Análise de métodos numéricos para precificação de opções

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A N Á L IS E D E M É T O D O S N U M E R IC O S P A R A P R E C IF IC A Ç Ã O D E O P Ç O E S

B anca exam inadQ f8zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Prot. Orientador .

Prot .

FUNDAÇÃO GETÚLIO VARGAS

ESCOLA DE ADMINISTRAÇÃO

DE EMPRESAS DE SÃO PAULO

RICARDO RA TNER ROCHMAN

ANÁLISE

DE MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PRECIFICAÇÃO

DE

OPÇÓES

Dissertação apresentada ao Curso de Pós-Graduação da FGV/EAESP

Área de Concentração: Controladoria, Finanças e Contabilidade como requisito para obtenção de título de mestre em Administração.

Orientador: Prot. Or. Richard Saito

SÃO PAULOzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1998

Fund.açãO Getulio Vargas .~' E&cola de Administração ~ ~ de Empresas de São Paulo .~~ . ~

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zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

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ROCHMAN, Ricardo Ratner. Análise de métodos numéricos para precificacão de opcões. São Paulo: EAESP/FGV, 1998. 152p. (Dissertação de Mestrado apresentada ao Curso de Pós-Graduação da EAESP/FGV, Area de Concentração: Controladoria, Finanças e Contabilidade).

Resumo: Analisa e compara, sob as óticas de acurácia e custo, 'os principais' métodos numéricos (simulação de Monte carío, métodos de diferenças finitas, e modelos baseados em lattice) para precificação de opções financeiras, exóticas e reais. Aponta as situações onde cada método deve ser empregado, e apresenta os algoritmos necessários para implementação dos métodos numéricos na prática.

S u m ário

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1.·1NTRODUÇÃO ...•...•... 1

2. MÉTODOS NUMÉRICOS ...•...•... 5

2.1. MÉTODO DE MONTE CARLO 5zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2.1.1. Um Exemplo de Aplicação do Método de Monte Carlo 5

2.1.2. Técnicas de Redução de Variãncia 8

2.1.3. Aplicação do Método de Monte Carlo às OpçõeszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA11

2.2. MODELOS BASEADOS EMLA1TICE 22

2.2.1. Modelo Binomial 22

2.2.2. Modelo Trinomial 33

2.2.3. ModeloAdaptiveMesh 37

2.3. MÉTODOS DE DIFERENÇAS FINITAS 40

2.3.1. Expansão de Taylor e Equações de Diferença 43

2.3.2. Diferenças Finitas Implícitas 44

2.3.3. Diferenças Finitas Explícitas 47

2.3.4. Diferenças Finitas de Crank-Nicholson 48

3. METODOLOGIA DE AVALIAÇÃO DOS MÉTODOS NUMÉRICOS 52

4. RESULTADOS OBTIDOS ...•...•...•... 58

4.1. OpÇÕES TRADICIONAlS 58

4.2. OpÇÕES EXÓTICAS 66

5. CONSIDERAÇÕES FINAIS •...••...•...•.. 75

6. REFERÊNCIAS BffiLIOGRÁFICAS ...•...•.•.•.••... 78

A. APÊNDICE - DEFINIÇÕES E CONCEITOS ..••... 83

A.l. OpÇÕES 83

A2. PRINCÍPIO DA AUSÊNCIA DE ARBITRAGEM 88

A3. TEOREMA DO LIMITE CENTRAL 89

A4. AvALIAÇÃORIscO-NEUTRA ~ 90

A5. PROCESSOS ESTOCÁSTICOS E MOVIMENTO BROWNIANO 90

A.6. LEMA DE ITÕ 92

A.7. VOLATILIDADE 94

A.8. BLACK E SCHOLES 97

A.9. GREGAS 102'

AIO. OpÇÕES EXÓTICAS 104

A.ll. OpÇÕES REAIS 105

B. APÊNDICE - ALGORITMOS ...•...•... 107

B.1. TABELA DE ALGoRITMOS 107

B.2. LISTAGEM DOS ALGoRITMOS 109

A g rad ecim en to s

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

A quantidade de pessoas a quem eu gostaria de agradecer é demasiada grande para citar a todos. Contudo, fica aqui expresso o meu sincero agradecimento a todos aqueles que me ajudaram a compor, não somente este trabalho, mas toda a minha formação intelectual e pessoal.

Primeiramente, gostaria de agradecer, em especial, ao meu orientador, Prof. Or. Richard Saito, que, através de muitos debates, ensinamentos e incentivos, recheados de muita paciência, esforço e compreensão, transmitiu-me todo um apoio a este trabalho ezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAà minha formação de pesquisador. Agradeço, Professor, mais uma vez, a sua orientação, e por toda a confiança em mim depositada, e espero corresponder à altura do que me foi ensinado. Ao Prof. Or. Wladimir Puggina, que me iniciou no estudo teórico de finanças e investimentos. A ele dedico minha sincera gratidão, por toda a formação intelectual proporcionada.

Aos Prof. Or. Abraham Laredo Sicsu e Prof. Dr. Hugo Tsugunobu Yoshida Yoshizaki, pelos comentários e sugestões que .contribuíram para o aprimoramento deste trabalho, e por participarem da minha banca examinadora.

Aos meus amigos do curso de Pós-Graduação em Administração de Empresas, cujo companheirismo proporcionou grandes momentos de reflexão, entremeados por uma deliciosa descontração. A todos, agradeço a energia que me deram, e que foi imprescindível para a finalização desta dissertação.

Departamento de Intercâmbio Internacional, cuja experiência propiciada na

Universidade de British Columbia, Canadá, foi decisiva para a realização deste

trabalho.

À minha família, que, muitas vezes, sofriam muito mais do que eu mesmo, durante todo o processo de desenvolvimento na Pós-Graduação e da elaboração desta dissertação, principalmente no período que estive no exterior.

Ainda não existem palavras e meios suficientes para demonstrar a minha eterna gratidão para com vocês.

A todos, e a muitos outros que não estão nestas páginas, o meu amplo

1. In tro d u ção

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Muitos modelos matemáticos que descrevem o comportamento dos ativos-objeto e suas opções, resultam em equações diferenciais parciais e estocásticas que não possuem solução elementar, ou, para se obter uma solução, é necessária a elaboração de premissas que não condizem com a realidade do mercado.

Um desses casos, é a fórmula de precificação de opções de compra européias, desenvolvido por Black e Scholes (1973), que tem como ativo-objeto ações que não pagam dividendos. Esta fórmula foi derivada do modelo de Black e Scholes, através de algumas premissas como: os preços do ativo-objeto devem seguir uma distribuição lognormal; a taxa de juros livre de riscos deve ser constante durante a vida do derivativo; e a volatilidade do retorno do ativo-objeto deve ser constante. Esta última premissa, em particular, não tem sido satisfeita na prática, pois, conforme Hull (1997), os analistas de mercado precisam, freqüentemente, alterar a volatilidade quando usam a fórmula de Black-Scholes para calcular o valor de opções. Além disso, estudos empíricos, cornoem MacBeth e Merville (1979), têm demonstrado as falhas da fórmula de Black e Scholes, como, por exemplo, gerar preços menores que os de mercado para opções que estão dentro do preço (no caso de uma opção de compra, o • preço de exercício é inferior ao preço atual do ativo-objeto).

