Shot Noise dependente de spin em sistemas com tunelamento: modelo semiclássico

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO INSTITUTO DE FíSICA DE SÃO CARLOS

DEPARTAMENTO DE FÍSICA E INFORMÁTICAIHGFEDCBA

" S h o t N o i s e "

D e p e n d e n t e

d e

S p i n

e m

S i s t e m a s

c o m

T u n e l a m e n t o :

M o d e l o

S e m i c l á s s i c o

FERNANDO GRACIANO DE BRITO*gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

D i s s e r t a ç ã o a p r e s e n t a d a a o I n s t i t u t o d e F í s i c a d e S ã o C a r l o s , c o m o p a r t e

d o s r e q u i s i t o s p a r a a o b t e n ç ã o d o t í t u l o d e " M e s t r e e m C i ê n c i a s - Á r e a :

F í s i c a B á s i c a " .

ORIENTADOR:

PROF. DR. JOSÉ CARLOS EGUES DE MENEZES

São Carlos

Abril - 2000ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

,

Brito, Fernando Graciano de.

"Shot Noise" em Sistemas com Tunelamento: Modelo

Semi-clássico/Fernando Graciano de Brito.-São Carlos, 2000.

77 p.

Dissertação (Mestrado )-Instituto de Física de São Carlos, 2000.

Orientador: Prof. Dr. José Carlos Egues de Menezes

1. Semicondutores magnéticos. 2. Flutuações de spin. 3. Espalhamento

dependente de spin. I. Título.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

F o n e ( 0 1 6 ) 2 7 3 - 9 3 3 3 F a x ( 0 1 6 ) 2 7 2 - 2 2 1 8

A v . D r , G a r lo s B o t e lh o , 1 4 6 5 G E P 1 3 5 6 0 - 2 5 0 - S ã o G a r lo s - S F B r a s il

MEMBROS DA COMISSÃO JULGADORA DA DISSERTAÇÃO DE MESTRADO DE FERNANDO GRACIANO DE BRITO APRESENTADA AO INSTITUTO DE FíSICA DE SÃO

CARLOS, DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO, EMutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA13DE ABRIL DE 2000

P r a f a . O r a . B e lit a K a ille r / U F R J

E m a il: w la d e r e z @ if . s c . u s p . b r

À

gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAL u c i a n a ,

" A a u s ê n c i a d i m i n u i a s p a i x õ e s m e d í o c r e s e a u m e n t a a s g r a n d e s ,

a s s i m c o m o o v e n t o a p a g a a s v e l a s , m a s a t i ç a a s f o g u e i r a s . "

A n ô n i m o

" N ã o p r e c i s o m e d r o g autsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAr p a r a s e r um g ê n i o , n ã o p r e c i s o s e r um g ê n i o p a r a s e r h u m a n o ,

m a s p r e c i s o d o s e u s o r r i s o p a r a s e r f e l i z ."

C h a r l e s C h a p l i n

A o o r i e n i a d o r ,

" O M e s t r e n a a r t e d a v i d a f a z p o u c a d i s t i n ç ã o e n t r e o s e u t r a b a l h o

e o s e u l a z e r , e n t r e a s u a m e n t e e o s e u c o r p o , e n t r e s u a e d u c a ç ã o e a s u a r e c r e a ç ã o , e n t r e o s e u a m o r e a s u a r e l i g i ã o . E l e s i m p l e s m e n t e p e r s e g u e s u a v i s ã o d e e x c e l ê n c i a e m t u d o q u e f a z , d e i x a n d o p a r a o s

o u t r o s a d e c i s ã o d e s a b e r s e e s t á t r a b a l h a n d o o u s e d i v e r t i n d o .

E l e a c h a q u e e s t á s e m p r e f a z e n d o a s d u a s c o i s a s s i m u l t a n e a m e n t e . "

A g r a d e c i m e n t o s

gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

N ã o p r e t e n d outsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAme e s t e n d e r m u i t o n e s t a p a r t e p o i s , s e e u q u i s e r s e r j u s t o n o s a g r a d e c i -m e n t o s , t a l v e z g a s t e m a i s t e m p o d o q u e l e v e i p a r a e s c r e v e r e s t a d i s s e r t a ç ã o . C o n t u d o n ã o p o s s o d e i x a r d e m e n c i o n a r a l g u n s n o m e s q u e me a j u d a r a m a e s c r e v e r a s p á g i n a s d e m a i s e s t a v i t ó r i a .

À D e u s , p e l a p r e s e n ç a c o n s t a n t e em m i n h a v i d a .

C o m o n ã o p o d e r i a d e i x a r d e s e r , q u e r o a g r a d e c e r à t o d a m i n h a f a m í l i a q u e s e m p r e e s t e v e p r e s e n t e , p r i n c i p a l m e n t e : m e u p a i S i d n e y , m i n h a m ã e N e i d e e m e u i r m ã o A l e x a n d r e .

A o m e u o r i e n i a d o r , P r o ] . E g u e s , p e l a d e d i c a ç ã o e p a c i ê n c i a q u e t e v e c o m i g o a o l o n g o d e s t e s a n o s . E p r i n c i p a l m e n t e p o r a c r e d i t a r em m i m m a i s d o q u e e u m e s m o .

A o S r . M i l t o n e D . I r a c y p o r t o d o o t i p o d e a j u d a . C o m c a r i n h o , a g r a d e ç o m e u t i o V a l d e c i r p e l a s v á r i a s m u d a n ç a s .

A o s p r o f e s s o r e s d o I F S C , L i d é r i o , O n o d y , R o g é r i o e E g u e s , p e l o s q u a i s t e n h o u m a e n o r m e a d m i r a ç ã o . A o s p r o f e s s o r e s d a U N E S P d e R i o C l a r o : D i m a s , A l d o , E r o i n o , M a k o t o , R e n e e L a g o s ; em e s p e c i a l a o p r o f e s s o r J o s é C a m p a n h a ( m e u o r i e n t a d o r d e i n i c i a ç ã o c i e n t í f i c a ) p o r t e r s i d o u m g r a n d e a m i g o .

D e R i o C l a r o , n ã o p o d e r i a d e i x a r d e a g r a d e c e r a o S r . R o m i l d o Z a n e l a t t o e s u a e s p o s a D . D a r c y , p e l o c a r i n h o q u e t i v e r a m c o m i g o .

A g r a d e ç o a t o d o s a q u e l e s q u e me a j u d a r a m d e f o r m a m a i s d i r e t a n o d e s e n v o l v i -m e n t o d e s t e t r a b a l h o , em p a r t i c u l a r : o c o l e g a d e g r u p o H e n r i q u e ( p o r c e d e r o m i c r o e o u t r o s a p o i o s ) , Z é P a u l o e M a r c o n i ( p e l a a j u d a c o m o M a p l e ) , M a r c e l i n h o ( p e l a a j u d a c o m o s g r á f i c o s e t r a n s p a r ê n c i a s ) e M á r c i o ( p e l a a j u d a c o m o l a t e x ) .

G o s t a r i a d e a g r a d e c e r d e f o r m a e s p e c i a l m i n h a e s p o s a e a m i g a L u c i a n a , s e m p r e p r e s e n t e em t o d o s o s m o m e n t o s , p r i n c i p a l m e n t e n o s m a i s d i f í c e i s .

P a r a f i n a l i z a r , a g r a d e ç o a o s f u n c i o n á r i o s d o I F S C , s e m p r e d i s p o s t o s a n o s a j u d a r .

