• Nenhum resultado encontrado

Análise wavelet em curvas de luz estelares de sistemas binários da missão espacial CoRoT

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Share "Análise wavelet em curvas de luz estelares de sistemas binários da missão espacial CoRoT"

Copied!
95
0
0

Texto

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA

A

NÁLISE WAVELET EM CURVAS DE LUZ ESTELARES

DE SISTEMAS BINÁRIOS DA MISSÃO ESPACIAL

C

O

R

O

T

S

UZIERLY

R

OQUE DE

L

IRA

NATAL

-

RN

(2)

S

UZIERLY

R

OQUE DE

L

IRA

A

NÁLISE WAVELET EM CURVAS DE LUZ ESTELARES

DE SISTEMAS BINÁRIOS DA MISSÃO ESPACIAL

C

O

R

O

T

Dissertação de Mestrado apresentada ao programa de pós-graduação em Física do Departamento de Física Teórica e expe-rimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para obtenção do grau demestreem Física.

Orientador: José Renan De Medeiros

Co-orientador: Jenny Paola Bravo Castrillón

NATAL

-

RN

(3)
(4)

AGRADECIMENTOS

Agradeço ao meu Deus, pela vida e por me dar forças para superar os obstáculos.

Agradeço à minha mãe, Suerly, ao meu pai, João, e ao meu irmão, Mario, que apesar da distância física, estão sempre presentes na minha vida, me incentivando, me motivando e me dando forças para sempre seguir em frente.

Agradeço ao meu noivo, Adriano, por sorrir e chorar comigo, pelas suas palavras de con-forto e incentivo nas horas difíceis, e principalmente por seu amor. Espero passar muito anos ao seu lado, compartilhando cada luta e cada vitória.

Agradeço às minhas amigas, Ruthlenne e Aline, por sua amizade e companhia em todos os momentos e por me acolherem sempre que precisei. Agradeço a Tiely, por sempre me ajudar, me aconselhar e por ouvir meus desabafos. Você é uma amiga (e madrinha) exemplar. Agradeço a Zaira e Dgerson, por dedicarem uma parte de seu tempo nas correções da minha dissertação. Agradeço a todos os colegas de DFTE, em especial aos estudantes do grupo de pesquisa em Astrofísica e Astronomia, funcionários e professores.

Um agradecimento especial ao Dr. Izan Castro Leão, por fornecer o programa para o tratamento das curvas de luz.

Agradeço ao Prof. José Renan de Medeiros, pela orientação, por ter me ajudado a crescer como pessoa e cientista, por ter acreditado e confiado em mim.

Agradeço à Dra. Jenny Paola Bravo pela co-orientação, por me ajudar, por me aconselhar e por me ensinar tudo sobre as “wavelets”. Aprendi muito com você.

(5)
(6)

Análise wavelet em curvas de luz estelares de sistemas binários da

missão espacial CoRoT

por

Suzierly Roque de Lira

R

ESUMO

Os sistemas binários constituem ambientes fundamentais para conhecermos as proprieda-des fundamentais das estrelas. Neste trabalho, analisamos 99 sistemas binários identificados pela missão espacial CoRoT. A partir do estudo dos diagramas de fase destes sistemas, nossa amostra é dividida em três grupos: aquele cujos sistemas são caracterizados pela variabilidade relativa aos eclipses binários; aquele no qual observamos componentes com fortes modulações, provavelmente associadas à presença de manchas escuras na superfície da estrela; e aquele constituído de sistemas com variabilidade associada à expansão e contração das camadas superficiais.

Para as estrelas que apresentam eclipses binários em suas curvas de luz, utilizamos diagra-mas de fase a fim de estimar a classificação desses sistediagra-mas quanto à sua morfologia, com base no estudo das superfícies equipotenciais. Neste contexto, para determinar o período de rotação, iden-tificar a presença de regiões ativas, investigar a possibilidade dos sistemas apresentarem rotação diferencial e analisar as pulsações estelares utilizamos o procedimento wavelet.

(7)

Wavelet analysis applied to light curves of binary systems from

CoRoT space mission

by

Suzierly Roque de Lira

A

BSTRACT

Binary systems are key environments to study the fundamental properties of stars. In this work, we analyze 99 binary systems identified by the CoRoT space mission. From the study of the phase diagrams of these systems, our sample is divided into three groups: those whose systems are characterized by the variability relative to the binary eclipses; those presenting strong modulations probably due to the presence of stellar spots on the surface of star; and those whose systems have variability associated with the expansion and contraction of the surface layers.

For eclipsing binary stars, phase diagrams are used to estimate the classification in regard to their morphology, based on the study of equipotential surfaces. In this context, to determine the rotation period, and to identify the presence of active regions, and to investigate if the star exhibits or not differential rotation and study stellar pulsation, we apply the wavelet procedure.

(8)

LISTA DE FIGURAS

1.1 Manchas solares . . . 5

1.2 Ciclo das manchas solares . . . 6

1.3 Rotação diferencial e a distorção das linhas de campo magnético . . . 7

1.4 Binária visualαCentauro e binária astrométrica . . . 9

1.5 Binária espectroscópica . . . 10

1.6 Curva de luz de uma binária eclipsante . . . 11

2.1 Curvas de luz de sistemas do tipo Algol . . . 15

2.2 Curva de luz de um sistema do tipoβLyrae . . . 16

2.3 Curva de luz de um sistema do tipoβW UMa . . . 16

2.4 Sistemas de coordenadas para um sistema binário . . . 18

2.5 Pontos de Lagrange . . . 22

2.6 Superfícies equipotenciais . . . 23

2.7 Lóbulo de Roche das binárias de não-contato . . . 24

2.8 Sistema binário de não-contato . . . 25

(9)

2.10 Sistema binário de semi-contato . . . 26

2.11 Lóbulo de Roche das binárias de contato . . . 26

2.12 Sistema binário de contato . . . 27

2.13 Sistema binário de supercontato . . . 27

3.1 Sinal artificial estacionário e o seu respectivo espectro de potência . . . 31

3.2 Sinal não-estacionário e o seu respectivo espectro de potência. . . 31

3.3 Transformações matemáticas representadas esquematicamente: Transformada de Fourier, Transformada de Fourier de Tempo Curto e Transformadawavelet. . . 32

3.4 Wavelet-mãe Morlet e a sua Transformada de Fourier . . . 37

3.5 Wavelet-mãe Paul e a sua Transformada de Fourier . . . 37

3.6 Exemplo de umawaveletDOG:waveletMarr e a sua Transformada de Fourier . . 38

3.7 Mapawaveletlocal do sinal estacionário (e não estacionário) e seus espectros globais 39 4.1 Pré-tratamento das curvas de luz . . . 41

4.2 Diagrama de fase da estrela CoRoT 102929837 . . . 42

4.3 Diagramas de fase das estrelas CoRoT 101445950 e CoRoT 102912741 . . . 43

4.4 Mapawaveletda estrela CoRoT-2 . . . 50

4.5 Mapawaveletda estrela CoRoT 101445950 . . . 51

4.6 Mapawaveletda estrela CoRoT 102651632 . . . 52

4.7 Periodogramas da estrela CoRoT 102651632 . . . 54

4.8 Mapawaveletdas estrelas com rotação e atividade. . . 55

4.9 Mapawaveletdas estrelas com rotação e atividade. . . 56

(10)

4.11 Curvas de luz das estrelas CoRoT 102918586, CoRoT 100866999, CoRoT 102065348

e CoRoT 102912741 e seus espectros de Fourier . . . 59

4.12 Mapawaveletdas estrelas CoRoT 100866999, CoRoT 102065348 e CoRoT 102912741 61

4.13 Curvas de luz das estrelas CoRoT 102718810 e KIC 3324644 e seus espectros de

Fourier. . . 62

4.14 Mapawaveletda estrela KIC 3324644 . . . 63

(11)

LISTA DE TABELAS

4.1 Descrição das binárias eclipsantes da nossa amostra . . . 44

4.2 Descrição das binárias espectroscópicas da nossa amostra . . . 47

4.3 Períodos de rotação das estrelas obtidos através do procedimentowavelet . . . 57

4.4 Períodos de pulsação e classificação das estrelas selecionadas obtidos através do

(12)

SUMÁRIO

Resumo iv

Abstract v

Lista de Figuras viii

Lista de Tabelas ix

1 Introdução 1

1.1 Atividade magnética solar . . . 4

1.2 Estrelas binárias . . . 8

1.3 Motivação e objetivos . . . 11

2 Estrelas binárias eclipsantes 14

2.1 Superfícies equipotenciais . . . 17

2.2 Classificação morfológica das binárias eclipsantes . . . 24

(13)

2.2.2 Binárias de semi-contato . . . 25

2.2.3 Binárias de contato . . . 26

3 A teoriawavelet 28 3.1 Séries temporais . . . 29

3.2 Transformada de Fourier . . . 29

3.2.1 Transformada por janelas de Fourier . . . 30

3.3 Transformadawavelet. . . 32

3.3.1 A Transformadawaveletcontínua . . . 34

3.3.1.1 Propriedades elementares . . . 35

3.3.1.2 As funçõeswavelets . . . 35

3.3.1.3 O espectro de frequênciawavelet . . . 38

4 Resultados e discussões 40 4.1 Dados observacionais e pré-tratamento . . . 40

4.2 Análisewaveletdos sistemas binários do CoRoT . . . 48

4.2.1 Sistemas binários com rotação e atividade magnética . . . 48

4.2.2 Sistemas binários com pulsação . . . 57

5 Conclusões e perspectivas 65

A A missão CoRoT 68

(14)

CAPÍTULO

1

INTRODUÇÃO

“... É doce, de noite, olhar o céu.

