Caracterização dos números que se comportam como primos em alguns subconjuntos dos inteiros gaussianos(Z[i])

Aldo Correia Saldanha

Caracterização dos Números que se Comportam como

Primos em Alguns Subconjuntos dos

Inteiros Gaussianos(

Z

_[

_i

_])

Caracterização dos Números que se Comportam como

Primos em Alguns Subconjuntos dos

Inteiros Gaussianos(

Z

_[

_i

_])

Monografia apresentada ao Insti-tuto de Ciências Exatas da Universi-dade Federal de Minas Gerais, como parte das exigências do Curso de Especialização em Matemática para Professores - Ênfase : Matemática do Ensino Básico.

Orientador : Ezequiel Rodrigues Barbosa

iii

Dedicatória

Dedico este trabalho aos meus alunos.

Agradecimentos

Agradeço à Deus, ao meu orientador pela paciência e boa vontade, a companhia de meus colegas de classe neste curso e a todos os meus professores.

Para refletir

...Trabalho digno, bondade, compreensão fraterna, serviço aos semelhantes, respeito à Natureza e oração constituem os meios mais puros de assimilar os princípios superiores da vida, porque damos e recebemos, no plano das idéias, segundo leis universais que não conseguiremos iludir...

Nos Domínios da Mediunidade

Sumário

1 Introdução 1

1.1 Histórico e Objetivo . . . 1

1.2 Conjunto dos Inteiros Gaussianos . . . 3

1.2.1 Vida e Obra de Johann Friederich Carl Gauss . . . 3

1.2.2 Os Inteiros Gaussianos . . . 5

2 Números Primos em p.Z_{[i] 17} 2.1 Considerações Preliminares . . . 17

2.2 Caracterização dos Primos em p.Z[i] . . . 20

Referências Bibliográficas 23

CAPÍTULO 1

Introdução

1.1

Histórico e Objetivo

O presente trabalho começa a ser gestado em fins de agosto do ano de 2009 em um exercício proposto em sala de aula na disciplina Álgebra I. O exercício proposto era determinar quais são os números que se comportam como números primos no conjunto dos números pares. O problema foi resolvido e generalizado para qualquer conjunto de múltiplos de números primos no conjunto dos números naturais.

N={0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ....}

Dadok, primo em N, o conjunto dos múltiplos de _ké o conjunto:

k.N={k.n_| n _∈N}

Um númeropse comporta como número primo emk.Nquando o número de divisores

dep emk.N, com quociente em_k.N, é igual ao número de divisores de um número primo

em N, ou seja, possui somente dois divisores. Diremos que _p é primo em _k.N quando _p

se comportar como um número primo em k.N.

Exemplos

k primos em k.N divisores do menor primo em _k.N

2 8,12,20,... 2,4 3 18,27,45,... 3,6 5 50,75,125,... 5,10

Na verdade, podemos mostrar que:

Teorema 1.1.1. Dado p primo em N e p.N={ p.n _| n _∈ N}

então, t ∈ p.N é primo em p.N, se e somente se

t=p2

.q

para algum q primo em N.

Demonstração.

(=⇒)

Dado t primo em p.N, temos que _t possui somente dois divisores. Necessariamente,

um dos divisores de t é p, pois estamos trabalhando no conjunto dos múltiplos de p. O

outro divisor det é da forma p.q, onde q é um primo em N, dessa forma:

t=(p).(p.q) .

Se, por absurdo, q não for primo em N, existem, pelo menos, dois números primos _q1

e q2 pertencentes a N, tal que:

q=q1.q2

assim,

t=p.p.q1.q2 .

Temos dois casos a analisar:

Se q1=q2=q, teremos para divisores de t:

p , p.q e p.q2

e dessa forma, t possui três divisores, o que é um absurdo, pois, t é primo em p.N.

Se q1 6= q2, teremos para divisores de t:

p , p.q1 , p.q2 e p.q1.q2

e dessa forma t possui quatro divisores, o que é um absurdo, pois, t é primo em p.N.

(⇐=)

Reciprocamente, dado t=p2_{.q , com q primo em N. Temos que mostrar que t possui} somente dois divisores em p.N.

