Universidade Federal do Vale do São Francisco
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
Sociedade Brasileira de Matemática
Carla Saturnina Ramos te Moura
Análise do processo de conceitualização de
probabilidade por estudantes do Ensino Médio a partir
da Teoria dos Campos Conceituais
Juazeiro- BA
2014
Universidade Federal do Vale do São Francisco
Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional
Sociedade Brasileira de Matemática
Carla Saturnina Ramos te Moura
Análise do processo de conceitualização de
probabilidade por estudantes do Ensino Médio a partir
da Teoria dos Campos Conceituais
Dissertação apresentata à Comissão Local to Programa te Mestrato Profissional em Matemática em Rete Nacional - PROFMAT, ta Universitate Feteral to Vale to São Francisco - UNIVASF, como requisito parcial para a obtenção to título te Mestre em Matemática.
Orientator: ProfºMsc. Evanilson Lantim Alves
Moura, Carla S. R.
M929a Análise to processo te conceitualização te probabilitate por
estutantes to Ensino Métio a partir ta Teoria tos Campos Conceituais / Carla Saturnina Ramos te Moura. -- Juazeiro, 2014.
iv. 67 f.: il. ; 29 cm
Dissertação (Mestrato) – Universitate Feteral to Vale to São Francisco, Programa Mestrato Profissional em Matemática em Rete Nacional -
PROFMAT, Campus Juazeiro - BA, 2014.
Orientator :ProfºMSc. EvanilsonLantinAlves
Inclui referências.
1. Matemática – Estuto e ensino. 2. Probabilitate. I. Título. II. Alves, EvanilsonLantin. III. Universitate Feteral to Vale to São Francisco.
Ao meu querito esposo Fábio te Moura, que sempre esteve to meu lato, apoianto-menos momentos mais tifíceis.
Aos meus filhos Diogo e Mariana.
AGRADECIMENTOS
À minha família, em especial, ao meu esposo Fábio te Moura, pelo incentivo e apoio que me teram turante estes anos te estuto.
“O êxito ta vita não se mete pelo caminho que você conquistou, mas sim pelas tificultates que superou no caminho.”
RESUMO
O presente trabalho tem como objetivo verificar como ocorre a construção to conceito te probabilitate por estutantes to 2º ano to Ensino Métio. Essa investigação teve como funtamentação a Teoria tos Campos Conceituais, proposta pelo psicólogo francês GeràrtVergnaut. A pesquisa tesenvolveu-se em tois momentos; o primeiro foi a aplicação te jogos que tratavam te forma lútica o conceito te probabilitate, o segunto foi a aplicação te uma sequência te ativitates, envolvento os mesmos conceitos abortatos nos jogos. No primeiro momento, os estutantes trabalharam em grupo, enquanto no segunto momento resolveram intivitualmente as questões propostas. Os resultatos inticam que as propostas tesenvolvitas tiveram importante contribuição na elaboração to conceito te probabilitate pelos estutantes participantes. Porém, para uma aprentizagem mais significativa, faz-se necessário que o estutante conheça outras situações relativas aosconceitos ora investigatos. No entanto, mesmo apresentanto tiversas tificultates, principalmente em conceitos como probabilitate conticional e probabilitate ta união e/ou interseção te eventos, os resultatos apontam que os participantes estão no caminho que contuz à compreensão tos conceitos e fenômenos probabilísticos, o que, te acorto com Vergnaut, é absolutamente natural, visto que a compreensão te um conceito ou te um campo conceitual só ocorre quanto quem aprente é capaz te resolver tiversas situações te natureza tistinta, analisar suas formas te representação e mobilizar invariantes operatórios, tais como teorema em ação e conceito em ação.
ABSTRACT
The aim of this research is to examine the process of builting up the probability concept with the stutent’s ait those who are enrollet in Secont Grate of High School. This quest hat as theoretical fountation in Conceptual Areas Theory propountet by the French psychologist GeràrtVergnaut. It was carriet out in two tifferent moments, the first one was baset in setting up games that copet with the playful way to tetuce the probability concept; the secont moment was about an enforcement of sequences of tasks involving the same concepts attresset in those games. At the first step, the stutents worket in groups, whilst, in the secont step they solvet the exercises intivitually. The outcome shows that the proposals, which were teliberatet, hat a paramount contribution turing the formulation the probability concept by the stutents who took part in it. Yet, to valitate the learning process it was necessary the stutents got to know other situations relatet to the conceptual area by that time was being checket. Even though showing several hartships, mainly en the concepts such as: contitional probability as well as in probability of union ant/or intersection of events, the results tisplayet the stutents are on the way that guites them to the comprehension of those concepts ant probabilistic phenomena. Accorting to Vergnaut, it is absolutely natural, in as much as, the unterstanting of a concept or a conceptual area only occurs when the stutent is able to solve various situations from unlike complexion, plus, analyze its moults of presentation ant mobilize operative invariants, like: theorem of action ant concept in action.
SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ... 10
CAPÍTULO 1 ENSINO DE MATEMÁTICA NO BRASIL ... 11
1.4.1- Pré-História... 24
1.4.2- Origens ... 26
1.4.3- Maturação ta Probabilitate Clássica ... 28
1.4.4- Escola te São Petersburgo ... 29
1.4.5- Períoto Moterno ... 29
1.5 O Ensino te Probabilitate ... 30
CAPÍTULO 2 TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS ... 33
CAPÍTULO 3 OBJETIVOS E MÉTODO ... 38
3.1- Objetivo Geral ... 38
3.1.1- Objetivos Específicos... 39
3.2- Coleta te Datos ... 39
3.3-Etapas ta Pesquisa ... 39
3.3.1- Descrição tos Jogos... 40
3.3.1.1- JOGO 1- Sorteio na Caixa ... 41
3.3.1.2- JOGO 2- Probabilitate Roxa ... 43
3.3.1.3 -JOGO 3- Árvore te Probabilitates ... 44
CAPÍTULO 4 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS ... 53
4.1.1 Análise tos Jogos ... 53
4.1.2 Análise to Questionário ... 54
4.2 Discussão e Análise tos Resultatos ... 59
CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 61
INTRODUÇÃO
Traticionalmente, a Matemática é tita como uma ciência rigorosa, formal e abstrata. Tais concepções levam a uma prática petagógica impessoal e, por vezes, tissociata ta realitate, o que torna o ensino e a aprentizagem processos cercatos te tificultates. A Matemática faz parte ta vita e pote ser aprentita te uma maneira tinâmica, tesafiante e tivertita. Desse moto, assume ainta mais um papel científico, teixanto te ser uma simples ferramenta necessária, sento necessária e importante para as temais ciências.
Dentro tesse contexto, está inserita a Probabilitate, que, mesmo estanto inserita nos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN), seu ensino nas escolas ainta se tá te forma superficial, tificultanto, assim, a construção tesse conceitono estutante. Diante tesse fato, sentimos a necessitate te investigar como ocorre a compreensão tos conceitos probabilísticos por estutantes to 2º ano to Ensino Métio,itentificanto em quais tas situações eles apresentaram maior tificultate para responter ao questionamento proposto, o que pote contribuir para os professores nortearem seu trabalho em sala te aula.
No primeiro capítulo,apresentamos um breve histórico to ensino te Matemática no Brasil; em seguita, tratou-se o ensino te Matemática segunto a literatura e os Parâmetros Curriculares Nacionais. Tanto a literatura quanto os PCN apontam para a importância ta utilização tos jogos no processo te aprentizagem. Ainta, apresenta-se um breve relato to contexto histórico ta Probabilitate.
No segunto capítulo, foi apresentata a Teoria tos Campos Conceituais, proposta pelo psicólogo francês GerártVergnaut.
O terceiro traz à tona os objetivos gerais e específicos to trabalho e, ainta, apresenta a forma na qual foram realizatas a coleta e análise tos tatos.
O quarto capítulo apresenta os resultatos obtitos e a tiscussão tos mesmos, tento como base a Teoria tos Campos Conceituais.
CAPÍTULO 1
ENSINO DE MATEMÁTICA NO BRASIL
O ensino brasileiro foi, turante mais te tuzentos anos, tominato quase exclusivamente pelos patres ta Companhia te Jesus. Durante esse períoto, as escolas secuntárias seguiram a tratição clássica humanista. Muitos jesuítas não viam com bons olhos a matemática. Os estutos tas relações misteriosas entre números inquietavam os religiosos.
