O efeito da autocorrelação no desempenho do gráfico T2 de hotelling: caso bivariado

(1)

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia de Produ¸cão

Joelton Fonseca Barbosa

O EFEITO DA AUTOCORRELA ¸

C ˜

AO NO

DESEMPENHO DO GR ´

AFICO

T

2

DE

HOTELLING: CASO BIVARIADO

(2)

Joelton Fonseca Barbosa

O EFEITO DA AUTOCORRELA ¸

C ˜

AO NO

DESEMPENHO DO GR ´

AFICO

T

2

DE

HOTELLING: CASO BIVARIADO

Trabalho apresentado ao Programa de Pós-Gradua¸cão em Engenharia de Produ¸cão da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigências legais para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre.

´

Area de Concentra¸c˜ao: Qualidade e Estra-t´egia.

Orientador:

Prof

o

. Dr

o

. Pledson Guedes de Medeiros

Co-orientador:

Prof

o

. Dr

o

. Antˆonio Fernando Branco Costa

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Cataloga¸cão da Publica¸cão na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Barbosa, Joelton Fonseca.

O efeito da autocorrela¸c˜ao no desempenho do gr´aficoT2 _{de Hotelling: caso bivariado /}

Joelton Fonseca Barbosa. - Natal, 2013. 76 f. il.

Orientador: Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros. Co-orientador: Prof. Dr. Antˆonio Fernando Branco Costa.

Disserta¸cão (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Gradua¸cão Engenharia de Produ¸cão.

1. Multivariado – Disserta¸cão. 2. Controle de processos – Disserta¸cão. 3. Autocorrela¸cão – Disserta¸cão. 4. Limites de controle – Simula¸cão – Disserta¸cão. I. Medeiros, Pledson Guedes de. II. Costa, Antônio Fernando Branco. III. T´ıtulo.

RN/UF/BSE-CCET CDU: 519.237

(4)

Joelton Fonseca Barbosa

O EFEITO DA AUTOCORRELA ¸

C ˜

AO NO

DESEMPENHO DO GR ´

AFICO

T

2

DE

HOTELLING: CASO BIVARIADO

Disserta¸cão de Mestrado submetida ao Programa de Pós-Gradua¸cão Engenharia de Produ¸cão da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisitos para a obten¸cão do grau de Mestre em Engenharia de Produ¸cão.

Aprovado em: / /

Banca Examinadora:

Prof. Dr. Pledson Guedes de Medeiros Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Orientador

Prof. Dr. Antonio Fernando Branco Costa Co-orientador

(5)

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a Deus, por ter me dado essa oportunidade e enfrent´a-la com muita for¸ca e determina¸c˜ao. Muito obrigado senhor.

`

A minha avó que não mediu esfor¸cos para que eu pudesse chegar até aqui e me ajudou sempre com suas palavras de incentivo.

`

A minha mãe que sempre acreditou e mostrou que eu era capaz, mesmo que nos momentos mais dif´ıceis. A minha irmã também que acompanhou e acreditou em mim.

`

A minha namorada L´ıgia Lisliˆe que me motivou nos momentos que mais precisei.

Ao Prof. Pledson Guedes de Medeiros pela amizade e paciências que teve com as minhas orienta¸cões. Por ter dado uma base na estat´ıstica que foi de fundamental im-portância para a compreensão e desenvolvimento desta disserta¸cão.

Ao meu Prof. Antônio Fernando Branco da Costa por aceitado ser meu co-orientaor por tão prontamente responder minha perguntas e sugerir as dire¸cões desta pesquisa.

`

A Profa. Dione Maria Valen¸ca por tirar algumas d´uvidas em das partes mais deci-sivas da minha pesquisa e por participar da banca examinadora.

`

A Elvis Sampaio que me ajudou na minha forma¸c˜ao da base estat´ıstica estudando e resolvendo lista de exerc´ıcios da disciplinas de controle estat´ıstico da qualidade.

(6)

“ O que prevemos raramente ocorre; o que menos esperamos geralmente acontece.”

(7)

Resumo

O gr´afico de controle T2

de Hotelling tem sido o principal dispositivo

estat´ıstico utilizado no monitoramento de processos multivariados. Atual-mente com o desenvolvimento tecnológico dos sistemas de controle e au-toma¸cão possibilitou uma elevada taxa de coletas das informa¸cões dos sis-temas produtivos em intervalos de tempo muito curto, provocando uma dependência entre os resultados das observa¸cões. Este fenômeno conhecido como autocorrela¸cão provoca no controle estat´ıstico de processos multivari-ado uma grande quantidade de alarmes falsos, prejudicando no desempenho do gráfico. Isto acarreta na viola¸cão do pressuposto de independência e da normalidade da distribui¸cão. Nesta disserta¸cão considerou-se não só a cor-rela¸cão entre duas variáveis, mas também a dependência entre observa¸cões de uma mesma variável, isto é, a autocorrela¸cão. Estudou-se, por meio de simula¸cão, o caso bivariado e o efeito da autocorrela¸cão no desempenho do gráfico T2

de Hotelling.

Palavras-chave: Controle multivariado de processos, autocorrela¸c˜ao, limites de controle e simula¸c˜ao.

(8)

Abstract

The chart of control of Hotelling T2

has been the main statistical de-vice used in monitoring multivariate processes. Currently the technologi-cal development of control systems and automation enabled a high rate of collection of information of the production systems in very short time intervals, causing a dependency between the results of observations. This phenomenon known as auto correlation causes in the statistical control of the multivariate processes a high rate of false alarms, prejudicing in the chart performance. This entails the violation of the assumption of inde-pendence and normality of the distribution. In this thesis we considered not only the correlation between two variables, but also the dependence between observations of the same variable, that is, auto correlation. It was studied by simulation, the bi variate case and the effect of auto correlation on the performance of the T2

chart of Hotelling.

Keywords: Multivariate processes control, autocorrelation, control limits and si-mulation.

