Para promover tal contribuição, uma série de atividades foram desenvolvidas nesta dissertação. Como resultado, apresenta-se um conjunto de 6 atividades, sendo duas na Fase 1 (atividades preparatórias) e quatro na Fase 2 (atividades de produção de conhecimentos específicos). Apresenta a criação de um conjunto de atividades e materiais multissemióticos baseados na Teoria dos Registros de Representação Semiótica (TRRS) - de Duval (2009) e na Investigação Matemática em Sala de Aula de Oliveira e Brocardo e Da Ponte (2016), com Matemática. e didático, para compreender razões trigonométricas através da similaridade de triângulos, com base no caso especial da classe de equivalência de triângulos retângulos semelhantes compartilhando um ângulo de 30º.
Neste estudo, utilizou-se a Teoria dos Registros de Representações Semióticas (TRRS), de Raymond Duval1, numa perspectiva investigativa, para que pudesse ser criado um conjunto de atividades para o professor utilizar com o aluno, a fim de compreender um conceito.
Estudo da Teoria dos Registros de Representação Semiótica
Ou seja, era necessário definir que tipo de representação poderia ser criada para o raciocínio dedutivo, a escrita simbólica, além de um argumento e um texto. Mas será que esta coordenação por si só nos permitirá reconhecer a forma de uma equação (ou de uma desigualdade) olhando para a forma e posição de linhas retas e curvas (num gráfico não quadrado).
Investigação matemática em sala de aula
A investigação matemática, em particular, não se trata apenas de resolver problemas muito sofisticados, mas sim de identificar claramente o problema, formular conjecturas, procurar respostas, desenvolver estratégias, testar, provar. O interesse pela investigação matemática em sala de aula deve ser estimulado pelos professores e tornar-se um poderoso processo de construção e desenvolvimento do conhecimento. Para que a investigação matemática ocorra em sala de aula, os alunos não devem apenas ser incentivados para esse fim, mas os professores também devem estar preparados para organizar o trabalho, as etapas e definir os objetivos.
Na Inglaterra, segundo o Relatório Cockcroft (1982), desde a década de 1980 existem registros específicos do uso da investigação matemática. Em Portugal, a investigação matemática é tratada como um tema transversal, não esquecendo de referir a importância do desenvolvimento do raciocínio matemático, segundo o MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO (2007). Neste documento, os alunos do 1.º ciclo (6-9 anos) são incentivados a explicar e justificar as suas ideias matemáticas (sugerem-se estudos de regularidades numéricas e relações numéricas em tabelas); no 2.º ciclo (10-11 anos), as análises tornam-se mais intensas (trabalham na organização e tratamento de dados, ou seja, na investigação estatística); no 3.º ciclo (12-14 anos) estes alunos já são capazes de raciocinar dedutivamente, distinguir argumentos e formular diferentes demonstrações (aqui são utilizados os diferentes temas da Geometria Plana e do Teorema de Pitágoras); e no ensino secundário (15-17 anos) os alunos desenvolvem o raciocínio e o pensamento científico, descobrem conceitos matemáticos, validam conjecturas, utilizam métodos de demonstração (nesta fase, os estudos propostos centram-se na geometria espacial e nas funções, ambos apoiados no uso da tecnologia , que colaboram em experimentos e na formulação de conjecturas).
No Brasil, as pesquisas e pesquisas em matemática baseiam-se nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), publicados em 1998, que representam os objetivos gerais da educação matemática (Tabela 14). Segundo Brocardo (2002), alguns professores têm incorporado sistematicamente a pesquisa matemática no seu cotidiano escolar, em uma ou mais unidades de ensino durante o ano letivo. Quando o professor utiliza a investigação matemática em sala de aula, esta pode não ser tão rápida quanto a reprodução de algum conteúdo como é feito no ensino tradicional.
Estudo da Razão Trigonométrica Seno
Vale ressaltar que as atividades de investigação não precisam ter lugar de destaque nos anos iniciais, para que o aluno, dentro de um contexto, possa utilizar essa metodologia de forma mais natural e como parte integrante da Matemática. Eram utilizados para circunferências com raios muito grandes, evitando números fracionários, utilizando propriedades de figuras geométricas, para obter dados de forma indireta, o que possibilitava calcular o ângulo ou lado de um triângulo com dimensões muito grandes. Segundo Roque e De Carvalho (2012), problemas utilizando lados e ângulos de triângulos foram interessantes no estudo da trigonometria plana, pois quando Aristarco de Samos (300 a.C.) mediu a distância entre Terra-Sol e Terra-Sol, Lua, é a aproximação do seno a partir de um pequeno ângulo verificado.
