Convergência compacta de resolvente e o teorema de Trotter Kato para perturbações...

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Cesar Augusto Esteves das Neves Cardoso

Orientador: Prof. Dr. Alexandre Nolasco de Carvalho

Dissertação apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Ciências - Matemática . VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos Abril de 20012

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito: 02/04/2012

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Ficha catalográfica elaborada pela Biblioteca Prof. Achille Bassi e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

C268c

Cardoso, Cesar Augusto Esteves das Neves

Convergência compacta de resolvente e o teorema de Trotter Kato para perturbações singulares / Cesar Augusto Esteves das Neves Cardoso; orientador

Alexandre Nolasco Carvalho. -- São Carlos, 2012. 90 p.

Dissertação (Mestrado - Programa de Pós-Graduação em Matemática) -- Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2012.

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Agradecimentos

Agrade¸co a Deus, pela sa´ude, fam´ılia, amigos e pelas oportunidades que me permitiram chegar at´e aqui.

Aos meus pais, Ananias e Clarice, por toda a dedica¸c˜ao e apoio de sempre.

A Danielle, meu amor, minha companheira, minha melhor amiga, que me ensinou a ser uma pessoa melhor, para ela com amor e admira¸c˜ao, obrigado Nˆe.

Aos funcion´arios e professores do ICMC/USP, em particular, ao professor Alexandre Nolasco, meu orientador, pela orienta¸c˜ao, amizade e por sempre estar disposto a me ajudar no trabalho, muito obrigado.

A professora Simone Mazzini, pela amizade e orienta¸c˜ao na gradua¸c˜ao.

Aos professores membros da banca, Simone Mazzini e Francisco Odair, por aceitarem o convite e pelas sugest˜oes dadas.

Ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Cient´ıfico e Tecnol´ogico - CNPq, pelo apoio financeiro.

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Resumo

Nesta disserta¸cão estudamos uma versão do Teorema de Trotter-Kato que estabelece uma equivalência entre a continuidade, relativamente a um parâmetro, de operadores resolvente e a continuidade dos semigrupos lineares associados. Os operadores ilimitados envolvidos (ge-radores de semigrupos anal´ıticos) estão definidos em espa¸cos que variam com o parâmetro e isto nos leva a ter que comparar elementos de espa¸cos de Banach diferentes. Este resultado é aplicado a um problema de Neumann em um dom´ınio fino com fronteira altamente oscilante e que se degenera a um intervalo quando o parâmetro varia. Nesta aplica¸cão, utilizamos o método das múltiplas escalas (comum em teoria de homogeneiza¸cão) para obter formal-mente o problema limite (veja [17]) e, em seguida, provamos a convergência compacta dos operadores resolventes utilizando as fun¸cões teste oscilantes de Tartar [15], [16] (veja também Cioranescu e Saint Jean Paulin [12]), obtidas através de um problema auxiliar, juntamente com operadores de extensão.

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Abstract

In this work we study a version of Trotter-Kato’s Theorem that establishes an equivalence between the continuity, with respect to a parameter, of the resolvent operators and the con-tinuity of the associated linear semigroups. The unbounded operators involved (generators of analytic semigroups) are defined spaces that vary with the parameter leading us to intro-duce methods to compare vectors in different Banach spaces. We apply this theorem to an elliptic boundary value problem with Neumann boundary condition in a highly oscillating thin domain that degenerates to a line segment as the parameter varies. In this application we use the multiple scale method (frequently used in the homogenization theory) to obtain, formally, the limiting problem (see [17]) and, in the sequel, we prove the compact conver-gence of resolvent operators using the oscillating test functions of Tartar [15] (see also [16] and Cioranescu and Saint Jean Paulin [12]) defined with the aid of an auxiliary problem as well as extension operators.

(10)

(11)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 3

1 Teoremas de E-convergˆencia 13

1.1 Operadores Sim´etricos, Auto-adjuntos, Dissipativos e Imagem Num´erica . . . 13

1.2 Continuidade do Espectro . . . 15

1.3 Potˆencias Fracion´arias . . . 21

1.4 Teoremas de Trotter-Kato . . . 23

2 No¸cões de Homogeneiza¸cão 27 2.1 Introdu¸cão à Homogeneiza¸cão . . . 28

2.2 Fun¸c˜oes peri´odicas altamente oscilantes . . . 32

2.3 Espa¸cos de Sobolev . . . 38

2.4 M´etodo de Tartar e o Teorema de Convergˆencia . . . 40

3 Homogeneiza¸c˜ao em dom´ınios finos altamente oscilantes 45 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 45

3.2 O M´etodo das M´ultiplas Escalas e o Problema Limite . . . 47

3.3 O Operador Extens˜ao . . . 51

3.4 Teorema de Convergˆencia para o Limite Homogeneizado . . . 54

3.4.1 Fun¸c˜oes auxiliares peri´odicas . . . 55

3.4.2 Limite das fun¸c˜oes peri´odicas auxiliares . . . 59

3.4.3 Convergˆencia para o limite homogeneizado . . . 63

3.5 Convergˆencia do Resolvente . . . 67

(12)

4 Apˆendice: estimativa do erro 77

4.1 Preliminares . . . 78 4.2 Corretor de Primeira Ordem . . . 82 4.3 Corretor de Segunda Ordem . . . 84

(13)

Introdu¸c˜

ao

No estudo de rea¸cões qu´ımicas que ocorrem em um recipiente (ou meio), a determina¸cão da forma do recipiente Ωǫ ⊂R3 é feita através de medidas e observa¸cões que, por sua natureza,

contém imprecisões. Se Ω0 denota o recipiente e Ωǫ o seu modelo as fun¸cões concentra¸cão

reais φ0 : Ω → R e φǫ : Ωǫ → R est˜ao definidas em espa¸cos diferentes. Mesmo quando o

espa¸co onde atuam os operadores lineares envolvidos pode ser fixado, os operadores (que são determinados por leis emp´ıricas e observa¸cões) variam. Assim, para que o modelo estudado reflita (de alguma maneira) o problema modelado, precisamos desenvolver mecanismos de comparar fun¸cões pertencentes a espa¸cos diferentes bem como operadores que atuam nestes espa¸cos. Existem inúmeras situa¸cões práticas em que somos levados a comparar operadores que atuam em espa¸cos diferentes. Problemas parabólicos em dom´ınios finos ou em dom´ınios do tipo dumbbell e problemas de homogeniza¸cão são apenas alguns dos exemplos (veja [1],[2],[3],[4]).

(14)

E-convergˆ

encia

A seguir, fazemos uma breve apresenta¸cão dos métodos de análise funcional utilizados para tratar problemas em espa¸cos que variam com um parâmetro (veja [6]).

Seja Xǫ uma fam´ılia de espa¸cos de Banach, ǫ ∈ [0,1], e suponha que existe uma fam´ılia

de operadores lineares cont´ınuosEǫ :X →Xǫ com a propriedade

kEǫuk_X_ǫ ǫ→0

→ kuk_X , para todo u∈X. (1)

Defini¸c˜ao 0.0.1. Diremos que uma sequˆencia {uǫ}ǫ∈(0,1], com uǫ ∈ Xǫ para todo ǫ∈ [0,1],

E−converge para u se kuǫ−EǫukXǫ

ǫ→0

−→0. Escrevemosuǫ E

−→u para dizer que a sequˆencia {uǫ}ǫ∈[0,1] E-converge para u quando ǫ tende a zero.

Com esta no¸cão de convergência apresentamos as defini¸cões de sequênciaE-relativamente compacta, EE−convergência e convergência compacta.

Defini¸cão 0.0.2. Uma sequência {un}n∈N, com un ∈Xǫn e ǫn → 0, é dita E -relativamen-te compacta se, para cada subsequência {un′} de {u_n}, existe uma subsequência {u_n′′} de

{un′} e um elemento u∈X tal que u_ǫ

n′′

E

−→u. A fam´ılia {uǫ}ǫ∈(0,1] é dita E-relativamente compacta se cada sequência {uǫn}, ǫn→0, é E-relativamente compacta.

Defini¸c˜ao 0.0.3. Diremos que a fam´ılia de operadores {Bǫ ∈ L(Xǫ)}ǫ∈[0,1] EE-converge paraB0 quando ǫ→0, se Bǫuǫ −→E B0usempre que uǫ −→E u∈X. EscreveremosBǫ−→EE B0 quando ǫ→0 para denotar que {Bǫ∈ L(Xǫ)}ǫ∈[0,1] EE-converge para B0.

Defini¸c˜ao 0.0.4. Uma fam´ılia de operadores compactos {Bǫ ∈ K(Xǫ) : ǫ ∈[0,1]} converge

compactamente para B0 se, para qualquer fam´ılia {uǫ} com uǫ ∈Xǫ, kuǫkXǫ = 1, ǫ ∈(0,1], a fam´ılia {Bǫuǫ}ǫ∈[0,1] ´e E-relativamente compacta e, al´em disso, Bǫ

EE

−→B0. Escreveremos

Bǫ CC

−→B0 quando ǫ→0para denotar que {Bǫ∈ K(Xǫ)}ǫ∈[0,1] converge compactamente para

B0.

A seguir, apresentamos a defini¸c˜ao de resolvente e espectro para um operador linear fechado e a defini¸c˜ao de operadores lineares com resolvente compacto.

Defini¸c˜ao 0.0.5. Seja X um espa¸co de Banach sobreC_e _A_:_D₍_A₎_⊂_X _→_X _{um operador}

linear fechado. O conjunto resolvente de A ´e o subconjunto ρ(A) de todos os λ em C _tais

que λ−A ´e bijetor. O espectro de A ´e definido como C₋_ρ₍_A₎_.

Defini¸c˜ao 0.0.6. Seja X um espa¸co de Banach sobre C _e _A _: _D₍_A₎ _⊂ _X _→ _X _um

(15)

Se A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear fechado, ρ(A) 6= ∅ _e _{µ, λ} _∈ _ρ₍_A_{), é fácil}

provar que

(λ−A)−1−(µ−A)−1 = (µ−λ)(λ−A)−1(µ−A)−1.