(9)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Objetivos . . . 3

1.2 Justificativa e importˆancia . . . 3

1.3 M´etodo do trabalho . . . 4

1.4 Abrangˆencia do Trabalho . . . 4

2 GR ´AFICOS DE CONTROLE 5 2.1 Princ´ıpios dos gr´aficos de controle . . . 5

2.2 Subgrupos racionais . . . 6

2.3 Alarmes nos gr´aficos de controle . . . 6

2.4 Desempenho dos gr´aficos de controle . . . 9

2.5 Gr´afico de controle univariado . . . 10

2.6 Gr´afico de controle multivariado . . . 11

2.7 Distribui¸c˜ao Normal Multivariada . . . 13

2.7.1 Estimando o vetor de m´edias e matriz de covariˆancia . . . 14

2.8 A Estat´ıstica T2 de Hotellinge o gr´afico de controle multivariado . . . . 16

3 PROCESSO AUTOCORRELACIONADO 19 3.1 Considera¸c˜oes iniciais . . . 19

3.2 Modelo auto-regressivo AR(1) . . . 21

4 MODELO DA SIMULA ¸C ˜AO 22 4.1 Gerando Amostras . . . 22

4.2 Determina¸c˜ao dos limites de controle . . . 25

4.3 Simula¸c˜ao do LSC pelo algoritmo proposto . . . 27

4.4 Desempenho do gráficoT2 sob autocorrela¸cão com novos limites de controle 30 5 CONCLUS ÕES 39 5.1 Sugestões para pesquisas futuras . . . 40

(10)

A ALGORITMO NO SOFTWARE R 41

A.1 Fase I para n=3 . . . 41

A.2 Fase I para n=4 . . . 47

A.3 Fase I para n=5 . . . 53

A.4 Fase II para n=3 . . . 60

Referˆencias 73

(11)

Lista de Figuras

2.1 Ocorrência de um alarme falso. . . 8 2.2 Ocorrência de um alarme verdadeiro. . . 8 2.3 Curva de NMA vs δ. . . 10 2.4 Distribui¸cão normal multivariada com p= 2, µ1 =µ2 = 0, σ11=σ22= 1

e p12= 0. . . 14 2.5 Distribui¸c˜ao normal multivariada com p= 2, µ1 =µ2 = 0, σ11=σ22= 1

e p12= 0,9. . . 15 2.6 Gr´afico de controle T2

de Hotelling. . . 17

4.1 Gr´afico utilizado para validar o algoritmo que determina limite de controle. 26 4.2 Gr´afico T2

de Hotelling sob efeito de autocorrela¸c˜ao φ= 0,5 . . . 27 4.3 Comparativo dos limites de controle tabelado e simulado para um gr´afico

T2

de Hotelling na presen¸ca de autocorrela¸c˜ao φ = 0,5 . . . 30

(12)

Lista de Tabelas

4.1 Novos limites de controle na presen¸ca de autocorrela¸cão para n= 3. . . 28 4.2 Novos limites de controle na presen¸ca de autocorrela¸cão para n= 4. . . 28 4.3 Novos limites de controle na presen¸ca de autocorrela¸cão para n= 5. . . 29 4.4 Valores de N M A para o gráfico T2

sob autocorrela¸c˜ao (ρ= 0,0). . . . 34 4.5 Valores de N M A para o gr´afico T2

sob autocorrela¸c˜ao (ρ= 0,7). . . . 37

(13)

Cap´ıtulo 1

Introdu¸c˜

ao

A crescente concorrência em n´ıvel internacional criou nas empresas a necessidade de priorizarem o objetivo qualidade como um diferencial competitivo de sua participa¸cão no mercado. Estas buscaram melhorar de forma cont´ınua a qualidade de seus produtos, servi¸cos e processos. Atualmente existe a necessidade de uma resposta rápida e com qualidade ao mercado, isso implica na importância de utilizar o controle estat´ıstico de processos (CEP) como um instrumento gerencial para redu¸cão das varia¸cões entre itens manufaturados.

O controle estat´ıstico de processos foi criado por Shewhart (33), quando ele apre-sentou o primeiro esbo¸co de um gráfico de controle univariado na Bell Telephone La-boratories. Embora seu quadro inicial fosse pra controlar o percentual de defeitos em um processo de produ¸cão, mais tarde ele estendeu sua ideia para o gráfico de controle de média e desvio padrão de um processo. Esta ferramenta foi amplamente utilizada pela indústria pela sua facilidade de implementa¸cão, análise e não demandava recursos computacionais.

`

A medida que crescia a necessidade de monitorar a qualidade de produtos e das várias etapas dos processos produtivos, aumentou consequentemente a quantidade de variáveis da qualidade que deveriam ser monitoradas (controle multivariado). Isto fez com que vários gráficos univaridos de Shewhart fossem utilizados simultaneamente, e de forma independente, para monitorar o processo de produ¸cão, ver Montgomery (23). Este modelo se tornava inviável de ser utilizado quando a quantidade de caracter´ısticas da qualidade aumentava e possu´ıam correla¸cão entre elas, isso levava a uma interpre-ta¸cão errôneas sobre a estabilidade do processo. Um outro aspecto que poderia levar a conclusões errônea da estabilidade do processo foi o efeito da autocorrela¸cão nas

(14)

2

observa¸cões de uma mesma variável, que caracterizava-se por uma observa¸cão atual está correlacionada com a observa¸cão anterior, ver Costa et al. (7). Isso provocava uma grande quantidade de ”alarmes falsos”, ou seja, concluir que o processo está fora de controle quando na realidade o processo está sob controle estat´ıstico. Este fato foi muito observado quando se tentava implementar gráficos convencionais utilizando dados com autocorrela¸cão encontrado nas indústrias de processos cont´ınuos, qu´ımica, farmacêutica e automatizadas.

