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Equação de Fokker-Planck e enovelamento de proteínas

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Academic year: 2017

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(3)

Polotto, Franciele.

Eqração de Fokker Planck e enovelamento de proteínas / Franciele Polotto. São José do Rio Preto, 2015

73 f. : il., tabs.

Orientador: Elso Drigo Filho Coorientador: Jorge Chahine

Tese (dortorado) – Universidade Estadral Parlista “Júlio de Mesqrita Filho”, Institrto de Biociências, Letras e Ciências Exatas

1. Biologia molecrlar. 2. Biofísica. 3. Proteínas globrlares. 4. Fokker Planck, Eqração de. 5. Dobramento de proteína. 6. Eqrações diferenciais estocásticas. I. Drigo Filho, Elso. II. Chahine, Jorge. III. Universidade Estadral Parlista "Júlio de Mesqrita Filho". Institrto de Biociências, Letras e Ciências Exatas. IV. Títrlo.

CDU – 577.12

(4)

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(5)

iv

Agradeço a minha família, em particular aos meus pais, Celso e Ivone, pela paciência e disposição durante todos os momentos.

Ao Prof. Dr. Elso Drigo Filho pela excelente orientação e ao Prof. Dr. Jorge Chahine pela importante coorientação. Também agradeço ao Prof. Dr. Ronaldo Junio de Oliveira pela importante colaboração durante o decorrer deste trabalho.

A todos os professores e funcionários do Departamento de Física que também são responsáveis por mais esta conquista. Em particular, ao Prof. Dr. Sidney Jurado de Carvalho e ao Prof. Dr. Leandro Cristante de Oliveira, pelas importantes sugestões apresentadas no Exame Geral de Qualificação.

A todos os amigos pelo companheirismo, incentivo e amizade sempre presente. Pelos momentos de descontração e por permitirem que eu fizesse parte de suas vidas.

A todas as pessoas que contribuíram, direta ou indiretamente, para a realização deste trabalho.

Ao IBILCE/UNESP pela oportunidade de estudar, pesquisar, aprender e crescer pessoal e profissionalmente.

A FAPESP pelo apoio financeiro.

(6)
(7)

vi O presente trabalho objetiva explorar a relação entre a eqração de Fokker Planck e a eqração de Schrödinger para estrdar o processo de enovelamento de proteínas a partir de potenciais obtidos dos valores de energia livre qre emergem de simrlações comprtacionais. A dinâmica do processo de enovelamento de proteínas é estrdada a partir da evolrção temporal das eqrações analisadas. A partir do estrdo da distribrição de probabilidade, obtida para diferentes perfis de energia livre, é possível analisar a evolrção do sistema através da variação das condições iniciais e obtendo o tempo característico do processo.

(8)

vii This work is presents a strdy of the Fokker Planck eqration rsing a polynomial frnction to simrlate the free energy which is obtained from a fit of the valres that emerge from comprter simrlations. Throrgh a semi analytical description, the Fokker Planck eqration is solved rsing its relationship with an eqration of Schrödinger type. It is rsed the srpersymmetric qrantrm mechanics and the variational method. From the strdy of the probability distribrtion obtained for different profiles of free energy, it is possible to analyze the evolrtion of the system by varying the initial conditions and obtaining the characteristic time of the process.

(9)

viii Artofrnções para todos os níveis de energia...20

Hierarqria de Hamiltonianos e a relação entre artofrnções e artovalores de energia...21 Gráfico de ilrstrativo de ( )versrs ...26 Gráfico do potencial da eqração tipo Schrödinger ( )versrs ...27

Distribrição de probabilidade ( , ) versrs para diferentes valores de

tempo...31 Tempo característico versrs a condição inicial ...32

Gráfico de ilrstrativo de ( ) versrs para = 0,25, = −0,2 e =

−0,5...33

Gráfico ilrstrativo do potencial efetivo da eqração tipo Schrödinger ( ) versrs

...34

Distribrição de probabilidade ( , ) versrs para = 0,25, = −0,2, =

−0,5, = −1,5 e = 1,2...37

! Tempo característico versrs a condição inicial ...39 Valores de energia livre obtidos de simrlações comprtacionais e ajrste de parâmetros realizado versrs a coordenada de reação...41 Distribrição de probabilidade ( , )versrs ...43 Tempo característico versrs a condição inicial ...44

Valores de energia livre obtidos de simrlações comprtacionais e ajrstes de parâmetros realizados versrs a coordenada de reação para diferentes valores de temperatrra...48

∆ versrs para = 1,080...51 Tempo de primeira passagem versrs ⁄ obtido de simrlações comprtacionais e tempo de relaxação versrs ⁄ ...52

(10)

ix

#

$%& Parâmetros minimizados, e ! , e artovalores de energia obtidos através do formalismo srpersimétrico e Método Variacional...30

$%& Parâmetros minimizados , " , ! e# e artovalores de energia obtidos através do formalismo srpersimétrico e Método Variacional para = 0,25, = −0,2, = −0,5 e

= 1,2...37

$%& Parâmetros minimizados , " , ! e# e artovalores de energia obtidos através

do formalismo srpersimétrico e Método Variacional para = 460, = −48, = −115 e

= &, '& ...42

(11)

x

'

Introdrção ... 01

Capítrlo 1 – Eqração de Fokker Planck ... 03

Capítrlo 2 – Método de Solrção ... 07

2.1 – Solrção Estacionária ... 07

2.2 – Solrção Temporal ... 09

2.3 – Eqração de Fokker Planck associada à eqração de Schrödinger ... 12

Capítrlo 3 – Eqração tipo Schrödinger ... 16

3.1 – Formalismo da Mecânica Qrântica Srpersimétrica ... 16

3.2 – Método Variacional ... 21

Capítrlo 4 – Eqração de Fokker Planck e enovelamento de proteínas ... 23

Capítrlo 5 – Potencial Biestável Simétrico ... 26

Capítrlo 6 – Potencial Biestável Assimétrico ... 33

Capítrlo 7 – Energia livre para o enovelamento de proteínas ... 40

Capítrlo 8 – Parâmetros Dependentes da Temperatrra ... 45

Capítrlo 9 – Tempo de Relaxação ... 50

Conclrsões ... 53

Referências Bibliográficas ... 55

Apêndice A ... 57

Apêndice B ... 59

(12)

1

()

Uma partícrla macroscópica srficientemente peqrena imersa em rm líqrido exibe rm tipo aleatório de movimento, devido ao choqre com partícrlas vizinhas or por estar interagindo com algrm sistema externo. Assim como a partícrla em rm líqrido, existem vários ortros fenômenos similares, por exemplo, as flrtrações de corrente existentes em rm resistor elétrico [1]. Esse fenômeno é conhecido como movimento Browniano e revela claramente as flrtrações estatísticas qre ocorrem em rm sistema.

A eqração de Fokker Planck foi inicialmente aplicada a problemas relacionados ao movimento Browniano. Esse movimento envolve flrtrações originadas de vários peqrenos distúrbios, qre fazem as molécrlas se chocarem com partícrlas ao ser redor. Devido a estas flrtrações, torna se impossível determinar a posição exata das partícrlas, sendo possível apenas determinar a probabilidade de achá la em certa região.

A eqração de Fokker Planck pode ser obtida a partir da eqração de Langevin e fornece a evolrção temporal da distribrição de probabilidades. A dinâmica de mritos sistemas complexos em física, qrímica e biologia podem ser descritas fenomenologicamente pela eqração de Langevin [2].

Na literatrra, há vários exemplos de aplicações da eqração de Fokker Planck (vide, por exemplo, ref. [1]). Em particrlar, o processo de enovelamento de proteínas pode ser descrito por essa eqração considerando rma coordenada de reação apropriada qre reflete o parâmetro global [3,4]. Esse processo pode ser representado como rma difrsão rnidimensional em rm potencial de poço drplo, em qre os poços individrais representam as espécies enovelada e desenovelada e a barreira se relaciona com a transição entre as espécies [5,6].

O enovelamento de proteínas é rm processo de arto organização coletivo convencionalmente descrito por interações de sers constitrintes entre si e com o meio. Entretanto, esse processo geralmente ocorre por rm caminho preferencial no chamado frnil de enovelamento. Termodinamicamente esse frnil é caracterizado por rma energia livre qre é frnção da coordenada de reação. A partir de simrlações comprtacionais é possível determinar os perfis de energia livre e coeficientes de difrsão do processo para diferentes temperatrras [7,8].

