RÄUBER–BEUTE–GLEICHUNGEN IM VERGLEICH
ANTONIO STEINER, MARTIN J. GANDER
Zusammenfassung. Die Lösungen von Räuber–Beute–Systemen sind geschlossene Zy- klen. Wenn man aber klassische numerische Verfahren zur Lösung von solchen Systemen verwendet, erhält man qualitativ falsche spiralförmige Lösungen. Wir stellen drei Lösungs- verfahren vor, welche die Trajektorien exakt wiederzugeben vermögen und somit nur Fehler in der Zeitrückgewinnung enthalten.
Abstract. Solutions of prey–predator–systems are closed orbits. Applying a classical nu- merical method to compute the solution however, one obtains spiraling solutions which are either converging to the steady state or diverging to infinity. We propose three numerical methods which reproduce the closed orbits exactly and thus contain numerical error only in the time component of the solution.
Einleitung
Wir schicken voraus, dass die klassischen Räuber–Beute–Gleichungen von Volterra [1]
x˙˜ = a˜x−b˜x˜y
˙˜
y = −c˜y+d˜x˜y durch die einfache Variablentransformation
˜ x= 1
dx , y˜= 1 by in
(1.1) x˙ = ax−xy
˙
y = −cy+xy übergehen.
Aus diesem System wird zunächst durch Division der beiden Gleichungen durcheinander die Zeit eliminiert
a y −1
dy=
−c x + 1
dx,
Antonio Steiner, Von Sury–Weg 18, CH–4500 Solothurn.
Martin Gander, Dept. of Mathematics, McGill University, 805 Sherbrooke Street West, Montreal, QC, Canada H3A 2K6 (e–mail:mgander@math.mcgill.ca).
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x S
y
Q
s1
G(c/a)
R
T
s2
Abbildung 1. Trajektorie durchQ was nach Integration zur Beziehung
(1.2) xacye−1a(x+y) =K
führt. Sie ist Ausgangsgleichung zur Bestimmung der Trajektorien rund um den Gleich- gewichtspunkt G(c, a) im ersten Quadranten, wobei die Integrationskonstante K jeweils durch Vorgabe eines Punktes der Trajektorie festgelegt wird.
Wir geben drei Lösungsvarianten an und wägen am Schluss ihre Vorteile gegeneinander ab.
1. Erste Variante Zu bestimmen sei die Trajektorie durch den Punkt (1.3) Q(0< x0 < c, y0 = a
cx0).
Beachte, dass nach (1.1)
dy dx
Q
= y0(−c+x0)
x0(a−y0) =−1 : Zu ihrer Darstellung wählen wir als Parameter
(1.4) s =x+y.
Aus (1.2) ergeben sich
(1.5) K = a
cx
c a+1
0 e−1aa+cc x0 und dieHauptgleichung
(1.6) f(x, s) := xac(s−x)e−as =K,
a+c phi
s2 s s1
K
Abbildung 2. [s1, s2]
die nach x aufzulösen ist.
1.1. Variabilitätsintervall des Parameters s.
Die Funktion f(x, s) ist bei festems >0 für x≤s nichtnegativ und nimmt für x= c
a+cs ihr Maximum an
(1.7) ϕ(s) :=fmax =f( c
a+cs, s) = a a+c
c a+c
ca
sac+1e−as, sodass sich als Lösbarkeitsbedingung für die Hauptgleichung (1.6)
(1.8) K ≤ϕ(s)
ergibt, wobei für
(1.9) s=s1 :=sQ= a+c
c x0 nach (1.5) und (1.7)
(1.10) K =ϕ(s1)
gilt. Dies ist auch noch für s = s2 = sR der Fall, ein Wert, der sich gemäss Abbildung 2 ergibt. Damit ist schon einmal das Variabilitätsintervall des Parameterss abgesteckt.
1.2. Lösung der Hauptgleichung.
Zur Bestimmung der beiden Werte x = xi(s), die zu einem Parameterwert s in [s1, s2] gehören, ist im sxf–Raum die Flächef =f(x, s) mit der Ebenef =K zu schneiden, wie in Abbildung 3 skizziert. Damit und mit y = yi(s) = s−xi(s) ist dann die Trajektorie durch Q gegeben.
x2 x
f
x0 s
s1 a+c s s2
K
x1
x=c/(a+c)s x=s
xR
Abbildung 3. x=xi(s)
x Q
y
G(a/a)
s1
R
T S
p
s s2
Abbildung 4. Trajektorie bei c=a
Rechnerisch bediene man sich zur Auflösung der transzendenten Gleichung (1.6) des New- tonschen Verfahrens.
1.3. Ein Spezialfall.
Der Spezialfall c=aist durch erhebliche Vereinfachungen gekennzeichnet. Die Trajektorie um den GleichgewichtspunktG(a, a) durch den Punkt
(1.11) Q(0< x0 < a, y0 =x0)
verläuft symmetrisch zur Winkelhalbierenden y = x, wie in Abbildung 4 dargestellt. Die
Integrationskonstante K in (1.5) nimmt den Wert
(1.12) K =x20e−a2x0
an und die Hauptgleichung
(1.13) f(x, s) =x(s−x)e−as =K ⇐⇒x2−sx+Keas = 0 ist eine quadratische Gleichung mit Diskriminante
(1.14) D=s2−4Kesa.