De fato, os únicos divisores de t são p ep.q, pois:

t

p=p.q ∈ p.N , t

1.2 Conjunto dos Inteiros Gaussianos 3

No final do ano de 2010, por sugestão do orientador deste trabalho, ficou definido que o objetivo deste trabalho é determinar quais os números que se comportam como números primos no conjunto dos múltiplos de números primos emZ[i](INTEIROS GAUSSIANOS):

Z[i]={a+bi _| a,b _∈ Z ; i2 ₌

−1}

Dadop, primo em Z[i], o conjunto dos múltiplos de _p é o conjunto:

p.Z[i]={p.w _|w _∈ Z[i] }

O principal resultado deste trabalho é :

Teorema 1.1.2. Dado p primo em Z[i] e p.Z[i]={ p.z _| z _∈ Z[i] }

então, t ∈ p.Z[i] é primo em p.Z[i], se e somente se

t=p2_.w

para algum número primo w em Z[i].

1.2

Conjunto dos Inteiros Gaussianos

O conjunto onde trabalharemos, conhecido como Conjunto dos Inteiros Gaussia-nos, tem esse nome porque foi feita uma homenagem a um grande matemático de nome Johann Friederich Carl Gauss.

1.2.1

Vida e Obra de Johann Friederich Carl Gauss

Johann Friederich Carl Gauss (1777-1855) nasceu em Brunswick, Alemanha e foi um dos maiores matemáticos de todos os tempos, legando-nos uma imponente obra. De família humilde mas com o incentivo de sua mãe obteve brilhantismo em sua carreira. Estu-dando em sua cidade natal, certo dia quando o professor mandou que os alunos somassem os números de 1 a 100, imediatamente Gauss achou a resposta - 5050 - aparentemente sem cálculos. Supõe-se que já aí houvesse descoberto a fórmula de uma soma de uma progressão aritmética.

Aos dezessete anos Gauss se estabeleceu a meta de corrigir o que seus predecessores haviam feito em Aritmética. Aos vinte e um anos como fruto deste projeto ele produziu a sua obra prima, o livroDisquisitiones Arithmeticaeque contém grandes contribuições

Dados a, b, m inteiros, sendom não nulo, a e b são ditos congruentes módulo m se os restos da divisão de a e b por m forem iguais. Quando a e b são congruentes módulo m, escreveremos:

a≡b mod p .

No livro Disquisitiones Arithmeticae, Gauss introduz e estuda as congruências e

as equações do tipo

x

≡

a

mod p

x

=

a

p . Um problema natural neste contexto é saber para quais valores de a∈ Z, a equação acima possui solução. Este é um problema difícil e até

hoje sem solução. Em busca da solução, Gauss se restringiu ao caso n=2 e elaborou tabelas para compreender o problema. Gauss não conseguiu resolver o problema mas descobriu e demonstrou uma propriedade maravilhosa, detectada anteriormente por Euler, oTeorema da Reciprocidade Quadrática, cujo o enunciado segue.

Teorema 1.2.1 (Teorema da Reciprocidade Quadrática). Se p e q são números primos positivos distintos, então as congruências

x2 _{≡q mod p e x}2 _{≡p mod q,}

são ambas resolúveis ou ambas não resolúveis exceto quando p ≡ 3 mod 4,e neste caso

uma e somente uma das congruências admite solução.

Para resolver o problema da reciprocidade quadrática, Gauss introduziu num trabalho publicado em 1825 os números da forma a+bi com a e b inteiros. Estes números, chamados de inteiros gaussianos, possuem propriedades semelhantes às dos números inteiros.

Outra famosa contribuição de Gauss é o chamado Teorema Fundamental da Álgebra, que estabelece que toda equação algébrica com coeficientes reais (ou complexos) admite pelo menos uma raiz complexa. Este é o outro teorema que fascinou Gauss dando-lhe ao longo da vida quatro provas distintas.

Outras áreas onde Gauss deixou contribuições relevantes foram, Estatística (distribui-ção normal de Gauss), Geometria (geometria das superfícies e geometrias não euclideanas) e Física (magnetismo). Mas de todo este universo, Gauss nunca escondeu a sua preferência sintetizada na seguinte frase:

1.2 Conjunto dos Inteiros Gaussianos 5

1.2.2

Os Inteiros Gaussianos

O conjunto dos inteiros Gaussianos possui uma estrutura algébrica conhecida pelo nome de Anel. Nas próximas linhas definiremos o que seja um Anel e apresentaremos alguns elementos importantes de umAnel.

