Neste artigo investigamos as ações e representações parciais de grupos, com maior ênfase no estudo das representações parciais H-globais. Restringimos então o estudo às representações parciais que são representações comuns quando restritas a um subconjunto fixo H, denominadas representações parciais globais H. Uma das motivações no estudo das representações parciais surge no estudo de ações globais e ações parciais.
Começamos introduzindo as representações parciais de G, de modo que a álgebra Kpar(G) é a álgebra universal gerada pelas relações derivadas da definição de representação parcial.
Ações parciais de grupos
A partir disso, mostraremos que as ações de S(G) estão em correspondência biunívoca com as ações parciais de G. Qualquer ação global β de um grupoGem um conjuntoX é uma ação parcial β= ({Dt}t∈ G, {βt}t∈G) , com Dt=X e βt=β, para todo t∈G. Agora vejamos que o α= ({Dg}g∈G,{αg}g∈G) assim definido satisfaz as três condições de ser uma ação parcial de GemY. i) De=βe(Y)∩Y =Y ∩Y =Y eαe=βe=idY. ii) implorar, h∈G, então.
O semigrupo inverso associado a um grupo
Um resultado chave envolvendo semigrupos inversos é o Teorema de Representação de Wagner–Preston, que afirma que todo semigrupo inverso é isomórfico a um subsemigrupo de I(X). Para provar que S(G) é de fato um semigrupo inverso, precisamos de elementos especiais, tais elementos são chamados de idempotentes. A forma padrão de um elemento α∈S(G) será de fundamental importância para provar que S(G) é um semigrupo inverso.
Diante do que foi dito, para provar que (G) é de fato um semigrupo inverso, podemos apenas garantir que para todo α em S(G) o elemento α∗ é único.
Representações de S(G)
Para isso estudaremos as representações de S(G), conforme segue na próxima seção. ii) é completamente análogo ao ponto i). Finalmente, a partir das duas representações apresentadas acima, podemos provar a unicidade da decomposição padrão de cada elemento α∈S(G) como segue.
Ações de semigrupos inversos vs ações parciais de grupos
Sabe-se que a representação de um grupo finito no espaço do produto interno equivale à representação unitária [12]. Como a) ec) são herdadas da definição de representação parcial isométrica, temos que π é uma representação parcial. Inversamente, dada uma representação parcial de π, é possível construir uma representação parcial isométrica equivalente a π de acordo com a seguinte proposição.
Provaremos que dada qualquer representação parcial π : G → End(V), onde V é um espaço C−vetorial, então existe um produto interno·,·inV tal que.
Grupoides
Um grupóide G pode ser descrito por um conjunto de setas (ou morfismos) G1, um conjunto de objetos G0 e o seguinte diagrama. G é um grupóide pela Definição 2.2.3 se e somente se G é uma pequena categoria onde seus morfismos são inversíveis. Então vejamos que G pode ser visto como uma categoria C, onde seus objetos são os elementos de G0, e dados dois objetos x, y∈G0, temos homC(x, y).
Além disso, dado um objeto x ∈ G0 então u(x) é o morfismo de identidade, devido aos axiomas da lei da unidade esquerda e direita em G. Finalmente, a categoria é pequena porque G0 e G1 são conjuntos e, além disso, cada morfismof tem o inverso i (f) (isso decorre dos axiomas da lei do inverso esquerdo e direito). Neste texto usamos uma versão da segunda definição na qual identificamos cada objeto por sua identidade, ou seja, G0⊂G1.
Dado um groupidΓ, denote comΓ(2)⊂Γ×Γ o conjunto de todos os pares em que esta composição é possível. Os elementos da forma (A, e) são ortogonais dois a dois, idempotentes em KΓ(G) e a unidade de KΓ(G) é dada pela soma de todos os elementos dessa forma. Mais precisamente, se A é uma K−álgebra com unidade, então π : G → A é uma representação parcial de G se e somente se existe um homomorfismo π˜ :KΓ(G)→ A tal que π = ˜π◦λp .