Todas as estrelas estão floridas.”

Antoine de Saint-Exupéry

Grande parte das estrelas que observamos no céu possuem um brilho praticamente cons-tante no tempo. Em estrelas como o Sol (onde existe igualdade entre as forças de gravidade e pressão), percebe-se uma variação de luminosidade muito lenta devido à sua evolução, a qual é caracterizada pelo seu deslocamento ao longo do Diagrama de Hertzsprung Russell, ou Diagrama HR1. Este tipo de variação de brilho é perceptível apenas em escalas de tempo muito longas, da

ordem de 10 ou 100 mil anos. Entretanto, quando falamos deestrelas variáveis, estamos nos refe-rindo a objetos que apresentam uma mudança de brilho de alguns anos ou até mesmo de frações de segundos.

Existem diversas razões para que variações deste tipo ocorram na luminosidade de uma estrela, dentre elas podemos citar: a expansão e contração periódica das camadas superficiais de algumas estrelas chamadas de variáveis pulsantes; ou ainda, sistemas binários eclipsantes nos quais um par de estrelas ligadas gravitacionalmente possui um plano orbital muito próximo da linha de

1O Diagrama HR apresenta a relação entre a luminosidade de uma estrela e sua temperatura superficial. Neste

(15)

Capítulo 1. Introdução 2

visada de um observador na Terra.

As estrelas variáveisse dividem em dois grandes grupos: as variáveis intrínsecas, cuja variabilidade é proveniente das propriedades físicas internas da estrela, e asvariáveis geométricas, que possuem variação de brilho associada a propriedades externas à estrela (Sterken & Jaschek 1996). Em geral, esta variabilidade é observada em um gráfico mostrando a distribuição de brilho com o passar do tempo, também chamado decurva de luz.

(16)

Capítulo 1. Introdução 3

e, finalmente, para as forças de cisalhamento teremos os modos-s. Um estudo mais aprofundado sobre a teoria das pulsações pode ser encontrado emHansen & Kawaler(1994) eCox(1980).

As variáveis pulsantes podem ser de grupos distintos, os principais grupos são: as Cefei-das (Delta CepheiouW Virginis), asDelta Scuti, asRR Lyrae, as RV Tauri, Cefeidas semi-regulares eGamma Doradus(γ Dor). As Delta Cephei, ou Cefeidas do Tipo I (rica em metais), são estrelas jovens e gigantes brilhantes cuja massa é de 4 a 20 vezes maior do que a massa solar que apre-sentam pulsações muito regulares. Este tipo de estrela variável é muito interessante, pois elas são verdadeiras velas padrão2, isto significa que há uma forte correlação entre o período de pulsação,

a luminosidade e a distância. Medindo o período de pulsação de uma Delta Cephei, que varia de 1 a 100 dias, deduzimos a sua luminosidade, e, consequentemente, sua distância. Já asW Virginis são Cefeidas do tipo II (pobre em metais), com período de pulsação entre 10 e 20 dias (tipo A), ou ainda, entre 1 e 5 dias (tipo B).

As Delta Scuti são variáveis pulsantes com massa entre 1,5 e 2,5 massas solares. Elas pulsam em modos-p (e possivelmente nos modos-g) radiais e não radiais com períodos entre 30 minutos e 8 horas. As variáveisRR Lyraepossuem massa de aproximadamente 0,5 massas solares. Elas são estrelas relativamente velhas e, por isso, são mais populosas que as Delta Cephei, e seu período de pulsação é em geral, menor que um dia. Estas estrelas são amplamente utilizadas para uso de velas padrão, principalmente na Via Láctea. As estrelasRV Taurisão estrelas supergigantes amarelas que possuem variabilidade associada a pulsações radiais, cujo período varia de 30 a 100 dias. As estrelasγDor são variáveis da sequência principal com pulsações não-radiais com período

de pulsação da ordem de 1 dia. As cefeidas semi-regulares são gigantes vermelhas ou supergigan-tes, que podem apresentar períodos bem definidos, mas, normalmente, mostram variações de brilho pouco definidas que resultam em diversos períodos distintos.

As variáveis geométricas dividem-se em duas categorias principais, as variáveis rotaci-onais e as binárias eclipsantes. As variáveis rotacionais são estrelas com distribuição superficial de brilho não-uniforme causada por algum fenômeno relacionado com a sua própria rotação, este tipo de variabilidade é, geralmente, representado por manchas escuras e de proporções extremas na superfície da estrela afetando, assim, o seu brilho aparente.

2Uma vela padrão (standard candle) é um objeto astronômico que possui luminosidade conhecida. Diversos

(17)

Capítulo 1. Introdução 4

As binárias eclipsantes são constituídas por um par de estrelas possuindo um plano or-bital muito próximo, ou igual, à linha de visada de um observador na Terra, de maneira que as componentes do sistema eclipsam uma à outra. O estudo da curva de luz dessas estrelas pode fornecer informações sobre a temperatura efetiva relativa e seus respectivos raios, além de infor-mações importantíssimas relacionadas com a rotaçãoe a atividade magnéticados sistemas, que serão melhor estudadas na seção a seguir.

1.1

Atividade magnética solar

Mesmo existindo uma variedade muito grande de estrelas no céu, o nosso Sol é tido como ponto de referência para o estudo de diversas áreas da astronomia, pois, além de ser a estrela mais próxima da Terra, é a nossa principal fonte de vida. Uma das principais evidências da atividade magnética no Sol são as chamadasmanchas solares. Acredita-se que as primeiras ilustraões dessas manchas foram feitas pelos Chineses por volta de 800 A.C., entretanto, o primeiro registro dessas pequenas regiões escuras na superfície solar foi feita pelos Gregos por volta de 325 A.C. quando Theophratus afirmou que manchas escuras na superfície do Sol eram indicadores da chuva. As observações das manchas a olho nu continuaram até 1608, quando surgiu o telescópio. A invenção deste instrumento abriu uma série de possibilidades para observações astronômicas detalhadas. As notícias desta invenção se espalharam rapidamente até que chegaram aos ouvidos do astrônomo Italiano Galileo Galilei (1564-1642) em Junho de 1609 (Thomas & Weiss 2008). Ele improvisou seu próprio telescópio e começou a observar a Lua e a Via Láctea, até descobrir os satélites de Júpi-ter. Em 1613, Galileo declarou que estava observando as manchas solares havia algum tempo. Em suas observações (ver painel à esquerda da Figura1.1), Galileo concluiu que as manchas giravam com o Sol. Além disso, ele notou que as manchas estavam sempre próximas à região do equador solar e que elas só eram escuras em relação às outras regiões da superfície do Sol.

(18)

Capítulo 1. Introdução 5

Figura 1.1: Painel à esquerda:Manchas solares desenhadas por Galileo. Painel à direita: Estru-tura das manchas solares. Crédito:Thomas & Weiss(2008)

este ciclo seria, possivelmente, de 10 anos. Inspirado pela descoberta de Schwabe, o astrônomo Richard Carrington, fez observações das manchas durante anos, realizando duas descobertas muito importantes. Primeiro, ele notou que as manchas apareciam cada vez mais próximas do equador solar durante o ciclo (ver Figura 1.2). Depois, ele descobriu que as manchas com latitudes mais baixas giravam em torno do Sol mais rápido do que aquelas com latitudes mais altas, levando-o a afirmar que o Sol não gira como um corpo rígido, mas sim com uma rotação diferencial. Esta descoberta ajudou aos astrônomos da época a entender o porquê da variação do período de rotação do Sol estar entre 25 e 28 dias.

(19)

Capítulo 1. Introdução 6

inverte no próximo ciclo das manchas solares, e, portanto, o ciclo de atividade magnética do Sol tem o período duas vezes maior que o do ciclo solar (22 anos).