A teoria dos Anéis é um dos principais assuntos do vasto campo da Álgebra Abstrata. A origem da Álgebra remonta aos babilônios e o seu desenvolvimento percorreu um longo caminho. Um momento importante para a Álgebra ocorreu na primeira metade do século 19 com os trabalhos do irlandês Hamilton e de seus contemporâneos ingleses. Hamilton introduziu o formalismo dos números complexos que é até hoje usado e posteriormente definiu formalmente os quaternios dando mais um passo decisivo para o desenvolvimento da Álgebra Abstrata. Importante para o desenvolvimento da teoria foi o estudo dos Anéis de inteiros algébricos iniciado por Gauss e desenvolvido por Kummer, Dedekind, Kronecker, Dirichlet e Hilbert no final do século 19. Finalmente, a noção abstrata de Anel foi introduzida na segunda década do século 20.

Anéis

Sejam A um conjunto e ( + ) e ( . ) duas operações em A, chamadas de adição e multipli-cação. A terna (A , + , . ) será chamadaAnel Comutativo com Unidade1 _{se as operações} gozarem das seguintes propriedades:

• A1 - A Adiçao é Associativa

Quaisquer que sejam a, b, c ∈ A, tem-se: (a+b)+c=a+(b+c)

• A2 - A Adição é Comutativa

Quaisquer que sejam a, b ∈ A, tem-se: a+b=b+a

• A3 - Existência do Elemento Neutro para a Adição Existe α ∈ A tal que, para todo x ∈ A, tem-se: α+x=x

• A4 - Existência do Elemento Simétrico para a Adição Para todo a ∈ A, existe a, _∈ A tal que: _a+a,_=α

• M1 - A Multiplicação é Associativa

Quaisquer que sejam a, b, c ∈ A, tem-se: (a.b).c=a.(b.c)

1_{existem Anéis onde a ( . ) não é comutativa e, também, não possuem unidade. Nesse trabalho, todo}

• M2 -A Multiplicação é Comutativa

Quaisquer que sejam a, b ∈ A, tem-se: a.b=b.a

• M3 -Existência do Elemento Neutro para a Multiplicação Existe e ∈ A tal que, para todo x ∈ A, tem-se: e.x=x

• AM - A Multiplicação é Distributiva com Relação à Adição Quaisquer que sejam a, b, c ∈ A, tem-se: a.(b+c)=a.b+a.c

Usaremos o símbolo 0 para denotar o elemento neutro da adição e o símbolo 1 para

denotar o elemento neutro da multiplicação.

Usaremos o símbolo (-1)para denotar o simétrico de 1.

O simétrico de um elemento a ∈ A, A um Anel, é único. De fato, se b e b‘ _{são dois} simétricos de a, então:

b=0+b=(b‘_+a)+b=b‘_+(a+b)=b‘_+0=b‘

Usaremos o símbolo (-a) para denotar o simétrico de a. Note que o simétrico de -a é a.

Um elementoa ∈A será ditoinvertível, se existir um elemento b ∈A tal que a.b=1. Um

tal elemento b será chamado de inverso de a. Note que o inverso de um elemento a, se existir, é único. De fato, se b e b‘ _{são inversos de a, temos que:}

b=b.1=b.(a.b‘

)=(b.a).b‘

=(a.b).b‘

=1.b‘

=b‘

Usaremos o notação (a-b) para representar a+(-b). Esta operação será chamada de

subtração.

Um Anel A será chamado de domínio de integridade ou simplismente domínio se for verificada a seguinte propriedade:

• M4 -Integridade

Dados a, b ∈ A, se a6=0 e b6=0, então a.b6=0.

A propriedade acima é equivalente à seguinte propriedade:

• M4‘

1.2 Conjunto dos Inteiros Gaussianos 7

Proposição 1.2.1

Seja A um anel, dado a ∈ A, então a.0=a

Demonstração. Como 0=0+0 e vale AM(distributividade), temos:

a.0=a.(0+0)=a.0+a.0

Seja t o simétrico de a.0, assim:

0=a.0+t=(a.0+a.0)+t=a.0+(a.0+t)=a.0+0=a.0

Proposição 1.2.2

Seja A um anel, dado a ∈ A, então -a=(-1).a

Demonstração.

(-1).a+a=(-1).a+1.a=((-1)+1).a=0.a=a.0=0

logo -a=(-1).a (o simétrico é único)

Proposição 1.2.3 (lei do cancelamento)

Seja A um domínio de integridade. Dados a, x, y ∈ A, com a 6= 0.