R e s u m o

utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Neste trabalho investigamos pela primeira vez flutuações dependentes de spin

em correntes eletrônicas polarizadas através de estruturas magnéticas. Nosso

sis-tema físico consiste de uma heteroestrutura com tunelamento ressonante formada

por um poço ou "ponto" quântico contendo Mn, confinado entre duas barreiras de potencial. Usamos um modelo semiclássico baseado em equações de taxa para cal-cular as ocupações dos estados ressonantes up e down. Estas equações são derivadas de uma equação mestra que descreve a probabilidade de ocupação dos estados de

spin em um dado tempo. Funções correlação corrente-corrente são expressas em

termos das funções correlaçãogfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAh o p - h o p (associadas

à

transições entre os níveis

resso-nantes up e down) e o s h o t n o i s e dependente de spin é determinado em termos da

matriz variância do sistema, também derivada da equação mestra. Quando

consi-deramos um feixe polarizado e tempos distintos (TH

i=

T -lt), podemos obter ambas

"correlações positivas" ( ( ó n tó n .j.) 2: O) e / o u "negativas" ( ( ó n tó n Ú

S;

O) no nosso modelo. A generalização e reinterpretação do modelo de ilhas nos possibilitou (i)

investigar flutuações dependentes de spin em correntes polarizadas; (ii) observar

A b s t r a c t

utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

In this work we investigate for the first time spin-dependent fluctuations in

spin-polarized electronic currents through magnetic structures. Our physical mo del

consists of a resonant-tunneling heterostructure formed by a Mn-based quantum well

or "point", confined between a double-barrier potential. We used a semiclassical

mo del based on rate equations to calculate the occupations of thegfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAs p i n - u p and s p i n

-d o w n resonant states. These equations are derived from a master equation describing

the probability of occupation of the spin states at a given time. Current-current

correlation functions are expressed in terms of h o p - h o p correlation functions (for

hops between islands representing the up and down states) and the spin-dependent

s h o i n o i s e is determined in terms of the variance matrix of the system; also derived

from the master equation. When we consider a polarized beam and distinctive timesZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

( T t.) . -= I T .) .t) , we can obtain both "positive correlations" ( ( ó n tó n .j.) 2':

O)

a n d "negative correlations" ( ( ó n tó n .j.)

S O)

in our mo del. The generalization and reinterpretation of the island model allowed us (i) to investigate dependent fluctuations in

spin-polarized electronic currents; (ii) to observe enhancement and suppression of shot

S u m á r i o

1 I n t r o d u ç ã outsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA1

2 M o d e l o S e q ü e n c i a l p a r a S i s t e m a s D e p e n d e n t e s d e S p i n

2.1 Equações de Taxa .

2.1.1 Solução analítica exatagfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA(T t.j.

=

T .t.t) . 2.1.2 Solução analítica aproximadaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAT t.j. = I- T .t.t

2.2 Equação Mestra.

2.3 Variâncias . . . .

2.3.1 Caso analítico exato (T t.j. = T .t.t)

2.3.2 Caso exato para T t.j. = I- T .t.t e

N

_t = 1,

N

_i = 1 . 2.3.3 Caso analítico aproximado (T t.j. = I- T U )

1 2 12 14 18

20

21 24

25

28

3 S h o t N o i s e D e p e n d e n t e d e S p i n

3.1 Full Shot Noise e Flutuações da Corrente

3.2 Corrente Dependente do Tempo

3.3 Funções Correlação .

3.4 Shot Noise Dependente de Spin

3 2

32 34

36

39

4 D i s c u s s ã o

Casos Limites 42 42

47

53

4.1 4.2 4.3

Resultados (T t.j. f:- T .t.t) Validade ?as Aproximações

5 C o n c l u s ã o 5 5

A Cálculo Numérico das Equações de Taxa

B Linearização das Equações de Taxa

C Demonstração da Equação Mestra

D Dedução das Equações de Taxa

E Cálculo das Funções Correlação

Referências BibliográficasZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 1

57

5 9

63

68

71

L i s t a

d e

F i g u r a s

1.1

_{utsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAPerfil das bandas de condução para uma dupla barreira .}

3

1.2

_{Gráficos experimentais da "potência espectral"}

_S(

_w)

=

_Si

4

1.3

_{Modelo com tunelamento ressonante (coerente)}

5

1.4

_{Gráfico do}

gfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAs h o t n o is e para o modelo de uma única ilha

6

1.5

_{Tunelamento ressonante em um sistema com dupla barreira.}

₈

1.6

_{Modelo semiclássico do sistema de tunelamento ressonante}

10

2.1

_{Modelo semiclássico do sistema de tunelamento ressonante}

13

2.2

_{Comportamento de nt ( t) e n - l-(t) para o caso exato ( T H}

=

_{T U )}

17

2.3

Evolução de _nt ( t) e n - l-( t) exatos e aproximados

19

2.4

_{Gráfico da variância cruzada analítica e exata}

₂₇

2.5

Gráficos da variância cruzada para _TH e _T-l-tdiferentes

31

4.1

_{Diagramas reproduzindo o modelo de uma única ilha.}

43

4.2

Gráficos do fator de Fano para o modelo de uma única ilha

44

4.3

Diagramas no qual obtem-se atenuação adicional do _{s h o t n o is e}

45

4.4

_{Gráfico da atenuação do s h o t n o is e no modelo de duas ilhas}

₄₆

_{ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA}

"

4.5

_{Fator de Fano para a configuração de máximo espalhamento}

47

4.6

Diagramas do s h o t n o is e normalizado pela corrente referência.

50

4.7

_{Gráficos do s h o t n o is e normalizado com a corrente de referência.}

51

4.8

_{Gráficos do fator de Fano referência para TH e T-l-tdiferentes.}

53

4.9

Gráficos comparando a corrente média e o _{s h o i n o i s e}

54

Capítulo

1

Introdução

yxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

A com binação de sem icondutores com m ateriais m agnéticos em escala m esoscópica

originando estruturas sem icondutoras híbridas faz com que efeitos dependentes de

spin e/ou graus de liberdade de spin tornem -se relevantes. Prova disso é a em ergente

área de eletrônica em sem icondutores, denom inada "eletrônica de spin" ou

"spin-tronics" [1], [2] a qual poderá eventualm ente substituir a eletrônica convencional no

futuro. N a eletrônica convencional os dispositivos são baseados em efeitos

decor-rentes da carga do elétron. N a eletrônica de spin (spintronics) o spin do elétron (em

vez da sua carga) passa a ser o principal agente responsável pelo arm azenam ento de

inform ações e transporte.

Investigações teóricas e experim entais em spintronics V Isam além de resolver

questões ainda em aberto 1 verificar se a fabricação de dispositivos baseados nos

efeitos dependentes do spin do elétron m elhoram a perform ance dos dispositivos

baseados nos sem icondutores tradicionais. A área de spintronics tam bém inclui

novos cam pos de estudo tais com o "com putação quântica" e "dispositivos

não-voláteis" (não-voláteis significa que a m em ória é m antida m esm o quando a potência

do dispositivo é desligada), sendo que a com putação quântica tem sido um a das

áreas m ais ativam ente estudadas nos últim os anos [5].

M otivados pela crescente im portância das pesquisas de fenôm enos dependentes

1E norm es esforços foram em pregados para se conseguir a injeção de correntes polarizadas em

sem icondutores [3], [4].CBA

1

Introdução

yxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA2

de spin e possíveis aplicações práticas destes estudos, aqui investigam os pela prim eira vezZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAs h o t n o i s e dependente de spin. D e form a geral, flutuações ou ruído ( n o i s e ) são

variações espontâneas ou desvios aleatórios de quantidades físicas no tem po em

relação a algum valor m édio constante. E stas flutuações ocorrem , por exem plo,

de-vido ao m ovim ento térm ico da m atéria e a discreteza da sua estrutura. S h o t n o i s e

é o ruído gerado por flutuações dependentes do tem po na corrente elétrica devido à

discreteza da carga elétrica.

o

ruído pode ser considerado com o um "incôm odo" ou com o um a grande fonte

de inform ações, N o prim eiro caso deseja-se elim iná-lo; no segundo investigá-lo, São

várias as fontes de ruído, algum as passíveis de elim inação graças aos avanços

tecno-lógicos, outras no entanto são inerentes ao sistem a. Por exem plo, a feqíiências m uito

baixasCBA(JCBA- - - t O) o ruído 1/

f

se faz presente com grandes contribuições; em tem

peratu-ras diferente de zero, flutuações térm icas são um a inevitável fonte de ruído (therm al noise). A agitação térm ica faz flutuar o núm ero de ocupação dos estados do sistem a.

O utra fonte de ruído é o s h o t n o i s e . D e m odo diferente do ruído térm ico, para

investigar o s h o t n o i s e tem os que considerar o transporte dinâm ico (corrente

de-pendente do tem po) .do sistem a. Investiga-se s h o t n o i s e com o objetivo de obter

inform ações não contidas na corrente m édia do sistem a.

Particularm ente interessante é o estudo do s h o t n o i s e em sistem as com

tunela-m ento ressonante. N a Fig. 1.1 tem os um poço quântico entre duas barreiras de

potencial. E stas barreiras surgem devido às descontinuidades no potencial "visto"

pelos elétrons de condução, originadas pela deposição de m ateriais diferentes na

es-trutura (em geral crescim ento por "rnolecular beam epitaxy"; M B E ), por exem plo

G aA s intercalado com A IG aA s. O s níveis do poço são discretos. A aplicação e

variação do potencial externo V faz com que as barreiras se "inclinem "

possibilitan-do o alinham ento_, entre o em issor (região dopada tipo-ri, doadora de elétrons) e os

estados discretos -do poço.