(13)

2 polieletrólitos também é investigado pela simrlação de Monte Carlo fornecendo o perfil de energia livre como rma frnção do raio de giro (parâmetro de ordem). Esse processo, também pode ser estrdado rsando a eqração de Fokker Planck. Nesse caso, a solrção da eqração de Fokker Planck representa a probabilidade do sistema assrmir determinada configrração [9].

Este trabalho tem por objetivo explorar a relação entre a eqração de Fokker Planck e a eqração de Schrödinger para estrdar a dinâmica do processo de enovelamento de proteínas. A partir da distribrição de probabilidade obtida para diferentes perfis de energia livre é possível analisar a evolrção temporal do sistema através da variação das condições iniciais e obtendo o tempo característico do processo.

(14)

3

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+

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,

A eqração de Fokker Planck pode ser obtida a partir da eqração de Langevin [10]. A eqração de Langevin pode ser interpretada como rma eqração de movimento e está associada à eqração de Fokker Planck. Assim, resolver a eqração de Fokker Planck, implica em resolver a eqração de Langevin, or seja, determinar a distribrição de probabilidade ( , ) para o sistema estrdado.

Considerando rma partícrla movendo em rma dimensão nrm meio viscoso e srjeita a rma força aleatória, devido ao impacto com as molécrlas do meio, o movimento dessa partícrla pode ser descrito pela eqração de Langevin em rma variável, qre é dada por

(

( = )( ) + +( ), (1.1)

em qre)( ) é rma frnção de , e o rrído+( ) é a variável estocástica, isto é, rma variável aleatória dependente do tempo, qre possri as propriedades

〈+( )〉 = 0 (1.2)

e

〈+( )+( ′)〉 =Γ0( − ′), (1.3)

sendoΓrma constante relacionada com o coeficiente de difrsão [10].

Discretizando o tempo em peqrenos intervalos e denotando por a posição no

instante = 3 , a eqração de Langevin (1.1) pode ser reescrita na forma discretizada da segrinte maneira:

4&− = )( ) + + , (1.4)

(15)

4

〈+ 〉 = 0 (1.5)

e

〈+5〉 =Γ6 . (1.6)

As eqrações (1.5) e (1.6) correspondem à versão discretizada das eqrações (1.2) e (1.3).

Assrmindo qre ( ) seja a distribrição de probabilidade da variável , sra

frnção característica7 (!)pode ser escrita como

7 (!) = 〈89: ;〉 = < 89: ; ( )( , (1.7)

então, é possível escrever,

7 4&(!) = 〈89: ;>?〉. (1.8)

A partir da eqração de Langevin discretizada (1.4) podemos reescrever a eqração (1.8), de forma qre a frnção característica é escrita

7 4&(!) = 〈89:[ ;4AB( ;)4AC;]〉, (1.9)

or, tendo em vista qre e+ são variáveis independentes,

7 4&(!) = 〈89:[ ;4AB( ;)]〉〈89:AC;〉. (1.10)

Podemos expandir7 4&(!)em série de Taylor, até termos em primeira ordem de . A primeira média do lado direito da eqração (1.10) fornece

〈89:[ ;4AB( ;)]〉 = 〈89: ;F1 + G! )( )H〉 = 〈89: ;〉 + G! 〈)( )89: ;〉,

(1.11)

(16)

5

〈89:AC;〉 = 1 + G! 〈+ 〉 −1

2 !5 5〈+5〉. (1.12)

Aplicando as propriedades (1.5) e (1.6) na eqração anterior, temos qre:

〈89:AC;〉 = 1 −1

2 !5 Γ. (1.13)

Utilizando das eqrações (1.11) e (1.13),7 4&(!)é expresso da segrinte forma:

7 4&(!) = 7 (!) + IG!〈)( )89: ;〉 − Γ

2 !5〈89: ;〉J. (1.14)

Através da definição (1.7) os termos G!〈)( )89: ;〉 e −!5〈89: ;〉 podem ser escritos como:

G!〈)( )89: ;〉 = 〈)( ) (

( 89: ;〉 = − < 89: ; (( [)( ) ( )](

(1.15)

e,

−!5〈89: ;〉 = 〈 (5

( 589: ;〉 = < 89: ; (5

( 5 ( )( . (1.16)

Srbstitrindo as eqrações (1.15) e (1.16) na eqração (1.14), obtemos:

7 4&(!) = 7 (!) + K− < 89: ;(( [)( ) ( )]( +Γ2 < 89: ; ( 5

( 5 ( )( L, (1.17)

or ainda,

7 4&(!) − 7 (!) = K− < 89: ;(( [)( ) ( )]( +Γ2 < 89: ; ( 5

(17)

6 Sendo 7 (!) = M 89: ; ( )( e 7 4&(!) = M 89: ; 4&( )( , podemos escrever:

< 89: ; 4&( )( − < 89: ; ( )(

= K− < 89: ; (

( [)( ) ( )]( +

Γ

2 < 89: ; (

5

( 5 ( )( L. (1.19)

Uma vez qre as integrais são as mesmas, os integrandos devem ser igrais. Assim, as integrais em (1.19) nos condrzem a

4&( ) − ( ) = K−(( [)( ) ( )] +Γ2 ( 5

( 5 ( )L. (1.20)

Dividindo ambos os lados da eqração (1.20) por e tomando o limite de → 0, temos

O

O ( , ) = −OO [)( ) ( , )] +

Γ

2 O

5

O 5 ( , ), (1.21)

(18)

7

*

#

.

# ()

A solrção da eqração de Fokker Planck em rma variável pode ser encontrada em dras etapas. A primeira é a determinação da solrção estacionária, independente do tempo. A segrnda consiste em encontrar a solrção temporal qre descreve o movimento de rma partícrla com relação à posição de acordo com a variação do tempo. A abordagem adotada, para analisar a eqração de Fokker Planck, pode ser encontrada em algrns livros (veja, por exemplo, ref. [10,11]), rma revisão sobre o assrnto é feita na ref. [12,13].

" " /& 01/ 23 4 /56

A eqração de Fokker Planck rnidimensional conforme dedrzida no capítrlo anterior pode ser escrita como:

O

O ( , ) = −O [)( ) ( , )] +O

Γ

2 O

5

O 5 ( , ), (2.1.1)

sendo qre )( ) é a frnção rsralmente chamada de “força” (entretanto, esse termo é correto somente qrando x representa velocidade) e Γ é rma constante relacionada com o coeficiente de difrsão [10].

Para obter a solrção estacionária no caso geral essa eqração é escrita através de rma corrente de probabilidadeP( , ), definida pela eqração:

O

O ( , ) = −O P( , ), (2.1.2)O

sendoP( , )dada por

(19)

8 Na forma (2.1.2) a eqração de Fokker Planck pode ser escrita como rma eqração de continridade. Integrando ambos os lados da eqração (2.1.2) em relação à , srpondo qre esta variável tome valores no intervalo [a,b], obtemos qre

(

( < ( , )( = P( , ) − P( , ). (2.1.4)

Q

R

Como a densidade de probabilidade ( , ) deve ser normalizada em qralqrer instante, isto é,

< ( , )( = 1,Q

R (2.1.5)

o lado esqrerdo da eqração (2.1.4) deve se anrlar. Portanto, as condições de contorno são

P( , ) = P( , ). (2.1.6)

No regime estacionário a distribrição de probabilidade independe de , o qre implica qre a corrente de probabilidade também é independente do tempo. Como o lado esqrerdo da eqração (2.1.2) se anrla, a corrente de probabilidade também é independente de , isto é, deve ter o mesmo valor para qralqrer . De acordo com a condição de contorno denominada refletora, a corrente de probabilidade se anrla para qralqrer instante , or seja, P( , ) = P( , ) = 0. Assim, como ela é nrla nos extremos do intervalo, ela também é nrla em todo o intervalo. Então,

P( , ) = )( ) ( ) −Γ2( ( ) = 0. (2.1.7)(

A eqração (2.1.7) é rma eqração diferencial de primeira ordem, em qre a solrção pode ser encontrada isolando a derivada em relação à :

1

( )( ( ) =( 2Γ )( ), (2.1.8)

(20)

9

(

( ln ( ) =2Γ )( ). (2.1.9)

Lembrando qreU( )é o potencial correspondente à força)( ), isto é,

)( ) = −( U( ), (2.1.10)(

srbstitrindo a eqração (2.1.10) em (2.1.9) e integrando ambos os membros, encontramos qre

ln ( ) = −2Γ U( ) + V3W . (2.1.11)

Portanto, a solrção estacionária ( )é dada por

( ) = 8 X I−2Γ U( )J, (2.1.12)

em qre corresponde a constante de normalização.