Observa-se então, que as situa¸cões problemáticas do controle multivariado e proces-sos com dados autocorrelacionados, citadas anteriormente, foram encontradas pela não adequabilidade de utiliza¸cão do gráfico de Shewhart, pois o gráfico por ele proposto foi criado para monitorar processos da indústria de partes discretas (Costa et al. (7)) que tenham observa¸cões independentes e normalmente distribu´ıdas. Para tentar cons-truir um modelo que incorporasse a correla¸cão na análise de processos multivariados Hotelling (12) propôs a Estat´ıstica T2

que se baseou nos princ´ıpios do gr´afico ¯X de Shewart univariado. Esta estat´ıstica ficou conhecida como T2

Hotelling, foi estimada de forma a fornecer valores que medem a distância entre cada observa¸cão do vetor de média amostral. Já para melhorar o desempenho dos gráficos de controle capazes de li-dar com observa¸cões dependentes ao longo do tempo os pesquisadores estão realizando estudos para verificar o efeito da autocorrela¸cão no controle estat´ıstico de processos univariados, Alwan e Roberts (2), Montgomery e Mastrangelo (25), Lu e Reynolds (18). Já no controle estat´ıstico de processos multivariados existe uma maior complexi-dade por tratar um número maior de variáveis, e aumenta quando há autocorrela¸cão em observa¸cões de subgrupos racionais.

(15)

1.1 Objetivos 3

´e ajustando os limites de controle para reduzir o n´umero de alarmes falsos, permane-cendo com os dados originais.

1.1 Objetivos

O objetivo geral deste trabalho ´e analisar um gr´aficoT2

de Hotelling bivariado, sob efeito da autocorrela¸cão em suas observa¸cões de acordo com o modeloAR(1) e propor limites de controle utilizando simula¸cão computacional.

Para alcan¸car o objetivo geral, foi necess´ario seguir os seguintes objetivos espec´ıficos:

• Verificar o efeito da autocorrela¸c˜ao no desempenho do gr´afico T2

utilizado no monitoramento de processos bivariados com vari´aveis dependentes.

• Encontrar limites de controle para o gr´afico T2

sujeito a dados com autocorrela-¸c˜ao o diminuir´a a quantidade de alarmes falso.

• Analisar o desempenho na fase II dos gr´aficos T2

Hotelling bivariados sujeitos a diferentes deslocamentos de m´edia.

• Analisar o desempenho do gr´afico de controle com diferentes tamanhos de amos-tras.

• Comparar o modelo proposto por simula¸c˜ao com os encontrados na literatura.

1.2 Justificativa e importˆ

ancia

(16)

1.3 M´etodo do trabalho 4

ou seja, irá apontar causas especiais indevidamente. Muitos processos industriais mo-dernos estão propensos a gerar dados com efeito de autocorrela¸cão. Esta situa¸cão pode ser explicada pelo desenvolvimento tecnológico dos equipamentos de controle em automa¸cão, que possibilitou uma elevada taxa de coleta de informa¸cões nos sistemas produtivos. Tais processos com esse efeito da autocorrela¸cão passam a quebrar o pressu-posto da independência das observa¸cões. Seguindo essa nova tendência da necessidade de controlar várias caracter´ısticas de qualidade de forma simultânea (controle multiva-riado) e sujeitas a autocorrela¸cão, propomos neste trabalho analisar o comportamento dos gráficos deT2

de Hotelling sob efeito da autocorrela¸cão em diferentes deslocamen-tos de média do processo e, em seguida, encontrar um limite de controle ajustado por meio de simula¸cão que garanta a eficácia do gráfico.

1.3 M´

etodo do trabalho

Como este trabalho tem como objetivo investigar o efeito da autocorrela¸cão no controle multivariado de processos, esta pesquisa é classificada quanto modalidade como uma pesquisa aplicada com objetivos exploratórios. Já em com rela¸cão a sua abordagem é classificado como uma pesquisa quantitativa que utiliza o método da modelagem e simula¸cão.

1.4 Abrangˆ

encia do Trabalho

Os resultados obtidos neste trabalho abrangem:

• Processos bivariados;

• O modelo auto regressivo AR(1);

• Correla¸c˜ao entre z caracter´ısticas da qualidade;

• Autocorrela¸c˜ao nas observa¸c˜oes da mesma caracter´ıstica de qualidade;

(17)

Cap´ıtulo 2

GR ´

AFICOS DE CONTROLE

2.1 Princ´ıpios dos gr´

aficos de controle

Shewhart desenvolveu o gráfico de controle como uma ferramenta de apoio ao con-trole estat´ıstico de processos. Esta é capaz de monitorar o desempenho de um deter-minado processo ao longo do tempo e detectar causas especiais que o desajustam. O gráfico de controle apresenta observa¸cões de uma determinada caracter´ıstica de quali-dade em uma ordem temporal e é composto por um limite superior de controle (LSC) e um limite inferior de controle (LIC), além de uma linha média (LM). Quando as obser-va¸cões da caracter´ıstica de qualidade estão dentro destes limites, não seguem nenhuma tendência e estão distribu´ıdos aleatoriamente considera-se que este processo está sob controle estat´ıstico. Já quando alguns desses pontos estão fora dos limites de controle ou seguem uma tendência especial ou sistemática sinaliza que este processo poderá estar fora de controle estat´ıstico.