1

Introdução

NMLKJIHGFEDCBA 3

b a r r e i r a s b a r r e i r a s

~

'-

~

'-poço

E o poço

EMISSOR

COLETOR E o

&F &F

&F

e v t

&F

( a )

( b )

b a r r e i r a s

~

'-b a r r e i r a s

~

'-&F &F poço

<vI

&F

'v

I

( c )

( d )

F i g u r a 1 . 1 : P e r f i l d a s b a n d a s d e c o n d u ç ã o p a r a u m a d u p l a b a r r e i r a c o m t u n e l a m e n t o

r e s s o n a n t e . C a d a f i g u r a c o r r e s p o n d e a u m l i m i t e d e v o l t a g e m a p l i c a d a : ( a ) v o l t a g e m z e r o ,

( b ) i n í c i o d a r e s s o n â n c i a , ( c ) r e s s o n â n c i a e ( d ) f o r a d a r e s s o n â n c i a . A s á r e a s h a c h u r a d a s

r e p r e s e n t a m o " m a r d e F e r m i " n o e m i s s o r e c o l e t o r . O e m i s s o r e o c o l e t o r s ã o r e g i õ e s

d o p a d a s t i p o - n o EF é a e n e r g i a d e F e r m i n o e m i s s o r e c o l e t o r e V a v o l t a g e m a p l i c a d a . E o

é o n í v e l d e e n e r g i a m a i s b a i x o d e n t r o d o p o ç o .

d o s e l é t r o n s d o e m i s s o r c o i n c i d e m c o m a e n e r g i a d e u m o u m a i s n í v e i s d i s c r e t o s d o

p o ç o . D e s s a f o r m a t e r e m o s c o r r e n t e c o m e ç a n d o a f l u i r q u a n d o

Eo

a t i n g i r o n í v e l d e

F e r m i êF n o e m i s s o r ( F i g . 1 . 1 ( b ) ) , i n d i c a n d o o i n í c i o d a r e s s o n â n c i a . A c o r r e n t e

a t i n g e s e u v a l o r m á x i m o q u a n d o

Eo

p a s s a a t r a v é s d o m a r d e F e r m i n o e m i s s o r ( F i g .

1 . 1 ( c ) ) c o n f i g u r a n d o o t u n e l a m e n t o r e s s o n a n t e e d i m i n u i q u a n d o

Eo

c a i a b a i x o d a

b a n d a d e c o n d u ç ã o d o e m i s s o r ( F i g . 1 . 1 ( d ) ) i n d i c a n d o q u e o n í v e l e s t á f o r a d a r e s

1

Introdução

CBA 4yxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

LiZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAe t a i . [9] investigaram o ruído em estruturas de dupla-barreira com

tunela-m ento ressonante abaixo de 10 kH z. M edidas sistem áticas da densidade espectral

do ruídoCBAS (w ) em três am ostras com diferentes espessuras das barreiras (a 4.2 K )

foram efetuadas. N a Fig. 1.2 (a) tem os o "ruído" S i = S (w ) m edido por Li e t a i . em

term os da voltagem V e freqüência f (w = 2 1 T 'f) . O ruído norm alizado ou fator de

Fano I = S ; j 2 e I em função da corrente m édia I é m ostrado na Fig. 1.2 (b). A Fig.

(a)

1.

o.

•

l~

• . . . .

rB

o.

•

•

I ,

..

~

.

..

.'

.-..

...\

....

• ' 'f'~\o

II .•• ;, ••••

Ii ,~••,

II ",fI

I "I'

~~"~

. . .

o.

(b)

Figura 1.2: G ráficos da "potência espectral" S (w ) = S i obtidos através de m edidas

experim entais (Li e t a lo [9]). O gráfico (a) m ostra que no regim e acim a de 1 kH z S i

independe da freqüência f e abaixo de 1kH z há. um a grande contribuição do ruído 1/t

-N o grá.fico (b) S i / 2 e I n o r m é plotado contra I / I n o r m ( I n o r m é um fator de norm alização)

na região de tunelam ento ressonante. A linha contínua indica o resultado teórico para o "full shot noise" ( 2 e I ) . N o "inset" em (b), S i / 2 e I é plotado em term os de T e / T e . Para

T e / T e da ordem de 1,o ruído é atenuado a 1/2 do "full shot noise".

1.2 (a) m ostra, que no lim ite

f

- + O o ruído 1/

f

dom ina o espectro de S i, enquanto

no regim e entre 1kH z e 4kH z o ruído independe da freqüência

f.

O com portam ento

de S ; j 2 e I na região de tunelam ento ressonante em term os de T e / T e está resum ido

1

Introdução

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA 5

Si/2el ~

1 p a r a b a r r e i r a s e x t r e m a m e n t e a s s i m é t r i c a s e

Sd2el ~

0 . 5 p a r a " b a r r e i r a s

s i m é t r i c a s " .

Ou

s e j a , o

shot noise

é a t e n u a d o p a r a c o n f i g u r a ç õ e s a p r o x i m a d a m e n t e

s i m é t r i c a s .

D a v i e s

et al.

[ 6 ] e n t r e o u t r o s [ 7 ] e s t u d a r a m o

shot noise

p a r a e l é t r o n s e m s i s

-t e m a s c o m t u n e l a m e n t o r e s s o n a n t e a t r a v é s d e d u p l a b a r r e i r a . E m [ 6 ] , o

shot noise

n í v e l

r e s s o n a n t e

e V

E M I S S O R

N-n

g=-'te

COLETaR

C O L E T O R

F i g u r a 1 . 3 : M o d e l o c o m t u n e l a m e n t o r e s s o n a n t e ( c o e r e n t e ) a t r a v é s d e d u p l a - b a r r e i r a e

o m o d e l o s e m i c l á s s i c o a d o t a d o p a r a r e p r e s e n t a r e s t e s i s t e m a . N é o n ú m e r o m á x i m o d e e l é t r o n s n a i l h a c e n t r a l e o i n t e i r o n é o n ú m e r o d e e l é t r o n s e m u m d a d o i n s t a n t e

t.

A

e n t r a d a e s a í d a d e e l é t r o n s n a i l h a s ã o d e s c r i t a s p e l a s t a x a s d e g e r a ç ã o

(g)

e r e c o m b i n a ç ã o

(r).

Te e Te i n d i c a m a p r o b a b i l i d a d e p o r u n i d a d e d e t e m p o d o e l é t r o n s a l t a r d o e m i s s o r p a r a a i l h a e d a i l h a p a r a o c o l e t o r , r e s p e c t i v a m e n t e .

f o i i n v e s t i g a d o v i a m o d e l o q u â n t i c o o u " c o e r e n t e " , o q u a l b a s e i a - s e n a r e s o l u ç ã o

1

Introdução

CBA 6yxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

através das barreiras, e via m odelo sem iclássico ou "seqüêncial", o qual usa um a

descrição clássica baseada em equações de taxa deduzidas de um a equação m estra

para representar o tunelam ento dos elétrons. O s resultados encontrados para oZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAs h o t

n o i s e , na configuração de ressonância da Fig. 1.3, usando am bos os m odelos foram

idênticos. A Fig. 1.3 m ostra os m odelos quântico e clássico utilizados na R ef.[6].

D avies e t a i . [6] m ostraram que o s h o t n o i s e em sistem as com tunelam ento

resso-nante está diretam ente relacionado à variância ( v a r ) do núm ero de elétrons no nível

ressonante, ou seja,CBA

s (w ----t O )= _5_ = 1- ~ 4 TeTe = 1- 2v a r ( n ) . )

2 e ( I ) 2 ( T e + T e ) 2 N (1.1

A Fig. 1.4 m ostra o com portam ento de (1.1) plotado em term os de ( T e / T e ) O U dos

coeficientes de transm issão ( T e /T e ) , (Fig. 3 de [6]), em que o s h o t n o i s e é atenuado

S

=S/2tl

0.8

0.7

0.6

0.5

- 4

_-2

_O

₂

lOglD(T,/~)

or loglo(t,/tt)

4

Figura 1.4: G ráfico do s h o t n o i s e de ( 1 . 1 ) (linha sólida) para o m odelo de um a única ilha

de D avies e t a l.[6 ](F ig . 3) e dados experim entais (círculos cheios) obtidos por L i e t a l.[9 ],

plotados em term os de ( T e / T e ) O U dos coeficientes de transm issão ( T e / T e ) . V em os que o

s h o t n o i s e norm alizado pelofu ll s h o t n o i s e é atenuado a um m ínim o de 0.5, no lim ite onde os coeficientes de transm issão são iguais para as duas barreiras.

a um m ínim o da m etade do [u ll s h o t n o i s e , no lim ite onde a estrutura da Fig. 1.3 é

I

sim étrica com coeficientes de transm issão iguais para as duas barreiras.

