Análise de diferentes estratégias de resolução para equações diferenciais ordinárias : um estudo de caso em circuitos elétricos / Arnaldo Maia Câmara Agre - São Paulo : IFSP, 2013.
Objetivos
Expressas por uma linguagem matemática, as relações são equações com taxas indutíveis, que também são equações diferenciais. Portanto, é necessário entender equações diferenciais para entender problemas de circuitos elétricos, crescimento populacional, terremotos e outros problemas.
Estrutura do Trabalho
Com esses conceitos, podemos resumir a modelagem matemática como um processo no qual novas ideias são formuladas e elaboradas sobre um determinado problema real, a fim de tornar o aluno crítico e transformador de sua realidade. Podemos observar esse fato ao longo da história da modelagem matemática, em que algumas pessoas veem a necessidade de se adaptar ao meio em que vivem.
Caminhos da modelagem
Em Blumenau, Santa Catarina, em 2006, foi criado o Centro de Referência em Modelagem Matemática no Ensino, CREMM. 4 CREMM - Centro de Referência em Modelagem Matemática no Ensino, iniciou com um pequeno número de produções acadêmicas.
Etapas de uma modelagem matemática
Um sistema pode ser construído com componentes físicos, sistemas elétricos, mecânicos ou hidráulicos (realização de hardware) ou pode ser um algoritmo que calcula uma saída a partir de um sinal de entrada (realização de software). Um sistema pode consistir em componentes físicos (implementação em hardware) ou pode ser um algoritmo que calcula o sinal de saída a partir de um sinal de entrada (implementação em software).
Elementos de Circuitos Elétricos
Resistor
Este dispositivo elétrico passivo, comumente referido como resistor, é amplamente utilizado em eletrônica, às vezes para converter energia elétrica em energia térmica por meio do efeito joule, às vezes para limitar a corrente elétrica em um circuito. Esses componentes fornecem uma resistência à passagem de corrente elétrica por seu material - essa resistência é chamada de resistência elétrica ou impedância, que tem a unidade Ohm. Isso significa que a corrente elétrica que entra em um terminal do resistor será exatamente a mesma que a corrente que sai do outro terminal.
Mas há uma queda de tensão e resistores podem ser usados para controlar a corrente para os componentes desejados.
Indutor
Capacitor
Leis que regem o comportamento de um Circuito Elétrico
Lei de Ohm
Leis de Kirchhoff
A 1ª Lei de Kirchhoff, também conhecida como Lei dos Nó ou Lei das Correntes (KCL), é consequência da conservação da carga elétrica total existente em um circuito, ou seja, a soma das intensidades das correntes que chegam a um nó é igual a a soma das intensidades das correntes de saída. A 2ª Lei de Kirchhoff, também conhecida como Lei do Ciclo ou Lei da Tensão (KVL), é uma generalização do princípio da conservação da energia em um circuito fechado, ou seja, passar um ciclo em um determinado sentido, saindo e chegando no mesmo ponto . , a soma algébrica de d.d.p é zero.
Associação dos Componentes
Após identificar os elementos, padrões e tipos de associações presentes nos circuitos elétricos, analisaremos como os componentes se comportam quando alteramos seus valores no circuito elétrico. Um circuito elétrico série RLC, circuito ressonante ou circuito aceitador consiste em um resistor (R), um indutor (L) e um capacitor (C) conectados em série. Existem dois elementos que armazenam energia, um indutor e um capacitor, portanto é um circuito de segunda ordem onde qualquer tensão ou corrente pode ser descrita por uma equação diferencial de segunda ordem.
Para entender o comportamento desse circuito, vamos nos concentrar em três tipos de resolução: analítica, numérica e computacional.
Solução analítica para o circuito RLC Série
O que resulta em uma equação linear não homogênea, onde precisamos identificar a solução EDO geral da equação (4.6). Então, com a função aplicada ( ), que pode ser uma função polinomial, uma função exponencial, uma função trigonométrica, entre outras, encontraremos a solução particular, , que tem a forma da função aplicada. Como vimos na resposta natural, uma equação homogênea possui três tipos de respostas, então a solução geral para os casos são:
Solução numérica para o circuito RLC Série
Solução usando o método de Euler
Solução usando o método de Runge – Kutta de 4º Ordem
Solução computacional para o circuito RLC Série
A partir desses conceitos, usaremos esses três tipos de estratégias para analisar os parâmetros de um circuito RLC Série, observando as vantagens e desvantagens das diferentes formas de resolução para um circuito. Após definir algumas estratégias para análise de circuitos RLC série, observaremos o comportamento dos circuitos para resposta natural e resposta forçada, ou seja, o ( ) e .
Resposta Natural
Circuito A
Analisando a forma analítica, notamos que o sistema parte da condição inicial, ou seja, que no instante zero a corrente é zero. O circuito A pode ser representado numericamente pelo método de Euler e Runge–Kutta (4ª ordem), cujo gráfico é apresentado a seguir. Obviamente, podemos ver que ambos os métodos numéricos modelam a função obtida pelo método analítico do circuito A, mas se os plotarmos no mesmo gráfico, Euler está mais distante da função obtida analiticamente, enquanto com Runge-Kutta (4ª Ordem) aparentemente este método que mais se.
Ampliando a Figura 17, podemos ver que o Runge-Kutta (4ª ordem) é a melhor forma numérica de modelar este circuito.