Esta identidade ´e conhecida como a identidade do resolvente. ´

E uma consequência simples da identidade do resolvente que, se A tem resolvente com-pacto, então (λ−A)−1 _{é compacto para todo} _λ _∈ _ρ₍_A_{). Além disso, se} _σ _{é um conjunto}

espectral limitado ePσ é a proje¸cão espectral associada entao Pσ é compacta

(consequente-mente tem imagem com dimens˜ao finita).

Em geral, os operadores Bǫ ser˜ao inversos de certos operadores diferenciais Aǫ. Assim,

considere a fam´ılia de operadores {Aǫ : D(Aǫ)⊂ Xǫ → Xǫ, ǫ ∈ [0,1]} e suponha que, para

todoǫ∈[0,1],

Aǫ ´e fechado, tem resolvente compacto, 0∈ρ(Aǫ), e A−ǫ1 CC

−→A−₀1 . (2)

Para cada δ >0 e λ0 ∈C defina Sδ(λ0) :={µ∈C:|λ−λ0|=δ}.

A um ponto isolado λ ∈ σ(A0) associamos o seu auto-espa¸co generalizado W(λ, A0) =

Q(λ, A0)X onde

Q(λ, A0) =

1 2πi

Z

|ξ−λ|=δ

(ξI−A0)−1dξ

eδ ´e escolhido de forma que n˜ao haja nenhum outro ponto deσ(A0) no discoB

C

δ(λ) ={ξ ∈ C _: _|_ξ₋_λ_| 6 δ}. Segue do Lema 1.2.3 que existe ǫSδ(λ) tal que ρ(Aǫ) ⊃ Sδ(λ) para todo

ǫ6ǫSδ(λ). Seja W(λ, Aǫ) :=Q(λ, Aǫ)Xǫ onde

Q(λ, Aǫ) =

1 2πi

Z

|ξ−λ|=δ

(ξI −Aǫ)−1dξ.

O resultado a seguir diz que o espectro deAǫ, paraǫpequeno, se aproximado espectro de

A0 quando ǫ tende a zero. Sabe-se que o espectro deAǫ ouA0 cont´em apenas auto-valores

isolados de multiplicidade finita (recorde que estes operadores est˜ao definidos em espa¸cos distintos).

Teorema 0.0.1. Seja {Aǫ : D(Aǫ) ⊂ Xǫ → Xǫ, ǫ ∈ [0,1]} uma fam´ılia de operadores tal

que (2) est´a satisfeita. Ent˜ao valem as seguintes afirmativas:

(i) Se λ0 ∈ σ(A0), existe seq¨uˆencia {ǫn} em (0,1] com ǫn n→∞

−→ 0 e sequˆencia {λn} em C

com λn ∈σ(Aǫn), para n= 1,2,3· · ·, e λn

n→∞

(16)

(ii) Se {ǫn} é uma sequência em (0,1] com ǫn n−→→∞ 0, e {λn} é uma sequência em C com

λn ∈σ(Aǫn), n∈N e λn

n→∞

−→ λ0, ent˜ao λ0 ∈σ(A0).

Al´em disso, se existe ǫ0 ∈ (0,1] tal que sup

ǫ∈[0,ǫ0]

kEǫkL(X0,Xǫ) < ∞, valem as seguintes afirmativas:

(iii) Existe ǫ1 ∈(0, ǫ0) tal que dimW(λ, Aǫ) = dimW(λ0, A0) para todo 06ǫ6ǫ1. (iv) Se u ∈ W(λ0, A0), ent˜ao existe uma sequˆencia {ǫn} em (0,1] com ǫn

n→∞

−→ 0, uǫn ∈

W(λ0, Aǫn) e tal que uǫn

E

−→u quando n→ ∞. (v) Se {ǫn} ´e uma sequˆencia em (0,1] com ǫn

n→∞

−→ 0, e {un} ´e uma sequˆencia com un ∈

W(λ, Aǫn), kunkXǫn = 1, ent˜ao {un} tem uma subsequˆencia E−convergente para um vetor u in W(λ0, A0).

Teoremas de Trotter-Kato

Chamaremos de Teoremas de Trotter-Kato aos teoremas que descrevem alguma rela¸cão entre a convergência do resolvente e a convergência dos semigrupos gerados pelos operado-res associados. A seguir, definimos a no¸cão de semigrupo e enunciamos os teoremas que utilizamos ao demonstrar um Teorema de Trotter-Kato (Teorema 0.0.5) para sequências de operadores definidos em espa¸cos que variam com o parâmetro da sequência.

Defini¸c˜ao 0.0.7. Um semigrupo de operadores lineares em X ´e uma fam´ılia {T(t) :t ≥

0} ⊂ L(X) tal que tal que

(i) T(0) =IX,

(ii) T(t+s) =T(t)T(s), para todo t, s ≥0. Al´em disso,

(iii) se kT(t)−IXkL(X) → 0 quando t → 0+, dizemos que o semigrupo ´e uniformemente cont´ınuo

(iv) se kT(t)x−xkX →0 quando t → 0+, ∀x ∈X, dizemos que o semigrupo ´e fortemente

cont´ınuo.

(17)

onde

D(A) =

x∈X : lim

t→0+

T(t)x−x

t existe

,

Ax= lim

t→0+

T(t)x−x

t , ∀x∈D(A).

Teorema 0.0.2. Suponha que {T(t), t ≥ 0} ⊂ L(X) ´e um semigrupo fortemente cont´ınuo. Ent˜ao, existe M ≥1 e β tais que

kT(t)kL(X) ≤Meβ t, ∀t ≥0.

Para qualquer ℓ >0 podemos escolher β ≥ 1

ℓ logkT(ℓ)kL(X) e ent˜ao escolher M.

Teorema 0.0.3. Se {T(t), t ≥ 0} ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente cont´ınuo, β é o número real dado no Teorema 0.0.2 e λ∈C _{é tal que} _Re_{λ > β}_{, então} _λ_∈_ρ₍_A₎ _e

(λ−A)−1x=

Z ∞

0

e−λtT(t)xdt, ∀x∈X

Teorema 0.0.4. Suponha que A :D(A)⊂X → X é densamente definido e −A é setorial; isto é, existem constantes a, C e ϕ ∈(π/2, π], Σa,ϕ={λ∈C:|arg (λ−a)|< ϕ} ⊂ρ(A) e

k(λ−A)−1kL(X)≤C/|λ−a|, ∀λ∈Σa,ϕ.

Ent˜ao A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo {T(t), t ≥ 0} ⊂ L(X) com

T(t) = 1 2πi

Z

Γa

eλt(λ−A)−1dλ

onde Γa ´e a fronteira de Σa,φ\{λ ∈ C: |λ−a| ≤ r}, π₂ < φ < ϕ, r pequeno, orientada com

no sentido da parte imaginária crescente. Além disso, t 7→ T(t) se estende a uma fun¸cão anal´ıtica de {t ∈ C _: _|_arg_t_| _{< φ}₋_π/₂_} _em _L₍_X_{) (}_{ou a complexifica¸cão de} _X_{, se} _X _{é um}

espa¸co de Banach real) e para algum K =K(Γa, C)>0

kT(t)kL(X) ≤Keat, kAT(t)kL(X) ≤Kt−1eat

para todo t >0. Note que

d

dtT(t) =AT(t)

´e um operador limitado para qualquer t >0.

(18)

Teorema 0.0.5. Sejam A : X ⊃ D(A) → X, An : Xn ⊃ D(An) → Xn, n ∈ N operadores

lineares densamente definidos tais que

(λIn−An)−1

≤ M

|λ−ω|, ∀λ∈Σω,ϕ∀n ∈N. (3) para algum setorΣω,ϕ :={λ∈C;|arg(λ−ω)| ≤ϕ},ϕ ∈(π₂, π). Ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes

s˜ao equivalentes:

1. Existe λ∈C _com _Re₍_λ₎_{> ω} _{tal que}

(λIn−An)−1 EE

→ (λI−A)−1 (4)

2. Existe 0< θ < π₂ tal que ∀ǫ0, µ∈(0,∞), ǫ0 < µ temos

sup

t∈Σ(θ,ǫ0,µ)

eAnt_u

n−EneAtu0

Xn

n→0

→ 0 (5)

sempre que un →E u0, onde

Σ(θ, ǫ0, µ) ={z ∈C;|arg(z)| ≤θ e ǫ0 ≤ |t| ≤µ}.

Isto ´e, eAnt EE_→ _eAt _{uniformemente para} _t _{em compactos} _Σ(_{θ, ǫ} 0, µ).

Em ambos os casos, temos EE-convergˆencia uniforme em compactos contidos em

Σ(θ, ǫ0, µ).

Aplica¸c˜

ao a um problema de homogeneiza¸c˜

ao em dom´ınios finos

Aplicaremos o Teorema de Trotter-Kato 0.0.5 para obter propriedades de convergência do semigrupo gerado pelo operador de Laplace com condi¸cão de fronteira de Neumann em uma fam´ılia de dom´ınios Rǫ _⊂ _R2_, _ǫ _∈ _[0_,_{1], com comportamento altamente oscilatório}

na fronteira e que se degenera a um segmento de reta quando ǫ tende a zero. Para isto mostraremos a convergência compacta do resolvente utilizando técnicas de homogeneiza¸cão. No que segue, estabelecemos o problema com sua devida nota¸cão. Considere o seguinte conjunto

Rǫ ={(x, y)∈R2_{; 0}_{< x <}_{1 e 0}_{< y < ǫg}₍_x/ǫ₎_}

onde ǫ >0 ´e arbitr´ario.

Seja f :R_→R _{uma fun¸c˜ao L-peri´odica e de classe}_C1 _com

(19)

onde g1 = max{g(x);x∈R} eg0 = min{g(x);x∈R}

Rǫ_{´e um dom´ınio fino que degenera para um intervalo da reta quando}_ǫ_{tende a zero. Note}

queRǫ _{tem espessura, per´ıodo das oscila¸c˜oes e amplitude das oscila¸c˜oes de ordem} _ǫ_.