Figura 1.2: Ciclo das manchas solares de 1878 até 2005. Crédito: HATHAWAY/NASA

(20)

Capítulo 1. Introdução 7

uma estrela seria uma “faísca” para que haja a formação dínamo e, consequentemente, a ampliação do campo magnético.

Figura 1.3: A rotação diferencial provoca a distorção das linhas de campo magnético que, aliada à convecção acarreta na atividade solar (manchas, erupções, fáculas). Crédito: http://astronomia.blog.br/

O Sol, em sua rotação diferencial, possui linhas de campo magnético indo do Sul para o Norte e o equador girando mais rápido que os polos, de modo que as linhas de campo começam a se juntar na região equatorial formando uma forte componente toroidal, quando este campo é suficientemente intenso gera-se laçadas que vêm à superfície formando as manchas solares. Estas laçadas geram ainda erupções intensas na superfície solar, comumente chamadas deflares. As vari-ações de fluxo luminoso causadas pelos “flares” podem ocultar a presença detrânsitos planetários nas curvas de luz das estrelas. Este trânsito é caracterizado pela passagem de um planeta através do disco da estrela em torno do qual orbita. Como podemos observar no painel à direita da Figura

(21)

Capítulo 1. Introdução 8

de atividade magnética em estrelas constituídas por sistemas binários. Portanto, apresentaremos a seguir uma breve seção sobre asestrelas binárias.

1.2

Estrelas binárias

Se tivermos um par de estrelas ligadas gravitacionalmente orbitando em torno do seu cen-tro de massa, temos as chamadasestrelas bináriasouestrelas duplas. A primeiraestrela duplafoi descoberta acidentalmente pelo astrônomo italiano, Jean Baptiste Riccioli, em 1650, e foi chamada de W Ursa Maior (Mizar). Depois da descoberta e da observação fotométrica de Mizar diversas estrelas duplas foram observadas, mas naquela época elas foram consideradas mera curiosidade. Apenas no final do Século XVIII, William Herschel, iniciou uma procura sistemática por estas es-trelas. Em 1782, Herschel publicou o primeiro catálogo de estrelas duplas contendo 269 estrelas, das quais 227 delas jamais haviam sido observadas. Em 1802, ele utilizou pela primeira vez o termobinárias, quando ele escreveu:

“Se, ao contrário, duas estrelas estão realmente situadas bem próximas uma da outra e, ao mesmo tempo, isoladas de tal forma que não são afetadas materialmente pela atração de estrelas próximas, tais estrelas compõem um sistema à parte e permane-cem unidas pela ligação gravitacional mútua. Este sistema deve ser chamado de um sistema binário real.”

(22)

Capítulo 1. Introdução 9

eclipsantes(Carroll & Ostlie 2007).

Asbinárias visuais, são constituídas por um par de estrelas que estão relativamente próxi-mas da Terra e cuja separação entre elas é suficientemente pequena para serem vistas separadamente com a ajuda de um telescópio. Além disso, esses sistemas também estão fisicamente separados um do outro, isto significa que as componentes estão gravitacionalmente ligadas, mas não há contato entre elas. Estes sistemas, em geral, apresentam períodos orbitais extremamente longos e, portanto possuem órbitas pouco conhecidas, de maneira que dificilmente podemos observá-los no Diagrama HR. Algumas das estrelas mais brilhantes do nosso céu são classificadas como binárias visuais, dentre elas podemos destacar o sistema α Centauro. As componentes deste sistema (α Cen A e

αCen B) estão separadas por uma distância de aproximadamente 23 unidades astronômicas (UA),

uma distância ligeiramente maior que aquela entre Urânio e o Sol. Como podemos ver no painel à esquerda Figura1.4, o período orbital desse sistema é de aproximadamente 80 anos.

Figura 1.4: Painel à esquerda: Neste diagrama a componente mais brilhante do sistema (ou com-ponente primária),αCen A, aparece no centro dos eixos e a componente,αCen B, orbita ao redor, como se a componente primária fosse o centro de massa. Como ambas as estrelas orbitam em torno de um centro de massa em comum, essa é apenas uma projeção aparente do céu mostrando como são as posições de B em relação à A. Painel à direita: Binária astrométrica contendo um mem-bro visível, onde a componente não visível é induzida a partir do movimento oscilatório da estrela observável do sistema. Crédito: Carroll & Ostlie(2007)

(23)

Capítulo 1. Introdução 10

permanecer em movimento retilíneo uniforme (velocidade constante), a menos que haja uma força agindo sobre ela, portanto, este movimento oscilatório requer a presença de uma massa compa-nheira exercendo uma força sobre a primeira massa (ver painel à direita da Figura1.4).

Alguns sistemas binários estão tão distantes da Terra que não podem ser identificados através de telescópios. Nesses casos, elas podem ser detectadas através do efeito Doppler em suas linhas espectrais. Este tipo de efeito causa um deslocamento nas linhas espectrais da estrela que é proporcional a sua velocidade radial3, assim, quando a estrela tem um movimento de aproximação

com relação ao observador os comprimentos de onda das linhas se movem para o azul, e quando o movimento é de afastamento em relação ao observador as linhas se deslocam para o vermelho, como podemos visualizar na Figura1.5. Estes sistemas são chamados debinárias espectroscópicas.

Figura 1.5: Nos espectros acima cada linha do espectro se deve à absorção da luz por um ele-mento químico. Em uma binária espectroscópica, o moviele-mento orbital é evidenciado pelos desvios periódicos das linhas do espectro para o azul e para o vermelho. Crédito: UFRGS

Em algumas binárias espectroscópicas, as linhas espectrais de ambas as estrelas estão visíveis, de modo que observamos periodicamente uma dupla de linhas no espectro, estes sistemas são usualmente classificados como SB2. Já em outros sistemas, podemos ver apenas as linhas espectrais de uma única componente, de modo que teremos as binárias chamadas de SB1. Existem

3É a velocidade com que o objeto se aproxima ou se afasta do observador terrestre, isto é, a velocidade de um objeto

(24)

Capítulo 1. Introdução 11

ainda espectros em que se observa linhas espectrais triplas, estes sistemas são chamados de SB3. Como já foi mencionado anteriormente, as binárias eclipsantessão constituídas por um par de estrelas possuindo um plano orbital muito próximo, ou igual, à linha de visada de um obser-vador na Terra, de forma que as componentes do sistema eclipsam uma à outra periodicamente (ver Figura1.6). Sistemas como estes são reconhecidos por apresentar uma quantidade de variação de brilho regular. As curvas de luz desses sistemas revelam a presença de duas componentes, e os seus dados podem fornecer informações acerca da temperatura efetiva relativa entre as duas estrelas e o raio de cada componente, tudo isso baseando-se apenas nas quedas na luz emitida pelas estrelas e nas larguras dos eclipses. As binárias eclipsantes serão amplamente estudadas neste trabalho, e por isso, melhor apresentadas no Capítulo2.

Figura 1.6: Curva de luz de uma binária eclipsante onde observa-se duas regiões, nas quais o brilho captado pelo satélite advém das duas estrelas, uma região onde a estrela primária (de maior massa) oculta a menor estrela do sistema (eclipse primário) e uma região onde a estrela secundária passa na frente da estrela primária eclipsando-a parcialmente. Crédito : ESA

1.3

Motivação e objetivos

As estrelas binárias são, sem dúvida, objetos de estudo bem interessantes. Latham et al.

(25)

múl-Capítulo 1. Introdução 12

tiplos. Além disso, as estrelas binárias são nossa principal fonte para conhecer as propriedades fundamentais das estrelas. A determinação direta da massa de qualquer objeto astronômico, por exemplo, requer a medida da interação gravitacional de pelo menos dois corpos (galáxia-galáxia, estrela-estrela, estrela-planeta, planeta satélite) (Kallrath & Milone 2009). Durante todo o nosso trabalho, estaremos analisando as curvas de luz das estrelas binárias, seja determinando periodici-dades, analisando a morfologia dos sistemas ou buscando características de rotação e/ou atividade, como também características de pulsação. Desde o advento do telescópio, em 1608, a astronomia vem passando por diversos avanços tecnológicos que aumentaram de maneira exorbitante o nú-mero de dados que precisam ser analisados pelos cientistas. Um dos responsáveis pela produção de boa parte desses dados, é o satélite CoRoT (Baglin et al. 2009), descrito no ApêndiceA. As mi-lhares de curvas de luz estelares produzidas pelo CoRoT, permitem que os astrônomos obtenham informações sobre as propriedades de diversos fenômenos físicos, como a atividade magnética e a rotação, além de fornecer informações sobre os principais objetivos da missão, isto é, a busca por exoplanetas e a astrossismologia. A análise destes dados é geralmente feita através das di-versas transformações matemáticas existentes, afim de encontrar as principais periodicidades nos dados analisados. Dentre estas transformadas podemos citar a Transformada de Fourier (Bochner

& Chandrasekharan 1949), que é sem dúvidas a mais utilizada pelos astrônomos, e a

Transfor-mada wavelet (Torrence & Compo 1998), que vem ganhando espaço não só na astronomia, mas também em outras áreas, tais como: a geofísica, a medicina e a mecânica dos fluidos. Tudo isso, pelo simples fato de ela permitir tanto a análise de sinais estacionários, como também de sinais não estacionários, de maneira que podemos identificar a evolução temporal de diversos fenômenos que afetam a curva de luz das estrelas, tais como: as regiões ativas, a rotação diferencial ou os batimentos relacionados à pulsação.

