Esquema de classificação para teorias estatítiscas com simetrias não usuais

(1)

1

tsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

li.

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

UNIVERSIDADE

DE SÃO PAULO

INSTITUTO

DEF!SICA

E QU!MICA

DE

SÃO CARLOS

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ESQUEMA

VE CLASSIFICACÃO

PARA

TEORIAS

ESTATJSTICAS

COM

SIMETRIAS

NÃO USUAIS

PJto6. VJt. fJtanc..Lóc.o Ca..6t.Llho Alc.aJtaz VepaJttamento de fZ.6.Lc.a

Un.LveJt.6.Ldade fedeJtalde são CaJtlo.6

Te.6e apJte.6entada ao ln.6t.Ltuto de

fZ.6.Lc.a e QuZm.Lc.a .de são CaJtlo.6, da Un.L

veJt.6~dade de são Paulo paJta o c.onc.uJt.6O

de L~vJte Voc.ênc.~a.

~ são CaJtlo.6, 1985

(2)

Ao

meu

g~ande amo~

Ã' minha ~audo~a lemb~anca

l.A.

Swiec.a

,

.

(3)

I

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA11

AGRADECIMENTOSzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Que~o ~eg~~~~a~ aqu~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAo meu p~06undo ag~adeQ~men~o

do~ que, de mane~~a d~~e~a ou ~nd~~e~a, Qolabo~a~am pa~a que ~~abalho pude~~e ~e~ ~eal~zado, e em pa~~~Qula~:

Ã Law~enQe JaQOb4 e Robe~~ Sav~~ que Qolabo~a~am d~~e~a

mente na elabo~acão da4 ~dê~a~ aqu~ ap~e4en~ada4.onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA a ~ o

e4~e

Ao~ Qolega~ J04ê Robe~~o V~ugow~Qh de FellQ~o, Roland

Kobe~le, Valê~~o Ku~ak e Edua~do Can~e~a Ma~~no pela4 d~4QU44Õe~ e am~zade que ~o~nam são Ca~l04 um lOQal ag~adãvel pa~a m~m.

Ã Un~ve~4~dade Fede~al de são Ca~l04 e ao Con4elho NaQ~o

nal de Ve~envolv~men~o C~en~16~Qo pelo apo~o 6~nanQe~~0.

Ã C~~~~~na e ao J04ê Augu~~o pelo eXQelen~e ~~abalho de

(4)

11. , " '''''''''''''---'-''''I!I''1-,

• izyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

TNOICE

R ES UM O •.•.•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 00 1

ABSTRACT ••••.••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• OO2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

CAPÍTULO 1- INTROVUÇÃO •....•.••.•.••.••••••• ~ •••.••.•.••. 003

CAPÍTUio 11'- ESQUEMA GERAL VE CLASSIFICAÇÃO 006

II.A - Ve6~n~çõe~

.

...

.

...

.

..

.

.. . ...

006 11.8 - Con~t~ução de modelo~ com ~~met~~a Ind~

c.e. n •....•...•... e.e.. • • 008zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

lI.C - P~op~~edade~ de dual~dade 010

II.V - ExcLtaçõel.> :topolõg~cal.> ....•...•.... 012

CAPÍTULO 111 - MOVELOS COM SIMETRIA PLANAR ...•...•... 017 IIl.A - AUl.>ênc~a deo~dem de longo alcance a

d- d~menl.>õonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe s 017

III.B - Modelol.> e~peclá~col.> •...•.•...•... 026

CAPÍTULO IV - SIMULAÇOES MONTE CARLO ...•... 056

CAPÍTULO V - SUMÃRIO E CONCLUSOES ...•... 073

APENVICE A - Vel.>~gualdade daI.>Funçõel.> de Co~~elação ~. 075

APENVICE B - Ham~l:ton~ana Quan:t~ca do Modelo 24 de Feve~e~~o. 082

(5)

-001-

RESUMO

Uma gtande

cla~~e de

teot~a~ com

~~mett~a~

não u~ua~~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ê

-con~t~u~da

e

d~~cut~da

de

uma mane~~a un~n~cada. E~ta

cla~~e

e

6o~mada po~ modelo~ e~tatZ~t~co~· cuja~ ~imet~~a~

co~te~pondem

a uma ~nte~polação

ent~e

a~, comumente conhec~da~, ~~met~~a~ globa~~

e

loca~~. E~te~ modelo~

de~c~evem

a d~nâmica

de vat~ãve~~

U(ll (ou

l(Nl

l,

exp

(~~l,

local~zada~ no~ ~Zt~o~

de

uma

tede de

d~men ~ao

e

geomet~~a a~b~t~ã~~a~.

Ve~c~evemo~

uma cta~~~6~cação de~ta~ xe.o~~a~ ba.6eand o - no.6 no que. c.hamamM de..6e.uonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA"L niii»: e. de. ~ ~m e.t~.i.a": O

vato~ de. n pa~a o qual o Ham.i.lton.i.ano de. um ~.i.~te.ma d-d.i.men.6.i.onat

e

Lnv a rd .a rd :« pe.la t~an.660~macão _{<P(x1,.··,xd) -+<P(x1, ••. ,xd}}jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA+ A(x

1, ... ,xd} c.om a 6uncão de. c.al.i.b~eA .6at.i..66aze.ndo,um c.omjunto de. n vZnculo.6 l.i.ne.a~me.n~e.i.nde.pende.nte.~.V.i.~c.ut~mo~ como a~ p~op~.i.eda

de.s c.~Zt~c.a~ e. a e..6t~utu~a dos de.6e..i.to.6topolõg.i.c.o.6do s m ode.i.o s P E ..

de. .6e.~ dete.~m.i.nada po~ d e. n. Uma c.la~.6e.pa~t.i.c.ula~me.nte.

.6ante. c.o~~e..6ponde.ao c.a.6O d

=

3 e. n

=

2. Mo~t~amo.6 de. mane.i.~a ge. ~al que ta.i..6teo~.i.a.6 não e.x~be.m o~dem de. tonga alc.anc.e.i qualque.~ te.mpe.~atu~a não nula e. ap~e.~e.ntamo.6 vã~.i.o.6e.xe.mplo.6 de. mode.lo.6 c.om

e.6ta.6 p~op~.i.e.dade..6,que. pode.m .6e.~ ~e.le.vante.~ i de.6c.~.i.cão da c.~.i.t.i. c.al.i.dade.de. .6.i..6te.ma.66Z.6.i.c.o.6~e.a.i..6.0.6 ~e..6ultado.6 de. no~.6O e.~tudo analZt.i.c.o e. de. nO.6.6a.6.6.i.mulacÕe..6po~ tec.n.i.c.ade. Monte. Ca~la .i.nd.i. c.am que. 0.6 diag~ama.6 de. 6a~e..6 pa~a a c.la.6.6e.n

=

2, a qualque.~ d.i. me.n.6ao, .6ão qual.i.tat.i.vame.nte..6.i.m.i.la~e..6ao.6 da.6 te.o~.i.a.6globalme.nte. ~.i.met~.i.c.a.6d = n = 2 e. ao.6 das t e.o~.i.a.6lo c..almeni:e. L n.v a~.i.ante..6 d = 4

(6)

"-002-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ABSTRACT

A iaJtge. c.ia~~ 06 the.oJt..ie..6w..ithunlL6ua.lzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA~ymme.tJt..ie.~,ü c.on!

~~ue~ed

and d~~eu~~ed

o~om

a un~6~ed v~ewpo~n~.

The~e

a~e

~~a~~~~~

eai modei~ w~th ~ymmetJt~e~ w..teheOJtJte.~pondto an ..tnte.Jtpoiat..ton be.twe.e.n~tanda}ld global and loc.al .6ymme.tJt.i.e.~.The. mode.l.6 de.~c.Jt.i.be. the dynam..te~ 06 U( 1) (oJtZ (N)) vaJt~abie.~, e.xp (~~J, ioeated as: the ~~te~ 06 a iatt~ee 06 aJtb~tJtaJtyd~men~..ton and geome.tJty.

We

d~cnibe.

a

eia~-6..t6..teat..to

n o6 the~

e theo~..te~

ba~ ed o nwhat eaU thei.Jz. lI~ymmmy

~ndex":

The vaiue

00

n ooJt w~eh ~he Ham~i~on~an

Oó

ad-d..tmen-6~onai ~y~~em ~~ ~nva~~an~ undeJt ~he ~Jtan~óoJtma~~on

~(xl, ... ,xd)

+

~(xl, ... ,xd)

+

A(x1,···,xd)'

w~~h ~he gauge óunet~on

A

~a~~~óy~ng

a ~et

Oó

n l~neaJtly-~ndependen~ eon~~Jta~nt~.