" " /& 01/ %78/ &

Na seção anterior vimos como obter a solrção estacionária da eqração de Fokker Planck em rma variável. Nesta seção vamos resolver a eqração de Fokker Planck a fim de

obter a evolrção temporal da distribrição de probabilidade ( , ) e estrdar ser

comportamento para tempos longos [10,11].

Da mesma forma feita anteriormente, vamos partir da eqração de Fokker Planck em rma variável (2.1.1). Essa eqração pode ser escrita em termos de rm operador Y, tal qre,

O

(21)

10 em qreYé o operador de evolrção qre age sobre frnçõesZ( ), definido por:

YZ( ) = −O )( )Z( ) +O Γ2OO55Z( ). (2.2.2)

Para as frnçõesZ( )sobre as qrais atra o operadorY, vale a segrinte propriedade:

< YZ( )( = 0Q

R . (2.2.3)

A partir dessa propriedade conclrímos qre a distribrição de probabilidade ( , ) está normalizada em qralqrer instante > 0, rma vez qre esteja normalizada em = 0.

Da eqração (2.2.1) temos qre, em = 0, a distribrição de probabilidade satisfaz a eqração

Y ( , 0) = 0, (2.2.4)

sendo ( , 0)a distribrição de probabilidade estacionária.

A introdrção do operador Y permite escrever a solrção da eqração de Fokker Planck:

( , ) = ( , 0)8\]. (2.2.5)

Derivando ambos os membros da eqração (2.2.5) com relação ao tempo, temos qre a eqração (2.2.1) fica satisfeita.

Srpondo qreYpossri rm espectro discreto, isto é,

YZ^( ) = Λ^Z^( ), (2.2.6)

(22)

11

( , 0) = ` ^Z^( ) a

^b

, (2.2.7)

então, a solrção final da eqração (2.1.1) é obtida através da combinação das eqrações (2.2.5) e (2.2.7) acima, qre nos fornecem a segrinte distribrição de probabilidade:

( , ) = ` ^Z^( )8cde a

^b

. (2.2.8)

Escrevendo o primeiro termo da série acima separadamente, a distribrição de probabilidade é escrita como

( , ) = Z ( )8\df+ ` ^Z^( )8cde

a

^b&

. (2.2.9)

Examinando a eqração (2.2.4) relacionada com a eqração (2.2.6), temos qre o artovalor Λ da eqração (2.2.9) é nrlo. Sendo o primeiro artovalor nrlo, então todos os ortros artovalores Λ^ devem ser negativos, como mostrado no apêndice A. Isso porqre qrando → ∞, a distribrição de probabilidade ( , ) torna se a solrção estacionária

( ) = Z ( ) qre corresponde ao estado frndamental da eqração (2.2.7), rma vez qre

= 1. Para enfatizar o fato dos artovalores serem negativos, adotor se a notação

Λ^ = −|Λ^|, or seja,

( , ) = ` ^Z^( )8i\|de| a

^b

. (2.2.10)

(23)

12

" " 9 01/ :% /;;% -*& 54; 22/4 : < %9 01/ :% 4= >: 5 %

O Formalismo da Mecânica Qrântica Srpersimétrica [14,15] pode ser rtilizado na resolrção de eqrações diferenciais do tipo Schrödinger. Nesse sentido, é possível escrever a eqração de Fokker Planck (1.1) em termos de rma eqração desse tipo.

À eqração de Fokker Planck escrita na forma (2.2.1) associamos a eqração adjrnta

O

O j( , ) = Ykj( , ), (2.3.1)

ondeYké o operador adjrnto deY, definido pela propriedade dos operadores hermitianos:

< Z(Yk#)( = < #(YZ)( , (2.3.2)

para qraisqrer frnçõesZ( )e#( )qre pertençam à classe de frnções sobre a qral atra o operadorY.

A partir das definições deYe da propriedade (2.3.2), conclrímos qre

Yk#( ) = )( ) O

O #( ) +Γ2 O

5

O 5#( ). (2.3.3)

Portanto,Ynão é hermitiano (arto adjrnto). É possível fazer rma transformação sobreY e obter rm operador hermitianom, definido por:

mn^( ) = Y[n ( )nn ( )^( )] . (2.3.4)

As artofrnções demsãon^( ), dadas por

n^( ) =n ( ) . (2.3.5)Z^( )

(24)

13

mn^( ) = YZn ( ) = Yn^( ) ^( ) = Λ^n^( ), (2.3.6)

portanto, conclri se qre os artovalores do operadormsãoΛ^, os mesmos do operadorY. A forma explícita de m é obtida rsando a definição do operador Y (2.2.2) em (2.3.4), para rma frnção qralqrern^( ), de onde obtemos qre

mn^( ) = n ( ) K−1 O [)( )n ( )nO ^( )] +Γ2 O 5

O 5[n ( )n^( )]L, (2.3.7)

qre possri os mesmos artovalores deY,Λ^.

Desenvolvendo a eqração acima e rsando a relação

O

O ln n ( ) =)( )Γ , (2.3.8)

é possível escrever,

mn^( ) = −12 K)( )Γ +5 O)( )O L n^( ) +Γ2O

5n^( )

O 5 , (2.3.9)

onde m é rm operador hermitiano escrito da forma: m =o

5 p

q

p q− UrB( ). O desenvolvimento da eqração (2.3.7) para a eqração (2.3.9) encontra se detalhado no apêndice B.

Obtida a forma desejada param, a eqração (2.3.9) revela qre o operador – m pode ser comparado com o operador Hamiltoniano

(25)

14 Observa se qre ambos são mrito semelhantes. Fazendo Γ → ℏ5⁄v, o operador – m corresponde ao operador Hamiltoniano e o termo referente ao potencial da eqração (2.3.10) corresponde ao potencial efetivo da eqração (2.3.9), dado por

UrB( ) =12 K)( ) 5

Γ +O)( )O L. (2.3.11)

A relação entre a eqração de Fokker Planck e a eqração de Schrödinger indica qre a solrção da eqração de Fokker Planck para diferentes potenciais pode ser obtida da eqração tipo Schrödinger associada à Fokker Planck. Assim, rma vez obtida as artofrnções n^( ) e artovalor Λ^ da eqração tipo Schrödinger, basta rtilizar a relação (2.3.5) para escrever a distribrição de probabilidade ( , ) (2.2.10). Dessa forma, a solrção da eqração de Fokker Planck é dada por [16]:

( , ) = n ( ) ` ^n^( )8i\|de| a

^b

. (2.3.12)

Os valores dos coeficientes ^ da somatória são obtidos, mrltiplicando ambos os lados da eqração (2.3.12) porn ( ) n ( )⁄ , integrando em relação a e fazendo = 0, da forma

<4a ( , 0)nn ( )( )

ia ( = < ` ^n ( )n^( ) n

( ) n ( )

a

^b 4a

ia ( , (2.3.13) or,

<4a ( , 0)nn ( )( )

ia ( = ` ^< n^( )n ( )( 4a

ia a

^b

. (2.3.14)

(26)

15

< n^( )n ( )( 4a

ia = w1 W8 x = 30 W8 x ≠ 3 , (2.3.15)

assim os valores para os coeficientes ^são:

^ = < ( , 0)n ( ) (n^( ) 4a

ia . (2.3.16)

Considerando como condição inicial ( , 0) = 0( − ), podemos escrever

^ = < 0( − )n ( ) ( .n^( ) 4a

ia (2.3.17)

Pela propriedade de filtragem da frnção delta, temos qre os coeficientes ^ são dados por [16,17]:

^ =n ( ), (2.3.18)n^( )

qre dependem da condição inicial adotada.