Se assumirmos que ˜π : KΓ(G) → A é um homomorfismo de K−álgebras, então π = ˜π◦λp : G → A é uma representação parcial de G em A, isso porque vimos na proposição 2.2.13 que λp é uma representação parcial de eπ ˜ preserva o produto porque é um homomorfismo. Com isso provamos que π˜ é multiplicativo em Γ(G), então podemos estender linearmente para um homomorfismo de KΓ(G) em A, que também chamaremos de ˜π por conveniência.
A estrutura da álgebra parcial de grupo
Por outro lado, todo elemento da forma γjhγi−1, com h∈H, pertence a Ei,j. Em particular, observe que |Hey,j|=|H|.
A álgebra parcial e o produto cruzado
Se A é uma ação parcial de um grupo G em uma álgebra A tal que todo ideal Dg é idempotente ou não degenerado, então GA é associativo. A seguir, faremos o inverso da proposta anterior, ou seja, construiremos uma ação parcial do grupo G que vem de uma representação parcial fixa. As aplicações απg :Dg−1 →Dg, g ∈G, definidas por απg(a) = π(g)aπ(g−1) são isomorfismos de K−álgebras que determinam uma ação parcial απ de G sobre A.
Seja α={αg:Dg−1 →Dg:g∈G} uma operação parcial de G em uma álgebra tal que todo Dg, g ∈G é uma álgebra com unidade 1g. No caso de uma ação parcial de um Gemgroup sobre um grupo X, uma globalização nada mais é do que uma ação global de GemX, com mais algumas condições. Nesse sentido, provaremos que toda ação parcial e, analogamente, toda representação parcial possui uma única globalização (com exceção do isomorfismo, claro).
Uma representação H−global parcial nada mais é do que uma representação parcial de G enquanto a restrição a um subconjunto de H é uma representação global. Lembre-se que a restrição de uma ação global de Gem(Y, β) para um subconjuntoX⊂Y é na verdade uma ação parcial de G onX, pela Definição 1.1.3 e Exemplo 1.1.6. Uma globalização de uma ação parcial de um grupo Em um grupoX é um triplo (Y, β, φ) em que.
Para cada ação parcial α de um grupo G em um conjunto X existe uma globalização única (a menos que seja isomorfa). Dada uma ação parcialα= ({Dt}t∈G,{αt}t∈G)deGemX, podemos definir uma relação de equivalência emG×X dada por.
Globalização (representações parciais)
Ao analisar a prova da afirmação anterior, observe que a condição (3.1) deve ser satisfeita apenas na imagem T e não em todo o espaço U. Seja (U, ρ) a representação global do grupo G no espaço vetorial U e Seja ϕ:V →Ueτ : U→V duas transformações lineares tais que τ◦ϕ=idV. De acordo com o artigo [3], nota 2.16, diz-se que as condições RR1) e RR2) com T = ϕ◦τ : U → U são equivalentes à igualdade (3.1), que é satisfeita para todos os elementos em ϕ( V) ⊆U . Com base nisso, provamos a seguinte afirmação.
Afirmamos que as condições RR1) e RR2) na definição 3.2.4 são válidas se e somente se T satisfaz a igualdade (3.1) para todo g∈Ge para todo v∈Imϕ. Para provar a verdade da igualdade (3.1), assumimos que as condições RR1) e RR2) são válidas. Observe, porém, que na prova apresentada não foi necessário assumir a condição RR1), basta perguntar que π(g)π(g−1)π(g) = π(g), para todo g ∈ G. On por outro lado, vimos que se a identidade (3.1) valer, então RR1) e RR2 são válidos), em particular vale que π(g)π(g−1)π(g) =π(g), para todos g∈ G.