Nesta disserta¸cão estudamos o comportamento assintótico (quando ǫ →0) da fam´ılia de solu¸cões dos problemas el´ıpticos

  

−∆uǫ₊_uǫ ₌_f₍_uǫ_{) em}_Rǫ

∂uǫ

∂νǫ sobre ∂R

ǫ (6)

onde νǫ _{´e o vetor normal unit´ario exterior a} _∂Rǫ_.

Pode-se verificar que o problema (6) ´e equivalente ao seguinte problema

    

−∂ 2_uǫ

∂x2 1

− 1

ǫ2

∂2_uǫ

∂x2 2

+uǫ₌_f₍_uǫ_{) em Ω}ǫ

∂uǫ

∂x1

Nǫ

1 +

1

ǫ2

∂uǫ

∂x2

Nǫ

2 = 0 sobre ∂Ωǫ

(7)

onde

Ωǫ={(x1, x2)∈R2; 0< x1 <1 e 0< x2 < g(x1/ǫ)}

eNǫ _{= (}_Nǫ

1, N2ǫ) ´e o vetor normal, unit´ario exterior a ∂Ωǫ.

Neste estudo analisamos o comportamento das solu¸c˜oes do problema (7) modificado da seguinte maneira

    

−∂ 2_uǫ

∂x2 1

− 1

ǫ2

∂2_uǫ

∂x2 2

+Vǫ_uǫ ₌_fǫ _{em Ω}ǫ

∂uǫ

∂x1

Nǫ

1 +

1

ǫ2

∂uǫ

∂x2

Nǫ

2 = 0 sobre ∂Ωǫ

(8)

Assumimos que Vǫ _∈ _L∞_(Ωǫ₎_{, V}ǫ _≥ _{1, que existe} _V

0 ∈L∞(Ω), independente da vari´avel

x2; isto ´e,V0(x1, x2) =V0(x1) e que existe p >1 tal que

sup

ǫ∈[0,1]

kVǫkL∞_(Ωǫ₎<∞, kVǫ−V₀k

L1_(Ωǫ₎ →0. (9)

com

Ω ={(x1, x2)∈R2;x1 ∈I e 0 < x2 < g1}

onde I = (0,1). Assumimos tamb´em que fǫ _∈ _L2_(Ωǫ_{) e satisfaz} _k_fǫ_k

L2_(Ωǫ₎ ≤ C, onde C ´e

independente deǫ.

Os operadores que estudamos foram definidos de modo abstrato utilizando (8) em sua formula¸cão variacional, isto é, multiplicando (8) por fun¸cões teste (neste caso, fun¸cões em

(20)

Z

Ωǫ

∂u ∂x1

∂v ∂x1

+ 1

ǫ2

∂u ∂x2

∂v ∂x2

+Vǫ_uv

dx1dx2 =

Z

Ωǫ

fǫ_{v dx}

1dx2, ∀v ∈H1(Ωǫ).

Assim, definimos os operadores Lǫ da seguinte forma:

D(Lǫ) = {u∈H1(Ωǫ);∃f ∈L2(Ωǫ) satisfazendo aǫ(u, ϕ) = (f, ϕ)ǫ,∀ϕ ∈H1(Ωǫ)}

Lǫu=f ∈L2(Ωǫ) se aǫ(u, ϕ) = (f, ϕ)ǫ, ∀ϕ∈H1(Ωǫ),

(10)

ondeaǫ :H1(Ωǫ)×H1(Ωǫ)→R´e uma forma bilinear, cont´ınua, coerciva e sim´etrica definida

por

aǫ(u, v) = Z

Ωǫ

∂u ∂x1

∂v ∂x1

+ 1

ǫ2

∂u ∂x2

∂v ∂x2

+Vǫ_uv

dx1dx2.

e (·,·)ǫ ´e o produto interno usual de L2(Ωǫ) dado por

(u, v)ǫ := Z

Ωǫ

uv dx1dx2, ∀u, v ∈L2(Ωǫ).

Nas condi¸cões acima estudamos a convergência das solu¸cões uǫ _∈ _H1_(Ωǫ_{) da seguinte}

equa¸c˜ao

Lǫuǫ =fǫ (11)

Através do método da múltipla escala obtemos L0 : D(L0) ⊂ L2(0,1) → L2(0,1) dado

por

D(L0) ={u∈H1(0,1);∃f ∈L2(0,1) satisfazendo a0(u, ϕ) = (f, ϕ)0, ∀ϕ ∈H1(0,1)}

L0u=f ∈L2(0,1) se a0(u, ϕ) = (f, ϕ)0, ∀ϕ∈H1(0,1)

onde q0 >0 ´e dado por (3.60) e a0 :H1(0,1)×H1(0,1)→R´e definido por

a0(u, v) =

Z 1

0

q0

du dx

dv

dx +V0uv

dx, ∀u, v ∈H1₍₀_,₁₎_,

e

(u, v)0 :=

Z 1

0

uv dx, ∀u, v ∈L2(0,1).

Usando uma ideia de D. Cioranescu and J. Saint J. Paulin que faz uso de operadores extensão, combinado com o método de Tartar das fun¸cões-teste oscilantes, obtêm-se o Teo-rema 3.4.1 de convergência das solu¸cõesuǫ _{de (11) para}_u

0 que satisfazL0u0 =f0 para certa

f0 ∈L2(0,1). Com este teorema obtemos

(21)

Disto (e com o aux´ılio da imagem num´erica de Lǫ e dos teoremas de imers˜ao de Sobolev)

obtemos

Lǫ ´e fechado, tem resolvente compacto, 0∈ρ(Lǫ), e L−ǫ1 CC

−→L−₀1 . (13)

e portanto segue a convergência dos auto-valores e auto-vetores dadas pelo Teorema 0.0.1. Continuando, note que a imagem numérica dos operadores −Lǫ estão contidas em

(−∞,−1] para todo ǫ >0. Assim, segue do Teorema 0.0.4 que existemM > 0 e π₂ < φ < π, independente deǫ tal que

(µ+Lǫ)−1

L(Zǫ)≤

M

|µ+ 1| ∀µ∈Σ−1,φ (14)

onde Σ−1,φ={µ∈C: 0<|arg(µ+ 1)| ≤φ}.

Por outro lado, de (12) e com o aux´ılio das proje¸c˜oes Mǫ e Mfǫ definidas na se¸c˜ao 3.5

mostramos que

(µ+Lǫ)−1 EE

→ (µ+L0)−1, ∀µ∈Σ−1,φ

logo segue do Teorema de Trotter-Kato (Teorema 1.4.4) que existe 0 < θ < π₂ tal que

∀ǫ0, µ∈(0,∞), ǫ0 < µ temos

sup

t∈Σ(θ,ǫ0,µ)

e−Lǫt_u

n−Eǫe−L0tu0

Zǫ

ǫ→0 → 0

sempre que un→E u0, onde

Σ(θ, ǫ0, µ) ={z ∈C:|arg(z)| ≤θ e ǫ0 ≤ |t| ≤µ}

isto ´e, e−Lǫt EE_→ _e−L0t _{uniformemente em compactos Σ(}_{θ, ǫ} 0, µ).

Resumo dos cap´ıtulos

No Cap´ıtulo 1 apresentamos uma teoria abstrata de operadores lineares para se anali-sar a convergência de auto-valores e auto-vetores dos operadores diferencias associados ao problema (7). Apresentamos as no¸cões de resolvente, convergência compacta, potências fra-cionárias de operadores positivos e finalizamos o cap´ıtulo com os teoremas de Trotter-Kato, teoremas que caracterizam quando há equivalencia entre convergência de resolvente e con-vergência de semigrupos.

(22)

fraca* de fun¸c˜oes peri´odicas definidas emLp_{(Ω), 1}_≤_p_{≤ ∞}_{, Ω}_⊂_Rn _{limitado. Finalizamos}

o cap´ıtulo com uma breve descri¸cão do método de Tartar das fun¸cões oscilantes, cujas idéias são fundamentais para se demonstrar o principal teorema de convergência das solu¸cões de (7) (Teorema 3.4.1). Apresentamos também um esbo¸co da demonstra¸cão de um teorema clássico de convergência de solu¸cões de equa¸cões diferencias para o limite homogeneizado, baseado nas idéias de Tartar.

No Cap´ıtulo 3 faremos uso das no¸cões e resultados estabelecidos no cap´ıtulo 2 para se ana-lisar convergência das solu¸cões (em algum sentido a ser especificado) do problema (7) Para isto apresentamos direto no problema de interesse o método da múltipla escala (comum em teoria da homogeneiza¸cão) para se obter formalmente o problema limite. Depois constru´ımos um operador extensão que nos auxiliará na transforma¸cão do problema (7) numa equa¸cão integral com um dom´ınio fixo, essencial para os cálculos posteriores que demonstram o teo-rema de convergência 3.4.1. Para se demonstrar o teoteo-rema anterior, faremos uso da solu¸cão de um problema auxiliar periódico e é a partir deste ponto que faremos uso das idéias de Tartar para se contornar o problema de analisar a convergência da integral de sequências fracamente convergêntes em L2_{, problema que aparece ao se estudar a convergência da}

for-mula¸c˜ao variacional de (7).

Depois de estabelecer o Teorema 3.4.1, faremos uso deste para se analisar a convergência compacta dos operadores resolventes associados aos operadores lineares diferenciais defini-dos à partir de (7). Com a convergência defini-dos resolventes podemos estabelecer a convergência dos semigrupos lineares associados. Faremos isto de duas formas. Uma delas será obtida com o aux´ılio das fam´ılias de ’proje¸cões’ lineares {Mǫ}ǫ∈(0,1) e{Mfǫ}ǫ∈(0,1) convenientemente

definidas combinado com um teorema de operadores setoriais e um teorema potências fra-cionárias de operadores positivos. A outra forma apresentada é consequência do Teorema de Trotter-Kato (Teorema 0.0.5).

Finalizamos a disserta¸cão com um apêndice sobre a estimativa do erro (em norma) que se comete ao aproximar as solu¸cões uǫ _{do problema (7) pelo truncamento da sua expansão}

(23)

Cap´ıtulo 1

Teoremas de

E-

convergˆ

encia

Neste cap´ıtulo vamos apresentar alguns resultados básicos de análise funcional e resultados deE−convergência e convergência compacta com o objetivo de mostrar um resultado sobre a convergência do espectro de uma fam´ılia de operadores que converge compactamente e um Teorema de Trotter-Kato.

