Transmiss˜ ao de Calor (Cap´ıtulo 2) –

Transmiss˜ ao de Calor (Cap´ıtulo 2) –

Lista de Problemas (Resolu¸ c˜ ao Completa)

1. Considere condu¸c˜ao de calor unidimensional numa parede plana, em regime estacion´ario, sem gera¸c˜ao interna de energia t´ermica e com condutibilidade t´ermica (k) constante. Nestas condi¸c˜oes, impondo as temperaturas T (x=x_0,ref) = T_max e T(x=x_L,ref) = T_min (< T_max) e considerando k =k_ref obt´em-se a distribui¸c˜ao de temperaturas apresentada na figura (“Referˆencia”) e o fluxo de calor correspondente ´e dado por q⁰⁰_x,ref =q⁰⁰_x,refi. Considerando q⁰⁰_x,ref e T_max (temperatura m´axima

Problema 1

na parede) para os Casos 1–3 (ver figura), indique, justificando:

(a) qual dos perfis apresentados para o Caso 1 ´e obtido se k > kref; Resolu¸c˜ao:

q_x⁰⁰ =q_x,ref⁰⁰ ⇔kdT

dx =k_ref dT

dx

ref

⇔

⇔ kref

k = dT /dx

(dT /dx)_ref <1⇔ dT dx <

dT dx

ref

(1)

Dos trˆes perfis apresentados para o Caso 1, o ´unico que respeita dT /dx < (dT /dx)_ref ´e o Perfil A.

(b) qual dos perfis apresentados para o Caso 2 ´e obtido se L < L_ref(= x_L,ref −x_0,ref); e Resolu¸c˜ao:

q⁰⁰_x =q_x,ref⁰⁰ ⇔kdT

dx =k_ref dT

dx

ref

⇔

⇔ dT dx =

dT dx

ref

(2)

Dos trˆes perfis apresentados para o Caso 2, o ´unico que respeita dT /dx = (dT /dx)_ref ´e o Perfil B.

(c) qual dos perfis apresentados para o Caso 3 ´e obtido se q⁰⁰_x =−q⁰⁰_x,ref. Resolu¸c˜ao:

q⁰⁰_x =−q_x,ref⁰⁰ ⇔kdT

dx =−k_ref dT

dx

ref

⇔

⇔ dT dx =−

dT dx

ref

(3)

Dos trˆes perfis apresentados para o Caso 3, o ´unico que respeita dT /dx=−(dT /dx)_ref ´e o Perfil C.

2. Uma tubagem que transporta vapor de ´agua encontra-se revestida por um material isolante de condutibilidade t´ermica k. Os raios interior e exterior do isolante s˜ao r_i e r_o, respectivamente.

Num dado instante de tempo particular, a distribui¸c˜ao de temperatura no isolante tem a seguinte forma:

T (r) = C1ln r

r_o

+C2

(a) As condi¸c˜oes do problema s˜ao estacion´arias ou transientes? Justifique.

Resolu¸c˜ao:

∂T

∂t = ∂

∂t

C₁ln r

r₀

+C₂

⇔ ∂T

∂t = 0 ⇒

⇒ As condi¸c˜oes do problema s˜ao estacion´arias

(4)

(b) Como variam a taxa e o fluxo de calor no isolante em fun¸c˜ao do raio?

Resolu¸c˜ao:

Aplicando a lei de Fourier para o c´alculo do fluxo e da taxa de transferˆencia de calor, tem-se:

Fluxo de calor

q_r⁰⁰=−kdT

dr =−k d dr

C₁ln

r r₀

+C₂

⇔q⁰⁰_r =−kC₁ r ⇒

⇒ O fluxo de calor ´e inversamente proporcional ao raio,i.e.,q⁰⁰_r ∝r⁻¹

(5)

Taxa de transferˆencia de calor

q_r =Aq_r⁰⁰ = (2πrL)

−kC₁ r

⇔q_r=−2πkLC₁ ⇒

⇒ A taxa de transferˆencia de calor n˜ao depende do raio

(6)

3. Uma superf´ıcie plana com uma ´area de 2 m² (A) e temperatura de 350 K (T_s) ´e arrefecida convec- tivamente por diferentes fluidos (em diferentes regimes de convec¸c˜ao) mas com uma temperatura constante e igual a 300 K (T_∞). Com base nos dados apresentados na tabela, determine as maio- res e menores taxas de transferˆencia de calor que poder˜ao ser obtidas durante o processo de

Problema 3

Aplica¸c˜oes Coeficiente de Convec¸c˜ao (h[W m⁻²K⁻¹]) – Gama T´ıpica Convec¸c˜ao Natural

Gases 2−25

L´ıquidos 50−1000

Convec¸c˜ao For¸cada

Gases 25−250

L´ıquidos 50−20000

arrefecimento para:

(a) convec¸c˜ao natural; e Resolu¸c˜ao:

Considerando a taxa de transferˆencia de calor calculada a partir da lei de arrefecimento de Newton tem-se:

q_conv =hA(T_s−T_∞) (7)

onde, A = 2 m², T_s = 350 K e T∞ = 300 K. O coeficiente de transferˆencia de calor por convec¸c˜ao (ou simplesmente “coeficiente de convec¸c˜ao”),h, ´e obtido directamente da tabela.

Uma vez que q_conv ∝h (ver Equa¸c˜ao (7)), as maiores (menores) taxas de transferˆencia de calor para cada regime s˜ao obtidas para os maiores (menores) coeficientes de convec¸c˜ao.

A tabela mostra que independente do regime de convec¸c˜ao (convec¸c˜ao natural ou for¸cada) os valores m´ınimos (m´aximos) para o coeficiente de convec¸c˜ao s˜ao observados para os gases (l´ıquidos).

Substituindo os valores correspondentes na Equa¸c˜ao (7), obtˆem-se as respostas pretendidas.

h_min = 2 W m⁻²K⁻¹ ⇒q_conv,min = 2×2 (350−300)⇔ q_conv,min = 200 W (8) h_max = 1000 W m⁻²K⁻¹ ⇒q_conv,max = 1000×2 (350−300)⇔ q_conv,max= 1×10⁵W (9) (b) convec¸c˜ao for¸cada.

Resolu¸c˜ao:

Seguindo o mesmo procedimento da al´ınea anterior, tem-se:

h_min = 25 W m⁻²K⁻¹ ⇒q_conv,min = 100×2 (350−300)⇔ q_conv,min = 2500 W (10) h_max= 20000 W m⁻²K⁻¹ ⇒q_conv,max= 20000×2 (350−300)⇔

⇔ q_conv,max= 2×10⁶W (11)

4. Uma placa plana tem uma superf´ıcie isolada e a outra exposta ao sol. A superf´ıcie exposta ao sol absorve radia¸c˜ao `a taxa de 800 W m⁻² (G^abs_sol) e perde calor por convec¸c˜ao para o ar ambiente e por radia¸c˜ao para as superf´ıcies envolventes. Considere a emissividade da superf´ıcie exposta ao sol () igual a 0.8 e o coeficiente de convec¸c˜ao do ar ambiente (h) igual a 12 W m⁻²K⁻¹. Se a temperatura do ar ambiente (T∞) e a temperatura das superf´ıcies envolventes (T_sur) forem iguais a 40^◦C e 20^◦C, respectivamente, determine a temperatura da placa (T_p) em regime estacion´ario.

Resolu¸c˜ao:

Aplicando um balan¸co de energia `a placa tem-se:

E˙in−E˙out+ ˙Eg = ˙Est (12) A Equa¸c˜ao (12) pode ser simplificada tendo em conta o seguinte:

como o regime ´e estacion´ario – n˜ao existem varia¸c˜oes temporais de temperatura (i.e., dT /dt = 0) –, o termo de acumula¸c˜ao de energia t´ermica no interior da placa, ˙E_st (= ρV c dT /dt), ´e nulo; e

uma vez que no interior da placa n˜ao h´a gera¸c˜ao de energia t´ermica (resultante da con- vers˜ao de outra forma de energia, como el´ectrica, qu´ımica, ou nuclear), o termo ˙E_g ´e nulo.

Considerando estas hip´oteses simplificativas, a Equa¸c˜ao (12) d´a origem `a Equa¸c˜ao (13).

