Formação de feixe em arranjos de antenas usando filtros adaptativos proporcionais com restrição linear. Formação de feixe em arranjos de antenas usando filtros adaptativos proporcionais com restrição linear.
Modelagem do Sinal
Matrizes de sensores são amplamente utilizadas em técnicas de processamento de sinal, pois introduzem novas dimensões, especialmente dimensões espaciais, ao sinal medido/observado para melhorar o desempenho do processo de estimativa para o sinal desejado. A relação média sinal-interferência mais ruído (SINR) obtida na k-ésima iteração pode ser escrita como.
Conforma¸ c˜ ao Adaptativa de Feixe
Solu¸ c˜ ao de Wiener
A função MSE é uma função quadrática dos coeficientes do filtro adaptativo, que permite uma solução direta para w que minimiza E[e2(k)] se o vetor p e uma matriz R forem conhecidos. Igualando o vetor gradiente a zero e assumindo que R não é uma matriz singular, o valor ótimo de w que minimiza a função MSE é dado por.
Beamforming de M´ınima Variˆ ancia
Esses sinais são considerados restrições representadas pelas colunas da matriz de restrições C e pelos elementos do vetor de restrições f. Os valores dos elementos do vetor f são 1 para as direções de interesse e 0 para as direções correspondentes aos sinais interferentes. Esta abordagem expressa funções de custo determinísticas como funções quadráticas da perturbação mínima dos coeficientes, sujeitas a restrições ou não.
O algoritmo CLMS foi apresentado em [17] e sua principal importância para arranjos de antenas é sua capacidade de atenuar sinais interferentes vindos de diversas direções, ao mesmo tempo em que pode considerar o sinal desejado. É possível derivar o algoritmo CNLMS realizando uma modificação simples do problema apresentado em (19) como segue. Seguindo os mesmos passos usados para derivar o CLMS, a equação de atualização para o algoritmo CNLMS pode ser descrita como segue.
O CNLMS foi inicialmente apresentado em [18], sendo uma forma padronizada de CLMS, com o objetivo principal de cancelar interferências em sistemas de comunicação móvel utilizando Acesso Multiplexado por Divisão, Código de Sequência Direta (DS-CDMA - Direct Sequence Code Division Multiple Access).
O Algoritmo CAP
O problema de minimização restrita mostrado em (30) pode ser transformado na seguinte versão irrestrita de maneira equivalente. No caso de D = 0, a equação de atualização CAP pertence à equação de atualização do algoritmo CNLMS.
O Algoritmo RC-CLMS e RC-CNLMS
É possível converter o problema com restrições em um problema sem restrições utilizando a técnica do multiplicador de Lagrange. Para derivar o RC-CNLMS, basta modificar o problema apresentado em (41) como segue. Seguindo os mesmos passos do RC-CLMS, obtemos a equação de atualização do RC-CNLMS dada por.
O Algoritmo IPCNLMS
Isto se deve ao fato de que a derivação tradicional de algoritmos adaptativos de formação de feixe, através de uma aproximação estocástica do vetor gradiente, não permite uma introdução direta da matriz de pesos G(k). O problema (60) descreve uma minimização de distância ponderada com restrições envolvendo tal questão. Usando o método do multiplicador de Lagrange para funções de custo complexas, a equação (60) pode ser descrita como.
Essa relação pode ser verificada observando o comportamento do algoritmo no tempo zero, quando w(k) = 0. A matriz G(k) cria uma proporcionalidade entre o fator de convergência µ e as magnitudes dos coeficientes adaptativos. Isto leva a uma taxa de convergência lenta para coeficientes de baixa magnitude e a uma taxa de convergência mais rápida para coeficientes maiores.
Portanto, é sugerido em [36] que o algoritmo Pt-NLMS aproveita a grande diferença de tamanho entre os coeficientes adaptativos e não necessariamente a dispersão do sistema.
O Algoritmo IPCNLMS-ℓ 0
Este capítulo apresenta os resultados de simulações para avaliar o desempenho dos algoritmos propostos para formação de feixes adaptativos utilizando três tipos de arranjos: ULA (uniform linear array) com 15 sensores, URA (uniform rectangular array) composto por 7 colunas e 9 linhas. , um total de 63 elementos e um SHA (Standard Hexagon Array) com 6 sensores por aresta hexagonal, que chega a um total de 91 elementos, conforme mostrado na Figura 6. Para Em todas as simulações citadas acima, os elementos do array estão distribuídos em meio comprimentos de onda, ou seja, ∆x = ∆y = λ2. O objetivo das simulações é fornecer um formador de feixe que alcance ganho de 0 dB na direção de interesse e que os sinais de fontes interferentes sejam atenuados.
Na primeira simulação, o padrão de radiação é apresentado da forma usual com as variações dos ângulos de azimute para um determinado zênite fixo e o ganho em cada direção. No segundo, é utilizado um gráfico de superfície mostrando seu ganho em cada par de direções (θi, ϕi), e para isso é utilizada uma escala de cores. Neste trabalho, o desempenho de cada um dos algoritmos é verificado pela sua velocidade de convergência através da energia média de erro de saída (Mean Output Error) do filtro adaptativo e sua capacidade de atenuar sinais interferentes permitindo ao mesmo tempo atingir o ganho máximo na direção desejada. .
Todas as simulações foram realizadas usando 500 ensaios de Monte Carlo independentes, com 800 réplicas em cada, e a variância do ruído aditivo foi definida como σn2 = 10−6 e a energia SOI foi definida como 40 dB abaixo da potência dos bloqueadores/bloqueadores.