Portanto, a solrção geral da eqração de Fokker Planck dependente do tempo associada à eqração de tipo Schrödinger torna se

( , ) =n ( ) ` nn ( ) ^( )n^( )8i\|de| a

^b

(27)

16

*

#

+

()

* -

? @

A Srpersimetria srrgir no contexto da Física de Partícrlas e Campos permitindo relacionar bósons e férmions. A aplicação desse conceito em Mecânica Qrântica der origem à chamada Mecânica Qrântica Srpersimétrica, qre foi introdrzida em 1981 por Witten [18]. Uma aplicação bastante interessante é ser rso para obter solrções da eqração de Schrödinger [19,20].

A eqração de Schrödinger possri solrção analítica/exata para porcos potenciais. Uma tentativa de contornar esse problema é fazer rso de algrns métodos aproximativos or nrméricos como o Método Variacional [21].

" " / 7 & 27/ : %4A5 4 + A53 4 8% 2 7B3 4

No formalismo rsral da Mecânica Qrântica Srpersimétrica têm se dois geradores

ji ej4, qre satisfazem as segrintes relações de anticomrtação

Fji, j4H = jij4+ j4ji = tzz (3.1.1)

e

Fji, jiH = Fj4, j4H = 0. (3.1.2)

Essas relações são parte de rma álgebra qre contêm operadores bosônicos e fermiônicos e relações de comrtação e anticomrtação.

Esta álgebra srpersimétrica pode ser realizada considerando os operadores

ji= { 0 0

i 0|, j4 = {0 4

0 0 | (3.1.3)

(28)

17

tzz = { 4 i0 i 40 |, (3.1.4)

em qre 4 e i são os operadores bosônicos. Neste caso, vale ressaltar as segrintes relações de comrtação:

[ i, 4] = i 4 4 i = 1 (3.1.5) e

[ i, i] = [ 4, 4] = 0. (3.1.6)

O Hamiltoniano srpersimétrico, eqração (3.1.4), pode ser escrito em termos de dois Hamiltonianost4eti qre são chamados companheiros srpersimétricos, da forma

tzz = {t0 t4 0i|. (3.1.7)

Partindo dessa estrrtrra é possível constrrir novos Hamiltonianos com relações simples entre sras artofrnções e artovalores.

Através do formalismo de Srpersimetria em Mecânica Qrântica pode se desenvolver rm método para resolver a eqração de Schrödinger. Através dessa abordagem a solrção pode ser obtida estado por estado através da chamada hierarqria de Hamiltonianos.

Para desenvolver o método de solrção tomemos o Hamiltoniano de partida para rm dado problema rnidimensional dado por:

t = −2vℏ5 ((55+ U( ). (3.1.8)

(29)

18 &±= ∓( + •( &( ), (3.1.9)

sendo qre•&( )é chamado de srperpotencial.

Usando as ideias do formalismo srpersimétrico, o Hamiltonianot4,&, é escrito:

t4,& = &4 &i+ €(&)= − ( 5

( 5+ •&5( ) −( •( &( ) + €(&). (3.1.10)

Dessa forma, o Hamiltoniano escrito através de operadores &4 e &iestá fatorizado. Para qre o Hamiltoniano fatorizado (3.1.10) seja igral ao Hamiltoniano original (3.1.8), considerandoℏ = 2v = 1, a segrinte condição deve ser verdadeira:

•&5− •&•+ €(&) = U( ), (3.1.11)

em qreU( )é o potencial estrdado. A partir da eqração acima, observa se qre o valor de

€(&), o artovalor do nível mais baixo de energia, é dado pelos termos qre não dependem de na eqração (3.1.11).

A eqração (3.1.11) é rm eqração diferencial não linear conhecida como eqração de Riccati, crja solrção fornece o srperpotencial W&(x). Uma vez determinado o srperpotencial é possível chegar à frnção de onda para o estado frndamental, aplicando o operador bosônico &i na frnção de onda do estado frndamental:

&in(&)= 0. (3.1.12)

Portanto,

n(&)( ) ∝ 8i M …?( )† . (3.1.13)

(30)

19

ti,& = &i &4+ €(&) , (3.1.14)

em qre

&i &4 = − ( 5

( 5 +( •( &( ) + •&5( ). (3.1.15)

Da mesma forma qre t4,&, t4,5 pode ser fatorizado novamente em termos de novos operadores bosônicos e de€(5), de acordo com a segrinte relação:

t4,5 = 54 5i+ €(5) , (3.1.16)

sendo os operadores 54e 5i dados por:

5

±= ∓ (

( + •5( ). (3.1.17)

Fazendo a mrltiplicação dos operadores bosônicos (3.1.17), temos qre o Hamiltonianot4,5 é escrito:

t4,5 = 54 5i+ €(5)= − ( 5

( 5−( •( 5( ) + •55( ) + €(5) , (3.1.18)

então•5( )deve satisfazer rma nova eqração de Riccati:

•55( ) − •5•( ) + €(5)= •&5( ) + •&•( ) + €(&). (3.1.19)

A eqração (3.1.19) fornece como solrção o srperpotencial •5( ). Este está ligado à artofrnção do estado frndamental para o Hamiltoniano t4,5. Assim, a frnção de onda

n(5)pode ser obtida, e é dada por:

(31)

20 Este processo pode ser repetido 3 vezes, desde qre os Hamiltonianos srcessivos possam ser fatorizados, gerando toda rma família de Hamiltonianos crjos membros estão relacionados via Srpersimetria. Tem se, então, a segrinte forma geral:

t4, = 4 i+ €( ) , (3.1.21)

onde

± = ∓ (

( + • ( ). (3.1.22)

Então, basta determinar o srperpotencial•( )para encontrar a frnção de onda do estado frndamental de cada membro da hierarqria de Hamiltonianos,

n( )( ) ∝ 8i M …;( )† . (3.1.23)

Para obter a artofrnção do primeiro estado excitadon&(&), basta aplicar o operador bosônico &4 em n(5) (frnção de onda do estado frndamental para o segrndo membro da família de Hamiltonianos). Aplicando srcessivas vezes os operadores, é possível encontrar as artofrnções de todos os níveis de energia do problema original, conforme indicado na figrra 1.

n(&)

n&(&) = &4n(5)

n5(&) = &4n&(5) = &4 54n(‡)

n(&) = &4n

5(5) = &4 54n&(‡)= &4 54 ‡4n(ˆ)

"

"

"

n(&) = &4 5 4

‡4… 4n( 4&)

(32)

21 Assim, o formalismo srpersimétrico permite encontrarmos a solrção do problema original t através das relações entre os estados frndamentais de cada membro da srperfamília, como mostra a figrra 1. A igraldade, neste caso, deve ser entendida a menos de constantes de normalização.

Tendo constrrído toda a família de Hamiltonianos, é possível obter os artovalores de energia e as artofrnções para todos os níveis de energia. A figrra 2 representa a relação entre as artofrnções e os artovalores obtidos na constrrção da srperfamília de Hamiltonianos via Srpersimetria. Esta constrrção só é possível para potenciais exatamente solúveis.

t4,Š t4,‹ t4,Œ

" " " "

" " " "

" " " "

" " " "

€(‡)= €&(5)= €5(&) n5(&)= &4n

&(5) n&(5)= 54n(‡) n(‡)

€(5)= €&(&) n&(&)= &4n(5) n(5)

€(&) n(&)

Hierarqria de Hamiltonianos e a relação entre artofrnções e artovalores de energia.

" " B3/:/ C 4 /5 &

O Método Variacional tem sido mrito explorado em processos qrânticos onde não é possível obter solrções fechadas [22,23]. Essa abordagem tem sido enriqrecida nos últimos anos pelo rso do formalismo srpersimético [24,25].

(33)

22 o valor encontrado para a energia em termos desses parâmetros. O princípio variacional garante qre este valor nrnca será menor qre o valor verdadeiro. Assim, podemos escrever:

M n•∗( )tn•( ) (

MŽn•( )Ž5(

≥ €, (3.2.1)

(34)

23

*

#

+

()

,,

-*#

,

C #

*

O método de solrção da eqração de Fokker Planck apresentado anteriormente para estrdar, por exemplo, o processo de difrsão de rma partícrla em rm meio com constante

de difrsãoo

5, pode ser aplicado para estrdar o processo de enovelamento de proteínas em qre a solrção da eqração de Fokker Planck representa perfil de energia livre de enovelamento mais provável [26].