E˙_in= ˙E_out (13)

Os termos ˙E_in e ˙E_out (Equa¸c˜ao (13)) s˜ao obtidos considerando as respectivas contribui¸c˜oes de transferˆencia de energia energia t´ermica (calor) atrav´es da superf´ıcie da placa exposta ao sol (ver figura), tal como as Equa¸c˜oes (14) e (15) descrevem.

E˙_in=AG^abs_sol (14)

E˙_out =A





h(T_s−T∞)

| {z }

q⁰⁰_conv

+σ T_s⁴−T_sur⁴

| {z }

q⁰⁰_rad





 (15) Na Equa¸c˜ao (15),q_conv⁰⁰ eq⁰⁰_radcorrespondem aos fluxos de calor convectivo e radiativo na superf´ıcie da placa exposta ao sol. Considerando as Equa¸c˜oes (14) e (15), a Equa¸c˜ao (13) pode escrever-se de acordo com a Equa¸c˜ao (16).

AG^abs_sol =Aq_conv⁰⁰ +Aq_rad⁰⁰ ⇔G^abs_sol =h(Tp−T∞) +σ T_p⁴−T_sur⁴

⇔

⇔800 = 12 [T_p−(40 + 273,15)] + 0,8×5,67×10⁻⁸

T_p⁴−(20 + 273,15)⁴

⇔

⇔ −4,536×10⁻⁸T_p⁴−12T_p+ 4892,79 = 0⇒ T_p ≈350,6 K (77,5^◦C)

(16)

Note que nas express˜oes para os fluxos de calor radiativo e convectivo (Equa¸c˜ao (16)), a tem- peratura da superf´ıcie da placa que troca calor com exterior (vari´avel T_s na Equa¸c˜ao (15)) ´e substitu´ıda pela temperatura da placa (Tp) uma vez que toda a placa se encontra `a mesma temperatura (T_p =T_s). A condi¸c˜ao de placa isot´ermica deve-se ao facto de uma das superf´ıcies da placa ser adiab´atica e o regime ser estacion´ario.

5. Considere a placa plana do Problema 4, desprezando agora a absor¸c˜ao de energia solar e conside- rando que em vez da superf´ıcie isolada, a placa tem uma superf´ıcie mantida a uma temperatura constante mas desconhecia (T_s,2). Considere as mesmas trocas de calor por convec¸c˜ao e radia¸c˜ao para o exterior incluindo os mesmos valores para h, T∞, e T_sur do Problema 4. Considere que a placa tem 10 cm de espessura (L) e uma condutibilidade t´ermica (k) igual a 2 W m⁻¹K⁻¹. Sabendo que em regime estacion´ario e nas condi¸c˜oes referidas a temperatura da superf´ıcie da placa para o exterior – superf´ıcie da placa que no Problema 4 absorvia radia¸c˜ao solar – ´e de 350 K (T_s,1), determine a temperatura desconhecida, T_s,2, na superf´ıcie oposta.

Resolu¸c˜ao:

Aplicando um balan¸co de energia `a superf´ıcie exterior da placa tem-se:

E˙_in−E˙_out = 0 (17)

(As superf´ıcies n˜ao tˆem volume nem massa, logo n˜ao se consideram os termos ˙E_g e ˙E_st no balan¸co de energia a uma superf´ıcie como se consideram em balan¸cos de energia a meios.) Os termos ˙E_in e ˙E_out (Equa¸c˜ao (17)) s˜ao obtidos considerando as respectivas contribui¸c˜oes de transferˆencia de energia energia t´ermica (calor) de e para a superf´ıcie em quest˜ao (superf´ıcie exterior da placa) – ver figura.

E˙_in=A

kT_s,2 −T_s,1 L

| {z }

q⁰⁰_cond

(18)

E˙_out =A





h(T_s,1−T∞)

| {z }

q_conv⁰⁰

+σ T_s,1⁴ −T_sur⁴

| {z }

q_rad⁰⁰





 (19) Nas Equa¸c˜oes (18) e (19),q_cond⁰⁰ ,q⁰⁰_conv eq_rad⁰⁰ correspondem aos fluxos de calor condutivo, convec- tivo e radiativo, respectivamente. Considerando as Equa¸c˜oes (18) e (19), a Equa¸c˜ao (17) pode escrever-se de acordo com a Equa¸c˜ao (20).

Aq_cond⁰⁰ =Aq⁰⁰_conv+Aq⁰⁰_rad ⇔k(T_s,2−T_s,1)/L=h(T_s,1−T∞) +σ T_s,1⁴ −T_sur⁴

⇔

⇔2 (T_s,2−350)/0,1 = 12 [350−(40 + 273,15)] + +0,8×5,67×10⁻⁸

350⁴−(20 + 273,15)⁴

⇒ T_s,2 ≈389,4 K (116,3^◦C)

(20)

6. Considere uma esfera de raio igual a 2 cm (R₀) que est´a envolvida por um material isolante. A esfera ´e colocada numa cavidade micro-ondas estando inicialmente a uma temperatura constante e uniforme de 20^◦C (T_i) quando ´e submetida a um campo electromagn´etico que proporciona um aquecimento em volume com uma taxa constante e uniforme de 1 W cm⁻³ ( ˙q). O material da esfera tem uma densidade (ρ) e calor espec´ıfico (c) iguais a 6500 kg m⁻³ e 400 J kg⁻¹K⁻¹, respectivamente. A condutibilidade t´ermica do material da esfera ´e elevada o suficiente para desprezar gradientes de temperatura no interior da esfera – assuma a temperatura da esfera uniforme (isot´ermica) em todo o seu volume em cada instante de tempo. Determine a temperatura da esfera ao fim de 2 minutos de exposi¸c˜ao ao campo electromagn´etico. Despreze trocas de calor atrav´es da superf´ıcie externa da esfera (r =R₀).

Resolu¸c˜ao:

Aplicando um balan¸co de energia `a esfera tem-se:

E˙in−E˙out+ ˙Eg = ˙Est (21) A Equa¸c˜ao (21) pode ser simplificada tendo em conta o seguinte:

como n˜ao h´a transferˆencia de energia t´ermica do exterior para a esfera (uma vez que a esfera est´a envolvida por um isolante), o termo ˙E_in´e nulo; e

como n˜ao h´a transferˆencia de energia t´ermica da esfera para o exterior (esfera isolada), o termo ˙E_out ´e nulo.

Considerando estas hip´oteses simplificativas, a Equa¸c˜ao (21) d´a origem `a Equa¸c˜ao (22).

E˙_g = ˙E_st (22)

Os termos ˙E_g e ˙E_st (Equa¸c˜ao (22)) s˜ao calculados atrav´es das Equa¸c˜oes (23) e (24), respectiva- mente.

E˙g = ˙qV (23)

E˙st =ρV cdT

dt (24)

Considerando as Equa¸c˜oes (23) e (24), a Equa¸c˜ao (22) pode escrever-se de acordo com a Equa¸c˜ao (25).

˙

q=ρcdT

dt (25)

Separando as vari´aveisT et, e integrando desde o instante inicial em quet = 0 eT(t = 0) =T_i, ao instante t em que T(t) =T obt´em-se:

Z t 0

dt= ρc

˙ q

Z T Ti

dT ⇔t= ρc

˙

q (T −T_i) (26)

A temperatura da esfera ap´os 2 minutos de aquecimento ´e determinada atrav´es da equa¸c˜ao seguinte.

T =T_i+ tq˙

ρc = 20 +2×60×1×10⁶

6500×400 ⇔ T = 66,2^◦C (27)

7. Considere uma esfera de raio igual a 5 cm (R₀), que est´a inicialmente a uma temperatura constante e uniforme de 80^◦C (T_i) quando ´e mergulhada num fluido com uma temperatura de 20^◦C (T∞) e um coeficiente de convec¸c˜ao, h, igual a 100 W m⁻²K⁻¹. O material da esfera tem uma densidade (ρ) e calor espec´ıfico (c) iguais a 8000 kg m⁻³e 250 J kg⁻¹K⁻¹, respectivamente. A condutibilidade t´ermica do material ´e elevada o suficiente para desprezar gradientes de temperatura no interior da esfera. Determine o tempo de contacto necess´ario da esfera com o fluido para que a temperatura da esfera atinja 40^◦C. Despreze qualquer influˆencia da radia¸c˜ao na temperatura da esfera.

