Tópicos de matemática elementar I

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Universidade do Sul de Santa Catarina

Palhoça UnisulVirtual

2008

Tópicos de Matemática Elementar I

Disciplina na modalidade a distância

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Apresentação

Este livro didático corresponde à disciplina Tópicos de Matemática Elementar I.

O material foi elaborado visando a uma aprendizagem autônoma e aborda conteúdos especialmente selecionados e relacionados à sua área de formação. Ao adotar uma linguagem didática e dialógica, objetivamos facilitar seu estudo a distância,

proporcionando condições favoráveis às múltiplas interações e a um aprendizado contextualizado e eficaz.

Lembre-se de que sua caminhada, nesta disciplina, será acompanhada e monitorada constantemente pelo Sistema Tutorial da UnisulVirtual, por isso a “distância” fica

caracterizada somente na modalidade de ensino que você optou para sua formação, pois na relação de aprendizagem professores e instituição estarão sempre conectados com você.

Então, sempre que sentir necessidade entre em contato; você tem à disposição diversas ferramentas e canais de acesso, tais como:

telefone, e-mail e o Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem, que é o canal mais recomendado, pois tudo o que for enviado e recebido fica registrado para seu maior controle e comodidade.

Nossa equipe técnica e pedagógica terá o maior prazer em lhe atender, pois sua aprendizagem é o nosso principal objetivo.

Bom estudo e sucesso!

Equipe UnisulVirtual

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Diva Marília Flemming Elisa Flemming Luz

Christian Wagner

Palhoça UnisulVirtual

2008

Design Instrucional

Carolina Hoeller da Silva Boeing

Tópicos de Matemática Elementar I

Livro didático

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510F62 Flemming, Diva Marília

Tópicos de matemática elementar I : livro didático / Diva Marília Flemming, Elisa Flemming Luz, Christian Wagner ; design instrucional Carolina Hoeller da Silva Boeing. – Palhoça : UnisulVirtual, 2008.

256 p. : il. ; 28 cm.

Inclui bibliografia.

1. Matemática. 2. Funções (Matemática). I. Luz, Elisa Flemming. II. Wagner, Christian. III. Boeing, Carolina Hoeller da Silva . IV. Título.

Edição – Livro Didático

Professores Conteudistas Diva Marília Flemming

Elisa Flemming Luz Christian Wagner

Design Instrucional Carolina Hoeller da Silva Boeing

Projeto Gráfico e Capa Equipe UnisulVirtual

Diagramação

Delinea Design Soluções Gráficas e Digitais LTDA Leniza Wallbach e Silva

Marcelo A. Gorniski Revisão

B2B

Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Universitária da Unisul

Tópicos de Matemática Elementar I.indb 6 13/3/2008 17:39:00

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Apresentação . . . 03

Palavras dos professores . . . 09

Plano de estudo . . . 11

Unidade 1 – Revisão de conjuntos numéricos . . . 15

Unidade 2 – Funções . . . 55

Unidade 3 – Função do primeiro grau . . . 79

Unidade 4 – Função do segundo grau . . . 101

Unidade 5 – Funções polinomiais e racionais . . . 125

Unidade 6 – Funções exponencial e logarítmica . . . 147

Unidade 7 – Funções trigonométricas . . . 187

Para concluir o estudo . . . 217

Referências . . . 219

Sobre os professores conteudistas . . . 221

Respostas e comentários das atividades de auto-avaliação . . . 223

Sumário

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Palavras dos professores

Prezados alunos,

Neste texto apresentamos conteúdos da disciplina de Tópicos de Matemática Elementar I que estão de acordo com a ementa do projeto pedagógico do seu curso. Os objetos matemáticos discutidos são considerados básicos, pois traduzem alicerces necessários para a discussão de objetos mais específicos e práticos.

Todos os conteúdos apresentados ao longo desse livro são assuntos tratados no ensino fundamental e médio; entretanto, a contextualização em situações reais é uma característica específica deste texto. Criamos dois personagens: Ted e Mad (amigos de infância que se tornaram microempresários). Eles irão dialogar e resgatar situações do dia-a-dia que os levarão a compreender importantes conceitos matemáticos.

Para facilitar a leitura e o aprofundamento das representações gráficas, optamos por uma metodologia que valoriza o uso de recursos computacionais na resolução de problemas.

Considerando que estamos trabalhando com a modalidade a distância, adotamos uma linguagem que estimule as suas estruturas mentais de modo que as diferentes representações semióticas sejam estabelecidas e trabalhadas para que o processo de aprendizagem significativa se concretize.

Nós, autores e tutores dessa disciplina, nos colocamos à disposição para atendê-lo. Iremos interagir com você através das ferramentas disponíveis no ambiente virtual do seu curso. As ferramentas promovem uma dinâmica de socialização que lhe permitirá um verdadeiro caminhar para a conquista de novos conhecimentos.

Mãos à obra!

Profa. Diva Marília Flemming, Dra.

Profa. Elisa Flemming Luz, Dra.

Prof. Christian Wagner, Msc.

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Plano de estudo

O plano de estudo visa a orientá-lo no desenvolvimento da disciplina. Ele possui elementos que o ajudarão a conhecer o contexto da disciplina e a organizar o seu tempo de estudos.

O processo de ensino e aprendizagem na UnisulVirtual leva em conta instrumentos que se articulam e se

complementam, portanto, a construção de competências se dá sobre a articulação de metodologias e por meio das diversas formas de ação/mediação.

São elementos desse processo:

livro didático;

Espaço UnisulVirtual de Aprendizagem (EVA);

as atividades de avaliação (a distância, presenciais e de

auto-avaliação);

Sistema Tutorial.

Ementa

Conjuntos numéricos. Operações elementares. Função:

conceitos, propriedades, características e representações gráficas. Funções elementares: polinomiais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.

Objetivos

Geral:

Discutir e refletir conceitos básicos da Matemática.