Como a função αˆ:G→EndC[X] dada por αˆ(g) :=τ◦βˆ(g)◦ϕ é uma linearização, segue da Proposição 2.1.4 que αˆ é uma representação parcial de GemC[X]. Toda representação G−parcial(V, π) tem uma única globalização(U, ρ, ϕ, τ) até um isomorfismo canônico, ou seja, se (U, ρ, ϕ, τ) é outra globalização, então existe lá é uma única G −isomorfia ψ:U →U tal que ψ◦ϕ=ϕ e τ◦ψ=τ. Como os geradores deZ são da forma h⊗v−k⊗π(k−1h)(v), segue-se que Z⊂ker ˜τ e então existe uma única função linear de U a V satisfazendo g⊗v→˜ τ( g⊗v ), e esta função é justτ.
Para provar GR2), primeiro observe que por hipótese já temos que (V, π) é uma representação parcial de G e que τ ◦ϕ=idV, portanto. Se existe uma aplicação linear ψ:U→ Usando GR3 satisfatória então ela é definida exclusivamente pela propriedade que ψ(ϕ(v)) = ϕ(v), para todo v ∈ V .
G −representações parciais H −globais
LetGagroup,(V, π)aG−representação parcial e H-subgrupo de Genton(V, π) é H−global se e somente se H é um subgrupo de H(V). Reciprocamente, se H é um subgrupo de H(V), então π(h) é invertível para todoh∈H, o que implica a restrição de que πaH é uma representação global, então(V, π) é H−global. Seja K um subgrupo de G e considere o efeito de G nas classes do lado esquerdo G/K de K dadas pela multiplicação à esquerda, ou seja, β:G→Sym(G/K), onde β(g)(hK) = (gh)K.
Seja A⊂G/K um conjunto de classes à esquerda e seja α a restrição de β em A, o que nos dá uma G−ação parcial, ou seja, α= ({Ag}g∈G,{αg} g∈G), com . Definindo o subgrupo KA:={g∈G:gA=A} ⊆G, afirmamos que G−ação parcialα é H−global se e somente se H é um subgrupo de KA. Por outro lado, como o grupo G é finito, G/K é finito, então A é finito e, portanto, gA tem a mesma cardinalidade de A.
Agora que estamos familiarizados com o efeito de Sn em Y, afirmamos na notação do Exemplo 3.3.10 que KY =Sn[1].
Uma construção geral de exemplos
O par (WA, π) é uma restrição da representação G−global IndGKW ao subespaço WA, via inclusãoϕ e projeção τ : IndGKW →WA, onde kerτ.
Algumas propriedades sobre representações parciais
Notação: Na seção anterior, usamos a notação PAη para denotar o operador PA, mas correspondendo a uma representação G−parcial η:G→EndU, ou seja, . No entanto, esta notação é apenas para evitar confusão, ou seja, resultados onde mais de uma representação G parcial e seu correspondente operador PA são mencionados. Seja o par (V, π) uma representação parcial G-global H-global e seja g, g, h ∈G tal que gg ∈H. SoGP R1) decorre diretamente do fato de que π é uma representação parcial.
Para verificar se (3.6) é válida, note que para cada gk representativo existe um tk ∈G e um hk ∈H tais que tk=gkhk, para allk= 1,. 4.1) Agora restringindo um pouco mais as relações em termos de um subgrupo H ⊆ G, surge outra álgebra, que definiremos a seguir. Para simplificar, denote a álgebra livre gerada por {[g] :g∈G}, I o ideal deR gerado pelas relações (4.1) e J o ideal deR gerado pelas relações (4.2).
Soki bapesi representation partielle G−global H−π:G→EndV, ezali na morphisme unique ya ba C−algèbres φπ : CHpar(G)→ EndV na ndenge ete φπ([g]) = π(g), pona g ∈ nionso G Na réciproquement, epesami V umCHcouple(G)−module oyo esengeli ko contrater na actionμ:CHcouple(G)×V →V, fonction πμ:G→EndV epesami porg→[v→μ ([g], v)]ezali umaG − bomonisi ya ndambo ya H−mondial. Na sima, mpo na propriété prime universelle, ψπ e induire morphisme ya algèbreφπ : CHpar(G)→ EndV, epesami na φπ([g]) = π(g), to oyo ezali unique.