Se a.x=a.y, então x=y

Demonstração.

Como a.x=a.y, temos:

0=(a.x)+(-a.x)=(a.y)+(-a.x)=(a.y)+((-1).(a.x))=(a.y)+(((-1).a).x)= =(a.y)+((a.(-1)).x)=(a.y)+(a.((-1).x))=a.(y+((-1).x))=a.(y+(-x))=a.(y-x)

Como a6= 0, segue pela propriedade M4‘ _{que y-x=0, logo :}

x=0+x=(y-x)+x=(y+(-x))+x=y+((-x)+x)=y+0=y

Sejam a e b elementos de um Anel. Se existir um elemento c de A tal que b=a.c, diremos que a divide b. Nesse caso diremos também que a é um divisor de b, ou que b é um múltiplo de a, ou ainda queb é divisível por a, e será simbolizada por a|b .

Um elemento não nulo e não invertível de um Anel é dito irredutível se os seus únicos divisores são os elementos invertíveis do Anel e seus próprios associados.

Um domínio de integridade A será chamado de Domínio de Fatoração Única(DFU), se todo elemento não nulo e não invertível de A se fatora como produto de um número finito de elementos irredutíveis. Por exemplo, o conjunto Z é um Domínio de Fatoração

Única(DFU).

Um subconjunto I de um Anel A, será chamado de ideal de A se possuir as seguintes propriedades:

• I 6= ∅;

• Se a, b ∈ I, então a+b ∈ I;

• Se a ∈ A e b ∈ I, então a.b ∈I.

Seja a ∈ A. Definimos I(a)={n.a | n ∈ A}.

Proposição 1.2.4

Seja A um Anel e I(a)={n.a | n ∈ A}, então, I(a) é um ideal de A.

Demonstração.

De fato,

0 ∈ I(a), pois, 0 = 0.a , assim, I(a) 6=∅.

Dados b, c pertencentes a I(a), existem n1, n2 pertencentes a A talque:

b= n1.a , c= n2.a

assim,

b + c = n1.a + n2.a = (n1 + n2).a

logo, b + c ∈ I(a).

Dado d ∈A,

1.2 Conjunto dos Inteiros Gaussianos 9

logo, d.b ∈ I(a)

Nesse caso, diremos que I(a) é gerado por a ou que a é um gerador do ideal I(a). Um ideal I de A que é da forma I(a) será chamado de ideal principal.

Um domínio de integridade A tal que todo ideal é principal é chamado de domínio principal.

Sejam a, b ∈ A. Definimos I(a,b)={n.a + m.b |n,m ∈A}.

Proposição 1.2.5

Seja A um Anel e I(a,b)={n.a + m.b | n,m ∈ A}, então, I(a,b) é um ideal de A.

Demonstração.

De fato,

0 ∈I(a,b), pois, 0 = 0 + 0 = 0.a + 0.b , assim, I(a,b) 6= ∅.

Dados c, d pertencentes a I(a,b), existem n1, n2, n3, n4 pertencentes a A talque:

c= n1.a+n2.b , d= n3.a+n4.b

assim,

c + d = n1.a + n2.b + n3.a+n4.b = (n1 + n3).a + ( n2 + n4).b

logo, c + d ∈I(a,b).

Dado e ∈ A,

e.c = e.(n1.a + n2.b) = e. (n1.a) + e.(n2.b) = (e.n1).a + (e.n2).b

Para demonstrarmos uma das próximas proposições, precisaremos da seguinte propo-sição:

Proposição 1.2.6

Sejam A um anel e I um ideal de A.

I=A, se e somente se, I contém um elemento invertivel de A.

Demonstração.

(=⇒) Trivial, pois 1∈ I

(⇐=)

Por hipótese, existe t ∈ A invertível, tal que t ∈ I. Seja t‘ _{o inverso de t.} Mostraremos, agora, que I = A.

(I ⊂ A) Por definição.

(A ⊂ I) Dado c ∈A

c = 1.c = (t.t‘_{).c = t.(t}‘_{.c) ,}

assim, c ∈ I

Um elementoa não nulo e não invertível de um Anel A é dito primo, se toda vez que a divide o produto de dois elementos de A, ele divide um dos fatores. Vê-se facilmente que se a éprimo, então todo associado de a é primo.