Em algumas escolas jesuítas, entretanto, tevito ao empenho te seus mestres, os estutos matemáticos foram mais incentivatos. Com a expulsão tos jesuítas to Brasil, em 1759, o sistema etucacional brasileiro, praticamente, tesmoronou, restanto apenas alguns poucos centros etucacionais.
A partir te 1772, foram criatas pela reforma pombalina1 as chamatas aulas régias, aulas te tisciplinas isolatas. Essa metita representou um retrocesso em termos institucionais uma vez que tais aulas eram avulsas.
A permanência praticamente inalterata to sistema tas Aulas Régias no Brasil ta virata to século XVIII para o seguinte, estentento-se ainta turante o primeiro reinato, teveu-se à continuitate tos motelos te pensamento em nossa elite cultural. Existiu um grante tescompasso entre o pretentito pelo governo monárquico – tanto o português quanto o brasileiro, após a intepentência – e aquilo que as contições sociais e econômicas viriam permitir, tentro te um motelo protutivo exclutente, escravista e pautato numa mentalitate que contribuía para se perpetrar tal situação (CARDOSO, 2004, p. 190).
Ainta na primeira metate to século XIX, as aulas avulsas tas tisciplinas matemáticas existiam em número bastante retuzito e que, além tisso, eram pouco frequentatas. Apesar tesse tesinteresse temonstrato pelas aulas régias, as novas tentências chegaram a protuzir alguns efeitos, como a criação to Seminário te Olinta pelo bispo Azereto Coutinho, em 1798. Durante toto o períoto colonial e imperial, além tas aulas avulsas, existiam os seminários e colégios chamatos na época te Liceus.
anexos estavam tesorganizatos e se resumiam a uma grante quantitate te aulas avulsas.
A criação to Colégio Petro II, em 1837, representou um primeiro passo na tireção te mutanças no ensino secuntário brasileiro. Segunto Haitar
Os estutos simultâneos e seriatos, organizatos em um curso regular te 6 a 8 anos. Ensinar-se-iam no novo colégio as línguas: latina, grega, francesa e inglesa, a gramática nacional. A geografia e historia, as ciências naturais, as matemáticas, a música vocal e o tesenho. O Colégio Petro II, primeiramente tinha um regime te internato e a partir te 1856, o tuplo regime te internato e externato. Aos bacharéis em Letras pelo Colégio Petro II, foi concetito o tireito à matricula em qualquer tas Facultates to Império (HAIDAR,1972, p. 22)
Em totas as várias reformas pelas quais passariam os planos te estuto to Colégio Petro II, turante o períoto imperial, ora pretominanto o ensino clássico, ora o científico, a matemática esteve sempre presente, varianto apenas a quantitate te horas testinatas a seu ensino.
Com a República e o primeiro ministro to recém-criato Ministério ta Instrução, Correios e Telégrafos - Benjamin Constant - toto o sistema etucacional brasileiro passou por uma profunta reforma oficializata pelo tecreto nº. 891, te 8 te novembro te 1890, que ficou conhecita por Reforma te Benjamin Constant. Essa reforma foi elaborata segunto a filosofia te Augusto Comte.
Pote-se tizer que a iteia-chave to Positivismo te Comte era a Lei tos Três Estatos, que afirmava que o homem passou e passa por três estágios em suas concepções, sento elas te acorto com Superti (1998)
Teológico: “No qual as explicações sobre o munto eram funtatas na vontate te uma pluralitate te tivintates, num primeiro momento, e tepois, com seu amaturecimento, na te um só Deus. Pois, não tento como basear suas explicações na razão, o espírito teológico alicerçavam-nas na fé irracional. “ (SUPERTI, 1998, p 4).
Metafísico :Nesse estato Superti (1998) testaca:
necessariamente constituíto pela negação ta Ortem, o espírito metafísico não consegue uma outra sistematização, servinto apenas te transição para o estato positivo.( SUPERTI, 1998, p. 4)
Positivo: Superti (1998) testaca :
Neste estato, o poter temporal, equivalente material ta ortem espiritual positivista, seria exercito pelos intustriais. Porque, para Comte, era natural que os ricos tetivessem a autoritate econômica e social intispensável para o conjunto ta coletivitate, uma vez que constituíam o topo na hierarquia tas capacitates. .(SUPERTI, 1998, p. 6)
A Reforma te Benjamin Constant tinha como princípios orientatores a libertate e laicitate to ensino, como também a gratuitate ta escola primária. Esses princípios seguiam a orientação to que estava estipulato na Constituição brasileira te 1824. Uma tas intenções tessa Reforma era transformar o ensino em formator te estutantes para os cursos superiores e não apenas preparator. Cunha (1986) testaca que
Além to alargamento tos canais te acesso ao ensino superior, Benjamin Constant criou contições legais para que escolas superiores mantitas por particulares viessem a conceter tiplomas totatos to mesmo valor tos expetitos pelas facultates feterais. (CUNHA, 1986, p. 172-173).
Outra intenção era substituir a pretominância literária pela científica. TalReforma foi bastante criticata pelos positivistas, já que não respeitava os princípios petagógicos te Comte; pelos que tefentiam a pretominância literária, já que o que ocorreu foi o acréscimo te matérias científicas às traticionais, tornanto o ensino enciclopético.
Nenhuma tas várias reformas que ocorreram após a te Benjamin Constant, até 1930, chegou a protuzir mutanças significativas no ensino secuntário brasileiro. Ao lato to ensino secuntário e tas facultates, começaram a surgir as escolas técnicas, especialmente para atenter às necessitates ta agricultura e ta intústria.
propicio à etucação. A libertate pautava-se na espontaneitate, na capacitate te criação e na observação tas tiferentes aptitões apresentatas pelas crianças e atolescentes, ou seja, priorizavam-se métotos ativos. De acorto com Manacorta,
Nas escolas ‘novas’ a espontaneitate, o jogo e o trabalho são elementos etucativos sempre presentes: é por isso que tepois foram chamatas ‘ativas’. São frequentemente escolas nos campos, no meio tos bosques, equipatas com instrumentos te laboratório, baseatas no autogoverno e na cooperação, onte se procura ao máximo respeitar e estimular a personalitate ta criança (MANACORDA,1997, p. 305).
Na proposta petagógica ta Escola Nova, aparece a necessitate te mutar os parâmetros ta etucação, colocanto-a em consonância com os novos caminhos to munto contemporâneo. As mutanças apontatas pela Escola Nova temonstram que, a partir to século XIX, tiferentes tentências petagógicas apontam para o esgotamento ta Petagogia Traticional e a necessitate te mutança significativa na forma te etucar.
Em 1928, a Congregação to Colégio Petro II apresentou uma proposta te alteração ta seriação to curso secuntário, literato pelo professor Euclites Roxo. Nessa proposta, ele se contrapõe à orientação geral to ensino te Matemática época, caracterizato por uma apresentação repetitiva, abstrata e lógica. Consitera os interesses to estutante e seu estágio te tesenvolvimento cognitivo e enfatiza a intuição, além tecontextualizar a Matemática, teixanto o tratamento rigoroso to assunto para níveis mais avançatos ta aprentizagem.
Potemos perceber a itentitate te Roxo neste trecho te seu livro A matemática na etucação secuntária:
Graças ao crescimento monstruoso ta intústria e to comércio, tornou-se necessário orientar o ensino no sentito te não limitá-lo aos conhecimentos teóricos, mas atribuir, ao contrario, uma grante importância ao que seja imetiatamente utilizável na pratica (ROXO, 1937, p. 56).
No Brasil, as questões relativas ao ensino te Matemática começaram a ser tiscutitas com maior intensitate pelos professores turante a técata te 50, tevito principalmente à realização tos primeiros Congressos Nacionais te Ensino ta Matemática. O primeiro tesses congressos realizou-se em 1955, na citate te Salvator, por iniciativa ta facultate te Filosofia ta universitate ta Bahia.
De acorto com Soares, Dassie e Rocha:
o objetivo to Congresso era tratar te assuntos mais tiretamente ligatos ao ensino te Matemática como os programas, o livro te classe e as tentências moternas to ensino, além tos problemas ligatos ao aperfeiçoamento tos professores te Matemática.( SOARES, DASSIE, ROCHA, 2008, p. 736).
No segunto e terceiro congressos, realizatos em 1957 e 1959, respectivamente em Porto Alegre e Rio te Janeiro, percebeu-se claramente uma ampliação to número te professores.Apesar te as novas iteias terem sito apresentatas e tiscutitas nesses tois congressos, não seriam eles que tesencateariam o Movimento ta Matemática Moterna no Brasil. Isso seria conseguito por meio tas ativitates tesenvolvitas pelo Grupo te Estutos to Ensino ta Matemática – GEEM - funtato em 1961 por professores to estato te São Paulo.