We

d~~eu-6-6 how ~he e~it~eal pJtopeJtt~e-6and ~he -6tJtuetu~e

0ó

topologieal

deóeet-6

06 a model aJte de~eJtmined by d and n.

A

paJt~ieulaJtly ~n~eJte-6~~ng ela~-6 06 ~heoJtie-6 eoJtJte~pond-6~o the

ea~e

d = 3 and n

=

2.

We

-6how on geneJtal gJtound-6 ~ha~ -6ueh

~heo~ie-6

have no long-Jtange oJtdeJt

óOJt

any non-zeJto ~empeJta~uJte and

p~e-6en~ ~eveJtal expl~ei~

example-6

06

model-6 wi~h

~he-6e

pJtopeJt~ie-6,wieh may

be Jteievan~

~n ~he

de-6

eJtip~ion

Oó

Jteal phy-6ieal -6y~~em-6. The ~e-6ul~-6

Oó

ouJt anaiy~~eal

-6~ud~e-6 and oUJt Mon~e CaJtlo -6imu.ea~ion-6-6 uge~~ ~ha~ ~heonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAph.a:« e

diag~am óoJt ~he ela~-6 wi~h n = 2,

óO~

wa~heve~ dimen-6~on',

a~e

quaii~a~iveiy -6imiia~ ~o ~he d = n = 2 giobaiiy -6ymme~4ie ~heo~ie-6 and ~o ~he d = 4, n = b ioeaiiy inva~~an~ ~heo~ie-6.

(7)

--003-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

CAPfTULO

INTRODUÇÃO

(tal como

o

modelo

de

1~~ng ou o modeloonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAx-yl ou po~

çoe~

loca~~

de

cal~b~e [tal como o~ modelo~

de cal~b~e

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZN ou

Ultl)

.Ne~te

t~abalho e~tuda~emo~ modeloA

cuja~

~lmet~ia~ n~o Aao aqueta~ u~uatmente e~tudada~ ma~ ~im int~~mediã~la~ ent~e locai~

e globai~. Alguma~ de~ta~ teo~ia~, at~m de ~eu inte~e~~e

pu~amen-te pu~amen-teõ~ico, pa~ecem ~e~em adequada~

ã

de~c~i~ão de p~op~iedade~ cJtZ:tica~de cJti~:tai~llquido~ e de magneto~ helicoida~~ (1-4). Vi! cutiJtemo~ um e~quema de cta~~i6icação de :tai~ :teo~ia~ e

ac~edi:ta-mo~ que :tal cla~~i6icação :tenha ~etação p~o6unda com a~ dive~~a~ po~~lvei~ cta~~e~ de unive~~alidade.

O~

modeloA inva~ian:te~ po~ ~ime:t~ia~ não u~uai~ po~~uem tipicamen:te in:teJta~;e~de mul:tico~-" po~ em ~ua Hamil:toniana, «ssim nosso e~quema de" cla~,6i6icação po-de :também ~e~ :tido como um p~ocedimen:to pa~a cla~~i6icação da~ diveJt~a~ :teoJtia~com in:teJtaçõe~de multico~po~.

A

pedJta 6undamen:tal no no~~o e~quema de cla~~i6icação ê

a in:tJtodução de uma nova quan:tidade, n, que chamaJtemo~ po~ lndice

de ~imetJtia da teoJtia. A gJto~~o modo ntsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAé a medida da dimenAão do AubeApaço ~obJte o qual a 6unção de calibJte da teoJtia eAtã vincula da (Aube~paço em que a ~imetJtia ê global) .

tJtaba-lho (a meno~ que Ae eApeci6ique onde não 60Jt o ea~o) teoJtiaA eom ~imetJtia U(l) (invaJtian:te~pelo gJtu.pode ~ota~õeA no plano)

deA-eJtita~ pOJt um campo ~impleA fZ>'f(ts6) )jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

f

€ (-1TJTfJ ' aA~ oc.L ado eom o~ ~Ztio~ de uma Jtede hipeJte~bica ~ d dimen~õeA. Podemo~

(8)

11.

tsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-004-

onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

onde. A

~at~~6aça um eonjuntozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAde n vlneulo~ d~6e~ene~a~~ ~ndependente~, a

teo~~a ~e~a d~ta eomo po~~u~do~a de um lnd~ee de ~~met~~a n. Quan

*

do n = O ln =

d)

a teo~~a

ex~b~~ã

~~met~~a loeal (global). Pa~a

O < n < d a teo~~a po~~u~ ~~met~~a de um novo t~po, o qual

ê,

de ee~to modo, ~nte~med~â~~a ent~e ioeal e global.

6oltma.

~.A_,(. = O, ~endo ~. um opelta.dolt_,(. di6elteneia.l de pltimeilta.oltdem na. di Iteça.o Xi' que 6oltça.

A

a..elt independente de Xi. Ao longo de~te

t~a.balho tltataltemo~ explieitamente eomteoltia.~ euja~ 6unçãe~ de

ealiblte ~ati~6azem e~te~ tipo~ di vZneulo~, ma~ a ma~oltia de no~-~o~ Ite~~ltado~ aplieam-~e igualmente a uma ela.~~e a~nda maio~ de

teoltia~, co n6 oltme di~ eutiltemo~ .no~ p~õ ximoJ.,ea.pZtulo~.

Na ~eçio ll-A a.p~e~entaltemo~ no~~o e~quema de

ela~~i6i-eação. lntltoduziltemo~ também a noç.ã.ode ~imetltia eompo~ta. que

0-eoltltena~ ~ituaç.ãe~ em que

A

é Ite~tltita (i~to é, eon~tante) em di 6eltente~ ~ube~paç.o~ S1' ... , Sj (que podem po~~uilt di~tinta~

di-men~ãe~) em um e~paç.o d-dimen~iona.l, ma~ não no e~paç.o inteilto 9~ Itado pOIt SI' ... , Sj" Como a~ teoltia~ aqui tltatada~ ~io ineomun~ na liteltatulta

é

impolttante pltoduzilt-~e alguma~ de~ta~ teoltia~. Na.

~eç.ão 11-8 ineumbilt-no~-emo~ de~ta mi~~ão eon~tltuindo uma hieltalt-quia de teoltia~ palta todo n e d. E~ta~ teoltia~ po~~uiltão a. 6unç.ão

de ealiblte ~ati~6azendo vZneulo~ da 60ltma ~.A_.c

=

O e ~eltio aquela~

mai~ ~imple~ palta dado~ n e d. Na~ ~eçãe~ 11-Ce 11-V Itetoltnalte-jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

* Na Itealidade pall:ec..enao ~elt po~~Zvel .de~elteveltuma teoltia n = O

(9)

II .'''''''''''''",.~ --~

!

-005-mo~ ao no~~o e~quema ge~alzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

de

ela~~inieação ap~e~entando uma

di~-c.u~.6aozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA.6 obJte a.6 pJtopJt.i.edade.6 de. duaf..i.dade e a.6 exc..i.tações to

paf.õ-gic.a~ da~ tea~ia~ c.am

O

< n < d.

No c.apltuf.o 111 c.onc.entJtaJt-no.6-emo.6 na c.f.a.6~e de tea-Jt-ia.6c.om n =

2.

PJt-ime-iJtctmente Jtec.ap-itulamo.6 bJtevemente a geneJtal-i

zação do teoJtema de MeJtm.i.n-WagneJt(S-81, Jtec.entemente pJtovada(91,

que mo.6tJta que em q ualqueJt d-imen.6 ão e.6xasonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAteo n l.a s não pO.6.6uem o

Jt-dem de longo alc.anc.e paJta T >

O.

ApJte.6entaJtemo.6 tJt~.6 modef.o.6 tJt.i.--d.i.men.6.i.ona.i..6pO.6.6u.i.doJte.6de .6.i.metft.i.an

=

2 d.i.6eJt.i.ndoapena.6 em

detalhe.6. E.6te.6 modelo.6 .6ão ba.ótante .6-impl~.6 e .6eJtvem paJta eluc.i-daJt a.6pec.to.6 geJta-i.6 da.6 teoJtia.6 c.om .6imetJtia n = 2 .