Demonstraremos mais duas proposições:

Proposição 1.2.7

Seja A um domínio de integridade.

Se p ∈ A é um elemento primo, então p é irredutível

Demonstração.

Dado p ∈A, p elemento primo.

Suponha que ∃ a∈ A tal que a |p.

Temos de provar que:

• a é irredutível

ou

1.2 Conjunto dos Inteiros Gaussianos 11

De fato, como a | p,

∃ b∈ A tal que p=a.b, logo p | a.b

como p é primo, segue que:

p | a ou p |b

Suponhamos inicialmente que p| a. Como por hipótese a| p, temos: ∃ u, v∈ A tal que : p = a.u e a = p.v

logo, p = p.v

|{z}

a

.u , assim:

p.1 = p = p.v.u .

Como p é primo, temos p 6= 0.

Levando em consideração a proposição 1.2.3, temos:

1 = v.u

logo u é invertível e assim:

a é um associado de p.

Suponhamos agora, p| b .

Da igualdade p = a.b, segue que b| p ,

assim, de forma análoga ao caso anterior : ∃u‘ _{∈A invertível, tal que p = b.u}‘ _{= u}‘_.b Seja t ∈ A o inverso de u‘_{, assim:}

t.p=t.(u‘_.b)=(t.u‘_{).b=1.b=b .}

Como

• t 6= 0 (t é invertível) • p 6= 0 (p é primo)

temos, pela propriedade M4 que b 6= 0 , assim, aplicando a proposição 1.2.3 em:

u‘_{.b = p = a.b}

temos:

Proposição 1.2.8

Seja A um domínio principal.

Se p ∈ A é um elemento irredutível, então p é primo

Demonstração.

Seja p um elemento irredutível de A.

Suponha que p | a.b e que p † a, vamos provar que p | b.

Com efeito, sendo A principal, existe c ∈ A tal que I(a,p)=I(c), logo c |a e c | p.

Como os únicos divisores de p são os elementos invertíveis de A e os associados de p, segue que c é associado de p ou c é invertível. Note que c não é associado de p pois se fosse, teríamos p | c e como c| a, seguiria então que p | a, o

que é uma contradição.

Temos portanto que c é invertível e consequentemente, devido a proposição 1.2.6,

I(a,p) = I(c) = A.

Segue daí que existem elementos m e n em A tais que

1 = n.a + m.p .

Multiplicando por b ambos os lados da igualdade acima, temos que

1.b = (n.a + m.p).b 7−→ b = n.a.b + m.p.b

e como p | a.b, segue que p | b; como queríamos demonstrar.

Como Z é um domínio principal, concluímos que um elemento de Z é primo se e

somente se é irredutível.

Anel dos Inteiros Gaussianos

Definiremos, a seguir, as operações de adição e multiplicaçao em Z[i].

Dados z,w ∈ Z[i], z=a+bi e w=c+di:

z+w=(a+c)+(b+d)i

1.2 Conjunto dos Inteiros Gaussianos 13

Proposição 1.2.9

O conjunto Z[i], com as operações definidas acima, é um Anel.

Demonstração.

Dados, a = a1 + a2i , b = b1 + b2i , c = c1 + c2i pertencentes à Z[i], temos:

• A1 - A Adiçao é Associativa

(a + b) + c = ((a1+a2i) + (b1+b2i))+ (c1+c2i) =

((a1+b1)+(a2+b2)i)+(c1+c2i)=((a1+b1)+c1)+((a2+b2)+c2)i = (a1+(b1+c1))+(a2+(b2+c2))i=

=(a1+a2i)+((b1+c1)+(b2+c2)i) = (a1+a2i)+((b1+b2i)+(c1+c2i)) =a + (b + c)

• A2 - A Adiçao é Comutativa

a+b = (a1+a2i) + (b1+b2i) = (a1+b1)+(a2+b2)i=

=(b1+a1)+(b2+a2)i=(b1+b2i) + (a1+a2i) =b+a

• A3 - Existência do Elemento Neutro para a Adição

Seja α=0+0i ∈ Z[i]

