Sistemas quânticos abertos fora do equilíbrio

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Sistemas quânticos abertos fora do equilíbrio

Gabriel T. Landi

Universidade Estadual de Londrina

20 de maio de 2016

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Sistemas abertos: atrito/viscosidade

◆ Perguntassimplesasvezespossuemrespostascomplicadas.

◆ Estamosacostumadosalidarcomoatrito/viscosidadenamecânicaclássica.

◆ Porexemplo,a2aleideNewtonparaumparaquedistapodeserescritacomo m dv

dt =mg -γv

◆ Estaéumafórmulaempírica.

◆ Inclusive,sabe-sequeemaltasvelocidadeseladeixadeserválida.

◆ Dopontodevistadaengenharia, nãohámuitoproblema.

◆ Aodesenharumavião,usamosumprogramaquetemtabeladovaloresdaviscosidadedo arparadiferentesmateriaisegeometrias.

◆ Masdopontodevistadafísica,comopodemosentenderesteefeito?

◆ Esteéoobjetivodafísica,assimcomotodasasoutrasciênciasnaturais:entender.

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Do micro ao macro

◆ Paraentenderaviscosidade,precisamosolharparaomundomicroscópico.

◆ Sabemoshojequeaviscosidadetemorigem nainteração(eletrostática)entreonosso materialeasmoléculasdoar.

◆ Écomoumursosendopicadoporabelhas.

◆ Apicadadeumaúnicaabelhapodeserirrelevante,mas apicadadediversasabelhasproduz umefeitomacroscópico.

◆ Fenômenoemergente.

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Dissipação e flutuação

◆ Aviscosidade(dissipação)énaverdadeumaspectodeumfenômenomaisgeral.

◆ Quandoumsistemaésuficientementepequeno,os"chutes"decadamoléculapodemser suficientesparaproduzirdeslocamentosobserváveis.

◆ Movimentobrowniano(video)

◆ Descobertoporumbotanista,RobertBrown,em1827.

◆ Oscilaçõesincessantesdegrãosdepólenemlíquidos.

◆ Ocorrecomtodososmateriais;

◆ Masemmateriaismacroscópicosasflutuaçõessetornammuitopequenaseobservamos apenasaviscosidade.

◆ OmovimentoBrownianoéoexemplomaisfamosodeumprocessoestocástico.

◆ Evoluçãotemporalcomfatoresaleatórios.

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Sistemas quânticos abertos

◆ Quemjáestudoumecânicaquânticacertamentepercebeuqueemnenhummomentohá atritonosistema.

◆ Descreveroatritonamecânicaquânticaémuitomaisdifícil.

◆ Exemplomaissimples:osciladorharmônico.

◆ Níveisdiscretosdeenergia:En = ℏω(n+1/2)

x V(x)

◆ Adinâmicadestesistema,quandosujeitoaumatrito,ocorreatravésdetransiçõesentreos níveiseletrônicos.

◆ Processoestocásticoquântico.

(6)

� � ��

����[�]� ��→ �

�� →��

��→ ��→�� � ��→�� →��

��→{�� }� ��→{{�� }�{-�� [�]}}�

��→�� → �

��→  � ��[●�{�� [�]〚��〛}]

(7)

Emissão e absorção

◆ SejaN onúmeromédiodequantanoosciladorharmônico[lembre-se:En = ℏω(n+1/2)]

◆ Astaxasdetransiçãosão

Prob(n→n+1) = ΔtN (n+1) Prob(n→n-1) = ΔtN +1n

◆ n→n+1significaabsorção.

◆ Oosciladorabsorveumfótonepulaparaumnívelexcitado.

◆ n→n-1significaemissão.

◆ Osistemaemiteumfótonecaiparaumnívelinferior.

◆ Quandon=1→emissãoespontânea:

♢ Osistemanaturalmentedecaidoestadon=1 → n=0.

◆ Masquandon>1→emissãoestimulada:

♢ Quantomaiorn,maioraprobabilidadedeemissão.

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Formalismo de Lindblad e segunda quantização

◆ Existemdiversasformasdedescreversistemasquânticosabertos.