Resolu¸c˜ao:

Aplicando um balan¸co de energia `a esfera tem-se:

E˙_in−E˙_out+ ˙E_g = ˙E_st (28) A Equa¸c˜ao (28) pode ser simplificada tendo em conta o seguinte:

como n˜ao h´a transferˆencia de energia t´ermica do fluido envolvente para o interior da esfera, o termo ˙E_in´e nulo; e

uma vez que no interior da placa n˜ao h´a gera¸c˜ao de energia t´ermica, o termo ˙E_g ´e nulo.

Considerando estas hip´oteses simplificativas, a Equa¸c˜ao (28) d´a origem `a Equa¸c˜ao (29).

−E˙_out = ˙E_st (29) Os termos ˙E_out e ˙E_st (Equa¸c˜ao (29)) s˜ao calculados atrav´es das Equa¸c˜oes (30) e (31), respecti- vamente.

E˙out =Ah(Ts−T∞) (30)

E˙_st =ρV cdT

dt (31)

Considerando as Equa¸c˜oes (30) e (31), a Equa¸c˜ao (29) pode escrever-se de acordo com a Equa¸c˜ao (32).

−Ah(T −T∞) =ρV cdT

dt (32)

Considerando (T −T∞) =θ, dT /dt=dθ/dt. Assim, a Equa¸c˜ao (32) pode ser escrita de acordo com:

−Ahθ =ρV cdθ

dt (33)

Separando as vari´aveis θ e t e integrado desde o instante inicial em que t= 0, T(t = 0) =Ti e, consequentemente, θ(t = 0) = θ_i(= T_i−T∞), ao instante t em que T(t) = T e, consequente- mente, θ(t) = θ(= T −T∞) obt´em-se:

− Z t

0

dt= ρV c Ah

Z θ θi

dθ

θ ⇔t = ρV c Ah ln

θ_i θ

(34) O tempo de contacto necess´ario para a esfera atingir 40^◦C ´e obtido atrav´es do resultado da integra¸c˜ao da equa¸c˜ao que governa a varia¸c˜ao temporal da temperatura (Equa¸c˜ao (34)), consi- derando Ti = 80^◦C (condi¸c˜ao inicial) e T(t) = 40^◦C e, consequentemente, θi = 80−20 = 60^◦C e θ = 40−20 = 20^◦C, respectivamente, tal apresentado na equa¸c˜ao seguinte.

t= 8000×(4/3)π×0,05³×250 4π×0,05² ×100 ln

60 20

⇔ t≈366,2 s (35)

8. Considere condu¸c˜ao de calor unidimensional em trˆes geometrias distintas: parede plana; parede cil´ındrica; e parede esf´erica. Na parede plana a condu¸c˜ao de calor verifica-se exclusivamente ao longo da espessura (direc¸c˜aox) e nas paredes cil´ındrica e esf´erica ao longo do raio (r). Considere condu¸c˜ao em regime estacion´ario, sem gera¸c˜ao interna de energia t´ermica e com uma condutibi- lidade t´ermica constante.

(a) Com base na solu¸c˜ao geral da correspondente forma simplificada da equa¸c˜ao (de difus˜ao) de calor fa¸ca corresponder os 3 perfis de temperatura (ao longo da coordenada espacial (ξ) de referˆencia) apresentados na figura com as 3 geometrias referidas. Na figura, a coordenada espacial de referˆencia,ξ, corresponde `a coordenadaxpara a parede plana e r para sistemas radiais (paredes cil´ındricas e esf´ericas).

Problema 8 Resolu¸c˜ao:

A forma geral da equa¸c˜ao de difus˜ao de calor ´e descrita pela Equa¸c˜ao (36). A equa¸c˜ao de difus˜ao de calor governa a distribui¸c˜ao espacial e temporal de temperaturas em meios homog´eneos onde o ´unico mecanismo de transporte de calor ´e a condu¸c˜ao (difus˜ao). Esta equa¸c˜ao resulta da aplica¸c˜ao do principio de conserva¸c˜ao de energia (Equa¸c˜oes (12), (21) e (28)) a um volume de controlo diferencial (infinitesimal) onde o transporte de calor ´e descrito pela aplica¸c˜ao da lei de Fourier.

∇ ·(k∇T) + ˙q =ρc_p∂T

∂t (36)

Para o problema em considera¸c˜ao, a Equa¸c˜ao (36) pode ser simplificada considerando os dados do problema:

1. “condu¸c˜ao em regime estacion´ario”, o que significa que n˜ao existem varia¸c˜oes da temperatura com a coordenada temporal, t (tempo); consequentemente, ∂T /∂t = 0 e o termo do segundo membro da Equa¸c˜ao (36) ´e nulo – i.e., ρc_p(∂T /∂t) = 0;

2. “sem gera¸c˜ao de energia t´ermica”, ou seja, n˜ao existe produ¸c˜ao nem consumo de energia t´ermica no interior do volume de controlo (paredes plana, cil´ındrica e esf´erica) e, consequentemente, o termo ˙q da Equa¸c˜ao (36) ´e nulo; e

3. “com condutibilidade t´ermica constante”, ou seja, k n˜ao varia com a posi¸c˜ao.

A equa¸c˜ao resultante da aplica¸c˜ao das simplifica¸c˜oes referidas `a Equa¸c˜ao (36) apresenta-se de seguida.

∇²T = 0 (37)

Na Equa¸c˜ao (37),∇² corresponde ao operador Laplaciano – ∇²T =∇ ·(∇T).

A Equa¸c˜ao (37), tem um desenvolvimento espec´ıfico para cada uma das trˆes geometrias – parede plana, parede cil´ındrica e parede esf´erica – uma vez que cada geometria est´a as- sociada a um sistema de coordenadas diferentes – coordenadas cartesianas, cil´ındricas e esf´ericas, respectivamente.

Parede Plana (Coordenadas Cartesianas): Para a parede plana consideram-se coor- denadas cartesianas, (x, y, z). Nestas circunstˆancias, a Equa¸c˜ao (37) ´e reescrita da seguinte forma:

∂²T

∂x² + ∂²T

∂y² +∂²T

∂z² = 0 (38)

Uma vez que ´e referido no enunciado do problema que a condu¸c˜ao ´e unidimensional ao longo da coordenada espacial de referˆencia, ξ (= x para parede plana), ent˜ao a equa¸c˜ao anterior ´e simplificada na forma seguinte:

d²T

dx² = 0 (39)

A Equa¸c˜ao (39) ´e a “correspondente forma simplificada da equa¸c˜ao (de difus˜ao) de ca- lor”(utilizando as palavras do enunciado) para a parede plana. A solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao – solu¸c˜ao que permite identificar a forma funcional para a distribui¸c˜ao de tempe- raturas – ´e obtida atrav´es da dupla integra¸c˜ao na coordenada espacial, x – Equa¸c˜ao (40).

Na Equa¸c˜ao (40),C₁ eC₂ correspondem a constantes de integra¸c˜ao.

Z Z d dx

dT dx

dxdx= Z Z

0dxdx⇔ Z dT

dxdx = Z

C₁dx⇔ T(x) = C₁x+C₂ (40) Assim, conclui-se que o Perfil A (figura) ´e observado para uma parede plana, ou seja, nas condi¸c˜oes do problema, a temperatura varia linearmente ao longo da espessura da parede plana – T(x)∝x.

Parede Cil´ındrica (Coordenadas Cil´ındricas): Para a parede cil´ındrica consideram- se coordenadas cil´ındricas, (r, φ, z). Nestas circunstˆancias, a Equa¸c˜ao (37) ´e reescrita da seguinte forma:

1 r

∂

∂r

r∂T

∂r

+ 1 r²

∂

∂φ ∂T

∂φ

+ ∂

∂z ∂T

∂z

= 0 (41)

Uma vez que ´e referido no enunciado do problema que a condu¸c˜ao ´e unidimensional ao longo de ξ (=r para parede cil´ındrica), ent˜ao a equa¸c˜ao anterior ´e agora:

1 r

d dr

rdT

dr

= 0 (42)

A Equa¸c˜ao (42) ´e a “correspondente forma simplificada da equa¸c˜ao (de difus˜ao) de ca- lor”para a parede cil´ındrica. A solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao ´e obtida atrav´es da dupla integra¸c˜ao na coordenada espacial, r – Equa¸c˜oes (43) – (44).