Outro problema que não pode ser resolvido através da fórmula de Black e Seholes, é a valorização de opções americanas, ou seja, aquelas cujo exercício pode ser efetuado a qualquer momento, do seu lançamento até a maturidade ou data de expiração. Além das opções americanas, as opções exóticas têm se tornado populares, e em geral não possuem solução analítica fechada.

tais opções, em muitos casos, está relacionada à solução numérica de uma equação diferencial ou a uma simulação.

Para solucionar os problemas apresentados acima, podemos utilizar métodos numéricos. Métodos numéricos são "um conjunto de regras escritas sob a forma de uma seqüência de operações elementares que levam à solução de um problema". No caso de precificação de opções, podemos dividir os métodos numéricos em duas categorias:

1. Métodos onde o processo estocástico fundamental do ativo-objeto é aproximado:

a) ModeloszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBALattice (binomial, trinomial, etc.); b) Simulação de Monte Carlo.

2. Métodos onde a equação parcial diferencial, que determina o preço da opção é aproximada:

a) Método de diferenças finitas.

Geske e Shastri (1985) comparam métodos de diferenças finitas com variações do modelo binomial (baseado em lattice), enquanto Broadie e Detemple (1996) analisam modelos baseados em latfice para opções do tipo americana. Nesta dissertação, são reunidos os três principais métodos númericos para avaliação de opções, pois estes podem ser utilizados tanto para opções financeiras como para opções reais.

Esta dissertação tem, como objetivos, apresentar os principais métodos numéricos utilizados para a avaliação de opções, aplicá-los às opções de compra da Telebrás, e exóticas, e compará-los segundo os critérios de: acurácia (ou precisão), velocidade, complexidade, flexibilidade, disponibilidade das derivadas parciais do preço.

Esta dissertação está organizada em cinco capítulos: 1. Introducão;

2. Métodos Numéricos: neste capítulo são apresentadas a Simulação de

Monte Carlo, os modelos baseados emzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBALa ttice , e os métodos de Diferenças Finitas;

3. Metodologia de Avaliação dos Métodos Numéricos: aqui é descrita a metodologia empregada para avaliar os métodos numéricos apresentados no capítulo 2;

4. Resultados Obtidos: neste capítulo são resumidos os resultados obtidos através do emprego dos métodos numéricos, conforme metodologia adotada no capítulo anterior;

5. Considerações Finais: aqui são discutidas e sugeridas aplicações para os métodos numéricos, de acordo com os resultados obtidos.

Como apoio aos capítulos descritos acima, esta dissertação possui três apêndices:

A. Conceitos Básicos e Definições: aqui são apresentados os principais conceitos e definições necessários para a compreensão deste trabalho;

B. Algoritmos: aqui são listados todas as funções e os procedimentos que implementam os métodos numéricos;

C. Base de Dados: aqui se encontra listada a base de dados das opções da Telebrás usada para os testes dos métodos numéricos.

Neste trabalho verificou-se a simplicidade e flexibilidade dos modelos baseados em lattice, e da simulação de Monte Carlo (esta principalmente para opções euro péias que possuem vários ativos-objeto). Os métodos de diferenças finitas são interessantes apenas quando o valor de uma opção depender da solução de uma equação diferencial parcial, para outras situações, este método é muito

Esta dissertação, não se sabe de outra referência na literatura com o mesmo conteúdo desta, reúne os três principais métodos numéricos, e suas variações, comparando-os lado a lado, apresentando algoritmos e procedimentos para implementação dos métodos na prática. Com os resultados deste trabalho, um operador do mercado de derivativos terá subsídios para escolher o melhor método a ser utilizado para resolver determinado problema, e exemplos de

2. M éto d o s N u m érico s

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Neste capítulo, para cada método numérico, serão apresentadas a sua base teórica, suas variantes, e como aplicá-lo à precificação de opções européias e americanas. O primeiro método exposto é o método de Monte Carlo, seguido dos modelos baseados emzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAlattice, e dos métodos de diferenças finitas.

2.1. M éto d o d e M o n te C arlo

O método de Monte Carlo é baseado na simulação de variáveis aleatórias para resolução de problemas.

O método de Monte Carlo é considerado muito simples e flexível para ser aplicado em problemas de qualquer nível de complexidade. Entretanto, a maior inconveniência do método, é o número de simulações necessário para se reduzir o erro da estimativa da solução procurada, o que tende, na prática, a tornar o método muito lento.

Segundo a literatura, o uso de simulações foi empregado primeiramente pelos cientistas que desenvolveram a bomba atômica, em 1942. Já a denominação do método provém da cidade de Monte Carlo, no principado de Mônaco, famosa pelos seus cassinos, e jogos de roleta, que são dispositivos que produzem números aleatórios.

2.1.1. U m E xem p lo d e A p licação d o M éto d o d e M o n te C arlo

Suponha que se deseja avaliar uma grandezazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAm qualquer, e para tanto, toma-se uma variável aleatória o tal que E(o)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

m (ondeE(x) é a esperança da variável

x), e Var(o)

=

v2

Considera-se, agora,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAN variáveis aleatórias Oj,02,",ON' independentes e igualmente distribuídas em relação azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o .

De acordo com o teorema do limite

central, a distribuição da soma aN =OI+O2+ ... +0N' será, para um dado N

suficientemente grande, aproximadamente normal, com parâmetros

f.-lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

N.m, (J2

=

N.v2, onde f.-l é a média e (J é o desvio-padrão da distribuição.

Tem-se que, para qualquer variável aleatória

ç,

com distribuição normal, média

f.-l e desvio padrão CT, tem-se:

p

{u -

3.0"

<

ç

<

f.1

+

3.0" } ~

0,997

[2.1.1 ]

Assim sendo, quando se substitui a variável aleatória aN' e seus parâmetros na

relação acima, obtém-se

p{N.m - 3.v...fii

<

a ;

<

N.m

+

3.v...fii}~ 0,997

P{m -

3.v /..fii

<

a

_N /

N

<

m

+

3.v / ..fii}~ 0,997

que pode ser agrupada da seguinte forma:

[2.1.2]

{

IN

3

v }

P

-.Iôj-m

<

~

~0,997

N

j=l

-v

N

[2.1.3]

A relação acima fornece um método de avaliação de m (a média de N

observações da variável

o

é uma estimativa de m), e uma estimativa do erro

( 3 .

v/..fii ) .

Nota-se, também, que o erro tenderá a zero com o crescimento

do número de observações N .

·Primeiramente, consideramos a seguinte integral definida

f

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAg(x).f(x)dxzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

g

[2.1.4]

onde g(x) é uma função qualquer definida no intervalo a < x < b, e f(x) é a função densidade de probabilidade, sendo que

ff(x)dx

=

1 [2.1.5]

Para resolvermos a integral [2.1.4] pelo método de Monte Carlo, tomamos um número (n) de valores amostrais (x), gerados através de números aleatórios, com distribuição de probabilidadesf(x). Com esses dados, a estimativa de g é dada por

[2.1.6]

conforme [2.1.3], ou seja, a resolução da integral foi reduzida a uma simples média aritmética, e, assim, o respectivo desvio-padrão pode ser obtido por

~2

1 ~(()

~)2

S

=

(n _1)

tt

g Xi - g

Para um valor de

n

grande (o tamanho de

n

depende das características de [2.1.7]

~

g(x)) ,a estatística ~/ g se aproxima de uma distribuição normal padrão. Dessa

/Fn

forma, podemos construir intervàlos de confiança e realizar testes de hipóteses. O intervalo de confiança com 95% de probabilidade, no qual g esteja contido, é dado por

~NMLKJIHGFEDCBA

- S

IC(g:95%)

=

g±

1,96.