.6ua.6 pJtopJtiedade.6 de dualidade bem c.omo a.ó po.ó.óZve-i.6 topol5g-ic.a.ó pJte.óente.ó ne.óte.ó modelo.ó.

exc.itaç.õe.ó

No c.apItulo

IV

apJte.óentaJtemo.6 O.ó Jte.óultado.ó numêJtic.o.ó, o btido.ó pOJt .ó-imulaç.õe.ó numêJt-ic.a.ó empJtegando -.6e têc.nic.a.ó de Mo rd:«

CaJtlo. Tai.ó .ó-imulaç.õe.ó -indic.am que a.ó veJt.óõe.ó ZN de.óte.ó modelo.ó po s s uem diagJtama.ó de fia.óe s qual-itativamente .óimilaJte.ó ao.ó mo det.a«

(d=n=21 Jtel5gio.ó bidimen.óiona-i.ó (globalmente .óimê:tJti.c.o.ó)•

.No c.apItulo V Jte.óum-imo.ó no.ó.óo.óJte.óultado.6 e c.onc.lulmo.ó c.om alguma.ó .óuge.ótõe.ó paJta tJtabalho.ó fiutuJto.ó. Finalmente, paJta um do.ó modelo.6 tJtatado.ó no pJte.óente :tJtabalho, obtemo.ó no ap~nd-ic.e A

-impoJttante.ó de.óigualdade.ó da.ó fiunç.ôe.6 de c.oJtJtelaç.ôe.ó da oJtdem e

de.óoJtdem e no ap~nd-ic.e

B

ob:temo.ó a .óua fioJtmulaç.io c.om tempo c.ontInuo.

(10)

IIzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-006-

CAPfTULO

I I

ESQUEMA

GERAL

DE CLASSIFICAÇÃO

II-A

-

Definições

Con~{de~emo~ uma teo~{a de~e~{ta

em

te~mo~ da va~~ãvel U ( 1 ) :

5er)

(11. 1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAJ

Suponhamo~, po~ ~{mpi{e{dade, que

~1rl

~Qjam o~ ponto~ que de-6inem uma nede hipeneubiea ~imple~ a d-dimen~õe~ (e~~a ne~~nição nao e neee~~ãnia, eon~udo 6anã eom que a apne~en~ação ~eja mai.6 ~imple~). A~~oeiamo~, desonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAs:« 6onma, os ~pin~ eom os ~Z~io.6 da

ne-de. E~~anemo~ in~ene~.6ado~ na di~eu~~ão de ~eonia.6 que não exibam expliei~amen~e in~enaçõe~ de longo aleanee e eujo.6 Hamil~oniano~ .6ejam invanian~e~ median~e a ~nan~6onmação

(11.2)

Tai~ ~eonia~ pO.6~uinão um Zndiee n de ~ime~nia. Na nealidade, mui ~a~ de no~~a~ eon~idenaçõe~ apliean-~e-ão igualmen~e bem a ~eo-nia~ em que a 6unção de ealibne A ê uma 6unção de ~oda~ a~ d-eoon denada~, ~a~i~6azendo n eondiçõe~ da 6onma:

( I I .3)

~ e.ndojihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAO j eombinaçõe~ lineaJtmen~e independen~e~ de oo eru u io xe s di6 e Jteneiai~ (ou de di6enença~). lst:o ~eJtã d..üeu~ido em de~alhe~ mai.6 ad..i..an~e.

Como pon~o de pan~ida no e~~u~o de~~a.6 ~eoJtia~

ê

ü~..i...e

(11)

- 007-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

em

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd-d~men~õe~ po~~u~do~e~ da ~~met~~a

(11.1).

E~pe~amo~ que a Ha

miltoniana (ou açãol

de

no~~a~ teo~~a~ po~~uam a no~ma ge~altsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(11.4)

onde _{6p ~ao 6unçõe~}

de

eomb~naçõe~ l~nea~e~

de

q(~), campo~ ~

e

Cp.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ê

um eonjunto

de eoe6~e~ente~

eon~tante~.

A

eoo~denada

de

J

- -+ -+

~. e x

+ ~. ,

e,

eomo e~tamo~ a~~um~ndo que não

ex~~tem

expi~cit~

J J

mente

~nte~açõe~

de

longo aleanee

deeo~~e

que

Itjl

deva

~e~

6in~-to. Embo~a na ~ealidade no~~a~

eon4ide~açõe~

~ejam mai~ ge~ai~, 6aeilita~-no~-â a eomp~een~ão ~e pen~a~mo~ na~ inte~açõe~ (11.4)

eomo de6inida~ em k-dimen~ional (k ~ d) ~implexo~ da ~ede d-di

mensL o nal. Po~ exemplo, inte~açõe~ de p~imei~o~ vizinho~ ao longo

da» ligaçõe~ (l-~implexo), inte~açõ es de quat~o eo~po~ ao

da~ 6aee~ elementa~e~, ou plaqueta~ (2-~implexo), ete.

~edo~jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o Hamiltoniano (11.4) eontêm ~-te~mo~ di~tinto~ e que~!

mo~ ~abe~ qual a teo~ia eom o meno~ valo~ de ~ que po~~ui um Zndi

ee de ~imet~ia nde 6o~ma não t~ivial. P~imei~amente devemo~ di~-euti~ em mai~ detalhe~ o~ po~~Zvei~ tipo~ de ~imet~ia~ que no~~a~ teo~ia~ po~~am te~. Notemo~, pa~a eomeça~, que ~e a teo~a po~~ui um Zndiee de ~imet~ia n (n S d) então, a óo~tio~i, ela po~~ui um

L n d i.c:e de ~imet~ia n ' ~endo d ~ n' ') n. E~ta ~imet~ia meno~ n'

(um núme~o maio~de g~au~ de libe~dade ê envolvido J ê obtida c

on-~ide~ando-~eaquela~ t~an~óo~maçõe~ em que A ê óunçio apena~ de

um ~ubconjunto das coon.denada.s x

n+ l ' ••• , xd' A~ xeo n.L a» em que e~ta~ ~imet~ia~ ~e.ja m a~ úniea.~ e. que exi~tam apena~ um ~ube~ paço

(12)

e--008-

jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o ü «onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAdi~tintozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

m

(~im ple~ ou m últiplo), deninido~

em

~ube~paç.o.6

ta.

II-B - Construção de Modelos com Simetria n

F~xemo-no~

agolta no ea.6O

de

um a teoltia eom Indiee nzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAde

.4~metlL.ta.. Co n.6~delLa.lLemo.6 a.penM teolt.ta.6 não tlL~v~a.t4, no .6ent.tdo

de .6eltem, a.plt.tOlL.t, aeoplada..6em todo o e.6pa.çod-dimen.6iona.l*.

A

teolLia.ma..t.6 .6imple.6da.nOlLma (11.41 pO.6.6uidolLade tal.6imetJÚa de

ve te~ .6

=

n. Tal teolLia.~ então eompo.6ta de n te~mo.6 emtsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(11.4)

em um de.6te.6te~mo~, a.6 va~iãvei~ loeaiizada.6 no.6 vé~tiee.6 de um

elemento (d-n+ 1)-d c m e n s ;» nal da s e d e . s ã o aeoplada.6 ent~e .6i e '0.6

(n-l) xenm o s ~e~tante.6 .6ã.o~i.mple~ inte~aç.õe.6 ent~e p~imei~o~ vi-zinho~.

A

inte~aç.ã.o (d-n+l)-dimen.6ional

ê

de6inida num (d-n+l)--~implexo da ~ede, eujo~ lado.6 ge~am um ~ube~paç.o (d-n+l)-dimen-.6ional na ~ede d-dimen.6ional e eada uma da~ (n-l) inte~aç.õe.6

en-t~e vizinho~ p~õximo.6 oeo~~em ao longo da.6 (n-l) di~eç.õe.6o~togo-nai~ ao ~ube~paç.o ge~ado pelo ~implexo aeima mencionado. A~ con.6-tante~ CPj' em (11.4) ~ã.o e~colhida~ de manei~a a que a .6imet~i.a e~teja ~ati~óeita. No~ ca~o~ ~imple~, po~ exemplo, CPj podem .6e~

e~colhido~ alte~nando ent~e (+1) e (-1) conóo~me ci~cundamo.6 o ~implexo em que a inte~aç.ão e~teja deóinida.