Z d dr

rdT

dr

dr= Z

0dr⇔ dT dr = C₁

r (43)

Z dT drdr=

Z C₁

r dr ⇔ T(r) =C₁ln(r) +C₂ (44) Assim, conclui-se que o Perfil B (figura) ´e observado para uma parede cil´ındrica, ou seja, nas condi¸c˜oes do problema, a temperatura varia de acordo com o logaritmo da coordenada radial da parede cil´ındrica – T(r)∝ln(r).

Parede Esf´erica (Coordenadas Esf´ericas): Para a parede esf´erica consideram-se coor- denadas esf´ericas, (r, φ, θ). Nestas circunstˆancias, a Equa¸c˜ao (37) ´e reescrita da seguinte forma:

1 r²

∂

∂r

r²∂T

∂r

+ 1

r²sin²θ

∂

∂φ ∂T

∂φ

+ 1

r²sinθ

∂

∂θ

sinθ∂T

∂θ

= 0 (45)

Uma vez que ´e referido no enunciado do problema que a condu¸c˜ao ´e unidimensional ao longo de ξ (=r para parede esf´erica), ent˜ao a equa¸c˜ao anterior ´e agora:

1 r²

d dr

r²dT

dr

= 0 (46)

A Equa¸c˜ao (46) ´e a “correspondente forma simplificada da equa¸c˜ao (de difus˜ao) de ca- lor”para a parede esf´erica. A solu¸c˜ao geral desta equa¸c˜ao ´e obtida atrav´es da dupla inte- gra¸c˜ao na coordenada espacial, r – Equa¸c˜oes (47) – (48).

Z d dr

r²dT

dr

dr= Z

0dr ⇔ dT dr = C₁

r² (47)

Z dT drdr =

Z C₁

r²dr⇔ T(r) = C₁

r +C₂ (48)

Assim, conclui-se que o Perfil C (figura) ´e observado para uma parede esf´erica, ou seja, nas condi¸c˜oes do problema, a temperatura varia de acordo com o inverso da coordenada radial da parede esf´erica – T(r)∝r⁻¹.

Note que as constantes de integra¸c˜ao (C₁ e C₂) s˜ao obtidas atrav´es da aplica¸c˜ao de duas condi¸c˜oes de fronteira nos limites do dom´ınio espacial de interesse – condi¸c˜oes de fronteira

em ξ =ξ₀ e ξ = ξ₁. Uma vez conhecendo as constantes de integra¸c˜ao obt´em-se a solu¸c˜ao particular da distribui¸c˜ao de temperatura (T(ξ)) para o problema.

(b) Para a trˆes geometrias em considera¸c˜ao, indique, justificando, como variam a taxa de trans- ferˆencia de calor (qξ) e o fluxo de calor (q_ξ⁰⁰) ao longo da coordenada espacial (ξ) de referˆencia.

Resolu¸c˜ao:

O fluxo de calor e a taxa de transferˆencia de calor s˜ao obtidos aplicando a lei de Fourier, tendo em conta a adequada distribui¸c˜ao de temperaturas – Equa¸c˜oes (40), (44) e (48) para as paredes plana, cil´ındrica e esf´erica, respectivamente.

q_ξ⁰⁰(ξ) = −kdT

dξ (49)

q_ξ(ξ) = −kA_ξdT

dξ (50)

Na Equa¸c˜ao (55), A_ξ corresponde `a ´area da superf´ıcie perpendicular ao sentido da trans- ferˆencia de calor.

Parede Plana:

q_x⁰⁰(x) = −kdT

dx ⇔ q⁰⁰_x(x) =−kC₁ (51)

q_x(x) =−kA_xdT

dx ⇔ q_x(x) =−k(L_y×L_z)C₁ (52) Para a parede plana, tanto a taxa de transferˆencia de calor como o fluxo de calor n˜ao tˆem dependˆencia com a coordenada espacial, x.

Parede Cil´ındrica:

q_r⁰⁰(r) =−kdT

dr ⇔ q_r⁰⁰(r) = −kC1

r (53)

q_r(r) =A_rq_r⁰⁰ ⇔q_r(r) = −k(2πrL)C1

r ⇔ q_r(r) =−2πkLC₁ (54) Para a parede cil´ındrica, a taxa de transferˆencia de calor n˜ao tˆem dependˆencia com a coor- denada espacial, r. Contudo, o fluxo de calor depende da posi¸c˜aor.

Parede Esf´erica:

q_r⁰⁰(r) =−kdT

dr ⇔ q_r⁰⁰(r) = −kC₁

r² (55)

qr(r) = Arq⁰⁰_r ⇔qr(r) =−k(4πr²)C₁

r² ⇔ qr(r) = −4πkC1 (56)

Para a parede esf´erica, a taxa de transferˆencia de calor n˜ao tˆem dependˆencia com a coor- denada espacial, r. Contudo, o fluxo de calor depende da posi¸c˜aor.

Nas condi¸c˜oes consideradas – condu¸c˜ao unidimensional, em regime estacion´ario e sem ge- ra¸c˜ao de energia t´ermica –, a taxa de transferˆencia de calor para as trˆes geometrias ´e cons- tante ao longo da correspondente coordenada espacial de referˆencia como consequˆencia do principio da conserva¸c˜ao de energia – ver Equa¸c˜ao (57)

E˙in−E˙out = 0 ⇔qξ−(qξ+dq_ξ

dξdξ) = 0⇔ d

dξ(qξ) = 0⇒qξ = C^te (57)

9. Considere condu¸c˜ao de calor numa placa rectangular em regime estacion´ario. A superf´ıcie x= 0

´e aquecida electricamente com um fluxo de calorq⁰⁰₀ . A superf´ıciex=a´e mantida `a temperatura T<sub>0</sub>. A superf´ıcie y = b ´e mantida isolada. A superf´ıcie y = 0 dissipa calor por convec¸c˜ao para um meio `a temperatura T∞ e com um coeficiente de convec¸c˜aoh. A condutibilidade t´ermica do material ´e uniforme e n˜ao h´a gera¸c˜ao interna de energia. Formule o problema de condu¸c˜ao de calor, estabelecendo a equa¸c˜ao que rege a distribui¸c˜ao de temperaturas na placa e as condi¸c˜oes de fronteira.

Resolu¸c˜ao:

A figura seguinte apresenta uma representa¸c˜ao esquem´atica do enunciado. No interior da placa plana o mecanismo de transporte de calor ´e exclusivamente difusivo (condu¸c˜ao de calor).

A forma geral da equa¸c˜ao de difus˜ao de calor – equa¸c˜ao que governa a distribui¸c˜ao (espacial e temporal) de temperaturas em meios homog´eneos e sem contribui¸c˜ao advectiva (movimento macrosc´opico de fluidos) obtida atrav´es da aplica¸c˜ao do princ´ıpio da conserva¸c˜ao de energia considerando o transporte de calor no interior do meio exclusivamente por difus˜ao (condu¸c˜ao) – ´e descrita pela Equa¸c˜ao (58).

∇ ·(k∇T) + ˙q=ρc_p∂T

∂t (58)

Para coordenada cartesianas (x, y, z), o primeiro termo do primeiro membro da equa¸c˜ao anterior corresponde aos trˆes primeiros termos do primeiro membro da Equa¸c˜ao (59).

∂

∂x

k∂T

∂x

+ ∂

∂y

k∂T

∂y

+ ∂

∂z

k∂T

∂z

+ ˙q =ρc_p∂T

∂t (59)

A Equa¸c˜ao (59) pode ser simplificada tendo em conta os dados do problema, tal como se segue:

1. como o problema ´e bidimensional (no plano (x, y)) desprezam-se gradientes de tempera- tura (fluxos de calor) na direc¸c˜ao ortogonal (direc¸c˜ao z) e, consequentemente, o termo

∂/∂z(k∂T /∂z) ´e nulo.

2. como o regime ´e estacion´ario, a temperatura n˜ao tem dependˆencia temporal (i.e.,∂T /∂t= 0) e, assim, o ´unico termo do segundo membro da equa¸c˜ao, ρc_p∂T /∂t, ´e nulo.