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12

Específicos:

revisar conjuntos numéricos;

trabalhar funções polinomiais, racionais, exponenciais,

logarítmicas e trigonométricas a partir de representações gráficas e resolução de problemas;

motivar o estudo de conteúdos de Matemática a partir do

uso das novas tendências da Educação Matemática;

compreender o conceito de telecomunicações e

informática.

Carga horária

A carga horária total da disciplina é 60 horas-aula.

Conteúdo programático/objetivos

Os objetivos de cada unidade definem o conjunto de

conhecimentos que você deverá deter para o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias à sua formação. Neste sentido, veja a seguir as unidades que compõem o livro didático desta disciplina, bem como os seus respectivos objetivos.

Unidades de estudo: 7

Unidade 1 – Revisão de conjuntos numéricos

Nesta unidade, apresenta-se uma revisão dos conjuntos numéricos, ampliando-se as idéias inicias com conceitos e propriedades operatórias.

Unidade 2 – Funções

Nesta unidade, as funções são apresentadas como objetos matemáticos e como elementos fundamentais para a resolução de problemas do dia-a-dia. A análise das representações

(13)

13

Matemática

gráficas permitirá o desenvolvimento de hábitos de boa leitura e visualização de propriedades e características dos diferentes tipos de funções.

Unidade 3 – Função do primeiro grau

As funções do primeiro grau serão amplamente discutidas nesta unidade, possibilitando a leitura gráfica, a modelagem de problemas práticos e a resolução de equações e sistemas de equações.

Unidade 4 – Função do segundo grau

As funções do segundo grau serão discutidas possibilitando aspectos interdisciplinares na modelagem de problemas práticos em diversas áreas.

Unidade 5 – Funções polinomiais e racionais

Nesta unidade, as funções polinomiais e racionais serão apresentadas em diferentes representações (gráficas e algébricas).

Unidade 6 – Funções exponencial e logarítmica

Nesta unidade, amplia-se o conceito de modelagem com o uso das funções exponenciais e logarítmicas em diferentes tipos de problemas práticos. O contexto financeiro é destacado com problemas reais de juros e crescimento exponencial.

Unidade 7 – Funções trigonométricas

As funções trigonométricas serão discutidas partindo- se da resolução de triângulos retângulos. A análise das representações gráficas dará a oportunidade de resgatar os conceitos de domínio, imagem, periodicidade dentre outros.

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14

Agenda de atividades/ Cronograma

Verifique com atenção o EVA, organize-se para

acessar periodicamente a sala da disciplina. O sucesso nos seus estudos depende da priorização do tempo para a leitura, da realização de análises e sínteses do conteúdo e da interação com os seus colegas e tutor.

Não perca os prazos das atividades. Registre no espaço

a seguir as datas com base no cronograma da disciplina disponibilizado no EVA.

Use o quadro para agendar e programar as atividades

relativas ao desenvolvimento da disciplina.

Atividades obrigatórias

Demais atividades (registro pessoal)

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1

UNIDADe 1

Revisão de conjuntos numéricos

Objetivos de aprendizagem

Identificar conjuntos numéricos em diferentes

situações-problema.

Desenvolver procedimentos operatórios que envolvem

os números reais.

Aplicar propriedades dos números reais na resolução

de problemas.

Seções de estudo

Seção 1 Introdução

Seção 2 Conjuntos numéricos

Seção 3 Adição de subtração com números reais Seção 4 Multiplicação e divisão com números reais Seção 5 Resolução de equações

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Para início de estudo

Ted e Mad programam uma viagem nas férias:

– Acho que uma viagem para o Nordeste seria ótimo!

– Nordeste?! Mas tudo por lá é muito caro,

principalmente na alta temporada. Tudo bem que as praias são maravilhosas, mas eu estava com vontade de fazer alguma coisa diferente.

– Alguma coisa diferente?

– É, que tal uma pescaria?

– Será, cara? Não vamos cair numa roubada?

– Acho que não, sugiro o Pantanal!

– Legal, então já vou consultar os valores para programar a nossa economia.

– Combinado então. Depois acertamos os detalhes!

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Tópicos de Matemática Elementar I

Unidade 1

Seção 1 - Introdução

A noção de conjunto é conhecida desde o início dos tempos. Em vez de usar símbolos para representar os números, utilizava-se a comparação de conjuntos.

A noção matemática de conjunto é praticamente a mesma que se usa na linguagem informal: é o mesmo que agrupamento, classe ou coleção.

Você pode formar muitos conjuntos. Se você for colecionador de alguma coisa, a sua coleção fará parte de um conjunto. Veja como é possível escrever o conjunto formado pelos estados brasileiros localizados na região Sul:

A = {Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul}.

Ou ainda, o conjunto dos números pares positivos:

B = {2, 4, 6, 8, 10, ...}.

Pare! Revise!

O conjunto A é dito finito pois possui três elementos, já o conjunto B é dito infinito pois possui um número infinito de elementos.

Pare! Observe!

Perceba que no conjunto B usamos reticências (...) para representar os números pares positivos maiores do que 10 que não foram explicitados. esta representação nos auxilia quando se trata de conjuntos muito grandes ou mesmo infinitos, como neste caso.

Se for necessário, um conjunto pode ser representado

especificando-se as propriedades comum dos elementos. Para os conjuntos A e B teremos:

A = {x | x é um estado da região Sul do Brasil}.

B = {y | y é um número par positivo}.

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18

Cada membro que compõe o conjunto é chamado elemento. Um elemento de um conjunto pode ser uma letra, um número, um nome etc. É possível estabelecermos relações entre elementos e conjuntos usando-se símbolos que indicam se um elemento

“pertence” ou “não pertence” ao conjunto. Acompanhe o exemplo.

Se C = { 1, 3, 5, 7, 9 }, podemos dizer que:

1 ∈ C, ou seja, o número 1 pertence ao conjunto C;

2 ∉ C, ou seja, o número 2 não pertence ao conjunto C;

3 ∈ C, ou seja, o número 3 pertence ao conjunto C;

4 ∉ C, ou seja, o número 4 não pertence ao conjunto C.

Pare! Revise!

