma 0
) , (x y =
f com f em C[x,y], existe i0∈N tal que ...
1 0 2 0 1 0 0 1 0
0 / /
2 / 1
0 + + +
=t x t x + q t x + q+ qq
y µ µ µ µ µ µ é uma
solução formal, onde os índices e coeficientes vem da construção anterior. Esta série é chamada de série de Puiseux associada a f .
Exemplo. Seja f(x,y)=y4−2x3y2−4x5y+x6−x7.
Temos µ0=3/2, γ0 =6 com
6 2 3
* 4
0 (x,y) y 2x y x
f = − + e f0*(x,tx3/2)=x6(t4−2t2+1). Podemos tomar t0=1.
Assim, f(x12,x13(1+y1))=x112f1(x,y) e
2 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1
1(x,y) y 4y 4y 4xy 4x x
f = + + − − − . Temos
2 /
1=1
µ e γ1=1 onde f1*(x1,y1)=4y12−4x1 e )
4 4 ( ) ,
( 1 2
2 / 1 1 1
*
1 x tx =x t −
f . Podemos tomar t1=1.
Portanto, uma solução para f é y=x3/2+x7/4.
Conclusões
Este trabalho possibilitou o estudo de importantes tópicos de geometria algébrica e o aprendizado de um método importante na resolução de problemas em Teoria de Singularidades.
Agradecimentos
Agradeço ao apoio financeiro da FAPESP, processo:
2011/23722-6.
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1 Barbosa, G.F. Singularidades de curvas irredutíveis planas, Disserta- ção de Mestrado, ICMC-USP 2004.
2 Vainsencher, I, Introdução as curvas algébricas planas, Coleção Matemática Universitária, 3 ed., Rio de Janeiro, IMPA, 2009.