Circuito B
Mas, diferentemente do circuito A, observamos que esse circuito diminui mais rapidamente até atingir a estabilização. O circuito B pode ser representado numericamente pelo método de Euler e Runge–Kutta (4ª ordem), cujo gráfico é apresentado a seguir. Obviamente, podemos ver que ambos os métodos numéricos modelam a função obtida no método analítico do circuito B, mas eles se sobrepõem - aqueles em
Aproximando-se da Figura 23, podemos ver que Runge-Kutta (4ª ordem) é a melhor forma numérica para modelar este circuito.
Circuito C
O circuito C pode ser representado numericamente pelo método de Euler e Runge-Kutta (4ª ordem), cujo gráfico é apresentado a seguir. Podemos ver claramente que ambos os métodos numéricos modelam a função obtida pelo método analítico do circuito B, mas se os colocarmos no mesmo gráfico, Euler é o mais distante da função obtida analiticamente, enquanto com Runge-Kutta (4ª Ordem) é óbvio o método que mais se aproxima da função exata. Aproximando-se da Figura 29, podemos ver que Ruge-Kutta (4ª ordem) é a melhor forma numérica para modelar este circuito.
Resposta Forçada
Circuito D
Passa por um período onde tem sua maior amplitude e vai diminuindo até sua estabilização, que no caso de uma reação forçada tende a ter o comportamento de Aparentemente, podemos notar que ambos os métodos numéricos modelam a função que obtivemos no método analítico do circuito E. Aproximando-nos da Figura 35 podemos notar que Ruge – Kutta (Ordem 4) é a melhor forma numérica para modelar este circuito.
Circuito E
Aproximando-nos da Figura 35, podemos ver que tanto o método de Euler quanto o de Ruge – Kutta (4ª Ordem) modelam este circuito.
Circuito F
Aparentemente podemos notar que ambos os métodos numéricos modelam a função que obtemos no método analítico do circuito F. Aproximando-nos da figura 47 podemos notar que tanto o método de Euler quanto o de Ruge – Kutta (4ª Ordem) modelam este circuito.
Comparações e Resultados
Computacionalmente, modelar o circuito é algo simples, onde podemos obter o gráfico para corrente x tempo quase imediatamente após estabelecer o problema. De forma geral, podemos resumir que o método de cálculo é ideal para o aluno que precisa de uma visualização rápida da corrente por tempo, podendo variar tanto indutor, capacitor ou resistência. Nele podemos variar os elementos do circuito para obter o gráfico do circuito de forma mais dinâmica.
O programa deve ser reformatado a cada mudança das variáveis envolvidas, pois para cada ( ) temos uma nova configuração para as funções ( ) eg(). A partir destes pontos, identificamos os componentes essenciais do circuito elétrico RLC, onde abordar os conceitos e leis que regem o comportamento do circuito.
Uma vez estabelecida essa relação, analisamos seis tipos diferentes de circuitos, observando diferentes comportamentos ao longo do tempo. Por fim, destacamos os prós e contras de cada estratégia envolvida na resolução de problemas.
Possibilidades de Trabalhos Futuros
Neste trabalho, procuramos apresentar aos leitores aspectos da modelagem matemática e sua utilização na análise de circuitos elétricos a fim de observar diferentes estratégias de resolução de um mesmo problema. Por fim, mostrar que a mesma EDO pode ser modelada para esquematizar um sistema mecânico massa-mola-amortecedor. 30 Anos de Modelagem Matemática na Educação Brasileira: Das Primeiras Propostas às Propostas Atuais. ALEXANDRIA Journal of Education in Science and Technology, v.2, n.2, p.7-32, julho de 2009.
FERRUZZI, Elaine C.; GONÇALVES, Mirian B.; HRUSCHKA, Janet; Modelagem matemática como estratégia de ensino e aprendizagem em cursos de alta tecnologia. PRIMEIRA DE KIRCHHOFF
Circuito A – Resposta Natural
Circuito B – Resposta Natural
Circuito C – Resposta Natural
Circuito D – Resposta Forçada
Circuito E – Resposta Forçada
Circuito F – Resposta Forçada
Rodney Carlos Bassanezi
Questões relacionadas a abelhas, chimarrão, produção de papel, criação de animais, dentes, etc., motivaram a realização deste primeiro curso de pós-graduação (lato sensu) em Modelagem Matemática e, consequentemente, a realização de dezenas de outros cursos sob a coordenação de Bassanezi nas mais diversas instituições de Ensino Superior no Brasil. E outra foi com um grupo de alunos da disciplina de Cálculo Integral Diferencial I, do curso de tecnologia de alimentos da UNICAMP em 1983. Ao entrar na sala de aula no primeiro dia, surpreendeu-se com a "boa vinda": os alunos usavam T -camisetas nas palavras: Eu deio o cálculo.
Segundo Bassanezi, esse problema e outros levantados por outros alunos, inicialmente despretensiosos na aparência, deram aos alunos de Tecnologia de Alimentos uma motivação valiosa para cursar a disciplina do CDI, tanto que houve apenas uma reprovação entre os 70 alunos. Desde o início de suas atividades profissionais, Bassanezi tem atuado de forma ativa e incansável no Brasil e no exterior por convite, como professor colaborador e visitante em diversas instituições, para auxiliar na implantação e execução de cursos e pesquisas, ministrar palestras e ministrar cursos, como consultor em diversos programas e projetos. Os cursos realizados e orientados por alunos de iniciação científica e pós-graduação lato e stricto sensu levaram Bassanezi a (re)orientar o método, as estratégias, os instrumentos e a própria pesquisa ao longo dos anos.
A modelagem já faz parte de indicações de propostas curriculares em vários estados e nos currículos de vários programas. Nas dimensões do Brasil, é difícil ter pleno conhecimento de como e quando surgiram as propostas veiculadas pelo professor Rodney Carlos Bassanezi.