Algun.6exemplo~ to~na~ão a ~ituaç.ão mai~ cla~a. Notemo~ inicialmente que e~te p~ocedimento nao con~egue p~oduzi~ teo~ia.6 com Zndice de ~imet~ia n = O (locai~). Sem inclui~ out~o~ campo~

ao p~oblema, pa~ece não have~ manei~a de con~t~ui~ tal teo~ia.Vol tando ao ca~o meno~ patológico com n > O, bb~e~vamo~ que em t~i~ dimen~õe~ podemo~ obte~ uma teo~ia com uma ~imet~ia múltimpla

(13)

-009-

dice

2

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAincluindo

em

(11.41

uma

inteJtaç.ão

de

4-coJtpo.6

em

cada

pla-queta

no planoonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(xl'

x

2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1,

jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe. inteftaç.õe.6 entJte pJtimeiJto.6 vizinho.6 ao longo da diJteç.ão x

3•

E

claJto

que

H

ê

então invaJtiante pOJt

ni6,[ca

que,

s

e

JtodaJtmo.6 toda.6 a-6

vaJtiâ.vei.6

nO-6 plano.6 (xl' x31

ou

(x

1'

x

2 )

'pOJt

um

ângulo

6,[xo,

a Hamiltoniana

.6eJtâ.

invaJtiante. FaJta

.6e

obteJt

uma

teoJtia

com

Zndice 1 a. tJtê.6 dimen.6õe.6, incluZmo-6

em

H

apena.6 ,[nte~açõe.6

de

o,[to

CO~pO.6 envolvendo

todo.6

0.6

.6p,[n.6 do.6

vê~t,[ce.6

do.6 cubo.6

elementa~e.6

da

~ede

e

.6omando-.6e

.6ob~e

todo.6

0.6 cubo.6.

Com a e.6colha apJtopJt,[ada do.6

coe6,[c,[ente.6,

C

1 j,

em

(11.4l

e.6ta teo~,[a

.6e~ã

po~tado~a

de uma

.6,[met~,[a t~,[pla

com

lnd'[

c e 1: A -:.A .(~ iJl:.j) j iJj= i12 J3

* .

.

Se anal,ü a~mo.6 ma,[.6

p~o6undamente.

ve~e.mo.6

que,

em

ge~al, uma. teotia p~ojetada pe.la con.6t~uç.ão ac,[ma me.nc,[onada te~ã. uma .6,[met~,[alnd'[ce. n

com

mult,[-pi-i.c'[dade.(d - n+1J

= .

t

o

b v,[ame.nte pO.6.6lv

el

c:on.6t~u,[~

-.6e

te

o~,[a.6 mai.6 compl,[cada.6

com

p~op~,[e.dade..6

de

.6,[met~,[a .6,[m'[la~e.6ou a,[nda

com

d,[6e.~e.nte..6mult,[pl,[c'[dade..6dolnd'[ce. n, contudo

o

p tu :

cedi.men-to, acima e.xpO.6to, p~oduzde. ce.~to modo a.6te.otia.6 ma,[.6 .6,[mple..6. Te.~e.mo.6a opo~tunidade., ma,[.6 ad,[ante,

de

d,[.6cut'[~

e.m

de.talhe..6al-gumas te.o~ia.6 mai.6 compl,[cada.6, ma.6 po~ e.nquanto no.6.6O ,[nte.~e..6&e.

.6e.

conce.nt~a na.6 p~op~iedade..6 ge.~ai.6 do.6 .6i.6te.ma.6

com

.6ime.t~ia de. lndice n.

; E.6ta te.o~ia~a ~e.alidade. ~ t~ivial no .6e.nt'[dode. que. ela pode. .6e.~de..6ac.oplada numc.onjunto de. te.o~ia.6 t~iviai.6 não inte.Jtage.nte..6.

A

Jtazão di~to ~ ~on~equ~ncia do 6ato da te.oJtia po~~uiJt um lndic.e. de. ~imetJtia 1

com

multiplicidade. igual ao núme.Jto

de

dime.n.6õe~. E~

te

ponto ~e.Jtã.anali~ado mai~ adiante no capltulo 111.

**

E st:« a6iJtmaç.ão 6ic.aJtã.mai» óbvia .s e a xeoou:« 6o~ cons Lden.ádà

em

notação do c.ontlnuo, no qual o aJtgum~nto da 1..nteJtação k-dime.n-~ional .s e t.o n.na: dl'd

Z, ••• ,dkcfJ, ~e.ndo d. - d~ ..

(14)

, , ,.".,,,.,,,,,,,,,,,,,.~,,.---zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-010-I l-C -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Propriedades

de Dualidade

Anal~~atemo~ ne~ta ~eçãoa~

ptopt~edade~,

ttan~~otmaç~o

de

dual~dade, da~ teot~a~ e~tudada~

ne~te

ttabalho. med~ante

E~ta anãii~e pode

~e4

mai~

üaeiimente üeita ~e

lemb4a4mo~

o

~e-guinte 4e~uitado ge4ai(10): dada uma teo4ia Abeiiana eompo~ta p04 um ~impie~ eampo

e

eUja Hamiitoniana po~~a

~et

e~e4ita

em

te4mo~

de

uma ~oma

de.1<.tetmo~

d~~t~nto~, a ~ua

tepte~entação

dual

pode-'tâ então

~e4 e~e4ita eomo

uma teo4ia eompo~ta

de

onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAk.-1 eampo~

inde-pendente~.

Ma~~ a~nda,

e~te

eonjunto

de

jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1< .-1 eampo~

~ndependente~,

pode.m -6e.4aume.ntado.6 inc.iuindo-.6e. um c.onjunto de. c.ampo.6 de. c.ali..-b~e. de.pe.nde.nte..6,de. ma.ne.i..~aque. a no~ma. dua.i da. te.o~a. pO.6.6ua uma

c.a.mpo.6 de. c.a.iibJr.e.e.xt~a.6, a HarfJi..ltoni..ana.dua.i pode. .6e.~ e..6c.Jr.i..tac.omo uma

nunç.ão de. um xen s o»: a.nti.6.6i..métJtic.oA111'zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA112"'" l1k-2' e. .6e.Jr.a. Ln-va~ianie. me.di..ante.a. t~an.66o~ma.ç.ão de. c.alibJr.e.ge.Jta.i

(11.5)

"""J

onde.

SL

é uma. nunç.ão de. c.al.ib~e compo st:« de k-4 L n d cc.es ,

f1""

sã o

um c.onjunto de ope.~ado~e~ dete~mi..nado.6 pela no~ma. o~i..gi..na.lda. Ha.-m.ilto n.iana, e

2. \. ')

deno t:« uma. .6oma. a.nti...6.6i..mê.t~i..c.a..6o bn e: to da..6

*

a..6pe~mutaç.õe.6 de 111' ••• , l1k_ 2 •

da de , que no.6 .6ao nam.ili..a~e.6na.6 :t.eo~i..a.6m a cs c.omun.6 {globa.i.6 ou loc.a.i.6}{11-16}, .6u~gem .igualmente no p~e.6ente c.on:te.xto:

tão o g~upo de .6.imet~ia da teo~i..a dual :também

* Pa~a detalhe.6 da .6oluç~o bem c.omo o m~todo de~e dete~m~na~

(15)

- 011-

2. Ca~o a teo~ia o~iginal po~~ua ~imet~ia

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAU(ll

então

a

teo~~a

dual te~ã meta

200'

3. Se

a Hamiltoniana

da teo~iao~ig~nal

6o~

de

6o~ma

quadllãtic.a~imple~

(i~to

é,

da nOllma Villain(171zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

),e~

tão a teollia dual também o

~ella.

4. A.6

co n.6tante.6

detsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAaco

plamento

da teo~.i.a dual

.6

eso»

~e

lac.ionada~

onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAã~

da teollia olliginal

de

manei~a indic.ada

pelo g~upo

de

.6.i.met~.i.a.

Uma c.omplic.ação adic.ional, po~ out~o lado, pode ~UIl9i~ ne..6ta.6te.o~ia.6 nã.o U.6u.ai.6; e. qu.e. a no~ma natuJt.al da Jt.e.de.e.m que.

a te.oJt.ia dual e. de.6inida (de.nomina~e.mo.6, e.mbo~a imp~opJt.iame.nte.,Jt.e. de. dual) pode. .6e.Jt.ba.6tante. eomplieada. I.6to .6e. de.ve. ao 6ato da e.~

tJt.utu~a da ~e.de. dual.nã.o .6e.~ de.te.~minada pe.la ge.ome.tJt.ia da ~e.de. oJt.iginal, ma.6 .6im poJt. aque.la a.6.6oc.iada

i.6

inte~aç~e..6 da Hamilto-niana oJt.iginal (.6imple.xo.6).

