83 Figura 32 - Histogramas de um ponto na região adesiva e outro na região de falha, para o. 90 Figura 41 - Histogramas de um ponto na região adesiva e outro na região de falha, para o.
Técnica da Transformada Integral
2012b) desenvolveu um método híbrido analítico-numérico para resolver problemas de condução de calor e condução-convecção em meios multicamadas formulados em um único domínio, evitando o tratamento explícito da interface entre os meios e satisfazendo as condições de temperatura e continuidade de fluxo. 2015a) aprimoraram esta técnica para permitir o tratamento de problemas de descontinuidade de temperatura na interface formulada em um único domínio através da inserção de uma camada fictícia arbitrária para impor a resistência térmica desejada.
Método das Diferenças Finitas
A metodologia híbrida mostrou-se bastante eficiente ao lidar com um problema com propriedades físicas espacialmente variadas. Ainda no mesmo, a abordagem de meios multicamadas foi utilizada para resolver um problema de fluxo em microcanais. 2017) utilizou MDF para resolver o problema de autovalor auxiliar, que surge da resolução de um problema multicamadas pelo CITT.
Problemas Inversos
O problema direto associado é resolvido via CITT, o que gera um problema de autovalor que é então resolvido via GITT. Estes trabalhos tratam da solução de um problema de transferência direta de calor tridimensional em regime transitório, que foi resolvido através de um método híbrido utilizando a transformada integral generalizada (GITT) juntamente com o método de diferenças finitas.
Identificação de Falhas
Em uma abordagem para problemas de transferência inversa de calor, ABREU (2014c) avaliou a função de condutividade térmica de contato com variação espacial entre camadas de um compósito para identificar defeitos no adesivo que as conecta. Na mesma direção de pesquisa, MASCOUTO et al. 2018) avaliou a função do coeficiente de condutividade térmica com variações espaciais, também para identificar defeitos no adesivo que os conecta.
Formulação em domínio único
Por outro lado, neste último caso, quando se utiliza a propriedade da ortogonalidade, obtém-se um único sistema transformado e um único conjunto de potenciais transformados, resultando em uma simplificação significativa do procedimento em problemas mais complexos (COTTA et al., 2016). ). Porém, em algumas situações, algumas vantagens computacionais podem ser obtidas ao considerar uma região regular abrangendo o domínio original do problema, conforme demonstrado por Cotta et al.
Técnica da Transformada Integral
Portanto, a maneira de obter a expressão para substituição na integral do lado direito da Eq. Se analisarmos agora a quarta e última integral da Eq. O sistema EDO representado pela equação 47) tem solução analítica e é representado como uma resolução do seguinte potencial transformado T ti(.
Problema Físico
Nas laterais, a superfície foi considerada isolada termicamente, pois como o problema se trata de um tubo cilíndrico, a temperatura à esquerda de x=0 é igual à temperatura à direita de x=0, portanto não há calor fluxo. . Assim, o coeficiente de condutividade térmica de cada camada k(x,y) nas posições y=Lya e y=Lya+Lyb depende das funções g(x) e f(x) respectivamente. A formulação do problema em um único domínio permite a utilização de diferentes geometrias nas interfaces com o adesivo, o que possibilita a realização de análises mais complexas do problema.
Formulação Matemática
Na superfície externa do conjunto, em y=Ly, há troca de calor por convecção com a vizinhança, na temperatura T∞ e o coeficiente de transferência de calor por convecção natural, h, constante. Para homogeneizar a condição de contorno em y = Ly e assim usar uma ordem de truncamento inferior para alcançar a convergência da solução, foi utilizado o seguinte filtro analítico:
Aplicação da CITT ao problema físico
Solução do Problema de Autovalor com o Método das Diferenças Finitas
Como o problema original foi filtrado, a solução final é dada pela equação T x y t a solução potencial da equação Após resolver o sistema linear obtido por discretização, os parâmetros discretos resultantes são interpolados para obter a solução EDP. Uma vez conhecidos os autovalores e as autofunções correspondentes, a fórmula de inversão (Eq. 57) pode ser facilmente usada para obter uma solução para o problema filtrado. Os parâmetros discretos deste vetor representam a condutividade térmica na região onde o próprio adesivo deveria estar.
Após determinar os parâmetros discretos deste vetor, estes são interpolados para obter a função de condutividade térmica.
Inferência Bayesiana
P é a função de densidade de probabilidade a priori, (Texp|P) é a função de probabilidade e (Texp) é a densidade marginal, que desempenha o papel de constante de normalização (KAIPIO; SOMERSALO, 2005; ORLANDE, 2012). No entanto, pode ser desconsiderado se o espaço de estados posterior puder ser explorado em menos que uma constante de normalização. Assim, a função densidade de probabilidade posterior pode ser escrita como (ORLANDE et al., 2011).