Fn

[2.1.8]

Para resolver este problema, podemos aplicar algumas técnicas de redução de variância (variável de controle, variável antitética, e outras), ou alterar a forma como os números aleatórios são gerados (números quasi-aleatórios). A próxima

seção (2.1.2) apresenta as técnicas de redução de variância.ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2.1.2. T écn icas d e R ed u ção d e V ariân cia

2.1.2.1. Técnica d a V ariável d e C o n tro le

A técnica da variável de controlezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(control variate) de redução de variância, proposta por Boyle (1977) para avaliar opções, pode ser utilizada quando

existem dois derivativos similares, e um deles possui solução analítica. A idéia básica deste método é ajustar o estimador do derivativo sem solução analítica (calculado através do método de Monte Carlo), de acordo com a diferença entre um valor conhecido (calculado analiticamente) e um valor observado (calculado,

também, através de Monte Carlo).zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAO erro conhecido (diferença entre os valores conhecidos e observados), serve como um controle na estimação do derivativo

sem solução analítica. Assim, temos:

[2.1.9]

ou

r, ~

~t.iAM(E)+(iB - ~t.iBM(E)J

onde

iA

é o valor procurado do derivativo A,

iAM

é a estimativa da solução gerada por Monte Carlo, do derivativo A que não possui solução analítica;

/EM

é

[2.1.10]

a estimativa, também gerada por Monte Carlo, do derivativozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAB que possui solução analítica,

iB

é o valor da solução analítica do derivativo B;N é o número

de observações utilizadas nas simulações, e s] é um valor aleatório, que é

obtida através da fórmula de Black e Scholes. A variância do equação [2.1.9] é dada porzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Var(fA)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

Var(f AM)+ Var(fBM)- 2.Cov(f AM;fBM) [2.1.11]

ou seja, a técnica da variável de controle é mais eficaz se a covariância entre

fAM e /sM for grande. Em [2.1.11], nota-se que a variância do valor procurado do derivativozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA é reduzida devido ao sinal negativo no termo da covariância, que é resultado da construção da expressão [2.1.9]. Para o leitor interessado, Boyle, Broadie e Glasserman (1997) apresentam modificações na técnica acima, para melhorar a avaliação de opções asiáticas.

Esta técnica pode ser utilizada em conjunção com outros métodos numéricos, como fizeram Hull e White (1988), que utilizaram esta técnica para melhorar os resultados do modelo binomial.

2.1.2.2. Técnica da Variãvel Antitética

Na técnica de uso de Variável Antitética, proposta por Boyle (1977) para a avaliação de opções, busca-se um estimador/sM, que possui mesma esperança do estimadorfAM, e grande correlação negativa em relação afAM. Dessa forma,

J,

=!.(j

AM+

f

BM) 2

será um estimador não-viesado de/A (a estimativa do valor de um derivativo). A [2.1.12]

variância desse estimador é dada por

111

Var(fA)

=

-.Var(f AM) +-.var(fBM) +-.Cov(f AM;fBM)

442

portanto, como a covariância entre fAA.f e fBM é negativa (pela escolha dos [2.1.13]

estimadores), a variância do processo é reduzida.

distribuição normal padrão. Se for utilizada a sequenciazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ZBM =-ZAMzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

(-ZI,-Z2",,-ZN)' para se obter /EM, via Monte Carlo, teremos que a covariância entrezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAIAM e /EM será negativa, reduzindo a variância da

estimativa do prêmio da opção. Neste exemplo, tem-se que IBM

=

IAM (-Z AM) é

o estimador gerado pela variável antitética ZBM

=

-ZAM .

No caso da seqüência de números aleatórios UAM

=

(UpU₂,··,U_N), for retirada

de uma distribuição uniforme definida no intervalo entre O e 1, a seqüência

UBM

=

1-UAM

=

(1-UI ,1- U2"" ,1-UN ) é antitética, e será correlacionada

negativamente em relação a UAM .

2.1.2.3.ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAS eq ü ên cias Q u asi-A leató rias

Uma seqüência quasi-aleatória (ou sub-aleatória) é uma seqüência de amostras representativas de uma distribuição de probabilidades. Essas amostras são determinísticas, e não aleatórias, e são retiradas de modo que os "espaços" deixados entre as amostras sejam preenchidos, reduzindo o desvio-padrão da simulação de Monte Carlo e aumentando a velocidade de convergência.

Suponha que se deseja calcular a integral de uma função ftx) , através do método de Monte Carlo, dentro de um intervalo [0,1], usando N pontos ou observações. Ao invés de se tomar os pontos de uma seqüência aleatória (ou pseudo-aleatória), pega-se os pontos de uma seqüência determinística, onde eles são, de certa forma, distribuídos igualmente. Dessa forma, a precisão da estimativa da integral será superior àquela obtida com a seqüência aleatória.

Ambas as obras concluem que as seqüências quasi-aleatórias são superiores em acurácia e velocidade em comparação com o método de Monte Carlo tradicional. Algoritmos computacionais para implementação das seqüências quasi-aleatórias de Faure, Halton, e Sobol podem ser encontrados em Fox

(1986) e Bratley e Fox (1988) respectivamente, ou nazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAInternet, no endereço eletrônico: http://www.acm.org/calgol. Moro (1995) apresenta um procedimento

para converter números de uma seqüência quasi-aleatória, em observações de uma distribuição normal padrão. Estes algoritmos foram implementados em Visual Basic, neste trabalho, e podem ser encontrados no apêndice B.

Boyle, Broadie e Glasserman (1997) mostram que, em muitos casos, as seqüências de Sobol possuem um desempenho superior às seqüências de números quasi-aleatórios de Faure. Hull (1997) e Boyle, Broadie e Glasserman (1997) apresentam meios de implementação de outras técnicas de redução de variância, como amostragem por importância, amostragem estratificada, e emparelhamento de momentos. As técnicas de redução de variância podem ser utilizadas em conjunto com as seqüências de números quasi-aleatórios, para se obter uma melhor estimativa com um custo menor.

2.1.3. Aplicação do Método de Monte Carlo às Opções

européias, e sugere o uso das técnicas de variável de controle e variável antitética parazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

redução

da variância do resultado obtido na simulação.

Duarte (1996) utiliza a simulação de Monte Carlo para precificação de opções européias sobre ações, determinando que o ativo-objeto, no caso, uma ação,

segue um movimento geométrico Browniano regido pela equação estocásticazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

d%

=

u.dt

+

a.dZ,

onde S é o valor da ação, I'- é a tendência seguida pela

ação,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdt é uma diferencial no tempo, (J é a volatilidade do preço da ação, edZ é

uma diferencial em uma variável que segue um processo de Wiener

(dZ

=

e.Jdi,

onde e é um número aleatório retirado de uma distribuição normal padrão com média zero e desvio-padrão um). Definida a equação que determina o comportamento da ação, o autor assume que o preço da ação segue uma distribuição lognormal, e assim obteve a seguinte discretização para o movimento do preço de uma ação:

Figura [2.1.1] -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBANcaminhos percorridos pelo preço do ativo objeto.