Estes gráficos são bastante utilizados pela sua simplicidade na aplica¸cão e interpre-ta¸cão. Em um gráfico de Shewhart, por exemplo, para monitorar uma determinada caracter´ıstica de qualidade Xc coleta-se, em um determinado intervalo de tempo h, amostras de tamanhon e calcula-se uma estat´ıstica ¯X. Assumindo que essas observa-¸cões são rea¸cão de variáveis aleatórias independentes e normalmente distribu´ıdas com valor esperadoµ(média do processo) e desvio padrão (σ). Então para um limite de 3σ,

µ_±3σ, isso iria garantir que para um processo controlado e isento de causas especiais uma probabilidade de 99,73% das observa¸cões ca´ırem dentro dos limites de controle. Os limites de controle e a linha média são da por:

(18)

2.2 Subgrupos racionais 6

LSC_X¯ = µ_X¯ + 3σ_X¯ (2.1)

LM_X¯ = µ_X¯ (2.2)

LIC_X¯ = µ_X¯ −3σ_X¯ (2.3)

Importante frisar que na constru¸cão destes limites de controle é necessário checar os pressupostos de normalidade e independência propostos por Shewhart. Entretanto, nada impede que seja constru´ıdo um gráfico de Shewhart, utilizando uma distribui¸cão próxima da normal, mas o quesito da independência das variáveis deverá ser atendido.

2.2 Subgrupos racionais

Os subgrupos racionais são amostras suja observa¸cões são coletadas praticamente num mesmo instante, em intervalos de tempos regulares. A fundamenta¸cão desses sub-grupos racionais foi introduzida por Shewhart com a finalidade de apresentar como deveriam ser organizados os dados amostrais do processo. Na constru¸cão de um sub-grupo racional deverá ser levado em considera¸cão o tamanho da amostra e o intervalo de tempo de coleta entre subgrupos de forma que se possa obter uma maior eficiência na sensibilidade de deteçcão do gráfico e que se possa ter um menor custo de inspe¸cão. Os subgrupos racionais devem ser formados por unidades semelhantes em composi-¸cão de material, métodos de coletas, método de manufatura e condi¸cões espec´ıficas do processo. A forma¸cão desse subgrupo racional deve ser composta por itens produzi-dos praticamente num mesmo instante, com o objetivo de que as causas especiais não apare¸cam no mesmo subgrupo racional e sim entre grupos diferentes. Isto diminui a variabilidade em uma mesma amostra, e aumenta a variabilidade entre amostras, caso estejam presentes causas especiais.

2.3 Alarmes nos gr´

aficos de controle

(19)

2.3 Alarmes nos gr´aficos de controle 7

de uma suposi¸cão a respeito de um parâmetro da popula¸cão. No controle de processos testam-se as seguintes hipóteses: H0 hipótese que considera o processo sob controle e

H1 considera o processo fora de controle. Para um gráfico de ¯X , tem-se H0 :µ_x =µ0 eH1 :µ_x 6=µ0. A hipótese H0 não será rejeitada quando o valor de ¯X cair dentro dos limites de controle, e será rejeitada quando o valor de ¯Xcair fora dos limites de controle. Como se trata de um teste estat´ıstico, há um riscoα de um valor cair fora do limite de controle e ser julgado que o processo está fora de controle quando na verdade ele não está. Esse tipo de erro é conhecido como o erro do tipo I (”Alarme falso”). Já o risco

β é a probabilidade de um ponto cair dentro dos limites de controle, não sinalizando uma causa especial. Este é o erro do tipo II (não-deteçcão) considerar erroneamente que o processo está em controle. Esses erros do tipo I e tipo II são representados pelas seguintes probabilidades:

α = P rX > LSC¯ _X¯ ou X < LIC¯ |µ=µ0

(2.4)

β = P rLIC_X¯ ≤X¯ ≤LSC_X¯|µ6=µ0

(2.5)

O poder do gráfico de controle (P d) em detectar uma causa especial no processo é dado pela probabilidade de deteçcão na expressão abaixo:

P d= 1₋β (2.6)

Na ocorrência de uma alarme falso, representado na Figura 2.1 (adaptada de Costa et al., p.65 (7)), um ponto ficou acima do limite de controle e não houve um deslo-camento na média do processo, ou seja, foi sinalizado indevidamente que o processo está sob influência de uma causa especial. A consequência disto é uma interven¸cão de manuten¸cão, inspe¸cão do processo em uma hora errada, pois este sinalizou um alarme falso. Para que o impacto de alarmes falsos sob o processo possa ser diminu´ıdo deve-se dimensionar uma valor de abertura dos limites de controle que possam garantir um menor valor para o riscoα.

(20)

2.3 Alarmes nos gr´aficos de controle 8

Figura 2.1: Ocorrˆencia de um alarme falso.

Figura 2.2: Ocorrˆencia de um alarme verdadeiro.

(21)

2.4 Desempenho dos gr´aficos de controle 9

2.4 Desempenho dos gr´

aficos de controle

O planejamento do gráfico de controle deve ser realizado em fun¸cão de três parâme-tros que irão influenciar diretamente na eficiência do gráfico sinalizar quando o processo está fora de controle. Esses parâmetros são: o tamanho da amostra n, o intervalo de tempo da amostragem h e a largura do limite de controle k. As amostras de tama-nho grande possibilitarão uma deteçcão mais rápida de mudan¸cas no processo, mas em contrapartida irão aumentar os custos totais de inspe¸cão. Já intervalos de amostragem mais curtos possibilitarão também uma deteçcão mais rápida na mudan¸ca do processo. Estes dois parâmetros devem ser ajustados conjuntamente a fim de que possa tornar o os procedimentos economicamente viáveis e que tenha eficácia de controle. Na prática industrial o modelo mais bem aceito e usual é de um menor intervalo de tempo entre as amostras e amostras de tamanhos menores.

O desempenho dos gráficos de controle é medido pelo seu valor de NMA, número médio de amostras até o sinal.

O resultado desta equa¸cão avalia o desempenho do gráfico, pois quanto menor o NMA mais rápido o processo irá detectar a mudan¸ca.