PaJt.a iluminaJt. a di.6c.u.6.6ã.oge.~al pJt.e.ee.de.nte.,olhe.mo.6 al-gun.6 e.xe.mplo.6 .6imple..6. Uma da.6 c.la.6.6e..6de. te.o~ia.6 mai.6 inte.~e..6.6an te..6, no no.6.6O e..6que.ma de. ela~.6i6ieaçã.o, ..6ã.o aque.la.6 eom Zndic.e. de. .6ime.tll.ian = 2. Fo~tunadame.n·te., o mo de.i.» mai.6 .6imp{e..6 eom L n d .a :«

de. .6ime.tJt.ia

2

e.m d-dime.n.6~e..6, de.6inido pela eon.6tJt.uçã.o

(II-B),

e. autodual e.m qualqu.e.Jt.dime.n.6ã.o. O p~oee.dime.nto paJt.a.6e. c.aleulaJt. .6ua 60Jt.ma dual e. e.xatame.nte. pall.ale.la àque.la do.6 mode.lo.6 pidime.n-.6ionai.6 do tipo Jt.e.lôgio ou mode.lo.6 U(l) x-y. 0.6 mode.lo.6 eom

lndi-ee. de. .6ime.tll.ia

3

à d-dime.n.6~e..6, ge.Jt.ado.6pe.la eon.6tJt.uçã.o

II-B

.6ao duai.6 a uma te.oJt.ia de. ealibll.e. de. um .6imple..6 eampo ve.toll.ia.l

A~,

~ = 1,2,3. Ob.6e.Jt.ve.que., e.mbOll.aa te.oJt.ia e. .6ua dual vill.a em

d-di-me.n.6oe..6,o eampo de. ealibll.e. pO.6.6ui ape.na.6 tll.ê.6eompone.nte..6. Cla~a me.nte. 0.6 e.xe.mplo.6 mai.6 .6imple..6 de. tai.6 te.ollla.6 Oeo~~e.m e.m tJt.ê.6di

me.n.6oe..6,tai.6 eomo 0.6 mode.lo.6 tll.idime.n.6~onai.6 de. I.6ing,

ZN

ou x-~

(16)

te.o--012~

~iazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

que ~e~ã di~cutida

em detalhe

no capItulo

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA111.

E~ta

teo~ia

pe~tence

a

cla~~e

de teo~ia~

com lndice

2 de6inida~

em ~ede

c~bi-ca ~imple~.

0.6 ~ pin~ ne~ta teo~ia

inte~agem

via inte~ação

de

qua-tlLO cOlLpO~, deó.<.n'<'da

pelo plLoduto entlLe .6.<.

do~ quatlLo

.6

p.<.n.6 do~

vê.lLtice~da~ plaqueta.6 elementa~e~

da ~ede

(veja Fig.

tsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1 ) •

Pa~a

mantelL a ~.<.met~ia global

podemo~

e~colhelL a convenção

em que toma

mo.6 o complexo

conjugado

de doi~ do~ ~p.<.n~em cada .<.ntelLação.

O

·dual de~ta teo~ia

ê

novamente

uma teo~ia

de calib~e

local

de

um

~imple~

campo veto~ial

de t~ê~ componente~

A~,

~=1,2,3j

contudo

a

~ede

natu~al

pa~a e~ta teo~ia

dual

ê

de

ce~ta 6o~ma complicada.

Fig. 1

I I-D - Excitaç~es Topo16gicas

Em ~eolL~a~, eom g4Upo de ~me~4~a Abel~ano, podemo~ ~e-pa4a4 a~ exe~~açõe~ ~op~l~g~ea~ em dua~.ea~ego4~a~. A p4~me~4a de

(17)

-013-

g~upo

(po~

exemplo,

onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAZNjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1,

e te~emo~

então uma

e~pêcle de

exclta-ç~e~

do ti~o

pa~ede,

~epa~ando

di6e~ente~

domZnio~. Um

exemplc de

la~

oco~~e

no modelo ~el;glo

ZN

~lmêt~lco a t~~~

dlmen~5e~ em

que

domZnio~

de di6e~ente~ o~ientaç~e~

~ão ~epa~ado~ po~

pa~ede~

(tl-po

de

Bloc.kl.

A

~egun'da catego~,[a

ê

no~mada po~ a.quela~

exc.Lta-ç~e~

a~~oc.iada~ ao c.a~;te~ c.ompac.todo g~upo

de

~,[met~ia. são

de~

ta

e~pêc.,[e,

po~

exemplo,

a~ c.o~da~

de·v;~tic.e~

que

apa~ec.em

no mo

'delo t~idimen~ional

x-y

(c.ominva~iança global n

=

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA3

U(l)

I.

Ne~ta

~eção tec.e~emo~

algun~ c.oment;~io~ ~ob~e

e~te

úl-timo tipo de exeitação, poi~ e~pe~amo~ que ta~~ exe~taçõe~ ~ejam ~e..e.evante~ palLa a~ teolL~a~ eom glLupode ~~metlL~a

ZN

(N

> 3) (16)ou

~~mp..e.e~mente na~ teolLia~ eujo glLupo de ~imetlL~a ~eja U(l).

t

e..e.a-~o que pode ex~~t~1L ainda exeitaçõe~'do t~po. palLede, ea~o a ~ime-tlLia ~eja di~elLeta. E~ta.6 U.6ua..e.mentei.ntelLagem não tlL~v~a..e.mente eom aque..e.a~exe~taçõe~ topo..e.õg~ea.6gelLada.6 pe..e.aeompaetividade do glLupo. E.6ta eomp..e.ieação adie~ona..e.

ê

que pode a.umentalL g~andemente a lLiqueza da e.6tlLutulLa de 6a.6e.6 quando pa.6.6amo.6de teolL~a..6 eom glLupo de .6imetlL~a eontlnuo

U(1)

palLa o glLupo di.6elLeto

ZN.*

Con.6~delLemo.6 uma teolLia eom .6imetlLia U(l) Zndiee -no

A

t d • -

..e.-'

(1 0 14) - ..e. • d

na ulLeza a.6 exe~taçoe.6 topo óg~ea.6 ' e lLe a.e~ona a eom a 60ILma da teolLia dua...e.,o qua..e.depende .6en.6ive..e.mentedo n~melLo de

telLmO.6 (poteneiai.6)di.6tinto.6 da Hami..e.tonia.naolLigina...e..Se a teo-lLia olLigina..e.áOIL uma teolLia de um .6imp..e.e.6eampo U{l) e eontivelL k telLmO.6 di.6tinto.6 na Hami..e.toniana, então ne.6te ea.6O .6elLã p0.6.61ve..e. e~elLevelL a teolLi.a em telLmO.6 de exeitaçõe.6 topo..e.ãgiea.6 {k-2)-dimen .6ionai.6. POlLexemp..e.o, o mode..e.ox-y bidimen.6iona..e. (k =2) pode .6elL

de.6elLito

em

telLmO.6 de vãlLtiee.6 enquanto que o me.6mo mode..e.oa tlLê.6 dimen.6õe.6 (k = 3) pode .6elLde.6elLito em telLmo.6 de aon.dtu: de

vãlLti-ee.6 intelLagente.6.

* Na.6 lLe6e~êneia.6 (11-16) voee eneontlLalL~ uma d~.6eu~.6aO ba~tante

(18)

-014-

Vevido

ao 6ato

da4

exeitaç~e4

topol5giea4

depende~em

do

n~me~o

de

te~m04

di4tinto4

da Hamiltonianao~iginal,

ela4

n~o:6io

apena4

dete~minada4

pelo

Zndiee

de

4imet~ia

n,

ou

pela

dimen4io

e.,õpac,tal.

Pode.mo,õ

d.ize.Jtcontudo

qu.e.dada

uma

teoJt.i.a (nã.o

tJt:tv.iall

com

u.m

lnd.i.ce.de. ,õ,tme.tJt.ia

n, ,õua,õ

e.xc.itaçõe.,õ

topológ.ica,õ

de.ve.m,õe.Jt

obje.to,õ pe.lo me.no,õ (n-2)-d.imen,õ.ionai,õ.

Con6oJtme.

jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAj~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAo

d.i44tmo,õ

na

,õe.ção

II-B,

a,õ te.oJt.ia,õma.i,õ ,õ.imple.4

com

lnd.ice.

de

,õ.imetJt.ian

P04-Jtão con,õe.que.nte.me.nte.

e.xc.itaçõe.4

topológ.ica,õ

(n-2)-d.ime.n4ionai4.A~

,õim, pOJt e.xe.mplo, a,õ te.oJt.ia,õ

com

,õ.ime.tJt.ia

,õ.imple.,õlnd.ice.