Um conjunto que possui apenas um elemento é dito unitário e um conjunto que não possui elementos é um conjunto vazio, representado por ∅ ou { }.

As relações de pertinência auxiliam a entender a noção de subconjunto, que também é interessante quando trabalhamos com conjuntos.

Um conjunto A é subconjunto de um conjunto B se, e somente se, todo elemento de A pertencer também a B.

Linguagem simbólica

A ⊂ B, ou seja, A está contido em B ou ainda

B ⊃ A, ou seja, B contém A.

Pare! Observe!

O símbolo ⊂ é denominado sinal de inclusão. Sempre que comparamos dois conjuntos podemos usar a relação de inclusão.

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19

Unidade 1

Sejam os conjuntos A = {a,b,c} e B = {a,b,c,d,e}, podemos dizer que:

A ⊂ B, ou seja, A está contido em B;

B ⊃ A, ou seja, B contém A;

B ⊄ A, ou seja, B não está contido em A.

Dois ou mais conjuntos podem ser reunidos usando-se uma operação conhecida por união ou reunião de conjuntos.

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de reunião de A e B ou união de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou a B.

A ∪ B = {x | x ∈ A ou x ∈ B}

Uma outra operação que pode ser definida é a intersecção entre conjuntos. Veja:

Dados dois conjuntos A e B, chamamos de intersecção de A com B o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e a B.

A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B}

{a,b} ∪ {c,d} = {a,b,c,d}

{a,b} ∪ {a,b,c,d} = {a,b,c,d}

{a,b,c} ∪∅ = {a,b,c}

∅∪∅ = ∅

{a,b} ∩ {a,b,c,d} = {a,b}

{a,b} ∩ {c,d} = ∅ {b,c} ∩∅ = ∅

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20

Nesta disciplina o que irá lhe interessar são os conjuntos

formados por números ou os conjuntos numéricos. Em especial, o conjunto dos números reais irá embasar o estudo dos diferentes tipos de funções. Então, veja como se chegou até estes números reais estudando a próxima seção!

Seção 2 - Conjuntos numéricos

O conceito de número é uma das idéias mais primitivas da humanidade e, por incrível que pareça, já nascemos com ela.

Um bebê entre seis e doze meses já assimila agrupamentos de seres e objetos. Já consegue reunir num único grupo

objetos análogos e percebe se falta algo a um desses conjuntos familiares.

Por exemplo, se você entrega ao bebê nesta idade quatro brinquedos e, sem que ele perceba, retira dois deles, certamente ele sentirá falta. Não que já saiba contar, mas porque já possui uma noção de número em sua formação individual.

Para fins de padronização, criou-se uma notação comum para representar os números. Utilizam-se os algarismos hindu- arábicos:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Apesar de ouvirmos sons diferentes, dependendo do idioma, se não houvesse uma padronização, imagine a confusão que seria!

Olhando o passado!

Já há algum tempo, sabe-se que determinadas espécies animais também são dotadas de um tipo de percepção direta sobre os números. Inúmeras experiências demonstraram que os rouxinóis, as pegas e os corvos eram capazes de distinguir quantidades concretas de um a quatro. Veja o caso do corvo:

(21)

21

Unidade 1

“Um castelão decidiu matar um corvo que fez seu ninho na torre do castelo. Já tentara várias vezes surpreender o pássaro, mas ao se aproximar, o corvo deixava o ninho, instalava-se numa árvore próxima e só voltava quando o homem saía da torre. Um dia, o castelão recorreu a uma artimanha: fez entrar dois companheiros na torre. Instantes depois, um deles desaparecia, enquanto o outro ficava. Mas, em vez de cair nesse golpe, o corvo esperava a partida do segundo para voltar a seu lugar. Da próxima vez ele fez entrar três homens, dos quais dois se afastaram em seguida: o terceiro pôde então esperar a ocasião para pegar o corvo, mas a esperta ave se mostrou ainda mais paciente que ele. Nas tentativas seguintes, recomeçou-se a experiência com quatro homens, sempre sem resultado. Finalmente, o estratagema teve sucesso com cinco pessoas, pois o corvo não conseguia reconhecer mais que quatro homens ou quatro objetos...”

(extraído de: IFRAH, Georges. Os números: história de uma grande invenção. 8. ed. São Paulo: Globo, 1996. p. 20.)

Conjunto dos números naturais

Neste conjunto numérico encontram-se os primeiros números conhecidos pela humanidade. Sua representação é dada por

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,...}.

Perceba que este é um conjunto infinito, pois é possível sempre acrescentar uma unidade a cada número para que se obtenha um sucessor.

Pare! Revise!

Quando utilizamos a notação N* representamos a exclusão do zero:

N* = {1, 2, 3, 4, 5,...}.

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O número zero tem uma história interessante. em 662 d.C. o bispo sírio Severus Sebort referiu-se aos nove sinais, num trabalho público, mas não fazia referência ao zero.

O zero surgiu posteriormente e não se sabe muito bem sobre a sua origem. Dizem que a sua origem está no mundo grego.

Sua forma se deve aos maias (olho meio aberto), hindus (ovo de ganso) ou gregos (letra grega ômicron, que é a primeira da palavra Ouden, que significa vazio).

Conjunto dos números inteiros

Olhando o presente!

Veja o seguinte problema.

P1 – Um trabalhador assalariado possui uma conta no banco. No mês de julho ele se perdeu nas contas e acabou gastando mais do que deveria.

Quando imprimiu o seu extrato, percebeu que o saldo era de R$ 130,00 D. O que isto significa?

Este problema pode mostrar a importância dos números inteiros.

Veja por que!

Nos extratos bancários a letra C indica crédito e a letra D indica débito. Isto significa que na conta havia 130 reais negativos, ou seja, –R$ 130,00, estavam faltando R$ 130,00.

Veja como é importante o estudo dos números não positivos ou negativos. Desde a época em que o comércio passou a fazer parte da sociedade, inicialmente com o sistema de trocas até que se instituísse uma moeda, a noção de números negativos já é amplamente utilizada.