Quando o processo está sob efeito de causa especial, que o desajusta, é importante encontrar o NMA menor poss´ıvel, a fim de detectar rapidamente altera¸cão no processo. Pretende-se no planejamento de um gráfico de controle obter um valor deN M AF = 1

p

que seja o maior poss´ıvel de forma a minimizar a quantidade de alarmes falsos, visto que o processo se encontra sob controle estat´ıstico. Quando se realiza a compara¸cão entre gráficos de controle sujeitos a diferentes parâmetros, aquele que apresentar em simultâneo um maior valor para o NMA em controle e um menor valor de NMAF fora de controle deverá ser considerado como o gráfico mais eficaz. Importante observar que para realizar compara¸cões de desempenho dos gráficos de controle é importante ajustar os limites de controle para obter um mesmo valor de NMAF sob controle estat´ıstico de modo a estabelecer-se uma compara¸cão de NMA’s para diferentes dimensões de deslo-camentos do processo (δ).

(22)

2.5 Gr´afico de controle univariado 10

amostra e do deslocamento da m´edia no valor do NMA.

Figura 2.3: Curva de NMA vs δ.

O numero de amostras m até a ocorrência de um alarme segue uma distribui¸cão geométrica de parâmetrop, independentemente de se tratar de um alarme falso ou ver-dadeiro onde o valor esperado de M indica o número médio de amostras até o alarme verdadeiro NMA ou alarme falso NMAF. Para uma situa¸cão em que a hipóteseH0 não é rejeitada com µx = µ0, então p = α e N M A_F = 1−/α denominado por N M A0. Quando a hipótese não é rejeitada com µx 6= µ0, temos que p =P d e N M A = 1/P d ondeP d= 1₋β.

2.5 Gr´

afico de controle univariado

(23)

con-2.6 Gr´afico de controle multivariado 11

texto, surgiram inúmeras sugestões de melhorias no gráfico de Shewhart original afim de melhorar sua eficiência em pequenas mudan¸cas. As modifica¸cões propostas são para variar alguns parâmetros dos gráficos de controle, alterar o esquema de amostragem, e as regras de decisão.

O gráfico de controle de Shewhart se fundamenta em três parâmetros fundamentais: intervalo de amostragem, tamanho da amostra e limites de controle. A ideia de variar algum desses parâmetros dos gráficos de controle univariados (gráficos adaptativos) tem sido bastante explorada. Reynolds et al. (30) foram os primeiros pesquisadores a proporem um gráfico adaptativo. Eles propuseram no gráfico ¯X com um intervalo de amostragem variável (VSI - Variable Sampling Interval). Mais tarde, Prabhu et al. (29) e Costa (5), independentemente, propuseram amostras de tamanho variado para gráfico ¯X. Prabhu et al. (28) abordou o caso em que tanto o tamanho da amostra como o intervalo entre a retiradas das amostras são variáveis (VSSI - Variable Sam-pling Size Interval). Costa (6) propôs um gráfico adaptativo com os três parâmetros fundamentais variáveis.

Outras técnicas de controle tem sido aplicada nos gráficos univariados de Shewhart, como na soma cumulativa (CUSUM) e nas médias moveis ponderadas exponencial (EWMA). Alguns desses trabalhos podem ser visto em Zimmer et al. (43), Costa and Rahim (8), Epprecht et al. (10), Wu et al. (39), Jiang et al. (13), Luo et al. (21), Li and Wang (16), Shu et al. (34), Dai et al. (9).

2.6 Gr´

afico de controle multivariado

(24)

2.6 Gr´afico de controle multivariado 12

controle univariadas não são recomendas para estes casos, pois as várias caracter´ısticas da qualidade podem estar relacionadas, o que irá prejudicar o desempenho dos gráficos de controle.

Quando s˜ao monitoradas z caracter´ısticas de qualidade independentes utilizando z

gráficos de controle univariados de Shewhart simultaneamente para verificar a estabili-dade do processo, observa-se que há uma distor¸cão na interpreta¸cão do erro do tipo I. Suponha que serão monitoradas duas caracter´ısticas de qualidadeX1 eX2. Ambas com limites de controle três sigma resultando em uma probabilidade de exceder os limites de controle de 0,0027 para cada uma delas. Isto acarretará em uma probabilidade con-junta de ambas as variáveis excederem o limite de controle simultaneamente , estando sob controle, de (0,0027)(0,0027) = 0,00000729 menor que 0,0027. Levando a um erro do tipo I diferente dos n´ıveis apresentados para os gráficos de controle individuais.

Essa distor¸cão de interpreta¸cão no monitoramento do processo aumenta com o número de caracter´ısticas de qualidade. Então para p caracter´ısticas de qualidade a um n´ıvel de significância deα para cada p gráfico de controle, a probabilidade do erro do tipo I do processo global é dado por:

α′

= 1₋(1₋α)p (2.7)

Dessa forma, para as caracter´ısticas de qualidade X1 e X2 o erro do tipo I global do processo ´e 0,00593 praticamente o dobro do α estabelecido para cada uma dessas vari´aveis.

Isso mostra que no monitoramento de gráficos multivariados haverá uma maior pro-babilidade de ocorrer alarmes falsos e uma redu¸cão no poder de deteçcão à medida que aumenta o número de caracter´ısticas de qualidade a serem monitoradas.

(25)

2.7 Distribui¸c˜ao Normal Multivariada 13

2.7 Distribui¸c˜

ao Normal Multivariada

A distribui¸cão normal multivariada é uma generaliza¸cão da normal univariada para o caso no qual se trabalha com duas ou mais variáveis aleatórias simultaneamente. A distribui¸cão normal univariada com médiaµe variância σ2

tem densidade de probabi-lidade dada por:

f(x) = √ 1

2πσ2 exp

−1 2

x₋µ σ

Para p variáveis aleatórias, dadas pelo vetor aleatório X = [X1, X2, . . . , Xp], este têm uma distribui¸cão conjunta normal multivariada de dimensãop( ou, simplesmente,

p-variada), se sua fun¸c˜ao densidade for dada por:

f(x1, x2, . . . , xp) =

1 (2π)p/2

|Σ_|1_/2 exp

−1

2 (x−µ) ′

Σ−1(x₋µ)

onde µ = (µ1, µ2, . . . , µp) ′

um vetor de dimensão p_× que representa a esperan¸ca matemática do vetor X, isto é, µi =E(Xi), i = 1,2, . . . , p e Σ é uma matriz positiva definida de dimensãop_×pque representa a matriz de variâncias e covariâncias do vetor aleatório X e é dada por:

Σp×_p =

     

σ11 σ12 . . . σ1_p

σ21 σ22 . . . σ2_p ... ... ... ...