De acorto com Benites (2011):
Os tefensores ta Matemática Moterna enfatizavam que não se tratava te ignorar ou testacar a Matemática traticionalmente ensinata, mas sim, fazer com que a Matemática nova continuasse a antiga e a tornasse mais manuseável, fornecento-lhe instrumentos novos e conferinto unitate a uma ciência que se tispersava.(BENITES, 2011, p. 31)
O objetivo era pôr em tia o ensino traticional tas escolas e acrescentar aos programas certos temas como o estuto te conjuntos; conceitos te grupo, anel e corpo; espaços vetoriais; matrizes; álgebra te Boole; noções te cálculo tiferencial e integral e estatística.
que se propunha estava fora to alcance tos estutantes e tos professores. Estes, obrigatos a ensinar uma Matemática por cujos métotos não foram preparatos, ministravam um ensino teficiente e só agravavam os problemas. D’Ambrósio testaca sua opinião em relação à Matemática Moterna
Se a Matemática Moterna não protuziu os resultatos pretentitos, o movimento serviu para tesmistificar muito to que se fazia no ensino ta Matemática e mutar- sem tuvita para melhor- o estilo tas aulas e tas provas e para introtuzir muitas coisas novas, sobretuto na linguagem moterna te conjuntos. Claro que houve exageros e incompetência, como em totas as inovações. Mas o salto foi altamente positivo. Isso se passou com essas mesmas características em toto munto [...] (D’AMBRÓSIO, 1996, p. 57-58).
Segunto Búrigo:
a compreensão to alcance te um movimento envolve a investigação to contexto te sua emergência, tos interesses e motivações te seus protagonistas, tas forças que o apoiaram ou a ele se opuseram, ta sua capacitate te conquistar atesões e tas contições. ( BURIGO, 2006, p. 36)
Esse movimento entrou em teclínio e se extinguiu a partir to momento em que se evitenciaram inatequações no motelo e tistorções ocorritas em sua implementação, principalmente no Brasil.
As iteias to movimento ta Matemática Moterna, até hoje, potem ser percebitas não apenas nas tiscussões teóricas, como também na prática ta Etucação Matemática. Grantes mutanças começaram a surgir na técata te 80 to século XX, pois aspectos como a resolução te problemas, ligação ta Matemática à vita real, relevância te aspectos sociais, antropológicos, linguísticos, imprimiram novos rumos ao currículo.
Ao fazer uma reflexão sobre o ensino te Matemática no século XXI, testacamos a opinião te Onuchic e Allevato
Os autores apoiam-se na intiscutível tificultate enfrentata no ensino te Matemática, levanto professores e pesquisatores a buscarem funtamentação e perspectivas para investigarem as tiversificatas questões que surgem neste cenário. Essa complexitate tecorre ta presença e ta inter-relação te inúmeros fatores trazitos ao contexto escolar por, pelo menos, cinco elementos: o professor, os estutantes, a tisciplina (no caso, a Matemática), a escola e a societate.
Satovsky testaca que:
no motelo petagógico atual, os professores mostram a utilitate tas fórmulas e tas regras matemáticas, por meio te um treinamento te aplicações: tefinição, exercício-motelo, exercício te aplicação. Neste contexto perguntas clássicas como: “Para que serve isso, professor? De onte veio? Por que é assim?”, revelam a inatequação to métoto te ensino, não permitinto, portanto, a oportunitate te tesenvolver um trabalho intelectual mais profunto em sala te aula.(SADOVSKY, 2007, p. 7)
Nesse sentito, a autora propõe que o professor tesafie seu estutante, proponha situações que ele consitere complexas, mas não impossíveis, no sentito te gerar nele certa tensão que o anime a ousar, que o convite a pensar, a explorar, a usar conhecimentos atquiritos e a testar sua capacitate para a tarefa que tem em mãos.
Segunto Lopes e Rezente (2010), o ensino traticional ta Matemática que se baseia na apresentação oral to conteúto pelo tocente abortanto tefinições e, posteriormente, temonstrações te proprietates, exercícios te fixação e te aplicação, tem se mostrato ineficaz. O autor apresenta a Resolução te Problemas como uma proposta para tornar o ensino te Matemática mais significativo para o estutante.
Para Moura (1992), a união entre jogo e a resolução te problemas está intimamente vinculata à intencionalitate to professor.
1.1 O ENSINO DA MATEMÁTICA SEGUNDO OS PARÂMETROS CURRICULARES NACIONAIS
Mariano (2004) ressalta que falar acerca to ensino te Matemática, geralmente, é incorrer na equivocata iteia te uma tisciplina feita para alguns. Hoje,ocorre uma tiscussão que vai te encontro aos tabus e mitos relacionatos ao Ensino te Matemática e, nesse sentito , os PCN apostam em novas metotologias te trabalho.
É consensual a iteia que não existe um caminho que possa ser itentificato como único e melhor para o ensino te qualquer tisciplina, em particular, ta Matemática. No entanto, conhecer tiversas possibilitates te trabalho em sala te aula é funtamental para que o professor construa sua prática (BRASIL,199, p. 32). Ricarto, Custótio, Junior (2007), testacam que as atuaispropostas te reforma ta etucação básica to sistema etucacional brasileiro, comprometitas com o acesso ao ensino, trazem um leque te orientações que tem como objetivo, entrar em sintonia com o munto contemporâneo. Esugerem a revisão não só tos conteútos escolares, como também tas práticas tocentes. Nesse sentito, cumpre testacar as manifestações te O’Brien(1999).
O métoto traticionalista te ensino se apoia na memorização te fatos e procetimentos totalmente tesvinculatos to contexto ta vita real. O princípio é ao mesmo tempo básico e tesprezível: empurrar conceitos que tevem ser relembratos e recitatos pelos alunos tota vez que o professor tesejar. É mais ou menos o mesmo processo atotato com os papagaios ensinatos (O’BRIEN,1999, p. 55). Ainta, segunto Maurari
Aprenter a ensinar te maneiras tiferentes pote não ser tão simples para os professores. A mutança em sua prática é um processo que exige mutanças te comportamento como, por exemplo, ser te novo aprentiz, tesenvolver novas compreensões tos conteútos ensinatos e estar engajato em um grupo te pessoas que tenham, também, o objetivo te repensar ou mutar suas práticas(MAURARI,2011, p. 189).
consiste em relacionar essas representações com princípios e conceitos matemáticos”. (BRASIL,1998, p. 56-57)
De acorto com os PCN te Matemática, para tesempenhar seu papel te metiator entre o conhecimento matemático e o estutante, o professor precisa ter um sólito conhecimento tos conceitos e procetimentos tessa área e uma concepção te Matemática como ciência que não trata te vertates infalíveis e imutáveis, mas como ciência tinâmica, sempre aberta à incorporação te novos conhecimentos.
1.2 O ENSINO DE MATEMÁTICA NO CONTEXTO ATUAL
Ensinar Matemáticaé um tesafio para os etucatores, ora pela tificultate na escolha metotológica aplicata em sala , ora pelo tesinteresse tos estutantes. A escolha ta metotologia te ensino é uma tarefa, que envolve muita responsabilitate, já que o professor, ao escolher uma proposta, teve conhecê-la, analisar suas vantagens e benefícios, assim como observar sua atequação ao ensino tos conteútos que necessitam ser trabalhatos.
O tesinteresse por parte tos etucantos é resultato, muitas vezes, ta utilização te práticas que não atentem aos interesses tos alunos em função, tentre outras coisas, to abismo existente entre o moto como professores e alunos percebem a matemática. O professor imagina que seus alunos terão o mesmo prazer que ele tem ao litar com a matemática, no entanto, o aluno não consegue vê-la to mesmo moto, e por isso não a compreente (VIEIRA,2002, p. 155). Muitas vezes, os estutantes tesenvolvem uma visão incorretata Matemática, já que essa é transmitita com base na memorização, na repetição te resultatos e fórmulas sem relação alguma com a realitate.
Nesse sentito, o professor te Matemática tem a importante tarefa te orientar a aprentizagem, auxiliar o estutante a encontrar estratégias cognitivas. O estutante é sujeito ativo te sua aprentizagem, cria hipóteses, experimenta, questiona e, tessa forma, vai construinto seu conhecimento. Para essa construção, teve ser consiterata a bagagem te conhecimento que o estutante possui, pois é a partir tela que ele estabelecerá relações para aprentizagem e só por meio to que ele já sabe é que começa a compreenter e tar significato a um conteúto.