3. uma vez que n˜ao existe gera¸c˜ao de energia t´ermica no interior da placa, o quarto termo do primeiro membro da equa¸c˜ao, ˙q, ´e nulo.

4. como a condutibilidade t´ermica k ´e constante em todo o dom´ınio da placa, ∂k/∂x =

∂k/∂y = 0 e, consequentemente, a equa¸c˜ao que governa a distribui¸c˜ao de temperaturas na placa n˜ao vai apresentar dependˆencia de k.

Com as simplifica¸c˜oes descritas, a Equa¸c˜ao (59) resulta na Equa¸c˜ao (60).

∂²T

∂x² +∂²T

∂y² = 0 (60)

A Equa¸c˜ao (60) governa a distribui¸c˜ao de temperaturas no interior da placa. Contudo, a tempe- ratura particular em cada ponto da placaT (x, y) depende da intera¸c˜ao da placa com o ambiente envolvente atrav´es das fronteiras da placa. Estas intera¸c˜oes s˜ao consideradas matematicamente atrav´es da defini¸c˜ao de condi¸c˜oes de fronteira. De acordo com o enunciado do problema, as quatro fronteiras da placa (x = 0, x = a, y = 0 e y = b) est˜ao sujeitas a diferentes condi¸c˜oes t´ermicas, como as condi¸c˜oes de fronteira descrevem em seguida.

x=0:

−k∂T

∂x x=0

=q₀⁰⁰ (61)

A Equa¸c˜ao (61) representa uma condi¸c˜ao de fronteira de Segundo Tipo (ou de Neumann ou, simplesmente, de fluxo imposto). Esta equa¸c˜ao indica que o fluxo de calor atrav´es da superf´ıcie x= 0 ´e igual a q⁰⁰₀.

x=a:

T(x=a, y) = T₀ (62)

A Equa¸c˜ao (62) representa uma condi¸c˜ao de fronteira de Primeiro Tipo (ou de Dirichlet ou, simplesmente, de valor imposto).

y=0:

−k∂T

∂y _y=0

=h[T∞−T (x, y = 0)] (63)

A Equa¸c˜ao (63) representa uma condi¸c˜ao de fronteira de Terceiro Tipo (ou de convec¸c˜ao). Esta equa¸c˜ao indica que o fluxo de calor que atravessa a surperf´ıce y = 0 ´e igual o fluxo de calor removido por convec¸c˜ao.

y=b:

∂T

∂y y=b

= 0 (64)

Esta condi¸c˜ao de fronteira (Equa¸c˜ao (64)) ´e um caso particular das condi¸c˜oes de fronteira de Segundo Tipo (ver Equa¸c˜ao (61)) uma vez que especifica que o valor do fluxo imposto ´e nulo – ou seja, n˜ao existe transferˆencia de calor atrav´es da superf´ıcie y=b (superf´ıcie adiab´atica).

A figura seguinte apresenta distribui¸c˜oes de temperatura (primeira linha) e vectores de fluxo de calor,q⁰⁰(segunda linha) para o problema em quest˜ao considerando as condi¸c˜oes apresentadas – parˆametros geom´etricos (ae b), condutibilidade t´ermica (k), fluxo imposto em x= 0 (q₀⁰⁰), tem- peratura imposta emx=a(T0) e temperatura do fluido (T∞). Trˆes casos s˜ao apresentados refe- rentes a diferentes valores para o coeficiente de convec¸c˜ao (h) –h={10; 100; 1000}W m⁻²K⁻¹. A temperatura no interior das placas ´e calculada recorrendo `a equa¸c˜ao∇²T = 0 (Equa¸c˜ao (60)).

O aumento do coeficiente de convec¸c˜ao promove um aumento da remo¸c˜ao de energia t´ermica (calor) atrav´es da superf´ıcie y = 0. Como consequˆencia, as temperaturas na placa diminuem, sendo esta diminui¸c˜ao particularmente vis´ıvel nas proximidades da superf´ıciey= 0. Repare que como a superf´ıcie y= b ´e adiab´atica as isolinhas de temperatura (linhas de temperatura cons- tante) s˜ao perpendiculares a esta superf´ıcie. (Os vectores de fluxo de calor s˜ao perpendiculares

`

as isolinhas de temperatura.) Assim, em y = b os vectores de fluxo de calor tˆem componente nula segundoy(q⁰⁰_y = 0) o que respeita a respectiva condi¸c˜ao de fronteira (Equa¸c˜ao (64)). Consi- derando o valor mais baixo para o coeficiente de convec¸c˜ao (h = 10 W m⁻²K⁻¹), verifica-se um caminho preferencial para a transferˆencia de calor da superf´ıcie x = 0 para a superf´ıcie x = a (ver isolinhas de temperatura e vectores de fluxo de calor).

Condi¸c˜oes de Fronteira de Convec¸c˜ao (Terceiro Tipo) – Notas:

Considere uma parede (plana, cil´ındrica ou esf´erica) representada nas seguintes figuras (Caso A e Caso B). A dimens˜ao espacial de referencia, ξ, corresponde a x (ou a qualquer outra direc¸c˜ao cartesiana – y ou z) para paredes planas e a r para sistemas radiais (paredes cil´ındricas e esf´ericas). Considere que duas das superf´ıcies da parede est˜ao submetidas a trocas de calor por convec¸c˜ao devido ao contacto destas com fluidos adjacentes – superf´ıcies ξ = ξ₁ e ξ = ξ₂. A

´

unica diferen¸ca entre os dois casos ´e o sentido do eixoξ. As condi¸c˜oes de fronteira em cada uma das superf´ıcies dependem da orienta¸c˜ao do eixo ξ em rela¸c˜ao `a parede (compare as Equa¸c˜oes (65) e (67) e as Equa¸c˜oes (65) e (67)).

Caso A ξ=ξ₁:

−k∂T

∂ξ ξ=ξ1

=h[T∞−T (ξ=ξ₁)] (65)

ξ=ξ₂:

−k∂T

∂ξ ξ=ξ2

=h[T(ξ =ξ₂)−T∞] (66)

Caso B ξ =ξ₁:

−k∂T

∂ξ ξ=ξ1

=h[T (ξ=ξ₁)−T∞] (67)

ξ =ξ₂:

−k∂T

∂ξ ξ=ξ2

=h[T∞−T (ξ=ξ₂)] (68)

Repare que a condi¸c˜ao de fronteira emy= 0 (Equa¸c˜ao (63)) corresponde `a mesma condi¸c˜ao de fronteira emξ=ξ₁para o Caso A (Equa¸c˜ao (65)) ou emξ=ξ₂ para o Caso B (Equa¸c˜ao (68)).

Se se considerasse em y =b trocas de calor por convec¸c˜ao (em vez de se considerar esta superf´ıcie como perfeitamente isolada – adiab´atica) a condi¸c˜ao de fronteira correspondente seria semelhante `a observada em ξ=ξ₂ para o Caso A (Equa¸c˜ao (66)) ou em ξ =ξ₁ para o Caso B (Equa¸c˜ao (67)), ou seja, seria descrita pela Equa¸c˜ao (69).

−k∂T

∂y y=b

=h[T(x, y =b)−T∞] (69)

10. Considere uma esfera de raior₀e condutibilidade t´ermicak. A esfera ´e inicialmente aquecida num forno at´e atingir uma temperatura uniformeT₁, sendo no instantet= 0 subitamente imersa num banho de ´oleo `a temperatura T_∞ (< T₁). Supondo que o coeficiente de convec¸c˜ao ´e constante, formule o problema que descreve a varia¸c˜ao de temperatura na esfera ao longo do tempo, isto ´e, estabele¸ca a equa¸c˜ao diferencial que permite determinar a varia¸c˜ao da temperatura em fun¸c˜ao do tempo e do raio para t >0 e as condi¸c˜oes de fronteira.

Resolu¸c˜ao:

A figura seguinte apresenta uma representa¸c˜ao esquem´atica do enunciado. No interior da esfera o mecanismo de transporte de calor ´e exclusivamente difusivo (condu¸c˜ao de calor).