No caminho 1 (e para os demais caminhos), o valor inicial do ativo-objeto (Si ),

para i igual a zero, é 50, a taxa livre de riscos (zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr ) é 20% ao ano; o tempo restante até a maturidade da opção ( T) é 0,5 anos, a volatilidade ( (Y) é 40%

ao ano; o número de períodos (k) até a maturidade é 7, e, assim, o intervalo de tempo ( !J.t=T / k ) é 0,0714 (este intervalo de tempo pode ser diário, semanal, ou outro qualquer, dependente das características da opção). Os valores da variável aleatória

e,

são números pseudo-aleatórios (também podem ser quasi-aleatórios) retirados de uma distribuição normal padrão, com média zero e desvio-padrão um. A tabela a seguir, apresenta como é obtido o caminho de uma ação, a partir do seu valor inicial:

i

Preço Inicial Número

_(r-cr

_/2)1Jt

(Y ...Ji:i.C;

e«B)+(C)) Preço Final da

da Ação Aleatório de Ação

Si

uma Normal

(B)

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

CC)

(D)

«.:

(A)

Padrão (e, )

CC

A

).C

D))

°

50 -2,647 0,009 -0,283 0,760 38

1 38 3,713 0,009 0,397 1,500 57

2 57 -1,495 0,009 -0,160 0,860 49

3 49 -0,671 0,009 -0,072 0,939 46

4 46 -0,080 0,009 -0,009 1,000 46

5 46 -1,624 0,009 -0,174 0,848 39

6 39 4,553 0,009 0,487 1,641 64

Nota-se que o caminho é determinado pelo número aleatóriozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

e.,

retirado de uma distribuição normal padrão, ou seja, se o gerador de número aleatórios for

viesado, as simulações estarão prejudicadas. Assim sendo, o preço da ação na data de vencimento da opção é obtido através da equação [2.1.14], e o valor da opção é calculado. Considerando-se que se está em um ambiento neutro ao risco, o valor da opção é descontado da data de maturidade até a data presente, utilizando-se a taxa de juros livre de risco. Este procedimento é repetidozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAN vezes para obtenção do valor esperado da opção, que é a média aritmética dessasN repetições. A figura abaixo mostra como o valor da opção, é calculado para a simulação 4397 (é assumido queN é maior ou igual a 4397):

Figura [2.1.2] - Cálculo dos valores de opções para uma das simulações.

Assim sendo, a estimativazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ê

do valor de uma opção de compra, obtida através do método de Monte Carlo, é

ê

=

~.f

Máximo

{S1J -

E;

O}

N

j=l

[2.1.15]

onde N é o número de caminhos ou simulações,E é o preço de exercício, STj é

Acima verificamos que, em uma simulação podem ser obtidos os valores de

outras opções, como as exóticas tipozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAlookback e asiáticas, sem o aumento do custo computacional, pois o caminho do preço da ação gerado é válido para

todas essas opções, como pode ser constatado na figura [2.1.2], e detalhado abaixozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Opçao-C ompra L00kbackzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAMaxU'

=

Máximo{M"áximo{So,-",ST}-E;O}

=

er.T

=

Máximo{M"áximo{50,38,76,49,63,46,39,54}-45;0}

=

Máximo{76- 45;0}

=

28 05

eO,2xO,5 eO,l'

Opção Compra Asiática A. rÓ;» Máximo{M"édia{So""ST }-E;O}

ritméüca

=

=

er.T

Máximo{{50

+

38

+

76

+

49

+

63

+

46

+

39

+

54} _ 45;0} , . .

=

8

=

Maxlmo{51,87 -45,0}

=

6 22

eO,2xO,5 eO,l'

Conforme Boyle, Broadie e Glasserman (1997), os maiores problemas do método proposto por Tilley (1993) são os grandes requerimentos de memória, a dificuldade de generalização para o caso de múltiplas variáveis, a geração de preços com tendência para cima, e a falta de uma demonstração da convergência do método. Já o método de Barraquand e Martineau (1995) apresenta possível falta de convergência, mas apresenta melhores resultados que o método de Tilley (1993).

Broadie e Glasserman (1997) desenvolvem um algoritmo baseado em árvores simuladas, onde os preços dos ativos são simulados em cada ramo da árvore, e, em cada nó da árvore (partindo-se dos últimos preços simulados) são obtidos um alto e um baixo estimador (que constituem um intervalo de confiança), de tal forma que ambos estimadores convergem para o valor da opção no nó inicial.

Broadie, Glasserman e Jain (1997) sugerem melhorias quantozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

à

velocidade e

à

convergência deste método através da "poda" da árvore simulada.

Serão apresentados, a seguir, os procedimentos para determinação dos estimadores alto e baixo (simples e complexo) para avaliação de opções de compra americanas. Para o leitor interessado, a demonstração matemática da convergência dos estimadores pode ser encontrada no artigo de Broadie e Glasserman (1997).

Primeiramente, são definidos o número de ramoszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(b), e o número de passos (ou pontos de exercício da opção) até a maturidade da opção (k). Na figura [2.1.3] a

seguir, a árvore tem 3 passos, e de cada nó saem 5 ramos. O valor de cada nó da árvore é o preço de uma ação, determinado pela equação [2.1.14]. Os valores 8j são extraídos de uma distribuição normal padrão.

baixo simples. Depois da árvore ter sido preenchida com os preços da ação (ativo-objeto), parte-se do cálculo dos estimadores nos nós finais, até o nó inicial. Com o aumento do número de ramos e passos da árvore, os estimadores alto e baixo devem convergir ao valor da opção, porém o custo

computacional e os requerimentos de memória do computador aumentam consideravelmente.

Os valores dos estimadores alto e baixo, na data de vencimento da opção de

uma opção de compra (ou nós finais), serão:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

EA;zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

EBi

=

Máximo{s'i - E; O} [2.1.16]

onde EAi é o valor do estimador alto no nózyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAi, EBi é o valor do estimador baixo no nó i, Si é o preço da ação no nó i, e E é o preço de exercício da opção (no

exemplo da figura abaixo, E =58).

O valor do estimador alto nos demais nós é determinado pela fórmula

_

,.

{EAlj

+

EA2j

+ ... +

EAbj .

_

}

EAj' -

Máximo

ót '

S,

E

b.e

r

. [2.1.17]

onde EAj é o valor do estimador alto no nó j, EAij é o valor do estimador alto no nó i, que pertence a um dos b ramos que partem do nój, 8;,é o preço da ação no nój, e E é o preço de exercício da opção, r é a taxa de livre de riscos anual (no exemplo abaixo é igual a 10%), e Até o intervalo de tempo entre dois nós.

O estimador baixo simples é calculado de forma similar ao estimador alto. A diferença entre os dois, é que se depreza o primeiro nó dos b ramos, que será o

valor do estimador baixo simples nó, caso o exercício imediato não seja uma decisão ótima, como se vê na fórmula abaixo:

_

,.

{EB2j

+ ... +

EB bj . .,

}

EBj' -

Máximo

8./

,5

j. - E

(b -l).e

r .

EBli/

se

EBj

-::f=

Sj - E

então

EBj

=

/e

r.ót

ondezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAEBj é o valor do estimador baixo simples no nózyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAj, EBij é o valor do estimador baixo simples no nó i, que pertence a um dos b ramos que partem do

nój, ~ é o preço da ação no nój, e E é o preço de exercício da opção, r é a taxa de livre de riscos anual, e L1t é o intervalo de tempo entre dois nós.

Portanto, o valor do estimador alto no nó onde o preço da ação é 78, na figura

abaixo, é

EA

_S=78 =

Máximo

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

{O

+

8

+

3~:

3

+

54 ;78 - 58}

=

20

5.e '

o

valor do estimador baixo simples, no mesmo nó, é

,.