1.1 Operadores Sim´

etricos, Auto-adjuntos, Dissipativos e Imagem

Num´

erica

Seja X um espa¸co de Banach com dualX∗_{. Se} _x∗ _∈_X∗ _{denotaremos o seu valor em um}

vetor x ∈ X por hx∗_{, x}_i _{ou por} _h_{x, x}∗_i_{. Seja} _S _: _D₍_S₎ _⊂ _X _→ _X _{um operador linear com}

dom´ınio denso. O adjunto S∗ _: _D₍_S∗₎ _⊂ _X∗ _→ _X∗ _de _S _{´e o operador linear definido por:}

D(S∗_{) ´e o conjunto dos}_x∗ _∈_X∗ _{para os quais existe}_y∗ _∈_X∗ _satisfazendo

hx∗, Sxi=hy∗, xi ∀x∈D(S). (1.1)

Sex∗ _∈_D₍_S∗_{) definimos} _S∗_x∗ _:=_y∗ _onde _y∗ _{´e o (´}_{unico) elemento de}_X∗ _{satisfazendo (1.1).}

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja H um espa¸co de Hilbert sobre K _{com produto interno} _h·_,_·i_{. Dizemos}

que um operador A : D(A) ⊂ H → H é simétrico (também chamado Hermitiano quando

K₌C_{) se} _D₍_A_{) =}_H _e _A _⊂_A∗_{; isto ´e,} _h_{Ax, y}_i₌_h_{x, Ay}_i _{para todo} _{x, y} _∈_D₍_A₎_{. Dizemos}

que A ´e auto-adjunto se A=A∗_.

Com esta defini¸c˜ao, apresentamos o seguinte teorema.

Teorema 1.1.1. Seja H um espa¸co de Hilbert sobre K _{com produto interno} _h·_,_·i_{. Se} _A _:

(24)

A seguir definimos a no¸c˜ao de dissipatividade.

Defini¸c˜ao 1.1.2. SejaXum espa¸co de Banach sobre K_{. A aplica¸c˜ao dualidade}_J _:_X _→₂X∗

´e uma fun¸c˜ao mult´ıvoca definida por

J(x) = {x∗ ∈X∗ : Rehx∗, xi=kxk2_, _k_x∗_k₌_k_x_k}_.

J(x)6=∅, pelo Teorema de Hahn-Banach.

Um operador linear A : D(A) ⊂ X → X ´e dissipativo se para cada x ∈ D(A) existe

x∗ _∈_J₍_x₎ _{tal que} _Re_h_x∗_{, Ax}_{i ≤}₀_.

Com esta defini¸c˜ao temos o seguinte teorema.

Teorema 1.1.2. Seja A um operador linear fechado e densamente definido. Se ambos A e

A∗ _{s˜ao dissipativos, ent˜ao} _ρ₍_A₎_⊃₍₀_,_∞₎ _e

k(λ−A)−1k ≤ 1

λ, ∀λ >0.

SeA´e um operador linear em um espa¸co de Banach complexoX a sua imagem num´erica

W(A) ´e o conjunto

W(A) :={hx∗, Axi:x∈D(A), x∗∈X∗, kxk=kx∗k= 1, hx∗, xi= 1}. (1.2)

No caso em que X ´e um espa¸co de Hilbert

W(A) ={hAx, xi:x∈D(A),kxk= 1}.

O teorema a seguir ´e uma importante ferramenta para o estudo de operadores setoriais.

Teorema 1.1.3. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado densamente definido. Seja W(A) a imagem num´erica de A e Σ um subconjunto aberto e conexo em C_\_W₍_A₎_{. Se}

λ /∈W(A) ent˜ao λ−A ´e injetora e tem imagem fechada e satisfaz

k(λ−A)xk ≥d(λ, W(A))kxk. (1.3)

Al´em disso, se ρ(A)∩Σ6=∅, ent˜ao ρ(A)⊃Σ e

k(λ−A)−1kL(X) ≤

1

d(λ, W(A)), ∀λ∈Σ. (1.4)

onde d(λ, W(A))´e a distˆancia de λ a W(A).

(25)

Corol´ario 1.1.1. Seja H um espa¸co de Hilbert sobre K _e _A_:_D₍_A₎_⊂_H _→_H _{um operador}

auto-adjunto. Segue queAé fechado e densamente definido. SeAé limitado superiormente; isto é, hAu, ui ≤ahu, ui para algum a∈R_{, então} C_\₍_−∞_{, a}_]_⊂_ρ₍_A₎_{, e}

k(A−λ)−1kL(X) ≤

M

|λ−a|,

para alguma constante M ≥ 1 dependendo somente de ϕ e para todo λ ∈ Σa,ϕ = {λ ∈ C :

|arg(λ−a)| ≤ϕ}, ϕ < π.

Prova: Vamos come¸car localizando a imagem num´erica de A. Primeiramente note que

W(A) = {hAx, xi:x∈D(A),kxk= 1} ⊂(−∞, a].

Note que A−a=A∗−a s˜ao dissipativos e portanto, do Teorema 1.1.2, ρ(A−a)⊃(0,∞). Do Teorema (1.1.3) temos que C_\₍_−∞_{, a}_]_⊂_ρ₍_A_{) e que}

k(λ−A)−1k ≤ 1

d(λ, W(A)) ≤

1

d(λ,(−∞, a]). Al´em disso, se λ∈Σa,ϕ temos que

1

d(λ,(−∞, a]) ≤ 1 sinϕ

1

|λ−a|

e o resultado segue.

1.2 Continuidade do Espectro

O objetivo desta se¸cão é apresentar o Teorema 1.2.1 que, sob certas hipóteses, nos dará a convergência de auto-valores e auto-vetores de sequência de operadores lineares. Nesta se¸cão, para facilitar a leitura, reescrevemos novamente as no¸cões de convergência e compacidade que faremos uso no decorrer do texto.

SejaXǫ uma fam´ılia de espa¸cos de Banach, ǫ∈[0,1], e assuma que existe uma fam´ılia de

operadores lineares cont´ınuos Eǫ :X →Xǫ com a propriedade

kEǫuk_X_ǫ ǫ→ k→0 uk_X , para todo u∈X. (1.5)

Defini¸c˜ao 1.2.1. Dizemos que uma sequˆencia {uǫ}ǫ∈(0,1], com uǫ ∈ Xǫ para todo ǫ ∈[0,1],

E−converge para u se kuǫ−EǫukXǫ

ǫ→0

−→0. Escrevemosuǫ E

(26)

Com esta no¸cão de convergência apresentamos a defini¸cão de sequência E-relativamente compacta.

Defini¸cão 1.2.2. Uma sequência {un}N∈N, com u_n ∈X_ǫ_n e ǫ_n →0, é dita E

-relativamen-te compacta se, para cada subsequˆencia {un′} de {u_n}, existe uma subsequˆencia {u_n′′} de

{un′} e um elemento u∈X tal que u_ǫ

n′′

E

−→u. A fam´ılia {uǫ}ǫ∈(0,1] é dita E-relativamente compacta se cada sequência {uǫn}, ǫn→0, é E-relativamente compacta.

Defini¸c˜ao 1.2.3. Dizemos que a fam´ılia de operadores {Bǫ ∈ L(Xǫ)}ǫ∈[0,1] EE-converge paraB0 quando ǫ→0, se Bǫuǫ

E

−→B0usempre que uǫ E

−→u∈X. EscreveremosBǫ EE

−→B0 quando ǫ→0 para denotar que {Bǫ∈ L(Xǫ)}ǫ∈[0,1] EE-converge para B0.

Defini¸c˜ao 1.2.4. Dizemos que uma fam´ılia de operadores compactos {Bǫ ∈ K(Xǫ) : ǫ ∈

[0,1]}converge compactamente paraB0se, para qualquer fam´ılia{uǫ}comuǫ ∈Xǫ, kuǫkXǫ =

1, ǫ∈(0,1], a fam´ılia {Bǫuǫ} ´eE-relativamente compacta e, al´em disso, Bǫ −→EE B0. Escre-veremos Bǫ

CC

−→ B0 quando ǫ →0 para denotar que {Bǫ ∈ K(Xǫ)}ǫ∈[0,1] converge compacta-mente para B0.

Defini¸c˜ao 1.2.5. Seja X um espa¸co de Banach sobreC_e _A_:_D₍_A₎_⊂_X _→_X _{um operador}

linear fechado. O conjunto resolvente de A ´e o subconjunto ρ(A) de todos os λ em C _tais

que λ−A ´e bijetor. O espectro de A ´e definido como C₋_ρ₍_A₎_.

Defini¸c˜ao 1.2.6. Seja X um espa¸co de Banach sobre K eA:D(A)⊂X →X um operador fechado e com resolvente n˜ao vazio. Dizemos que A tem resolvente compacto se para algum λ0 ∈ρ(A) temos que (λ0−A)−1 ∈ K(X).

Lema 1.2.1. Seja {Bǫ ∈ K(Xǫ)}ǫ∈[0,1] tal que Bǫ CC

−→B0 quando ǫ→0. Ent˜ao, i) existe ǫ0 ∈(0,1] tal que supǫ∈(0,ǫ0]kBǫkL(Xǫ)<∞.

ii) se N(I+B0) ={0}, existe ǫ0 >0 e M >0 tal que

k(I+Bǫ)−1kL(Xǫ) 6M, ∀ǫ∈[0, ǫ0]. (1.6)

Prova: i) Se {kBǫkL(Xǫ) : ǫ ∈ (0, ǫ0]} n˜ao ´e limitada para qualquer escolha de ǫ0 ∈ (0,1],

existe sequˆencia {ǫn} em (0,1] com ǫn n→∞

−→ 0 e uǫn ∈ Xǫn com kuǫnkXǫn = 1 tal que kBǫnuǫnk →+∞e isto está em contradi¸cão com a convergência compacta de Bǫ para B0.

ii) ComoBǫ ∈ K(Xǫ) para cadaǫ∈[0,1], segue da Alternativa de Fredholm que a estimativa

(1.6) ´e equivalente a

k(I+Bǫ)uǫkXǫ >

1

(27)

Suponha que isto é falso; isto é, suponha que existe uma sequência {un}, com un ∈ Xǫn, kunk = 1 e ǫn → 0 tal que k(I +Bǫn)unk → 0. Como {Bǫnun} tem uma subsequência

E-convergente, que novamente denotamos por {Bǫnun}, para u, kuk = 1, segue que un+

Bǫnun

E

−→0 e un E

−→ −u. Isto implica que (I+B0)u= 0 e isto est´a em contradi¸c˜ao com a

hip´oteseN(I+B0) = {0}.