Através da análise das curvas de luz e dos diagramas de fase, nossos objetivos são:

• Classificar os sistemas binários eclipsantes da nossa amostra quanto à morfologia do sistema; • Procurar por assinaturas características de rotação e atividade magnética ou de pulsação numa

amostra de 99 estrelas binárias do CoRoT;

(26)

Capítulo 1. Introdução 13

Através da aplicação do métodowavelet, nossos objetivos são:

• Identificar assinaturas características de sistemas com rotação e com pulsação;

• Determinar os períodos de rotação e as outras periodicidades relacionadas com a atividade magnética dos sistemas que apresentarem modulação rotacional em suas curvas de luz; • Determinar os períodos relacionados com a pulsação das variáveis pulsantes;

• Classificar as estrelas não reportadas na literatura de acordo com os resultados obtidos a partir da transformaçãowavelet.

(27)

CAPÍTULO

2

ESTRELAS BINÁRIAS ECLIPSANTES

“Mas, se vamos analisar pequenas

estrelas duplas, elas devem,

primeiro, se tornar conhecidas...”

William Herschel

Por muitos anos, os astrônomos classificavam as binárias eclipsantes em três grandes gru-pos, de acordo com seus respectivos protótipos: Algol(βPersei),βLyraeeW Ursae Maioris.

O sistemaAlgolfaz parte da constelação dePerseuse seu período de variabilidade é pouco menor que 3 dias. A estrela principal deste sistema está localizada na sequência principal e é cerca de 3 vezes maior que o Sol, enquanto a componente secundária é uma estrela subgigante. Algol é uma binária de grande interesse para os astrônomos, pois ela apresenta uma discrepância em relação à teoria da evolução estelar. Teoricamente, a estrela primária evolui primeiro por ter uma massa maior, entretanto em um sistema Algol a estrela secundária é a mais velha do sistema. A explicação mais aceita atualmente é que a estrela secundária já transferiu muita massa para a estrela mais jovem ao longo dos anos, fazendo com que esta se tornasse mais massiva.

(28)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 15

porque, no ótico, as curvas de luz podem esconder diversos fenômenos físicos que estão ocorrendo nas estrelas. Se a profundidade dos mínimos forem muito diferentes, podemos observar na curva de luz um efeito chamado de “efeito de reflexão” (Wilson 1994). Mínimos diferentes indicam que as temperaturas também são diferentes, logo, se um desses mínimos for muito profundo a estrela mais quente pode ofuscar a luz que vem do sistema. Portanto, a radiação proveniente da estrela primária (mais quente), atinge a estrela secundária provocando um aumento na sua luminosidade (ver painel à direita Figura2.1).

Figura 2.1: Painel à esquerda: Curva de luz de uma binária eclipsante do tipo Algol. Painel à direita: Efeito de reflexão na estrela NN Serpentis. Neste caso, não é possível ver o eclipse secundário. Crédito:Haefner et al.(2004)

As estrelas com protótipo β Lyrae possuem períodos orbitais de alguns dias, entretanto se os sistemas envolverem gigantes e subgigantes os períodos podem ser bem mais longos. A curva de luz destes sistemas, observada na Figura2.2, demonstra que as estrelas estão interagindo gravitacionalmente, o que de fato ocorre. Pode-se observar que a curva varia constantemente ao longo da fase orbital. Essa variação contínua na curva de luz é parcialmente devido à mudança de aspectos das estrelas devido à rotação das mesmas, classicamente conhecida como “variação elipsoidal”(Kallrath & Milone 2009), entretanto, a forte interação gravitacional entre elas é o que desencadeia todos os fenômenos relacionados a essa variação contínua, como por exemplo, as distorções devido às forças de marés.

Sistemas com protótipoW Ursa Maioris(ou W UMa) possuem períodos orbitais menores que 1 dia. Assim como as estrelas com protótipo β Lyrae, as curvas de luz deste tipo de sistema

(29)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 16

Figura 2.2: Curva de luz do sistema binário do tipoβ Lyrae: V388 Cyg (Milano & Russo 1983).

Crédito: Base de dados do CALEB (Catálogo e Atlas das Binárias Eclipsantes).

em contato físico por uma região onde ocorre uma troca de massa entre as componentes (Maciel 2011). Os sistemas W UMa podem ser divididos em duas subclasses: sistemas do tipo A, em que a estrela com maior massa é a componente mais quente, e os sistemas do tipo W, onde a componente mais massiva é a estrela mais fria.

Figura 2.3: Curva de luz do sistema binário do tipo W UMa: AP Aur (Li et al. 2001). Crédito: Base de dados do CALEB.

Esse tipo de classificação de binárias eclipsantes, apesar de ser muito utilizada, não possui uma base física apropriada. As estrelas com protótipo β Lyrae, por exemplo, podem ser

(30)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 17

classificação diferente, em 4 grupos, para sistemas cuja componente primária tivesse um tipo es-pectral de A até F. Posteriormente, Kopal(1955) publicou uma nova classificação que se baseava no estudos das superfícies equipotenciais das estrelas, as quais veremos na seção a seguir.

2.1

Superfícies equipotenciais

As superfícies equipotenciais em torno dos sistemas binários são de fundamental impor-tância para compreender as propriedades físicas dessas estrelas. No decorrer desta seção faremos a análise destas superfícies com argumentos matemáticos e físicos baseados nos trabalhos deCarroll

& Ostlie(2007),Kallrath & Milone(2009),Kopal(1955) eMaciel(2011).

Antes de estudá-las deve-se fazer algumas considerações importantes. Primeiro, para que tenhamos uma representação analítica do potencial relativamente simples, vamos supor que as com-ponentes do sistema binário interagem gravitacionalmente como massas pontuais. Em seguida, va-mos considerar que as estrelas rotacionam em torno do seu próprio eixo como um corpo rígido e que elas estão em equilíbrio hidrostático. Assume-se ainda, que os períodos de oscilação livres não-radiais são insignificantes quando comparados com o período orbital Porb, de modo que a forma

das componentes estelares é determinada pelo campo de força instantâneo. Por fim, as superfícies cujo potencial é constante também possuem densidades constantes.

Afim de determinar essas superfícies nas estrelas binárias, vamos considerar uma geome-tria simplificada de um sistema contendo duas estrelas de massas M1 e M2, separadas por uma

distânciaa, e cujos sistemas de coordenadas estão em co-rotação. Além dessas grandezas, temos uma massa de teste mque se encontra a distância s1 e s2 das massas M1 eM2, respectivamente.

Como podemos observar na Figura2.4, as estrelas estão localizadas no eixoxa uma distânciar1 e

r2, nessa ordem, do centro de massa.

(31)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 18

Figura 2.4: Sistemas de coordenadas para um sistema binário. Crédito:Carroll & Ostlie(2007).

~

Fc =mω2rˆr, (2.1)

ondeF~c é a força centrífuga eω é velocidade angular do sistema.

Como estamos interessados em encontrar as superfícies equipotenciais das estrelas, de-vemos trabalhar com conceitos relacionados com as energias potenciais ao invés de trabalharmos com as forças. Portanto, a energia potencial centrífuga U será:

Uf −Ui = ∆Uc =−

Z rf

ri

~

Fc·d~r. (2.2)

SubstituindoF~c da equação , obtemos:

∆Uc =−

1

2mω

2(r

f2 −ri2). (2.3)

Podemos escolher, arbitrariamente,Uc = 0emri = 0, já que apenas mudanças na própria energia

potencial são fisicamente significativas. Portanto, fazendorf =r, temos:

Uc =− 1

2mω

(32)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 19

Da mesma maneira, podemos determinar a energia potencial gravitacional. De acordo com aLei da Gravitação Universal, encontrada por Isaac Newton (1642-1727):

Fg =G

M m

r2 , (2.5)

ondeFg é a força de atração gravitacional entre dois corpos com órbita circular e de massasMem

e G é a constante de gravitação universal. Logo, a energia potencial gravitacional é

Uf −Ui = ∆Ug =−

Z rf

ri

~

Fg·d~r. (2.6)

ComoF~g·d~r =Fgdr, então

∆Ug =

Z rf

ri

GM m

r2 dr. (2.7)

Mas, quandorf → ∞,Uf →0, portanto,

Ug =−G

M m

r . (2.8)

No problema representado na Figura2.4, temos a força de interação gravitacional entre a partícula de massaM1 e a partícula de massame temos a força entre a partícula de massaM2 e a

partículam, as quais denominaremos deF1eF2, respectivamente. De modo que a energia potencial

efetiva, dada pela soma entre a energia potencial gravitacional e a energia potencial centrífuga, é

U =G

M1m

s1

+M2m

s2

− 1

2mω

2r2. (2.9)

Portanto, a energia potencial gravitacional pode ser dividida pormpara obter opotencial gravita-cional efetivo,Φ:

Φ =G

M1

s1

+M2

s2

(33)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 20

Este potencial só pode ser aplicado para a superfície estelar, além disso, a hipótese de que as estrelas interagem gravitacionalmente como se fossem massas pontuais deve ser descartada, devido às forças de maré sobre essas superfícies.