T am bém utilizando um m odelo de tunelam ento seqüêncial, E gues e t a i .[8]

1

Introdução

yxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA7

baixas freqüências em sistem as com o o da Fig. 1.3 com espalham ento interno, ou

seja, supondo que o elétron no nível ressonante é espalhado. D evido ao processo

de espalham ento interno, verificou-se um a atenuação adicional doZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAs h o t n o i s e ( 0 . 4 5 )

abaixo daquela obtida em [6J (0.5).

N esta dissertação generalizam os o m odelo de duas ilhas centrais com

espalha-m ento interno da R ef.CBA[ 8 J para tratar de sistem as com correntes polarizadas

(cor-rentes com spin definido). Estendem os o m odelo em [ 8 J (i) considerando dois canais

injetores de spin com taxas 9t e 91. conectando o em issor às ilhas centrais e (ii)

perm itindo taxas de "espalham ento interno" distintas. N o nosso m odelo processos

de "espalham ento interno" representará processos de "spin-flip" entre as ilhas-up

e dow n. A inclusão do segundo canal injetor de elétrons possibilita a descrição de

sistem as com correntes polarizadas. O ponto (ii) é fundam ental para m odelos

re-alísticos de fenôm enos dependentes de spin em sem icondutores m agnéticos. A taxa

de transição spin-up - + spin-dow n é na verdade m uito diferente da taxa spin-dow n

- + spin-up na presença de um cam po m agnético externo, com o m ostrado em [10].

A ssim , podem os investigar a corrente e o ruído polarizados em heteroestruturas

sem icondutoras m agnéticas com tunelam ento ressonante dependente de spin, por

exem plo.

N osso m odelo físico consiste de um poço quântico contendo M n confinado entre

duas barreiras de potencial. N a Fig. 1.5 vem os com o este tipo de sistem a é

re-presentado. A voltagem aplicada pode ser escolhida de form a que apenas um nível

no poço fique ressonante. O s elétrons de condução interagem com os spins do M n

(spin-5/2) (alinhados devido a aplicação do cam po m agnético externo) através da

interação de troca s p - d , gerando um potencial dependente de spin. Esta interação é

baseada no H arniltoniano de troca [11]

(1.2)

ondeCBAJ (f'

- R

j) é a constante de troca descrevendo a interação entre um elétron de

condução em f ' e os elétrons d do M n,

-a

e

S k

são o operador de spin do elétron em

. J

1

Introdução

TSRQPONMLKJIHGFEDCBA 8

-B

p o ç o c o n t e n d o

M n

x

COLETaR

F i g u r a 1 . 5 : T u n e l a m e n t o r e s s o n a n t e e m u m s i s t e m a c o m d u p l a b a r r e i r a c o n t e n d o M n . N o

r e g i m e

eV

»

kBT

o s e l é t r o n s n ã o c o n s e g u e m t u n e l a r d e v o l t a d o c o l e t o r p a r a o s e s t a d o s

r e s s o n a n t e s , e d o s e s t a d o s r e s s o n a n t e s p a r a o e m i s s o r , u m a v e z q u e o e m i s s o r f u n c i o n a

c o m o u m r e s e r v a t ó r i o d e e l é t r o n s , e s t a n d o s e m p r e c h e i o . Q u a n d o u m c a m p o m a g n é t i c o é

a p l i c a d o , d e v i d o a p r e s e n ç a d e M n n o p o ç o , o n í v e l r e s s o n a n t e s e d e s d o b r a e m d o i s . C a d a

n í v e l s ó p o d e a c e i t a r e l é t r o n s c o m u m d e t e r m i n a d o s p i n .

t o d a s a s p o s i ç õ e s a l e a t ó r i a s d o m a n g a n ê s n a s u b r e d e d o s c á t i o n s . C o m a h i p ó t e s e

d e q u e t o d o s o s e l é t r o n s i n t e r a g e m c o m m u i t a s i m p u r e z a s d o M n , p o d e m o s f a z e r a

a p r o x i m a ç ã o d e c a m p o m é d i o e m ( 1 . 2 ) , s u b s t i t u i n d o

SR.

p o r

(SR.)'

C o m o c a m p o

J J

m a g n é t i c o e x t e r n o a p l i c a d o a o l o n g o d a d i r e ç ã o d e c r e s c i m e n t o d a a m o s t r a ( e i x o

z),

t e m o s

(SR.) -

(Sz

z).

D e n t r o d a a p r o x i m a ç ã o d e c a m p o m é d i o , a s c o m p o n e n t e s

x

J

e y d o s s p i n s d o M n a n u l a m - s e . C o m t o d a s e s t a s c o n s i d e r a ç õ e s p o d e m o s e s c r e v e r

( 1 . 2 ) e m c a m p o m é d i o c o m o

H7x

M

=

-(Sz)

âz

L

J(r - Rj).

Rj

D e a c o r d o c o m a i g u a l d a d e a c i m a e l é t r o n s c o m s p i n u p

(O-z

=

+ 1 / 2 ) e e l é t r o n s c o m

1

Introdução

yxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA9

é a essência da física na qual fenôm enos dependentes de spin em sistem as contendo

M n se baseiam . D evido a esta diferenciada interaçâo ocorre o desdobram ento do

nível ressonante dentro do poço, com o nível superior da Fig. 1.5 aceitando som ente

elétrons com spin up e o nível inferior elétrons com spin dow n, por exem plo.

N o sistem a da Fig. 1.5 existe a possibilidade do elétron com spin up no nível

superior transicionar para o nível inferior, sofrendo inversão do seu spin (processo

"spin-flip"). U m possível m ecanism o para "spin-fiip" é a própria interaçãoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAs -CBAd . A

teoria que rege o processo de "spin-flip" devido à im purezas m agnéticas encontra-se

abordada em [Ll]. A cham os conveniente descrevê-Ia aqui de form a suscinta, um a

vez que este processo será responsável por um a atenuação adicional do s h o t n o i s e .

O processo de "spin-flip" no sistem a da Fig. 1.5 ocorre, por exem plo, devido a

flutuações na interação de troca a cam po m édio. Estas flutuações são descritas de

acordo com o H am iltoniano, H l l u tCBA= H e x - H f x M , onde

H l l u t = -

L

J ( i - R j) [( S z , R j - ( S z ) )âz + ~ ( S l t

s :

+ S ; r j â +

) J .

(1.3)

R j

O s term os responsáveis pelo processo de "spin-flip'' são aqueles fora da diagonal em

(1.3), ou seja, as com ponentes x , y que se anulam na aproxim ação de cam po m édio.

Em (1.3) estas com ponentes estão expressas em term os dos operadores S + , S -, â + e

â - . O s term os da diagonal não induzem o processo de inversão de spin, eles som ente

deslocam os níveis de energia. A ssim o H am iltoniano de "spin-flip" é

H _{s i} -_-

t r = > :

_{s i}

+

H d o w n - t u p_{s i} =_- - ~₂ '" " 'J ( ...._{~ r} - R. . . •_J· )

( s + ~ -

_li

+

S -

~ + )

( J " li ( J " •

J J

R j

N o m odelo seqíiêncial o fluxo de elétrons através das duas barreiras é im

agi-,

nado com o saltos clássicos ( h o p s ) , indicados na Fig. 1.6 pelas linhas azuis. O s dois

níveis ressonantes da Fig. 1.5 são representados por duas ilhas centrais na Fig. 1.6,

onde a ilha superior recebe som ente elétrons com spin up e a ilha inferior elétrons

1

Introdução

10XWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

E M I S S O R f;= C O L E T O R

F i g u r a 1 . 6 : M o d e l o s e m i c l á s s i c o d o s i s t e m a d e t u n e l a m e n t o r e s s o n a n t e c o n t e n d o M n .

