Neste trabalho buscamos estudar uma possível solução para o problema da singularidade cosmológica analisando a dinâmica da cosmologia FLRW, onde um componente de vácuo interage com um fluido perfeito através de uma troca de energia. No segundo caso, a energia de transferência é uma combinação não linear do vácuo e da densidade de energia do fluido. A constante cosmológica é o modelo mais simples de energia escura que poderia impulsionar a expansão acelerada do universo.
A transferência de energia-momento entre matéria e vácuo, cujo vetor de transferência de energia-momento 4 é desconhecido, define soluções cosmológicas de um espaço-tempo com energia de vácuo espacialmente homogênea. Utilizamos como motivação os artigos (MAIER, 2020) e (BRUNI; MAIER; WANDS, 2021), onde apresentamos um ansatz covariante que representa a transferência de energia do vácuo para a matéria.
Introdução tensorial
O primeiro termo à direita é o que esperaríamos se ∂Aµ/∂xλ fossem componentes tensoriais. O segundo termo no lado direito da equação acima significa que ∂A′µ/∂x′λ não se transforma como componentes tensores. Este tensor nos dá informações sobre como calcular as distâncias entre dois pontos com base nas características de um espaço-tempo arbitrário ou sistema de coordenadas.
Os princípios de equivalência e covariância geral
34; Como todos os corpos aceleram da mesma maneira, um observador num laboratório em queda livre não será capaz de detectar quaisquer efeitos gravitacionais localmente neste referencial." Esta hipótese, parte do grande legado de Galileu Galilei, foi de grande importância porque Einstein formulou o Princípio da Equivalência: A física de um referencial em queda livre em um campo gravitacional é equivalente, localmente, à de um referencial inercial sem gravidade. Conseqüentemente, a física em um referencial sem aceleração com gravidade, localmente, é o mesmo que uma referência sem gravidade, mas acelerada por ⃗a = −⃗g.
Consideremos um observador A dentro de uma nave espacial em queda livre num campo gravitacional. Vejamos a mesma situação, agora do ponto de vista de um observador B, em repouso em relação a A, fora do navio. Há a presença de um campo gravitacional, medido por B, e o observador A, em queda livre em relação a B, vê-se acelerando neste campo, ou seja, B é um referencial inercial.
A "versão forte" do princípio da equivalência afirma que num laboratório em queda livre (não giratório) ocupando uma pequena região do espaço-tempo, as leis da física são as da relatividade especial. Uma importante realização matemática do princípio da equivalência é que as equações da relatividade geral devem ser covariantes em relação a uma transformação de coordenadas geral, ou seja, as leis da física devem ser as mesmas independentemente do observador. As equações de campo devem ser invariantes sob uma transformação de coordenadas gerais, deixando invariante a separação infinitesimal do espaço-tempo (ds2).
Isto fornece um caminho bem definido desde as equações da relatividade especial, válidas em referenciais locais de gravidade zero, até as equações da relatividade geral, válidas em todos os sistemas de coordenadas espaço-temporais.
As equações de campo de Einstein
Na Relatividade Especial temos a geometria de um espaço-tempo plano onde as componentes do tensor métrico, em coordenadas cartesianas, são dadas por gµν = ηµν = diag(−1,1,1,1). A Relatividade Geral, como teoria geométrica da gravidade, postula que a matéria e a energia causam uma distorção do espaço-tempo (gµν ̸=ηµν) e os fenômenos gravitacionais, conforme apresentados a seguir, são efeitos de um espaço-tempo curvo sobre um objeto. O princípio da equivalência sugere que os relógios funcionam de maneira diferente para diferentes valores do potencial gravitacional ϕ(⃗x).