Uma vez que o mecanismo respons´avel pelo transporte de calor no interior da esfera ´e difusivo (condu¸c˜ao de calor) ent˜ao a equa¸c˜ao que permite determinar a distribui¸c˜ao espacial e temporal de temperaturas ´e a equa¸c˜ao de difus˜ao de calor.

A forma geral da equa¸c˜ao de difus˜ao de calor ´e descrita pela Equa¸c˜ao (58).

∇ ·(k∇T) + ˙q=ρc_p∂T

∂t (70)

Como a geometria considerada ´e esf´erica, ent˜ao a equa¸c˜ao anterior (nomeadamente o primeiro termo) ´e particularmente descrita pela equa¸c˜ao seguinte (Equa¸c˜ao (71)) – equa¸c˜ao de difus˜ao de calor em coordenada esf´ericas (r, φ, θ).

1 r²

∂

∂r

kr²∂T

∂r

+ 1

r²sin²θ

∂

∂φ

k∂T

∂φ

+ 1

r²sinθ

∂

∂θ

ksinθ∂T

∂θ

+ ˙q =ρc_p∂T

∂t (71) A equa¸c˜ao anterior pode ser simplificada considerando as condi¸c˜oes particulares do problema tal como se segue:

1. como no instante inicial a temperatura da esfera ´e uniforme em todo o volume e durante o arrefecimento o ambiente t´ermico exterior (coeficiente de convec¸c˜ao, h, e temperatura do fluido, T_∞) ´e constante em toda a superf´ıcie da esfera, ent˜ao conclui-se que durante o processo de arrefecimento apenas os gradientes de temperatura ao longo do raio da esfera s˜ao relevantes – condu¸c˜ao unidimensional ao longo der– e os gradientes t´ermicos ao longo das coordenadasφeθs˜ao nulos. Como consequˆencia desta conclus˜ao, o segundo e terceiro termo do primeiro membro da equa¸c˜ao anterior n˜ao desprez´aveis.

2. uma vez que n˜ao existe gera¸c˜ao de energia t´ermica no interior da esfera, o quarto termo do primeiro membro da equa¸c˜ao, ˙q, ´e nulo.

3. a condutibilidade t´ermica k ´e considerada constante em todo o dom´ınio da esfera e, con- sequentemente, ∂k/∂r= 0.

Tendo em conta as simplifica¸c˜oes descritas, a Equa¸c˜ao (71) resulta na Equa¸c˜ao (72), a qual permite determinar a varia¸c˜ao de temperatura em fun¸c˜ao do tempo e do raio, i.e., T(r, t).

1 r²

∂

∂r

r²∂T

∂r

= 1 α

∂T

∂t (72)

A solu¸c˜ao particular T(r, t) ´e obtida aplicando a Equa¸c˜ao (72) juntamente com condi¸c˜oes de fronteira e condi¸c˜ao inicial. Uma vez que a diferencial que governa a distribui¸c˜ao temporal e espacial de temperaturas, Equa¸c˜ao (72), ´e de segunda ordem (primeira ordem) em rela¸c˜ao `a coordenada espacial, r (coordenada temporal, t) ent˜ao ´e necess´ario definir duas condi¸c˜oes de fronteira (uma condi¸c˜ao inicial) para o c´alculo da solu¸c˜ao particular do problema.

As condi¸c˜oes de fronteira s˜ao aplicadas nos limites do dom´ınio de c´alculo, ou seja, em r = 0 e r =r₀.

r = 0:

∂T

∂r r=0

= 0 (73)

No centro da esfera (r = 0), o fluxo de calor (gradiente de temperatura) ´e nulo uma vez que o centro da esfera corresponde a um ponto de simetria radial da distribui¸c˜ao de temperatura.

Esta condi¸c˜ao de fronteira ´e um caso particular das condi¸c˜oes de fronteira de Segundo Tipo – condi¸c˜ao de fronteira de fluxo nulo.

r =r₀:

−k∂T

∂r r=r0

=h[T (r=r₀, t)−T∞] (74)

Na superf´ıcie da esfera (r = r₀) a condi¸c˜ao de fronteira correspondente ´e do Terceiro Tipo estabelecendo a conserva¸c˜ao de energia nesta superf´ıcie entre o fluxo de condu¸c˜ao (r → r⁻₀) e o fluxo de convec¸c˜ao (r →r⁺₀). Repare que esta condi¸c˜ao de fronteira ´e semelhante `a condi¸c˜ao de fronteira considerada em ξ =ξ₂ para o Caso A (Equa¸c˜ao (66)) ou em ξ=ξ₁ para o Caso B (Equa¸c˜ao (67)) – ver resolu¸c˜ao do Problema 9.

A condi¸c˜ao inicial define a temperatura para todo o dom´ınio de c´alculo (0 ≤ r ≤ r₀) num

determinado instante de tempo denominado de instante inicial. t= 0:

T(r, t= 0) =T1 (75)

A solu¸c˜ao da Equa¸c˜ao (72) considerando as Equa¸c˜oes (73) – (75) permite obter a distribui¸c˜ao de temperatura T(r, t).

A figura seguinte apresenta perfis de temperatura para a uma esfera – com as propriedades geom´etricas (r₀) e termof´ısicas (k e α) referidas na figura – inicialmente a 200^◦C (T₁) arrefe- cida por 3 fluidos a 20^◦C (T∞) mas com diferentes coeficientes de convec¸c˜ao (h): 500, 5000 e 20000 W m⁻²K⁻¹. Para os 3 casos, a figura apresenta perfis de temperatura ao longo do raio da esfera (T(r)) para 5 instantes de tempo ap´os o in´ıcio do processo de arrefecimento por convec¸c˜ao (t= 0 s): 10 s, 1 min, 2 min e 5 min. Ap´os alguns segundos do in´ıcio do processo de arrefecimento,

´

e vis´ıvel a diminui¸c˜ao da temperatura da esfera justo `a sua superf´ıcie exterior (r≈r₀) enquanto que no interior da esfera a temperatura ainda n˜ao sentiu o efeito de arrefecimento – ver perfis de temperatura para t= 10 s.

Quanto maior o valor do coeficiente de convec¸c˜ao mais r´apido ´e o processo de arrefecimento – note que para h igual 20000 W m⁻²K⁻¹ ao fim de 5 min do in´ıcio do arrefecimento, a esfera est´a praticamente em equil´ıbrio t´ermico com o fluido (T(r, t= 5 min)≈T∞ = 20^◦C). Contudo, para o mesmo tempo de contacto (5 min) mas com um fluido com h igual 500 W m⁻²K⁻¹, a temperatura m´edia da esfera ´e aproximadamente igual a 80^◦C. Para valores baixos do coeficiente de convec¸c˜ao, as temperaturas na esfera perdem a dependˆencia da coordenada espacial, i.e., em cada instante de tempo as temperaturas tornam-se aproximadamente iguais para todas as posi¸c˜oes radiais.

11. Em determinadas condi¸c˜oes, a temperatura na superf´ıcie da pele de um indiv´ıduo ´e 30^◦C, sendo inferior `a temperatura do corpo, que ´e de 36,5^◦C. A transi¸c˜ao entre estas temperaturas tem lugar numa camada da pele com uma espessura de 1 cm e com uma condutibilidade t´ermica de 0,42 W m⁻¹K⁻¹. A superf´ıcie da pele est´a em contacto com ar a 20^◦C mas com um coeficiente de convec¸c˜ao desconhecido.

(a) Estime o fluxo de calor que se escapa atrav´es da pele, considerando-a um meio condutor em repouso.

Resolu¸c˜ao:

A figura seguinte ilustra esquematicamente a distribui¸c˜ao distribui¸c˜ao de temperatura para o problema. A condu¸c˜ao de calor na camada de pele ´e unidimensional da superf´ıcie interior

`

a temperatura T_s,1 (= 36,5^◦C), para a superf´ıcie exterior `a temperatura T_s,2 (= 30,0^◦C). A espessura da camada de pele (L) bem como a condutibilidade t´ermica (k) s˜ao fornecidas no enunciado.

A figura anterior pode ser representada atrav´es de um circuito t´ermico equivalente – ver figura seguinte –, identificando as temperaturas na superf´ıcie interna da pele (T_s,1), na superf´ıcie externa (T_s,2) e do ar exterior (T∞,2). Entre os n´os do circuito t´ermico equiva- lente correspondentes `as temperaturas referidas encontram-se as respectivas resistˆencias t´ermicas: resistˆencia t´ermica de condu¸c˜ao (R_t,cond) entreT_s,1 eT_s,2 e resistˆencia t´ermica de convec¸c˜ao (R_t,conv2) entre T_s,2 e T∞,2.