T o d a s a s t r a n f e r ê n c i a s p o s s i v e i s d e e l é t r o n s e s t ã o i n d i c a d a s p e l a s s e t a s i n d e x a d a s ; a s t a x a s

d e g e r a ç ã o

(g's)

e r e c o m b i n a ç ã o ( r ' s ) s ã o t a m b é m i n d i c a d a s . A i l h a - u p a c o m o d a n o m á x i m o

N_t e l é t r o n s c o m s p i n u p . A i l h a - d o w n p o d e c o n t e r n o m á x i m o N{. e l é t r o n s c o m s p i n d o w n . O s

inteiros

n t e

n{.

d e s c r e v e m o n ú m e r o d e e l é t r o n s c o m s p i n u p e s p i n d o w n ,

r e s p e c t i v a m e n t e , e m u m d e t e r m i n a d o i n s t a n t e

t.

e m i s s o r o u a t r a v é s d o p r o c e s s o d e " s p i n - f l i p " e n t r e a s i l h a s . T o d a s a s p o s s í v e i s t r a n

-s i ç õ e -s -s ã o d e s c r i t a s p e l a s r e s p e c t i v a s t a x a s d e g e r a ç ã o ( g ' s ) e r e c o m b i n a ç ã o ( r ' s ) ,

m o s t r a d a s n a F i g . 1 . 6 . A s t a x a s d e g e r a ç ã o r e p r e s e n t a m a e n t r a d a d e u m ú n i c o

e l é t r o n n a s i l h a s , a u m e n t a n d o e m 1 o n ú m e r o

N

_t o u

N{.;

a s t a x a s d e r e c o m b i n a ç ã o r e p r e s e n t a m a s a í d a d e u m ú n i c o e l é t r o n d a s i l h a s , d i m i n u i n d o e m 1 o n ú m e r o

N

_t

o u

N{..

P o r c o n v e n i ê n c i a o s c a m i n h o s q u e o e l é t r o n p o d e p e r c o r r e r n a F i g . 1 . 6 e s t ã o

i n d e x a d o s p o r u m d e t e r m i n a d o n ú m e r o . P o r e x e m p l o , n o c a m i n h o 1 - 3 - 6 t e m o s

a e n t r a d a d e u m e l é t r o n c o m s p i n u p n a i l h a - u p ( c a n a l 1 ) . D e v i d o o p r o c e s s o d e

" s p i n - f l i p ' ' e s t e e l é t r o n t e m o s e u s p i n i n v e r t i d o , p e r m i t i n d o a s s i m s u a e n t r a d a n a

i l h a - d o w n ( c a n a l 3 ) . F i n a l m e n t e , e s t e e l é t r o n c h e g a a o c o l e t o r c o m s p i n d o w n ( c a n a l

6 ) . M a i s a d i a n t e v e r e m o s q u e e s t e p e r c u r s o e m p a r t i c u l a r , c o r r e s p o n d e r á à s i t u a ç ã o

1

Introdução

11

yxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

o

m odelo da Fig. 1.6 (um a extenão do m odelo de "ilhas" de [8]) possibilita

tratar sistem as com correntes polarizadas. Estam os interessados no estudo doZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAs h o t

n o i s e dependente de spin. Q uerem os investigar o s h o t n o i s e quando consideram os

correntes polarizadas através do sistem a. M ais especificam ente querem os saber qual

a influência do processo de "spin-flip" (inversão de spin) na atenuação do s h o t n o i s e .

Para isso utilizam os equações de taxa para a ocupação das ilhas centrais, deduzi das

da equação m estra do sistem a. S h o t n o i s e é obtido em term os de funções correlação

reduzidas corrente-corrente. Estas por sua vez são obtidas em term os das variâncias

do núm ero m édio de elétrons nas ilhas. O s principais resultados obtidos neste estudo

foram : i) encontram os um a supressão adicional do s h o t n o i s e dependente de spin, ii)

verificam os que a corrente m édia e o s h o t n o i s e apresentam sensibilidades dife rentes

em relação ao processo de "spin-flip", iii) o nosso m odelo recupera resultados para o

m odelo de um a única ilha de D avies e i a l .[ 6 ] e para o m odelo de duas ilhas com

es-palham ento interno (em [8] tem os T i

=

T H

=

Tl-t e um único canal ligando o em issor

às ilhas)e (iv) obtem os "correlações positivas" ( ( o n t o n . l . ) ~ O) em m odelos anteriores.

A organização da dissertação segue da seguinte m aneira. N o C apítulo 2

ex-ploram os o m odelo sem iclássico discutindo de form a detalhada as principais

ferra-m entas para o cálculo do ruído. São deduzi das e interpretadas as equações de taxa,

equação m estra e variâncias. N o C apítulo 3 discutim os o conceito de s h o t n o i s e e

apresentam os um a dedução aproxim ada do cham ado s h o t n o i s e c l á s s i c o (ou f u l l s h o t

n o i s e ) . Esta nos perm ite interpretar s h o t n o i s e em term os da variância do núm ero

de elétrons fluindo. A s funções correlação são definidas e apresentadas num a form a

conveniente, que será útil na obtenção do ruído. N o C apítulo 4 discutim os os

resul-tados obtidos para o s h o t n o i s e dependente de spin à freqüência zero. A nalisam os

a influência do processo de "spin-flip" nestes resultados e exploram os alguns casos

lim ites de interesse. A s principais conclusões sobre o estudo do s h o t n o i s e

depen-dente de spin são forneci das no C apítulo 5. Finalizam os o trabalho incluindo alguns

C a p í t u l o

2

M o d e l o

S e q ü e n c i a l

p a r a

S i s t e m a s

D e p e n d e n t e s

d e

S p i n

zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

Para representarmos o sistema de tunelamento ressonante da Fig. 1.5, utilizamos o modelo seqüencial proposto por Luryi [12], em que as transições eletrônicas são imaginadas como seqüências de saltos (hops). Este modelo é válido em um regime no qual algum mecanismo de randomização de fase (em geral acoplamento elétron-fônon) está presente. O modelo semiclássico surgiu como um modelo alternativo ao quântico ou coerente proposto por Lesovik [13] e por Yurke e Kochanski [14]. Na Fig.2.1 mostramos novamente o esquema de ilhas adotado para representar as transições eletrônicas da Fig. 1.5. O número médio de ocupação nas ilhas-up e down da Fig. 2.1, no instanteZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAt , são descritos por equações de taxa clássicas (Seção 2.1). Estas equações podem ser deduzi das da equação mestra do sistema (Seção

2.2) descrevendo a evolução temporal da probabilidade de ocupação das ilhas.ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAA

flutuação da ocupação média nas ilhas é obtida através das variâncias calculadas na Seção 2.3.

12

2 . 1

E q u a ç õ e s d e T a x a

E M I S S O R C O L E T O R

2 M o d e l o S e q ü e n c i a l p a r a S i s t e m a s D e p e n d e n t e s d e

Spin

13

F i g u r a 2 . 1 : M o d e l o s e m i c l á s s i c o d o s i s t e m a d e t u n e l a m e n t o r e s s o n a n t e c o n t e n d o Mn. T o d a s a s t r a n f e r ê n c i a s p o s s i v e i s d e e l é t r o n s e s t ã o i n d i c a d a s p e l a s s e t a s i n d e x a d a s ; a s t a x a s

d e g e r a ç ã o ( g ' s ) e r e c o m b i n a ç ã o ( r ' s ) s ã o t a m b é m i n d i c a d a s . A i l h a - u p a c o m o d a n o m á x i m o

N

_t e l é t r o n s c o m s p i n u p . A i l h a - d o w n p o d e c o n t e r n o m á x i m o

N{.

e l é t r o n s c o m s p i n

d o w n . O s inteiros n t e n{. d e s c r e v e m o n ú m e r o d e e l é t r o n s u p e d o w n , r e s p e c t i v a m e n t e , e m u m d e t e r m i n a d o i n s t a n t e t .

u p e n q u a n t o q u e a i l h a i n f e r i o r e l é t r o n s c o m s p i n d o w n . A s t r a n s i ç õ e s e l e t r ô n i c a s

d e p e n d e n t e s d e s p i n n a F i g . 1 . 5 , o u s e j a , a q u e l a s a t r a v é s d a s b a r r e i r a s e s q u e r d a e

d i r e i t a e e n t r e o s e s t a d o s d e s p i n n o p o ç o , e s t ã o a s s o c i a d a s c o m o s p o s s í v e i s s a l t o s

( h o p s ) c o n e c t a n d o o e m i s s o r , o c o l e t o r e a s i l h a s c e n t r a i s n a F i g . 2 . 1 . I n ú m e r a s

c o n f i g u r a ç õ e s p o d e m s e r e s t u d a d a s a t r a v é s d e s t e m o d e l o d e i l h a s . P o r e x e m p l o ,

p o d e - s e p e r m i t i r s o m e n t e a s a í d a d e e l é t r o n s u p d o e m i s s o r f e c h a n d o - s e o c a n a l g{.