◆ AminhafavoritaéaformadeLindblad,queébaseadanadiscussãoanteriorsobreo osciladorharmônico.

◆ Onúmeronqueaparecianoosciladorharmônicopassaarepresentaro númerode partículasemumcertoestado.

◆ Porexemplo,podemosfalaremnpquerepresenta“onúmerodepartículascommomento p”

◆ Adescrição dosistemaéentãofeitadescrevendocomoestesnúmerosdeocupaçãoevoluem notempoecomoosdiferentesestadosinteragemunscomosoutros.

◆ Essateoriasechamasegundaquantização.

◆ Elaéabaseparaafísicadamatériacondensadaeafísicadepartículas.

♢ Todososestudantesdeviamaprendersegundaquantizaçãonocolegial!!

◆ OformalismodeLindbladéumamaneiradedescreveratrocadepartículaseenergiaentre osistemaeoambiente.

◆ ÉimportantediferenciarentreBósonseFérmions:

◆ Férmions:possuemspinsemi-inteiro.Satisfazemo princípiodaexclusãodePauli

♢ ni = 0 ou 1

◆ Bósons:possuemspininteiro.NãosatisfazemoPEP.

♢ n_i = 0, 1, 2, 3, ...

◆ Detalhetécnico(nãosaiamcorrendo!):

◆ NoformalismodeLindbladmodificamosaeq.devonNeumman,adicionandoumtermo quedescreveoacoplamentocomoambiente.

dρ

dt = -i[H, ρ] + D(ρ) D(ρ) = γ _α 1± Nα aαρaα† - 1

2 {aα†aα, ρ}+Nαaα†ρaα - 1

2 {aαaα†, ρ}

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Aplicações para sistemas fora do equilíbrio

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Fluxo através de uma cadeia.

◆ Considereumacadeia1Datravésdaqualpartículaspodempulardeumsítioparao outro.

◆ Asextremidadesdacadeiaestãoconectadasareservatóriosmantidosusandotemperaturas distintas.

�_� �_�

�

◆ Nestecasohaveráumacorrentedepartículas/energiaatravésdacadeia.

◆ EsteproblemaéoexemplotípicodeumNESS:non-equilibriumsteady-state.

◆ Éum“steady-state”poisascoisasnãoestão maismudandonotempo.

◆ Masnãoéumestadodeequilíbriodevidoàexistênciadeumacorrente.

◆ Acorrente departículasatravésdestesistemapodesercalculadaanaliticamenteevale:

J = gγ

g²+γ² N1-N2 g = probabilidade de tunelamento

γ = acomplamento com o banho

◆ Ouseja,ofluxodependeapenasdadiferençaentreasocupaçõesdossítiosdasbordas.

◆ EsteresultadovaletantoparaFérmionsquantoparaBósons.

A. Asadian, et. al., PRE, 87, 012109 (2013) G. T. Landi, et.al.,PRE, 90, 042142 (2014)

◆ Esteéumexemplodeumfluxobalístico:nãodependedotamanhodosistema.

◆ Acorrente elétricaemummaterialnãoébalística;elaédifusiva.DaleideOhm, I = V

R = V

(Lρ/A) ∝ 1 L

◆ Sevocê duplicaotamanhodoseufio,acorrentecaipela metade.

◆ NonossocasoJnãodependedeL.

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Banhos de múltiplos sítios

◆ Considereagoraocasoondetemosumacadeiadivididaemduaspartes.

◆ Cadaparteémantidaem contatocomumreservatóriodiferente.

◆ TemperaturaT

◆ Potencialquímicoμ

�_��μ_� �_��μ_�

◆ OsnúmerosdeocupaçãodecadacadeiasãodefinidospeladistribuiçãodeFermi-Dirac Nk = 1

e^(ϵ^k^-μ)/T +1

◆ Nestecasoacorrenteatravésdascadeiasassumeaforma deLandauer-Büttikerparaa conduçãobalísticadeelétronsemestruturasmesoscópicas.

◆ Quantizaçãodacondutância.