2 e.m

d--d.ime.n,6õe.,6te.~ão como e.xc,ttaçõe.,6vô~tice.,6 pontuai,6 contido,6 num e.,6paço d-dime.n,6ional. Po~ out~o lado, a t~o~ia de. Zndice. 2

de.,6c~i

ta na última

,õe.ção, e. cujo

Ham,tltoniano

ê

a ,õoma da,6 ,tnte.~açonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAÕ

e.,6

de. q~at~o CO~po,6 ao longo da,6 plaque.ta,6 e.le.me.nta~e.,6,te.~ão comotsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

,.;I!,

e.xcitaçõ es

to polôgica,6 ob

j

e.tO,6un..{..d,tme.n,6ionai,6do tipo eo su ia :s, No,6 ca,6O,6mai,6 e.,6tudado,6,na lite.~atu~a, do mode.lo x~y a·dua,õ

e.' t~ê,6

dime.n,õõe.,6e.xi,6te.mv2.nculo,6 de. con,6e.~vação de. ,õua,6e.xcitaçõe.,6topE. lõg~ca,6.

A

dua,6 dime.n,6õe.,6(de.pe.nde.ndoda,6 condiçõe.,6 de. conto~no) 0,6 vZnculo,6 pode.m toma~ a 60~ma de. uma cond,tção de. ne.ut~alidade. de. ca~ga,6; o qual implica que. a ,6oma do,6 võ~tice.,6 (vo~ticidade.) de.va

,6e.~

nula. Em

t~ê,6

dime.n,6õe.,60,6 vZnculo,6 de. con,6e.~vação 60~-çam a dive.~gência da co~~e.nte. de. co~da,6 de. võ~tice.,6 a,6e. anula~, i,6to ê, e.le.,660~çam V J = O, O~de.Jll ê. a co~~e.nte. (p0,6,6ui

valo-u valo-u '""

~e.,6

inte.i~O,6J ~e.p~e.,6e.ntandoa co~da de.võ~tice.,6

e.

V~ ê um ope.~a-do~ de dióe.~e.nça,6óinita,6(18J. No.6 ca,6O,6mai,6 ge.~ai,6, ab~angido,6 no p~e.,6e.nte.t~abalho, e.xi,6ti~io vInculo,6 a,6,6dciado,6com a,6 excita

ço e s topolõgica,6, ma.6 e.st.e»p o dem n iio pO,6,6ui~ nOJtma tio

como aque.la di,6cutida acima. Re.ve.ndo, no ca,6O do mode.lo x-y t~idi me.n,6ional, a de.~ivação que. conduz ao vInculo da dive.Jtgência da

co~Jte.nte.da,6 co~da,6(18), vemo,6 que o nato do ope~ado~ linea~ VlJ

(19)

IIzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-015-6ato do~ opt~ado~e~ que de6inem a Hamiltoniana tambimzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

~e~em

no Hamiltoniano o~iginal ~ão di~tinto~ do~ ~imple~ ope~ado~e~

de

dine~ença~,

apa~eQe~ao então aut~o~ ope~ado~e~ na equação do~ vln

Qulo~ da~ eXQitaçõe~ topolÕ9iQa~. Po~ exemplo, ~~ a teo~~azyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAU(lJ

••.•. !"."'C .

f . ~

o~i9inal 6o~ da no~ma

(11.4)

Qom ~

=

3,

então

í~

'~ua~

topolõgiQa~ que ~ão do tipo

de

Qo~da~, J , ~

=

1,2,3,

~ .

vlnQulo~ da no~ma

V

_uJ =

O,

onde

V

~ão ope~ado~e~

de

1..1 1..1

6inita~. E~te~ ope~ado~e~jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAV (quando atuado~ ~ob~e o

u

p~oduzem

exatamente a~ Qombinaçõe~ .linea~ do~

$

que

~ati~ na~ão di6e~enç.a~ Qampo $ .)

j

em

c.ada. um do s a.Jr.gumento.6 de

n

ll em (11.4) (ob.6e~ve que, em geJtal, II nio .6e Jr.e6eJr.eidiJr.eçio e.6pa.c.ial, ma..6 ~ .6imple.6mente Jr.ela.c.iona.do a.o lndic.e p em (2.2)). Veixa.Jr.emo.6 pa.Jr.a.o c.a.pltulo 111 a de.6c.Jr.i-çio da..6 lei.6 de c.on.6eJr.va.çiotopol5gic.a..6 paJLa.·teoJLia..6 c.om lndic.e

de .6imetJr.ia 2, onde tJLa.taJr.emo.6de a.lgun.6 exemplo.6 de.6ta..6 teoJr.ia..6.

A 6oJr.mulação das exc.itaçõe.6 topolôgic.a. ac.ima. apJr.e.6enta.· da..6, emboJr.a. ba..6ta.nte elegante ~ útil, pode nio .6eJL a 6oJr.mulaçio ma.i.6 a.pJr.opJr.iadaemalgun.6 c.a..60.6e.6pec.16ic.o.6. A.6 c.oJr.Jr.ente.6 topolô-gic.a..6que .6ati.66a.zem lei.6 de c.on.6eJr.va.çãodo tipo VllJ

ll =onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAO (pa.Jr.a. o c.a..60.6

=

3), podem em geJr.a.l.6eJr.em Jr.ee.6c.Jr.ita..6em teJr.mo.6 de um ou·

tJr.O c.onjunto de c.a.mpo.6 (poJr. exemplo no x:-y tJr.idimen.6ional8, ). Pode .6eJr.vanta.jo.6o, em deteJr.mina.do.6 c.a ~O.6 c.on.6ideJr.a.Jr.a teoJr.ia. de.6c.Jr.ita.em teJr.mo.6 de.6te novo c.onjunto de

va.Jr.iâvei.6 a.o L n.vê.6 do.6 J. 1.6to ~ pa.Jr.tiulaJr.mc. ente v e n .d a d e : no.6

c.a--1.I

.60.6 c.on.6ideJr.a.do.6ne.6te tJr.aba.lho, pa.Jr.a.0.6 qua.i.6 o.6.opeJr.a.doJr.e.6que apaJr.ec.em na Hamilto niana .6ia mai.6 c.omplic.ado.6 que sLm ple.6 o peJr.adE..

-Jr.e.óde di6eJr.ença.6 6inita..6 (ou di6eJr.enc.ial). Em tai.ó c.a.óo.6e

6Jr.e-quentementedi61c.il teJr.mo.ó uma inteJr.pJr.etaçio ~imple.6 da.6

(20)

-016-

,,,', '",,'e"~",_••'__ '_~jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

J

I

.j

I

I ! I

,

p/tõximo.6 de. no/tma que. nic.a c.la/to que. o võ/ttic.e.~e.p/te..6e.ntaa pa/tte.

inte.i/ta de. um ingulo,

c.onno/tmt c.aminhamo.6

de.zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

um .6Ztio ao

.6e.uvi-zinho

p/tõximo

.6e.guindo um c.aminho

ne.c.hado na /te.de..Com

inte./taçõe..6

mai~

QompliQada~

tal

inte~p~e.taç~o

.6imple..6 nio ~ .6e.mp~e. pO.6.6Zve.l,

e. de.pende.ndo

da te.o~ia,

um e.xame. mai.6p/to6undo

pode. c.onduzi/t

onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

ã

um

c.onjunto

mai.6 intuitivo

de. va/tiáve.i.6, nunçõe..6 do.6

J~.

E.6ta

".6itua-ção

ê

p/te.c.i.6ame.nte.

a que. Oc.o/t/te.no mode.lo

e..6tudado po/t

Amit

e.t

.al(31,

Naquele.

mode.lo

o c.onjunto mate.mátic.o

natu/tal

de. e.xc.itaçõe..6

topolõgic.a~

.6e./tiam vó/ttic.e..6pontuai.6

e.m t/tê.6 dime.n.6õe..6, ma.6do

ponto

de

viAta

61Aieo,

o eonjunto

mai.6 natu/tal

~ aque.le.

po~ exc~ta~õe~ do tipo

eo~da.

(21)

-011-

CAPTTULO

I I I

MODELOS

COM

SIMETRIA

PLANAR

I I l-A - Ausência de Ordem de Longo Alcance em d-dimensões

Nef.da

-6eç.ã.o

~aJtemo-6 uma

e-xten-6ã.o. -6obJte o Indic.e

n

de

-6i metJtia de6inido

em

(11.2)

e tec.eJtemO-6

alguma-6

c.on-6ideJtaç.~e-6

-6obJte a-6 pO-6-6ibilidade-6

de

quebJta e~pontanea

de

-6imetJtia

ne-6te-6

modelo-6 nazyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAo U.6 uai.6 •

A

ge.ne.Jtallza.ç.ão

do

lndlc.e.

de.