Assumindo que os dados térmicos são independentes (KNUPP et al., 2012a; 2012b), que os erros experimentais são aditivos e descritos por uma distribuição normal (KNUPP et al., 2012a), e que a quantidade de informação a priori pode ser formulada como uma distribuição normal ou uniforme, a função de probabilidade pode ser definida como
Algoritmo de Metopolis-Hastings
Uma das técnicas de simulação de padrões mais sofisticadas e comuns na literatura são as cadeias de Markov, que podem ser investigadas numericamente pela simulação de Monte Carlo, daí o nome método de Monte Carlo da cadeia de Markov. O objetivo disso é simular pos( )P de forma iterativa com base apenas no estado anterior da cadeia, ou seja, o cálculo de Pi depende apenas de Pi 1 (ORLANDE et al., 2011). O teorema de Bayes é utilizado para combinar as informações obtidas a priori com as informações recém-obtidas (KAIPIO; SOMERSALO, 2005).
É possível utilizar um valor aleatório como estimativa inicial, uma vez que os primeiros estados gerados pela cadeira de Markov são descartados.
Variação Total de Parâmetros
Definição do problema inverso para estimativa de falha
Um procedimento de adição de ruído à solução do problema direto foi utilizado para gerar dados experimentais sintéticos. Foi dividido em duas partes: inicialmente foi realizada uma análise de convergência do problema direto comparando os resultados da solução híbrida CITT/MDF utilizando a formulação de domínio único com a solução obtida utilizando o software COMSOL Multiphysics® para verificação do problema direto. A partir da solução do problema dos autovalores, o erro relativo dos primeiros autovalores foi calculado pelo refinamento da grade espacial, e também foi realizada uma comparação das primeiras autofunções.
Ainda na primeira parte, tendo em conta todo o problema (determinação do perfil de temperatura), foi calculado o erro relativo na resolução do problema direto utilizando CITT com o refinamento da malha espacial no MDF e aumentando a ordem de truncamento do CITT.
Análise de convergência do Problema Direto
Autovalores
Nesta seção, a análise de convergência dos primeiros autovalores obtidos pela resolução do problema de autovalor mostra a Eq. A Figura 6 mostra o comportamento do erro relativo dos seis primeiros autovalores do problema de autovalores, com o refinamento da malha espacial. Considerando que a solução de referência obtida pelo COMSOL convergiu, o erro relativo entre as soluções diminui, com o aumento do número de nós, NPx e NPy, nas direções espaciais x e y, respectivamente.
Ainda no gráfico da Figura 6, pode-se observar que os primeiros autovalores apresentam convergência mais rápida, necessitando de menos refinamento na rede do problema dos autovalores.
Autofunções
Algumas das autofunções obtidas pelo MDF, apresentadas na Figura 7, não apresentaram convergência com a solução COMSOL, principalmente próximo à posição x=0,05m, região de falha. Desta forma, o Problema dos Autovalores foi recalculado pelo MDF, para a mesma posição, para obter a convergência das autofunções. Ao contrário do apresentado anteriormente, a utilização de 301 nós em cada direção espacial, na solução do Problema dos Autovalores pelo MDF, mostrou boa convergência das autofunções em relação aos resultados apresentados pelo COMSOL.
Apesar da grande variação, a convergência ao longo da direção y foi melhor do que aquela apresentada ao longo da direção x para o mesmo número de nós no problema de autovalores.
Problema Completo
O gráfico mostra uma tendência de diminuição do erro relativo, tanto com o aumento da ordem de corte do CITT quanto com o aumento do número de nós na malha do problema de autovalor. Da mesma forma, o gráfico mostra uma tendência de diminuição do erro relativo, tanto com o aumento da ordem de truncamento do CITT quanto com o aumento do número de nós na malha do problema de autovalor. Aumentar a ordem de corte para os termos N=250 e N=400 aproximou ainda mais as curvas da solução COMSOL.
Novamente, a solução CITT com ordem de corte de N=50 apresentou um ligeiro desvio da solução COMSOL.
Estimativa da condutividade térmica via problema inverso
Estimativa da função do coeficiente de condutividade térmica: Caso 1
Utilizar apenas alguns momentos torna ainda mais difícil a recuperação da função de condutividade térmica devido aos poucos dados informativos. A Figura 19 mostra a média posterior dos parâmetros discretos estimados da função condutividade térmica além da função exata. Conforme mostrado na Figura 19, não foi possível recuperar a função exata da condutividade térmica, nem identificar as áreas onde deveria ocorrer sua mudança brusca para encontrar áreas de falha.