Em geral, os operadores Bǫ ser˜ao inversas de certos operadores diferenciais Aǫ. Assim,

considere a fam´ılia de operadores {Aǫ : D(Aǫ)⊂ Xǫ → Xǫ, ǫ ∈ [0,1]} e suponha que, para

todoǫ∈[0,1],

Aǫ ´e fechado, tem resolvente compacto 0∈ρ(Aǫ), eA−ǫ1 CC

−→A−₀1 . (1.7)

Lema 1.2.2. Suponha que a fam´ılia de operadores {Aǫ : D(Aǫ) ⊂ Xǫ → Xǫ, ǫ ∈ [0,1]}

satisfaz (1.7). Ent˜ao, para cada λ ∈ ρ(A0), existe ǫλ > 0 tal que λ ∈ ρ(Aǫ) para todo

ǫ∈[0, ǫλ] e existe uma constante Mλ >0 tal que

k(λ−Aǫ)−1k6Mλ, ∀ǫ∈[0, ǫλ]. (1.8)

Al´em disso, (λ−Aǫ)−1 CC

−→(λ−A0)−1 quando ǫ→0.

Prova: De (1.7) e do fato que λ ∈ ρ(A0) ´e f´acil ver que (λ−A0)−1 =−A−01(I−λA−01)−1.

Como A−1

ǫ CC

−→ A−₀1, aplicando o Lema 1.2.1 i) e ii), obtemos que o operador −A−1

ǫ (I −

λA−1

ǫ )−1 está bem definido e é limitado. Cálculos simples mostram que−A−ǫ1(I−λA−ǫ1)−1 =

(λ−Aǫ)−1. Logoλ ∈ρ(Aǫ) e obtemos (1.8).

Para provar a convergˆencia compacta de (λ−Aǫ)−1para (λ−A0)−1procedemos da seguinte

maneira: ComoA−1

ǫ converge compactamente para A−01 e como{(I−λA−ǫ1) : 06ǫ6ǫλ}´e

limitado, conclu´ımos que

• SekuǫkXǫ = 1 ent˜ao (λ−Aǫ)

−1_u

ǫ =−A−ǫ1wǫ com wǫ = (I−λA−ǫ1)−1uǫ que ´e

uniforme-mente limitado em ǫ. Logo (λ−Aǫ)−1uǫ tem uma subsequˆencia E-convergente.

• Se uǫ E

−→ u ent˜ao A−1

ǫ uǫ E

−→ A−₀1u. Agora, para qualquer subseqfuˆencia de {(λ −

Aǫ)−1uǫ} existe uma subsequˆencia (que novamente denotamos por {(λ−Aǫ)−1uǫ}) e

y∈X tal que,

(λ−Aǫ)−1uǫ =−(I−λA−ǫ1)−1Aǫ−1uǫ =−A−ǫ1(I −λA−ǫ1)−1uǫ =zǫ E

−→y.

Logo,

A−₀1u←−E A−1

(28)

e isto implica que y = (λ−A0)−1u. Em particular, y´e independente da subsequˆencia

tomada. Isto implica que a sequˆencia inteira (λ−Aǫ)−1uǫ E-converge para y = (λ−

A0)−1u quando ǫ→0. Portanto, (λ−Aǫ)−1 EE

−→(λ−A0)−1 quando ǫ→0.

Disto segue a convergˆencia compacta (λ − Aǫ)−1 CC

−→ (λ −A0)−1 quando ǫ → 0 e o

resultado est´a provado.

Lema 1.2.3. Suponha que a fam´ılia de operadores {Aǫ : D(Aǫ) ⊂ Xǫ → Xǫ, ǫ ∈ [0,1]}

satisfaz (1.7). Se Σ ´e um subconjunto compacto de ρ(A0), existe ǫΣ >0 tal que Σ⊂ ρ(Aǫ)

para todo ǫ6ǫΣ e

sup

ǫ∈[0,ǫΣ]

sup

λ∈Σ

k(λ−Aǫ)−1kL(Xǫ) <∞. (1.9)

ǫ∈[0,ǫ0]

kEǫkL(X0,Xǫ) < ∞ ent˜ao, para cada u ∈ X temos que

sup

λ∈Σ

k(λ−Aǫ)−1Eǫu−Eǫ(λ−A0)−1ukXǫ

ǫ→0

−→0. (1.10)

Prova: Primeiramente mostremos que existe ˆǫΣ >tal que Σ⊂ρ(Aǫ) para todoǫ∈[0,ˆǫΣ). Se

este não fosse o caso, existiriam seqüênciasǫn →0,λn∈Σ (que podemos supor convergente

para um λ ∈ Σ) e uǫn ∈ Xǫn, kuǫnk= 1 tais que Aǫnuǫn−λnuǫn = 0 ou, equivalentemente,

λn(Aǫn)

−1_u

ǫn =uǫn. Da convergˆencia compacta{uǫn}tem uma subsequˆencia E-convergente

para u∈X,kukX = 1 e A0u=λu o que est´a em contradi¸c˜ao com σ(A0)∩Σ =∅.

Mostremos que existe ǫΣ ∈ (0,ˆǫΣ) tal que (1.9) vale. Para isto, ´e suficiente provar que

existeǫΣ ∈(0,1] tal que

{k(I−λA−_ǫ1)−1kL(Xǫ) :ǫ∈[0, ǫΣ] eλ ∈Σ} ´e limitado.

Se este n˜ao fosse o caso, existiria uma sequˆencia{λn}em Σ (que podemos supor convergente

para um certo ˜λ∈Σ) e uma sequˆencia {ǫn} em (0,1] comǫn n→∞

−→ 0 tal que

k(I−λn(Aǫn)

−1₎−1_k

L(Xǫn)

n→∞

−→ ∞

Do Lema 1.2.1 obtemos uma contradi¸c˜ao, j´a que−λn(Aǫn)

−1 _{−→ −}CC _λ_˜₍_A

0)−1 quandon→ ∞.

Também provamos (1.10) por contradi¸cão. Suponha que existem seq¨ uên-cias ǫn→0, Σ ∋λn→λ¯∈Σ e η >0 tal que

k(λn−Aǫn)

−1_E

ǫnu−Eǫn(λn−A0)

−1_u_k

Xǫn >η. (1.11)

Usando a identidade do resolvente, temos que

(λn−Aǫn)

−1_E

ǫnu−(¯λ−Aǫn)

−1_E

ǫnu= (¯λ−λn)(λn−Aǫn)

−1_(¯_λ₋_A

ǫn)

−1_E

(29)

Disto e de (1.9) segue que

k(λn−Aǫn)

−1_E

ǫnu−(¯λ−Aǫn)

−1_E

ǫnukXǫn

n→∞

−→ 0. (1.12)

Do Lema 1.2.2 temos que

k(¯λ−Aǫn)

−1_E

ǫnu−Eǫn(¯λ−A0)

−1_u_k

Xǫn

n→∞

−→ 0. (1.13)

Finalmente, da continuidade do resolvente obtemos

k(λn−A0)−1u−(¯λ−A0)−1ukX →0 as n → ∞. (1.14)

Agora, (1.12), (1.13) e (1.14) estão em contradi¸cão com (1.11) e o resultado está provado. Para cada δ >0 e λ0 ∈C defina Sδ(λ0) :={µ∈C:|λ−λ0|=δ}.

A um ponto isolado λ ∈ σ(A0) associamos o seu auto-espa¸co generalizado W(λ, A0) =

Q(λ, A0)X onde

Q(λ, A0) =

1 2πi

Z

|ξ−λ|=δ

(ξI−A0)−1dξ

eδ ´e escolhido de forma que n˜ao haja nenhum outro ponto deσ(A0) no discoB

C

δ(λ) ={ξ ∈ C _: _|_ξ₋_λ_| 6 δ}. Segue do Lema 1.2.3 que existe ǫSδ(λ) tal que ρ(Aǫ) ⊃ Sδ(λ) para todo

ǫ6ǫSδ(λ). Seja W(λ, Aǫ) :=Q(λ, Aǫ)Xǫ onde

Q(λ, Aǫ) =

1 2πi

Z

|ξ−λ|=δ

(ξI −Aǫ)−1dξ.

Lema 1.2.4. Seja X um espa¸co de Banach. Se M, N s˜ao subespa¸cos de X com dim(M)

>dim(N), ent˜ao existe u∈M, kuk= 1 tal que dist(u, N) = 1.

O resultado a seguir diz que o espectro deAǫ, paraǫpequeno, se aproximado espectro de

A0. Sabe-se que o espectro deAǫouA0cont´em apenas auto-valores isolados de multiplicidade

finita.

Teorema 1.2.1. Seja {Aǫ : D(Aǫ) ⊂ Xǫ → Xǫ, ǫ ∈ [0,1]} uma fam´ılia de operadores tal

que (1.7) est´a satisfeita. Ent˜ao, valem as seguintes afirmativas:

(i) Se λ0 ∈ σ(A0), existe seq¨uˆencia {ǫn} em (0,1] com ǫn n→∞

−→ 0 e sequˆencia {λn} em C

com λn ∈σ(Aǫn), para n= 1,2,3· · ·, e λn

n→∞

−→ λ0.

(ii) Se {ǫn} ´e uma sequˆencia em (0,1] com ǫn n→∞

−→ 0, e {λn} ´e uma sequˆencia em C com

λn ∈σ(Aǫn), n∈N e λn

n→∞

(30)

ǫ∈[0,ǫ0]

kEǫkL(X0,Xǫ) < ∞, valem as seguintes afirmativas:

(iii) Existe ǫ1 ∈(0, ǫ0) tal que dimW(λ, Aǫ) = dimW(λ0, A0) para todo 06ǫ6ǫ1.