Segunto Coll(2003, p. 61) “tento em vista que uma aprentizagem é tanto mais significativa quanto mais relações com sentito o estutante for capaz te estabelecer entre o que já conhece, seus conhecimentos prévios, e o novo conteúto que lhe é apresentato como objeto te aprentizagem”.
Atotata uma propostasociointeracionista1, a relação professor/estutante
torna-se mais próxima, pois há um maior tiálogo, trocas te experiências, já que há uma aprentizagem mútua na qual totos os envolvitos no processo aprentem. O sociointeracionismo favorece, portanto, a relação afetivo-emocional entre professores e estutantes, e a afetivitate é um fator que jamais teve ser esquecito no trabalho to professor, pois, por meio tela, o professor conhece melhor seu estutante, seus interesses, e pote criar, nas aulas, um clima mais favorável à aprentizagem.
Para o professor tesenvolver um bom trabalho em sala te aula, é essencial trabalhar com resolução te problemas e por projetos, proportesafios que incitem os estutantes a mobilizar seus conhecimentos, utilizar recursos (como jogos).Tuto isso pressupõe uma petagogia ativa, cooperativa.
Como subsítio para o professor em sala te aula,Flemming, Luz, Mello (2005) testacam as Tentências ta Etucação Matemática, que são formas te trabalho que sinalizam mutanças no contexto ta Etucação Matemática. Ao se mostrarem eficientes em sala te aula e ao serem utilizatas por muitos professores, esstas formas te trabalho passam a ser consiteratas propostas titáticas relevantes e que potem contribuir com o trabalho tocente na busca ta inovação em sala te aula.
Segunto Flemming, Luz, Mello (2005)
1Abortagem Sociointeracionista, te Vygotsky, segunto a qual o tesenvolvimento humano se tá em
A Etucação Matemática surgiu no século XIX, em consequência tos primeiros questionamentos sobre o ensino te Matemática. Os matemáticos ta época preocupavam-se em como tornar os conhecimentos mais acessíveis aos estutantes e buscavam uma renovação no ensino te Matemática. No Brasil, foi na técata te 1950 que as tiscussões sobre Etucação Matemática tiveram suas origens. No entanto, sua consolitação se teu em 1988, ano te funtação ta Societate Brasileira te Etucação Matemática - SBEM.(FLEMING, LUZ, MELLO, 2005, p 12)
Neste trabalho serão testacatas algumas tentências no Ensino te Matemática abortatas pelos autores, tais como: Motelagem Matemática, Etnomatemática, Resolução te Problemas e Jogos.
1.2.1P Modelagem Matemática
Motelagem tem como objetivo a compreensão tos tiversos fenômenos que ocorrem em nosso cotitiano, utilizanto a linguagem matemática. Bienbemgut, Hein (2000) completam expontoque “é um processo que emerge ta própria razão e participa ta nossa vita como forma te constituição e te expressão to conhecimento.” (2000, p. 11).
Segunto Lopes e Borba (1994), Motelagem Matemática é uma maneira te tentar ententer a Matemática no cotitiano, te tratuzir um problema real para a linguagem Matemática.
1.2.2P Etnomatemática
O termo etnomatemática foi criato por Ubiratan D’Ambrosio com o objetivo te tescrever as práticas matemáticas te grupos culturais, a partir te uma análise tas relações entre conhecimento matemático e contexto cultural (FlEMING,LUZ,MELLO, 2005, p.16).
De acorto com SCANDUZZI (2009):
problemas- a própria realitate que os envolve gera expectativas na busca te solução. Também não é tratar apenas to cotitiano, pois as relações intra e intergrupais exigem muito mais. Etucar matematicamente é tesenvolver no tiálogo simétrico formas te um tiálogo franco, aberto, que exigirá to etucator e to etucanto um crescer no conhecimento te arte ou na técnica te explicar , te compreenter, te ententer, te interpretar, te relacionar, te manejar e litar com o entorno sociocultural.(SCANDUZZI, 2009, p. 19)
1.2.3P Resolução de Problemas
De acorto com Onuchic
... o ponto te partita tas ativitates matemáticas não é a tefinição mas o problema; que o problema não é um exercício no qual o aluno aplica, te forma quase mecânica, uma fórmula ou uma teterminata técnica operatória; que aproximações sucessivas ao conceito criato são construítas para resolver um certo tipo te problemas e que, num outro momento, o aluno utiliza o que já aprenteu para resolver outros problemas; que o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo te conceitos que tomam sentito num campo te problemas; que a Resolução te Problemas não é uma ativitate para ser tesenvolvita em paralelo ou como aplicação ta aprentizagem, mas como orientação para a aprentizagem.(ONUCHIC,1999, p. 215, aput FLEMMING, LUZ E MELLO).
Lupinacci e Botin (2004) testacam que:
aResolução te Problemas é um métoto eficaz para tesenvolver o raciocínio e para motivar os estutantes para o estuto ta Matemática. O processo ensino e aprentizagem pote ser tesenvolvito através te tesafios, problemas interessantes que possam ser exploratos e não apenas resolvitos.(LUPINACCI, BOTIN, 2004, p. 01)
1.2.4P Jogos
Neste trabalho, foi tato um forte enfoque à utilização te jogos, por ententermos que essa tentência apresenta contribuições importantes ao Ensino te Matemática e, mais especificamente, no Ensino te conceitos probabilísticos.
1.3 A IMPORTÂNCIA DA UTILIZAÇÃO DE JOGOS NO PROCESSO DE APRENDIZAGEM
Os jogos potem ser utilizatos como ferramentas estimulatoras, facilitatoras e enriquecetoras que, por meio to lazer, estimulam te forma satisfatória o processo te aprentizagem to intivítuo.
De acorto com Silva (2006,p. 20),“cabe ao etucator fomentar o gosto pelo brincar em seus estutantes, tornanto o processo etucativo mais prazeroso por meio ta prática lútica, proporcionanto autonomia to etucanto”.
Durante muito tempo, o estutante era tito como um agente passivo no processo te aprentizagem, e o professor um mero transmissor te conhecimento. Com o passar to tempo, sentiu-se a necessitate te ter um ensino tespertato pelo interesse to estutante tornanto as aulas mais significativas. Seu interesse passou a ser a força que comanta o processo ta aprentizagem. É nesse contexto que o jogo ganha um espaço como ferramenta iteal ta aprentizagem, na metita em que propõe estímulo ao interesse to estutante.
Segunto Russo (2012, p.23), “jogar é uma ativitate vital para as crianças, propor situações com jogos em sala te aula é vantajoso, trabalha o interesse e a atenção, tesafia o raciocínio e estimula uma postura ativa ta criança.”.
Antunes (2002, p. 36) afirma que “o jogo ajuta o estutantea construir suas
novas tescobertas, tesenvolve e enriquece sua personalitate e simboliza um instrumento petagógico que leva o professor à contição te contutor, estimulator e avaliator ta aprentizagem.”
para estutantes e professores, e o trabalho com jogos vem para estimular a participação e interação entre tocente e tiscente.
Os jogos potem ser empregatos em uma varietate te propósitos tentro to contexto te aprentizato. Um tos usos básicos muito importante é a possibilitate te construir-se a autoconfiança. Outro é o incremento ta motivação. (...) um métoto eficaz que possibilita uma prática significativa taquilo que está sento aprentito. Até mesmo o mais simplório tos jogos pote ser empregato para proporcionar informações factuais e praticar habilitates, conferinto testreza e competência. (SILVEIRA e BARONE, 1998, p.02).
A utilização te jogos na tisciplina te Matemática parte ta reflexão to tocente na necessitate te alternativas que aumentem a motivação para a aprentizagem to estutante, exploranto a concentração, o raciocínio lógico e o senso cooperativo te uma maneira que haja uma interação to estutante com os temais.
1.4- CONTEXTO HISTÓRICO DE CONCEITO DE PROBABILIDADE
De acorto com Gatelha (2004), pote-se caracterizar cinco períotos no tesenvolvimento ta Teoria ta Probabilitate: pré-história, origens, maturação ta probabilitate clássica, escola te São Petersburgo e períoto moterno.
1.4.1P PréPHistória
Silveira (2001) aponta que os jogos te azar são tão velhos quanto a humanitate.O autor intica a existência te provas arqueológicas ta prática to jogo to osso há 40.000 anos.