Para representar estes números, usa-se o conjunto numérico chamado de conjunto dos números inteiros:

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23

Unidade 1

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Conjunto dos números racionais

Além dos números naturais e inteiros, perceba que em seu dia- a-dia você utiliza também números fracionários. Ao comer uma fatia de um bolo dividido em oito partes iguais, por exemplo, além de ter água na boca, você pode dizer que estará comendo uma parte do todo. Estará comendo ¹₈ do bolo.

No nosso sistema monetário usamos frações decimais do real.

Por exemplo:

R$ 0,50 – cinqüenta centavos é a metade de um real;

R$ 0,25 – vinte e cinco centavos representa

1

4 de um real.

Olhe para uma régua e perceba a existência de números entre os inteiros que você já estudou. Entre 0 e 1 temos, por exemplo, ¹ ou entre 3 e 4 o número 3,25. 2

As frações são representadas na forma ^m_n , n ≠0, m, n ∈ Z e formam o conjunto dos números racionais, denotado por:

Q x x m

n m n Z n

= = ∈ ≠





| , ,. e . 0

(24)

24

Veja alguns exemplos:

3

4 10

7

−1

2 9 5 Veja como se faz a leitura de frações:

1

2 Um meio 1

8 Um oitavo 1

3 Um terço 1

9 Um nono 1

4 Um quarto 1

10 Um décimo 1

5 Um quinto 1

11 Um onze avos*

1

6^{Um sexto}

1

12 Um doze avos 1

7 Um sétimo 1

20 Um vigésimo

*Avos é um substantivo masculino empregado na leitura de frações que possuem denominador maior que dez.

Toda a fração pode ser escrita em uma forma decimal. Veja como se faz:

1 2=0 5, 3

4=0 75, 1

3=0 3333, … 2

7=0 285714285714, …

(25)

25

Unidade 1

Pare! Observe!

Algumas frações possuem representação decimal exata e outras uma representação decimal periódica.

51

99= 0, 5151515151...

31

90= 0, 3444444444...

⇒ são dízimas periódicas.

1 2 0 5 20

4 5

=

= ,

⇒ são decimais exatos.

Para encontrar a forma decimal você pode realizar as divisões no papel ou mesmo em uma calculadora.

P2 – em um restaurante um garçom só sabia dividir uma pizza em dez fatias iguais. Se Mario comeu a metade da pizza e sua namorada comeu 1/5, quantas fatias sobraram?

Para saber quantas fatias sobraram, veja como é possível raciocinar:

Se Mario comeu a metade da pizza, então ele comeu a

metade de 10 fatias, ou seja, ¹⁰₂ ⁼⁵ fatias.

Sua namorada comeu

1

5 da pizza, então comeu ¹

5 de 10 fatias, ou seja, ¹

5 de 10 10 5 2

= = fatias.

Assim, Mario e sua namorada comeram juntos 5 + 2 = 7 fatias.

Portanto, sobraram 10 – 7 = 3 fatias.

(26)

26

Pare! Observe!

Todos os números inteiros são também números racionais, pois podem ser escritos na forma de uma fração. Veja:

4 = 4 1 7 =7

1.

Diofanto foi um matemático que viveu em Alexandria no século III. Pouco se sabe sobre a sua vida, mas existe uma charada que, dizem, teria sido gravada em seu túmulo: “Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer.” Você sabe quantos anos viveu Diofanto?

Fonte: <http://www.exatas.hpg.ig.com.br/curiosidades.htm>

Conjunto dos números reais

Para definir o conjunto dos números reais, é necessário considerar os números que não podem ser escritos na forma de ^m_n com n

≠0 e m, n ∈ Z. Estes números formam o conjunto dos números irracionais, que pode ser denotado por ^Q.

São exemplos de números irracionais: π = 3,141592653..., e =2,718281828..., ^{2 1 41}⁼ ^{, ...}

É comum dizer que o conjunto dos números reais é o resultado da união do conjunto dos números racionais com o conjunto dos números irracionais.

R = ∪Q Q.

(27)

27

Unidade 1

Os números reais são representados geometricamente por uma reta numerada, denotada por reta real.

Você não imagina a consternação no seio dos pitagóricos quando descobriram a existência de grandezas que não guardam entre si uma relação de inteiro para inteiro. Isto aconteceu quando verificaram a impossibilidade de mensurar (ou medir) a diagonal de um quadrado de lado igual a uma unidade de comprimento.

Acredita-se que os pitagóricos guardaram este segredo por muitos anos, pois esta constatação significava a existência de seres disformes no seu mundo regido pelos números. Hoje já se sabe que este ser disforme é a raiz quadrada de dois.

O número Pi

A história do número π está ligada à história da vida de muitos matemáticos da Antigüidade. É importante relembrar, para ser justo, do nome de Arquimedes, famoso matemático e astrônomo que nasceu em Siracusa, mais ou menos 287 a.C.

No tempo de Arquimedes muitos estudiosos já sabiam que o comprimento de uma circunferência é igual a um número um pouco maior que três vezes o seu diâmetro.

Existe o registro histórico de várias tentativas para encontrar o valor exato desse número um pouco maior que 3 que hoje é conhecido como número Pi, simbolizado por π.

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28

Vários métodos geométricos demonstram que o valor do Pi é π = 3,141592653...

Você pode encher a tela do seu computador com as casas decimais do número Pi.

O número e

A origem do número e está associada à origem dos logaritmos.

As tábuas de logaritmos foram inventadas para facilitar os cálculos, pois ao se usar logaritmos consegue-se reduzir multiplicações e divisões em simples adições e subtrações. É usual se falar “número neperiano” em homenagem ao matemático John Napier, que em 1614 apresentou uma maneira prática para definir o logaritmo de e.

Além de servir de base para um sistema de logaritmos, o número e é um número útil em toda a Matemática e ciências afins. Por exemplo, é muito usado em Economia, Estatística, Probabilidades etc.

Nos dias de hoje, não se usam as tábuas de logaritmos porque as calculadoras fazem todos os cálculos. No entanto, não se pode dispensar esse número de nossas vidas. Vários fenômenos são modelados por uma fração que envolve o número e, por exemplo, o crescimento populacional, o aumento de capital e juros.