Podemos reescrever s1, s2 e~r, da Equação2.10, em termos das coordenadas relativas à

origem do sistemaM1, de maneira que:

s1 =r,

s2 =

p

(xa)2+y2+z2 =r22ax+a2,

r =p(xxcm)2+y2.

(2.11)

onde o índicecmrefere-se ao centro de massa do sistema.

E a frequência angularωé obtida através da terceira lei de Kepler:

ω2 =

Porb

2

= G(M1+M2)

a3 . (2.12)

Logo,

Φ =G

M1

r +

M2 √

r22ax+a2

21G(M1a+3 M2)(xxcm)2+y2

. (2.13)

Como vimos na Figura2.4, o centro de massa do sistema encontra-se no eixox. Portanto sua posição (xcm) será:

xcm =

Pi

Mixi

Pi

Mi

. (2.14)

Logo,

xcm =

M2a

M1+M2

(34)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 21

Dividindo o lado direito da Equação2.15porM1 obtemos

xcm =

M2a M1 M1 M1 +

M2 M1

. (2.16)

DefinindoqM2/M1, temos

xcm=

qa

1 +q. (2.17)

A simetria esférica do sistema binário favorece a utilização das coordenadas esféricas ao invés das coordenadas cartesianas. Podemos escrever as coordenadas esféricas da seguinte maneira:

x=rsenθcosφ, y=rsenθsenφ, z =rcosθ,

(2.18)

onde, o ângulo polar varia de0θ 180◦ e o ângulo azimutal varia de0φ360.

Fazendoλ=senθcosφ,µ=senθsenφeν = cosθ, as Equações2.18, tornam-se:

x=rλ, y =rµ, z =rν.

(2.19)

Podemos agora substituir as Equações2.19e2.17na Equação do potencial efetivo (2.13), obtendo:

Φ(r, λ, ν) =G

M1

r +

M2 √

r22λra+a2

+

− 1

2

G(M1+M2)

a3

"

λr qa

1 +q

2

+ν2r2

#

.

(35)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 22

Colocando(M1/a)em evidência e rearranjando os termos, obtemos:

Φ(r, λ, ν) = GM1

a " a r + aq p

r22λraq+a2

# +

− GMa 1 "

1 2

(1 +q)

a2 (λ 2r2

−2 qa

1 +qrλ+

qa

1 +q

2

+ν2r2)

#

.

(2.21)

Esta equação pode ser utilizada para calcular o potencial gravitacional efetivo em cada ponto do plano orbital de um sistema binário.

Como podemos observar na Figura2.5, existem alguns pontos onde as forças gravitacio-nais agindo emmdevido às massasM1eM2são balanceadas pela força centrífuga (linha tracejada),

esses pontos são chamados depontos de Lagrange.

Figura 2.5: Potencial efetivo para duas massas M1 = 0,85M⊙, M2 = 0,17M⊙ no eixo x. As

estrelas estão separadas por uma distânciaa= 0,718R. Crédito:Carroll & Ostlie(2007)

Os pontos no espaço que apresentam o mesmo valor deΦ, formam umasuperfície equi-potencial(Carroll & Ostlie 2007) . Na Figura2.6, podemos observar os contornos dassuperfícies equipotenciaisno plano da órbita de um sistema binário. Próximo às massasM1 eM2, as

(36)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 23

afastamos das massas, observamos que a interação gravitacional entreM1 eM2 distorce as

super-fícies equipotenciais do sistema até que elas cheguem aos pontos internos de Lagrange.

Se uma estrela se expandir suficientemente, alguns gases podem escapar da atmosfera da estrela através do ponto de Lagrange L1, indo em direção a sua companheira, isto significa

que, neste exato momento, essa estrela atingiu uma região limite contornada por uma superfície equipotencial chamada delóbulo de Roche. Quando uma das componentes do sistema ultrapassa seu lóbulo de Roche, ela começa a transferir massa para sua companheira. Agora, no momento em que as duas estrelas do sistema ultrapassam os seus respectivos lóbulos de Roche, a estrutura do sistema começa a se modificar e ambas as componentes começam a se unir.

Figura 2.6: Superfícies equipotenciais para duas massas M1 = 0,85M⊙, M2 = 0,17M⊙ no eixo

x. Crédito: Carroll & Ostlie(2007)

(37)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 24

2.2

Classificação morfológica das binárias eclipsantes

Os pontos de Lagrange e as superfícies equipotenciais são de extrema importância para entender a classificação dos sistemas binários quanto as suas respectivas morfologias. Esta classifi-cação abrange sistemas como asbinárias de não-contato, as binárias desemi-contatoe as binárias decontato, os quais veremos a seguir.

2.2.1

Binárias de não-contato

As binárias de não-contato são sistemas onde os raios das estrelas são muito menores que a sua separação orbital, de maneira que nenhuma das estrelas chega a preencher seus respectivos lóbulos de Roche, como pode ser observado na Figura2.7.

Figura 2.7: Representação das binárias de não-contato. Crédito: Figura adaptada de Carroll &

Ostlie(2007).

(38)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 25

Figura 2.8: Morfologia e diagrama de fase da curva de luz de um sistema binário de não-contato, o sistema ZZ Boo (Popper 1983). Crédito: Base de dados do CALEB.

2.2.2

Binárias de semi-contato

Nas binárias de semi-contato, uma das componentes do sistema se expande até que pre-encha completamente seu lóbulo de Roche (ver Figura2.9), de maneira que os gases presentes na atmosfera desta estrela podem escapar através do ponto interno de Lagrange L1 e serem atraídos

pela sua companheira, que possui uma configuração semelhante às binárias de não-contato (Maciel

2011).

Figura 2.9: Representação das binárias de semi-contato. Crédito: Figura adaptada de Carroll &

Ostlie(2007).

As estrelas do tipoAlgol são sistemas binários de semi-contato, onde temos uma estrela mais massiva na sequência principal e uma estrela sub-gigante menos massiva que a primeira. Como mencionamos no início deste capítulo, em alguns destes sistemas observamos um paradoxo, pois a estrela de menor massa está em um estágio evolutivo maior do que a estrela mais massiva. Devido a este paradoxo, sistemas de semi-contato constituem-se em verdadeiros laboratórios para o estudo de troca e perda de massa além dos processos de acreção de matéria. Na Figura 2.10

(39)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 26

diagrama de fase.

Figura 2.10: Morfologia e diagrama de fase da curva de luz de um sistema binário de semi-contato, o sistema CZ Aqr (Bruton 1986). Crédito: Base de dados do CALEB.

2.2.3

Binárias de contato

Nas binárias de contato, as componentes do sistema preenchem os seus respectivos lóbulos de Roche (ver Figura 2.11), ou ainda, ultrapassam os seus lóbulos (neste caso as binárias são chamadas de sistemas desupercontato).

Figura 2.11: Representação das binárias de contato. Crédito: Figura adaptada de (Carroll & Ostlie

2007).

As binárias desupercontatotêm uma atmosfera em comum e a matéria ultrapassa a super-fície que passa pelo ponto de LagrangeL2, sendo perdida pelo sistema através deste mesmo ponto.

(40)

Capítulo 2. Estrelas binárias eclipsantes 27

Figura 2.12: Morfologia e diagrama de fase da curva de luz de um sistema binário de contato, o sistema YY CMi (Niarchos et al. 1998). Crédito: Base de dados do CALEB.

Figura 2.13: Morfologia e diagrama de fase da curva de luz de um sistema binário de supercontato, o sistema AP Aur (Li et al. 2001). Crédito: Base de dados do CALEB.

(41)

CAPÍTULO

3

A TEORIA

WAVELET

“O estudo profundo da natureza é a

fonte mais rica de descobertas

matemáticas.”