Reciprocamente, assuma que V é um módulo CHpar(G) com a ação μ:CHpar(G)×V →V e considere o mapa πμ:G→EndV dado por g→[v→μ([g], v) ] . Analogamente, verificamos que πμ(h)πμ(g)πμ(g) =πμ(hg)πμ(g), então segue do Teorema 3.5.4 que πμ G−representação parcial é H−global.
C H par ( G ) visto como produto cruzado
Como a função μp : G →CΓH(G) é uma representação parcial G−global H−global, segue-se da propriedade universal que existe um único morfismo bem definido da álgebra μ:CHpar(G)→CΓH(G ) tal que μ([ g ]) = μp(g), ou seja As representações G-globais H-parciais de G estão em correspondência um-para-um com as representações (globais) de CΓH(G). Especificamente, dado o isomorfismo algébrico π˜:CΓH(G)→EndV, isto define uma representação G-global parcial H (V, π), com π := ˜π ◦μp; inversamente, dada a representação H parcial G-global (V, π), existe uma única álgebra de morfismoπ˜:CΓH(G)→EndV tal que π= ˜π◦μp.
Por definição, A−1 é H-invariante à esquerda e K-invariante à direita, portanto segue da Proposição 3.4.2 que WA-1 é uma representação G-parcial H-global. A menos que seja isomorfo, a representação G parcial H-global IndAW depende apenas da componente conexa de ΓH(G) contendo(A, e) e não de um vértice escolhido. Se Wi é uma representação irredutível de Ki, então existe uma representação irredutível Wj de Kj tal que IndAiWi ∼= IndAjWj.
Se você agora considerar o mesmo espaçoW, definaρj:t−1j Ktj →EndW comρj(x) =ρ(tjxt−1j ), para todo x∈t−1j Ktj, então(W, ρj) é uma representação irredutível frequentemente −1y Ktj. Então as representações induzidas IndAi,jWs, com W atravessando todas as representações irredutíveis não equivalentes de Ki,j para todos i e j, formam uma lista completa de todas as representações G parciais globais irredutíveis. Além disso, pelo Lema 5.2.2, toda representação parcial irredutível G−global H−global é dada desta forma. dimCW)2 (=∗)m2i,j|Ki,j|, onde todas as somas são sobre representações W irredutíveis não equivalentes de Ki,j.
Vale a pena notar que para o caso onde i= 1, o Teorema 5.2.3 corresponde a G−representações parciais H−globais onde qualquer g ∈ G\H se comporta como 0 (ver Exemplo 3.3.2). Vimos então que as correspondentes H−representações G−parciais globais são dadas por IndAW, ou seja, restringindo as G−representações globaisIndGKW ao subespaço. Assim, (U, ρ) é uma representação global de Ge, pelo Teorema 5.2.1, (V, π) é uma restrição de (U, ρ) via inclusãoϕe a projeçãoτ, pela Proposição 3.4.1. Isso comprova as propriedades GR1) e GR2) da Definição 3.2.8 da globalização.
A indução parcial de uma representação globalWdeH ⊆GtoG é uma H−representação G−parcial global PIndGHW equipada com um H−homomorfismo ηW : W → PIndGHW, tal que para todo H−homomorfismo de :W →ResGHU ≡U deW para ' n G− global −globalU representação parcial , existe um único morfismo de G−representação parcial f˜: PIndGHW →U tal que f˜◦ηW =f. Queremos provar que (PIndGHW,ρ˜) e ηW dados por (5.7) satisfazem a propriedade universal da representação parcial induzida. 5.9) Seja (U, α) uma H−representação parcial global e f :W →ResGHU≡U um H−homomorfismo.