(iv) Se u ∈ W(λ0, A0), ent˜ao existe uma sequˆencia {ǫn} em (0,1] com ǫn n−→→∞ 0, uǫn ∈

W(λ0, Aǫn) e tal que uǫn

E

−→u quando n→ ∞.

(v) Se {ǫn} é uma sequência em (0,1] com ǫn n−→→∞ 0, e {un} é uma sequência com un ∈

W(λ, Aǫn), kunkXǫn = 1, ent˜ao {un} tem uma subsequˆencia E−convergente para um vetor u∈W(λ0, A0).

Prova. (i) Seja λ0 ∈σ(A0) e δ > 0 tal que B

C

δ(λ0)∩σ(A0) ={λ0}. Do Lema 1.2.3, existe

ǫ0 >0 tal que{k(λ−Aǫ)−1kL(Xǫ) :ǫ∈[0, ǫ0] eλ∈Sδ(λ0)}´e limitado.

Suponha agora que, existeδ >0 e seq¨uˆenciaǫn n→∞

−→ 0 tal que, Bδ(λ0)⊂ρ(Aǫn) para todo

n ∈N_{. Como} _B_δ₍_λ₀₎_∋ _λ_7→ ₍_λ₋_A_ǫ

n)

−1 _{∈ L}₍_X_{) ´e anal´ıtica para cada} _n _∈_N_{, da prova do}

Lema 1.2.3 e do Teorema do M´aximo M´odulo temos que

k(I−λ0A−ǫn1)

−1_k

L(Xǫn)6 sup

|λ−λ0|=δ

n∈N

k(I−λA−_ǫ_n1)−1kL(Xǫn) <∞.

Portanto, se uǫ E

−→u, segue que

k(λ0A−01−I)ukX = lim ǫ→0k(λ0A

−1

ǫ −I)uǫkXǫ >ckukX,

para algum c > 0 e, consequentemente, λ0 ∈ ρ(A0). Isto contradiz a escolha de λ0 e prova

que, para cada δ > 0, Bδ(λ0) cont´em algum ponto de σ(Aǫ), para todo ǫ suficientemente

pequeno.

(ii) Sejam {ǫn} uma sequˆencia em (0,1] com ǫn n→∞

−→ 0, {λn} uma sequˆencia em C com

λn ∈σ(Aǫn) tal que λn

n→∞

−→ λ e {un} uma sequˆencia com un∈ Xǫn, (I−λn(Aǫn)

−1₎_u

n = 0

ekunk= 1. Ent˜ao

k(I−λ(Aǫn)

−1₎_u

nkXǫn =k(I−λn(Aǫn)

−1₎_u

n−(λ−λn)(Aǫn)

−1_u

nkXǫn →0

quando n → ∞. Uma vez que kunk = 1 temos, tomando subsequˆencias se necess´ario,

λ(Aǫn)

−1_u

n E

−→ue un E

−→u com kuk= 1. Portanto u−λA−₀1u= 0, u6= 0 e λ∈σ(A0).

(iii) Como (λ−Aǫ)−1 EE

−→ (λ−A0)−1 uniformemente para λ ∈ Sδ(λ0) (veja (1.10) no

(31)

Sev1,· · ·, vké uma base paraW(λ0, A0) = Q0(λ0)x, é fácil ver que, paraǫsuficientemente

pequeno,

{Qǫ(λ0)Eǫv1,· · · , Qǫ(λ0)Eǫvk}

´e um conjunto linearmente independente em Qǫ(λ0)Xǫ. Disto segue que dim(Qǫ(λ0)(Xǫ))>

dim(Q(λ0)(X)).

Provamos a igualdade supondo que Qǫ(λ0)

CC

−→Q(λ0). Suponha, por redu¸c˜ao ao absurdo

que, para alguma sequˆenciaǫn n→∞

−→ 0,

dim(Qǫn(λ0)(Xǫn))>dim(Q(λ0)(X)).

Do Lema 1.2.4 segue que, para cada n ∈ N_{, existe} _u_n _∈ _W₍_λ₀_{, A}_ǫ

n) com kunk = 1 tal que

dist(un, EǫnW(λ0, A0)) = 1. Da convergˆencia compacta podemos supor que Qǫn(λ0)un =

un E

−→Q0(λ0)u0 =u0 e temos um absurdo, j´a que

16kun−EǫnQ0(λ0)ukXǫn =kQǫn(λ0)un−EǫnQ0(λ0)ukXǫn →0.

Assim precisamos apenas provar a convergˆencia compacta Qǫ(λ0) −→CC Q(λ0) quando

ǫ → 0 e isto segue de Qǫ(λ0)

EE

−→ Q(λ0), da convergˆencia compacta A−ǫ1 CC

−→ A−₀1 quando

ǫ→0, da limita¸c˜ao uniforme de k(ζA−1

ǫ −I)−1kpara ζ ∈Sδ(λ0) e ǫ∈[0, ǫ0], dada na prova

do Lema 1.2.3, e da f´ormula

Qǫ(λ0) =

1 2πi

Z

|ζ−λ0|=δ

(ζI−Aǫ)−1dζ =A−ǫ1

1 2πi

Z

|ζ−λ0|=δ

(ζA−_ǫ1−I)−1dζ.

(iv) Segue tomando uǫ =Qǫ(λ0)Eǫu.

(v) Segue da convergˆencia compacta de Qǫ para Q0 provada em (iii).

1.3 Potˆ

encias Fracion´

arias

O objetivo desta se¸cão é apresentar as no¸cões de operadores de tipo positivo, suas potên-cias fracionárias e os principais resultados sobre estes, utilizados ao longo do texto. Utili-zamos os teoremas desta se¸cão para se obter uma taxa de E−convergência dos semigrupos lineares gerados pelos operadores −Lǫ, com Lǫ definido na introdu¸cão.

SejaX um espa¸co de Banach. Um operador linear A em X ´e dito detipo positivocom constanteM ≥1 , se ´e fechado, densamente definido, R+ _⊂_ρ₍₋_A_{) e}

(32)

para todo A∈ P(X) e α∈C_{, Re}_{α <}_{0, definimos}

Aα := 1 2πi

Z

Γ

(−λ)α(λ+A)−1dλ= 1 2πi

Z

−Γ

λα(λ−A)−1dλ, (1.16)

onde Γ ´e qualquer curva simples em ΣM\R+ suave por partes indo de ∞e−iν at´e∞eiν para

algumν∈(0,arcsin 1/(2M)]. ´E claro que−Γ :={λ∈C_:₋_λ_∈_Γ_}_{. Segue de (1.15) e (1.16)}

e do Teorema de Cauchy que Aα _{est´a bem definido em} _L₍_X_{) e independente da escolha de}

Γ.

Para operadores positivos temos o seguinte teorema de interpola¸c˜ao.

Teorema 1.3.1. Suponha queA∈ P(X)e 0≤α≤1, ent˜ao existe uma constante K depen-dendo somente de A (da constante M de positividade), tal que kAα_x_k

X ≤ KkAxkαXkxk1X−α

para0≤α≤1, x∈D(A).

Agora consideramos o caso em queAé setorial; isto é,{e−At, t≥0}é semigrupo anal´ıtico.

Teorema 1.3.2. Suponha que A ´e setorial. Logo {e−At_;_t _≥ ₀_} _{´e um semigrupo anal´ıtico,}

suponha que ρ(A)⊃(−∞,0]. Ent˜ao

1. Se t >0, α≥0, R(e−At₎_⊂_D₍_Aα₎ _e

kAαe−AtkL(X) ≤Mαt−αeat, t >0,

onde a é o vértice do setor como no Teorema 0.0.4. Mais ainda, α 7→ Mα é cont´ınua

em [0,∞).

2. Se α >0, temos que tα_Aα_e−At_x_→₀ _quando _t _→₀+ _{para cada} _x_∈_X_.

3. k(e−At₋_I₎_A−α_k

L(X) ≤M1−αt

α

α se 0< α≤1, 0≤t≤1.

Defini¸cão 1.3.1. Dizemos que A é do tipo (ω, M) em um espa¸co de Banach X se A é fe-chado, densamente definito e o resolvente de−A contém um setor aberto{λ∈C_:_|_arg₍_λ₎_|_<

π−ω} e λ(λ+A)−1 _{´e uniformemente limitado em cada setor menor} _{_λ _∈ _C _: _|_arg₍_λ₎_| _<

π−ω−ǫ}, ǫ >0 e kλ(λ+A)−1_{k ≤}_M _{para todo} _λ _≥₀_.

Teorema 1.3.3. Seja A um operador de tipo (ω, M) em um espa¸co de Banach X com

0∈ρ(A) e 0< α <1. Então Aα _{está definido e é de tipo} ₍_{αω, M}₎_{. Em particupar,} _Aα _{é de}

(33)

1.4 Teoremas de Trotter-Kato

Nesta se¸cão enunciamos e demonstramos um teorema que caracteriza a rela¸cão entre convergência de operadores resolventes e a convergência de semigrupos lineares associados.

Denotaremos A ∈ G(M, ω) se A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente cont´ınuo T(t) que satisfaz

kT(t)kL(X) ≤Meβ t, ∀t≥0.

A seguir, enunciaremos teoremas que se encontram em [14] e que caracterizam esta rela¸c˜ao quando o dom´ınio dos operadores est´a fixado.

Teorema 1.4.1. Sejam A, An ∈ G(M, ω) e eAnt o semigrupo cujo gerador infinitesimal ´e

An. Ent˜ao s˜ao equivalentes:

(a) Para todo x∈X e λ com Reλ > ω, (λ−An)−1x→(λ−A)−1x quando n → ∞.

(b) Para todo x∈X e t ≥0, eAnt_x_→_eAt_x _quando _n_{→ ∞}_.

Além disso, a convergência na parte (b) é uniforme para t em intervalos limitados.