.6lme.tJtla. n

ê

6e.lta. e.xte.n-de.ndo-.6e. a. fiunç.ão

de.

c.a.l-éblte.A

e.m

(11.2). Pe.ltmi;timo.6 a.golta. que. A

.6e.ja.uma. 6unç.ão de. ;toda..6 a..6 d-c.ooltde.nada..6 e..6pa.c.iai.6, ma.6 que. .6a.-;ti.6na.ç.a.0.6 n vInc.ulo.6

(11I.1)

onde. !::.iêtsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAo ope.lta.dolt de. di6e.lte.nç.a.6ini;ta. na dilte.ç.ã.o Xi. Tal c.on-jun;to de. c.ondiç.õe..6 pode. ainda. .6e.1t ge.ne.lta.liza.do pa.lta.

(111.2)

onde.

O.

ê um c.onjun;to de. n ope.ltadolte.~ de. di6e.lte.nç.a.6 (ou na lingua

,(.. .

-ge.m do c.on;tZnuo, di6e.lte.nc.iai.6) Line.a.ltme.n;te.i~de.pe.nde.n;te..6. Em ge.-Ital, a.6 ;te.oltia.6 mai.6 .6imple..6 c.on.6i.6;te.n;te..6c.oma.6 c.ondiç.õe..6 aII.Z) pO.6.6uiltão in;te.ltaç.õe..6de6inida.6

e.m

.6imple.xo.6 mai.6 c.omplic.ado.6 que. .6imple..6 hipe.ltc.ubo.6.

A

c.la.6.6e.de. ;te.oltia.6 c.om dada .6ime.;tltia e.x;te.ndida Zndic.e. n ;te.ltãmui;ta.6 da.6 me..6ma.6 pltopltie.dade..6 da.6 ;te.oltia.6 c.om .6ime.~ltia Z~ dic.e. n oltdinãltia~. En;tlte. e..6;ta.6pltopltie.dade..6 a mai.6 impolt~an~e. e. a

aU.6ênc.ia de. oltde.m de. longo alc.anc.e. (palta ;te.oltia.6 U(l)} palta nonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=

.

ou

z.

MD.6~JtOU-.6e. 1te.c.e.nte.me.nte.(9) que. te.o~ia.6 com !nd~ce. de.

(22)

qual--018-zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

que~ T

tsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA>

O. Reve~emo~,

o meno~ pedante po~~lvel, o~ p~ineipai~ a~

peeto~ de~te

~e~ultado.

A

p~o0a

i

uma

exten~io

do

teo~ema

de

Me~min-wagne~.(5-8)

e

s

e

ba~eia no

us

o

da

de~igualdade

de

BogotiubovI79,20Ipa~alimita~

~upe~io~mente

o

pa~âmet~o

de

o~-dem

do ~i~tema {po~ exemplo, a magnetizaçao, no ea~o

em que

a

~i-met~ia 6o~ global).

Con~ide~emo~

um

modelo

eom

va~iãvei~ deáinida~ no~

tio~

de

uma

~ede

hipe~eü.biea d-dimen~iona.e.

e

onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAcu ]«

Hamiltonia.na

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAz

e

ja dada po~

(11.4).

Pa~a

z e

ana.e.,üa~a e~tltu.tu.lta.

de

llimetltia

de

tal modelo

~egu~mo~

o p~oeed~mento ge~al, emp~egado na p~ova

do

:teo~ema de Me~m..i.n-Wagne~, u~ando-~e a de~..i.gualdade de Bogol..i.ubov:

.

2-~\-'<

~A,Á~r)<

[C ,

\-11,c

t

]

'> ~ \ <

[C)

AT/\

(111.3)

onde a adagajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAd e n o t:á o He~m..i.:t..i.anoeonjugado, e

[,l

_j

t)l

deno-:tam ~e~pee:t..i.vamen:teo~ eomu:tado~e~ e an:t..i.eomu:tado~e~.<o>

~ep~e-~en:ta a mêd..i.a:têlLm..i.eado opelLadolL a- ã :tempe~a:tulLa T = f3-1. Veno :tamo~ pOlL \tp < .~ » o es xado (ou c o n6..i.gulLaçã.o)do ~..i.~:tema, de6..i.n..i. do pelo c.onjun:to {,6c~)} palLa xod os os po nxo s

t«

n e .d « ,

Pode-mo~ ene6n:tlLalL ope.lLadolLe~A e C :ta..i.~qu.e pela ~ua açao ne~:te~ e~~d

d o s no s c o ndu.za ã l..i.m..i.:te~~ upelL..i.olLe-6da mag ne:t..i.zaç.ã.odO-6..i.~:tema.

Um c.onjun:to de-6:te~opelLado~e-6 ê dado pOlL:

(111.4)

e

(111.5)

(23)

-019-

I

onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA onde.

lt,(~):.

\1('i-)+b~CoS~1»

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

. -=>

\ ~2

ti):.

\~f;')+

se}

s~y..

-r:.."'t.

>

(111.6)zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Na~ exp~e~~oe~

aeima 6.

jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAi

um eampo eon~tante

pequeno

e

k

~ão veto~e~

de onda. peJLteneente~

ã.

p~imei~a

zona de B~illouin.

H ::

~o(9) -

h ~

cos ~(:;.).

x.

onde. Ho é aant.iga Ham.ilton.iana (11.4). A~~um.imo~ que. nao haja e.x pl.ic..itame.nte..inte.ltaç.õe.~de. longo alc.anc.e., .i~to é

l:tjl

de.ve. ~e.1t

6.i

n.ito. A~~um.imo~ também que. a~ 6unç.õe.~

6

p e.m (11.4) po~~am ~e.1t e.x~

paYj.d.idal.l,e.m ~élt.ie. de. Taylolt, e.m toltno do ze.lto de. ~e.u altgume.nto.

Con~ideJLemo~

O

eaao

n

=

2. PaJLa

~e

e~tudaJL a

po~~ibili-dade.

de.

queb~a

e.~pontânea

de

~ime.t~ia global, eon~ideJLamo~ a

Ha-miltoniana

da 6o~ma

(11.4), eom um te~mo adieional

que queb~e

e~-(111.7)

(111.8)

Ul.lamol.lagolta (III.4) e. (1 1 1 .5 ) palta c.alc.ulalt (III.3).Pa

{Il1 .9 )

(1 1 1 .1 0 )

e. qu.e.

(24)

:te.ttm ic.atsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA_de_{zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

-020-

( 111.11)

onde. a.6 c.on.6:tan:te..6 Cp ,_..{. nottam in:tttoduz-ida..6 e.m (11.4) •

A .6.6um -im o.6 que. a m e.d,[a :te.ttm ,[c.a

< f~

,>.$

G'

dozyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

p,

onde y e. tteai P 0.6-i:t,[vo. Tom ando-.6e a m e.d,[a

.'

_(111.11) _{ob:te.m o.6}

*

patta

:to-(111.12)

U~ando-~e a~ Equaçõe~ (11.9-12) em (111.3) ob~emo~ a de~igualdade

-L

yytl. ~ I3N

L __~

_

f ~ l'jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAL .b

r -+ 'n m.

i'

onde a .6omaem

t.

e

.6obJte.a pJtime.iJtazo'na de BJtillouin e.

(111.13)

(111.14)

Mo~~JtaJte.mo~a ~eguiJt que .6e Ho 60Jt invaJtian~e tJtan~6oJtmação

pela

(111.15)

então a .6oma ~obJte k em (111.13) diveJtgiJtã no limite ~eJtmodinami-co

a

medida que h tenda a zeJto, implicando que a magne~ização

de-va ~eJt nula ne~te limite.

Con6oJtme di.6cuti..mo.6no c.apZtulo lI, Ho deve ~eJt e.6ctito

*

Ob~eJtve que e~tamo.6 li..dando com uma t~otia clã~.6ica,

-+-"f2.e.:tf.>"~ão ve.:tone.6 .Ltl1.ha-6 e c.olul1.a.ó 11.0e...ópaç.o x e 06 .6ã.omatJtize~ que agem ne..6te.e.ópaço.

"bJta~" e

ope..Jta.doJte...ó

(25)

-021-na 6o~ma

(11.41, em que cada oun~ão op

ê

inva~iante 4epa~adamente

po~

(111.151.

Mai~ ainda, o~ coeoiciente~ CPj pa~a cada potencial

deve ~ati~oaze~;

(111.161

cente~ ao plano (xl'

expandi~

tsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAEp

em ~ê~ie

*

x21 .

Como

Ep = O

pa~a

"1 =

de Taylo~ noento~no

de ~eu

podemo~

onde

a ~ep~e~enta o

Qonjunto

de

todo~

o~

lndiQe~

de

~pin~

pe~ten-ze~o, e te~emo~;

(111.17)

onde U

p'jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAvp' Wp ~ao 6unçõe~ 6~n~~a~ de

k.