Mit
(1.15) ϕ(s) = fmax =f(s
2, s) = s2 4e−as hat man als Lösbarkeitsbedingung
(1.16) K ≤ϕ(s)⇐⇒D≥0.
Man bestätigt zunächst ihr Erfülltsein für
(1.17) s1 :=sQ = 2x0 ≤s≤s2 =sR,
wobei sich s2 wie in Abbildung 2 ergibt. Geometrisch wird dann wieder im sxf–Raum die Fläche f = f(x, s) mit der Ebene f = K geschnitten. Rechnerisch ist hier einfach die quadratische Gleichung (1.13) nach x aufzulösen, was zur expliziten parametrischen Darstellung der Trajektorie führt:
(1.18) xi = s 2 ±1
2
ps2−4Kesa, yi =s−xi = s 2 ∓1
2
ps2−4Kesa, s1 ≤s ≤s2. Weitere Spezialfälle mitexpliziter parametrischer Darstellung der Trajektorien findet man für a = 2c und a = c2, wo eine kubische Gleichung zu lösen ist und für a = 3c und a= c3, wo eine Gleichung vierten Grades zu lösen ist. In der Tat kann diese parametrische Darstellung der Trajektorien für alle rationalen Verhältnisse ac auf die Lösung einer alge- braischen Gleichung vom Grade a+czurückgeführt werden, da die Gleichung (1.6) durch die Variablentransformation ya=x in das polynomiale Problem
−ya+c+syc+e−sa −K = 0 übergeht.
1.4. Wiedergewinnung der Zeit.
Man bildet nach (1.1) und (1.4)
(1.19) s˙= ˙x+ ˙y=ax−cy
und erhält damit
(1.20) dt= ds
ax(s)−cy(s),
s x y=s−x t s1 xQ =x0 yQ = acx0 0
...
s x1 y1 Rs
s1
dσ ax1(σ)−cy1(σ)
...
s2 xR yR= acxR Rs2
s1
dσ ax1(σ)−cy1(σ)
...
s x2 < x1 y2 t(s2) +Rs s2
dσ ax2(σ)−cy2(σ)
...
s1 xQ yQ PeriodeT
Tabelle 1. Lösung von (1.1) im Spezialfall c=a nach (1.18) also einfach
(1.21) dt= ds
±ap
s2−4Kesa .
Wir verlegen den Nullpunkt der Zeitrechnung in den Punkt Q und erhalten in Ergänzung zur Trajektorie t =t(s) und damit die Lösung von (1.1) wie in Aufstellung 1 dargestellt.
Beachte, dass der Integrand intbeis1unds2je einen integrierbaren Pol aufweist. Vergleiche hierzu auch die früheren Darstellungen [2, 3].
2. Zweite Variante
Wir wählen jetzt zur Bestimmung einer Lösung von (1.1) mit Anfangspunkt
(2.1) S(0≤x0 ≤c, y0 =a)
alsParameter die Abszisse x. Eliminiert man wieder die Zeit und setzt
(2.2) y=aη,
so erhält man als Hauptgleichung
(2.3) f(η, x) :=ηe−ηxcae−1ax =K, wobei nach (2.1) die Integrationskonstante
(2.4) K =e−1x
c a
0e−1ax0. Mit
(2.5) ϕ(x) :=fmax=f(1, x) =e−1xace−1ax lautet die Bedingung für die Auflösbarkeit von (2.3) nachη
(2.6) K ≤ϕ(x).
1
xi xi1
xi0 xie^-xi
Abbildung 5. [ξ0, ξ1]
Setzt man
(2.7) x=cξ,
so vereinfacht sich dies zu
(2.8) ξe−ξ ≥ x0
c e−xc0, was gemäss Abbildung 5 für
(2.9) ξ0 = x0
c ≤ξ ≤ξ1
der Fall ist. Geometrisch ist zur Lösung der Hauptgleichung (2.3) für x0 ≤ x ≤ x1 = cξ1 im xηf–Raum die Fläche f = f(η, x) mit der Ebene f = K zu schneiden. Dies zeigt Abbildung 6. Rechnerisch bedeutet das die Auflösung von
(2.10) ηe−η = K
ϕ(x)e−1,
was nach (2.6) möglich ist. Besondersbeachtenswert ist, dass sich alle Rechnungen, sowohl die Bestimmung von ξ1 nach (2.8) als auch von y=yi(x) =aηi(x) nach (2.10), einzig mit den tabellierten Lösung 2 der transzendenten Gleichung xe−x = k bewerkstelligen lassen, und dies für beliebige x0 ≤c, a, c. Für eine Vertiefung vgl. [4] und [5].