Para o c´alculo do fluxo de calor,q_x⁰⁰, pode recorrer-se ao circuito t´ermico equivalente, como

se segue.

q_x = T_s,1−T_s,2

R_t,cond ⇔q_x = T_s,1−T_s,2

L/(kA) ⇔q_x = kA

L (T_s,1−T_s,2)⇔

⇔ qx

A = (Ts,1−Ts,2)

R⁰⁰_t,cond ⇔q_x⁰⁰= k

L(T_s,1−T_s,2)⇔q_x⁰⁰ = 0,42

0,01(36,5−30)⇔

⇔ q_x⁰⁰= 273 W m⁻²

(76)

(b) Determine o coeficiente de convec¸c˜ao do ar sobre a superf´ıcie da pele.

Resolu¸c˜ao:

Dado que nas condi¸c˜oes do problema (condu¸c˜ao unidimensional em coordenadas cartesia- nas, em regime estacion´ario, sem gera¸c˜ao de energia t´ermica e com condutibilidade t´ermica constante) o fluxo de calor se mant´em constante – `a, semelhan¸ca, da taxa de transferˆencia de calor –, ent˜ao o fluxo difusivo de calor calculado na al´ınea anterior (q_x⁰⁰ (=q_cond⁰⁰ )) ´e igual ao fluxo de calor removido da superf´ıcie da pele por convec¸c˜ao (q_conv⁰⁰ ₂). Assim, tem-se:

q_conv⁰⁰ ₂ =q⁰⁰_cond ⇔ T_s,2−T∞,2

R⁰⁰_t,conv2 =q⁰⁰_x ⇔ T_s,2−T∞,2

1/h₂ =q_x⁰⁰ ⇔

⇔h₂ = q_x⁰⁰ T_s,2−T∞,2

⇔h₂ = 273

30−20 ⇔ h₂ = 27,3 W m⁻²K⁻¹

(77)

Note que para a resolu¸c˜ao desta al´ınea recorreu-se `a utiliza¸c˜ao do an´alogo el´ectrico – circuito t´ermico equivalente. Contudo, esta al´ınea tamb´em poderia ser resolvida recorrendo a um balan¸co de energia `a superf´ıcie externa da pele (ver Problema 5).

12. Durante o Inverno, a superf´ıcie de um rio forma uma camada de gelo de espessura desconhecida.

A temperatura da ´agua no lago encontra-se a 4^◦C (T∞,1) e a temperatura do ar ambiente ´e−30^◦C (T_∞,2). A temperatura na interface entre a ´agua e o gelo ´e 0^◦C (T_s,1). A condutibilidade t´ermica do gelo ´e 2,25 W m⁻¹K⁻¹ (k). Os coeficientes de convec¸c˜ao do lado do ar (h₂) e do lado da ´agua (h₁) s˜ao 100 W m⁻²K⁻¹ e 500 W m⁻²K⁻¹, respectivamente. Calcule a temperatura na superf´ıcie do gelo em contacto com o ar,T_s,2, e a espessura da camada de gelo, L.

Resolu¸c˜ao:

A figura seguinte apresenta a distribui¸c˜ao de temperatura para o problema. O sentido da trans- ferˆencia de calor verifica-se da ´agua para o ar (uma vez que T∞,1 > T∞,2). A condu¸c˜ao de calor na camada de gelo ´e unidimensional (ao longo da coordenada x) uma vez que os gradientes de temperatura segundo as direc¸c˜oes cartesianas ortogonais a x – i.e., ∂T /∂y e ∂T /∂z – s˜ao des- prez´aveis. Estes gradientes de temperatura s˜ao desprez´aveis uma vez que se assume que: (1) a placa de gelo ´e longa o suficiente nas direc¸c˜oes ortogonais ax; e (2) os coeficientes de convec¸c˜ao (h1 e h2) e as temperaturas dos fluidos (T∞,1 e T∞,2) s˜ao constantes nas direc¸c˜oes ortogonais a x.

O circuito t´ermico equivalente ´e apresentado na figura seguinte onde o sentido da transferˆencia de calor ´e identificado. Nesta figura, os diferentes n´os do circuito correspondem `as diferen- tes temperaturas envolvidas no problema. Entre n´os sucessivos do circuito t´ermico equivalente definem-se as resistˆencias t´ermicas de condu¸c˜ao (R_t,cond), convec¸c˜ao (R_t,conv) e, eventualmente, de radia¸c˜ao (R_t,rad) – genericamente R_t. Para uma determinada taxa de transferˆencia de calor (q_x), quanto maior a resistˆencia t´ermica (R_t) maior a diferen¸ca de temperaturas (∆T) – note que ∆T =q×R_t.

Uma vez que a taxa de transferˆencia de calor (q_x) – tal como o fluxo de calor (q_x⁰⁰) – ´e constante ao longo de todo o circuito t´ermico equivalente tem-se:

qx =qconv1 =qcond =qconv2 (78) Igualando a taxa de transferˆencia de calor por convec¸c˜ao da ´agua para o gelo (q_conv1) `a taxa de transferˆencia de calor do gelo para o ar (q_conv2) tem-se:

q_conv1 =q_conv2 ⇔ T∞,1−T_s,1

R_t,conv1 = T_s,2−T∞,2

R_t,conv2 ⇔

⇔T_s,2 = R_t,conv2

R_t,conv1 (T∞,1−T_s,1) +T∞,2 ⇔T_s,2 = h₁

h₂ (T∞,1−T_s,1) +T∞,2 ⇔

⇔T_s,2 = 500

100(4−0) + (−30) ⇔ T_s,2 =−10^◦C

(79)

Note que a resistˆencia t´ermica `a convec¸c˜ao na interface ide um s´olido com um fluido,Rt,convi, ´e calculada atrav´es da equa¸c˜ao seguinte (Equa¸c˜ao (80)) em que h<sub>i</sub> corresponde ao coeficiente de transferˆencia de calor por convec¸c˜ao sobre a superf´ıcie s´olida (devido `a ac¸c˜ao macrosc´opica do movimento do fluido sobre a superf´ıcie) e A `a ´area de contacto s´olido/fluido.

R_t,convi = 1

h_iA (80)

A espessura da camada de gelo pode ser calculada igualandoq_cond aq_conv1 (ou a q_conv2) uma vez que a temperaturas T∞,1, T_s,1 e T_s,2 (ou T_s,1, T_s,2 e T∞,2) s˜ao conhecidas.

Igualando q_cond com q_conv1 (Equa¸c˜ao (78)) tem-se:

qconv1 =qcond ⇔ T_∞,1−T_s,1

R_t,conv1 = T_s,1−T_s,2

R_t,cond ⇔

⇔ T∞,1−T_s,1

1/(h1A) = T_s,1−T_s,2

L/(kA) ⇔h₁A(T∞,1−T_s,1) = L

kA(T_s,1−T_s,2)⇔

⇔L= kA(T_s,1−T_s,2)

h1A(T∞,1 −Ts,1) ⇔L= 2,25×(0 + 10) 500×(4−0) ⇔

⇔ L= 1,125 cm

(81)

13. A parede de um forno usado para curar partes de pl´astico tem uma espessura L = 0,05 m e a sua superf´ıcie externa encontra-se exposta ao ar e a um ambiente amplo. O ar e o ambiente envolvente est˜ao a 30^◦C (T_∞,2 = T_sur). A temperatura da superf´ıcie externa do forno ´e de 400 K (T_s,2), e o coeficiente de convec¸c˜ao (h) e emissividade () s˜ao iguais a 20 W m⁻²K⁻¹ e 0,8, respectivamente. Calcule a temperatura da superf´ıcie interna da parede do forno (T_s,1), sabendo que a condutibilidade t´ermica (k) do material da parede igual a 0,7 W m⁻¹K⁻¹.

Resolu¸c˜ao:

As duas figuras seguintes apresentam a distribui¸c˜ao de temperatura para o problema e o circuito t´ermico equivalente, respectivamente.