Nas próximas unidades você vai ouvir falar muito sobre o número e!

e = 2,718281828...

Conjunto dos números complexos

Você acha seu nome bonito? Todas as pessoas que você conhece acham o seu nome bonito? O nome de batismo de uma pessoa pode não ser bonito, mas não causa “mal-entendido” porque ele tem um único significado.

(29)

29

Unidade 1

Muita gente não aceita o termo “número imaginário” ou “número complexo” tal como é usado em Matemática. E isto causa um mal-entendido! Entretanto, é importante lembrar:

Quando uma palavra é definida precisamente e tem apenas um significado, não há mais razões para criticar seu uso.

Logo, um número imaginário ou complexo é uma idéia matemática precisa.

Cardano, um grande matemático do século XVI, foi o primeiro a reconhecer a verdadeira importância desses números. Na sua obra “Ars Magna” discute a álgebra e dá especial atenção às raízes negativas de uma equação e ao cálculo com números complexos.

O conjunto dos números complexos é formado por todos os números reais e pelas raízes de ordem par de números negativos, e pode ser representado por:

C=

{

z z^| =

( )

a b a b R^{, , ,} ^∈

}

Em geral os números complexos são discutidos inicialmente na forma algébrica:

z= − = = + =^{4 2 0 2}i i

( )

^{0 2}^,

z= + − = + =² ^{9 2 3}i

( )

^{2 3}^,

Ao olhar para o par ordenado (a,b) fica simples visualizar a parte real e a parte complexa ou imaginária do número complexo:

a

é a parte real;

b

é a parte imaginária.

(30)

30

Pare! Revise!

Lembre-se de que i= −1. Assim, tem-se que:

i i i

× = −

= −

− = −

( )

1 1

2

2 .

Pare! Observe!

− = − = =

( )

¹ ²

^{( )}

¹ ² ^{1 1} está INCORRETO.

Nas próximas seções você irá revisar as operações com os números reais, sendo enfatizados diferentes representações, algoritmos e métodos de tratamento adequados a cada situação identificada.

Seção 3 - Adição e subtração com números reais

Para discutir as operações de adição e subtração com números reais, veja inicialmente algumas propriedades da adição:

Comutativa a + b = b + a

Associativa (a + b) + c = a + (b + c) Elemento neutro a + 0 = 0 + a = a

0 é o elemento neutro da adição.

Nos próximos exemplos você poderá aplicar estas propriedades em situações que envolvem a adição com números reais.

1) Efetue as seguintes operações:

a) ²

3+4

5 =10 +12 15 =22

15

(31)

31

Unidade 1

Pare! Observe!

É possível estabelecer uma regra prática para calcular a adição ou subtração com números fracionários.

Considere as expressões a b e c

d escritas de forma que b e d são diferentes de zero:

a b

c d

ad bc

± = bd±

b) ¹

2 10

7

7 20 14

27 + = + 14

=

c) ¹₉^{+ = + =}²₃ ^{1 6}₉ ⁷₉

Perceba que esta mesma operação pode ser feita usando-se uma calculadora. O resultado que aparece no visor vai depender da configuração e potencialidades de sua calculadora. Por exemplo, você pode visualizar:

0 7777 0 777777 0 77777777 0 77777777778

, , ,

, .

d) ²⁰⁺ ⁴⁵

Com uma calculadora, é possível determinar os valores aproximados para 20 e 45:

20 4 472135955 45 6 708203932

20 45 11 180339887

≅

≅ + ≅

, ,

, .

O cálculo é aproximado e o número de casas decimais depende de cada tipo de calculadora. É possível resolver esta adição usando propriedades da radiciação. Na Unidade 6 você verá um breve resumo de algumas destas propriedades.

(32)

32

e) ³

4−0 3 0 75 0 3 0 45, = , − , = ,

Perceba que o número fracionário foi escrito em sua forma decimal para que a operação fosse realizada. Uma outra opção é escrever o número decimal como um número fracionário:

3

4 0 3 3 4

3 10

30 12 40

18 40

9

20 0 45

− = − = −

= = =

, ,

f) ¹₅^{− =}²₃ ^{3 10}₁₅⁻ ⁼ ₁₅⁻⁷

g) ⁻0 2 0 37 0 37 0 2 0 17, ⁺ , ⁼ , ⁻ , ⁼ ,

2) Um mergulhador passou da profundidade de –6m para –4m. Neste caso, ele subiu ou desceu? Quantos metros?

Perceba que o número – 6 é menor que o número –4. Assim, quando o mergulhador passa de – 6m para –4m ele aumenta duas unidades.

Isto significa que ele subiu 2m, pois -6m é mais fundo que -4m.

3) Imagine três pizzas de mesmo tamanho, cortadas de forma diferente: a primeira em duas partes, a segunda em quatro partes e a terceira em seis partes. Se Joana come um pedaço de cada uma, quanto terá comido?

Para saber quanto Joana comeu, é possível representar cada pedaço usando números fracionários:

1 pedaço da primeira pizza (cortada em duas partes) =

1

2; 1 pedaço da segunda pizza (cortada em quatro partes) =

1

4;

(33)

33

Unidade 1

1 pedaço da terceira pizza (cortada em seis partes) =

1

6. Podemos escrever,

1 2

1 4

1 12

6 1 3 1 1 1 12

10 + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ =12

Assim, Joana comeu ¹⁰

12, ou quase uma pizza inteira!

4) Um bondoso homem doou ¹

5 da sua fortuna para menores carentes, e ²

3 para um asilo de idosos.

a) Que fração de suas posses ele doou?

Ele doou ¹

5 2 3

3 10 15

13 + = + =15. b) Que fração sobrou?

Se ele doou ¹³

15, então sobrou um inteiro menos esta fração:

1 13 15

1 1

13 15

15 13 15

2

− = − = − =15

As operações de adição e subtração são utilizadas em inúmeras aplicações que envolvem a modelagem matemática. Na próxima seção você poderá revisar as operações de multiplicação e divisão dos números reais.