α+a = (0+0i)+(a1+a2i) = (0+a1)+(0+a2)i = a1+a2i =a

• A4 - Existência do Elemento Simétrico para a Adição

Seja a‘_{=(-a1)+(-a2)i ∈ Z[i]}

a+a‘_{=(a1+a2i)+((-a1)+(-a2)i)= (a1+(-a1))+(a2+(-a2))i=0+0i=0}

• M1 - A Multiplicação é Associativa

(a.b).c=((a1 + a2i).(b1 + b2i)).(c1 + c2i)=

=((a1.b1 - a2.b2) + (a1.b2 + a2.b1)i).(c1 + c2i)=

=((a1.b1 - a2.b2).c1 - (a1.b2 + a2.b1).c2) + ((a1.b1 - a2.b2).c2 + (a1.b2 + a2.b1).c1)i= =(a1.b1.c1- a2.b2.c1- a1.b2.c2- a2.b1.c2) + (a1.b1.c2- a2.b2.c2+ a1.b2.c1+ a2.b1.c1)i= =

*

a.(b.c)=(a1 + a2i).((b1 + b2i).(c1 + c2i))= =(a1 + a2i).((b1.c1 - b2.c2) + (b1.c2 + b2.c1)i)=

=(a1.b1.c1- a1.b2.c2- a2.b1.c2- a2.b2.c1) + (a1.b1.c2+ a1.b2.c1+ a2.b1.c1- a2.b2.c2)i= =

**

*

**

• M2 - A Multiplicação é Comutativa

a.b=(a1 + a2i).(b1 + b2i)=(a1.b1 - a2.b2) + (a1.b2 + a2.b1)i=

=(b1.a1 - b2.a2) + (b1.a2 + b2.a1)i=(b1 + b2i).(a1 + a2i)=b.a

• M3 -Existência do Elemento Neutro para a Multiplicação

Seja e=1 + 0i ∈Z[i]

e.a=(1 + 0i).(a1 + a2i)=(1.a1 - 0.a2) + (1.a2 + 0.a1)i=a1 + a2i=a

• AM - A Multiplicação é Distributiva com Relação à Adição

a.(b + c)=(a1 + a2i).((b1 + b2i) + (c1 + c2i))= =(a1 + a2i).((b1 + c1) + (b2 + c2)i)=

=(a1(b1 + c1) - a2(b2 + c2)) + (a1(b2 + c2) + a2(b1 + c1))i =

*

a.b + a.c=(a1 + a2i).(b1 + b2i) + (a1 + a2i).(c1 + c2i)=

=((a1.b1 - a2.b2) + (a1.b2 + a2.b1)i) + (a1.c1 - a2.c2) + ((a1.c2 + a2.c1)i)= =(a1(b1 + c1) - a2(b2 + c2)) + (a1(b2 + c2) + a2(b1 + c1))i =

**

*

**

Além de Anel, Z[i] é um domínio de fatoração única e um domínio principal. Dado

z=a+bi em Z[i] , considere a seguinte função:

N:Z[i]_−→Z+

z=a+bi7−→a2_+b2

Essa funçao é chamada de função norma e possui a seguinte propriedade:

N(z.w)=N(z).N(w)

Isso decorre dos fatos:

N(z)=a2_+b2_{=z.z e z.w=z.w}

1.2 Conjunto dos Inteiros Gaussianos 15

z=a-bi

assim,

N(z.w)=(z.w).(z.w)=z.w.z.w=(z.z).(w.w)=N(z).N(w).

O próximo resultado caracterizará os elementos invertíveis emZ[i].

Proposição 1.2.10

Seja α ∈ Z[i]. As seguintes afirmações são equivalentes:

1. α é ivertível em Z[i];

2. N(α)=1;

3. α∈ {-1,1,-i,i}.

Demonstração.

(1)=⇒(2): Sendoα invertível, existeβ∈Z[i] tal que

α.β=1.

Consequentemente,

N(α).N(β)=N(α.β)=N(1)=1.

Como N(α)∈ Z +, segue das igualdades acima que N(α)=1.

(2)=⇒(3): Suponhamos N(α)=1. Pondoα=x+yi, temos que

x2_+y2_=1,

cujas soluções emZ_× Z são:

• x=0,y=1

• x=0,y=-1

• x=1,y=0

• x=-1,y=0.

Portantoα∈{1,-1,i,-i}.

Proposição 1.2.11

Seja α ∈ Z[i]. Se N(_α) é primo emZ, então _α é primo em Z[i].

Demonstração.

Suponha que α 6= 0 não seja primo em Z[i].

Temos então que α=α1.α2 com α1 e α2 não nulos e não invertíveis, logo

N(α)=N(α1).N(α2)

com N(α)>1 e N(α)>1 (veja proposiçao 1.2.10 ). Portanto N(α) não é primo em Z.