σp1 σ_p2 . . . σ_pp

     

Como a matriz de covariância é uma matriz simétrica, isto é σij = σji,∀i 6= j, onde σii =σ2i =V ar(Xi), i = 1,2, . . . , p e σij =Cov(Xi, Xj), i, j = 1,2, . . . , p,(i6= j). Não se pode deixar de mencionar que quando se trata de mais de uma variável pode acontecer que elas tenham correla¸cão. A correla¸cão é uma medida mais adequada para estimar o grau de relacionamento linear entre duas variáveis, esta é uma grandeza adimensional que terá seus valores de referência entre ₋1 e 1 (Mingoti (22)). Esta é dada pela seguinte fórmula:

pij =

σij

√_σ

ii√σjj

, i, j = 1,2, . . . , p com ₋1_≥pij ≥1

(26)

parte de um vetor que possui distribui¸c˜ao normal multivariada (Mingoti (22)).

Para um caso em que p= 2 a fun¸cão de densidade de X =X1, X2 pode ser escrita em fun¸cão do coeficiente de correla¸cão entre estas variáveis. Esta fun¸cão pode ser expressa da seguinte forma:

f(x1, x2) =

1

2πpσ11σ22(1−p 2

12) ×exp

(

1 2 (1₋p1

12)

"

x1−µ2

σ11

2 +

x2 −µ2

σ22

2

−2p12

x1−µ1

√_σ

11

x2 −µ2

√_σ

22

Segue abaixo uma ilustra¸cão dos gráficos da distribui¸cão normal bivariada sob o efeito de diferentes graus de correla¸cão e suas respectivas curvas de n´ıvel.

Figura 2.4: Distribui¸c˜ao normal multivariada comp= 2, µ1 =µ2 = 0, σ11 =σ22 = 1 e

p12 = 0.

2.7.1 Estimando o vetor de m´

edias e matriz de covariˆ

ancia

(27)

Figura 2.5: Distribui¸c˜ao normal multivariada comp= 2, µ1 =µ2 = 0, σ11 =σ22 = 1 e

p12 = 0,9.

forma:

¯

xjk = 1

n

X

i=1

xijk

(

j = 1,2

j = 1,2. . . , m

S2 jk =

1

n₋1 n

X

i=1

(xijk−x¯ijk) 2

(

j = 1,2

j = 1,2. . . , m

onde xijk é a i.a observa¸cão da j.a caracter´ıstica da qualidade na k.a amostra. A covariância entre as caracter´ısticas da qualidadej e h nak.a

amostra ´e:

Sjhk = 1

n₋1 n

X

i=1

(xijk−x¯jk) (xihk −x¯hk)

(

k = 1,2. . . , m j ₆= h

(28)

2.8 A Estat´ıstica T2

de Hotellinge o gr´afico de controle multivariado 16

¯¯

xj = 1 m m X k=1 ¯

xjk j = 1,2

¯ S2 j = 1 m m X k=1 S2

jk j = 1,2

¯

Sjh = 1

m

X

k=1

Sjhk j 6=h

Os_{x¯¯j}são elementos do vetor ¯¯X, e a média S de dimensão 2×2 das matrizes de covariância amostral é constru´ıda como:

S =

"

¯

S2 1 S¯12 ¯

S21 S¯ 2 2

#

2.8 A Estat´ıstica

T

2

de Hotellinge o gr´

afico de

con-trole multivariado

Para monitorar duas ou mais caracter´ısticas de qualidade Hotelling (12) propˆos a Estat´ıstica T2

que se baseou nos princ´ıpios do gráfico ¯x de Shewart univariado. Esta nova técnica passou a ser amplamente utilizada para monitorar o vetor de mé-dias do processo. A estat´ıstica T2

para as p caracter´ısticas de qualidade, dadas por

X1, X2, . . . , Xp, cada uma delas com m observa¸c˜oes individuais, no instante i, ´e dada por:

T2

i =n X¯i−µ0

′ −1

X

0 ¯

Xi−µ0

(2.8)

onde n representa o tamanho da amostra (subgrupo racional). O vetor de m´edia dado por ¯X′

= [ ¯x1,x¯2, . . . ,x¯p] e as variâncias e covariâncias das variáveis aleatórias contidas em uma matriz de covariância Σp×p. Caso o vetor da p caracter´ısticas siga uma distribui¸cão normal multivariada e sejam independentes, teremos que os valores deT2

i ir˜ao seguir uma distribui¸c˜ao qui-quadrado comp graus de liberdade.

Agora que os valores de µ e Σ foram estimados na sessão 2.7.1 será poss´ıvel criar um gráficoT2

(29)

T2

=nX¯₋X¯¯

′

S−1¯

X₋X¯¯

onde ¯X ´e um vetorp_×1 que representa um conjunto de m´edia daspcaracter´ısticas de qualidade, ¯ X = " ¯ x1 ¯ x2 #

Com isso já é poss´ıvel realizar o cálculo dos valores de T2

, utilizando a express˜ao de T2

de Hotelling. Para sintetizar os resultados desta primeira etapa da simula¸c˜ao, segue uma tabela que mostra todos os valores gerados nesta fase:

k x11_k x21_k x31_k x¯1_k x12_k x22_k x32_k x¯2_k S 2 1_k S

2

2_k S12_k T 2 k 1 x111 x211 x311 x¯11 x121 x222 x322 x¯22 S

2 11 S

2

22 S121 T 2 1 ... . . . m x11_m x21_m x31_m x¯1_m x12_m x22_m x32_m x¯2_m S

2 1_m S

2

2_m S12_m T 2 m

M´edia x¯¯1 x¯¯2 S¯

2 1 S¯

2

2 S¯12

Exemplo abaixo de um gr´afico T2

de Hotelling.