(34)

34

Seção 4 - Multiplicação e divisão com números reais

Assim como nas operações de adição e subtração, veja algumas propriedades da multiplicação:

Comutativa a x b = b x a Associativa (a x b)x c = a x(b x c) Elemento neutro a x 1 = 1 x a = a

1 é o elemento neutro da multiplicação.

Perceba que as propriedades listadas não são válidas para a divisão.

Imagine que Ted e Mad foram pescar no Pantanal. Em determinado momento, cansados de esperar, eles conversam:

– Esses peixes são muito espertos. Foi a terceira vez que nós dois não pegamos peixes.

– Nosso saldo está devedor. Já gastamos seis iscas.

Como representar esta situação matematicamente?

(+ 3) x (– 2) = – 6

(35)

35

Unidade 1

Outras situações poderiam ser modeladas por outras multiplicações. Por exemplo:

(+ 3) x (+ 2) = + 6 (– 3) x (– 2) = + 6 (– 3) x (+ 2) = - 6 Observando essas operações é possível escrever:

A multiplicação de números de sinais diferentes apresenta resultado negativo e números de sinais iguais apresentam resultado positivo.

Resumindo simbolicamente as regras de sinais:

Divisão Multiplicação (+) ÷ (+) = (+) (+) x (+) = (+) (–) ÷ (+) = (–) (–) x (+) = (–) (+) ÷ (–) = (–) (+) x (–) = (–) (–) ÷ (–) = (+) (–) x (–) = (+)

P3 – Durante seis dias a temperatura de uma certa região esteve abaixo de zero, variando por volta de –18oC. Sabendo-se que a temperatura baixou o mesmo número de graus a cada dia, quantos graus teria abaixado por dia?

Para modelar esta situação, é possível escrever:

(– 18) ÷ (+ 6 ) = (– 3)

Isto significa que a temperatura baixou 3^oC por dia, até que chegasse a –18^oC.

(36)

36

Pare! Revise!

Quando uma divisão tem resto zero, trata-se de uma divisão exata. Por exemplo, 12 : 6 = 2. Isto é verdade, pois 2 x 6 = 12. Da mesma forma, 35 : 5 = 7, pois 7 x 5 = 35.

Veja a regra prática para a multiplicação que envolve frações, sendo b e d números diferentes de zero:

a b

c d

a c

⋅ = ⋅b d

⋅ 1) Resolva as operações indicadas:

a) ¹ 4

1 3

1 1 4 3

1

⋅ = . =12 . b) ⁵

8 1 4

5 1 8 4

5

⋅ − = − = −. 32 . c) ¹

2 10

5

1 10 2 5

10 10 1

⋅ = . = = .

d) 0,25 x 1,3 = 0,325 c) 0,721 x 3,69 = 2,66049

2) Se 350 corresponde ao valor total, calcule ¹₂ e ³₅ deste valor.

Para resolver este problema multiplique o valor total por suas frações:

1

2 de 350 ^{→ ⋅}¹₂ ^{350 350}⁼ ₂ ⁼¹⁷⁵ 3

5 de 350 ^{→ ⋅}³₅ ^{350 1050}⁼ ₅ ⁼²¹⁰.

3) Um bolo foi dividido em partes iguais entre sete pessoas.

Uma pessoa comeu metade da sua fatia. Quanto do bolo ela comeu?

Uma (1) fatia representa a sétima parte do bolo ou ¹₇. A metade de 1 fatia representa ¹

14 do bolo, ou ¹ 7

1 2

1

× =14.

(37)

37

Unidade 1

Assim, a pessoa comeu ¹

14 do bolo.

4) Se no bolo do problema anterior, dividido entre sete pessoas, cada pedaço custasse R$ 0,80, quanto custariam três pedaços do bolo?

1 pedaço do bolo → 1 →

7 ^{R$ 0,80}

3 pedaços do bolo → 3 →

7 3 X R$ 0,80 = R$ 2,40

Assim três pedaços do bolo custariam R$ 2,40.

Matemático tem cada idéia!

Veja o problema histórico criado para justificar a regra de sinais .

(–) x (–) = (+)

“eu tinha 3 dívidas, todas de 4 moedas de ouro. Mas as pessoas para quem eu devia morreram. Perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas. Assim, fiquei 12 moedas mais rico”.

“perdi 3 vezes a dívida de 4 moedas”  (– 3) x (– 4) = 12.

Quando você realiza a divisão de duas frações está multiplicando a primeira fração pelo inverso da segunda.

a b

c d

a b

d c

ad

÷ = ⋅ = bc com b, d e c diferentes de zero.

(38)

38

Resolva as operações indicadas:

a) ²₃^{÷ = ⋅ =}⁵₄ ²₃ ⁴₅ ^{2 4}_{3 5}^._. ⁼₁₅⁸

b) 1 23 5

1 2

5 3

1 5 2 3

5

= ⋅ = . =6 .

c) ⁵₉ ₆⁵ ⁵₉ ₅⁶ ^{5 6}_{9 5} ₄₅³⁰ ₉⁶ ₃²

5 5

3

÷ − = ⋅ − = − = − − 3 −

÷ =

= =

÷ =

. .

Pare! Revise!

Você não pode fazer uma divisão por zero. Por exemplo, não é possível dividir dois por zero: 2 ÷ 0 pois se 2 ÷ 0 = x, então x . 0 = 2. Não existe número que multiplicado por zero seja igual a 2.

Após tratar das operações de multiplicação e divisão com números reais, é possível introduzir um importante conceito, utilizado em diversas situações de nosso dia-a-dia: a

porcentagem.

É comum você se deparar com expressões do tipo:

a inflação no último mês foi de 4% (quatro por cento);

promoção: descontos de 30% à vista;

o índice da bolsa em São Paulo está em queda de 0,2%.

Mas o que isso significa?

A porcentagem é uma forma de comparar números usando a proporção direta. É o valor obtido quando se aplica uma razão centesimal a um valor. Como o nome já diz é por 100 ou sobre 100.