{8

+

31

+

3

+

54

}

EBs

=78 =

Máximo

010

;78 - 58

=

21,72

(5 -l).e

'

como

_EBs

=78 =

21,72

"*

78 - 58

=

20

então

EBs

=78 = %0,10

=

O

Figura [2.1.3] - Árvore do método de Monte Carlo para opções americanas.

,.

{ EB

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2

j

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

+ ... +

EB bj

}

EBS

1

=

Máximo

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAM

;SJ' - E

(b -l).er

.

se

EBS

1 1=

Sj - E

então

EBS

1

=

EB

;;:.M

,.

{ EB

1

j

+

EB

3

j

+ ... +

EB bj

}

EBS

2

=

Máximo

M

;SJ' - E

(b -l).er

.

se

EBS

2 1=

S

j - E

então

EBS

2

=

EB

2/.,..M

[2.1.19]

{

EB

+ ... +

EB

}

EBS

=

Máximo

lj

(b-l)j . S . - E

b (b_l).er.M' J

se

EBS

b 1=

S

j - E

então

EBS b

=

EB

X,.M

1 b

EB j

=

-.I

EBS;

b ;=1

onde EBj é o valor do estimador baixo complexo no nó j, EBS; é o valor do estimador baixo simples no ramo i,EBij é o valor do estimador baixo complexo no nó i, que pertence a um dos b ramos que partem do nój, ~ é o preço da ação no nój, eE é o preço de exercício da opção, r é a taxa de livre de riscos anual, e ..dt é o intervalo de tempo entre dois nós.

EBSzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1

=

Máximo {8 + 31 + 3 t1054 ;78 - 58}

=

21,72

(5 -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1).e '

como EBS 1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

*

78 - 58 = 20 então EBS 1= Y.0,1O = O

EBS 2

=

Máximo 0+ 31 + 3 0~054 ;78 - 58}

=

20

(5-1).e'

EBS 3

=

Máximo O + 8 + 3 + 54 .78 - 58}

=

20

(5 - 1).eO,1O '

EBS 4

=

Máximo O + 8 + 31 + 54 .78 - 58}

=

21 04

(5-1).eO,1O ' ,

como EBS 4

*

78 - 58

=

20 então EBS 4

=

3/010

=

2,71

/e"

EBS 5

=

Máximo

{O

+ 8 + 3 \ : 3 ;78 - 58}

=

20

(5-1).e'

1

EB S=78

=

5.(0 + 20 + 20 + 2,71 + 20)

=

12,54

Figura [2.1.4] - Árvore de Monte Carla com estimador baixo complexo.

As derivadas parciais do preço de uma opção, ou "gregas", são difíceis de serem obtidas através da simulação de Monte Carlo, Duarte (1996) e Boyle, Broadie e Glasserman (1997) apresentam meios para estimar o valor delas. Hull (1997) sugere que as "gregas" sejam calculadas da seguinte forma:

1. Realiza-se uma simulação e calcula-se o valor da opção ( c );

2. Adiciona-se um pequeno incrementozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAà variável que se deseja analisar, como, por exemplo, a volatilidade (v );

3. A simulação é repetida com a mesma seqüência de números aleatórios utilizada no passo (1) acima, com o parâmetro modificado no item (2), obtendo-se um novo valor para a opção ( c* );

4. valor da "grega" é dado porzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(c* - c)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAIL1v .

2.2. Modelos Baseados em

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Lattice

2.2.1. Modelo Binomial

Os modelos conhecidos como tettice buscam, através de um passeio aleatório discreto, modelar um movimento browniano correspondente. Os modelos baseados em tetiice (como o binomial e o trinomial) são considerados muito intuitivos e flexíveis, podendo ser aplicados tanto para opções européias como para americanas, que pagam ou não dividendos, derivativos de taxas de juros, e também para as opções exóticas. Serão apresentados os modelos binomial, trinomial, e uma versão modificada do modelo trinomial criada por Figlewski e Gao (1997) chamadaadaptive mesh.

Desenvolvido praticamente na mesma época, mas independentemente, por Rendleman e Bartter (1979) e Cox, Ross e Rubinstein (1979), o modelo binomial possui a premissa de que o ativo-objeto, no caso, uma ação, segue um processo multiplicativo binomial no decorrer do tempo. Em cada período de tempo, a ação pode ter seu valor aumentado u vezes com probabilidade q, ou

reduzido d vezes com probabilidade (J-q). A condição d <1

+

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr <u deve ser satisfeita, caso contrário, ter-se-iam oportunidades de arbitragem livre de risco

lucrativas. As outras premissas do modelo são as de que: a taxa livre de riscos

é constante; os indivíduos podem emprestar e tomar emprestadozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAà mesma taxa; não existem impostos, custos de transação, ou requerimentos de margem;

e a venda a descoberto é permitida sem restrições, com total uso dos seus recursos.

Movimento do Ativo-Objeto (ação S)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

<

su

S com probabilidade q

Sd

com probabilidade l-q

Valor da Opção(C) BaseadozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA110Movimento da Ação -Carieira de Hedging (imitando valor da opção) Cu.=Máximo{Su-E; O)

C

<

com probabilidade q

Cd=Máximo{Sd-E; O)

com prohabilidade l-q

<

m.Su + (l+r).B com probabilidade q m.S+B

m.Sd + (l+r).B com probabilidade l-q

Figura [2.2.1] - Construção da carteira de hedging do modelo binomial.

A idéia é escolher m e B de tal forma que a carteira de hedging e as opções

possuam o mesmo valor, no final do período, qualquer que seja o estado final (aumentar u vezes, ou reduzir d vezes o preço do ativo-objeto). Logo, tem-se o seguinte sistema:

t;

+zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(1

+

r).B

=

Cu m.S.d +(1+r).B

=

Cd

[2.2.1 ]

Resolvendo-se o sistema [2.2.1], obtém-se

Cu-Cd

m

=

...,---(u -

d).S

B

=

u.Cd - d.Cu

(u - d).(1+r) [2.2.2]

As quantias acima, m e B, determinam a carteira de hedging. O montante m

equivale à grega delta (descrita no apêndice A).

Como a carteira de hedging gera a mesma gama de desembolsos da opção, pelo princípio de ausência de arbitragem, os custos desses dois ativos devem

c

=

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAm.S +B

=(CU

-CdJ.SzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ u.Cd -d.Cu

(u -

d).S

(u -

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd).(l

+

r)

NMLKJIHGFEDCBA

[2.2.3]

e se obtém

[2.2.4]

onde C é o valor da opção de compra, r é a taxa livre de riscos, Cu é o valor da opção de compra se o preço da ação subir u

vezesjr,',

=

max[O,uS -

E]),

e Cd

é o valor da opção de compra se o preço da ação cair d vezes

(Cd

=

max[O,dS -

E]) .

Pode-se, ainda, escrever

(1+r)-d

p ==

u - d

[2.2.5]

e

1 _ p == u - (1

+

r) ,

u-d

[2.2.6]

e tem-se

c

=

[p.C

_u

+

(1-

p

)C

d ]

1+

r

[2.2.7]

Da fórmula acima, pode-se notar que: não aparece na fórmula a probabilidade q

do preço da ação subir e de (J-q) da mesma cair, ou seja, mesmo que os

investidores tenham probabilidades "subjetivas" diferentes, eles podem concordar na relação entre C e S, u, d, e r ; o valor da opção de compra não depende das atitudes ou preferências em relação ao risco (a única premissa é a

Considere-se, agora, a árvore binomial de dois períodos, de uma opção de compra:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

S;CzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA Su.u; Cuu=Máximo{Su.u-E; O)

SU.d; Cud=Máximo{Su.d-E; O)

Sd.à; Cdà=Máximo{Sd.à-E; O)

Figura [2.2.2] - Árvore binomial de dois períodos.