Figura 2.6: Gr´afico de controle T2

(30)

O limite de controle no gr´aficoT2

pode ser encontrado quando estimarmos os valores de µ e Σ atrav´es de um grande n´umero de amostras, geralmente maiores que 100 (Montgomery (23)). Como os valores de T2

tem um distribui¸c˜ao qui-quadrado, T2 i e

X2

p,α ent˜ao teremos como limite de controle:

LC =_X2

p,α (2.9)

(31)

Cap´ıtulo 3

PROCESSO

AUTOCORRELACIONADO

3.1 Considera¸c˜

oes iniciais

Os gráficos de controle multivariado tradicionais baseiam-se no pressuposto das variáveis serem normalmente distribu´ıdas e que em rela¸cão a cada variável não haja autocorrela¸cão, sejam independentes. A viola¸cão desta última suposi¸cão acarreta em um grande número de alarmes falsos. Essa dependência entre diferentes medi¸cões de uma variável no tempo pode ser explicada pelo desenvolvimento tecnológico dos equi-pamentos de controle em automa¸cão, que possibilitou uma elevada taxa de coleta de informa¸cões nos sistemas produtivos, além dos pequenos Leads Times dos processos produtivos devido à automa¸cão. Com isso muitos processos industriais modernos estão propensos a gerar dados com efeito de autocorrela¸cão. Exemplo também citado por Montgomery (23) que a suposi¸cão de independência também era muitas vezes violada em processos qu´ımicos e farmacêuticos. Tais processos com esse efeito da autocorrela-¸cão prejudicam o desempenho dos gráficos de controles tradicionais. Alwan e Radson (1) mostraram que as propriedades estat´ısticas dos gráficos de controle convencionais são sens´ıveis a n´ıveis ainda pequenos de autocorrela¸cão, que podem causar uma maior probabilidade de alarme falso. Então surge a necessidade de fazer adapta¸cões nos grá-ficos de controles convencionais ou criar novos modelos para o controle destes processos que quebram o pressuposto da independência. Uma das maneiras de se lidar com a autocorrela¸cão foi ajustar os limites de controle de modo a controlar a taxa de alarme falso e trabalhar com os dados originais. Esta abordagem foi estudada por: Claro (4), Vanbrackle e Reynolds (36) e Schmid (37). Já para uma segunda abordagem, utiliza-se os res´ıduos da variável de monitoramento ajustando a um modelo de série temporal

(32)

3.1 Considera¸c˜oes iniciais 20

que descreva o comportamento autoregressivo dos dados. Existem muitos modelos e adapta¸c˜oes dessa abordagem, que pode ser vista em Alwan e Roberts (2), Montgomery (24), Montgomery e Mastrangelo (25), Harris e Ross (11), Montgomery et al. (26), Lu e Reynolds (19) e Loredo et al. (17).

Além da problemática da autocorrela¸cão, verificou-se a necessidade de controlar inúmeras partes do processo para garantir a qualidade total do produto. Isto fez com que várias caracter´ısticas de qualidade passassem a ser monitoradas e estas sujeitas ao efeito da autocorrela¸cão. O controle estat´ıstico de processos multivariado é bastante complexo, e esta complexidade fica ainda maior quando o processo está na presen¸ca da autocorrela¸cão. Alguns métodos multivariados no controle estat´ıstico de processos foram desenvolvidos para tratar observa¸cões autocorrelacionadas, Runger e Willemain (31) apresentou uma técnica no controle estat´ıstico multivariado para tratamento de dados com autocorrela¸cão. A técnica apresentada se relaciona com método da análise de componentes principais distinguindo entre tipos de causas especiais e apresenta um controle estat´ıstico baseado na decomposi¸cão dos componentes principais, os quais não são autocorrelacionados. Noorossana e Vaghefi (27) descobriam o quanto a autocor-rela¸cão poderia prejudicar no desempenho do NMA no gráfico de soma cumulativa multivariada (MCUSUM). Muer e Jing (41) estudaram um processo bivariado auto-correlacionado, em que uma caracter´ıstica era independente da outra e estas seguiam um modelo autoregressivo de primeira ordem. Jing e Muer (14) , propôs um modelo baseado em res´ıduos de um gráfico de controle T2

em que investiga processos biva-riados autocorrelacionados em que uma caracter´ıstica possui autocorrela¸cão seguindo um modelo autoregressivo de primeira ordem, enquanto que as observa¸cões da outra caracter´ıstica são independentes. Xia e Jeffrey (40), expandiram o monitoramento de gráficos univariados residuais para o ambiente multivariado e com isso, utilizando o vetor autoregressivo (VAR), foi poss´ıvel examinar os efeitos das mudan¸cas de parâme-tros de processo no gráfico residual VAR. Xia e Jeffrey (40) avaliaram o desempenho do gráfico em termos de NMA obtidos por simula¸cão e mostraram a viabilidade de um gráfico de controle VAR.

(33)

3.2 Modelo auto-regressivo AR(1) 21

3.2 Modelo auto-regressivo AR(1)

Os procedimentos usais do controle multivariado de processo são desenvolvidos sob a suposi¸cão de que os vetores das variáveis são normalmente e identicamente distribu´ıdos com vetor de médiaµ e uma matriz de covariância Σ. De acordo com os intervalos de amostragem do processo o vetor de observa¸cões Yt no tempo t pode ser representado por:

Yt=µ+ǫt, t = 1,2. . .

onde ǫt é um vetor de erro aleatório com distribui¸cão normal e independente com vetor de média zero e matriz de covariância Σ. Para determinar se o processo está sob controle com rela¸cão ao vetor de médias quando tem-se uma matriz de covariância Σ conhecida usa-se, segundo Montgomery (23), o modelo semelhante ao de Shewart,

LSC = _X2

p,α, como gr´afico de controle com limite superior X 2

utilizando a seguinte estat´ıstica:

X2

= (Yt−µ0) ′

Σ−1

(Yt−µ0)

ondeµ0 ´e o valor alvo do vetor de m´edia.