(39)

39

Unidade 1

Em linguagem algébrica a porcentagem de um número a, à razão x

100, é ₁₀₀^x x a.

Indica-se a expressão ₁₀₀^x por x%.

Para entender melhor, veja a aplicação deste conceito nos exemplos apresentados.

Exemplos

1) Calcule 10% de 500.

A razão centesimal é dada por 10% ⁼ ¹⁰

100. Portanto,

10% de 500 ^→ ¹⁰ ^⋅ ⁼ ⁼

100 500 5000 100 50. 2) Calcule 25% de 210.

Neste caso, a razão centesimal é dada por 25% ⁼ ²⁵

100. Portanto,

25% de 210 ^→₁₀₀²⁵ ^⋅²¹⁰⁼⁵²⁵⁰₁₀₀ ⁼^{52 5}^, . 3) Qual a taxa porcentual de 3 sobre 4?

Equacione a taxa indicada como

x

x x x x 100

3 4 4 3 100 4 300

300 4 75

=

= ⋅

=

= .

Então a taxa é de 75%.

(40)

40

4) Uma loja divulga uma promoção de 10% sobre o preço de suas mercadorias vendidas a vista. Se uma camisa custa R$ 90,00, qual será o seu valor com o desconto?

O desconto de 10% será sobre o valor de R$ 90,00.

Assim teremos:

10% de 90 ^→ ¹⁰ ^⋅ ⁼ ⁼

100 90 900 100 9.

Isto significa que a camisa custará R$ 9,00 a menos.

Portanto, o preço a ser pago é de

R$ 90,00 – R$ 9,00 = R$ 81,00.

Parada recreativa

Você lembra do matemático Diofanto? Que tal calcular quantos anos ele tinha quando morreu? Veja de novo o que estava em seu túmulo:

“Aqui jaz o matemático que passou um sexto da sua vida como menino. Um doze avos da sua vida passou como rapaz. Depois viveu um sétimo da sua vida antes de se casar. Cinco anos após nasceu seu filho, com quem conviveu metade da sua vida. Depois da morte de seu filho, sofreu mais 4 anos antes de morrer.”

Vamos identificar por V o tempo de vida de Diofanto, medido em anos. O tempo de vida de Diofanto é a soma de cada uma das frações indicadas. Assim, temos:

V V V V= + + + + +V 6 12 7 5

2 4 Resolvendo a soma de frações, teremos:

V V V V V V V V V V

V V V V V

6 12 7 2 9

6 12 7 2 1 9

14 7 12 42 84

84 9

+ + + − = − + + + − = −

+ + + − = −

−− = −

= 9

84 9

84 V

V .

(41)

41

Unidade 1

Determinando o valor de V, já é possível saber que Diofanto viveu 84 anos. Veja na tabela abaixo a divisão destes 84 anos:

Menino 84

6 =14anos Até 14 anos

Rapaz 84

12 =7 anos 14 aos 21 anos

Antes de casar 84

Filho nasceu 5 anos depois de casar 33 + 5 = 38 anos

Conviveu com o filho 84

Morreu 4 anos depois da morte do filho 80 + 4 = 84 anos

Seção 5 - Resolução de equações

Quando você está diante de um problema, pode resolvê-lo

usando mais de um caminho ou estratégia. Se o problema requer o uso de objetos matemáticos, a solução pode ser obtida a partir do envolvimento de algoritmos numéricos, resolução de equações ou sistemas de equações. Para cada situação, usa-se a ferramenta matemática adequada, que poderá ser simples ou de nível mais complexo, como é o caso de derivadas e integrais (objetos matemáticos não estudados nesta disciplina).

Os problemas considerados da área econômica, em geral, são modelados através de expressões algébricas resultando fórmulas práticas. Ao aplicar os dados, você fica diante de uma equação ou de um sistema de equações. É importante que neste momento você faça uma breve revisão sobre a resolução de equações do 1o e 2^o graus, pois estes conceitos serão amplamente aplicados no estudo das funções nas próximas unidades.

(42)

42

Equação do 1^o grau

A resolução de uma equação do 1^o grau consiste na determinação da incógnita x, “isolando-a” em um dos lados da igualdade. Para tal, você precisa relembrar dois princípios:

princípio aditivo da igualdade

: adicionando (ou

subtraindo) aos dois membros de uma igualdade o mesmo número, a igualdade não se altera. Em outras palavras, ao passar um número que está somando (ou subtraindo) para o outro lado da igualdade, deve-se inverter seu sinal;

princípio multiplicativo da igualdade

: multiplicando

(ou dividindo) os dois membros de uma igualdade pelo mesmo número, a igualdade não se altera. Em outras palavras, um número que está multiplicando passa para o outro lado da igualdade dividindo; já um número que está dividindo passa para o outro lado da igualdade multiplicando.

Pare! Revise!

É usual utilizar letras para representar os valores que uma variável pode assumir. É comum, de forma mais tradicional, usar o termo “incógnita” para expressar o valor que é desconhecido e se procura saber.

Exemplos

1) Determine o valor da incógnita x das seguintes equações do 1o grau:

a) 8x+ =4 12

8 4 12 8 12 4 8 8

8 8 1 x

x x x x + =

= −

=

(43)

43

Unidade 1

b) ^{− + = −}3x 4 3

− + = −

− = − −

− = −

= −

−

=

3 4 3

3 3 4

3 7

7 3 7 3 x

x x x

x

c) ²

7x− =3 5

2

7 3 5

2

7 5 3

2

7 8

8 7 2 56

2 28 x

x

x x

− =

= +

=

= ⋅

=

2) O testamento de um moribundo impõe que, quando sua esposa, que está grávida, tiver um filho, este herdará ³

4 e a viúva ¹

4 dos bens; mas se nascer uma filha, esta herdará ⁷ e a viúva ⁵ 12

12 dos bens. Como devem ser divididos os bens no caso de nascer um casal de gêmeos?