Arranjo Linear Uniforme
Um ponto importante a ser mencionado é que a escolha da etapa de convergência, µ, foi baseada no objetivo de atingir o mesmo nível de MOE (Mean Output Energy em inglês) em estado estacionário para todos os algoritmos simulados. A Figura 7 apresenta a comparação de desempenho dos algoritmos CNLMS, RC-CNLMS, CAPA, IPCNLMS, IPCNLMS-ℓ0 em relação à energia média de erro do sinal de saída do conjunto durante as primeiras 250 iterações. Os algoritmos IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0 podem garantir o mesmo nível de MOE quando comparados a outros algoritmos, porém, ambos convergem mais rapidamente, com o IPCNLMS-ℓ0 obtendo uma convergência mais rápida, devido ao uso da norma dog ℓ0.
Todos os algoritmos atingem valores próximos de -28 dB, embora os níveis dos algoritmos CNLMS e RC-CNLMS sejam ligeiramente superiores. É possível observar que a curva de todos os algoritmos atinge um ganho de 0 dB para a direção de interesse e atenua os sinais das fontes interferentes. Conforme evidenciado pelo diagrama de radiação, todos os algoritmos fornecem desempenho semelhante à solução LCMV ótima, sugerindo que os vetores de peso w(k) atingem valores virtualmente idênticos para todos os algoritmos no permanente.
Portanto, a Figura 10 mostra a distribuição de energia do vetor de peso w(k) ao longo da ALU.
Arranjo Retangular Uniforme
Portanto, é provável que a distribuição de energia destes vetores também seja essencialmente a mesma. É possível observar que o elemento central do arranjo apresenta o menor nível de energia concentrada, enquanto os dois elementos adjacentes a ele apresentam os maiores valores. A Figura 11 mostra a comparação de desempenho dos cinco algoritmos CNLMS, RC-CNLMS, CAPA, IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0 em termos de energia média de erro.
A Figura 8 mostra a comparação da relação sinal-ruído (SINR) entre os algoritmos CNLMS, CAPA, RC-CNLMS, IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0. A Figura 13 ilustra o padrão de radiação do arranjo tipo URA através do formador de feixe adaptativo para todos os algoritmos, incluindo a solução ótima dada pelo LCMV. É possível observar que o ganho máximo está na direção de interesse, chega a 0 dB e que os sinais interferentes são enfraquecidos.
Na figura 19 é possível visualizar a distribuição de energia dos coeficientes do vetor pesosw(k).
Arranjo Hexagonal Padr˜ ao
A Figura 20 apresenta uma análise comparativa de desempenho dos algoritmos IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0 em relação aos algoritmos CNLMS, RC-CNLMS e CAPA, considerando a energia média de erro de saída (MOE) durante as primeiras 250 iterações. Os resultados mostram que os algoritmos IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0 convergem mais rapidamente que os demais algoritmos, alcançando desempenho equivalente. Na Figura 21, uma comparação da relação sinal-interferência mais ruído (SINR) foi realizada entre os algoritmos CNLMS, CAPA, RC-CNLMS, IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0.
No entanto, na análise de desempenho em estado estacionário, descobriu-se que os algoritmos IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0 alcançam a convergência mais rapidamente, em torno da iteração k = 100. Na simulação II, para cada um dos CNLMS, RC-CNLMS, IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0 algoritmos, os parâmetros apresentados na Tabela 6. Os algoritmos CAPA, CNLMS e RC-CNLMS têm uma taxa de convergência mais lenta em comparação com IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0 em termos de MOE, mas oferecem melhor imunidade a ruído.
A diferença entre os valores máximo e mínimo de energia é de 1 dB, indicando que os algoritmos IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0 exploram a diferença de magnitude entre os coeficientes vetoriais w(k) em vez da dispersão do sistema.
An´ alise dos Resultados
Verificou-se que todos os algoritmos alcançaram níveis SINR próximos, demonstrando a capacidade de obter um sinal de interesse com qualidade em meio a interferências causadas por outras fontes e ruído aditivo. Embora os algoritmos CNLMS, CAPA com D= 2 e RC-CNLMS tenham atingido níveis ligeiramente superiores ao IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0, estes últimos atingiram seu desempenho máximo mais rapidamente. Se este valor for aumentado, os algoritmos IPCNLMS e IPCNLMS-ℓ0 não poderão ser mais eficientes, e portanto, para projetos que definem D = 2 como restrição, os algoritmos propostos neste trabalho podem ser mais eficientes em termos de velocidade de convergência e alcance. não importa. níveis aceitáveis de SINR.
Foram feitas comparações entre todos os algoritmos e a solução ótima obtida pelo algoritmo LCMV para sinais com altura fixa e azimute variado, além de análises dos diagramas de radiação ˜ para arranjos planares como URA e SHA com variação em ˆ. Os resultados mostraram que todos os algoritmos apresentaram padrões de feixe muito semelhantes no lóbulo principal e zero nos lóbulos laterais, indicando que são capazes de maximizar o ganho na direção do sinal de interesse e atenuar sinais interferentes em outras direções. Os algoritmos propostos são capazes de convergir mais rapidamente em comparação aos algoritmos CNLMS e RC-CNLMS e também ao CAPA com fator de reutilização de dados igual a dois (D = 2).
Nas simulações realizadas não foi alcançada a esparsidade, apenas verificou-se que os algoritmos proporcionais exploram a diferença de tamanho entre os coeficientes e não necessariamente a esparsidade em si.