Na demonstra¸cão do teorema acima pode-se notar que a condi¸cão (a) pode ser enfraque-cida para a convergência em apenas um ponto λ com Re(λ)> ω. Desta forma, o resultado anterior está relacionado com o seguinte teorema.

Teorema 1.4.2. Sejam An∈G(M, ω). Se existe λ0 com Re(λ0)> ω tal que

(a) Para todo x∈X, existe o limite (λ−An)−1x→R(λ0)x quando n→ ∞.

(b) A imagem de R(λ0)´e densa em X,

ent˜ao existe um ´unico operador A∈G(M, ω) tal que R(λ0) = (λ0−A)−1.

Como consequˆencia dos teoremas anteriores, obtem-se o seguinte teorema.

Teorema 1.4.3 (Trotter-Kato). Sejam An ∈ G(M, ω) e eAnt o semigrupo cujo gerador

infinitesimal ´e An. Se existe λ0 com Re(λ0)> ω tal que

(a) Para todo x∈X, existe o limite (λ−An)−1x→R(λ0)x quando n→ ∞.

(b) A imagem de R(λ0)´e densa em X,

então existe um único operador A∈G(M, ω) tal que R(λ0) = (λ0−A)−1. Além disso,

(34)

para todo x ∈ X e t ≥ 0. Além disso, esta convergência é uniforme para t em intervalos limitados.

Nos problemas que analisaremos a convergência, os operadores envolvidos estarão defini-dos em espa¸cos distintos. Dessa forma, o teorema abaixo, para operadores setoriais, nos será mais interessante no decorrer do texto.

Teorema 1.4.4. Sejam A : X ⊃ D(A) → X, An : Xn ⊃ D(An) → Xn, n ∈ N operadores

lineares densamente definidos tais que

(λIn−An)−1

≤ M

|λ−ω|, ∀λ∈Σω,ϕ∀n ∈N. (1.17) para algum setorΣω,ϕ :={λ∈C;|arg(λ−ω)| ≤ϕ},ϕ ∈(π₂, π). Ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes

s˜ao equivalentes:

1. Existe λ∈C _com _Re₍_λ₎_{> ω} _{tal que}

(λIn−An)−1 EE

→ (λI−A)−1 (1.18)

2. Existe 0< θ < π

2 tal que ∀ǫ0, µ∈(0,∞), ǫ0 < µ temos

sup

t∈Σ(θ,ǫ0,µ)

eAnt_u

n−EneAtu0

Xn

n→∞

→ 0 (1.19)

sempre que un E

→u0, onde

Σ(θ, ǫ0, µ) ={z ∈C;|arg(z)| ≤θ e ǫ0 ≤ |t| ≤µ}.

Isto ´e, eAnt EE_→ _eAt _{uniformemente para} _t _{em compactos} _Σ(_{θ, ǫ} 0, µ).

Em ambos os casos, temos EE-convergˆencia uniforme em compactos contidos em

Σ(θ, ǫ0, µ).

Prova: Suponha que vale (1.18). Provemos que a convergência em (1.18) é uniforme em compactos K contidos em Σω,ϕ, isto é,

sup

λ∈K

(λIn−An)−1un−En(λI−A)−1u0

Xn

n→∞

→ 0 (1.20)

Se este n˜ao ´e o caso, existem ǫ0 >0, Xn ∋un E

→ u0 ∈X, {λk;k ∈N} ∪ {λ0} ⊂ Σω,ϕ tais

queλk→λ0 e

(λkInk −Ank)

−1_u

nk−Enk(λkI−A)

−1_u

0

(35)

Por outro lado,

(λkInk−Ank)

−1_u

nk −Enk(λkI−A)

−1_u

0 =

[(λkInk−Ank)

−1₋₍_λ

0Ink −Ank)

−1_]_u

nk + (λ0Ink −Ank)

−1_u

nk−Enk(λ0I−A)

−1_u

0

+Enk[(λ0−A)

−1 ₋₍_λ

k−A)−1]u0 =

[(λ0−λk)(λkInk −Ank)

−1₍_λ

0Ink −Ank)

−1_]_u

nk+ (λ0Ink−Ank)

−1_u

nk −Enk(λ0I−A)

−1_u

0

+Enk(λk−λ0)[(λ0−A)

−1₍_λ

k−A)−1]u0 (1.22)

e assim segue da limita¸c˜ao uniforme dos resolventes, da limita¸c˜ao uniforme da fam´ılia{En},

e de (1.18) que

(λkInk −An)

−1_u

nk−Enk(λI −A)

−1_u

0

X_nk k→∞

→ 0

que contradiz (1.21). Logo segue a afirma¸c˜ao de EE-convergˆencia uniforme dos resolventes. Neste caso temos pelo Teorema 0.0.4

eAnt₌ 1

2πi

Z

Γ

eλt(λIn−An)−1dλ

onde Γ ´e a fronteira de Σω,φ − {λ ∈ C;|λ−ω| ≤ r} e π₂ < φ < ϕ, r pequeno, orientada no

setido da parte imagin´aria crescente e t∈C _com _|_arg₍_t₎_{| ≤}_ǫ₁ _{< φ}₋ π

2. Logo,

eAnt_u

n−EneAtu0

Xn ≤

1 2π

Z

Γ

eλt (λIn−An)−1un−En(λI −A)−1u0 d|λ|

Por outro lado, dados ǫ, ǫ0 >0, existeN >0 tal que

1 2π

Z

KN

eλt (λIn−An)−1un−En(λI−A)−1u0 d|λ| ≤

ǫ

2, para todot ∈C _{tal que} _|_arg₍_t₎_{| ≤}_ǫ₁ _e _|_t_{| ≥}_ǫ₀_{. O conjunto}_K_N _{´e definido por}

KN = Γ∩ {λ∈C/Re(λ)<−N}

De fato, paraN grande e λ∈KN temos

eλt₍_λI

n−An)−1

≤ M e

−|λ|k1ǫ0

|λ−ω| , ∀n ∈N

com k1 = |cos(φ−ǫ1)| > 0. Assim, concluimos a afirma¸c˜ao acima notando que a fam´ılia {En}´e uniformemente limitada.

Segue da afirma¸c˜ao anterior que ´e suficiente mostrarmos que para n suficientemente grante temos

1 2π

Z

JN

eλt ₍_λI

n−An)−1un−En(λI−A)−1u0 d|λ| ≤

ǫ

(36)

onde JN = Γ−KN. De fato, como JN ´e compacto e JN ⊂Σω,ϕ segue que

sup

λ∈JN

n→∞

→ 0

Como |eλt_| _{´e limitada se} _λ _∈ _J

N e t ∈ Σ(θ, ǫ0, µ), segue que existe n0 ∈ N tal que n ≥ n0

implica

sup

t∈Σ(θ,ǫ0,µ)

eAnt_u

n−EneAtu

Xn ≤ǫ

Logo

sup

t∈Σ(θ,ǫ0,µ)

eAnt_u

n−EneAtu

Xn

n→∞

→ 0

e portanto concluimos que (1.18) implica (1.19).

Reciprocamente, Suponha (1.19). Segue do Teorema 0.0.2 que

Xn =

Z ∞

0

eλt(eAnt_u

n−EneAtu0)dt

Xn

Como {En} ´e uniformemente limitada, {un} ´e limitada e ∀t ≥ 0,∀n ∈ N,

eAnt ≤ _{M e}ωt

eeAt_≤_{M e}ωt _{segue que existe} _{N >}_{0 tal que para} _λ_∈_C _com _Re₍_λ₎_{> ω}_,

Z 1

N

0

eλt(eAnt_u

n−EneAtu0)dt+

Z ∞

N

eλt(eAnt_u

n−EneAtu0)dt

Xn

< ǫ

2

Como

sup

1

N≤t≤N

eAnt_u

n−EneAtu0

Xn

n→∞

→ 0

e para cada λ, |eλt_| _{´e limitada se} _t _∈ _[0_{, N}_{], segue (1.18). Note que neste caso obtemos}

EE-convergˆencia uniforme para λem conjuntos da forma{λ∈C_/a_≤_Re₍_λ₎_≤_b_}_{desde que}

(37)

Cap´ıtulo 2

No¸c˜

oes de Homogeneiza¸c˜

ao

Neste cap´ıulo apresentamos as no¸cões básicas de homogeneiza¸cão de equa¸cões diferenciais que faremos uso para se estudar o compotamento das solu¸cões de (8). Apresentamos também os espa¸cos de Sobolev e finalizamos o cap´ıtulo com um teorema de convergência baseado no método de Tartar das fun¸cões-teste oscilantes. Algumas referências para este assunto são [12], [13], [15], [16].

A principal referência para este cap´ıtulo é [13]. Nesta referência encontra-se a prova de alguns resultados listados aqui. Outros cuja prova não se encontra nesta referência são resultados de análise funcional cuja demonstra¸cão é simples ou resultados clássicos sobre espa¸cos de Sobolev.

Nesta disserta¸c˜ao, para Ω⊂Rn_{, os espa¸cos} _Lp_{(Ω) s˜ao definidos da seguinte maneira:}

• Se 1≤p < ∞,

Lp(Ω) :={f : Ω→R _{mensur´aveis e tais que} Z

Ω

|f(x)|p_{dx <}_∞}

onde a integral acima é relativa à medida de Lebesgue. A fun¸cão k · kp :Lp(Ω) → R+

definida por

kukp :Lp(Ω) = Z

Ω

|u(x)|p_dx

1

p

, u∈Lp(Ω),

é uma norma e o espa¸coLp_{(Ω) com esta norma é um espa¸co de Banach separável que}

´e tamb´em reflexivo se p >1.

• Sep=∞, definimos

(38)

A fun¸c˜ao k · kp :L∞(Ω) →R+ definida por

kuk∞:L∞(Ω) = inf{c≥0 :|u(x)| ≤cq.s. em Ω}, u∈L∞(Ω),

é uma norma e o espa¸co L∞_{(Ω) com esta norma é um espa¸co de Banach que não é}

separ´avel nem reflexivo.

• Os espa¸cos duais dos espa¸cosLp_{(Ω) s˜ao caracterizados da seguinte maneira: (}_Lp_(Ω))∗ ₌

Lp′

(Ω) se 1≤p <∞ e p′ _{definido por} 1

p +

1

p′ = 1 se 1< p <∞e p′ =∞ sep= 1.

