Perl de Veloidade para o Esoamento de
Fluido em uma Plaa Plana
VeloityProlefotheFluidFlowinaFlatPlane
KatiaBarrosde Laerdae A. E.A. Amorim
FauldadedeTenologiade Jahu,CEETEPS
CEP17212-650,Ja u,SP
Reebidoem21/02/2001. Aeitoem12/03/2001
Neste trabalhodisutimosaabordagemfeita paraseestudarooneito deamadalimiteusando
umadistribui~aopolinomialparaoperldeveloidadenoesoamentodeumuidoemumaplaa
planaeomparamososresultadosobtidosnaliteraturaomumoutrometodoondeadistribui~ao
develoidadeeobtidaatravesdaseriedeTayloremtornodaamadalimite.
Inthisworkwedisusstheapproahdonetostudythelayerboundaryoneptusingapolinomial
distributionfortheveloityprolefortheowofauidinaatplateandweomparetheresults
obtainedintheliteraturewithanothermethodwherethedistributionofveloityisobtainedtrough
theseriesofTaylor aroundtheboundarylayer.
I Introdu~ao
Noslivros-textosdeMe^aniadosFluidos
utiliza-dos na gradua~ao, um assunto de espeial relev^ania
para as Engenharias e a Fsia, trata sobre o
esoa-mentodeuidosatravesdeorpossubmersos.
De uma maneira geral, os livros abordam
iniial-mente o oneito de amada limite, introduzido por
Prandtl[1℄, em 1904, que sugeriuque aanalise do
es-oamento do uido, em torno do objeto, pudesse ser
feitoemduasregi~oes: umaproximaao objeto ondeos
efeitosdoatritos~aomuitoimportantes,eumaexterna,
ondeoatritopodeserdesprezado. Oontornoque
de-limitaestasregi~oeshama-seamadalimite.
Assim, oslivrosabordam iniialmente oestudo do
esoamento do uido sobre uma plaa plana, onde se
disute a forma~ao da amada limite. A analise
qua-litativadeste proessoefeita usando ooneito de
li-nha de orrente. Nas linhas adjaentes a plaa,
apa-ree uma fora de intera~ao entre o uido e a plaa,
queproduz umaredu~aona veloidadede esoamento
destas linhas. Em virtude da diferena de veloidade
entreestaslinhasomaslinhas deorrenteadjaentes
douido,oorreoisalhamentosobre umelementode
uidotomadonestaregi~ao. Aformaomooorreo
i-salhamento douidoestaassoiadaomavisosidade
douido.
A medida que nos afastamos da plaa, o
isalha-mentodiminui. Oresultadonaleumadistribui~aode
idaomoperldeveloidade. Aformaanaltiaexata
destadistribui~aoedesonheidae,porestaraz~ao,s~ao
utilizadas algumas express~oes aproximadasnos
livros-textos,quesatisfazemasondi~oesdeontornodo
pro-blema.
E assumido que a veloidade do uido, junto
a plaa e nula. Esta e a hipotese do n~ao
esorrega-mento. A outraondi~ao assumeque aveloidade do
uido,numpontodistantedaplaa,eonstanteeigual
aveloidadedouidosemaplaa.
Emboraoproedimentoadotadopeloslivros-textos
sejamuitoutilizado,dopontodevistadidatio,oaluno
perdeaorrela~aoexistenteentreosoeientesdeseu
modelo matematio om as ondi~oes de ontorno do
problema.
PoroutroladopodemosapliaraseriedeTaylorao
perl de veloidadeem tornoda amada limite,
utili-zando asmesmas ondi~oes de ontorno, omparando
osresultadosomasexpress~oesdoslivros.
Neste artigo sera feita uma disuss~ao sobre estas
metodologias para se obter o perl de veloidade do
esoamentodouidoatravesdeuma plaaplana.
Anteipando os resultados, observamos que a
solu~ao obtida usando a expans~ao em serie de Taylor
e unia para expans~oesde primeira e segundaordem.
Nestas ordens de expans~ao, a express~ao e validapara
amadaslimitesmuitoestreitas. Paraexpans~oesde
ter-eiraordemousuperior,oresultadon~aoeunio,
apre-sentandoinnitassolu~oesdependentesdosvaloresdos
tado.
Poroutro lado, observamos que os oeientes da
expans~ao est~ao relaionadosom asondi~oesde
on-torno. Este fato permite ao aluno entender a
de-pend^enia dosoeientes doperlde veloidadeom
as ondi~oesdeontorno.
Finalmente, notamos que os pers obtidos s~ao
id^entios na forma. Contudo devemos destaar que o
metododaseriedeTaylorimp~oeumregimedevalidade
para aaplia~aodo perl develoidadepara amadas
limites estreitasenquanto que ometodo dopolin^omio
n~aofazqualquerrestri~ao.