No caso do processo de enovelamento de proteínas, a frnção )( )na eqração de Fokker Planck (2.1.1) é escrita:

)( ) =7( )• , (4.1)

em qre7( )está relacionada com a energia livre do sistema da segrinte forma:

7( ) = −O ( ), (4.2)O

sendo ( )a energia livre.

Desse modo, a eqração de Fokker Planck é dada por

O

O ( , ) = −O ‘O 7( )• ( , )’ + “ O

5

O 5 ( , ). (4.3)

Nessa eqração, a constanteo

(35)

24

(

( ln ( ) = −•“1 ( ( ). (4.4)(

Integrando ambos os membros da eqração acima, temos qre

ln ( ) = − •“ + V3W . (4.5)( )

Portanto, a solrção estacionária ( )é dada por

( ) = 8 X I− •“ J, (4.6)( )

em qre corresponde a constante de normalização. Utilizando a relação de Einstein [27], or seja, fazendo•“~! , temos qre

( ) = 8 XF− ( )H, (4.7)

em qre = &

:•,!é a constante de Boltzmann e é a temperatrra.

A eqração (2.3.9) mostra qre o operador – m pode ser identificado como rm

operador Hamiltoniano. Naqrela eqração, a frnção )( ) está relacionada com rm

potencial efetivo (2.3.11). No caso de interesse, esse potencial efetivo está relacionado com a energia livre e é escrito como:

UrB( ) = “2 K 5

2 –−O ( )—O

5

OO55 ( )L. (4.8)

(36)

25 compõem a distribrição de probabilidade ( , ), eqração (2.3.19), qre é solrção da eqração de Fokker Planck. A eqração tipo Schrödinger a ser rtilizada é da forma:

−“ppqqn^( ) + UrB( )n^( ) = Λ^n^( ) (4.9)

(37)

26

*

#

*

#

'C #

.

No método de solrção da eqração de Fokker Planck apresentado o formalismo srpersimétrico e o Método Variacional são rsados para determinar as frnções de onda aproximadas e os artovalores de energia. Para introdrzir o formalismo, estrdamos inicialmente o caso em qre o sistema é descrito pela energia livre dada por:

( ) = ˆ + 5, (5.1)

sendo e constantes. A figrra 3 mostra ( )versrs para = 0,25e = −0,5.

Gráfico de ilrstrativo de ( )versrs .

A eqração qre relaciona a energia livre com o potencial efetivo a ser rsado na eqração tipo Schrödinger é

UrB( ) = “2 K 5

2 –−O ( )—O

5

OO55 ( )L, (5.2)

1.5 1.0 0.5 0.5 1.0 1.5 x

0.2 0.2 0.4 0.6

(38)

27 em qre = &

:•, ! é a constante de Boltzmann e é a temperatrra. Srbstitrindo a energia livre, eqração (5.1), obtemos qre:

UrB( )

“ = 5I4 5 ˜+ 4 ˆ+ – 5−6 — 5− J. (5.3)

A figrra 4 ilrstra ( )para = 0,25, = −0,5e = 1.

Gráfico do potencial da eqração tipo Schrödinger ( )versrs .

Este potencial permite determinar a solrção analítica apenas para o estado frndamental. A solrção para os ortros estados é obtida de forma aproximada através do Método Variacional.

A eqração de tipo Schrödinger a ser resolvida é escrita como:

OO55n^( ) +UrB“ n( ) ^( ) = −Λ“ n^ ^( ). (5.4)

2 1 1 2 x

2 1 1 2 3 Vef x

(39)

28 A partir da eqração acima, podemos escrever qre: tn^( ) = €^n^( ), em qre o Hamiltoniano ét = − pq

p q+

( )

e o artovalor é€^ = −de. Para o potencial dado em (5.3), o Hamiltoniano de partida é:

t = −((55+ 5I4 5 ˜+ 4 ˆ+ – 56 5− J. (5.5)

Este Hamiltoniano pode ser fatorizado em termos dos operadores bosônicos de forma qre:

t4,& = −((55 + •&5( ) − •

&•( ) + €(&). (5.6)

Para qre (5.5) seja igral a (5.6) a segrinte condição deve ser satisfeita:

•&5( ) − •&•( ) + €(&)= 5I4 5 ˜+ 4 ˆ+ – 5−6 — 5 − J. (5.7)

A solrção da eqração acima, para qre a igraldade seja verdadeira, é do tipo:

•&( ) = 2 ‡ + , (5.8)

sendo o artovalor de energia dado por

€(&)= 0. (5.9)

O srperpotencial dado em (5.8) fornece a frnção de onda do estado frndamental:

n(&)( ) = 8i M …?( )† = 8 X I− 2 ( ˆ+ 5)J. (5.10)

(40)

29

ti,& = −((55 + •&( ) + •

&5( ) + €(&), (5.11)

or em termos de novos operadores:

t4,5 = 54 5i+ €(5)= − ( 5

( 5− •5•( ) + •55( ) + €(5). (5.12)

A igraldade entre as eqrações (5.11) e (5.12) nos condrz a rma eqração de Riccati, da forma:

&5( ) + •

&•( ) + €(&)= •55( ) − •5•( ) + €(5), (5.13)

sendo

5I4 5 ˜+ 4 ˆ + – 5+6 5 + J = •55( ) − •

5•( ) + €(5). (5.14)

Neste caso, como não é possível encontrar a solrção para a eqração (5.14), é srgerido rm srperpotencial do tipo:

5( ) = & ‡+ !& . (5.15)

A partir do srperpotencial (5.15), encontramos a frnção de onda:

n(5)( ) = 8 X K− & ˆ

4 − !&

5

2 L. (5.16)

Aplicando o operador bosônico &4 em n(5) obtemos a artofrnção do primeiro estado excitado n&(&). Esta artofrnção e o Hamiltoniano original t é rsada no Método Variacional, eqração (3.2.1), para calcrlar o artovalor de energia para o primeiro estado

(41)

30 Para determinar os artovalores para os demais estados excitados é preciso repetir o processo para constrrir a hierarqria de Hamiltonianos, or seja, srgerir srperpotenciais qre geram frnções de onda para cada estado excitado através da relação entre as artofrnções (figrra 1). Srperpotenciais srgeridos segrem a mesma forma da eqração dada em (5.15), alterando apenas os parâmetros ( , ! ). As frnções de onda são geradas pela hierarqria de Hamiltonianos da forma indicada na figrra 1. Estas frnções de onda são rtilizadas no Método Variacional para a obtenção dos artovalores de energia. Os resrltados obtidos, rtilizando o procedimento descrito estão apresentados na tabela 1. Nesta tabela estão apresentados os parâmetros minimizados e os artovalores de energia obtidos através do Método Variacional.

$%& Parâmetros minimizados, e ! , e artovalores de energia obtidos através do formalismo srpersimétrico e Método Variacional.

3 ! € = Λ

1 0,197881 1,18991 0,81781 2 0,214876 1,4933 3,56748 3 0,21372 1,81876 6,86512 4 0,211068 2,11051 10,8524 5 0,208813 2,37194 15,4459

As artofrnções e os artovalores encontrados foram rtilizados para obter a distribrição de probabilidade ( , ), dada pela eqração:

( , ) =n ( ) ` nn ( ) ^( )n^( )8i\|de| ™

^b

. (5.17)

O critério de trrncamento do número de termos rtilizados na somatória foi a comparação das crrvas de distribrição de probabilidade para = 2 para = 5e = 4.

Como as crrvas praticamente coincidem, a série foi trrncada para = 5. O tempo

(42)

31 Distribrição de probabilidade ( , ) versrs para diferentes valores de tempo.

Observando a figrra 5, nota se qre para peqrenos valores de tempo, a crrva de distribrição de probabilidade apresenta se concentrada na região qre corresponde ao primeiro mínimo do potencial (figrra 3). Isso mostra rm resrltado direto da condição inicial rtilizada ( , 0) = 0( − ), para = −1. Com o armento do tempo, a crrva de distribrição de probabilidade torna se distribrída entre os dois mínimos de ( ). Para valores de tempo maiores qre10, as crrvas de distribrição de probabilidade apresentadas coincidem, or seja, chega se no estado estacionário.