O resultado acima diz que g00, na presença da gravidade, é diferente do valor para um espaço-tempo plano (η00=−1) precisamente por causa da presença da gravidade. A interpretação geométrica deste fenômeno dada pelo Princípio da Equivalência é que a gravidade altera o elemento g00 do tensor métrico de -1 para uma função dependente das coordenadas espaciais. O tensor Tµν possui um elemento Ttt =ρc2, relacionado à densidade de energia, três elementos Tti relacionados ao fluxo de calor, e doze elementos Tij referentes às componentes de pressão isotrópica e anisotrópica.
Limite newtoniano
Para grandes distâncias assumimos o sistema de coordenadas de Minkowski, fazendo com que htt desapareça no infinito. Esta equação de campo é considerada válida para campos estáticos fracos criados por matéria não relativística. Vemos que a equação (36) é estável pelo fato de que tanto o tensor de Einstein quanto o tensor energia-momento têm divergência de covariância zero.
Equações de Friedmann com vácuo interagente
Q representa o fluxo de energia no referencial de repouso do fluido, enquanto qµ está relacionado à troca de momento entre matéria e vácuo. No caso kurqµ= 0 consideramos que há apenas troca de energia, pois estamos focados em modelos isotrópicos homogêneos.
Buracos negros não singulares com vácuo interagente
As equações de conservação da radiação são impostas. e resulta na seguinte equação diferencial: que tem a solução geral ργ = Eγ. onde Eγ é uma constante de integração positiva relacionada à densidade de energia radiante. Neste ponto, assumimos que a energia de transferência do vácuo para a matéria é dada pela seguinte covariante ansatz: Como o raio físico R da distribuição da matéria é proporcional ao fator de escalaa para um raio móvel constante r, como visto acima, notamos que ϵ escala com R−3, como esperado.
Contudo, um problema pode ser identificado no perfil de densidade de carga acima, pois varia com r. No entanto, dada a simetria esférica de tal distribuição de matéria, deveria esperar-se que a carga total estivesse distribuída apenas numa pequena vizinhança da superfície. Continuando, para garantir que a distribuição interna da matéria tenha um bojo quando um volume mínimo 3 for atingido, assumiremos que o vetor momento de 4 energias Qν tem a seguinte prescrição covariante (MAIER, 2023).
Portanto, a emissão de radiação cessa completamente no regime assintótico, tornando o espaço-tempo exterior estático como esperamos. Neste capítulo, apresentamos brevemente a estrutura necessária para explorar a estabilidade de pontos fixos em sistemas dinâmicos arbitrários. Isso permite que você construa seus diagramas no espaço de fase para poder estudar seu comportamento.
Os sistemas dinâmicos descrevem o movimento de pontos no espaço de fase, ao longo de curvas integrais, definidas por um sistema de equações diferenciais.
Sistemas lineares
O retrato de fase de um sistema de equações diferenciais (78) com x ∈ Rn é o conjunto de curvas solução do sistema no espaço de fases Rn. O retrato de fase do sistema linear (78) pode ser obtido a partir do retrato de fase do sistema linear (82) pela transformação linear das coordenadas x = Py. As quatro curvas integrais que se aproximam do ponto de equilíbrio na origem são chamadas separatrizes.
Sempre que A tiver um par de autovalores reais com sinais opostos, λ < 0 < µ, o retrato de fase do sistema linear (78) será equivalente ao da Fig. 1. Sempre que A tiver um par de complexos conjugados puramente imaginários autovalores, ±ib, o retrato de fase do sistema linear será (78) equivalente ao da Figura 2. Se uma matriz real 2n×2n tem 2 autovalores complexos diferentes, λj =aj+ibj e ¯λj =aj− ibj, e os autovetores correspondentes wj = uj +ivj e ¯wj = uj− ivj, j = 1, .
Suponha que wj = uj+ivj seja um autovetor generalizado da matriz real A, que corresponde ao autovalor λj =aj +ibj, por ex.