O trabalho estaorganizado na seguinte forma: na
se~aoseguinte disutimosalgumas onsidera~oes
inii-aiseapresentamosomodelo. Naultima se~ao
apresen-tamos asonlus~oeseresultadosprinipais.
II Camada limite
Asamadasdouido,numesoamentoreal,t^ema
suaveloidaderelativaaplaav(y)afetadaportens~oes
deisalhamentoprovoadaspelasintera~oesexistentes
aspartulasdouidoqueperorremdistintaslinhasde
orrente. De aordo om Prandtl, identiamos uma
regi~ao na qual o uido pode ser tratado omo ideal,
jaqueaveloidaderelativaentre aslinhas deorrente
ea mesma, e uma outra regi~aona qual a visosidade
desempenhaumpapelfundamental.
Devidoao atritoexistente entre ouidoeaplaa,
o esoamento da amada de uido diminui ateparar.
Esta hipotese do n~ao esorregamento do uido
pres-sup~oe que a veloidadeda amada do uido naplaa
enula v(0) = 0.Evid^enias experimentais omprovam
estefato[2℄.
Amedida quenosafastamosdaplaaaveloidade
do uido rese rapidamente ate atingir a veloidade
do esoamento iniial v
o
, a uma dist^ania Æ daplaa,
denindo aespessura daamadalimite naqueleponto
daplaa.
Nestasitua~aoaveloidadedouidoeid^entiaa
ve-loidadedeesoamentodouidoforadaamadalimite
v(Æ)=v
o .
Algunslivrosassumemqueavaria~aodaveloidade,
nabordadaamadalimiteedesprezvel,
v
y
y=Æ
=0; (1)
utilizando tal equa~ao omo ondi~ao de ontorno.
Contudo, devemos frisar que, em um estudo mais
re-alista, as ondi~oes de ontorno est~ao restritas ao
es-oamento douido junto a plaa(v(0)=0) e forada
amadalimite (v(Æ)=v
o ).
Tais resultadospodem serresumidos omo mostra
Figura1. Camadalimiteeoperldeveloidadedouido.
Asehasindiamamagnitudedaveloidadedouido. A
linhaurvaetraejadarepresentaaamadalimite. Alinha
urva eontnua, quedelimita as ehas,expressa o perl
develoidadedouido.
Contudo, a forma exata do perl da veloidade e
desonheida, sendo onheido apenas os seus valores
numeriosatravesdasolu~aodeBlasius[3℄. Emfun~ao
disto,algunsautores[3℄esrevemoperldeveloidade
omoumafun~aopolinomial.
Paraumestudoiniialsobreaformaaproximadado
perldeveloidade,oslivros-textosassumemuma
dis-tribui~aodasveloidadesomouma urvadesegundo
graunaforma
v(y)=Ay 2
+By+C ; (2)
ondeA e Bs~ao determinadas pelas ondi~oesde
on-tornojamenionadas.
Com as ondi~oes de ontorno impostas na Eq.2,
temos
v
o =AÆ
2
+BÆ; (3)
C=0; (4)
e
2AÆ+B =0: (5)
Comestesresultados,asonstantesseesrevem
A= v
o
Æ 2
; (6)
e
B=2 v
o
Æ
; (7)
deformaqueoperldeveloidadeedadopor
v(y)=v
o v
o
Æ 2
( Æ y) 2
: (8)
Observequenestadedu~aooresultadonaldo
per-lexpressaadepend^eniadaveloidadeemfun~aoda
oordenadaye,aprimeiravista, aEq.8n~aoapresenta
deformalaraadepend^eniadasondi~oesdeontorno
noperldeveloidade.
Para efeito omparativoiremos deduzir operl de
veloidadeusando a serie de Taylor. Considere agora
umaexpans~aodoperlde veloidadeemtorno da
Figura2. Expans~aodoperldeveloidadeemtornodeum
pontodaamadalimite.
Assim
v(y)=v
o + dv dy y=Æ
(y Æ)+ 1 2 d 2 v dy 2 y=Æ (y Æ) 2 ; (9)
Apliandoasondi~oesdeontornotemosqueo
se-gundotermodoladodireitodaequa~aoaimaenuloe
que,paray=0,
v(0)=0=v
o + 1 2 d 2 v dy 2 y=Æ Æ 2 : (10)
Destaforma,temosqueoperldeveloidadeedado
por
v(y)=v
o v
o
Æ 2
( y Æ) 2
; (11)
ujo resultado oinide om a express~ao obtida
ante-riormente na Eq. 8 usando o metodo do polin^omio.
Contudo,avalidadedoresultadodadopela Eq.11esta
restritaaamadaslimites estreitas,devidoaordemde
expans~aoonsiderada.