A não recuperação da função coeficiente de condutividade térmica se deve principalmente à variação abrupta na região de falha.
Estimativa da função do coeficiente de condutividade térmica: Caso 2
- Caso 2A
- Caso 2B
A Figura 20 mostra as cadeias de Markov para dois parâmetros, um na região de falha e outro na região adesiva (sem falha). A Figura 22 mostra os histogramas para dois parâmetros, um na região adesiva e outro na região de falha, considerando estados de 40.000 a 70.000. A Figura 25 mostra as cadeias de Markov para dois parâmetros, um na região de falha e outro no adesivo região (sem falha).
A Figura 26 mostra os histogramas para dois parâmetros, um na região de cola e outro na região de erro, descartando os 40.000 modos de aquecimento.
Estimativa da função do coeficiente de condutividade térmica: Caso 3
- Caso 3A
- Caso 3B
A Figura 28 apresenta as cadeias de Markov para dois parâmetros, um na região de falha e outro na região de cola (sem falha). A Figura 29 apresenta os histogramas para dois parâmetros, um na região adesiva e outro na região de falha, descartando as 30.000 condições de aquecimento. A Figura 31 apresenta as cadeias de Markov para dois parâmetros, um na região de falha e outro na região de cola (sem falha).
A Figura 32 mostra os histogramas para dois parâmetros, um na região de cola e outro na região de erro, descartando os 20.000 modos de aquecimento.
Estimativa da função do coeficiente de condutividade térmica: Caso 4
- Caso 4A
A Figura 34 mostra as cadeias de Markov para dois parâmetros, um na região de falha e outro na região adesiva (sem falha). A Figura 37 mostra as cadeias de Markov para dois parâmetros, um na região de falha e outro na região adesiva (sem falha). A Figura 38 mostra os histogramas para dois parâmetros, um na região adesiva e outro na região de falha, descartando 30.000 estados de aquecimento.
A Figura 40 apresenta as cadeias de Markov para dois parâmetros, um na região de falha e outro na região de ligação (sem falha).
Estimativa da função do coeficiente de condutividade térmica: Caso 6
A Figura 43 apresenta as cadeias de Markov para dois parâmetros, um na região de falha e outro na região de aderência (sem falha). A Figura 44 apresenta histogramas para dois parâmetros, um na região adesiva e outro na região de falha, sem 100.000 estados de aquecimento. Embora a recuperação dos parâmetros discretos para o Caso 6 seja ainda mais difícil em comparação ao Caso 5, a Figura 42 representa as regiões onde ocorreram mudanças bruscas no coeficiente de condutividade térmica, ou seja, as regiões de falha.
Os maiores problemas com a recuperação dos parâmetros já eram esperados, pois como mencionado anteriormente, para o Caso 6, foi considerada rugosidade no tubo de aço e no isolante térmico para gerar os dados experimentais.
Estimativa da função do coeficiente de condutividade térmica: Caso 7
Embora o Caso 7 apresente maiores dificuldades para recuperar os parâmetros de condutividade térmica discreta, comparado ao Caso 6, devido à proximidade das duas regiões de falha, os dois parâmetros escolhidos para serem aqui apresentados apresentaram bons resultados. À medida que as regiões de falha foram aproximadas, um número menor de parâmetros discretos foi utilizado entre elas. Porém, embora o Caso 7 não ofereça a mesma recuperação, pois utiliza menos parâmetros entre as regiões, a Figura 48 mostra uma tendência de aumento da condutividade térmica, em parâmetros discretos, entre as regiões de falha.
Mais de 41 pontos discretos poderiam ser usados para recuperar o coeficiente de condutividade e, assim, haveria mais parâmetros entre as regiões de falha.
Estimativa da função do coeficiente de condutividade térmica: Caso 8
A solução do problema direto foi verificada por comparação com soluções de referência obtidas com o software COMSOL Multiphysics®, analisando autovalores, autofunções e a solução final. O método de Monte Carlo via cadeias de Markov implementado pelo algoritmo Metropolis-Hastings foi utilizado para resolver o problema inverso. Assim, a solução híbrida CITT/SD foi verificada resolvendo o problema de autovalor via MDF, e seus resultados foram sempre comparados com aqueles obtidos com o software COMSOL Multiphysics®.
Tal estimativa não resultaria em um custo computacional muito superior ao atual, pois toda a solução do problema inverso seria a mesma já utilizada; iv) a estimativa do coeficiente de condução de calor transitório, k(t) e k(x,y,t).