No entanto em muitos processos de produ¸cão a suposi¸cão de independência é vio-lada, que por sua vez afetam diretamente na determina¸cão correta do limite de controle, e a consequência é uma grande quantidade de alarmes falsos. O do processo que apre-senta autocorrela¸cão provoca uma redu¸cão no desempenho do gráfico. Isto pode levar a um valor de NMAF menor que o esperado, quando o processo está sob controle. Para superar tal problemática é necessário primeiramente conhecer e modelar os pa-drões de séries temporais encontrados. Em muitos processos industriais os valores das caracter´ısticas de qualidade medidas, ao longo do tempo, se ajustam a um modelo co-nhecido AR(1).Com respeito aos gráficos de controle multivariados Kramer e Schmid (15) utilizaram modelo AR(1) para modifica¸cões da EWMA multivariada na presen¸ca de autocorrela¸cão. Para um processo autocorrelacionado o modelo AR(1) é dado por:

Yt=µ+φ(Yt−1−µ) +ǫ_t, t = 1,2, . . . , Y0 =µ, ǫ˜N(0, σǫ)

(34)

Cap´ıtulo 4

MODELO DA SIMULA ¸

C ˜

AO

4.1 Gerando Amostras

Diante da problemática encontrada em monitorar processos multivariados que es-tão sob efeito da autocorrela¸cão em seus dados, foi proposto neste trabalho simular um modelo bivariado que pudesse representar situa¸cões do cotidiano utilizando parâmetros inerentes a esse tipo de processo, e observar o desempenho do gráficoT2

de Hotelling bivariado nesse cenário. A primeira suposi¸cão foi considerar que uma das duas ca-racter´ısticas de qualidade estavam sob efeito de autocorrela¸cão dentro de um mesmo subgrupo racional. Outra suposi¸cão considerada no modelo que estas caracter´ısticas de qualidade possu´ıam uma correla¸cão entre si. Para melhor exemplificar este modelo segue a estrutura para gerar as 10.000 amostras com 3 observa¸cões cada (x1, x2, x3):

x1_i = µ_x+ǫ_x1

i N(0,1) i= 1,2, . . . ,10.000 (4.1)

x2_i = µ_X +φ(x1_i−µ_X) +ǫ_x2

i N(0,1) i= 1,2, . . . ,10.000 (4.2)

x3_i = µ_X +φ(x3_i−µ_X) +ǫ_x3

i N(0,1) i= 1,2, . . . ,10.000 (4.3)

onde,µX é média da caracter´ıstica de qualidadexeǫx1_i, ǫx2_i eǫx3_i são os erros aleatórios independentes e normalmente distribu´ıdos de cada elemento da amostra. A expressão (4.1) representa o primeiro elemento retirado em uma amostra de tamanho três (n= 3) em um instantei, x1_i é o primeiro elemento da amostra retirado no instante i. O se-gundo elemento retirado da amostra é a observa¸cãox2_i que possui uma autocorrela¸cão com ax1_i determinada pelo coeficienteφ. E por último o elementox3_i que possui auto-correla¸cãoφ comx2_i. O primeiro passo para criar essas amostras foi gerar um vetorX1 supondo normalN(0,1) de tamanho i= 10.000, a partir do vetorX1 gera-se os 10.000

(35)

4.1 Gerando Amostras 23

elementos deX2 segundo a equa¸cão 4.3, em seguida, gera-se os 10.000 elementos deX3 segundo a equa¸cão 4.3. Importante mencionar que neste trabalho os valores adotados para simular autocorrela¸cão serão positivos 0_≤ φ _≤ 1. Após este processo temos um vetor com 10.000 amostras tendo, cada um, 3 observa¸cões (x1, x2, x3).

O passo seguinte foi gerar os valores da segunda caracter´ıstica de qualidade denomi-nada aqui porY. É sabido que está caracter´ıstica terá uma correla¸cão com X. Abaixo expressão matemática que mostra como foram gerados os dados das 10.000 amostras deY com observa¸cões 3 observa¸cões cada (y1,y2,y3):

y1_i = ρx1_i+ǫ_y1

i N(0,1) i= 1,2, . . .10.000

y2_i = ρx2_i+ǫ_y2

i N(0,1) i= 1,2, . . .10.000

y3_i = ρx2_i+ǫ_y3

i N(0,1) i= 1,2, . . .10.000

onde ρ representa o coeficiente de correla¸c˜ao entre a caracter´ıstica Y e X. ǫy1

i, ǫy2i e

ǫy3

i é o erro aleatório independente e normalmente distribu´ıdo dos três elementos da amostra. O primeiro elemento de cada amostra de Y possui uma correla¸cão com o primeiro elemento de uma amostra de X e assim por diante até o terceiro e último elemento de cada amostra, fazendo com que as observa¸cões da variávely sejam geradas com correla¸cão com a caracter´ıstica de qualidadex. Como estão sendo tratadas carac-ter´ısticas de qualidade de um determinado produto é normal que aspectos de qualidade deste possam ter rela¸cão com outro aspecto do produto, ou seja, haja correla¸cão. O vetor de amostra deY terá também o mesmo tamanho deX com o valor dem= 10.000 amostras.

(36)

4.1 Gerando Amostras 24

Para n= 4 da vari´avelX temos:

x1_i = µ_x+ǫ_x1

i N(0,1) i= 1,2, . . . ,10.000 (4.4)

x2_i = µ_X +φ(x1_i −µ_X) +ǫ_x2