Poroutrolado,trunandoaserieatetermosde
ter-eira ordem e apliando asmesmas ondi~oes de
on-torno,
0=v
o + 1 2 d 2 v dy 2 y=Æ Æ 2 1 6 d 3 v dy 3 y=Æ Æ 3 ; (12)
operldeveloidadedouidoseesreve
v(y)=v
o + Æ 2 2 d 2 v dy 2 y=Æ y Æ 1 2 + v o + Æ 2 2 d 2 v dy 2 y=Æ ! y Æ 1 3 : (13)
Expandindoaspot^eniaseseparandoasexpress~oesemtermos depot^enia dey=Æ operlseesreve
v(y) = 3v
o + Æ 2 2 d 2 v dy 2 y=Æ ! y Æ 3v o +Æ 2 d 2 v dy 2 y=Æ ! y Æ 2 + v o + Æ 2 2 d 2 v dy 2 y=Æ ! y Æ 3 : (14) d
Observequeomseries detereiraordemou
supe-rioresoperldeveloidadev(y)eindeterminado,pois
depende do valor da segunda derivada da veloidade.
Destaforma,estetratamentot^emvalidadepara
ama-das limites estreitas seeutilizadauma solu~ao exata.
Paraordensmaiselevadas,adistribui~aodaveloidade
aindeterminada.
Contudo, Shames prop~oe uma solu~ao partiular
paraeste asodeformaquetermos dasegundaordem
sejam nulos[5℄. Portanto, partindo da forma
polino-mial,operldeveloidadeobtidoe
v(y)=v
o 3y 2Æ y 3 2Æ 3 : (15)
Estemesmoresultadoeobtido,partindodaEq.14.
sernulo,ent~ao
d 2 v dy 2 y=Æ = 3v o Æ 2 : (16)
Substituindonaexpress~ao,operldeveloidade
re-duza
v(y)=v
o 3y 2Æ y 3 2Æ 3 : (17)
O resultadoe o mesmo que o obtido por Shames,
onsiderando um polin^omio. Observe que em ambos
osasosestudados, asexpress~oesparaaveloidadedo
uidos~aoequivalentes, mostrandoqueosmetodoss~ao
equivalentes. Contudo a abordagem feita utilizando
expans~ao em series de Taylor para o perl de
veloi-dade e mais natural. Os oeientes apresentam um
onteudo fsio e matematio bem laro, ressaltando
admite variassolu~oes easolu~aoexata e enontrada
paraamadaslimitesestreitas.
III Conlus~oes
Neste trabalho, foi efetuado um estudo sobre a
abordagemutilizadanoslivrossobreooneitodo
per-ldeveloidadeparaumuidoesoandoporumaplaa
plana. Aabordagemfeitaatravesdaexpans~aodoperl
de veloidadeem tornodaamadalimite, utilizandoa
seriedeTaylor,tornamais laraaoaluno, permitindo
que o mesmo avalie a validade da solu~ao obtida em
termos da ordem onsiderada. Termosde tereira
or-demousuperioramindeterminadas. Paratermosde
segundaordem,asolu~aoeexata. Aesolhadefun~oes
polinomiaisparaoperldeveloidaden~aopermiteque
setenhaumaideialaradarela~aodosoeientesem
termos das ondi~oes de ontorno, alem do que n~ao
imp~oeumarestri~aosobreavalidadedestetratamento,
induzindooestudantearerqueevalidoparaamadas
limites dequalquertamanho.
Agradeimentos
PESP.Umdosautores(AEAA)agradeeaoprof.
Mar-osShoitipela onfe~aodosdesenhoseleiturado
ar-tigo.
Referenes
[1℄ L.Prandtl,L.,
UberFlussigkeitsbewengung beisehr
klei-ner Reibung, Verhandl. des III Intern. Math.-Kongr.,
Heidelberg,1904.
[2℄ RuiCarlosCamargoVieira,AtlasdeMe^aniados
Flui-dos,p.109,EditoraEdgardBluherLtda.1971.
[3℄ WillianS.Janna,IntrodutiontoFluidMehanis,third
Ed.,InternationalThomsonPublishing,p.697, 1993.
[4℄ Ennio Cruz da Costa, Me^ania dos Fluidos, Editora
Globo,1973.
[5℄ Irving H. Shames, Me^ania dos Fluidos, Editora
Ed-gardBluherLtda,VolumeIeII,1973.Tradu~aoMauro
O.C.Amorelli.
[6℄ Dayr Shiozer, Me^ania dos Fluidos, Editora
Argen-tina,1990.
[7℄ VitorL.StreetereE.BenjaminWyllie,Me^ania dos
Fluidos, Editora MGraw-Hill do Brasil Ltda, 1982.