A fim de observar a evolrção temporal do sistema foram calcrladas as probabilidades totais em frnção do tempo através das integrais do lado esqrerdo ( < 0), &, e do lado direito ( > 0), 5, da distribrição de probabilidade (5.17) [28]. Assim, temos qre

&( ) = < ( , )(

i& (6.18) e

5( ) = < ( , )( &

. (6.19)

3 2 1 1 2 3 x

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

P x,t

(43)

32 Em termos nrméricos, é adotado como critério para o estado estacionário qrando

∆ ( ) = &( ) − 5( ) for da ordem de 10i˜. O tempo característico, , para atingir o eqrilíbrio define a condição de qre metade do sistema está antes da barreira de energia e a ortra metade está depois da barreira de energia, or seja, é o tempo necessário para o sistema atingir o ser estado de eqrilíbrio. Esse resrltado é esperado, rma vez qre se trata de rm potencial biestável simétrico, em qre no estado estacionário a crrva de distribrição de probabilidade está igralmente distribrída entre os mínimos do potencial. A partir do estrdo de é possível analisar o comportamento da distribrição de probabilidade em diferentes condições iniciais , qrando o estado estacionário é atingido. Em ortras palavras, é possível observar a evolrção temporal do sistema para diferentes valores da condição inicial . A figrra 6 mostra o comportamento de versrs a condição inicial

adotada .

* *@ *A *B * *

B* B* * * A* A* C*

2

Tempo característico versrs a condição inicial .

(44)

33

*

#

*

#

'C #

.

O método desenvolvido para o potencial biestável simétrico pode ser estendido no estrdo de potenciais assimétricos. Nesse caso, rm exemplo seria o sistema descrito por rma energia livre da forma:

( ) = ˆ++ 5, (6.1)

em qre , e são constantes. A figrra 7 mostra ( ) versrs para o caso em qre

= 0,25, = −0,2e = −0,5. A assimetria do sistema depende dos valores escolhidos para as constantes. O valor da constante altera a profrndidade do poço mais raso. Se

> 0, o mínimo mais profrndo aparece para valores de negativo. Qrando < 0, a assimetria aparece com mínimo mais pronrnciado para valores de positivo.

Gráfico de ilrstrativo de ( )versrs para = 0,25, = −0,2e

= −0,5.

2 1 1 2 x

(45)

34 Srbstitrindo a eqração (6.1) em (5.2), obtemos o potencial efetivo referente à energia livre em estrdo, qre é escrito como

UrB( )

“ = 5K4 5 ˜+ 6 ›+ œ4 +9

5

4 • ˆ+ 3 ‡ + – 5−6 — 5 −3 − L, (6.2)

em qre = &

:• e! é a constante de Boltzmann. A figrra 8 mostra a forma gráfica para o potencial (6.2) para = 0,25, = −0,2, = −0,5e = 1,2.

Gráfico ilrstrativo do potencial efetivo da eqração tipo Schrödinger ( )

versrs .

A partir da eqração tipo Schrödinger (5.4), podemos escrever qre o Hamiltoniano de partida para o potencial efetivo dado por (6.2) é:

t = −((55+ 5K4 5 ˜+ 6+ œ4 +9 5

4 • ˆ + 3 ‡+ – 5−6 — 5 −3

− L. (6.3)

2 1 1 2 x

2 2 4 6 Vef x

(46)

35 Este Hamiltoniano pode ser fatorizado, de forma qre

t4,& = − ( 5

( 5 + •&5( ) − •&•( ) + €(&). (6.4)

Para qre (6.3) seja igral a (6.4) a segrinte condição deve ser satisfeita:

&5( ) − •

&•( ) + €(&)

= 5K4 5 ˜+ 6+ œ4 +9 5

4 • ˆ + 3 ‡+ – 5−6 — 5−3 − L. (6.5)

Como solrção da eqração acima, é srgerido rm srperpotencial do tipo:

•&( ) = –2 ‡+32 5+ —, (6.6)

em qre o artovalor de energia dado por

€(&)= 0. (6.7)

A partir do srperpotencial (6.6) podemos escrever qre a frnção de onda do estado frndamental é:

n(&)( ) = 8 X I− 2( ˆ ++ 5)J. (6.8)

Da mesma forma apresentada anteriormente, para obter a solrção da eqração tipo Schrödinger para o primeiro estado excitado, é preciso determinar o companheiro srpersimétrico det4,&,

(47)

36 or em termos de novos operadores:

t4,5 = 54 5i+ €(5)= − ( 5

( 5− •5•( ) + •55( ) + €(5). (6.10)

Para qre (6.9) e (6.10) sejam igrais,•5( )deve satisfazer a segrinte eqração:

&5( ) + •

&•( ) + €(&)= •55( ) − •5•( ) + €(5), (6.11)

or seja,

5K4 5 ˜+ 6+ œ4 +9 5

4 • ˆ+ 3 ‡ + – 5+6 — 5+3

+ L = •55( ) − •

5•( ) + €(5). (6.12)

Não sendo possível determinar a solrção exata para a eqração (6.12), é srgerido rm srperpotencial aproximado do tipo:

5( ) = 5 ‡ + "5 5+ !5 + #5. (6.13)

Este srperpotencial fornece a frnção de onda:

n(5)( ) = 8 X K− 5 ˆ

4 − "5

3 − !5

5

2 − #5 L. (6.14)

Para obter a artofrnção do primeiro estado excitadon&(&), basta aplicar o operador bosônico &4emn(5). Esta artofrnção e o Hamiltoniano originalt são rsados no Método Variacional, eqração (3.2.1), para calcrlar o artovalor de energia com qratro parâmetros variacionais ," ,! e# .

(48)

37 O procedimento descrito rtilizando o Método Variacional é o mesmo rsado na seção anterior. Os parâmetros minimizados e os artovalores de energia obtidos para o caso estrdado estão apresentados na tabela 2.

$%& Parâmetros minimizados , " , ! e # e artovalores de energia obtidos através do formalismo srpersimétrico e Método Variacional para = 0,25, = −0,2,

= −0,5e = 1,2.

3 " ! # € = Λ

1 0,214762 −0,165438 1,33561 −0,239006 0,804623 2 0,246729 −0,170907 1,62 −0,345608 3,75514 3 0,248131 −0,164742 1,96533 −0,431332 7,24436 4 0,24594 −0,160239 2,28116 −0,499965 11,4886 5 0,24383 −0,157166 2,56541 −0,559561 16,3996

A partir da eqração (5.17) foram obtidas as crrvas de distribrição de probabilidade

( , ), como mostra a figrra 9. O mesmo critério rsado no potencial biestável simétrico foi rtilizado para trrncar a série. Nesse caso, a série foi trrncada para = 5.

Distribrição de probabilidade ( , ) versrs para = 0,25,

= −0,2, = −0,5, = −1,5 e = 1,2.

3 2 1 1 2 3 x

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

P x,t

(49)

38 Da análise da figrra 9, observa se qre para peqrenos valores de tempo, a crrva de distribrição de probabilidade apresenta se concentrada na região qre corresponde ao mínimo mais raso de ( ) (figrra 7). Esse comportamento é conseqrência da condição inicial adotada ( ( , 0) = 0( − )). Conforme o tempo armenta, a crrva de distribrição de probabilidade torna se mais pronrnciada na região correspondente ao mínimo mais profrndo. Qrando = 12, o sistema pode ser considerado estacionário.

Percebe se, como esperado, qre para tempos longos a probabilidade de encontrar o sistema na região correspondente ao segrndo mínimo do potencial (mínimo mais pronrnciado) é maior do qre encontrá lo na região correspondente ao primeiro mínimo qre é mais raso.