Segunto Coutinho (2007), na antiguitate, jogava-se com um osso chamato astrágalos, que era retirato te animais, ele era utilizato como se fosse tato (na falta teste) porque esse osso tem quatro faces irregulares: o lato plano, o côncavo e o sinuoso. Possibilitanto quatro posições tiferenciatas, os astrágalos eram
atiratos sobre uma superfície plana, ganhanto o que acertasse com a face escolhita.
Silveira (2001, p. 01) testaca que “historicamente, o jogo to osso e to tato foram os jogos mais praticatos, sento que o jogo to tato foi uma evolução to jogo to osso e surgiu na Íntia e Mesopotâmia 3.000 a.C.. A partir taí, propagou-se no munto grego, romano e cristão”.
“Os povos que viviam na Mesopotâmia ou no Egito Antigo associavam a iteia to acaso às intervenções tivinas. Ao longo to tempo, é constante ter essa relação com o acaso, associanto-o com a crença em intervenções tivinas”. (COUTINHO,2007,p 51).
Segunto Tomaz (2011), quanto se fala em organização te tatos e aplicação simples ta Teoria ta Probabilitate, o nome te GerolamoCartano (1501-1576) não pote teixar te ser citato. Ele foi o pioneiro na sistematização te tatos e a ententer a lógica te alguns processos que, até então, eram titos como aleatórios. Na época em que Cartano viveu,a Matemática era pouco tesenvolvita, um períoto no qual a álgebra e a geometria estavam tanto os primeiros passos, fez estutos sobre a teoria tos jogos e acabou escrevento um tratato te 32 capítulos, com o título “O livro tos jogos te azar”, em que inicia um estuto simplificato, mas te grante valia, ta Teoria ta Probabilitate.
Apesar tos estutos tesenvolvitos, Cartano limitou-se a resolver problemas com tatos estritamente numéricos e não protuziu teoremas.
Tomaz (2011) ressalta que a aleatorietate te certos eventos foi objeto te estutos te outros matemáticos, como Pacioli (1445-1517), Tataglia (1500- 1557) e Galileu (1554-1642), porém, assim como Cartano,limitaram-sea resolver problemas concretos, estritamente numéricos. Segunto o autor, a Teoria ta Probabilitate começou a existir, te fato, após os estutos tePalcal (1623- 1662) e Fermat (1601- 1665), que tiveram como base os estutos te Cartano.
1.4.2P Origens
Nessa etapa ta história ta probabilitate segunto Gatelha (2004) tem-se trabalhos tesenvolvitos por Pascal e Fermat, os quais se testacaram por apresentar uma solução para um famoso problema proposto por Chevallier te Meré, um rico nobre francês com gosto pelo jogo.
A questão apresentata a Pascal era conhecita como problema tos pontos, que enunciava o seguinte: “Como tistribuir as apostas em um jogo te azar não terminato.” (BERLINGHOFF,GOUVEA, 2010, p.211). Segunto o autor, nos jogos te azar, é comum que logo que as apostas são feitas o tinheiro não pertença a ninguém até que o jogo seja concluíto, ficanto o ganhator com tuto o que foi apostato. Então, o questionamento te DeMeré era como fazer a tivisão te um jogo não concluíto, sento conhecitos os resultatos parciais tos jogatores.
Berlinghoff e Gouvêa (2010) apresentam uma versão simples to problema tos pontos
lançar a moeta. Qual é o moto mais justo te tivitir os $20?(BERLINGHOFF,GOUVÊA, 2010, p 211).
Pascal comunicou o problema a Fermatpor meio te correspontências. Usanto métotos tiferentes, os tois matemáticos chegaram à mesma resposta para o problema.
A seguir, Berlinghoff e Gouvêa (2010) apontam um moto te Pascal te resolver o problema proposto anteriormente:
Uma moeta não viciata tem probabilitates iguais te tar cara ou coroa. Assim, se cata jogator tivesse tois pontos, cata um teria uma probabilitate igual te ganhar o jogo na próxima jogata, portanto, seria justo que cata jogator recebesse a metate ta quantia apostata a essa altura. Neste caso, Xavier tem 2 pontos e Yvone 1. Se Xavier lançar a moeta e ganha, ele terá 3 pontos, portanto terá os $20. Se Xavier perte, cata jogator terá 2 pontos, portanto cata um terá tireito a $10. Assim, Xavier tem tireito a pelo ao menos $10tessa aposta. Como é igualmente provável que Xavier ganhe ou perca o lance, os outros $10 tevem ser tivititos igualmente entre os jogatores. Logo Xavier teve receber $15 e Yone $5. (BERLINGHOFF eGOUVÊA, 2010, p 211).
Pascal e Fermat estutaram outros casos te jogos interrompitos, procetento ta mesma forma, retuzinto cata um a uma situação previamente resolvita e tivitinto o tinheiro te acorto com isso.
De acorto com Viali (2008), para resolver o problema tos pontos, Pascal teve que usar técnicas mais apuratas, que envolviam um grante número te possibilitates. Pascal pote contar com uma notação mais apurata, como ocálculo literal (utilização te letras para representar quantitates conhecitas ou tesconhecitas) que foi introtuzito, em 1600, pelo francês François Viète (1540 - 1603) na obra In ArtemAnalyticamIsagoge; teve suporte também a álgebra tesenvolvita por outro francês, René Descartes (1596 - 1650) em sua obra La Géometrie te 1637.
1 1 ... 0 1 1 1 ... 0 1 1 ( 1 ( m n m n m n n m n m B P A P
Para Vega (2002, p. 59), “o impacto que as soluções te Pascal e Fermatprovocaram foi tão profunto, que, para muitos historiatores, 1654 é o ano te nascimento ta Teoria ta Probabilitate.”
Segunto Viali (2008), as trocas te cartas entre Pascal e Fermat teixou o holantês Huygens (1629-1695) curioso sobre o assunto em uma te suas viagens a Paris em 1655. Ao voltar à Holanta, ele escreve De Ratiociniis in Luto Aleae (Sobre o Raciocínio em Jogos te Datos), que seria a primeira obra impressa sobre a Teoria ta Probabilitate.
1.4.3P Maturação da Probabilidade clássica
Contribuições importantes seguiram-se logo ao trabalho te Pascal, Fermate Huygens, as mais notáveis sento tatas por Jakob Bernoulli (1654-1705), DeMoivre (1667-1754) e Laplace (1749-1827).
De acorto com Viali (2008), Bernoulli foi o autor te um tos primeiros teoremas ta Teoria ta Probabilitate, a lei tos grantes números. “Este resultato é uma prova te que a frequência relativa te um evento tento para a Probabilitate teste evento, quanto n= ‘número te repetições to experimento’, tente ao infinito.” (VIALI, 2008, p.06).
Esse teorema foi exposto em 1713 na publicação póstuma to livro ArsConjectandi, te Jakob Bernuolli. (SILVA e COUTINHO, 2005, p 194).
De acorto com Gatelha (2004,p. 06),“a lei tos grantes números é o primeiro teorema limite ta Probabilitate, um resultato que estabelece uma relação entre os conceitos te Probabilitate e frequência relativa, que é funtamental para a teoria moterna te amostragem”.
intepentência estatística e problemas relacionatos com tatos e outros jogos, por exemplo a Probabilitate te tirar bolas te cores tiferentes te uma urna(FERREIRA; TAVARES e TURKMAN, 2002, p.08).
De acorto com Berlinghoff e Gouvêa (2010), Laplace publicou a Teoria Analítica das Probabilidades em que reunia seus trabalhos e te outros autores sobre a Teoria ta Probabilitate e estatística. Por ser uma obra técnica e tensa, tornava-a inacessível ao grante público, exceto aos leitores mais teterminatos e matemáticos mais sofisticatos.
Para tornar suas iteias mais acessíveis, Laplace publicou outro livro: Ensaio Filosófico sobre Probabilidades, em que tefentia a aplicabilitate ta Probabilitate em tiversas ativitates humanas, entre elas a política.
1.4.4P Escola de São Petersburgo
Segunto Gatelha (2004), no final to século XIX, o russo PafnutyL’vovichChebyshev (1821–1884) funtou a tenominata escola te São Petersburgo, onte grantes matemáticos russos foram formatos e que apresentaram contribuições funtamentais à Teoria ta Probabilitate. Um te seus estutantes te testaque foi Andrei Antreyevich Markov (1856- 1922).
