XXVII Congresso de Iniciação Científica
Teoremas Fundamentais para a Geometria
Tawana Garcia Nunez, Luciana de Fátima Martins, Campus de São José do Rio Preto, IBILCE, Matemática, taw_nunez@hotmail.com, bolsa PICME-CNPq.
Palavras Chave: valor regular, curva, superfície.
Introdução
Podemos, através da sobrejetividade da diferencial de uma aplicação, classificar os valores na imagem da aplicação como valores regulares ou críticos.
Nesse trabalho estudamos, entre outros resultados, propriedades da imagem inversa desses valores regulares.
Objetivos
Nosso objetivo é estudar, através de teoremas clássicos como o Teorema da Aplicação Inversa, o Teorema da Aplicação Implícita e o Teorema de Sard, os valores regulares em aplicações diferenciáveis e a imagem inversa desses valores, com ênfase em aplicações.
Material e Métodos
Todo o trabalho é desenvolvido através de pesquisa em bibliografia especializada, e de apresentação de seminários semanais supervisionados pela orientadora. Os softwares utilizados para a redação dos relatórios e confecção de figuras são WinEdit, usando linguagem tex e MayuraDraw, respectivamente.
Resultados e Discussão
Durante nossos estudos obtivemos várias consequências importantes de teoremas conhecidos da Análise e da Geometria Diferencial, como veremos a seguir.
Analisando o gráfico de funções suaves definidas no conjunto dos números reais , tomando valores em , verificou-se que por um difeomorfismo global, ou seja, por uma mudança de coordenadas, podemos levar seu gráfico no eixo-x.
Dada uma aplicação f: 22 de posto maior ou igual a 1 em (0,0), mostramos que existe um difeomorfismo de 2 tal que (f o )(x,y)=(x, g(x,y)), com g uma aplicação suave. Para a demonstração de tal resultado, utilizamos o clássico Teorema da Aplicação Inversa. Resultado análogo pode ser feito para f: 33 com posto maior ou igual a 2 em (0,0), obtendo (f o )(x,y)=(x, y, g(x,y)), com um difeomorfismo de 3.
Ainda explorando propriedades de difeomorfismos, mostramos que qualquer curva
regular no espaço real de dimensão 2 é localmente a imagem inversa de um valor regular.
Após o estudo das propriedades da imagem inversa de um valor regular (com o principal resultado apresentado nas conclusões abaixo) surgiu a dúvida de quão fácil seria encontrar um valor regular e, respondendo a essa questão, estudamos também o Teorema de Sard, que afirma que o conjunto dos valores não-regulares em uma aplicação suave f: nm tem medida nula. Ou seja, “quase todos” valores de f são regulares.
Como consequência desse teorema, esperamos que um sistema qualquer com q equações em p variáveis, com q p, não tenha solução.
Conclusões
Em suma, podemos obter diversos resultados através dos teoremas fundamentais e, destacamos como principal, o seguinte:
Considere uma aplicação diferenciável f com domínio o n, na vizinhança de um ponto p, e como contradomínio o m com f(p)=c. Temos,
a) Se n=3 e m=1, então existe uma vizinhança V de p tal que a intersessão da imagem inversa de c por f com V é uma superfície regular.
b) Se n=3 e m=2, então existe uma vizinhança V de p tal que a intercessão da imagem inversa de c por f com V é uma curva regular no espaço.
c) Se n=2 e m=1, então existe uma vizinhança V de p tal que a intercessão da imagem inversa de c por f com V é uma curva plana regular.
Para a demonstração de tal resultado utilizamos, entre outras proposições, o Teorema da Aplicação Implícita.
Agradecimentos
Agradeço ao CNPq pelo apoio financeiro para realização deste projeto de iniciação científica, o qual foi desenvolvido durante o segundo ano de graduação em Licenciatura em Matemática do primeiro autor.
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1 Bruce, J. W. e Giblin, P. J. Curves and singularities: a geometrical introduction to singularity theory. 2º ed. Cambridge University Press, 1992.
2 K. Tenemblat. Introdução à Geometria Diferencial. Brasília. Editora Universidade de Brasília, 1990.
3 E.L. Lima. Curso de Análise. Vol 2. 11ª ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2010.