2.1. Bestimmung der Zeit.
Nach Bestimmung der Zeit t=t(x) aus
˙
x=x[a−y(x)]
ergibt sich die Lösung von (1.1)aus Aufstellung 3.
K f
x K
K K
eta
1
x0 c x
K
eta1
eta2
x1
Abbildung 6. η=η2(x)
k x1 x2
0 0 ∞
0.05 0.0527 4.4998 0.10 0.1118 3.5772 0.15 0.1795 2.9936 0.20 0.2592 2.5426 0.25 0.3574 2.1533 0.30 0.4894 1.7813 0.35 0.7166 1.3497
e−1 1 1
Tabelle 2. Lösung von xe−x =k 3. Dritte Variante
Es sei noch eine dritte Methode zur Lösung der Räuber–Beute–Gleichungen (1.1) angeführt.
Auch sie ist ganzelementar. Man wähle als Parameter die Steigungmeiner Geraden durch den Gleichgewichtspunkt G(c, a)
(3.1) m= y−a
x−c
gemäss Abbildung 7. Elimination der Zeit aus (1.1) und Auflösung von (3.1) nach y
(3.2) xcay = Ke1a(x+y)
y = mx+a−mc
x y t
x0 a 0
...
x y1
Rx x0
dξ ξ(a−y1(ξ))
...
x1 a Rx1
x0
dξ ξ(a−y1(ξ))
...
x y2 > y1 t(x1) +Rx x1
dξ ξ(a−y2(ξ))
...
x0 a Periode T
Tabelle 3. Lösung von (1.1)
x y
U
y=a/cx
S
m V
G(c/a)
P
T
Abbildung 7. m als Parameter bestimmen die Trajektorie. Sie führt durch
(3.3) S(0< x0 < c, y0 =a) für
(3.4) K =ax
c a
0e−1a(x0+a). Die Hauptgleichunglautet jetzt
(3.5) f(x, m) :=xca(mx+a−mc)e−a1((m+1)x+a−mc)
=K.
Man berechnet
(3.6) ϕ:=fmax=f(c, m) =accae−1a(a+c)
f
m x1
xs=x0
xT phi
c phi
K
K
phi x2
K
K
x
K phi phi
0 a/c
Abbildung 8. x=xi(m) und erkennt, dass mit x0 < c die Bedingung
(3.7) K < ϕ
erfüllt ist, was die Lösbarkeit der transzendenten Gleichung (3.5) sichert. Im mxf–Raum wird die Fläche f =f(x, m) mit der Ebenef =K geschnitten, wie Abbildung 8 zeigt.
3.1. Wiedergewinnung der Zeit.
Zur nachträglichen Wiedergewinnung der Zeit bildet man nach (3.1) und (1.1)
˙
m= y(x˙ −c)−x(y˙ −a)
(x−c)2 =y+m2x.
Aus
(3.8) dt= dm
y(m) +m2x(m)
erält mant =t(m)und damit die Lösung von (1.1). Der WertxT > cergibt sich fürm= 0 mit xS =x0 < c aus der Gleichung
f(x,0) =K ⇔xe−1cx =x0e−1cx0, während yU < a und yV > a die beiden Lösungen der Gleichung
ye−1ay =c−caeacK =x
c a
0e−xa0c−caecaae−1
m x y t
0 x0 a 0
...
m x1 y1
Rm 0
dµ y1(µ)+µ2x1(µ)
...
±∞ c yU R∞ 0
dµ
y1(µ)+µ2x1(µ) =:tU ...
m x1 y1 tU+Rm
−∞
dµ y1(µ)+µ2x1(µ)
...
0 xT a tU +R0
−∞
dµ
y1(µ)+µ2x1(µ) =:tT
...
m x2 y2 tT +Rm 0
dµ y2(µ)+µ2x2(µ)
...
±∞ c yV tT +R∞ 0
dµ
y2(µ)+µ2x2(µ) =:tV ...
m x2 y2 tV +Rm
−∞
dµ y2(µ)+µ2x2(µ)
...
0 x0 a PeriodeT
Tabelle 4. Lösung von (1.1) sind, deren Lösbarkeitsbedingung
x0
c e−xc0 <e−1 erfüllt ist.
Beachte, dass jetzt der Integrand in t keinen Pol aufweist, um den Preis des Auftretens unendlicher Integrationsintervalle.
Literatur
[1] V. Volterra, Leçons sur la théorie mathématique de la lutte pour la vie, Cahiers Scientifiques, Paris, 1931.
[2] A. Steiner, M. Arrigoni, Die Lösung gewisser Räuber–Beute–Systeme , Studia Biophysica Vol.
123, No. 2, 1988.
[3] M. Arrigoni,Soluzione di certi sistemi del modello preda–predatore di Vito Volterra, Il Volterriano Nr. 1, 1991.
[4] F.N. Fritsch, R. E. Schafer, W. P. Crowley,Solution of the Transcendental Equationwew=x, Communications of the ACM, volume 16, number 2, 1973.
[5] A. Steiner, M. J. Gander,Le soluzioni delle equazioni preda–predatore, Il Volterriano Nr. 5, 1995.