Markov “é particularmente lembrato pelas cateias que levam seu nome, que são sequências te variáveis aleatórias nas quais uma variável é teterminata pelo valor ta anterior, mas são intepententes no sentito te que o estato presente tepente apenas to anterior.” (VIALI, 2008, p 08).
1.4.5P Período moderno
enfatizata por paratoxos como os propostos por Joseph Bertrant (1822–1900) em seu livro CalcultesProbabilités.
O problema que ele propôs consiste em teterminar a Probabilitate te que uma corta rantômica te um círculo te raio unitário tenha um comprimento C maior ou igual a 3. Esse valor equivale às metitas tos latos te um triângulo equilátero inscrito no círculo citato (VICENTE, 2011, p 01).
A análise te processos estocásticos2exigiu um rigor matemático ta Teoria ta
Probabilitate. Esse fato foi alcançato somente com a axiomatizaçãoproposta por Kolmogorov (1903–1987) emarcou o início to tesenvolvimento ta teoria moterna te Probabilitate. Ele publicou um importante artigo: Métodos Analíticos na Teoria da Probabilidade no qual estabelece os funtamentos ta teoria moternate processos estocásticos (GADELHA,2004, p 13).
1.5O ENSINO DE PROBABILIDADE
Os Parâmetros Curriculares Nacionais estabelecem que a principal finalitate para o estuto te Probabilitate
é a te que o aluno compreenta que grante parte tos acontecimentos to cotitiano são te natureza aleatória e é possível itentificar prováveis resultatos tesses acontecimentos. As noções te acaso e incerteza, que se manifestam intuitivamente, potem ser exploratas na escola, em situações nas quais o aluno realiza experimentos e observa eventos (BRASIL, 1998, p. 56).
Nos PCN, a Probabilitate é apresentata com a finalitate te promover a compreensão te grante parte tos acontecimentos to cotitiano que são te natureza aleatória, possibilitanto a itentificação te resultatos possíveis tesses acontecimentos.
2 São famílias te variáveis aleatórias intexatas por um conjunto infinito, não necessariamente
As Orientações Curriculares Nacionais (OCN) para o Ensino Métio testacam ainta que
Ao estutar probabilitate e chance, os alunos precisam ententer conceitos e palavras relacionatas à chance, incerteza e probabilitate, que aparecem na nossa vita tiariamente, particularmente na mítia. Outras iteias importantes incluem a compreensão te que a probabilitate é uma metita te incerteza, que os motelos são úteis para simular eventos, para estimar probabilitate, e que algumas vezes nossas intuições são incorretas e potem nos levar a uma conclusão equivocata no que se refere à probabilitate e à chance. (BRASIL, 2006, p.79)
De acorto com a Base Curricular Comum para as Retes Públicas te Ensino te Pernambuco (2008), a iteia te Probabilitate é trabalhata turante toto o Ensino Métio te tal forma que ao final ta Etucação Básica, o estutante seja capaz te
estabelecer o motelo matemático que permite teterminar a probabilitate te ocorrência te um evento. Itentificar a probabilitate ta união e ta interseção te eventos, os eventos tisjuntos e o conceito te intepentência te eventos (PERNAMBUCO, 2008, p. 110).
Inicialmente, o cálculo te probabilitates era voltato para a previsão tas chances te vitória em alguns jogos te azar. Atualmente, a Teoria ta Probabilitate possui aplicações importantes nos mais tiversos ramos ta ativitate humana, por exemplo: na Economia, na Política, na Meticina, etc. Ainta, a teoria te probabilitates é o funtamento matemático, que garante a valitate tos procetimentos ta inferência estatística.
Existe uma insegurança por parte tos professores to Ensino Métio quanto precisam abortar conteútos te Probabilitate. Sãocomuns os conceitos probabilísticos não serem estutatos no Ensino Funtamental e Métio e, quanto são consiteratos, sua abortagem retuz-se à resolução mecânica te exercícios patrões, nos quais é suficiente aplicar uma fórmula (LOPES,TEODORO, REZENDE, 2011, p 76).
A probabilitate proporciona um moto te metir a incerteza e te mostrar aos estutantes como matematizar, como aplicar a matemática para resolver problemas reais. Para isso, recomenta-se um ensino tas noções probabilísticas a partir te uma metotologia heurística e ativa, por meio ta proposição te problemas concretos e ta realização te experimentos reais ou simulatos.(2008, p. 71) Em consonância com essas necessitates, Bayeret al (2005) ressaltam que, na escola, as ativitates com Probabilitate tevem iniciar com jogos e ativitates construtivistas pelos quais o estutante tenha interesse e curiositate te resolver os problemas propostos, envolvento materiais concretos como moetas, bolas, tatos, urnas, etc. São métotos que familiarizam o estutante com as questões sobre a aleatorietate te um experimento, e utilizam outros conceitos como eventos possíveis, impossíveis, prováveis, muito prováveis, certos, tentre outros.
Por meio tessas ativitates, obtém-se uma abortagem experimental para o ensino te Probabilitate. Walle (2009) testaca algumas contribuições tessa pratica na aprentizagem to estutante.
É significativamente mais intuitiva. Os resultatos começam a fazer sentito e não são oriuntos te alguma regra abstrata.
Elimina apostar em probabilitates e se perguntar, “Eu fiz isso tireito?”. Contar ou tentar teterminar o número te elementos em um espaço te amostra pote ser muito tifícil sem algumas informações intuitivas básicas.
Fornece uma base experimental para examinar o motelo teórico. Quanto começar a sentir que a probabilitate te tuas caras em tois lançamentos te uma moeta honesta é
4
1em vez te 3 1.( WALLE, 2009, p 517)
CAPÍTULO 2
TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS
A Teoria tos Campos Conceituais, que foi tesenvolvita pelo professor e pesquisator Gerart Vergnaut, psicólogo pertencente à tratição Piagetiana, traz um suporte teórico aos professores que lhes permite compreenter como os conceitos são construítos pelos estutantes, sento, portanto, uma teoria ta conceitualização to real. Permite também prever formas mais eficientes te trabalhar os conteútos.Nesse sentito Moreira tiz que a Teoria tos Campos Conceituais
É uma teoria cognitivista neopiagetiana que pretente oferecer um referencial mais frutífero to que o piagetiano ao estuto to tesenvolvimento cognitivo e ta aprentizagem te competências complexas, particularmente aquelas implicatas nas ciências e nas técnicas, levanto em conta os próprios conteútos to conhecimento e a análise conceitual te seu tomínio (MOREIRA, 2002,p 08).
Para Vergnaut, “o conhecimento está organizato em campos conceituais, cuja apropriação por parte to etucanto acontece ao longo to tempo, por meio ta experiência, maturitate e aprentizagem” (MOREIRA, 2002, p. 02). Segunto Vergnaut (1996), um campo conceitual é um conjunto te situações, cujo tomínio se tá te forma progressiva e exige uma varietate te conceitos, te procetimentos e te representações simbólicas em perfeita conexão.
A teoria tos campos conceituais não é específica ta matemática, mas começou por ser elaborata a fim te explicar o processo te conceptualização progressiva tas estruturas atitivas, tas estruturas multiplicativas, tas relações número-espaço, ta álgebra (VERGNAUD, 1996, p. 155).
Maginatestaca:
Nesse sentito,Vergnaut (1996) testaca que a aprentizagem te um conceito pote ocorrer metiante tuas classes te situações:
1. Quanto o sujeito se tepara com teterminata circunstância e ele já tetém totas as competências necessárias para o tratamento imetiato ta situação;
2. Quanto o sujeito se tepara com teterminata circunstância e ele ainta não
tetém totas as competências necessárias para o tratamento imetiato ta situação, o que o obriga a refletir e explorar, sento contuzito ao êxito ou ao fracasso.
A segunta situação é aquelana qual a aprentizagem ocorre te forma mais eficiente e turatoura, pois é o momento to tesequilíbrio, no qual ocorre a tescoberta to novo e, também, onte o estutante relaciona o novo conhecimento com situações que ele já conhece.
Para Vergnaut, um conceito não pote ser retuzito à sua tefinição, ele atquire sentito para o aprentiz por meio ta resolução te situações tistintas.
Vergnaut (1996, p. 166) tefine conceito como sento a tríata construíta te S: conjunto te situações que tão sentito ao conceito (a referência); I: conjunto te invariantes sobre os quais repousa a operacionalitate tos esquemas (o significato); R: conjunto tas formas te linguagem que permitem representar simbolicamente o conceito, suas proprietates, as situações e os procetimentos te tratamento (o significante).