Con~~de~e ago~a uma ~e

de de d~men~ão l~nea~ L mu~~o g~ande. Ve6~n~ndo-~e

U C E ")) ;;:onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

õ'

f

()p l~ ) ; ezc , e ~~oc.ando-~e a ~oma ~obJte k po« uma~' ~n~eg~al, a de~~gualdade (111.13)no~ da~i

(111.18)

onde

(111.19)

c.omo EP ~ O paJta c.adà p , olha.ndo a ~egião de in~eg~ação onde k: 1

e k:

_z

~ão pJtõximo~ de

r

ê c.laJtoque 1d diveJtgiJtãpelo meno~ c.omo lnL no limi~e h -+

o.

POJt~an~o, no limi~e ~eJtmodinâmic.o m2 -+ O c.on

60Jtme h -+ O e o ~i~~ema não exibi~ã oJtdem de tongo alc.anc.e, i~~o

ê, a ~ime~Jtia global não podeJtã ~e~ quebJtada e~pon~aneamen~e.

*

Na no~ação do c.on~lnuo ~~~o ê equ~valen~e ã 46iJtmação que Ho d~ pende apena~ de ~ atJt~vê~ de

al~

e

a2~.

'l~to ~eJtmite que tenha-mo~, em H , teJtmo~ do tipo (a3a2~)' ma~ nao podemo~ ~eJt

teJt-o . 2

(26)

I ~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-022-Cont~a~tand~zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o~ a~gumento~

acima

meneionado~com

aquete~ u~ado~

.

(5- 8

1

na p~ova u~uat do

teo~ema de Me~m~n-Wagne~

,vemo~

cla~amente

que

o

nato

e~~enciat

que

no~

conduz

ã

au~ência

de o~dem de

tongo

alcance n~o

i

a dimen~ionalidade do ~ihtema,ma~ ~ima dimenhiona lidade do ehpaço,~upo~te

~ob~e o

qual a ~imet~ia

i

global.

E

t~i-vial apliea~-~e

o~ a~gumento~

acima explicltado~ pa~a p~ova~ que tamb~m não pode exi~ti~

o~dem de

longo

alcance

pa~a teo~lah

com

'um

Zndice de

~imet~ia

n

=

1.jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAP a ~ a i~to ba~ta nota~, que quando n

=

1

,

E: pode ~e~

e~

c~ito d a

me~ma

6

o~ma que (1 1 1 . 17),

com

ponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

v

p =

=

W

_p

=

O,

o que LmplLca~ique a dive~g~ncLa

de I

_d

,

no

limite

te~-modlnâmlco, ~e~~ no m1nimo linea~.

Mo~tlLa~emoh a'~egui~ que pa~a a~ teo~a~

com

L n â i.ee» de

~imet~ia n

=

1 e n

=

2, ~ao apena~ a himet~ia global nio pode he~ e~pontaneamente queb~ada, mah de nato, todah a~ himet~ia~

~emi--locaih de l.ndice 1 e ,2 nio podem he~ e~pontaneamente

nehtah teo~iah. Concent~a~-no~-emoh novamente no ca~o n = 2, poih

e

himple~ conht~uilL a~gumento~~imila~e~ pa~a o caho n

=

1.

himetlLia hemiglobal n

=

2, p~ecihamoh acopla~ em H , um potencial

, o

que apenah queblLe tal ~imet~ia, deixando ah demai~ ~ub~imet~ia~ da himet~ia l.ndice 2, pa~ticula~mente a global, intactah. Como Ho

e

inva~iante po~ (111.15) podemo~ 6acilmente conclui~ que o obje-to ~elevante pa~a ~e tehta~ a queb~a da ~imet~a n = 2

e

a

6un-çio de doih pontoh,de6inLda po~:

(111.20)

+.

(27)

I IIzyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

-023-

\-\ _ \-\ _ h..,

L \:

(1)

jihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

- o M ~ MonmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

paJtâmetJto

de

oJtdem alllloci,ado

ã

llimetJtia l.ndic.e

2

lleJtã

(111.21)

dado pOJt:

Állllim

c.omo

6ize.mollno c.a~o da ~ime.tJtia.globa.l,

te.~ta-Jtemolla POllllibilidade

de

quebJta.da. llimetJtia.~e.mi-9loba.l n

=

2 c.a.l

c.ula.ndo-~e.

(111.22),

u~ando

a

Ha.m~ltonia.na.

(111.21),

e

então

to-maJtemOll o limite. ~~~

O

-.

Ca~o

m

M

se]«

nã.o nulo,

e.m

tal

limi-te,

te~Iamo~

a queb~a

e~pontânea

da'~imet~ia

~emi-global.

A

6im

. 2

de

c.on~t~uiJt-~e um limite

~upe~o~

paJta

m

_M

u~amo~

novamente

a

de

~igualdade

de

Bogoliàbov

(111.3)

c.om o ope~ado~

C

k

de6inido

po~

(111.4) e

~ \~('2i)

=- ~

í.

c.o-ty- ~~.

(1-t\~'\tt~("f))

\ ~\

(1)'')

.•L

lSl~~r-S\·V\t·(9)-M)j

~M (1(f))

\~,(5\»

1 .

(111.23)

onde,

da .me~ma 6o~ma

que no c.a~o global

<P

1

(~)::

\4 (;,) ~

~c:f

c.os-E.::'>

1

2

(~) ~

l4>c~)

+'b~

s~V\-t.~

>

(111.6)

e

E6etuando-~e

c.ãlc.ulo~anãlogo~

ãquele~

~e.alizado~ pa~a

~e.

obte~

(111.13),

obte~e.mo~ a de.~igualdade.

(28)

-024-

(111. 26)

Como ~ po~~ue

eomponente~

6o~a do plano

(Xl'

_x2),

o

nu-me~ado~

do integ~ando

de (111.25)

nio

i

nulo

quando

~1=k2=O.

Vevi

do

onmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAã

po~itividade

do integ~ando

em (111.25)

a anãl~

e

p~o~~ egue. da

me~ma

áo~ma

que

em (111.19). A

inte.g~al

dive~ge,no

Limite

te.~mo-dinâ.mieo,

dev1.do

ã.

eont~ibu-i..çio do -i..nteg~ando nll~ ime.d.illç.õe.~ de.

~1=~2~O.

A d.ive~gêne.ill

1-~ equentemente \'VL'M :. O

tJt,i,a.

Ind,i,c.e.

2

não pode

i

pelo meno~

eom lnL eon6o~me

h

_M

~ O.

Con-no l.im.ite.te.~modLnam.ieo

e.'po~tllnto a ~ime

~e.~ e~pontanellmente

~ompida.

t

inte~e~~ante ob~e~va~ quezyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe~~enc~almente o~

mecan~~-mo s ~e~ po n~ ã.ve~~ã au~ênc~a de qU,eb~a 'de ~-i.met~~ajihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAs ã o os me~mo,6,

em ambo~ o~ ca~o~ anali~ado~. Sã.o a~ ~e~ma~ excitaç~e~ de "60-non~" de g~ande comp~imento de onda (a~~ociada ao ea~ã.te~ contZ-nuo do g~upo U (1)) que induzem li'de~o~dem, em ,amba~ a~ ~imet~ia~.

Podemo~ aplica~ a~gume~to~ ~~m~la~e~ pa~a ~e te~ta~ a queb~a de

~imet~ia u~ando-~e, ao invê.~ da 6u.nção de co~~elação M..-ll ,

6un-t1

-

*

çoe~ de co~~elaçao de multico~po~ .

Fecha~emo~ e~ta ~eção com uma di~cu~~ã.o ~ob~e po~~Zve~~

exten~ Ões ao te.o~e.maacima. A p~imei~a e.xte.n-6ãoco~~e.-6ponde. a -6~-'

me.t~~a-6-6e.m~-locai-6da 60~ma ge.~al (111.2), ~~to ê., a ~~tuação e.m que. a 6unção de. cal~b~e.

A

ê. 6unção de. toda-6 a~ d coo~de.nada-6, ma~ -6uje.~taa n vlnculo-6 da 6o~ma .

(111.2)

-6e.ndoO. um conjunto de. n ope.~ado~e.-6de. d~6e.~e.nça-6l~ne.a~me.nte.~n ~

de.pe.nde.nte.-6.Não ê. d~6Ic~l e.-6te.nde.~--6e.0-6 ~e.-6ultado-6aci~a de.mon-6 t~ado-6, pa~a e.-6ta-6~me.t~~aIndice. n mai-6 ge.~al. Lemb~e.mo~ que. no