O foco deste trabalho, como já mencionado no texto, está na trigonometria, especificamente no valor do seno do ângulo de 30º. Segundo Silva (2015), para cada situação em que são manipulados materiais concretos, é possível verificar que as razões trigonométricas são razões de igualdade, que convergem para o foco deste trabalho, na trigonometria, especificamente o seno de 30°. Assim, as relações anteriores definem o seno e o cosseno de qualquer ângulo agudo, dado o triângulo retângulo.
Desta forma, determinado um ângulo de 30°, podemos dizer que teremos um “triângulo 30º-60º-90º”, cuja propriedade é que a hipotenusa será o dobro do lado oposto ao ângulo 30º. Portanto, quando o lado oposto ao ângulo de 30° é dividido pela hipotenusa, o valor do numerador (lado oposto) será inevitavelmente igual à metade do valor do denominador (hipotenusa), o que cria um valor constante denominado seno de 30. ° ou ½ (SILVA, 2018). Portanto, o seno de 30º será sempre igual a ½, mesmo que sejam construídos infinitos triângulos retângulos com ângulo interno igual a 30° e, portanto, lados homólogos proporcionais, considerando ângulos de 0° a 90°, como diz Silva (2021). ).
Parte 1: Pesquisa bibliográfica
Esse material provém principalmente do Google Acadêmico (sites exclusivos para academias/universidades), que contém dissertações, teses, artigos, periódicos e anais de eventos científicos. Definidas as etapas da pesquisa bibliográfica, escolhe-se o tema (onde o papel do orientador é de suma importância, pela sua experiência em sugerir temas e indicar leituras) e realiza-se uma pesquisa bibliográfica preliminar (para que o pesquisador se familiariza com o tema). Em seguida, é elaborado um plano preliminar de pesquisa e a leitura do material com o objetivo de compreender o conteúdo e obter respostas ao problema inicial.
Segundo Gil (2002, p. 59), . a leitura realizada na pesquisa deverá atender aos seguintes objetivos: a) identificar as informações e dados contidos no material impresso; b) estabelece relações entre informações e dados obtidos com o problema proposto; c) analisar a consistência das informações e dados apresentados pelos autores. A leitura do material pode ser exploratória (reconhecendo o texto), seletiva (apenas textos de interesse de pesquisa), analítica (realizando análises definitivas) ou interpretativa. Para esta pesquisa, o material foi registrado por meio da identificação de obras, registro de ideias, registro de conteúdos e comentários e organização de informações.
Para desenvolver a primeira parte da pesquisa foram lidos livros físicos de Raymond Duval, Semiósis e Pensamento Humano - Gravações Semióticas e Aprendizagem Intelectual, bem como Aprendizagem em Matemática - Gravações de Representação Semiótica, de Silvia Dias Alcântara Machado, Segunda Educação Matemática, de Elon Lages Lima, A História da Matemática: Uma Visão Crítica, Desfazendo. Os dois livros principais baseiam-se na Teoria do Registro da Representação Semiótica, de Raymond Duval, por ser ele o autor desses estudos. Este estudo foi realizado por recomendação do orientador e a teoria foi considerada adequada para fins de representar, de diferentes formas, como se comportam os ângulos dos triângulos estudados para o desenvolvimento da pesquisa.
Parte 2: Confecção do conjunto de atividades
Nesta fase examinamos o uso de ferramentas de medição como esquadro e transferidor, para que seja verificada a concordância entre os triângulos dados. Para desenvolver as atividades nesta etapa, os triângulos foram desenhados no GeoGebra20 e divididos de forma que facilitasse a medição dos lados. A seguir, medem-se com o transferidor os ângulos dos triângulos criados, registram-se os valores e verifica-se se realmente há concordância do triângulo inicial, feito no GeoGebra, com os triângulos desenhados em papel milimetrado.
Na atividade 3, a pesquisa é feita com base no triângulo retângulo em que a hipotenusa mede o dobro do comprimento do lado oposto ao ângulo dado. Aqui os alunos devem construir diferentes triângulos retângulos, com as mesmas características do triângulo dado como modelo. Para construir o seguinte conjunto de atividades, utilizou-se a Teoria dos Registros da Representação Semiótica (DUVAL, 2009) e também foram exploradas competências e habilidades específicas do Currículo Nacional Comum (BNCC) para o ensino de matemática.