Seguem alguns exemplos de números primos em Z[i].

• O número inteiro 2 não é primo em Z[i]. De fato, sendo N(1+i)=2=N(1-i), temos

pela proposição 1.2.11 que 1+i e 1-i são primos em Z[i]. Portanto a decomposição

de 2 em fatores primos emZ[i] é dada por

2=(1+i).(1-i)

• O número inteiro 5 não é primo em Z[i] e uma sua decomposição em fatores primos

é dada por

CAPÍTULO 2

Números Primos em p.

Z

[

_i

]

2.1

Considerações Preliminares

Dado um elemento α ∈ Z[i] , chamaremos de divisores triviais de_α, o 1 e o próprio _α

e chamaremos de unidade os elementos invertíveis. Dado p∈ N, p primo, temos que:

D(p)={1 , p}

onde D(p) é o conjunto de divisores de p. Isto é, os números primos em N só possuem

os divisores triviais, ou, em outras palavras, tem apenas dois divisores. Um elemento não primo de N, tem um número de divisores maior que dois.

Por outro lado, emZ acontece um pouco diferente. Dado p_∈ Z, p primo, temos que:

D(p)={-p , -1 , 1 , p}

Além dos divisores triviais, o conjunto dos divisores de p inclui os associados dos divisores triviais de p. Como as unidades emZ são -1 e 1, temos que:

D(p) em Z

* 1 p

-1 (-1).(1)=-1 (-1).(p)=-p 1 (1).(1)=1 (1).(p)=p

Na prineira coluna da tabela acima estão as unidades de Z.

Levando em consideração o objetivo dessa monografia, naturalmente nos perguntamos como seria o conjunto de divisores de um número primo emZ[i]. Dado p _∈ Z[i], p primo

em Z[i], temos que:

D(p)={-pi , -p , -1 , -i , i , 1 , p , pi }

Usando uma tabela semelhante a tabela acima, podemos visualizar os divisores da seguinte maneira:

D(p) em Z[i]

* 1 p

-1 (-1).(1)=-1 (-1).(p)=-p 1 (1).(1)=1 (1).(p)=p

i (i).(1)=i (i).(p)=pi

-i (-i).(1)=-i (-i).(p)=-pi

Na primeira coluna na tabela acima estão as unidades de Z[i].

Concluimos que, dado p primo:

• p ∈N =_⇒ p possui dois divisores;

• p ∈Z =_⇒ p possui quatro divisores;

• p ∈Z[i] =_⇒ p possui oito divisores.

Podemos, agora, enunciar um novo teorema:

Teorema 2.1.1. Dado p primo em Z e p.Z={ p.n _| n _∈ Z}

então, t ∈ p.Z é primo em p.Z, se e somente se

t=p2

.w

para algum w primo em Z.

Demonstração.

(=⇒)

Dadotprimo em p.Z, temos que_tpossui somente quatro divisores. Necessariamente,

um dos divisores de t ép, pois estamos trabalhando no conjunto dos múltiplos de p. Os outros divisores de t são os associados de p, p.w e os associados de p.w, onde w é um

primo em Z. Dessa forma temos:

t=(p).(p.w)=p2_.w

2.1 Considerações Preliminares 19

w=w1.w2 ,

isto por queZ é um domínio de fatoração única.

assim,

t=p.p.w1.w2 .

Temos dois casos a analisar: Se w1=w2=w, teremos:

D(t) em p.Z

* p p.w p.w2

-1 (-1).(p)=-p (-1).(p.w)=-p.w (-1).( p.w2_{)=- p.w}2 1 (1).(p)=1 (1).(p.w)=p.w (1).(p.w2_)=p.w2

e dessa forma t possui seis divisores, o que é um absurdo, pois t é primo em p.Z.

Se w1 6= w2, teremos:

D(t) em p.Z

* p p.w1 p.w2 p.w1.w2

-1 (-1).(p)=-p (-1).(p.w1)=-p.w1 (-1).(p.w2)=-p.w2 (-1).(p.w1)=-p.w1.w2 1 (1).(p)=p (1).(p.w1)=p.w1 (1).(p.w2)=p.w2 (1).(p.w1)=p.w1.w2

e dessa forma t possui oito divisores, o que é um absurdo, pelo mesmo motivo do caso anterior.