Jean-Batiste Joseph Fourier

O processamento dos dados observacionais obtidos através das missões espaciais, como por exemplo a missão CoRoT, é de fundamental importância para o entendimento dos processos físicos que estão ocorrendo na superfície, ou até mesmo no interior dos objetos analisados. A princípio, o que fazemos é uma análise visual das curvas de luz, afim de detectar possíveis sinais periódicos e estimar as propriedades de cada sinal detectado, de modo que podemos selecionar as curvas de luz que serão mais interessantes para discussão de fenômenos associados a rotação e/ou atividade magnética e a pulsação.

(42)

Capítulo 3. A teoriawavelet 29

3.1

Séries temporais

Uma característica importante das curvas de luz é o fato delas serem apresentadas em forma de séries temporais. Uma série temporal pode ser definida como uma sucessão de obser-vações de uma dada variável ao longo do tempo. No caso de uma curva de luz a variável em observação é a intensidade luminosa de um objeto astronômico. As séries temporais podem ser estacionáriasounão-estacionárias.

De maneira geral, podemos dizer que uma série temporal é ditaestacionáriaquando o seu comportamento não varia com o decorrer do tempo. Caso o comportamento da série mude ao longo do tempo dizemos que a série énão-estacionária.

3.2

Transformada de Fourier

A Transformada de Fourier (TF) foi descoberta no início do século XIX pelo matemá-tico francês Jean-Batiste Joseph Fourier (1768-1830) quando ele demonstrou que qualquer função periódica poderia ser representada como uma soma infinita de funções exponenciais complexas e periódicas de frequênciaν, como é mostrado na equação a seguir:

f(t) =

Z ∞

−∞

F(ν) exp(2πiνt)dt. (3.1)

Oespectrodef é dado pela Transformada de Fourier def,

F(ν)T F(f)

Z ∞

−∞

f(t) exp(2πiνt)dt, (3.2)

ondef(t)é uma função contínua da variável realt. Observamos que a funçãof(t)é convertida em uma função no domínio da frequênciaF(ν), de modo que a TF permite a visualização de todas as

frequências contidas no sinal.

(43)

Capítulo 3. A teoriawavelet 30

com duração de 20 segundos (s), contendo diferentes amplitudes e frequências (1, 3 e 12 Hz) (painel superior da Figura3.1), para então gerarmos umespectro de potênciaatravés do Software Period041(Lenz & Breger 2014), como pode ser observado no painel inferior da Figura3.1. Ao

analisar o espectro observamos três picos correspondentes às três frequências contidas no sinal: 1, 3 e 12 Hz. O mesmo processo é feito para um sinal não-estacionário (Figura3.2, painel superior), contendo três frequências diferentes em três intervalos de tempo diferentes. No primeiro intervalo (até 6,5 s) o sinal está composto das três frequências, no segundo (de 6,5 s a 14,5 s), apenas duas frequências (1 e 3 Hz) são adicionadas e no último intervalo (de 14,5 s a 20 s), as frequências 1 e 12 Hz formam a parte final do sinal não-estacionário. Assim como no espectro da Figura3.1, obtemos um espectro de frequências mostrando os três picos de frequência do sinal (painel inferior da Figura

3.2). No entanto, o espectro do sinal não-estacionário não especifica que estas frequências estão ocorrendo em intervalos de tempo diferentes, ou seja, através da TF podemos determinar todas as frequências contidas em um sinal, porém não sabemos quando cada frequência está ocorrendo (Figura3.3(a)).

3.2.1

Transformada por janelas de Fourier

Para obter uma melhor localização de tempo e frequência na decomposição do sinal, Ga-bor(1946) sugeriu uma alteração na TF, chamada deTransformada por Janelas de Fourier(TPJF ou Transformada de Fourier de Tempo Curto), onde o sinal é dividido em janelas de tempo, igual-mente espaçadas, e suficienteigual-mente pequenas para que sejam consideradas estacionárias. A TPJF é definida pela seguinte equação:

T P JF(ν, τ) =

Z ∞

−∞

f(t)g(tτ) exp(2πiνt)dt (3.3)

onde o sinalf(t)está sendo multiplicado por uma função janelag, centrada em torno de zero.

A funçãoT P JF(ν, τ)nos fornece a frequênciaνcontida no sinal para diferentes posições

τ da função janela ao longo do tempo. Na TPJF temos uma única janelag(geralmente uma função

1É um programa computacional dedicado especialmente à análise estática de amplas séries de tempo astronômicas

(44)

Capítulo 3. A teoriawavelet 31

Figura 3.1: Painel superior: sinal artificial estacionário composto de funções seno com diferentes amplitudes e frequências (1, 3 e 12 Hz). Painel inferior: espectro de potência do sinal artificial estacionário.

(45)

Capítulo 3. A teoriawavelet 32

Gaussiana) para todas as frequências do sinal, portanto a resolução da análise é a mesma para todas as localizações no espaço tempo-frequência, como é mostrado na Figura 3.3(b). Embora a TPJF tenha contribuído, significativamente, para o estudo de sinais não-estacionários, a mesma não mostra quais são as componentes de frequência existentes em qualquer momento dado. De fato, só sabemos qual banda de frequências existe num dado intervalo de tempo (Hubbard 1996), o qual é um problema relacionado com a largura da função de janela usada.

Os problemas que surgem ao analisar um sinal através da TF, ou até mesmo a TPJF, podem ser solucionados recorrendo àTransformada wavelet. Esta técnica, quando aplicada em sinais não-estacionários e não-periódicos, mostra características que podem variar no tempo e na frequência (ou escala). A ideia central da waveleté baseada na análise demultiresolução, a partir da qual o sinal é analisado em frequências diferentes com diferentes resoluções mostrando detalhes do sinal (Figura3.3(c)).

Figura 3.3: (a) Transformada de Fourier e a resolução em frequência. (b) Transformada de Fourier de Tempo Curto e a resolução em tempo e frequência. (c) Transformadawavelete sua multirreso-lução. Crédito: Le(2009)

3.3

Transformada

wavelet

(46)

Capítulo 3. A teoriawavelet 33

correspondente à sua escala de tempo (Daubechies 1992).

Aswavelets, em sua forma teórica, foi inicialmente proposta pelo geofísico Jean Morlet (1931-2007) quando ele fez a análise de dados sísmicos e mostrou que esta ferramenta produzia evidências numéricas sólidas. O sucesso do método de Morlet incentivou Alex Grossmann a reali-zar um estudo matemático detalhado da TW. Juntos, Morlet e Grossmann estudaram uma funçãoψ

que tem energia infinita e é capaz de dilatar-se ou contrair-se, chamada dewavelet-mãe(Morlet &

Grossmann 1984). De modo geral, aswaveletssão ondas pequenas com determinadas

proprieda-des que as tornam adequadas para a decomposição de uma determinada função em outras funções

(Misiti et al. 1996).

Awavelet-mãeé uma função protótipo que gera outras funções janela, chamadas de wa-velets filhas,ψa,b. Estas são definidas pelos fatores de translação e escala (contração ou dilatação)

dawavelet-mãeψ(t), como vemos a seguir:

ψa,b(t) = 1 √

tb a

, a, bR, a6= 0 (3.4)

ondeaé o fator de escala,bé o parâmetro de translação e √1a é o fator de normalização da energia.

É importante destacar que este fator de escala está diretamente relacionado com a frequência do sinal.

Para ser chamada dewavelet a funçãoψ(t)deve ser admissível, isto significa que, para uma função integrável, a sua média deve ser zero e ela deve estar localizada tanto no espaço do tempo quanto no espaço de frequência (Farge 1992). As funçõeswaveletspodem ser ortogonais2 ou não ortogonais. Entretanto, as funções não ortogonais podem ser usadas nos dois tipos de Transformada wavelet: a Transformada wavelet contínua e a Transformada wavelet discreta. A Transformada Wavelet contínuaopera sobre todas as possíveis escalas e deslocamentos enquanto a Transformada wavelet discreta usa um conjunto específico de escalas e deslocamentos. Neste capítulo, nos aprofundaremos apenas na Transformada wavelet contínua, pois ela será utilizada para estimar períodos de rotação e identificar fenômenos físicos em curvas de luz do CoRoT. Para

2Ortogonalidade: Sejamf(x)eg(x)funções definidas no intervaloa < x < b, elas serão ditas ortogonais se:

Rb

(47)

Capítulo 3. A teoriawavelet 34

maiores detalhes, além dos que serão aqui apresentados, consultar (Daubechies 1992) e (Farge

1992).