A partir da fórmula [2.2.7], tem-se:

Cu = [p.Cuu

+

(1-P ).Cud] l+r

e [2.2.8]

CdzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

[P.Cud

+

(1-p ).Cdd] l+r

que são os valores da opção no final do primeiro período. Para se obter o valor da opção no período inicial, substituem-se as equações acima na expressão [2.2.7], o que resulta em

C

=

lp2 .Cuu+ 2.p.(1- p).cud+(1- p)2 .cddj

=

(l+rY

_ [p2máx{s.u2 -E;O}+2p(1- p)máx{Su.d-E;O}+(1- p)2máx{s.d2 _-E;O}]

- (l+ry

[2.2.9]

Estendendo o procedimento usado acima para dois períodos, para um número de períodos n, onde se rearranja e replica para cada período a carteira de

hedging construída anteriormente, chega-se

à

seguinte fórmula para uma opção de compra européia, cujo ativo-objeto não distribui dividendos:

ondezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAE é o preço de exercício da opção de compra européia sem dividendos.

Reagrupando os termos da fórmula acima, e chamando dezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAlia" o número mínimo

de movimentos para cima que a ação deve fazer para terminar dentro-do-dinheiro (in-fhe-money), tem-se

c

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

S.<l>[a;n,p']-

E.(1

+

r)-n.<l>[a;n,p]

onde,

p

==

((l+r)-d)/(u-d),

a

==

inteiro

p'== (u

/(1

+

r)).p

>

log

(E /

S

.d

n

)/log(

u /

d)

C=O

então

[2.2.11 ]

se

a>n

<l>[a;n,p]=

f (

I(

n~

)J.pJ.(l-

»t:

}~a

J.

n )

sendo que <I>é a função distribuição binomial complementar. Quando o número

de períodos n tende ao infinito, essa função tende à função distribuição normal acumulada, e a fórmula acima tende àquela obtida por Black e Scholes (1973),

conforme demonstrado por Cox, Ross e Rubinstein (1979).

Wilmott, Howison e Dewynne (1995) demonstram como os parâmetros do modelo binomial p, u, d são escolhidos de tal forma que o passeio aleatório discreto, representado pela árvore binomial, e o passeio aleatório contínuo possuam a mesma média e variância. Os autores partem de um sistema de duas equações, descritas abaixo, com três incógnitas (p, u, d), que possuem os

requisitos u > 0, d > 0, e

° ~

p ~1 :

[2.2.12]

da variância do ativo-objeto durante o período de tempozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA.dt. A terceira equação,

necessária para resolver o sistema acima é escolhida de forma arbitrária, segundo os autores, já que estas duas equações acima determinam todas propriedades estatisticamente importantes de um passeio aleatório discreto.

Uma das escolhas mais comumente feitas pelo mercado, e que foi introduzida

por Cox, Ross e Rubinstein (1979), ézyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAu = ~ , que fornece como solução

do sistema [2.2.12] UzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

e

CF .

.JM ,

onde M é igual ao tempo restante até o

vencimento da opção (1) sobre o número de períodos ou passos da árvore binomial (n), e

e r.f1 t -

d

p

= _[2.2.13]

u -

d

(esta expressão é similar à [2.2.5], porém a taxa de juros livre de risco r é anual e composta continuamente).

Ao invés da solução sugerida por por Cox, Ross e Rubinstein (1979), pode-se usar a restrição p = ~ como terceira equação do sistema [2.2.12], conforme Hull (1997), e obtém-se os seguinte valores parau ed:

_

(r-0"2/2}l1t+0".JM

d _

e(r-0"2/2}11t-0".5t

u-e

,

e

-

[2.2.14]

Chambers e Nawalkha (1995) demonstram que somente a especificação dos parâmetros u, d, e p, em conformidade com Cox, Ross e Rubinstein (1979), permite o uso do ambiente neutro ao risco para precificação de modelos discretos. Outras especificações para u, d, e p exigem o conhecimento das preferências dos investidores, a menos que o número de passos da árvore tenda ao caso contínuo, onde o ambiente neutro ao risco será válido.

maturidade da opção), a árvore binomial é preenchida, conforme esquema abaixo de três períodos:

..•

·•.•

~~~t.~.#i~m'f~~:.8.~.'R.~r(~~:(j

•••

::::::···:::···:H·zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

.Uill2l...2l...2ili.ili.lili.ili.l211J~ ••:[[:

•••

:.··~p·§ª~/1i:~:·~.ºmp~ª

••

·::::.···:···....

~l~

" .

r:rrrrrrrr:rri: .:

lil!lliimiiiiliiilililll

Figura [2.2.3] - Árvore binomial de três períodos de uma opção de compra.

onde S é o preço inicial do ativo-objeto (uma ação, por exemplo),zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAT é o tempo restante até o vencimento da opção em anos,zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr é a taxa de juros livre de risco

anual composta continuamente, eexp(x) é o número neperiano (2,718281828...) elevado à potênciax. Como, na figura acima,d = l/u, tem-se, por exemplo, que

S.u2

.d

=

S.u.

Na figura acima, vê-se que, no final do terceiro e último período, o valor de uma opção de compra do tipo européia ou americana é igual ao MáximoiS, -E;O},

onde Si é o preço do ativo-objeto no estado i, e E é o preço de exercício da opção. No caso de uma opção de venda, o valor é calculado pela expressão

Nos demais nós da árvore, do períodozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAn-I até o inicial (O), o valor da opção de

compra européia no nózyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAj é obtido através da fórmula

[2.2.15] onde C,é o valor da opção no nój, p é calculado pela expressão [2.2.13],CUj é o

valor da opção no nó cujo ativo-objeto aumentou u vezes em relação ao nój,

Cd;- é o valor da opção no nó cujo ativo-objeto diminuiu d vezes em relação ao

nój, r é a taxa de juros livre de risco, e M é o intervalo de tempo entre dois períodos consecutivos.

No caso de uma opção de compra do tipo americana, deve-se tomar como o valor da opção no nój o maior dentre os valores Cj (calculado segundo [2.2.15])

e Máximoi S, -E;O} (equivalente ao exercício antecipado da opção, no nój),

onde S, é o valor do ativo-objeto no nój, eE é o preço de exercício da opção de compra. A figura [2.2.3] ilustra o cálculo do valor da opção de compra americana no nó onde o valor do ativo-objeto é igual a S.u2. Para uma opção

de venda americana só é preciso trocar S.u2 - E por E - S.u2 , na expressão do

valor da opção de compra americana no nó S.u2.

As figuras [2.2.4] e [2.2.5] a seguir, exemplificam o cálculo de uma opção de compra e uma de venda, ambas do tipo americana.

Nas árvores binomiais, a seguir, o valor do meio de cada nó é o valor do ativo-objeto, o valor acima corresponde ao exercício imediato da opção

t

Máximoi S, -E;O} para opção de compra, e Máximo{E-S};O} para opção de venda ), o valor de baixo é o calculado pela fórmula [2.2.15], a probabilidadep é

:::::::::::::;:;::::::':::::::::::::::

R-'ffi'p~~~~~~

••••••••

T~a;á

'

...zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA::::::::::::::::::::

.iéi.,·,,·"·..,··.',,·.

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

m!*,~:!!!!!·!·!!!!!·

4t~·mj,h~9·t,'.,

•

•4;.#:..1;~••••••••••••••••••••

...

.~·.~.~!~*'R,~~

'p·=:i·q:?4···

Figura [2.2.4] - Exemplo de árvore binomial para avaliação de opção de compra

No nó onde o valor da ação é igual a 72, o valor da opção de compra americana

é

,. {P.C S=86 40

+

(1-p).C S=6O ,. { }}

CS=72

=

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAMáximo ' er,/::"t .Máximo S=72 - E;O

=

~ Máximo{ O,74.36, :~.~ 0,26. 10 ;12 - 50} ~ Máximo ~6, 73; 20

l~

26,73

ou seja, a decisão foi esperar, e, não exercer a opção. O valor do nó inicial é

,. {P.CS=6O +(1- P),CS=4167 ,. { }}

CS=50 =Maxlmo 101' .Máximo S=50 -E;O =

e' ,

~ Máximo{ 0,74.19,4::' 0,26.4,49 ;50 _ 50} ~Máximo~ 4,10; O

l~

14,10

O valor de uma opção de compra européia pode ser calculado diretamente pela fórmula [2.2.10], que resulta em

C p3

M{s'tl -

E;O}+ 3p2(1-p)M{Su- E;O}

+

3p(1- p)2 M{Sd- E;O}+(l- p)3

M{s'tf -

E;O}

(er,/::"t

)3

_ 0,7~ M{8q40-SQO}+3.0,742.O,26V{6Q-SQO}+3.0,74.0,262M{4\67-SQO}+0,263 M{28,94-SQO}

-

(eO,1Y

= 0,7~.3q40+3.0,742.0,26.l0+3.0,74.0,262.0+0,263.0 =1-=\10

(eo,IY

Percebe-se que os valores de uma opção de compra européia (que não distribui dividendos), e o de uma americana (que possui os mesmos parâmetros da européia) são iguais, conforme demonstrado por Merton (1973).

Figura [2.2.5] - Exemplo de árvore binomial para avaliação de opção de venda.

No nó onde o valor da ação é igual a 34,72, o valor da opção de venda

americana é

CzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA_lÁ"zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA{P'CS=41.67+(I-P)'CS=28.94.IÁ"zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAfr._s

'O}}-S=34.72-lVlaxlmo r.St ,1Vlaxlm0lf' =34.72'

-e

~ Má>:imo{ 0,74.8,33e:,0.,26.2 ~ 06 ;50 - 34,72 } ~ Máximo {0,53; 15,28 }~ 15,28

ou seja, foi a opção foi exercida nesse nó. O valor do nó inicial é

C _lÁ" {P'CS=60+(I-P),CS=41.67'lÁ" {E-S

'O}~-S=50 -lVlaxlmo 101 .Maximo

o

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAvalor de uma opção de venda européia pode ser calculado diretamente pela fórmula [2.2.10], que resulta em

c

=

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAp3M{E-Su3;0}+3.p2(1- p)M{E-Su,0}+3.p(1- p)2 M{E-Sd;O}+(1- p)3 M{E-Sd3;0}

(e

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBArill

Y

_ 0,743 M{SO-86,4;0}+ 3.0,742.O,26\.1{SO-60;0}+3.0,74.0,262 M{SO-4 ~67;0}+0,263 M{SO- 28,94,0}

-

&~r

0,743.0+3.0,742.0,26.0+3.0,74.0,262.8,33+0,263.2~06 =1,20

(e

O.J₎₃

onde M{x;y) é o maior entre os valoresx ey.

No caso das opções de venda, as do tipo americana têm valor superior àquelas do tipo européia, como se constata no exemplo acima, com valor da opção européia igual a 1,20 e o valor da opção americana igual a 2,27.

Nota-se que, nas árvores binomiais e nos demais modelos baseados em lattice, que serão apresentados a seguir, os ramos recombinam-se, o que não ocorre no modelo de árvores simuladas, apresentado no capítulo do método de Monte Carlo.

Hull e White (1988) utilizam a técnica da variável de controle (control variate),

apresentada no capítulo do método de Monte Carlo, para melhorar a acurácia do modelo binomial, e outros modelos baseados em laflice. Essa técnica pode ser utilizada com todos os métodos numéricos apresentados neste trabalho. Hull (1997) apresenta as modificações necessárias nas árvores binomiais, apresentadas acima, de forma a contemplar a presença de dividendos contínuos e discretos, opções sobre contratos de futuros, câmbio, e outras.

Para se calcular as "gregas", o procedimento é basicamente alterar (ou "perturbar") a variável da qual se deseja avaliar o impacto no preço da opção

com os novos parâmetros, de forma similar àquela descrita no capítulo do método de Monte Carlo.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

2.2.2.ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAM o d elo T rin o m ial

o

modelo trinomial (também conhecido comozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAthree-jump mode!) , foi inicialmente desenvolvido por Parkinson (1977) como uma forma de resolver

numericamente uma integral que representava o valor de uma opção de venda americana. Posteriormente, Boyle (1986) formalizou o modelo trinomial, para tal, o autor utilizou a técnica de avaliação risco-neutra ao invés da estratégia de replicação da carteira de hedging de Cox, Ross e Rubinstein (1979). O motivo desta mudança de estratégia é a impossibilidade da formação da carteira de

hedging (composta pelo ativo-objeto e títulos livres de risco) que fomeça os mesmos proventos da opção.

O modelo trinomial diferencia-se do binomial por possuir, para cada ponto da árvore, três caminhos diferentes: aumento do preço do ativo-objeto (limite superior), redução do preço do ativo-objeto (limite inferior), e manutenção do preço do ativo-objeto (este estado pode ser substituído por um que esteja entre os limites superior e inferior).

O modelo trinomial pode ser considerado como um caso particular do modelo de diferenças finitas explícito, pois o valor de cada nó da árvore é determinado pelos valores dos três nós subseqüentes a ele. Os parâmetros do modelo

trinomial podem ser definidos, segundo Hull (1997), da seguintes forma:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

u

=

e

u.,{3i;:t .

_,

d

=

1 /

u

Pd

= -

~L1X2cy2 (r -

CYX)

+

li

Pm

=

%'

Pu

=

JL1X2cy2 (r -

CYX)+

li

As probabilidades em [2.2.16] são a solução de um sistema de três equações (a idéia é similar ao visto em [2.2.12]). Sendo que, a primeira equação diz que o retorno esperado do ativo-objeto no final do período deve ser igual a taxa de juros livre de riscos (esta é a base da avaliação risco-neutra). A segunda diz que o desvio-padrão deve ser consistente com a volatilidade do ativo-objeto. A