Sistemas não-lineares
A origem é chamada de sela topológica do sistema não linear (91) se houver duas trajetórias Σ1 e Σ2 aproximando-se de 0 até t → ∞ e duas trajetórias Σ3 e Σ4 aproximando-se de 0 até t. Trajetórias com condições iniciais em uma subvariedade invariante da fase o espaço permanece nesta subvariedade ao longo da evolução do sistema dinâmico. Portanto, o ponto crítico (0,0) fornece um centro, enquanto o ponto crítico (1,0) fornece um ponto de sela.
Em ambos os casos, VΛ desempenha o papel de uma constante cosmológica efetiva, um valor assintótico de V → VΛ. Isto significa que não há termo Λ nas equações de campo de Einstein e uma constante cosmológica aparece como um ponto fixo da dinâmica do vácuo.
Caso 1
Neste caso, uma barreira de potencial infinito impede a singularidade clássica encontrada no caso não interagente. Para dar uma ilustração numérica, consideramos o caso de um fluido perfeito não relativístico (com ω= 0), a(t0) = a0 = 1, o fator de escala normalizado para a época atual, e definimos ξ = 4/3 em . . Vemos pelos trabalhos (MAIER, 2020) e (MAIER, 2023) que ξ = 4/3 é a única escolha possível, de modo que a solução interna de uma nuvem de poeira carregada e esfericamente simétrica esteja conectada ao espaço-tempo externo, aquela solução das equações de campo de Einstein – Reissner-Nordström-de Sitter.
Ωk0 é a densidade de curvatura da época atual, Ωm0 é a densidade da matéria da época atual e ΩI0 se comporta como um fluido radiativo devido à força do fator de escala - a4 - que se deve única e exclusivamente à interação da poeira com o vácuo. Para Ωk0 <Ω¯k0 não há extremos, enquanto para Ωk0 ≥0 existe apenas um extremo positivo, ac+>0, e o potencial (105) tem um mínimo global no domínio a >0. Vemos que existem modelos de reflexão devido à interação do termo ΩI0 <0, o que provoca uma barreira de potencial em U(a).
Para investigar a estrutura do espaço de fases para modelos não singulares, consideremos as equações (102) e (103) – juntamente com o potencial (105) – sujeitas à ligação integral (100). Para VΛ = 3U(ac+)/κ2 a separatriz de ponto fixo selaac+ aparece definindo um escape do atrator de de Sitter para o infinito.
Caso 2
Em geral, cada par de condições iniciais ρ∗ e V∗ define uma superfície bidimensional Σ no espaço de fase tridimensional (ρ, V, H), caracterizada pela primeira integral. 125) O sistema dinâmico também admite pontos críticos em H = 0, condição suficiente para garantir que ρ e V sejam constantes. Para obter configurações interessantes (como a da Figura 5), definiremos ω= 0 e procuraremos um domínio de propriedades de χ onde esses modelos não singulares possam ser obtidos. Legenda: Retrato de fase para (V, H) com parâmetro de acoplamentoχ= 0,085, para diferentes condições iniciais com primeira integralKΣ= 0.
Uma separatriz, mostrada pela curva cinza nas Figuras 7 e 8, emerge do ponto de sela fixo P2 e divide o espaço de fase em duas regiões separadas: uma com órbitas continuamente cíclicas (região I perto do ponto fixo P1), e uma região com um salto (regiões II e III). O primeiro caso leva a uma evolução não singular do universo em algumas regiões do espaço de parâmetros. No segundo caso obtemos a primeira integral das equações de conservação, que permite investigar a existência de cosmologias não singulares.
Em ambos os acoplamentos, as condições para a existência de um salto dão a mesma topologia no espaço de fase (a, H), como vemos nas Figuras 6 e 8. O espaço de fase mostra a existência de órbitas não únicas com duas fases de aceleração , separada de uma transição suave, correspondente à expansão desacelerada. De acordo com nossos resultados preliminares, outras escolhas não lineares são capazes de reproduzir a topologia das órbitas não singulares presentes neste trabalho.
Dando continuidade a este trabalho, podemos estudar a estabilidade desses modelos cosmológicos não singulares através de perturbações escalares associadas à formação de estrutura em nosso universo.