(⇐=)

Reciprocamente, dado t=p2_{.w , com w primo em Z. Temos que mostrar quet possui} somente quatro divisores em p.Z.

De fato, os únicos fatores det em p.Z são p e p.w, pois:

t=p2_.w=(p).(p.w)

e os divisores det são dados na tabela abaixo:

D(t) em p.Z

* p p.w

-1 (-1).(p)=-p (-1).(w)=-p.w 1 (1).(p)=p (1).(p)=p.w

2.2

Caracterização dos Primos em p.

Z

_[

_i

_]

Na seção anterior, descobrimos quantos divisores tem os números primos emZ[i]. Agora,

caracterizaremos os números primos em p.Z[i], isto é, caracterizaremos os números que

possuem oito divisores em p.Z[i].

Teorema 2.2.1. Dado p primo em Z[i] e p.Z[i]={ p.z _| z _∈ Z[i] }

então, t ∈ p.Z[i] é primo em p.Z[i], se e somente se

t=p2_.w

para algum número primo w em Z[i].

Demonstração.

(=⇒)

Dado tprimo em p.Z[i], temos que _tpossui somente oito divisores. Necessariamente,

um dos divisores de t ép, pois estamos trabalhando no conjunto dos múltiplos de p. Os outros divisores de t são os associados de p, p.w e os associados de p.w, onde w é um

primo em Z[i]. Dessa forma temos:

t=(p).(p.w)=p2_.w

Se, por absurdo, w não for primo em Z[i], existem, pelo menos, dois primos, w1 e w2, em

Z[i], tal que:

w=w1.w2 ,

isto por que Z[i] é um domínio de fatoração única.

assim,

t=p.p.w1.w2 .

Temos dois casos a analisar: Se w1=w2=w, teremos:

D(t) em p.Z[i]

* p p.w p.w2

-1 (-1).(p)=-p (-1).(p.w)=-p.w (-1).( p.w2_{)=- p.w}2 1 (1).(p)=1 (1).(p.w)=p.w (1).(p.w2_)=p.w2

2.2 Caracterização dos Primos em p.Z[i] 21

e dessa forma t possui doze divisores, o que é um absurdo, pois t é primo em p.Z[i].

Se w1 6= w2, teremos:

D(t) em p.Z[i]

* p p.w1 p.w2 p.w1.w2

-1 (-1).(p)=-p (-1).(p.w1)=-p.w1 (-1).(p.w2)=-p.w2 (-1).(p.w1.w2)=-p.w1.w2 1 (1).(p)=p (1).(p.w1)=p.w1 (1).(p.w2)=p.w2 (1).(p.w1.w2)=p.w1.w2

i (i).(p)=p.i (i).(p.w1)=p.w1.i (i).(p.w2)=p.w2.i (i).(p.w1.w2)=p.w1.w2.i

-i (-i).(p)=-p.i (-i).(p.w1)=-p.w1.i (-i).(p.w2)=-p.w2.i (-i).(p.w1.w2)=-p.w1.w2.i

e dessa forma t possui dezesseis divisores, o que é um absurdo, pelo mesmo motivo do caso anterior.

(⇐=)

Reciprocamente, dadot=p2_{.w , comwprimo emZ[i]. Temos que mostrar quetpossui} somente oito divisores em p.Z[i].

De fato, os únicos fatores det em p.Z[i] são p ep.w, pois:

t=p2_.w=(p).(p.w)

e os divisores det são dados na tabela abaixo:

D(t) em p.Z[i]

* p p.w

-1 (-1).(p)=-p (-1).(w)=-p.w 1 (1).(p)=p (1).(p)=p.w

i (i).(p)=p.i (i).(p.w)=p.w.i

-i (-i).(p)=-p.i (-i).(p)=-p.w.i

Referências Bibliográficas

[1] A. Hefez -Curso de Álgebra, Volume 1 , Coleção Matemática Universitária , Segunda Ediçao , Instituto de Matemática Pura e Aplicada, CNPQ , (1993).

[2] C. B. Boyer -História da Matemática, Edgard Blucher, Segunda Reimpressão (1974).

[3] R. G. Stein - Exploring the Gaussian Integers, The Two-Year College Mathematics Journal, Vol 7, Number 4 (Dec.,1976), 4-10

[4] I. N. Herstein - Topics in Modern Algebra, Ginn, Waltham, MA, (1964).