Nas condi¸c˜oes do problema, o fluxo de calor ao longo da parede do forno (q_x⁰⁰) ´e constante.

Igualando o fluxo difusivo de calor (q_cond⁰⁰ ) com a soma dos fluxos convectivo e radiativo da superf´ıcie externa do forno (qx,conv&rad⁰⁰ ) – equivalente `a aplica¸c˜ao de um balan¸co de energia `a superf´ıcie externa do forno – obt´em-se uma equa¸c˜ao que permite obter a temperatura pretendida (Ts,1) – ver Equa¸c˜ao (82) – em fun¸c˜ao das propriedades geom´etricas (L) e termof´ısicas (k, h e ) e das temperaturas T_s,2 eT∞ (=T_sur) descritas no enunciado do problema.

q_x,cond⁰⁰ =qx,conv&rad⁰⁰ ⇔ T_s,1−T_s,2

R_t,condA = T_s,2−T∞

R_t,totA (82)

Na Equa¸c˜ao (82), R_t,tot corresponde `a resistˆencia t´ermica total resultante da associa¸c˜ao em paralelo das resistˆencias t´ermicas de convec¸c˜ao e radia¸c˜ao – R_t,conv e R_t,rad, respectivamente.

Esta resistˆencia t´ermica total ´e calculada como se apresenta de seguida (Equa¸c˜ao (83)).

1

R_t,tot = 1

R_t,conv + 1

R_t,rad ⇔ 1

R_t,tot =hA+hrA⇔

⇔Rt,totA= 1

h+h_r ⇔Rt,totA

| {z }

R_t,tot⁰⁰

= 1

h+σ(T_s,2+T_sur) T_s,2² +T_sur²

(83)

Note que por conveniˆencia a taxa (l´ıquida) de transferˆencia de calor por radia¸c˜ao, q_rad (=

Aσ(T_s⁴ −T_sur⁴ )) pode ser calculada de forma similar `a lei de arrefecimento de Newton – que permite calcular a taxa de transferˆencia de calor por convec¸c˜ao – atrav´es da equa¸c˜ao seguinte (Equa¸c˜ao (84)),

q_rad =h_rA(T_s−T_sur) (84) em queh_rcorresponde ao coeficiente de transferˆencia de calor por radia¸c˜ao – em estrita analogia com o coeficiente de transferˆencia de calor por convec¸c˜ao, h – o qual ´e determinado atrav´es da Equa¸c˜ao (85).

h_r =σ(T_s+T_sur)(T_s²+T_sur² ) (85) Consequentemente, a resistˆencia t´ermica de radia¸c˜ao, Rt,rad (considerada na Equa¸c˜ao (83)), ´e obtida atrav´es da equa¸c˜ao seguinte (Equa¸c˜ao (86)) tendo em conta a Equa¸c˜ao (84).

Rt,rad = T_s−T_sur

q_rad = T_s−T_sur

h_rA(T_s−T_sur) ⇔Rt,rad = 1

h_rA (86)

(Note que a resistˆencia t´ermica de convec¸c˜ao, Rt,conv, ´e obtida de forma similar – ver Equa¸c˜ao (87).)

Rt,conv = Ts−T∞

q_conv = Ts−T∞

hA(T_s−T∞) ⇔Rt,conv = 1

hA (87)

O circuito t´ermico equivalente resultante da simplifica¸c˜ao anterior – associa¸c˜ao em paralelo das resistˆencias t´ermicas R_t,conv e R_t,rad para a obten¸c˜ao de uma resistˆencia t´ermica total, R_t,tot (Equa¸c˜ao (83)) – ´e apresentado na figura seguinte.

Substituindo a express˜ao para a resistˆencia t´ermica total (Equa¸c˜ao (83)) na Equa¸c˜ao (82) e tendo em conta os valores num´ericos para as vari´aveis consideradas, tem-se:

k

L(Ts,1 −Ts,2) =

h+σ(Ts,2+Tsur) T_s,2² +T_sur²

(Ts,2−T∞)⇔

⇔T_s,1 = L k

h+σ(T_s,2+T_sur) T_s,2² +T_sur²

(T_s,2−T∞) +T_s,2 ⇔

⇔T_s,1 = 0,05

0,7 × {20 + 0,8×5,67×10⁻⁸×(400 + 30 + 273,15)×

×

400²+ (30 + 273,15)²

} ×[400−(30 + 273,15)] + 400⇔ T_s,1 ≈593,937 K

(88)

Note que o procedimento considerado pela associa¸c˜ao das resistˆencias R_t,conv e R_t,rad para a obten¸c˜ao de uma ´unica resistˆencia t´ermica total, R_t,tot, apenas ´e adequado uma vez que T_∞ = T_sur.

Caso T∞6=T_sur, o circuito t´ermico equivalente seria representado pela figura seguinte.

Nesta situa¸c˜ao a taxa de transferˆencia de calor que atravessa a parede do forno (q_cond (= q_x))

´

e igual `a soma das taxas de transferˆencia de calor q<sub>rad</sub> e q<sub>conv</sub> – ver Equa¸c˜ao (89). Note que a Equa¸c˜ao (89) n˜ao ´e mais do que um balan¸co de energia `a superf´ıcie externa da parede do forno – semelhante ao balan¸co de energia desenvolvido no Problema 5 (ver Equa¸c˜ao (20)).

q_x =q_rad+q_conv (89)

Substituindo na Equa¸c˜ao (89) as taxas de transferˆencia de calor, q_x (= q_cond), q_rad eq_conv pelas respectivas express˜oes tem-se:

T_s,1−T_s,2

R_t,cond = T_s,2 −T_sur

R_t,rad + T_s,2 −T∞

R_t,conv (90)

Assim, a temperatura Ts,1 seria obtida resolvendo a Equa¸c˜ao (90). (Observe que se Tsur =T∞, a Equa¸c˜ao (90) resulta na Equa¸c˜ao (88).)

14. Considere uma parede cujo corte transversal visto de topo ´e apresentado da figura (a). Esta parede ´e formada pela uni˜ao de v´arias unidades estruturais iguais. A unidade estrutural elementar

´e composta por 4 materiais diferentes cujas dimens˜oes se encontram na figura (a). Considere as condutibilidades t´ermicas (k) dos Materiais A, B, C e D iguais a 0,2, 200, 160 e 0,02 W m⁻¹K⁻¹, respectivamente. Nas superf´ıcies externas dos Materiais A e C a temperatura ´e constante e igual a 15 e 50^◦C, respectivamente. Despreze gradientes de temperatura ao longo do eixoz e resistˆencias de contacto entre materiais diferentes.

(a) (b)

Problema 14

(a) Em que condi¸c˜oes as fronteiras laterais da unidade elementar (fronteiras paralelas ao eixo x) podem ser consideradas adiab´aticas?

Resolu¸c˜ao:

As fronteiras laterais da unidade elementar s˜ao adiab´aticas se o fluxo de calor atrav´es destas superf´ıcies for nulo, ou seja, se o gradiente de temperatura segundo y (∂T /∂y) for nulo atrav´es destas fronteiras. Um fluxo de calor nulo atrav´es destas fronteiras ´e obtido considerando uma parede longa (infinita) segundo a direc¸c˜aoyde forma a n˜ao haver desen- volvimento de gradientes de temperatura segundo y devido `a influencia das extremidades da parede. ´E tamb´em necess´ario que ao longo deyas temperaturas das superf´ıcies externas (15 e 50^◦C) se mantenham constantes.

(b) Nas condi¸c˜oes da al´ınea anterior e considerando transporte de calor unidimensional (1D), determine a taxa de transferˆencia de calor por unidade de altura da parede em cada unidade estrutural elementar,q_unid⁰ , considerando:

(a) isot´ermicas as superf´ıcies perpendiculares ao eixo x; e Resolu¸c˜ao:

A taxa de transferˆencia de calor por unidade de altura da parede em cada unidade estrutural elementar ´e obtida atrav´es da Equa¸c˜ao (91). Nesta equa¸c˜ao, T_s,1 (T_s,4) corresponde `a temperatura na superf´ıcie externa do Material C (Material A).

q_unid⁰ = ∆T

R⁰_t,tot ⇔q_unid⁰ = T_s,1 −T_s,4

R⁰_t,tot (91)