Este é um problema discutido na Idade Média e tem origem romana. A solução considerada viável faz uma suposição satisfatória, pois, rigorosamente, não se poderia solucioná-lo já que não se conhece o critério adotado pelo moribundo no caso de filhos gêmeos (poderia, por exemplo, ser uma escolha aleatória).

A sugestão de solução considera que o moribundo queria deixar:

para um filho o valor equivalente ao triplo do valor da

viúva pois ³

4 3 1

= ×4

Problema extraído de EVES, Howard. Introdução à História da Matemática.

Campinas: UNICAMP, 1995, p. 314.

(44)

44

para uma filha o valor equivalente a

7

5 do valor da viúva pois ⁷

12 7 5

5

= ×12

Assim, é possível escrever a equação:

x+3x+7x=

5 1

Considerando-se que a herança foi repartida para três pessoas (viúva, filho e filha), e mantendo-se a proporcionalidade

inicialmente proposta, na equação o valor de x representa a parte da viúva.

Para resolver a equação, é possível aplicar os princípios

enunciados para a resolução de uma equação do 1o grau. Veja:

x x x

x

x x

+ + =

=

= 3 7

5 1

5 15 7

5 1

27

5 1

27 5 5 27.

Assim, a solução pode ser resumida da seguinte forma:

A viúva receberá ⁵

27 dos bens, o que corresponde a 18,51% do total.

O filho recebe: o triplo de ⁵

27 3 5 27

15

= × = 27 dos bens, o que corresponde a 55,56% do total.

A filha recebe: ⁷

5 de ⁵

27 7 5

5 27

7

= × = 27 dos bens, o que corresponde a 25,93% do total.

(45)

45

Unidade 1

Equação do 2^o grau

Para resolver uma equação do segundo grau é preciso utilizar algumas regras gerais que foram criadas para auxiliar nestes cálculos. A fórmula mais conhecida é a fórmula de Bhaskara:

x b a

b b a c

a

x b b a c

a

x b b a c

a

= − ±

⋅ = − ± − ⋅ ⋅

⋅

= − + − ⋅ ⋅

⋅

= − − − ⋅ ⋅

⋅

∆ 2

4 2 4 2

4 2

2

1

2

Exemplos

1) Resolva as equações do 2o grau.

a) 2x²+5x− =3 0 x= − ± − ⋅ ⋅−

⋅ = − ± + = − ± = − ±

5 5 4 2 3 2 2

5 25 24 4

5 49 4

5 7 4

2

x₁ 5 7 4

2 4

1

= − + = = 2 x₂ 5 7

4

12

4 3

= − − = − = − b) 16−x² =0

x= − ± − ⋅− ⋅

⋅− = ±

− = ±

− 0 0 4 1 16

2 1

0 64 2

8 2

2

x₁ 8

2 4

= − = − x₂ 8

2 4

= −− =

(46)

46

2) Encontre o preço de equilíbrio e a respectiva quantidade para as funções de demanda e oferta, sendo x a

quantidade e y o preço:

x x y x y

2 2

5 1 0

2 9 0

+ − + = + − =

Para determinar o preço de equilíbrio e a quantidade vamos resolver o sistema de equações dado. Isolamos ^y^{= −}^{9 2}^x² e substituímos na primeira equação:

x x x

x x

2 2

2

5 9 2 1 0

3 5 8 0

+ − −

( )

^{+ =}

+ − + + = + − =

Aplicando os valores referentes à equação a ser solucionada, temos:

x= − ± − ⋅ ⋅−

⋅ = − ± + = − ±

5 5 4 3 8 2 3

5 25 96 6

5 121 6

2

x₁ 5 11 6

6 6 1

= − + = =

x₂ 5 11 6

16

= − − = −6

Como x representa a quantidade do produto, não faz sentido ser representado por um número negativo. Assim, apenas nos interessa o valor de x₁ = 1.

Substituindo x = 1 em uma das equações, temos:

y x

y y y

= −

= − ⋅

= −

= 9 2 9 2 1 9 2 7

2 2

Portanto os valores y = 7 e x = 1 representam o preço de equilíbrio e a quantidade para as funçõe de demanda e oferta apresentadas.

(47)

47

Unidade 1

Parada recreativa

Você já ouviu falar em Quadrados Mágicos?

Um quadrado dividido em 4, 9 ou 16 quadrados iguais é dito um quadrado mágico se a soma dos números numa coluna, numa linha ou em qualquer das diagonais for sempre a mesma.

A origem dos quadrados mágicos é obscura. Na Índia muitos reis usavam o quadrado mágico como amuleto; um sábio do Iemen afirmava que os quadrados mágicos eram preservativos de certas moléstias. Um quadrado mágico de prata, preso ao pescoço, evitava, segundo a crença de certas tribos, o contágio da peste.

Fonte: Faculdades de Guarulhos.

Disponível em: <http://www.faculdadesdeguarulhos.edu.br/artigos.html>.

Se a tradição for verdadeira, vale a pena completar o quadrado mágico proposto. Lembre-se de que ao multiplicar os valores das linhas, colunas e diagonais você deve obter o mesmo valor.

– 12 – 1

6

– 3

(48)

48

Síntese

Ao finalizar esta unidade você já pode dizer que conhece todos os números que são amplamente discutidos na Matemática e, muitas vezes, erroneamente utilizados em nosso dia-a-dia. Perceba que os conceitos relacionados aos números, às frações e às operações são importantes para que você avance e amplie seus estudos na Matemática.

Lembre-se de que a Matemática também é a base do curso que você está realizando, principalmente no que diz respeito ao desenvolvimento do raciocínio lógico. Um bom profissional nos dias de hoje deve desenvolver várias habilidades e competências e, dentre elas, destaca-se a facilidade em resolver problemas. A Matemática pode ajudá-lo neste contexto. Pense nisto!

Nas próximas unidades você irá estudar as funções.

Até lá!

Atividades de auto-avaliação

1) efetue as operações indicadas:

a) 2 3

5 +6 b) 1

9 2

−7 c) 10 3

÷4 d) 9 4

−5 e) 1

4−0 3, f) 3

4 1

×3