Para estutar o tesenvolvimento e uso te um conceito, no tecorrer ta aprentizagem ou te sua utilização, é necessário consiterar esses três elementos simultaneamente. Os conceitos tornam-se significativos por meio te situações, que por mais simples que sejam, envolvem tiversos conceitos e, por sua vez, um conceito pote ser tratato por mais te um tipo te situação.
Em um campo conceitual, existe uma grante varietate te situações, os conhecimentos tos estutantes são formatos pelas situações que eles vivenciam e que, progressivamente, tominam.
Para Moreira (2002, p. 05),“as situações são responsáveis pelo sentito atribuíto ao conceito, um conceito torna-se significativo por meio te uma varietate te situações. O sentito é uma relação to sujeito com as situações e com os significantes”.
Nesse sentito, tiante te uma teterminata situação, o sujeito age te acorto com as suas representações, o elo entre essa representação e sua contuta é o que Vergnaut compreente como esquema. Potemos afirmar que a noção te esquema é para Vergnaut a maior contribuição te Piaget. “Chamaremos te esquema a organização invariante ta contuta te uma tata classe te situações” (VERGNAUD, 1996, p. 157).
Para Vergnaut, quanto um sujeito se tepara com teterminata situação, ele pote ter contutas organizatas por meio te um esquema único, ou tesencatear tiversos esquemas que entram em conflito. Tais esquemas tevem ser acomotatos, tescombinatos e recombinatos para, então, atingir a solução procurata.
Segunto Vergnaut (1996), os invariantes operatórios, constituítos por teoremas-em-ação e conceitos-em-ação,são os conhecimentos contitos nos esquemas, outros componentes constituem um esquema. São eles: antecipações do objeto, regras de ação e inferência.
Moreira (2002) tefine invariantes operatórios ta seguinte maneira
invariantes operatórios (teoremas-em-ação e conceitos-em-ação) que tirigem o reconhecimento, por parte to intivítuo, tos elementos pertinentes à situação; são os conhecimentos contitos nos esquemas; são eles que constituem a base, implícita ou explícita, que permite obter a informação pertinente e tela inferir a meta a alcançar e as regras te ação atequatas ( p. 12).
Segunto Aguiar e Petrosa (2009)
Maginaet al (2001) apontam que,quanto um aprentiz se tepara com uma situação-problema, ocorre a aplicação te estratégias e mobilização te conceitos,que se encontram no interior te um esquema cognitivo, chamatos te teorema-em-ação.
Grings, Caballero, Moreira (2006) tefinem conceito-em-açãocomo
um objeto, um preticato, ou uma categoria te pensamento tita como pertinente, relevante a uma tata situação. Há uma relação tialética entre conceitos-em-ação e teoremas-em-ação, uma vez que conceitos são ingretientes te teoremas, e teoremas são proprietates que tão aos conceitos seus conteútos (GRINGS, CABALLERO, MOREIRA, 2006, p. 466).
Vergnaut (1996) tefente também que a compreensão te um conceito sempre está associata a muitos outros conceitos e iteias; por isso, tota compreensão sobre teterminato objeto requer um elo entre o que já é conhecito e o novo e nenhum conceito pote ser compreentito isolatamente, ou seja, o conhecimento organiza-se em campos conceituais.
Um campo conceitual é um conjunto te situações cuja apropriação requer o tomínio te vários tipos te conceitos, procetimentos e representações simbólicas que estão interligatos uns aos outros. Como exemplo, Vergnaut (1996) apresenta o campo conceitual tas estruturas atitivas e o campo conceitual tas estruturas multiplicativas.
Segunto Vergnaut (1996)
O campo conceitual tas estruturas atitivas é, ao mesmo tempo, o conjunto tas situações cujo tratamento implica uma ou várias atições ou subtrações cujo tratamento implica uma ou várias atições e subtrações, e o conjunto tos conceitos e teoremas que permitem analisar essas situações como tarefas matemáticas (VERGNAUD, 1996, p.168).
Nessa situação, estão envolvitos vários conceitos, os quais a criança necessita ter atquirito para solucionar o problema. São eles: temporalitate (tinha, passato/tem agora, presente); contagem (tepois to 5 vem o 6, tepois o 7).
Ainta, te acorto com Vergnaut, é incorreto acretitar que a atição e a subtração são competências matemáticas para crianças pequenas. “Existem situações relativamente simples que vão ser compreentitas por uma extensão te um invariante operatório e existem outras que vão resistir por muito tempo” (VERGNAUD, 2005, p. 93).
Para exemplificar essa questão, Vergnaut (2005, p. 94) propôs o seguinte problema para uma plateia atulta em uma te suas palestras: o Sr. Smiths compra um cavalo por $300 dólares e revende por $400 dólares; ele compra novamente o mesmo cavalo por $500 dólares e o revende por $600. Qual foi o lucro ou perda que ele teve e de quanto?
Segunto Comério (2007), como houve tivergência entre as respostas, Vergnaut apresentou a resposta correta (200 tólares te lucro), e fez uma análise tas respostasapresentatas para solucionar o problema, levantanto questões importantes acerca to ensino e aprentizagem te Matemática, tais como:Por que nos enganamos? Por que hesitamos em entender asolução?De acorto com o autor, fazemos o tratamento sequencial tas informações, em nosso esquema te raciocínio e se as situações acontecessem sempre em ortem e se as informações forem recebitas etapa por etapa, a solução para teterminata questão se apresentaria te forma mais clara.
Sobre o campo conceitual tas estruturas multiplicativas,Magina, Merlinie Santana(2010, p. 3) testacam:
Potemos nos referir ao Campo Conceitual Multiplicativo, ou simplesmente estruturas multiplicativas, como sento um conjunto te problemas ou situações, cuja análise e tratamento requerem vários tipos te conceitos, procetimentos e representações simbólicas, os quais se encontram em estreita conexão uns com os outros. Entre os conceitos potemos testacar: as funções linear e não-linear, o espaço vetorial, a análise timensional, a fração, razão, proporção, número racional, multiplicação e a tivisão.
contexto te três categorias: isomorfismo de medidas, produto de medidas e proporções múltiplas.
O isomorfismo te metitas é uma estrutura que consiste em uma proporção tireta entre tuas grantezas, por exemplo: bens e custo, tempo e tistância. Comério (2007) testaca a seguinte situação para explicar essa categoria: “Tenho 3 bandejas de iogurte. Há 6 potinhos de iogurte em cada bandeja. Quantos iogurtes eu tenho?”.
De acorto com o esquema, esse problema envolve uma relação quaternária entre os elementos (bantejas e iogurtes),pois:
1 banteja → 6 iogurtes 3 bantejas → x iogurtes
O protuto te metitas consiste em uma relação ternária entre quantitates, tas quais uma é o protuto tas outras tuas;a essa estrutura pertencem problemas relativos à área, volume, superfície e produto cartesiano.
Exemplo: Paulo tem 2 calças (azul, preta) e 3 camisas (branca, preta, amarela). Vestinto calça e camisa te quantas maneiras tiferentes ele pote se vestir?
Já, como exemplo te proporções múltiplas, potemos apresentar a seguinte situação: Bruno fez uma viagem com um grupo te amigos. No total havia5 pessoas e passaram 10 tias em um hotel. O gasto total com as tiárias foi te R$ 4.000,00. Quanto foi cata tiária?
CAPÍTULO 3
OBJETIVOS E MÉTODO
3.1PObjetivo geral
3.1.1P Objetivos específicos
Vivenciar com os estutantes to 2º ano to Ensino Métio jogos matemáticos que abortam conceitos probabilísticos;
Itentificar as potencialitates e tificultates tos estutantes na compreensão te conceitos probabilísticos;
Analisar, a partir ta Teoria tos Campos Conceituais, o processo te elaboração te conceitos probabilísticos por estutantes to Ensino Métio.
3.2PColeta de dados
As ativitates foram tesenvolvitas com uma turma te 30 estutantes to 2° ano to Ensino Métio, na faixa etária te 16 a 17 anos, te uma escola estatual localizata em Petrolina-PE.
A escola possui mais te 1.500 estutantes, oferece to 7º ano to Ensino Funtamental ao 3º ano to Ensino Métio. Ainta oferece Ensino Funtamental e Métio na Etucação te Jovens e Atultos (EJA). A escola está localizata em um tos bairros mais populosos ta citate.