( c a n a l 5 ) . O u p e r m i t i r s o m e n t e a e n t r a d a d e e l é t r o n s d o w n n o c o l e t o r , f e c h a n d o - s e o

c a n a l r c t ( c a n a l 2 ) . O u t r a s p o s s i b i l i d a d e s s e r ã o d i s c u t i d a s n o C a p í t u l o 4 . O s c a n a i s

s ã o " f e c h a d o s " t o m a n d o - s e o l i m i t e d o r e s p e c t i v o T

-+

0 0 . E s t e p r o c e s s o d e " f e c h a r "

o s c a n a i s f i s i c a m e n t e e q u i v a l e a t i r a r o n í v e l r e s s o n a n t e d a r e s s o n â n c i a . F a z e m o s

2 M o d e l o S e q ü e n c i a l p a r a S i s t e m a s D e p e n d e n t e s d e S p i n 1 4zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA impedir que os elétrons possam tunelar elasticamente para dentro dos níveis

resso-nantes ou dos níveis ressoresso-nantes para o coletor. OsZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAT ' S que aparecem nas taxas de

geração ( gMLKJIHGFEDCBAIs) e recombinação ( r Is) da Fig. 2.1 indicam a probabilidade do elétron

tunelar por unidade de tempo. Por exemplo, a probabilidade por unidade de tempo que um elétron up no emissor salte para dentro do nível up não ocupado no poço é representada por T e t , e pode ser calculada através da "regra de ouro" de Fermi. Os fatores (N_t - nt), (N_t - n t ) e (nt), ( n . d que aparecem nas taxas de geração e recombinação, respectivamente, decorrem dos fatores de Fermi.

As equações de taxa descrevem a variação do número médio de elétrons nas ilhas em um determinado instante t e podem ser escritas diretamente da Fig. 2.1; posteriormente estas serão deduzi das a partir da equação mestra. Por exemplo, a variação no tempo do número de elétrons na ilha-up é dada pelo número de elétrons que entram e saem desta ilha. A entrada de elétrons up na ilha-up é governada pelas taxas gt e g i e a saída pelas taxas rct e ri. Para a entrada e saída de elétrons down da ilha-down o raciocínio é análogo. Dessa forma temos as seguintes equações de taxa

~nt ( t)ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=

N

t - nt ( t) _ nt ( t)

+

n t ( t)

[N

t - nt ( t) ] _ nt ( t) [ N t - n t ( t) ] ( 2 .1 )

d t T e t T c t Ttt Ttt

~ n t ( t) = Nt - n d t) _ n t (t) _ n d t)

[N

t - nt (t)]

+

nt ( t) [Nt - n t (t)] . ( 2 .2 )

d t Td T c t Ttt Ttt

A solução analítica das equações (2.1) e (2.2) apresenta uma certa dificuldade, pois temos um termo não linear nt ( t) n t ( t) em cada equação. Quando TH = T H , os termos não lineares se cancelam e as soluções analíticas tornam-se possíveis. A seguir estudamos a solução analítica ( T H = T H ) , o caso linearizado com TH

#-

T H e a solução numérica exata com TH e T H quaisquer.

2 . 1 . 1 S o l u ç ã o a n a l í t i c a e x a t a

(Ttt

= T U )

Aqui consideramos o regime onde TH

=

T H

=

T i . Neste regime nosso modelo

torna-se exato (no sentido de obtermos soluções analíticas exatas para as equações de taxa) como. o~modelo estudado em [8]; a única diferença é que no nosso caso temos dois canais conectando o emissor às ilhas centrais. Determinamos inicialmente

d

d

a solução de estado estacionário (nt) e ( n t ) fazendo-se d t nt ( t) = d t n t ( t) = O em

2 M o d e l o S e q ü e n c i a l p a r a S i s t e m a s D e p e n d e n t e s d e S p i n 1 5zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(2.3)

(2.4)

As soluções de (2.3) e (2.4) sãoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(nt)

=

T e tN t( T e .! .T iZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

+

T e .! .T i

+

T e .! .T e .! .N t

+

T e tT e .! .N .! .)

,

(Tet

+

Tet)(

T e .! .T i

+

T e .! .T i

+

T e .! .T c .l.N t)

+

T e tT e tN .! .( T e .! .

+

T e .! .)

(2.5)

(2.6)

As equações (2.1) e (2.2) podem ser reescritas de uma forma mais simples em termos das variâncias ó n t ( t) e ó n d t) ,

d [ ó n t ( t) ] [ ó n t ( t) ]

d t _{ó n d t)}

=

P ó n d t) ,

onde

ó n dMLKJIHGFEDCBAt) = nt ( t) - (nt),

ó n .! . ( t) = n .! . ( t) - ( n .! .) ,

e

~Ti

)

__ 1 __ 1 _ ~ .

Te.\. T e . \ . Ti

(2.7)

Resolvendo-se as equações (2.1) e (2.2) sujeitas às condições iniciais nt (O) = N e n .j.(O)= M obtemos

2 Modelo Seqüencial para Sistemas Dependentes de Spin 16

em queZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

À _ P l lZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

+

P2 2 J ( P l l

+

P2 2 ) 2 - 4 det

P

± - 2

±

2 '

são os dois autovalores da matriz P . As quantidades a ±, b + eC± são definidas como

À _ -MLKJIHGFEDCBAP1 1

a +

À _ - À +

,

b +

P1 2

À _ - À +

,

c+ - b + ( n .j .) - a + ( n t ) , (2.10) 1 a:

+

a + ,

- ( n t ) c + c + .

Como det

P

> O e P1 1

+

P2 2 < O, podemos verificar que os dois autovalores À ± são

negativos. Para t - + 00 nas equações (2.8) e (2.9), n t ( t) - + ( n t ) e n .j .( t) - + ( n .j .) . Isto significa que depois de uma flutuação aleatória dos elétrons em qualquer uma

das duas ilhas, o sistema tende a relaxar para o regime de estado estacionário.

A Fig. 2.2 mostra a evolução temporal de n t (t) e n .j .(t). Quando colocamos todos os T 'S iguais a 1 nas equações (2.8) e (2.9), as curvas para n t ( t) e n .j .( t)

coincidem (curva azul). Para T e .j .= T e .j .- + 00 (colocar T muito grande significa impedir que o elétron faça aquela respectiva transição) obtemos curvas distintas

para n t ( t) (curva verde) e n .j .( t) (curva vermelha).

O

diferente comportamento das curvas verde e vermelha evidencia o fato do número médio de elétrons n t ( t) na ilha-up, em um instante t , ser inferior ao número médio de elétrons n .j .( t) na ilha-down, neste mesmo instante t . Quando o regime de estado estacionário é atingido

as duas ilhas possuem o mesmo número médio de elétrons. As curvas azul, vermelha

e verde atingem o regime de estado estacionário no mesmo valor, 0.5. Isto é uma

caracteristica da configuração do modelo de uma única ilha. Ressaltamos que estes

comportamentos se alteram quando Tt.\.= I T.\.t. Desde que a ilha para onde o elétron é

espalhado não e~teja conectada ao coletor, o processo de 'spin-flip' não tem influência

no valor do estado estacionário alcançado (aqui generalizamos os resultados da ref.