◆ G= ^e_h²

P. H. Guimarães, G. T. Landi and M. J. de Oliveira, submetidoaoPRE (2016)

◆ Acorrente emfunçãodopotencialquímicopassaasermuitosensívelaotamanhoda cadeia.

�

��μ[�]��[�]

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Cadeias de spin

◆ Ummaterialmagnéticopode servistocomováriosspinsalinhadosnamesmadireção.

◆ Osspinssealinhamdevidoaumainteraçãoentreeles(chamadainteraçãodetroca).

◆ Suponhaagoraquevocêdaumchutenoprimeirospin.

◆ Osegundospinvaisentirestechute, devidoàinteraçãodetroca.

◆ Consequentemente,eleirásemoverdealgumamaneira.

◆ Essemovimentoserásentidopeloterceirospin,eassimpordiante.

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��

◆ Nofinalteremosumaondasepropagandopelomaterial.

◆ Essaéumaondadespin.

◆ Notequenãohánenhumapartículasepropagando.Todososspinsestãoparados.

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Mas,mesmoassim,háapropagaçãodeumaonda.

◆ Écomoumaolanoestádiodefutebol!

◆ Aoestudarmosestefenômenousandoamecânicaquântica,descobrimosqueestasondasão quantizadas.

◆ Umquantadeondadespinsechamaummagnon.

◆ Paratodososfinseefeitosummagnon secomportacomoumapartícula.

◆ Essaéagrandebelezadamatériacondensada:

◆ Sistemasdiferentesmuitasvezessatisfazemleisparecidas.

◆ “Thesameequationshavethesamesolutions”,Feynman.

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Circuitos magnônicos

◆ Épossívelconstruirdispositivosquefuncionamcommagnonsaoinvésdeelétrons.

◆ Recentementefoipropostoumtransistormagnônico.

◆ Ascorrentesdemagnonssãogeradasatravésdemicro-antenasqueproduzemumcampo magnéticoAC.

◆ OfilmedeYIGémodificadodetalmaneiraapermitirsomenteapropagaçãodealguns tiposdemagnons.

◆ Osmagnonsvermelhosficamaprisionadoseosmagnonsazuissepropagamlivremente.

◆ Adensidadedemagnonsvermelhoscontrolaascolisõesentremagnons,controlando portantoacorrentedemagnons.

◆ “Allmagnontransistor”

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Porta lógica magnônica

◆ Recentementefomoscapazesdeencontrarumasoluçãoexataparaofluxoatravésdacadeia deHeisenberg.

◆ Esteéummodeloqueincluiainteraçãoentreosmagnons.

G. T. Landi and D. Karevski, PRB 91, 174422 (2015)

◆ Observamosqueofluxoagoradependedaconstanteγ(ataxacomqueinjetamosmagnons nosistema)

◆ Emseguidaestudamosoqueocorrequandoaplicamoscamposmagnéticosapenasnas extremidades.

◆ Dependendodosinaldocampoh,existemduasopçoes:

◆ Ocamponamesmadireçãodopolarizador.

◆ Ouocampoem umadireçãoopostaaopolarizador.

◆ Observamosqueosistemaapresentaumatransiçãodescontínuadependendodovalordo campo.

◆ Massóquandoγépequeno

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◆ Explicação:hfuncionacomoumaprisionadordemagnons,aumentandoportantoas interaçõesmagnon-magnon.

◆ Plateaurepresentao fluxobalísticoondeosmagnonsnãointeragem.

◆ Parteinferiorrepresentaofluxosub-difusivo,marcadoporfortesinteraçõesmagnon- magnon.

◆ Osistemafuncionaportantocomoumaportalógicaparamagnons.

◆ Operandoodispositivocomhpróximodatransiçãopermitechavearentredoisestados comcorrentesmuitodistintas.

◆ Éassimquefuncionamasportaslógicasetransistors.

(18)

Produção de entropia

(19)

Como caracterizar um sistema fora do equilíbrio?

◆ Mudandodeassunto...

◆ Comocaracterizarumsistemaforadoequilíbrio?

◆ Achaveestánaentropia.