2.1 Introdu¸c˜

ao `

a Homogeneiza¸c˜

ao

Nesta se¸cão, Ω denotará um aberto limitado de Rn _e _{ǫ >} _{0 é um parâmetro tomando}

valores numa sequˆencia que tende a zero. Seja

Aǫ(x) = (aǫij(x))1≤i,j,n q.s em Ω (2.1)

onde a nota¸cão q.s é uma abrevia¸cão de quase sempre, isto é, a igualdade é válida exceto num conjunto de medida de Lebesgue nula.

Sejam α, β n´umeros reais positivos com α < β. Diremos que

Aǫ _∈_M₍_{α, β,}_Ω) _(2.2)

seAǫ _satisfaz

(

hAǫ_{λ, λ}_{i ≥}_α_|_λ_|2

|Aǫ₍_x₎_λ_{| ≤}_β_|_λ_|_, (2.3)

q.s em Ω e para todo λ∈Rn_.

Introduzimos o operador

Aǫ =−div(Aǫ∇) = − n X

i,j=1

∂ ∂xi

aǫ_ij ∂ ∂xj

. (2.4)

A teoria de homogeneiza¸c˜ao serve para descrever o comportamento assimt´otico quando

ǫ→0 de equa¸c˜oes diferenciais parciais com operadores diferenciais da forma Aǫ.

Faremos uma breve discuss˜ao sobre o problema de valor de fronteira

(

−div(Aǫ_∇_uǫ_{) =}_f _{em Ω}

uǫ_{= 0 sobre} _∂_Ω_, (2.5)

(39)

Segue do Teorema de Lax-Milgram que para cada ǫ > 0 existe um ´unico uǫ _∈ _H1

0(Ω) tal

que _Z

Ω

Aǫ∇uǫ∇v dx=hf, vi, ∀v ∈H₀1(Ω) (2.6) Mais ainda, temos a seguinte estimativa

kuǫk_H1

0(Ω)≤

1

αkfkL2(Ω). (2.7)

Consequentemente, como H1

0(Ω) ´e reflexivo, segue que existe uma subsequˆencia {uǫ

′

} e um elemento u0 _∈_H1

0(Ω) tal que

uǫ′

⇀ u0 _em _H1

0(Ω). (2.8)

Note que, a priori, o limiteu0 _{pode depender de da subsequˆencia} _uǫ′

comada para que (2.8) se verifique.

Neste ponto temos algumas quest˜oes naturais:

• u0 _{´e unicamente determinada?} • Como determinar u0_?

• u0 _{satisfaz algum problema de valor de fronteira em Ω?}

No que se segue vamos discutir poss´ıveis respostas para as questões acima. Nas considera¸cões que faremos a seguir, vamos utilizar a seguinte nota¸cão:

ξǫ _{= (}_ξǫ

1, . . . , ξnǫ) = n

X

j=1

aǫ

1j

∂uǫ

∂xj

, . . . ,

n

X

j=1

aǫnj

∂uǫ

∂xj

!

=Aǫ∇uǫ. (2.9)

Note que _Z

Ω

ξǫ∇v dx=hf, vi, ∀v ∈H₀1(Ω). (2.10) Segue de (2.2) e (2.7) que

kξǫk₍_L2_(Ω))n ≤

β

αkfkL2(Ω). (2.11)

Como (L2_(Ω))n _{´e reflexivo, segue que existe uma subsequˆencia} _{_ξǫ′

}, e um elemento

ξ0 _∈₍_L2_(Ω))n _{tal que}

ξǫ′ ⇀ ξ0 em (L2(Ω))n. (2.12) Assim, por passagem ao limite em (2.10) pela subsequˆencia ǫ′ _obtemos

Z

Ω

ξ0_∇_{v dx}₌_h_{f, v}_i_, _∀_v _∈_H1

(40)

Consequentemente a primeira quest˜ao tem uma resposta positiva, se pudermos descrever ξ0

em termos deu0_.

Observamos que se Aǫ _{´e tal que}

Aǫ →A em (L∞(Ω))n2,

então ξ0 =A∇u0 e portanto segue que u0 é a única solu¸cão (do Teorema de Lax-Milgram)

da formula¸c˜ao variacional do problema

(

−div(A∇u0) =f em Ω

u0 = 0 sobre ∂Ω,

isto ´e, _Z

Ω

A∇u0∇v dx =hf, vi, ∀v ∈H₀1(Ω).

Quando a convergˆencia de Aǫ _{para ¯}_A _{ocorre em topologias mais fracas as considera¸c˜oes}

acima não se aplicam e o estudo se torna bastante mais elaborado. Vamos agora considerar uma situa¸cão espec´ıfica na qual a convergência deAǫ_{para ¯}_A_{ocorre apenas na topologia fraca}∗

de (L∞_(Ω))n2

para mostrar as dificuldades e técnicas envolvidas. O caso que consideraremos é o caso de fun¸cões periódicas com freqüência tendendo a infinito.

Seja Y um intervalo deRn _{definido por}

(0, l1)× · · · ×(0, ln) (2.14)

ondel1, . . . , ln são números positivos. Iremos nos referir aY como uma célula de referência.

Defini¸cão 2.1.1. Seja Y dado pela equa¸cão (2.14) e seja f uma fun¸cão definida q. s. em

Rn_{. A fun¸cão} _f _{é chamada de Y-periódica se}

f(x+kliei) = f(x) q. s. em Rn, ∀k ∈Z, i∈ {1, . . . , n},

onde e1, . . . , en é a base canônica de Rn. No caso n=1, simplesmente dizemos que f é

l1-peri´odica.

Defini¸c˜ao 2.1.2. Seja Ω um aberto limitado de Rn _e _f _{uma fun¸c˜ao em} _L1_(Ω)_{. O valor}

médio de f em Ωé o número real dado por

MΩ(f) =

1

|Ω|

Z

Ω

(41)

Sejam α, β ∈R_{, tais que} _{α < β} _e_A_{= (}_a_ij₎₁_≤_i,j_≤_n _{uma matriz} _n_×_n _{tal que}

(

aij ´e Y-peri´odica, i, j = 1, . . . , n

A∈M(α, β, Y), (2.15)

Seja

aǫ

ij(x) =aij(

x

ǫ) q. s. emR

n_, _∀_{i, j} _{= 1}_{, . . . , n} _(2.16)

e

Aǫ(x) =A(x

ǫ) = (a

ǫ

ij(x))1≤i,j≤nq. s. emRn. (2.17)

´

E simples verificar que Aǫ _{satisfaz (2.2) para todo} _ǫ_{. Ent˜ao todas as considera¸c˜oes acima}

valem para o problema (2.5) escrito comAǫ _{dado por (2.17).}

Segue do Teorema 2.2.1 (da próxima se¸cão) que se ǫ→0, então

Aǫ ⇀ M∗ Y(A) em (L∞(Ω))n 2

, (2.18)

onde a matriz (MY(A))ij ´e definida por

(MY(A))ij =

1

|Y|

Z

Y

aij(y)dy. (2.19)

Neste caso, ´e natural perguntar se ξ0 ₌ _M

Y(A)∇u0. Esta igualdade ´e falsa mesmo em

dimens˜ao 1. Em dimens˜ao 1 temosu0 _∈_H1

0(b, c) única solu¸cão da formula¸cão variacional do

seguinte problema

    

− d

dx

1

M(0,l1)(1_a)

du0

dx

=f em (b, c)

u0₍_b_{) =}_u0₍_c_{) = 0}_.

(2.20)

Como em geral temos

1

M(0,l1)(

1

a) du0

dx 6=M(0,l1)(a) du0

dx ,

segue que

lim

ǫ→0

aǫdu

ǫ

dx

6

=lim

ǫ→0a

ǫ _lim ǫ→0

duǫ

dx

,

no sentido de convergˆencia fraca emL2₍_{b, c}_).

(42)

2.2 Fun¸c˜

oes peri´

odicas altamente oscilantes

O objetivo desta se¸cão é demonstrar o Teorema 2.2.1 que caracteriza a convergência fraca e fraca* de fun¸cões periódicas. Para isto precisaremos dos seguintes resultados auxiliares.

Lema 2.2.1. Seja f uma fun¸c˜ao Y-peri´odica em L1₍_Y₎_{. Seja} _y

0 um ponto fixado em Rn e denote por Y0 a transla¸c˜ao de Y definida por

Y0 =y0+Y Seja

fǫ(x) =f(

x

ǫ) q. s. em R

n_.

Ent˜ao _

         

i)

Z

Y0

f(y)dy=

Z

Y

f(y)dy,

ii)

Z

ǫY0

fǫ(y)dy=

Z

ǫY

fǫ(y)dy =ǫn

Z

Y

f(y)dy.

(2.21)

Lema 2.2.2. Seja E um espa¸co de Banach reflexivo e {xn} uma sequˆencia limitada em E.

Ent˜ao

i)Existe uma subsequˆencia {xnk} de{xn} ex∈E tal que {xnk} converge fracamente para x.

ii) Se toda subsequˆencia fracamente convergente de {xn} tem o mesmo limite x, ent˜ao a

sequˆencia {xn} converge fracamente para x. Prova: A prova de i) pode ser encontrada em [5]

Apresentamos aqui a prova de ii). De fato, suponha que toda subsequˆencia de {xn}

fracamente convergente converge para x ∈ E. Se {xn} n˜ao converge fracamente para x,

ent˜ao existem ǫ0 > 0, x∗ ∈ E∗ e uma subsequˆencia {xnk} tal que |x

∗₍_x

nk −x)| ≥ ǫ0 e isto

contradiz o item i) pois para {xnk}deve ter uma subsequˆencia fracamente convergˆente para

x.

Lema 2.2.3. Seja1< p <∞e{un}uma sequência emLp(Ω). Então as seguintes condi¸cões

s˜ao equivalentes:

1. un ⇀ uem Lp(Ω).

2. Existe C ≥0 tal que kunkLp_(Ω) ≤C, ∀n∈N e

Z

I

undx→

Z

I