[8], incluindo dois canais injetores de elétrons). Por outro lado vemos que para a

2

Modelo Seqüencial para Sistemas Dependentes

de Spin

17

1.0 0.9 0.8ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

--

~ 0.7

o

.,.

c 0.6 ~

--

a .

c= 0.5

0.4

0.3

o

t_up/down =t_down/up =t=1 I -- nup(t)=ndown(t) --n (t) u p --ndown(t) --n (t) u p --ndown(t)

2 3 4 5 6 7 8

t

9 10

F i g u r a 2 . 2 : C o m p o r t a m e n t o d e n t

(t)

e n.}

(t)

p a r a o c a s o e x a t o T t . } = T H . N e s t e

c a s o p a r t i c u l a r a d o t a m o s

N

_t =

N.}

= 1 e c o m o c o n d i ç ã o i n i c i a l

N

=

M

= 1 . P a r a

o s t e m p o s d e t r a n s i ç ã o T'

s

t o d o s i g u a i s a 1 n a s e q u a ç õ e s ( 2 . 8 ) e ( 2 . 9 ) a s c u r v a s p a r a

n t

(t)

e n.}

(t)

c o i n c i d e m ( c u r v a a z u l ) . A s c u r v a s v e r d e e v e r m e l h a s ã o c o n s t r u í d a s

c o m t o d o s o s T'

s

i g u a i s a 1 e x c e t o Te.} = Tc.}

-+

0 0 . P a r a t o d o s o s (T' S) i g u a s a

1 e x c e t o Te.} = T c t

-+

0 0 , o b t e m o s a s c u r v a s l a r a n j a e r o x a p a r a n t

(t)

e n.}

(t),

r e s p e c t i v a m e n t e . O b s e r v e q u e a s c u r v a s a z u l , v e r d e e v e r m e l h a a t i n g e m o e s t a d o

e s t a c i o n á r i o n o m e s m o v a l o r , 0 . 5 . A s c u r v a s r o s a e l a r a n j a a t i n t e m o r e g i m e d e

e s t a d o e s t a c i o n á r i o e m d i f e r e n t e s v a l o r e s , 0 . 3 3 e 0 . 6 6 , r e s p e c t i v a m e n t e .

( c u r v a r o s a ) a t i n g e m o r e g i m e d e e s t a d o e s t a c i o n á r i o e m d i f e r e n t e s v a l o r e s . N e s t a

c o n f i g u r a ç ã o , o p r o c e s s o d e " s p i n - f l i p " a l t e r a o v a l o r d o e s t a d o e s t a c i o n á r i o o b t i d o .

E s t a s c u r v a s n o s d i z e m q u e o n ú m e r o m é d i o d e e l é t r o n s u p n a i l h a - u p é s e m p r e

m a i o r q u e o n ú m e r o m é d i o d e e l é t r o n s d o w n n a i l h a - d o w n . I s t o p o d e s e r e n t e n d i d o

n o t a n d o q u e a p r o b a b i l i d a d e d a i l h a - u p e s t a r o c u p a d a é m a i o r q u e a p r o b a b i l i d a d e

d a i l h a - d o w n e s t a r o c u p a d a , d e v i d o o e l é t r o n d a i l h a - u p t e r a p e n a s u m c a n a l d e

s a í d a ( c a n a l 3 d a F i g . 1 . 6 ) e n q u a n t o o e l é t r o n d a i l h a - d o w n t e m d u a s o p ç õ e s d e

s a í d a ( c a n a i s 4 e 6 ) .

2 M o d e l o S e q ü e n c i a l p a r a S i s t e m a s D e p e n d e n t e s d e S p i n 1 8zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA (I) do sistema pode ser descrita como

e (2.11)

(I)

o que equivale a

(2.12) A equação (2.11) nos diz que (I) é formada por correntes polarizadas. Ela também expressa a conservação de corrente através do sistema.

2 . 1 . 2 S o l u ç ã o a n a l í t i c a a p r o x i m a d a

Ttt

ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

= I

TH

Para TH = I TH as equações de taxa (2.1) e (2.2) são não lineares e não podem ser resolvidas analiticamente. Este problema pode ser solucionado resolvendo-se nu-mericamente as equações de taxa (ver Apêndice A). Contudo, uma solução analítica das equações de taxa se faz necessário, pois será de grande utilidade na determi-nação das funções correlação, ingrediente básico no cálculo analítico do shot noise. Para obtermos as soluções analíticas de (2.1) e (2.2) quando TH = I T H , l i n e a r i z a m o s ' as equações de taxa, ou seja, expandimos nt ( t ) e n t ( t ) em torno dos seus valores médios (nt) e ( n t ) , obtidos e x a t a m e n t e através de (2.1) e (2.2) para TH = I TH (ver Apêndice B). Como pode ser verificado, a solução analítica linearizada das equações de taxa (pois consideramos Ttt = I T H ) é semelhante às equações (2.8) e (2.9), mas com (nt) e ( n t ) obtidos para TH = I TH (Apêndice B). Também continuam válidas as relações (2.10). São diferentes apenas os elementos da matriz

P,

que agora é escrita como

(

__ 1 __ 1 _ ~ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

+

(_1 __ 1MLKJIHGFEDCBA)(n .)

Tet T e t Tt~ Tt~ T~t +

N ~

(1

1 ) (

)

- +

- - -

n

TH TH TH .\. __ 1 __ 1 _ ~_Te~ T e ~ TH

+

(_1 __ 1 )(nt)TH Tt~

)

(2.13)

I

Note que fazendo.z-j = TH em (2.13), recuperamos a matriz P de (2.7) para o caso linear. A evolução temporal de nt ( t) e n t (t), calculados através da linearização das equações de taxa, é mostrada na Fig. 2.3. As curvas contínuas correspondem às

2 M o d e l o S e q ü e n c i a l p a r a S i s t e m a s D e p e n d e n t e s d e S p i n 1 9FEDCBA

1 . 1 1 . 1

1 . 0

- - n d o w n ( tL a p r o x ( N = M = 1 )

1 . 0

n d o w n ( tL a p r o x ( N = M = O )

0 . 9 _{'u p .o o w n}

=1

- - n d o w n ( tL a p r o x ( N = 1 ,M = O ) 0 . 9

0 . 8 'd o w n - u p

=10

- - n d o w n ( tL a p r o x ( N = O ,M = 1 ) 0 . 8 : - 0 . 7 _{n u p ( tL e x a to , n d o w n ( tL e x a to} 0 . 7

-~ 0 . 6 0 . 6

" C J

C 0 . 5 0 . 5

-~ 0 . 4 0 . 4

a .

~

- - n u p ( tL a p r o x ( N = M = 1 )

c 0 . 3 0 . 3

0 . 2

- - n u p ( tL a p r o x ( N = M = O )

0 . 2

0 . 1

- - n u p ( tL a p r o x ( N = 1 ,M = O )

0 . 1

- - n u p ( tL a p r o x ( N = O ,M = 1 )

0 0 0 . 0

O 2 3 4

t

F i g u r a 2 . 3 : E v o l u ç ã o d e n t

(t)

e n.j.

(t),

c a l c u l a d o s a t r a v é s d a l i n e a r i z a ç ã o d a s e q u a ç õ e s d e t a x a ( c u r v a c o n t í n u a ) e n u m e r i c a m e n t e ( c u r v a d e s c o n t í n u a ) . E m t o d a s a s c u r v a s a d o t a m o s

N t

=

N . j.

=

1 , r t . j. = 1 , r . j. t

=

1 0 e d e m a i s r' s ( v e r F i g . 2 . 1 ) i g u a i s a 1 . A s v á r i a s c u r v a s f o r a m o b t i d a s p a r a d i f e r e n t e s c o n d i ç õ e s i n i c i a i s . A s q u a t r o c u r v a s p a r a n t

(t)

( d u a s c o m

N = 1 e d u a s c o m N = O ) a t i n g e m o r e g i m e d e e s t a d o e s t a c i o n á r i o n o m e s m o v a l o r , e m b o r a t e n h a m c o n d i ç õ e s i n i c i a i s d i f e r e n t e s . O m e s m o a c o n t e c e n d o c o m a s q u a t r o c u r v a s p a r a n.j.

(t).

P a r a t o d a s a s s i t u a ç õ e s v e m o s q u e o r e s u l t a d o a n a l í t i c o a p r o x i m a d o e s t á e m e x c e l e n t e a c o r d o c o m o n u m é r i c o .

e q u a ç õ e s d e t a x a l i n e a r i z a d a s ( 2 . 8 ) e ( 2 . 9 ) c o m a m a t r i z

P

L d a E q . ( 2 . 1 3 ) e ( n t ) e (n.j.) e x a t o s c a l c u l a d o s p a r a T t . j.