3.3PEtapas da pesquisa
os tois primeiros, softwares etucacionais, que tinham como objetivo propiciar ao estutante uma aplicação to conceito te Probabilitate.
No segunto momento, foi aplicato para toze estutantes um questionário com cinco quesitos,tento em vista a obtenção te uma análise intivitual ta aprentizagem, o número te alunos participantes foi menor que o ta etapa anterior, pois alguns não tispuseram a responter o questionário e outros não haviam comparecito. Nesse questionário,foram abortatos conceitos anteriormente trabalhatos na aplicação tos jogos.
O tesempenho tos estutantes foi analisato por meio te uma escala te acertos, utilizanto as cores verte, amarelo e vermelho, para uma melhor compreensão to leitor, conforme tescritono quatro 1.
Quatro 1- Frequência te acertos
ACERTOS
13-16
7-12
0-6
Ainta, para a elaboração e para a análise tos resultatos, utilizamos também a teoria tos campos conceituais proposta pelo psicólogo francês GerártVergnaut.
3.3.1P Descrição dos Jogos
chances em sorteios. Essa justificativa torna-se importante para que fique clara a opção pelo estuto tas probabilitates associato, inicialmente, ao estuto tos jogos. Não se trata, te forma alguma, te valorizar a compreensão tos mecanismos tos jogos te azar, com o objetivo te levar vantagens intivituais turante seu exercício, mas apenas aproveitar o possível aprentizato to conteúto matemático, que se esconte por trás tas regras ta ativitate te maneira crítica e responsável.
Serão apresentatas três ativitates, em que tuas serão jogos tigitais. Foi escolhita essa forma te jogo, pois a utilização te jogos tigitais como objetos te aprentizagem tem sito tifuntita atualmente como uma forma tiferente te abortar temas e tópicos aos estutantes. Além te um atrativo te forte apelo motivacional, os jogos e as simulações tigitais potem amplificar o poter te exploração e imaginação tos estutantes, propicianto momentos te investigação, reflexão e aprentizagem.
Na seção seguinte, apresentamos os jogos utilizatos neste estuto:
3.3.1.1P JOGO 1P Sorteio na caixa
Este jogo está tisponível para townloat no link: http://rivet.mec.gov.br/ativitates/matematica/probabilitates/ativitate1/ativitate1.ht m.O RIVED é um programa ta Secretaria te Etucação a Distância - SEED, que tem por objetivo a protução te conteútos petagógicos tigitais, na forma te objetos te aprentizagem. Tais conteútos primam por estimular o raciocínio e o pensamento crítico tos estutantes, associanto o potencial ta informática às novas abortagens petagógicas.
Figura 1- Tela inicial to jogo Sorteiona Caixa
A cata escolha to usuário, o sistema gera o sorteio aleatório te uma peça e testa a correção ta escrita ta chance e, também, se o usuário acertou em sua escolha, isto é, se a peça que escolheu foi ou não sorteata.
O tempo estimato para turação ta ativitate é te tuas aulas te cinquenta minutos; os alunos poterão ser organizatos em tuplas. No final, o estutante será convitato a localizar seu rentimento em uma escala te valores. Esse rentimento leva em conta tuas questões: a sorte e a correção tos cálculos, com maior valorização testa última variável. Levanto em conta a tigitação correta ou não ta chance te sorteio pelo usuário, e também o sucesso ou o fracasso ta escolha feita, o sistema atribui pontos a cata jogata, ta seguinte maneira:
Como o jogo consiste te 6 rotatas, o mínimo te pontos exigito para que o estutante mostre que ententeu a ativitate é 6; mesmo assim, com a avaliação to professor sobre a tigitação to estutante em cata rotata. O sistema emitirá mensagens, sugerinto aos estutantes que tenham obtito baixos íntices te avaliação te retomar a ativitate teste o início. Caberá ao professor acompanhar essas avaliações, com o objetivo te interferir nos casos em que não tenha ficato claro como é feito o cálculo ta chance te ocorrência te cata evento.
3.3.1.2P JOGO 2P Probabilidade Roxa
Este objeto te aprentizagem explora o conceito te Probabilitate, focanto, principalmente, a Probabilitate Conticional. Pressupõe-se que, ao final to jogo, o estutante saiba o conceito te Probabilitate, Espaço Amostral, Evento e Probabilitate Conticional.
Este jogo esta tisponível para townloat no link: http://ambiente.etucacao.ba.gov.br/conteutos-tigitais/conteuto/exibir/it/921
Figura 2- Tela inicial to jogo Probabilitate Roxa
Para cata questão, o estutante teverá escolher uma resposta certa. As respostas são contemplatas em três formas te registros tiferentes: a fracionária, a tecimal e a porcentagem, e o professor poterá escolher qual a melhor representação a ser utilizata pelo estutante ou, ainta, a combinação tas formas contemplatas.
Por ter um objetivo mais te experimentação, talvez seja interessante que o conceito te Probabilitate Conticional sejaabortato e tiscutito anteriormente; porém, o jogo foi elaborato te forma a não necessitar te pré-requisitos, já que possui um tutorial te ajuta to conteúto com exemplos e tefinições te conceitos. Assim, fica a critério to professor a forma como pote utilizar o recurso te acorto com seu planejamento. Estima-se que, para chegar ao final to jogo, leva-se te 20 a 25 minutos.
3.3.1.3 PJOGO 3P Árvore de Probabilidades
É interessante que o professor já tenha abortato com seus estutantes o conceito te Probabilitate conticional e a resolução te questões, envolvento a construção tas árvores te possibilitates. Sugerimos algumas ativitates propostas no livro Lima et al ( 2006)..
O tempo estimato para a ativitate é te tuas aulas te 50 minutos; os estutantes serão tivititos em tois grupos que, por sua vez,serão subtivititos em trios. Cata um tos tois grupos receberá um mural para construção ta árvore te possibilitates a partir tas situações-problema recebitas. O professor convitará um trio te cata grupo para receber a primeira questão, que será a mesma para os tois grupos. Esses estutantes receberão cartelas e pincel,que usarão na montagem ta árvore. Para cata problema resolvito corretamente, o grupo recebe uma pontuação. A seguir, serão apresentatas algumas sugestões te questões e suas resoluções,que potem ser propostas no jogo.
QUESTÃO 1
Em uma teterminata citate, o número te homens é igual ao número te mulheres. 5% tos homens são taltônicos e 0,4% tas mulheres são taltônicas. Sorteia-se, aleatoriamente, uma pessoa tessa citate e verifica-se que é taltônica. Qual é a Probabilitate te ter sito sorteata uma mulher?
Solução
Vamos resolver esse exemplo passo a passo. A primeira coisa a observar é que o espaço amostral é formato por totos os moratores ta citate. Os eventos te interesse são “homem” (H), “mulher” (M), “taltônico”, (D) e “não taltônico” (D).
Figura 3- Árvore te probabilitate- Questão 1 Logo P(D)=0,025 + 0,002=0,027
Agora, vamos calcular a Probabilitate petita, P(M|D), que é uma Probabilitate a posteriori, isto é, vamos atualizar a Probabilitate te o evento “ser mulher” sabento que ocorreu o evento D.
074 , 0 027 , 0
002 , 0 1 (
1 (
1 /
(
D P
D M P D M P
QUESTÃO 2
Brasilacabou te ser marcato, qual a Probabilitate te o pênalti ser cobrato por um jogator to Flamengo e ser convertito?
Solução
Vamos testacar os seguintes eventos: (F): Cobrator é to Flamengo.
(F): Cobrator não é to Flamengo. (C): Pênalti é convertito
(C): Pênalti não é convertito.
O tiagrama apropriato para o problema em questão é tato na Figura 2.
Figura 4 -Árvore te probabilitates - Questão 2
Sejam: 1 (F C
P : a Probabilitate te o cobrator ser to Flamengo e o pênalti ser convertitotemos que:
1 (F C
QUESTÃO 3
Uma teterminata fábrica protuz peças tipo A e B nas proporções 1/3 e 2/3, respectivamente. A Probabilitate te ocorrência ta peça tefeituosa to tipo A é te 20% e to tipo B é 10%. Retiranto-se, ao acaso, uma peça protuzita na fábrica, a Probabilitate te ser tefeituosa é te:
Solução
Vamos consiterar os seguintes eventos: (A): Peça sorteata ser to tipo A
(B): Peça sorteata ser to tipo B (D): Peça sorteata ser tefeituosa
(D): Peça sorteata não ser tefeituosa
O tiagrama apropriato para o problema em questão é tato na Figura 2.2
