Este artigo apresentará um estudo sobre o desenvolvimento de números complexos, especialmente os cálculos de raízes e sua representação geométrica utilizando o software Mathematica, sua finalidade é calcular raízes complexas e esboçar seu gráfico utilizando um software matemático. Inicialmente, partiu-se de uma abordagem histórica e teórica para entender como surgiram os números complexos e quem foram os principais matemáticos envolvidos que contribuíram para o seu desenvolvimento. Dentro da matemática, os números complexos tornaram-se importantes na resolução de problemas que até então não tinham solução, como as equações quadráticas, desde então evoluíram e alcançaram praticamente todos os campos que envolvem a matemática, como física quântica, engenharia, teoria do caos, principalmente na resolução de problemas algébricos. e equações diferenciais.
Este projeto consiste na realização de uma abordagem histórica, conceitos, propriedades e aplicações de raízes complexas através do software MATHEMATICA. No Capítulo 1 foi feita uma abordagem sobre a história dos números complexos, a dificuldade que os matemáticos tinham em resolver problemas envolvendo as raízes dos números complexos e o surgimento de outros matemáticos que vieram colaborar durante seu período de evolução na matemática. . No capítulo 2 foi apresentada a definição dos números complexos, nomeadamente ao nível do seu reconhecimento, como se apresenta um número complexo, foram também realizadas algumas operações com números complexos de adição, subtracção, multiplicação e divisão, posteriormente as suas propriedades com os seus continuação. demonstração.
O capítulo 6 mostra a representação trigonométrica dos números complexos, através do plano complexo foi mostrado onde surgem as equações trigonométricas e como elas são convertidas para a forma polar, também mostra como o módulo dos números complexos é encontrado bem como a definição do argumento, e a fórmula utilizada para encontrar este ângulo, são feitos alguns exemplos, entre eles mostra como calcular o módulo e o argumento, o valor principal do argumento, e como escrever um número complexo na forma polar. No capítulo 7 é mostrada a fórmula de De Moivre onde falamos sobre a importância de determinar potências de expoentes naturais de números complexos, bem como de calcular raízes de números complexos.
HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS
Este problema foi um dos primeiros a surgir no desenvolvimento dos números complexos e foi a partir deste problema que Cardano demonstrou abertamente o primeiro caso da raiz quadrada de um número negativo. Para tirar Cardano desse obstáculo, o matemático bolonhês Rafael Bombelli foi o precursor no desenvolvimento da regra que deveria facilitar a solução de equações com números negativos e números complexos. Foi ele quem introduziu os números complexos na solução das equações do 3º grau. Partindo da ideia de Bombelli de como manipular números complexos, foram necessários mais de dois séculos para se obter, através de Euler, o conhecimento necessário para extrair raízes de números complexos.
Com o passar dos anos, porém, os números complexos foram incorporados à matemática, mas com uma certa aura de mistério que perdurou até os séculos XVIII e XIX. Foi nesse sentido que surgiram diferentes matemáticos, que juntos contribuíram com suas ideias na organização e formação da estrutura dos números complexos. Carl Friedrich Gauss foi o matemático que cunhou o termo números complexos e utilizou sua representação geométrica por pontos em um plano.
Foi através de Wessel e Argand que se percebeu que números complexos podem ser trabalhados algebricamente usando segmentos de reta orientados ou vetores coplanares. Segundo Hamilton, os números complexos eram vistos como pares ordenados ( ) de números reais, que se comportavam da seguinte forma.
NÚMEROS COMPLEXOS E SUAS PROPRIEDADES
- NÚMEROS COMPLEXOS
- OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
- PROPRIEDADES DA ADIÇÃO
- PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
Os números complexos formam um conjunto, onde as operações de adição, subtração, multiplicação e divisão são definidas da mesma forma que para os números reais. Para somar ou subtrair números complexos, somamos ou subtraímos as partes reais e imaginárias separadamente. Na divisão de dois números complexos devemos introduzir o conceito de conjugado de um número complexo onde , e o conjugado de é ̅ , para realizar a divisão colocamos o quociente em forma de fração e fazemos a racionalização, multiplicando o numerador . e nominativo do conjugado do nominativo.
Então ( ) ( ) , desta forma ( ) é chamado de elemento de adição neutro, que quando adicionado a qualquer número complexo será o seu próprio resultado, portanto.
POTÊNCIAS DE
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
MÓDULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
No tópico a seguir mostraremos como multiplicar e dividir números complexos na forma polar, e posteriormente veremos que esta operação será muito importante para calcular as potências completas de um número complexo. Notamos que o produto de dois números complexos é o número cujo módulo é o produto dos fatores e cujo argumento é a soma dos argumentos dos fatores conforme ( . Figura 4), nesta figura os triângulos cujo vértice é representado por são semelhantes aos que auxiliam na confecção do produto de acordo com os dados. Exemplo 5: Seja √ √ ( ) Antes de iniciarmos a multiplicação é necessário ter o número complexo graficamente, para multiplicar , primeiro escreveremos os números complexos na forma.