# -

T.j.t. A s c u r v a s d e s c o n t í n u a s c o r r e s p o n d e m à

s o l u ç ã o n u m é r i c a d a s e q u a ç õ e s d e t a x a . A d o t a m o s T t . j. = 1 , T . j. t = 1 0 e d e m a i s T' S

( v e r F i g . 2 . 1 ) i g u a i s a 1 . N a F i g . 2 . 3 t e m o s q u a t r o c u r v a s p a r a n t

(t)

e q u a t r o p a r a

2 Modelo Seqüencial para Sistemas Dependentes de Spin 20

ilha-down com 1 elétronMLKJIHGFEDCBA(NZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= O e M = 1). Embora as curvas para ntZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA( t) e n - t- ( t)

tenham condições iniciais diferentes, cada conjunto atinge o mesmo valor no regime de estado estacionário, nt ( t) - + (nt) ~ 0.43 e n - t-

(t)

- + ( n - l- ) ~ 0.57; isto é razoável uma vez que Tt-l- < T -l-t· Na Fig. 2.3 cada curva analítica aproximada (curva contínua) para nt ( t) e n - l-( t) tem a sua correspondente numérica exata (curva descontínua). Note a excelente concordância entre as curvas aproximadas e exatas. Este acordo se mantém mesmo para TH

S;

T H ou TH

2:

T H 'ONMLKJIHGFEDCBA

2 . 2

E q u a ç ã o

M e s t r a

A equação mestra descreve a variação no tempo da probabilidade de encon-trarmos nt elétrons na ilha-up e n - l- elétrons na ilha-down, ou seja, p ( n t,n - t- ,t) . A equação mestra é importante porque a partir dela derivamos as equações de taxa e variâncias. Todas estas grandezas por sua vez serão úteis na obtenção da expressão final do ruído. Levando em conta todos os possíveis processos pelos quais os elétrons podem entrar e sair das ilhas pode-se mostrar que (Apêndice C)

d

d t P (nt, n .j.,t)

=

g e t (nt - 1)p (nt - 1,n .j.,t)

+

rct (nt

+

1)p (nt

+

1,n .j., t)

+g i (nt - 1,n .j.

+

1)p (nt - 1,n .j.

+

1,t)

+

ri (nt

+

1,n .j. - 1)p (nt

+

1,n .j. - 1,t)

+ g e .j. (n .j. - 1)p (nt, n .j. - 1,t)

+

rc.j.(n .j.

+

1)p (nt, n .j.

+

1,t)

- [g e d n t)

+

g e .j. (n .j.)

+

g i (nt, n .j.)

+

ri (nt, n .j.)

+

rcdnt)

+

rc.j.{n.j.)]p (nt, n .j.,t) . (2.14) Note que a nossa equação mestra conserva o número de partículas nas ilhas, mesmo na presença do mecanismo de "spin-flip". Os termos de "geração" e "recombinação" satisfazem

rct

(O)

=

O,

g e t ( N t) = O,

r c -t-

(O)

=

O,

ge-l- (N -l-) = 0,

r i

(O,

n - l- ) =

O,

r i (nt, N -l-) = 0,

9dnt, O) = O

9i (Nt , n - l- ) = O.

(2.15) (2.16)

As condições

acima

proibem a saída de elétrons de uma ilha vazia e a entrada de elétrons dentro de uma ilha cheia. Esta última satisfaz o "princípio da exclusão de Pauli" .

2 M o d e l o S e q ü e n c i a l p a r a S i s t e m a s D e p e n d e n t e s d e S p i n 2 1zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA tempoMLKJIHGFEDCBAt é definido por

N t,N J .ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

n d t )ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=

L

n t P ( n t ,n .l .,t )

nt,nJ.=O

N t,N J .

n d t ) =

L

n .l .p(nt, n .l ., t ) ,

nt,nJ.=O

(2.17)

(2.18)

A partir das definições (2.17) e (2.18) podemos deduzir as equações de taxa (2.1) e (2.2). Por exemplo, para obtermos (2.1) multiplicamos ambos os lados de (2.14) por nt e somamos sobre nt e n .l .. Em seguida substituimos as taxas de "geração" e "recombinação" por suas respectivas expressões, definidas na Fig. 2.1. Um pouco de álgebra mais a definição (2.17) leva-nos

à

(2.1). O mesmo procedimento é aplicado para obter (2.2). Os passos para a dedução detalhada das equações de taxa a partir da equação mestra encontram-se no Apêndice D. Como veremos na próxima seção, a variância do número de elétrons nas ilhas-up e down são obtidas de forma semelhante às equações de taxa.

2 . 3

V a r i â n c i a s

Como veremos o ruído em sistemas de tunelamento ressonante está diretamente relacionado à variância (no estado estacionário) do número de elétrons nos estados ressonantes. Sendo assim, estamos interessados no cálculo das variâncias ((ó n t

)2),

( ( ó n .l .) 2 ) e ( ó n - t ó n .l .) = ( ó n .l .ó n t ) da distribuição de estado estacionário P o (nt, n .l .) , ou seja, estamos interessados nas flutuações de nt e n .l .em relação aos seus respectivos valores médios (nt) e ( n .j .) , obtidos no regime de estado estacionário. Na dedução das variâncias adotaremos o procedimento do Apêndice A em [8].

2 M o d e l o S e q ü e n c i a l p a r a S i s t e m a s D e p e n d e n t e s d e S p i n 2 2zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

onde usamos a definiçãoMLKJIHGFEDCBA

N t,N ~

(n t(t)n d t))=

L

n tn tp (n t,n t,t).

nt,n~=O

(2.20)

Expressões análogas a (2.19) podem ser escritas paraZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

1 t

(n t (t)) e

:t

(n I (t)). Para isto multiplicamos (2.14) p o r nt e n t, respectivamente, somamos sobre nt e n t, e definimos

N t,N ~

(n t (t))ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA=

L

n t p (nt, n t, t) nt,n~=O

(2.21 )

e

N t,N ~

(n I(t)) =

L

n lp (n t,n t,t). nt,n~=O

(2.22)

Como estamos interessados no cálculo das variâncias da distribuição de estado esta-cionário tomamos o limite t ----t 00 [regime de estado estacionário: p (nt, n t, t ) ----t P o (n t, n t)]· A derivada temporal do lado esquerdo de (2.19) se anula e (nt (t) n t (t)) ----t

2 M o d e l o S e q ü e n c i a l p a r a S i s t e m a s D e p e n d e n t e s d e S p i n 2 3zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(2.23)

(2.24)

e

(2.25)

respectivamente. A seguir estudaremos a solução das equações (2.23), (2.24), (2.25)

considerando dois casos limites: i) quandoZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBAT t.\. =MLKJIHGFEDCBAT .j.t, em que conseguimos obter ex-I

pressões analíticas exatas para as variâncias e ii) quando T t.\. -# T .j.t, em que obtemos

( ( ó n t ) 2 )ZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA= ( n ~ ) -zyxwvutsrqponmlkjihgfedcbaZYXWVUTSRQPONMLKJIHGFEDCBA

(nt?,

( ( ó n .l l ) =

(nl) -

( n .I Y ,

( ó n t Ó n t ) = ( n t n t ) -

(nt)

( n t ) ·

(2.26)

(2.27)

(2.28)ONMLKJIHGFEDCBA

2 M o d e l o S e q ü e n c i a l p a r a S i s t e m a s D e p e n d e n t e s d e S p i n 2 4

2 . 3 . 1 C a s o a n a l í t i c o e x a t o

(TH

= T H )

Para TH

=

TH

=

T i as equações (2.23), (2.24) e (2.25) fornecem expressões

analíticas exatas para ( n ~ ) ,

(nl)

e ( n t n t ) , respectivamente. As

variâncias

são

definidas como

Substituindo as expressões obtidas para ( n f ) ,

(nl)

e ( n t n t ) nas definições (2.26),

(2.27) e (2.28), obtemos

(

~1MLKJIHGFEDCBA

_ N J .

Ti

o

(2.29)

em que

1 1 N_t

V l =

- + - + - ,

Tet Tct T i

1 1 N_t

V 2 = - + - + - ,

T e t T c t T i

1 1 1 1 N, - 1 N , - 1

V 3 = - + - + - + - +

+ '

-Tet T e t Tct T c t T i T i

( I ') ( n t ) ( N t - ( n t ) ) ( n t ) ( N t - ( n + ) )

- - =

+

,

e n n

( I ! ) N t - ( n t )

(2.30)

e Tet

( l~ ) _{N t - ( n t)}

e T e t

( I J ) (nt)

e Tct

( I f) ( n t )

e T c t

Colocando T e t

---*

0 0 em (2.29) recuperamos as variâncias de [8] (Eq. A3).

Lem-bramos que as variâncias obtidas analiticamente aqui são exatas, pois estamos con-.