3.3.1

A Transformada

wavelet

contínua

Uma das principais características da Transformadawaveletcontínua (TWC) é que os pa-râmetros de escala e translaçãoa,bvariam continuamente sobreR(coma 6= 0). Esta transformada

é definida pela convolução de f(t), uma série temporal igualmente espaçada no tempo, e uma

versão escalada e transladada deψ(t):

T W Cf(a, b) = 1 √

a

Z

f(t)ψa,bdt = 1 √

a

Z

f(t)ψ

tb a

. (3.5)

Variando a escala da waveletdeslocando-a ao longo do tempo podemos construir um espectro da amplitude versus escala (frequência), mostrando como essa amplitude varia ao longo do tempo. Esse espectro é chamado deespectro waveletoumapa wavelet local(Torrence & Compo 1998). Como já foi mencionada no início desta seção, a única condição para que a função ψ(t)seja uma

waveleté a admissibilidade, esta condição requer que:

Cψ = (2π)

Z

R

bψ(ν)2 dν

| < ∞, (3.6)

onde bψ(ν)é a TF de ψ(t)e Cψ são os chamados coeficientes wavelets. Além disso, se ψ(t) é

integrável, esta condição implica que:

Z

ψ(t)dt= 0. (3.7)

Uma vez que a condição de admissibilidade é satisfeita, podemos reconstruir a funçãof(t)através da fórmula de “identidade de resolução”:

1 Cψ = Z ∞ −∞ 1

(48)

Capítulo 3. A teoriawavelet 35

ondeψa,b(t) = √1aψ t−ab

, eh | ié o produto interno3no espaço quadrado-integrável4L2(R).

3.3.1.1 Propriedades elementares

A TWC possui algumas propriedades interessantes, como veremos a seguir:

(a) É linear, uma vez que se trata de um produto interno entre o sinalf e awaveletψ. (b) É covariante sob translação e dilatação.

(c) Não só conserva a energia globalmente, mas também localmente se considerarmos todos os coeficientes dentro de um “cone de influência”, que consiste num suporte espacial para todas aswaveletsdilatadas (Farge 1992).

(d) Oferece a medida da regularidade local de uma função e então caracteriza o espaço funcional ao qual ela pertence (Farge 1992).

(e) Utilizando awavelet-mãeψnós podemos decompor qualquer função ou distribuiçãofem seus

coeficienteswavelets(Farge 1992).

3.3.1.2 As funçõeswavelets

As funçõeswaveletsdevem ser escolhidas de acordo com a informação que se quer extrair do sinal. Na hora da escolha devemos estar atentos às suas características mais importantes: a ortogonalidade, a“complexidade”, alargurae aforma.

ORTOGONALIDADE: aswaveletspodem ser ortogonais ou não-ortogonais. Se estivermos interessados no processamento de sinais, a análisewaveletortogonal é bastante útil, uma vez que fornece uma representação mais compacta do sinal. Entretanto, para a análise de séries temporais, onde são esperadas variações suaves e contínuas da amplitude, devemos escolher uma transformada não-ortogonal.

3O produto interno de duas funções,f(x)eg(x), é definido por:hf(x)|g(x)i=Rb

af(x)∗g(x)dx. 4Uma funçãof(x)é quadrado-integrável quandoRb

a|f(x)| 2dx <

(49)

Capítulo 3. A teoriawavelet 36

“COMPLEXIDADE”: as funções wavelets podem ser complexas ou reais. Uma função waveletcomplexa é mais apropriada para verificar um possível comportamento oscilatório do sinal enquanto uma funçãowaveletreal pode ser utilizada em picos isolados ou descontinuidades.

LARGURA: a resolução de uma wavelet é determinada pelo balanço entre a largura no espaço real e a largura no espaço de Fourier (Torrence & Compo 1998). Quanto mais estreita for a funçãowavelet, melhor a resolução no tempo, e mais pobre é a resolução em frequência.

FORMA: a forma da funçãowaveletdeve estar associada às propriedades do sinal. Os três principais tipos dewaveletcontínua são:

(a) AwaveletMorlet. (b) AwaveletPaul. (c) As DOGs.

(a) AwaveletMorlet

AwaveletMorlet é uma funçãowaveletcomplexa e não ortogonal amplamente utilizada. Ela é definida como uma onda plana modulada por uma Gaussiana (ver Figura3.4):

ψ(t) = exp(ak(tb)2) exp[i2πk(tb)], (3.9)

ondek está relacionado com a ordem da wavelet. O decaimento exponencial de segundo grau da

Gaussiana fornece uma ótima resolução espacial e a sua TF é uma distribuição Gaussiana com uma ótima resolução em frequência. Neste trabalho, nós utilizamos awaveletMorlet de 6ª ordem devido a sua boa localização em tempo e frequência, e, também, porque a constante de proporcionalidade entre o parâmetro de escala e o período é 1.

(b) AwaveletPaul

(50)

Capítulo 3. A teoriawavelet 37

Figura 3.4: (a)Wavelet-mãe Morlet. (b) A Transformada de Fourier dawaveletMorlet. O traçado contínuo representa a parte real da função e o traçado pontilhado representa a parte imaginária da função. Crédito:Torrence & Compo(1998)

ψk(x) =

ik2kk!

p

π(2π)!(1−ix)

−(k+1), (3.10)

ondek representa a ordem da função Paul. UmawaveletPaul de ordem 1, representada na Figura

3.5, decai mais rapidamente que a wavelet Morlet, tornando a resolução temporal ainda melhor. Entretanto, no espaço de Fourier, a representação da Transformada de Paul não é um pico simé-trico, pois apresenta um decaimento em altas frequências. É importante destacar que a geometria dawaveletPaul é extremamente favorável para análise de eclipses em sistemas binários eclipsantes.

(51)

Capítulo 3. A teoriawavelet 38

(c) DOGs

As DOGs são funçõeswaveletsreais derivadas de uma Gaussiana:

ψk(x) = −1k

dk

dtk

−|x2|

2

, (3.11)

quando k = 2obtemos a wavelet Marr, uma waveletsimétrica comumente chamada de “chapéu mexicano” devido ao seu formato (Figura3.6(a)).

Figura 3.6: (a) waveletMarr. (b) A Transformada de Fourier dawaveletMarr. Crédito: Torrence

& Compo(1998)

3.3.1.3 O espectro de frequênciawavelet

O espectro da TW, também chamado de mapa wavelet local, é um gráfico em três di-mensões que pode ser “achatado” em duas didi-mensões para uma melhor observação, onde no eixo horizontal temos o tempo, no eixo vertical temos a escala e as cores do mapa representam a in-tensidade relativa do sinal; a cor vermelha está associada a uma inin-tensidade alta e a cor azul está associada a uma intensidade relativamente baixa, como pode ser visto no lado esquerdo da Figura

3.7. A integração temporal do espectro de frequência local gera oespectro global(Figura3.7, lado direito). Podemos definir oespectro de frequência waveletcomo:

|T W Cf(a, b)|2, (3.12)

(52)

Capítulo 3. A teoriawavelet 39

Para exemplificar o funcionamento da técnicawavelet, podemos analisar os mapas wave-lets obtidos a partir dos sinais estacionário e não-estacionário das Figuras3.1 e3.2. Como já era esperado, no mapawaveletlocal do sinal estacionário (Figura3.7à esquerda) é possível identificar as frequências contidas no sinal através de faixas de cores contínuas ao longo do tempo. Essas componentes espectrais são calculadas através do espectro global e ilustradas por uma seta. No mapa do sinal não-estacionário na Figura 3.7, além de identificar as três frequências é possível visualizar em que momento cada componente existe.

Portanto, através do tratamentowaveletde um sinal podemos identificar quais frequências são predominantes no sinal e em que instante estas existem ou não, resultando numa maior precisão na escala temporal.

0.0 1.0

Indice de Potencia

0 5 10 15

0.01 0.10 1.00 10.00

0 5 10 15

Segundos 0.01 0.10 1.00 10.00 Periodo (segundos)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Espectro Global 0.96 0.32 0.08 0.0 1.0

Indice de Potencia

0 5 10 15

0.01 0.10 1.00 10.00

0 5 10 15

Segundos 0.01 0.10 1.00 10.00 Periodo (segundos)

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Espectro

Global

0.96

0.32

0.08

Figura 3.7: Painel à esquerda: Mapa wavelet local do sinal estacionário da Figura 3.1 e seu respectivo espectro global. Painel à direita: Mapa wavelet local do sinal não-estacionário da Figura3.2e seu espectro global. Os períodos presentes no sinal são representados por uma linhas tracejadas nos espectros globais.

