Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática na Rede Nacional - PROFMAT) - Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Instituto de Matemática e Estatística. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática na Rede Nacional - PROFMAT) - Instituto de Matemática e Estatística, Universidade do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 2020.
História do Ensino da Geometria no Brasil
Alvo de muitas críticas e extinto após cerca de duas décadas, esse Movimento acabou prejudicando o ensino da Matemática como um todo e, mais ainda, o da Geometria. Ambos mantiveram um currículo mais completo, com o ensino de Geometria que pode ou não estar vinculado a outros ramos da Matemática e mantiveram o Desenho Geométrico.
A Importância da Geometria na Aprendizagem
Para o professor-autor deste trabalho, o exemplo de reprovação no estudo de geometria acima é muito importante, pois estudei desenho geométrico no sexto e sétimo anos do ensino fundamental e também no ensino médio, já que frequentei um curso técnico. Esses autores incentivam inclusive a criação de plantas baixas de salas e dormitórios de alunos do sétimo ano do ensino fundamental.
História
Intencionalmente juntos, conceitos geométricos e até aritméticos compõem, por exemplo, a pintura Melancolia, de 1514, do alemão Albrecht Dürer, mostrada na figura abaixo. Podemos citar também como outro exemplo envolvendo Arte e Matemática, o movimento cubista representado na figura de Pablo Picasso. Além desses expoentes da arte, a pesquisa para este trabalho encontrou dois brasileiros que também utilizaram conceitos matemáticos em suas obras.
Para finalizar esta seção, podemos considerar o trabalho do londrino Simon Beck, que é inovador porque o trabalho é feito na neve e também utiliza conceitos matemáticos.
Arte e Matemática na Escola
A ideia, ao contrário do que muitos imaginam, é confortável para professores e alunos: “Nesta perspectiva, os alunos tornam-se participantes de um mistério e protagonistas de um processo de investigação e descoberta”. (HELBEL, 2013, p.14). Desta forma, esta estratégia de ensino pode ser utilizada não apenas numa experiência com arte, mas no ensino de geometria e matemática em geral. Dessa forma, é possível avaliar em qual nível de aprendizagem o aluno se encontra dentro do experimento, o que dá maior controle sobre o processo de ensino-aprendizagem como um todo.
Assim, entendemos que ao aprender geometria é necessário que a clareza da imagem da figura aliada à sua designação seja o primeiro passo para o desenvolvimento de atividades relacionadas a ela.
Mosaicos
Historicamente, segundo Simonini (2017), os mosaicos existem desde a antiguidade, o que dificulta a definição de um ponto de partida. Já os mosaicos geométricos são definidos por Imenes e Lellis (2012, p. 288) como: “Desenho formado por uma ou mais formas geométricas, que se encaixam. Os mosaicos semirregulares são compostos por dois ou mais tipos de polígonos regulares que diferem entre si.
Os mundialmente conhecidos e aclamados trabalhos em mosaico de Escher distinguem-se pela pavimentação do plano (colocação de azulejos) e criam mosaicos com desenho geométrico, como nunca antes se tinha visto.
História
O Modelo de Van Hiele
Para Nasser e Sant'anna, cada nível é caracterizado por relações entre objetos de estudo e linguagens específicas. Eles são capazes de fazer deduções informais e, dessa forma, ordenar classes de figuras geométricas que são objeto de estudo. É nesta progressão que aumenta a importância do professor que aplica este modelo, pois é necessário definir atividades adequadas, uma linguagem clara e esclarecedora que possa abranger todo o contingente em questão, tendo sempre presente, como descreve Kallef, Henriques, Rei e Figueredo (1994, p. 4): “Em uma sala de aula, as crianças pensam em níveis diferentes, diferem entre si e também do professor, muitas vezes usam palavras e objetos de maneiras diferentes daquelas usadas por seus professores e em O livro de texto.".
A primeira fase refere-se às informações que verificam os objetos do estudo; a segunda fase é a instrução orientada, onde os alunos exploram o tema de estudo através de atividades cuidadosamente selecionadas e ordenadas pelo professor; A terceira fase é a explicação, fase em que os alunos expressam e modificam as suas opiniões sobre as estruturas que foram observadas; na quarta etapa, de orientação gratuita, os alunos buscam suas próprias soluções para as tarefas mais complicadas e, por fim, na quinta etapa de integração, o aluno revisa e resume o que aprendeu, formando uma visão geral do sistema de objetos e relacionamentos no nível alcançado.
Duas aplicações do Modelo de Van Hiele e a experiência deste trabalho
Ao comparar triângulos e pirâmides, quadrados e cubos, os alunos devem fazer essa diferenciação através de desenhos e análise de características entre as formas. No entanto, o progresso é evidente na forma como os alunos começaram a assimilar novas informações, na forma como se envolvem nas atividades e nas afirmações de que o conteúdo faz mais sentido. Os pesquisadores tiveram como objetivo “[..] criar e implementar uma sequência de atividades interdisciplinares que envolvam os alunos na aquisição dos conceitos matemáticos envolvidos”. (LOPES; SILVA, 2015, p. 6).
No caso da experiência do presente trabalho no ensino de triângulos e quadriláteros utilizando mosaicos geométricos e o modelo de Van Hiele, queremos chegar ao terceiro nível de aprendizagem com os alunos participantes, pois neste nível a necessidade de aprendizagem dos alunos termina em o sétimo ano do ensino fundamental.
