Histoire de trapèze isocèle
Jean Piquerez
Le problème suivant a été donné lors d’un concours d’entrée à Polytechnique : « Un trapèze isocèle, de périmètre 16, est inscrit dans un cercle de rayon 4. Calculer les côtés et le rayon du cercle inscrit ».
Ce problème sous-entend naturellement que le trapèze isocèle possède un cercle inscrit, ce qui n’est généralement pas le cas. J’ai voulu résoudre ce problème sur le plan littéral. Je l’ai donc reformulé ainsi :
« Un trapèze isocèle de périmètre 4p est inscrit dans un cercle de rayon R. Sachant qu’il est circonscriptible à un cercle de rayon r, calculer r et ses côtés. »
Figure 1 Figure 2
Posons AB=2 ,a CD=2 et b BC=DA=c. Comme BF =BG et CG=CH, il vient : c= +a b
Par Pythagore on a : FH2 =(2 )r 2 = − −c2 (b a)2 = +(b a)2− −(b a)2 =4ab⇒r= ab (1) De plus, on a : 4p=2(a b c+ + =) 2(a b+ + + =a b) 4(a b+ )⇒ p= +a b (2)
Toujours par Pythagore, on a : R2−a2 ± R2−b2 =2r (3) selon les cas de figure.
D’où : 2R2− − ±a2 b2 2 (R2−a2)(R2 −b2) =4r2 ⇒(4ab+a2+ −b2 2R2 2) =4(R2−a2)(R2−b2)
2 2 2 2 2 2 2
2 2 4 4 3 3 2
( ) 2 8 ( )
14 8 8 16 0
a b a b ab a b
a b a b a b ab R ab
+ − +
⇒ + 123+ +14243+ − =
2 2 2 2 2 2 4 2 2
12a b (p 2ab) 8ab p( 2ab 2R ) 0 p 4ab p( 4R ) 0 (4)
⇔ + − + − − = ⇔ + − =
(2) dans (4) : p4+4 (a p−a p)( 2−4R2)= ⇔0 4(p2−4R a2) 2−4 (p p2−4R a2) −p4 =0 équation du second degré donnant la solution de a et de b puisque (4) est symétrique en a, b.
Comme ∆ =4p2(p2 −4R2 2) +4p4(p2−4R2)=8p2(p2 −4R2)(p2−2R2), il vient :
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2( 2 ) 2( 2 )
1 et 1
2 4 2 4 2 4
p p R p p R p
a b r
p R p R R p
− −
= − = + ⇒ =
− − −
Application numérique : p= =R 4
2 2 2 3
2 1 0, 37, 2 1 3,63 et 1,15
3 3 3
a b r
= − ≅ = + ≅ = ≅
et l’on trouve les valeurs numériques demandées.
Construction : On construit une corde
[ ]
BC de longueur p= +a b dans un cercle de rayon R et de centre O . Le centre I du cercle inscrit de rayon r= ab est à l’intersection d’un demi-cercle Γ1de diamètre BC et d’un cercle Γ2 de centre P=mil( ; )O T et de rayon PO . En effet, on a :
1
1 1 1
1 1 1 1 1
1 1
1 1
isocèle en
90 I CH OI T
I TB T I BT TI B
CI B CI T TI B CI T HI C I BC HI C
BCI
⇒ =
⇒ ° = = + = +
= ⇒ = 1442443
On obtient ainsi les pointsI1 et I et deux solutions symétriques (en rouge) par rapport à la 2
droite (OP . )
Sur le même thème on peut imaginer le problème suivant : « Déterminer les côtés du trapèze isocèle simultanément inscriptible dans un cercle de rayon R et circonscriptible à un cercle de rayon r. »
On a donc à nouveau les relations (1) et (3). On en tire :
2 2 2 4 4 2 4
4 2 2 2 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
12 8 2 0
12 ( ) 8 ( 2 ) 0
b r a b r r r
r a r a R
a a a
a b a b ab a b R
= ⇒ =
⇒ + + + + − =
+ + + + − =
Posons a2 =u ; il vient alors :
4 2 4
8 4
2 2 4 2 2 2 2 4 2 2
2
2
8 14 16 0 8 12 16 0
u r r
u
r r
u r u r r R x r x r r R
u u
+ −
+ + + + − = ⇒ + + − =
14243 en posant
r4
x u
= + u
On trouve :x=2r r2+4R2 −4r2
Revenant à u, on a : u2−2 (r r2+4R2 −2 )r u+ =r4 0⇒u=r( r2+4R2 −2 )r ± ∆ avec∆ =r2
(
r2+4R2 −2r)
2−r2=4r2(r2+R2)−r r2+4R2, d’où :2 2 2 2 2 2
( 4 2 ) 2 4
u=r r + R − r ± r r +R −r r + R .
Par conséquent on a : a= r( r2+4R2 −2 )r ±2r r2+R2−r r2+4R2
Comme a≤r, on peut montrer qu’il faut choisir le signe « − ». Il s’ensuit :
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
( 4 2 ) 2 4 et
( 4 2 ) 2 4
a r r R r r r R r r R
b r r R r r r R r r R
= + − − + − +
= + − + + − +
Conditions d’existence d’une solution :
2 2 2 2
4 0 2 et
r +R −r r + R ≥ ⇔ ≥R r
2 2 2 2 2 2
( 4 2 ) 2 4 0
r r + R − r − r r +R −r r + R ≥ qui est toujours vrai.
Remarque : Comme la résolution de ce problème n’exige que des quadratures, la solution est, bien entendu, aussi constructible à la règle et au compas.