Nos anos finais do ensino básico, as competências são organizadas por ano letivo e, no que se refere às competências específicas, pelos conteúdos a estudar. Essas atividades foram desenvolvidas com base em observações relevantes e necessárias, de Machado (2008), para lidar com as dificuldades dos alunos em relação aos processos de construção de conceitos geométricos, a fim de oferecer suporte ao ensino e aprendizagem da geometria. Aproveitando essa ideia de utilização de Registros de Representação Semiótica, as atividades foram assim propostas para ajudar os alunos a compreenderem o seno de 30º que é igual a ½.
Visão geral das atividades
Etapa 1 - Atividades preparatórias
- Primeira atividade da etapa 1 (quadro 16)
Tabela 16 – Passo 1 – Atividade 1 1. a) Você pegará uma folha extra e desenhará cada triângulo. Neste caso, após desenhar um triângulo de qualquer tamanho, cada um de seus ângulos será pintado. Na primeira atividade cada aluno desenhará um tipo de triângulo, explorando as diferentes medidas de lado e ângulo, e na segunda atividade serão analisadas e comparadas as medidas de lado e ângulo, conforme mostrado na habilidade (EF06MA19).
Aí o triângulo será rasgado para que cada lado tenha um ângulo e esses lados, reorganizados, usamos a habilidade (EF06MA23). Ao final desta atividade, os alunos também utilizarão triângulos com lados e ângulos diferentes para verificar se a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo será sempre 180° conforme indicado na habilidade (EF07MA24). Na caixa retangular ao lado, desenhe um triângulo com lados 6, 8 e 10 e cada um de seus ângulos f) Escreva o que você observou em relação à soma dos ângulos internos desse triângulo g. ) Usando os palitos, reconstrua o triângulo 3, 4 e 5 e construa um triângulo ao redor dele com os lados 6, 8 e 12, tendo o palito como unidade de medida.
Em outras palavras, o tamanho do lado de cada triângulo está relacionado aos ângulos formados entre os dois lados. Identificar as características dos triângulos e classificá-los de acordo com as medidas dos lados e dos ângulos (BRASIL, 2018, p. 303). Construir triângulos com auxílio de régua e compasso, reconhecer a condição para a existência de um triângulo com base no tamanho dos lados e verificar se a soma das medidas dos ângulos internos do triângulo é 180° (BRASIL, 2018 , pág. 309).
Etapa 2 - Atividades para produção de conhecimento específico
- Primeira atividade da etapa 2 no quadro 18
Sugerimos iniciar o desenho com um segmento de reta vertical, com uma determinada medida, traçar a reta horizontal, formar o ângulo de 90°, utilizar um quadrado para isso, e partindo da extremidade superior, desenhar a hipotenusa com o dobro do tamanho da medida deste segmento de reta (que será o lado oposto do ângulo alfa).. b) meça, com o transferidor, o ângulo alfa em cada um dos triângulos feitos e anote na figura feita no papel milimetrado . Em um dos pontos extremos você vai marcar o ângulo de 30° com o transferidor e marcar esse segmento reto. Na outra extremidade você faz um segmento perpendicular à horizontal, determina o ângulo de 90°, use um quadrado para isso.
Depois você pode desenhar o terceiro segmento, com uma extremidade começando em um ângulo de 30° e a outra extremidade começando em um ângulo de 90°, fechando o triângulo. Porém, em uma extremidade você desenha um ângulo de 45° e todos os passos anteriores. Para esta atividade sugerimos que você comece desenhando um segmento horizontal. Em uma extremidade, marque o ângulo de 30° usando o transferidor e marque esse segmento de reta.
No outro extremo, você fará um segmento perpendicular à horizontal, definindo o ângulo de 90°, utilize um quadrado para isso. Depois, você pode desenhar o terceiro segmento, um extremo começando no ângulo de 30° e outro começando no ângulo de 90°, fechando o triângulo. Porém, em uma extremidade, você desenhará um ângulo de 45° e todos os passos anteriores. Nota para o professor que implementará a atividade 4: imprima o papel quadriculado para cada indivíduo ou grupo que realizará esta atividade.
Crie dois triângulos semelhantes ao triângulo ABC, usando a grade da imagem como guia e o papel milimetrado que você recebeu. Sugerimos iniciar o desenho com um segmento de reta vertical, com uma determinada medida, traçar a reta horizontal, formar o ângulo de 90°, utilizar um quadrado para isso e, partindo da borda superior, desenhar a hipotenusa, com o dobro do tamanho medido deste segmento reto (que será o lado oposto do ângulo alfa).