◆ Quandoumsistemasofreumprocessoreversível amudançanaentropiadosistemaé Δ� =  ��

� �= ϕ (�� )

◆ Quandooprocessoéfeitodeformairreversívelaentropiaserámaiorqueestevalor:

Δ� ≥ ϕ (�� )

◆ Ouseja,entropiafoiproduzidadevidoàirreversibilidade.

◆ Oexcessoéchamadodeproduçãodeentropia:

π = Δ� - ϕ ≥ � (�� )

◆ EssafórmulafoiescritanolivrooriginaldoClausius(quefoiquemintroduziuoconceitode entropia)em1867.

◆ Ouseja,avariaçãototaldaentropiatemduascontribuições:

◆ Ofluxodeentropiadoambientepara osistema.

◆ Aentropiaproduzidanosistema.

Δ� = π + ϕ

(20)

Produção de entropia no NESS

◆ Considereumsistemaqueémantidoconstantementeforadoequilíbrio.

◆ Entãohaveráumaproduçãoconstantedeentropia.

◆ Podemosescrever

Δ�

Δ� = π Δ� + ϕ

Δ�

◆ NolimiteΔt→0 definimosentão

��

�� = Π + Φ

Π = �� (�� )�

◆ NoNESSaentropiatotalnãovaimudarnotempo:

��

�� = � ⟹ Π = -Φ ≥ �

◆ Ouseja:todaaentropiaproduzidaédespejadanoambiente.

◆ Notequeissonãoéequilíbrio!IssoéoNESS.

Equilíbrio⟺ Π = 0

◆ Exemplo:no casodofluxodecalorentredoisbanhos Π = � �

��

- �

��

(21)

Exemplo: resistor e bateria

◆ EssesimplessistemaconfiguraumNESS:

◆ Abateriaestáconstantementepassandocorrentepelocircuito.

◆ Eoresistorestáconstantementedissipandocalorpara oambiente.

◆ NestecasoataxadeproduçãodeentropianoNESSserá Π = �^�

� � = �

� = ��

��

(22)

Exemplo: dois circuitos RL acoplados

◆ Ocampomagnéticogeradonoindutor1afetao indutor2pelaindutânciamútua.

◆ Portanto,háumfluxodeentropiadeumcircuitoparao outro.

◆ Ataxadeproduçãodeentropianestecasoé

Π =

�_�^�

��

+ �_�^�

��

+ �^��  ��-�^�(��+��) (��-��)^�

��

� = ��

◆ Vemosquehá3contribuições:

◆ Umtermoparacadabateria.

◆ Eumtermodevidoaofluxodecalordeumcircuitoparao outro

♢ Notecomoessetermodependede(T1-T2)²

G. T. Landi, T. Tomé e M. J. de Oliveira, J.Phys.A.:Math.Theor. 46 (2013) 395001

(23)

Exemplo: oscilador opto-mecânico

◆ Umacavidadeoptomecânica(interferômetrodeFabry-Perot)consisteemumespelhofixoe outroligadoaumoscilador.

◆ Osistemaéirradiadocomumlaser,queportantointeragecomo oscilador.

◆ Objetivo:estudararelaçãoentrearadiaçãoeo meiomecânico.

◆ Aproduçãodeentropiano NESSdessesistemasedeveàpresençadolaser,que constantementeforneceenergia.

◆ Existemdoiscanaisdedissipaçãodeenergia:

◆ Oprópriocanalóticoporondeolaserincide.

◆ Obanhotérmicodooscilador,quedissipaenergiaporatrito.

◆ AtaxadeproduçãodeentropianoNESS lê-se(nãosepreocupe comosignificadodos parâmetros):

Π = �ℰ^�

κ + γ�^�ℰ^�

ω^�[��(�) +�]Δ^�+κ^�

�� = �� (��ℰ)��

�� = ��

◆ Noentanto,háumaterceiracontribuiçãoàproduçãodeentropia,queadvémdasflutuações quânticas.

Σ_{��} = �^�κ Δ^�+κ^�

�Δ ωΔ^�+κ^�-Δ�^�

◆ EstasmedidasexperimentaisforamrealizadaspelogrupodoProf.M.Aspelmayer da UniversidadedeViena.