O processamento das curvas de luz foi feito através de uma rotina computacional criada pelo Dr. Izan Castro Leão chamadoCoroectcom métodos descritos emDe Medeiros et al.(2013), e a rotina para a análisewaveletfoi criada pela Dra. Jenny Paola Bravo, com métodos descritos em

Bravo et al.(2014) e apresentados neste trabalho, ambos utilizando o IDL (sigla para Interactive

(53)

CAPÍTULO

4

RESULTADOS E DISCUSSÕES

4.1

Dados observacionais e pré-tratamento

O satélite CoRoT, descrito no ApêndiceA, captou dados de diferentes regiões do universo ao longo de seus seis anos de funcionamento. Estes dados são divididos na base do CoRoT em níveis: o primeiro nível (N0) corresponde aos dados brutos adquiridos pelo satélite; o segundo nível (N1) é constituído de dados em que as perturbações devido aos efeitos instrumentais de primeira ordem foram corrigidas; e no terceiro nível (N2) estão os dados com correções de ordem superior que podem ser utilizados para um estudo científico. Neste trabalho utilizaremos dados do nível N2. Inicialmente, selecionamos nossos objetos de estudo dos trabalhos deCabrera et al.(2009),

Carpano et al. (2009), Loeillet et al.(2008) e Debosscher et al. (2009). Em seguida, fizemos um

(54)

Capítulo 4. Resultados e discussões 41

na curva.

Figura 4.1: Pré-tratamento da curva de luz da binária eclipsante CoRoT 105470736. (a)Curva de luz original. (b)Redução do número de pontos. (c)Remoção das descontinuidades. (d)Correção da tendência linear. Crédito: Figura extraída deBravo(2014).

Com os dados devidamente tratados, excluímos todas as binárias eclipsantes que não pos-suíam um período orbital (Porb) aparente, assim como todas as binárias espectroscópicas que não

(55)

Capítulo 4. Resultados e discussões 42

por exemplo, é ilustrado o diagrama de fase da estrela CoRoT 102929837, no qual podemos ob-servar as características de uma binária denão-contato, descrita na Subseção2.2.1. Os diagramas de fase de todas as binárias eclipsantes são mostrados no Apêndice B, com exceção das estrelas CoRoT 102870524 e CoRoT 102939944. Pois, além destas estrelas terem a amplitude dos eclipses binários pequena, possuem uma modulação rotacional muito grande, de maneira que não é possível visualizar esses eclipses nos diagramas.

Figura 4.2: Diagrama de fase da estrela CoRoT 102929837, onde P é o período orbital (em dias) desta estrela.

Os diagramas de fase também são utilizados para selecionar as binárias eclipsantes com variabilidade associada à rotação (e atividade) ou à pulsação. Na Figura 4.3, podemos observar dois exemplos de diagramas de estrelas da nossa amostra com este tipo de variabilidade, a diferença entre estes diagramas e aquele mostrado na Figura 4.2 é nítida. Além da análise dos diagramas, realizamos a inspeção visual das curvas de luz de todas as estrelas.

(56)

Capítulo 4. Resultados e discussões 43

Figura 4.3: Diagramas de fase da estrelas CoRoT 101445950 e CoRoT 102912741, onde P é o período orbital (em dias) desta estrela.

(57)

Capítulo 4. Resultados e discussões 44

Tabela 4.1: Binárias eclipsantes analisadas durante este trabalho. Na primeira coluna temos os IDs das estrelas. Na segunda coluna, são listados os períodos orbitais determinados porCabrera et al.

(2009) e (Carpano et al. 2009). Os períodos orbitais acompanhados de * não estão descritos na literatura e, portanto, foram determinados através do software Period04. Na terceira coluna ob-servamos o Run(colocação referente à localização das estrelas e o período de tempo em que elas foram observadas) do CoRoT. E na quarta coluna apresentamos a nossa estimativa para classifica-ção morfológica das binárias.

COROT ID Porb(dias) Run Classificação Morfológica

100534603 34,97716 LRc01 não-contato

100588681 0,793329 LRc01 semi-contato 100749711 1,461617 LRc01 semi-contato

100753487 1,011423 LRc01 não-contato 100768113 0,328903 LRc01 supercontato

100787846 39,199640 LRc01 não-contato 100818164 0,306873 LRc01 supercontato

100866999 2,810494 LRc01 não-contato 100880613 0,893160 LRc01 contato

100906796 0,897635 LRc01 supercontato 100920405 1,009714 LRc01 contato

100921311 2,527714 LRc01 não-contato 100960211 0,351817 LRc01 supercontato

101044194 8,811449 LRc01 semi-contato 101065348 4,862924 LRc01 não-contato

101075429 3,249819 LRc01 não-contato 101103460 2.014213 LRc01 semi-contato

101129018 0,285957 LRc01 supercontato 101166793 6,296752 LRc01 não-contato

101183660 9,464590 LRc01 não-contato 101232076 0,373297 LRc01 supercontato

(58)

Capítulo 4. Resultados e discussões 45

COROT ID Porb(dias) Run Classificação Morfológica

101290947 2,048782 LRc01 não-contato

101304238 1,326786 LRc01 supercontato 101337790 1,443336 LRc01 semi-contato

101345254 1,970976 LRc01 semi-contato 101445950 32,25590 LRc01 não-contato

101551987 3,136944 LRc01 não-contato 101572706 0,432330 LRc01 contato

101579613 3,681288 LRc01 semi-contato 102634388 0,63754* LRa01 supercontato

102648472 1,85811 LRa01 não-contato 102708916 6,18906 LRa01 não-contato

102715978 2,97088* LRa01 não-contato 102726405 2,54204 LRa01 semi-contato

102732394 1,57360 LRa01 não-contato 102733170 1,97940 IRa01 semi-contato

102734453 8,37056 LRa01 não-contato

102735868 1,64709 LRa01 contato

102741994 4,62211 IRa01 não-contato 102754263 2,45716 LRa01 semi-contato

102756466 16,76987 LRa01 semi-contato 102757626 1,20543 LRa01 semi-contato

102773399 0,60560 LRa01 supercontato 102776173 0,72508 IRa01 não-contato

102776386 2,20677 IRa01 semi-contato 102776565 2,20584 IRa01 não-contato

102786821 1,91876 LRa01 semi-contato 102790392 4,91014 IRa01 não-contato

(59)

Capítulo 4. Resultados e discussões 46

COROT ID Porb(dias) Run Classificação Morfológica

102798366 0,39568 LRa01 supercontato

102801922 5,45907 IRa01 semi-contato 102806377 3,81666 IRa01 não-contato

102806577 3,66704 IRa01 não-contato 102808511 0,23966 IRa01 supercontato

102809393 7,71063 IRa01 não-contato 102811578 1,66868 IRa01 semi-contato

102818428 7,45491 IRa01 não-contato 102818537 2,27296 IRa01 semi-contato

102819360 0,99596 IRa01 semi-contato

102821683 1,81094 IRa01 contato

102822723 10,12150 IRa01 não-contato 102826085 1,02583 IRa01 supercontato

102840080 2,33737 IRa01 não-contato 102842466 4,91740 IRa01 não-contato

102846142 0,41086 IRa01 supercontato 102849348 1,81837 IRa01 não-contato

102852229 6,06061 IRa01 não-contato 102853429 1,63806 IRa01 não-contato

102858100 1,31134 IRa01 semi-contato 102868457 0,97799* IRa01 supercontato

102870524 1,86800 IRa01

-102870613 7,13947 IRa01 não-contato

102872646 1,88286 IRa01 semi-contato 102879375 0,97728 IRa01 não-contato

102892869 4,07290 IRa01 não-contato 102900859 4,85346 IRa01 não-contato

Imagem

Figura 1.1: Painel à esquerda:Manchas solares desenhadas por Galileo. Painel à direita: Estru- Estru-tura das manchas solares
Figura 1.2: Ciclo das manchas solares de 1878 até 2005. Crédito: HATHAWAY/NASA
Figura 1.3: A rotação diferencial provoca a distorção das linhas de campo magnético que, aliada à convecção acarreta na atividade solar (manchas, erupções, fáculas)
Figura 1.4: Painel à esquerda: Neste diagrama a componente mais brilhante do sistema (ou com- com-ponente primária), α Cen A, aparece no centro dos eixos e a comcom-ponente, α Cen B, orbita ao redor, como se a componente primária fosse o centro de massa
+7

Referências

Documentos relacionados

Em que pese ausência de perícia médica judicial, cabe frisar que o julgador não está adstrito apenas à prova técnica para formar a sua convicção, podendo

Na experiência em análise, os professores não tiveram formação para tal mudança e foram experimentando e construindo, a seu modo, uma escola de tempo

Para Azevedo (2013), o planejamento dos gastos das entidades públicas é de suma importância para que se obtenha a implantação das políticas públicas, mas apenas

[r]

A Implementação de um Sistema de Gestão da Qualidade com base na norma ISO 9001:2008 poderá ter um impacto muito positivo, contribuindo não apenas para a melhoria da

Este dado diz respeito ao número total de contentores do sistema de resíduos urbanos indiferenciados, não sendo considerados os contentores de recolha

[r]

Tendo este trabalho como objectivo, ilustrar os vários aspectos da relação de Simone de Beauvoir com o nosso país, abordámos, com esse intuito, as visitas efectuadas por esta