Tal como fizemos na construção do produto dos números complexos, encontraremos um resultado semelhante para a divisão na forma polar. Portanto, ao dividir os números complexos e calcular apenas o quociente dos módulos e a diferença dos argumentos (Figura 6), notamos que, semelhante ao caso do produto, a estrutura do quociente é formada com base na semelhança dos vértices dos triângulos. A fórmula de De Moivre é o resultado de uma interpretação geométrica do produto de números complexos, é importante para determinar a potência dos expoentes naturais de um número complexo na forma trigonométrica.
Uma das vantagens da fórmula de De Moivre é o cálculo de , sem a necessidade de utilização da fórmula de somatório. A fórmula de De Moivre também é usada para calcular as raízes de um número complexo, pois permite encontrar as raízes exponenciais de um número complexo diferente de zero escrito na forma trigonométrica. Sabendo que a forma mais fácil de resolver este problema é utilizar a forma polar da representação dos números complexos, começaremos analisando a equação (7.1).
Esta equação apresenta uma igualdade de números complexos, o que implica que devemos separar a parte real da parte imaginária a seguir. Observe que qualquer que seja o valor de resultará em um número diferente para e o raciocínio fica mais explícito quando escrevemos a equação na forma O objetivo deste trabalho foi fazer uma aplicação de números complexos no cálculo de raízes utilizando o software MATHEMATICA.
Para isso foi necessário revisar o aspecto histórico da criação dos números complexos, e depois sua definição e suas propriedades, onde definimos a unidade imaginária e suas aplicações. Isso foi importante para que pudéssemos trabalhar com maior clareza na resolução de equações e entender como as expressões de números complexos são representadas no plano de Argand-Gauss. Como resultado, o processo utilizado para resolver as equações adquiridas com a utilização deste software, que criou muita confiança e vontade de realizar tarefas que envolvem o cálculo de raízes complexas, de modo que ficou óbvio que os objetivos na aplicação MATHEMATICA de o software em operações com números complexos.
REPRESENTAÇÃO TRIGONOMETRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS
AS COORDENADAS POLARES NO PLANO
Dadas as coordenadas polares do ponto representado por, sabemos que | | com base na (Figura 3), onde Usando as relações trigonométricas de um triângulo retângulo, podemos obter as seguintes equações. O ângulo conhecido como argumento de é representado como arg quando , e refere-se ao ângulo que o vetor denominado z faz com o eixo real, medido no sentido anti-horário em radianos, e os valores de for são obtidos pela equação ou relação.
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS NA REPRESENTAÇÃO
Para formar o produto devemos multiplicar os módulos e somar os argumentos, conforme (. Figura 5). Seguindo o argumento principal, se a soma dos argumentos for maior que radianos, devemos subtrair um múltiplo inteiro de radianos do argumento. dados valores de , será o resultado. Fazendo a substituição por , já que as funções seno e cosseno têm período e são números inteiros positivos, negativos ou zero. Portanto, podemos concluir que se ( ) for a equação (7.1), então ela possui diversas soluções ou raízes que podem ser encontradas através da fórmula.
Esta fórmula, conhecida como segunda fórmula de De Moivre, diz-nos que qualquer valor que lhe atribuirmos resultará numa raiz distinta cujo módulo será o mesmo. Ser o mesmo módulo geometricamente falando significa que suas imagens no plano de Argand-Gauss estarão no mesmo perímetro. Podemos notar também que para cada valor inteiro de encontraremos argumentos que são arcos congruentes resultando em uma repetição das raízes, os argumentos que aparecem na expressão também variam de acordo com os valores de , é interessante notar como eles são atribuídos os valores que formam um (P.A), ou seja, serão iguais, sempre somaremos cada vez que atribuirmos um valor como uma unidade maior que o anterior.
Podemos concluir após esse raciocínio que se eles estiverem igualmente espaçados dentro do plano de Argand Gauss que apresenta a imagem na mesma circunferência, formaremos com esses vértices um polígono regular com lados. Essas ações, quando realizadas manualmente, podem levar muito tempo, o que acarretará um prejuízo inestimável para o profissional da área de ciências exatas. MATHEMATICA foi desenvolvido para funcionar com os mais recentes sistemas operacionais e hardware, para que possa ser usado em qualquer sistema que seja melhor para o usuário.
Utilizaremos o software MATHEMATICA nos cálculos de raízes complexas e mostraremos as propriedades geométricas dessas raízes. De modo geral, os resultados obtidos com o software MATHEMATICA permitiram uma excelente visualização do gráfico de raízes complexas, além de facilitarem seu cálculo, trouxeram agilidade ao processo de desenvolvimento de operações envolvendo raízes complexas. Neste sentido, o objetivo do trabalho foi mostrar como calcular raízes complexas utilizando o software MATHEMATICA, e os resultados foram bem sucedidos, tanto do ponto de vista visual como de otimização na sua implementação.
FÓRMULA DE DE MOIVRE
RAÍZES DE NÚMEROS COMPLEXOS
Para entender melhor como essas raízes serão encontradas, analisaremos essa expressão utilizando alguns valores de .
SOFTWARE MATHEMATICA