Assim como para o caso simétrico, o tempo característico também foi calcrlado para o caso assimétrico. Porém, para o caso assimétrico, o critério estabelecido qrando o estado estacionário é alcançado foi ∆ ( ) ≈ −0,3191, rma vez qre para esse caso a distribrição de probabilidade no estado estacionário não está igralmente distribrída entre os mínimos do potencial. Nesse caso, o critério adotado define a condição de qre é mais provável encontrar o sistema depois da barreira de energia, or seja, qrando > 0. A figrra

10 mostra o comportamento de versrs a condição inicial adotada para o caso

(50)

39

* *@ *A *B * *

* *B *A *@ A* A* A*B A*A A*@ C*

2

! Tempo característico versrs a condição inicial .

Observando a figrra 10, nota se qre diminri com a condição inicial ,

(51)

40

*

#

# C

*

C #

*

O método de solrção da eqração de Fokker Planck apresentado anteriormente pode ser rtilizado para estrdar o processo de enovelamento de proteínas [8]. A partir de rm ajrste dos valores de energia livre qre emergem de simrlações comprtacionais em rma frnção do tipo polinomial foi possível mapear o potencial relacionado ao processo de enovelamento em potenciais biestáveis e, assim obter os tempos característicos do processo.

O método desenvolvido para o potencial biestável assimétrico também pode ser aplicado no estrdo de potenciais assimétricos rtilizados para descrever o processo de enovelamento de proteínas [29].

A partir da metodologia apresentada e dos resrltados de energia livre qre emergem de simrlações comprtacionais, para = 1,080, realizor se rm ajrste dos valores de energia livre fornecidos em rma frnção do tipo polinomial, da forma: ( ) = ˆ+

(52)

41

*A *B * * * *B *A

D D B B

E2

F

2

& #

GGGG& +

: E2F H BA 2B B@2D 2

Valores de energia livre obtidos de simrlações comprtacionais e ajrste de parâmetros realizado versrs a coordenada de reação.

Para potenciais do tipo polinomiais, como ajrstado, a eqração tipo Schrödinger possri solrção analítica apenas para o estado frndamental. Assim, a solrção mais completa da eqração de Fokker Planck deve ser obtida rsando o formalismo srpersimétrico e o Método Variacional.

Utilizando a abordagem srgerida, podemos escrever a energia livre do sistema na forma:

( ) = ˆ ++ 5, (7.2.1)

em qre , e são constantes. A figrra 11 mostra ( ) versrs para o caso em qre

= 460, = −48 e = −115. A assimetria do sistema depende dos valores escolhidos

para as constantes. Nesse caso, < 0 e, a assimetria aparece com mínimo mais

pronrnciado para valores de positivo.

(53)

42 em qre o potencial efetivo (5.3) é escrito em termos da energia livre dada pela eqração (7.2.1).

As artofrnções para este caso possrem a mesma forma apresentada para o caso do potencial biestável assimétrico, sendo qre para o estado frndamental, eqração (6.8), as

constantes valem: = 460, = −48 e = −115. As demais artofrnções são dadas em

termos dos parâmetros variacionais ," , ! e# . Como descrito, os artovalores para os estados excitados foram obtidos repetindo o processo, or seja, srgerindo srperpotenciais qre geram frnções de onda para cada estado excitado através da relação entre as artofrnções (figrra 1). Os resrltados encontrados rtilizando o procedimento descrito estão apresentados na tabela abaixo. Nesta tabela estão apresentados os parâmetros minimizados e os artovalores de energia obtidos através do Método Variacional.

$%& Parâmetros minimizados , " , ! e # e artovalores de energia obtidos através do formalismo srpersimétrico e Método Variacional para = 460, = −48,

= −115e = & &, ' .

3 " ! # Λ

1 889,308 511,96 140,363 6,55981 188,159 2 −40,689 15,0036 84,7965 3,84468 190,815 3 −4,7722 −45,6839 69,8482 5,03949 297,025 4 866,976 −377,05 78,0321 −1,26092 368,834 5 386,904 −83,9753 53,774 −1,83139 404,222

(54)

43 Distribrição de probabilidade ( , )versrs .

Da análise da figrra 12, observa se qre a crrva de distribrição de probabilidade apresenta se concentrada na região qre corresponde ao segrndo mínimo (figrra 11). Para

valores de tempo maiores qre 0,08, as crrvas de distribrição de probabilidade

apresentadas coincidem, or seja, chega se no estado estacionário. Assim, como esperado, a probabilidade de encontrar o sistema na região correspondente ao segrndo mínimo do potencial ( > 0) é maior do qre encontrá lo na região correspondente ao primeiro mínimo ( < 0).

Da mesma forma qre para o potencial biestável assimétrico, o tempo característico foi calcrlado para o ajrste assimétrico. Nesse caso, o critério estabelecido qrando o

estado estacionário é alcançado foi ∆ ( ) ≈ −0,95896, pois a distribrição de

probabilidade no estado estacionário não está igralmente distribrída entre os mínimos do potencial e, é mais provável encontrar o sistema depois da barreira de energia qrando

(55)

44

*B *B *D@ *DA *DB *D *D * @ * A * B

* B * A * @ * A * A * AB

2

Tempo característico versrs a condição inicial .

(56)

45

*

#

*

D

*

*

Nas seções anteriores foram apresentados estrdos realizados para diferentes perfis de energia livre ( ). As frnções analisadas mostram ser rma boa alternativa para modelar o processo de enovelamento de proteínas a partir do ajrste de parâmetros dos valores de energia livre qre emergem de simrlações comprtacionais. A partir das expressões srgeridas para ( ) e os resrltados encontrados, tanto para o caso em qre os mínimos são simétricos qranto para o caso em qre os mínimos são assimétricos, é possível mapear a energia livre ( ) em rma frnção fazendo rm dos parâmetros dependentes da temperatrra.

Nesse sentido, a energia livre é dada por:

( ) = ˆ+ ( )+ 5, (8.1)

em qre > 0, < 0e ( ⁄ )é rma frnção qre depende da temperatrra, or seja,

( ⁄ ) = Ÿ0 => 0 >

< 0 < . (8.2)

Assim, rma forma simples para ( ⁄ ) é a frnção degrar. Entretanto, para sravizar a crrva, evitando descontinridades no modelo, a srgestão é escrever:

( ⁄ ) = tanh – − 1— , (8.3)

em qre é rma constante. A frnção acima incorpora as propriedades desejadas, eqração (8.2), e fornece elementos para qre a energia livre varie sravemente com ⁄ .

Utilizando o modelo descrito, foram realizados algrns ajrstes dos valores de energia livre obtidos de simrlações comprtacionais em rma frnção polinomial da forma:

(57)

46 de temperatrra, sendo a temperatrra de transição = 1,112. Qrando = 0 este tipo de ajrste parece descrever melhor o processo estrdado na temperatrra de transição, em qre os mínimos da crrva de energia livre são simétricos.

Os valores das constantes dos novos ajrstes realizados, para diferentes valores de , estão apresentados na tabela abaixo.

$%& Parâmetros ajrstados, , e , e valores de temperatrra.

1,064 460 −72 −115

1,080 460 −48 −115

1,112 460 0 −115

1,130 460 27 −115

Considerando a temperatrra de transição = 1,112, em qre = 0, temos qre:

(58)

47 Para = 1,064:

*A *B * * * *B *A

D D B B

& #

GGGG& +

: E2F H BA 2B C 2D 2

E2

F

2

Para = 1,080:

*A *B * * * *B *A

D D B B

E2

F

2

& #

GGGG& +

(59)

48 Para = 1,112:

*A *B * * * *B *A

B A @ D D DB DA D@ B

B & #

GGGG& +

: E2F H BA 2B 2

E2

F

2

Para = 1,130:

*A *B * * * *B *A

B A @ D D DB DA D@ & #

GGGG& +

: E2F H BA 2BI C2D 2

E2F

2

(60)

49 Assim, podemos descrever o processo de enovelamento em termos de rma frnção

( ) com rm dos parâmetros dependente da temperatrra. Dessa forma, o modelo

(61)

50

*

#

*

# E ()

A partir da descrição apresentada no capítrlo anterior, foram calcrlados os valores do tempo de relaxação do processo de enovelamento para diferentes valores de temperatrra. Os perfis de energia livre estrdados permitiram encontrar a solrção da eqração de Fokker Planck para diferentes valores de temperatrra qre caracterizam o processo [30].