terceira, e última, diz que a soma das probabilidadeszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA{Pd,Pm,pJ deve ser igual aum.

o

valor da opção no nó izyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAé dado pela fórmula:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

C,

=

[PU·CUi

+

Pm.Cmi

+

Pd.Cdi]/e

r.& _[2.2.17]

onde C; é o valor da opção no nó i;

pu,

P«. e

pa

são calculados pelas expressões [2.2.16], CUi é o valor da opção no nó cujo ativo-objeto aumentou u

vezes em relação ao nó i, C« é o valor da opção no nó central m, cujo ativo-objeto não alterou seu valor em relação ao nó i, C« é o valor da opção no nó cujo ativo-objeto diminuiu dvezes em relação ao nó i,r é a taxa de juros livre de risco, e /j.t é o intervalo de tempo entre dois períodos consecutivos.

Figura [2.2.6] - Árvore trinomial de três períodos.

A seguir, é apresentada uma versão lognormal do modelo trinomial, desenvolvida por Figlewski e Gao (1997), que é obtida através da avaliação risco neutra:zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

kzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

=

T /zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAn

hNMLKJIHGFEDCBA

=

(J" .

.,JIT"

a

=

r - q - (J" 2

/2

P. = ~ ( <T 2 :'

+

a

z ~:

+

a ~ )

P d = ~ ( <T z . :' +

a

z . ~: -

a . ~ )

Pm =l-pu <P»

[2.2.18]

onde T é o tempo restante até o vencimento da opção em anos; n é o número de passos (ou períodos) desejado para a árvore; Â é um parâmetro maior que um, que, bem escolhido, aumenta a convergência do modelo (os autores sugerem 3 como uma boa escolha, ou seja, as probabilidades em [2.2.18] são positivas, no caso de opções tradicionais); q é a taxa contínua de dividendos; r

logaritmo do preço do ativo-objetozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(X) pode aumentar (X+h), ou diminuir (X-h),

do passozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAi até o passoi+1; ué a volatilidade do retorno do ativo-objeto.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

modelo trinomial é muito útil na precificação de derivativos de taxas de juros (swaps, opções sobre debêntures, etc.), pois permite a reversão à média das taxas de juros. Outra vantagem apontada por Avellaneda (1997), é a possibilidade de se especificar diferentes volatilidades e tendências locais em cada nó da árvore trinomial.

Para se calcular o valor de uma opção através do modelo trinomial, segue-se o mesmo procedimento recursivo apresentado no modelo binomial. O cálculo das "gregas" também é realizado através da "perturbação" da variável a ser analisada, seguido da recálculo da árvore trinomial.

Em Figlewski e Gao (1997), são apontados vários problemas de convergência no modelo binomial, como o erro "distribucional" e o erro de truncagem. O primeiro ocorre pelo fato de se aproximar, por exemplo, a distribuição lognormal de uma ação por meio de uma distribuição binomial. O erro de truncagem ocorre em um modelo baseado em latfice quando o valor da opção entre dois nós não varia proporcionalmente com as variações do ativo-objeto. Em uma opção do tipo européia, isso ocorre nas proximidades do preço de exercício, na data de maturidade da opção. Em decorrência do erro de truncagem no modelo binomial, a convergência deste possui a propriedade "par-ímpar", que é ilustrada no capítulo de resultados da aplicação dos métodos. Uma das técnicas usadas para eliminar esse problema é utilizar intervalos de tempo cada vez menores. Porém, isso implica um aumento do número de nós, que, por sua vez, crescem geometricamente. Uma árvore binomial de n passos possuirá

(n

2

+3.n+2)/2

nós, enquanto uma árvore trinomial possuirá

(n+lY

nós. Para solucionar esse problema, Figlewski e Gao (1997) desenvolveram o modelo

2.2.3.ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAM o d elo Adaptive MeshzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

A idéia básica do modelozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAadaptíve mesh é criar uma malha fina, ou aumentar o número de nós necessários para melhoria da convergência, apenas na área crítica ou mais sensível da árvore (binomial ou trinomial), que, no caso de uma opção européia, é a região próxima ao preço de exercício da opção. Dessa forma, aumenta-se a acurácia do resultado sem um grande aumento do custo computacional.

o

procedimento para o cálculo do valor de uma opção européia ou americana, é o mesmo descrito no modelo binomial. A malha fina corresponde a uma árvore binomial ou trinomial, colocada sobre a árvore principal, mas com número de períodos menor, e com tempo restante até a maturidade reduzido, como se vê na figura [2.2.7], abaixo.

Os autores apontam como característica atrativa do modelo a possibilidade de adicionar níveis mais refinados à árvore (malha), sempre que se achar conveniente. A figura abaixo apresenta uma versão do modelo adaptíve mesh,

com refinamento em um nó da árvore trinomial (versão lognormal), próximo do preço de exercício da opção. Os parâmetros da árvore principal são calculados de acordo com as expressões [2.2.18]. A malha fina têm seus parâmetros calculados também com as expressões [2.2.18], porém seu parâmetro de tempo (k) é dividido por 3, e seu parâmetro de deslocamento do ativo-objeto (h)

M o d elo

Adaptive Mesh -

3zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

períod/

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

X+3.h

X+2.h

Pu

/X+2.hNMLKJIHGFEDCBA

X~---*---~~~--~~

Pm

Pd

, ~ E

(preço exercício) /'

*nó com valor refinado

k

=

At

=

T/n

X= InS

_X-3.h

k

Figura [2.2.7] - ModelozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAadaptive mesh com refinamento em um nó.

Em Figlewski e Gao (1997), encontram-se exemplos de implementação do modelo adaptive mesh para opções tradicionais, e exóticas de barreira, onde os autores dividem os intervalos de tempo e preço do último período por quatro, e expandem árvores trinomiais usando esses parâmetros até a maturidade, dentro da região crítica (onde se encontra o preço de exercício).

Os autores citam como outra vantagem do modelo a acurácia do cálculo da volatilidade implícita, e das "gregas", que podem ser obtidas pelo mesmo procedimento utilizado no modelo binomial, ou através de uma variação do modelo adaptive mesh.

dependem de múltiplas variáveis. Tian (1993) sugere e testa modificações nos parâmetros dos modelos binomial e trinomial para melhorar a acurácia destes. Trigeorgis (1996) apresenta uma variação do modelo binomial baseada na lognormalidade do preço do ativo-objeto, para ser empregada tanto em opções financeiras como reais. Madan, Milne e Shefrin (1989) estendem o modelo binomial de Cox, Ross e Rubinstein (1979) para uma versão multinomial.

2.3. M éto d o s d e D iferen ças F in itaszyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Enquanto os métodos de Monte Carlo e os baseados emzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAlattice visam uma aproximação do comportamento do ativo-objeto no decorrer do tempo, os

métodos de diferenças finitas buscam uma aproximação para a função do preço da opção, a qual é solução de uma equação diferencial.

A idéia básica dos vários métodos de diferenças finitas existentes é a de substituir as derivadas parciais de uma equação diferencial por aproximações baseadas em expansões das séries de Taylor na região dos pontos de interesse. Feitas as substituições das derivadas parciais pelas aproximações de diferenças finitas na equação diferencial, esta pode ser resolvida de "trás para frente", ou seja, da data de maturidade da opção até a data atual, de uma forma recursiva, de maneira similar àquela realizada pelos modelos baseados em

lattice. Dewynne et aI. (1996), entretanto, mostram como utilizar o método de diferenças finitas de "frente para trás".

Black e Scholes (1973) desenvolveram um modelo de avaliação de opções através da análise de uma carteira de investimentos e da aplicação do princípio de ausência de arbitragem. Esta análise resultou em uma equação diferencial parcial, que associada a certas condições de contorno e a determinadas premissas (que podem ser encontradas no apêndice A), gerou uma fórmula analítica para avaliação de opções de compra européias.

Merton (1973) mostra que, aplicando o procedimento de Black e Scholes (1973) para uma ação que paga dividendos contínuos, também se obtém uma equação diferencial parcial, mas que não pode ser resolvida por métodos analíticos (isto é, não possui uma solução analítica de forma fechada). Então, surge a necessidade do uso de métodos numéricos como o de diferenças finitas para a resolução de equações diferenciais parciais, como fez Schwartz (1977)