◆ Omodeloteóricoconcordamuitobemcomosdadosexperimentais.

(24)

(25)

Condensado de Bose-Einstein em uma cavidade ótica

◆ FizemostambémumcálculoanálogoparaumcondensadodeBose-Einsteinaprosionado emumacavidadeótica.

◆ RealizaçãoexperimentaldomodelodeDicke.

◆ Estesistemaapresentaumatransiçãodefasequânticaemfunçãodoacoplamentoentreo campoeletromagnéticoeosátomosdeRbaprisionados.

◆ ExperimentosrealizadospelogrupodoProf.T.EsslingerdoETHZürich.

◆ Aproduçãodeentropiarefleteatransiçãodefasequântica,apresentandoumadivergência nopontocrítico.

(26)

Teoremas de flutuação

(27)

◆ Considereagoraoseguinteproblema.

◆ Inicialmentedoissistemassãopreparadosadiferentestemperaturas.

◆ Emt=0 acoplamososdoissistemasedeixamoselesevoluírememcontatoumcomo outro.

��

◆ Podemosnosperguntar:qualocalorquefluideumcorpoparaooutroapósumtempot?

◆ Esteéoproblemamaissimplesdatermodinâmica.

◆ Sabemosqueocalorvaifluirdocorpomaisquenteparaocorpomaisfrioatéqueosdois entreemequilíbriotérmico.

◆ Masissosóéverdadeparasistemasmacroscópicos,queéondeatermodinâmicaédefinida.

◆ Seosistemaformicroscópico,podemoseventualmenteobservarsituaçõesondeocalorflui docorpomaisfrioparaomaisquente.

◆ Ocorredevidoaomovimento Browniano.

◆ Ouseja,podemocorrerviolaçõeslocaisdasegundalei.

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Teorema de flutuação de Jarzynski-Wójcik

◆ Quandoocalorfluientredoissistemas microscópicos,o calorQsetornaumavariável aleatória.

◆ Podemosfalarentãonaprobabilidade Pt(Q)

Pt(Q) = Prob. de que um calorQ flua entre os dois sistemas no tempot.

◆ Em2004JarzynskieWójcikdescobrirarmqueestagrandezasatisfazaseguinterelação:

Pt(Q)

Pt(-Q) = ⅇ^Δβ^Q Δβ = 1 T1

- 1 T2

◆ Ouseja,

“Éexponencialmentemaisprovávelqueocalorváfluir nadireçãocerta”.

◆ NotequeΔβQrepresentaexatamenteaproduçãodeentropiaπ.

◆ Portanto,podemosdizerquePt(-Q)éaprobabilidadedeobservarumaproduçãode entropianegativa.

(29)

Fluxo de calor entre duas cadeias de spin

◆ Recentementeestudamosofluxodecalorentreduascadeiasdespin.

◆ (vídeos)

(30)

Conclusões

◆ Sistemasquânticosabertos.

◆ Apesardenãosertrivial,existemmaneirasdedescreveroatritonamecânicaquântica.

◆ AminhafavoritaéoformalismodeLindblad.

◆ Sistemasforadoequilíbrio.

◆ Descrevemdiversosproblemasexperimentais.

◆ CaracterizadospelaexistênciadeumacorrentenoNESS.

◆ Produçãodeentropia.

◆ Melhormaneiradecaracterizarosestadosforadoequilíbrio.

◆ Possuemumacontribuiçãointrinsecamentequântica.

(31)

Funções auxiliares

(*������→��*)

����[]�

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��+�

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��+�� π��

��+�� π

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��^{([�]-μ)}

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�

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��@��@����[�]^���[�]^�([μ�� ] - [μ�� ]) 

γ^�+ (��[�] -��[�])^� �{�� }�{�� }

�

(32)

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��[{μ�_�μ�_}�{��_� ��_}�γ_� �]�=������ �� �

[�_]�= -� ��[�]�

[μ_� �_� �_]�=���⩵�� [μ-[�]]� �

��^([^�_�^]-μ)+�

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(33)

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�� = ��

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��[��] = ��

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