Atividade “zero”
Nesta primeira parte da atividade, foi solicitado aos alunos que traçassem uma linha reta na folha branca fornecida. Em seguida, os alunos tiveram que marcar um ponto na linha, e o professor autor fez o mesmo no quadro. Ao final da aula, os alunos foram solicitados a desenhar quaisquer figuras na folha anexa.
O professor-autor iniciou a aula pedindo aos alunos que desenhassem um ponto na folha branca fornecida e traçassem uma linha semi-reta a partir dele.
Atividade 1 – Apresentação dos triângulos e quadriláteros
Em relação aos triângulos, os alunos ficaram surpresos ao manipular o triângulo obtuso por considerá-lo “estranho”. Quanto aos quadriláteros, os alunos reconheceram imediatamente o quadrado e o retângulo, enquanto os outros quadriláteros fornecidos eram todos novos para eles. Nesse momento surgiu a dúvida pois os alunos sabem que ambos são retângulos.
Dessa forma, a professora-autora e os alunos finalmente explicaram juntos que todas as figuras ali presentes, além dos triângulos, eram quadriláteros, uma palavra nova no vocabulário dos alunos, e que só poderiam chamá-las de “quadrados” se o quadrilátero tinha quatro lados iguais e quatro ângulos retos.
Atividade 2 – Apresentação dos mosaicos
Portanto, optou-se por não dar uma definição formal aos alunos, e a professora-autora interveio apenas comentando as imagens. Além disso, a professora de artes, junto com alunos de outra turma, havia concluído um mural que formava um mosaico no ano anterior. Os alunos perceberam imediatamente que muitos estavam usando triângulos e quadrados e descobriram que eram capazes de construí-los.
Para ilustrar o mosaico irregular, os alunos foram levados à sala de artes para ver, alguns pela primeira vez, o mosaico que o segundo ano havia montado no ano anterior.
Atividade 3 – Construção dos mosaicos
Este também foi um dos objetivos desta atividade: fazer com que os alunos observassem a regularidade ou não das figuras fornecidas pelo professor-autor durante a sua manipulação, observação e construção dos mosaicos. Com isso, os alunos moldaram seus mosaicos utilizando figuras regulares, a partir da ideia do que iriam produzir. Durante o experimento de construção do mosaico, os alunos coletaram triângulos equiláteros e quadrados e verificaram seu encaixe perfeito, uma figura com outra e entre figuras idênticas.
Durante a construção, a professora-autora realizou intervenções pontuais, sem tentar atrair a atenção de todos os alunos.
Atividade 4 – Análise dos mosaicos e demais triângulos e quadriláteros
Em seguida, foi pedido aos alunos que comparassem os triângulos utilizados na construção dos seus mosaicos com os outros triângulos que não utilizaram. Como não se tratava de uma afirmação, o professor-autor optou por não comentar e deixou que os alunos continuassem com suas observações e inferências. Além do losango, que já haviam percebido, caberia perfeitamente se utilizado na construção de um mosaico, os alunos comentaram o fato.
Assim como o losango, cujas características os alunos já haviam notado, eles também comentaram sobre o retângulo, figura que já conheciam e tinham curiosidade pelo paralelogramo.
Atividade 5 – Classificação dos triângulos
Neste ponto intervimos e pedimos que, dentro deste grupo de “excluídos”, os alunos retângulos se separassem. A professora-autora fez os alunos pensarem, mas no final a maioria desistiu e preferiu aguardar a explicação. Neste momento, o professor-autor lembrou aos alunos do seu grupo que tentou utilizar esse tipo de triângulo com apenas dois lados iguais na construção do mosaico.
Desta forma, os alunos separaram o grupo dos triângulos isósceles do grupo dos triângulos escalenos, demonstrando que compreenderam claramente as suas diferenças em termos de lados.
Atividade 6 – Classificação dos Quadriláteros
Contudo, optou-se por discutir esta condição com os alunos apenas no momento da adição de ângulos internos. Foi interessante verificar que os alunos já haviam começado a dividir os quadriláteros em cinco grupos, com calma e sem qualquer intervenção do professor-autor, mantendo o trapézio próximo aos quadriláteros irregulares. Assim, os alunos ficaram com quatro ou cinco grupos de quadriláteros diferentes, que ainda precisavam ser separados.
Para a sequência da atividade, os alunos passaram a discutir o trapézio, que se tornaria uma nova definição para eles.
Atividade 7 – Soma dos ângulos internos
Tal como acontece com o triângulo, foi demonstrado que no quadrilátero os alunos usam medidas de lados e ângulos para distinguir algumas das figuras. Como resultado, os alunos começaram a fazer comentários do tipo: “Se somarmos 6 aqui, fazemos um círculo completo, 360º!” Isso facilitou aos alunos descobrirem que todos os ângulos internos de um triângulo equilátero são iguais e sua soma é 180º.
Os três ângulos internos foram somados em conjunto com os alunos e um ângulo raso foi obtido, levando os alunos a notar que a nova descoberta sobre a soma dos ângulos internos não se aplica apenas aos triângulos equiláteros, mas a todos os triângulos, pois cada aluno escolheu outro figura.
Exercícios e Avaliação
Neste caso, por se referir a classificações, opera no terceiro nível da teoria de Van Hiele. Quanto ao conteúdo desta questão, consideramos que ela está no terceiro nível da teoria de Van Hiele, assim como a questão 6. Quem pretende utilizar a teoria de Van Hiele deve primeiro estar ciente do papel ativo do aluno.
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