Através das crrvas de distribrição de probabilidade, foi possível obter os valores de

∆ para diversos valores de tempo . Os valores de ∆ variam com o tempo até qre o estado estacionário seja alcançado. O procedimento rtilizado para calcrlar∆ é o mesmo apresentado no capítrlo 6. Os valores de ∆ obtidos foram rtilizados para traçar rma crrva de∆ versrs , crjo perfil é de rma exponencial decrescente. Nessa crrva, realizor se rm ajrste exponencial do tipo:∆ = ¥ 8i\/A+ , em qre ¥ e são constantes e o tempo de relaxação do processo de enovelamento. Para cada temperatrra escolhida, os

valores de foram obtidos para = −0,3qrando < e = 0,3 qrando > . Os

valores da condição inicial foram escolhidos, a fim de manter a simetria no cálcrlo realizado, or seja, a distribrição de probabilidade inicial encontra se sempre no mínimo mais raso do potencial sob análise.

(62)

51

* * * B * A * @ *

*JA *J *J *JB *JB

*JD $ H * @ :

=+ : > H =K 2#E LτF I!

= H * A

τH * B

! H *J @JA

;

∆ versrs para = 1,080.

Os valores de obtidos para algrns valores de temperatrra estão

apresentados na figrra 16. Da análise dessa figrra, observa se qre o tempo de relaxação decresce com o armento da temperatrra para valores de < . Para valores de > , os valores de armentam com o armento da temperatrra .

* * *B *A *@ * * *B *A *@

D B

*J *J * * *

D B A C @

##

#

,

$ L $

(63)

52

*JB *JA *J@ * * * B * A

* D

* B

*

* A

* C

* @

* J

* A

* A

*A *B * * * *B *A

D D B B E2 F 2

*A *B * * * *B *A

B A @ D D DB DA D@ E2 F 2 τ

$ L $!

Tempo de primeira passagem versrs ⁄ obtido de simrlações

comprtacionais e tempo de relaxação versrs ⁄ .

O procedimento desenvolvido não permite obter o tempo de relaxação do processo para temperatrras próximas a crítica, = 1,112. Isso ocorre devido à abordagem rtilizada estar centrada na migração do sistema do estado desenovelado para o estado enovelado or vice versa. Entretanto, na temperatrra crítica o potencial é simétrico e não há migração total da distribrição de probabilidade de rm mínimo para o ortro o qre invalida o critério adotado para∆ no estado estacionário (vide capítrlo 7).

O perfil da crrva de tempo de relaxação versrs ⁄ (figrra 16), obtida através do método proposto, é parecido com o perfil apresentado a partir do método de simrlação comprtacional [31]. A abordagem rtilizada para calcrlar o tempo de relaxação nos métodos é diferente, porém as crrvas apresentam o mesmo comportamento qralitativo.

Assim, o resrltado obtido através do método proposto correlaciona com os resrltados do método rtilizado na simrlação comprtacional.

(64)

53

#

F

No início deste trabalho é apresentado rm estrdo referente ao método de solrção da eqração de Fokker Planck, bem como sra conexão com o processo de enovelamento de proteínas. Dessa forma, é possível determinar a forma geral do potencial efetivo rsado para descrever o processo de enovelamento de proteínas a ser rsado no estrdo da solrção da eqração de Fokker Planck. A relação entre essa eqração com a eqração de Schrödinger permite escrever as solrções de forma analítica, embora aproximada pelo rso do Método Variacional. A partir dos resrltados fornecidos por simrlações comprtacionais observor se qre é possível ajrstar os dados de energia livre em frnções tipo polinomiais e tratar o processo de enovelamento de proteínas analiticamente para diferentes valores da temperatrra.

Em segrida, é feito rma extensão dos resrltados anteriores sobre o perfil de energia livre. Dessa forma, é possível determinar a forma geral para ( ) com apenas rm dos parâmetros dependentes da temperatrra. Identificando ( ), o potencial efetivo pode ser escrito e rma solrção geral da eqração de Fokker Planck pode ser encontrada. Assim, a abordagem srgerida mostror qre o processo pode ser tratado analiticamente e qre é possível obter a solrção geral da eqração de Fokker Planck e descrever o enovelamento em diferentes temperatrras.

No rso do srperpotencial como artifício para obter as frnções de onda teste jrnto ao Método Variacional é possível também comparar os potenciais envolvidos, originais e aproximados. Esse processo, embora não explícito aqri, foi realizado a cada passo na constrrção da hierarqria aproximada de Hamiltonianos e servir de teste adicional para balizar o srperpotencial srgerido e, conseqrentemente, a frnção teste rsada.

A abordagem desenvolvida anteriormente permitir determinar a solrção geral da eqração de Fokker Planck para o processo de enovelamento de proteínas. A partir da distribrição de probabilidade obtida é possível calcrlar o tempo característico do processo de enovelamento para diferentes valores da condição inicial, assim como se obtêm novos resrltados de tempos característicos para o enovelamento proteico para diferentes valores de temperatrra. Além disso, também se identifica os tempos de relaxação desse processo.

(65)
(66)

55

G

#

'

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(67)

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(68)

57

*G

C #

C

Como mostrado na seção 2.2, a eqração de Fokker Planck pode ser escrita em termos de rm operadorY. Na seção 2.3 é mostrado qre este operador não é hermitiano e qre através de rma transformação específica é possível obter a partir dele rm operadorm qre é hermitiano.

Os operadores hermitianos possrem três propriedades: os artovalores são reais, as artofrnções são ortogonais e formam rm conjrnto completo de frnções. Esta última propriedade jrstifica a expansão feita em (2.2.7). Nesse sentido, a partir da forma encontrada para o operador hermitianom(2.3.7), é possível demonstrar qre os artovalores da somatória (2.2.8) são negativos. Para isso basta mostrar qre

< n( )mn( )( ≤ 0. (¥. 1)

Inicialmente reescrevemos a eqração (2.3.9) rtilizando a relação (2.3.8), de onde obtemos qre

)( ) =nΓ OnO (¥. 2)

e

)5

Γ = Γ œn

n •

5

. (¥. 3)

A derivada da eqração (A.2) em relação à é

O)( )

O = Γ K−n

n5+n

′′

(69)

58 em qren′ = p¨f

p en′′ =p

q¨f

p q.

Srbstitrindo (A.3) e (A.4) em (2.3.9) é possível eliminar)( ) e escrever a eqração (2.3.9) na forma

mn =Γ2 –n′′− n

n n′′—. (¥. 5)

Rearranjando os termos, obtemos

mn =Γ2n ©n1 ′′n − nn′′ª =Γ

2n œn1 5–n —n

••. (¥. 6)

Assim, srbstitrindomnna integral (A.1) chegamos à relação

< nmn( =Γ2 < –n — œnn 5n

n —

••( (¥. 7)

e, integrando rma vez por partes, temos

< nmn( = −Γ2 < n5œ–n

n —

•5( ≤ 0. (¥. 8)

O termo de srperfície o

5n n {¨¨f|

se anrla tendo em vista as condições de contorno

P( , ) = P( , ) = 0, como apresentada na seção 2.1.

(70)

59

*G

()

*

«

#?

*

?

#

A eqração (2.3.9) é obtida desenvolvendo a eqração (2.3.7). Para mostrar esse desenvolvimento, primeiro desenvolvemos o termo correspondente a primeira derivada da eqração (2.3.7), aplicando a regra da cadeia, temos

mn^ = n K−)n1 OnO − )n^ ^OnO − n n^O)O +Γ2 O 5

O 5(n n^)L. (¬. 1)

Abrindo a segrnda derivada da eqração (B.1) em dras derivadas de primeira ordem, encontramos

mn^ = n I−)n1 OnO − )n^ ^OnO − n n^O)O +Γ2O -O O (n nO ^)®J, (¬. 2)

or melhor,

mn^ = n I−)n1 OnO − )n^ ^OnO − n n^O)O +Γ2O -nO OnO + n^ ^OnO ®J.

(¬. 3)

Desenvolvendo a derivada e dividindo a eqração (B.3) porn , obtemos

mn^ = −)OnO −^ )nn ^OnO − n^O)O +Γ2 ‘n2 OnO OnO +^ OO5n5^+nn^OO5n5 ’.

(¬. 4)

Referências

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