Desenvolvimento de esquema upwind para equações de conservação e implementação de...

(1)

(2)

Miguel Antonio Caro Candezano

Orientador:

Prof. Dr. Valdemir Garcia Ferreira

Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas

e de Computação - ICMC-USP, como parte dos

requisitos para obtenção do título de Doutor em

Ciências - Ciências de Computação e Matemática

Computacional.

VERSÃO REVISADA

USP – São Carlos

Dezembro de 2012

SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP

Data de Depósito:

(3)

e Seção Técnica de Informática, ICMC/USP,

com os dados fornecidos pelo(a) autor(a)

C292d

Caro Candezano, Miguel Antonio

Desenvolvimento de esquema upwind para equações de

conservação e implementação de modelagens URANS com

aplicação em escoamentos incompressíveis / Miguel

Antonio Caro Candezano; orientador Valdemir Garcia

Ferreira. -- São Carlos, 2012.

171 p.

Tese (Doutorado - Programa de Pós-Graduação em

Ciências de Computação e Matemática Computacional)

--Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação,

Universidade de São Paulo, 2012.

1. termos convectivos. 2. leis de conservação. 3.

equações de Navier-Stokes. 4. escoamentos com

(4)

em quetivede me fazerausente de suasvidasnosmomentos quemaismepreisavam. A voês,

(5)

(6)

Ao meuamigo e orientador Prof. Dr. Valdemir Garia Ferreira pela disponibilidade, apoio,

on-ança,seus ensinamentos e orientações, e prinipalmente pela paiênia.

Aos meus pais, Luz María e Miguel Antonio pelo grande amor, paiênia, ompreensão e grande

apoio aolongo detodososestudos. Também, aosmeusirmãos J.Carlos,Sabas, Rebea,Gladys,Luz

Mary,Patriia,Julio e Luisa.

Ao meus amigos Alysson N. Silva, Alexandre DeLaassa e Rafael A.Figueiredo pelos onselhos,

pela ajudae pela ompanhianosmomentosdifíeis.

Ao meu amigo Everton Alvares Cherman, por toda ajuda nos momentos mais difíeis da minha

estadiano Brasil.

Aosmeus amigosLais,Patríia,Josuel, Giseli, Larisa,Douglas, Juliana, Italoe Gabriela por toda

ajuda eompreensão.

Aosmeus amigos Alfredo, Henry,John, Ingrid, Edwin, Jeinny, Rodolfoe Miguel por suaamizade

e ompanhia.

Aosfunionários doICMC-USPportoda dediação,emespeialao LeonardoMartinussi por toda

suapaiêniae ajuda.

AtodososprofessoresdoLMACC-ICMC/USP,emespeialaoProf. Dr. GustavoCarlosBusaglia

pelos ensinamentos e reexões.

A CAPES om o programa PEC-PG, pelo suporte naneiro onedido para realização do meu

projetode pesquisa.

Finalmente, agradeço a todos que direta ou indiretamente ontribuíram para a realização deste

trabalho.

(7)

(8)

Nesta tese é apresentado umesquema novo de alta resolução upwind (denominado TDPUS-C

3

)

parareonstrução de uxos numérios paraleis deonservação não lineares e problemas relaionados

em DFC. O esquema é baseado nos ritérios de estabilidade CBC e TVD e desenvolvido utilizando

ondiçõesdedifereniabilidade

C

3

. Alémdisso,érealizadaaimplementaçãodaassoiaçãodoesquema

TDPUS-C

3

om a modelagem de turbulênia

RN G κ

−

ε

. O propósito é obter soluções numérias

de sistemas hiperbólios de leisde onservação para dinâmia dos gases e equações de Navier-Stokes

paraesoamento inompressível deuidos newtonianos enão newtonianos (visoelástios). Fazendo o

usodo esquema TDPUS-C

3

, a preisãoglobal dosmétodosnumérios é veriada aessando o erro

em problemas teste (benhmark) 1D e 2D. Um estudo omparativo entre os resultados do esquema

TDPUS-C

3

eosdeesquemasupwindonvenionaisparaleisdeonservaçãohiperbóliasomplexasé

tambémrealizado. Aassoiaçãodasmodelagensnumérias(upwindingmais

RN G κ

−

ε

)é,então,

exa-minada nasimulação de esoamentos turbulentos de uidosnewtonianos envolvendo superfíies livres

móveis, usandoa metodologia URANS. No geral, emtermos do omportamento global, onordânia

satisfatória éobservada.

Palavras-have:: termosonvetivos,leisdeonservação,apturadehoque,equaçõesdeNavier-Stokes,

(9)

(10)

In this thesis, a new high-resolution upwind sheme (named TDPUS-C

3

) for reonstrution of

numerialuxesfornonlinearonservationlawsandrelatedCFDproblemsispresented. Theshemeis

basedonCBCandTVDstabilityriteriaanddevelopedbyemployingdierentiabilityonditions(

C

3

).

In addition, the implementation of an assoiation of the TDPUS-C

3

sheme with the

RN G κ

−

ε

turbulene modelling is also performed. The purpose is to obtain numerial solutions of systems of

hyperboli onservationlaws for gasdynamis and Navier-Stokes equations for inompressible ow of

Newtonian and non-Newtonian (visoelasti) uids. By using the TDPUS-C

3

sheme, the global

auray of the numerial methods is veried by assessing the error on 1D and 2D benhmark test

ases. A omparative study between the TDPUS-C

3

sheme and onventional upwind shemes to

solve standardand omplex hyperboli onservationlawsisalso aomplished. Theassoiationofthe

numerialmodelling(upwindingplus

RN G κ

−

ε

)isthenexaminedinthesimulationofturbulent

New-tonianuidowsinvolvingmoving freesurfaes,byusingURANSmethodology. Overall,satisfatory

agreement is foundintermsof the overallbehaviour.

Key words: onvetive terms, onservation laws, shokapturing, Navier-Stokes equations, moving

(11)

(12)

1 Introdução 1

1.1 Temada pesquisa . . . 1

1.2 Desenvolvimento demodelagensnumérias . . . 1

1.3 Motivação, objetivo eontribuição do presente estudo . . . 3

1.4 Estruturada tesee equipamentosutilizados . . . 4

2 Esquemas onvetivos upwind 7 2.1 Motivaçãoe aproximação upwind . . . 7

2.1.1 Critérios de limitação . . . 11

2.1.2 Limitadores deuxo . . . 15

2.2 Desenvolvimento donovo esquemaTDPUS-C

3

. . . 20

3 Formulação de sistemas hiperbólios e metodologia de solução 25 3.1 Coneitosbásios . . . 25

3.2 Métodostipo Godunovealgoritmos de propagação deondas. . . 29

3.3 Disretizaçãodasleisde onservação . . . 32

3.3.1 Adveçãode esalares . . . 32

3.3.2 Equaçãode Burgers . . . 33

3.3.3 Equaçõesdas águasrasas . . . 33

3.4 Amarha notempo . . . 33

3.5 Avaliaçãodoserros . . . 35

4 Formulação de esoamentos inompressíveis, metodologia de solução e equações disretas 37 4.1 Equaçõesbásias . . . 37

4.1.1 Formulação matemátia parauidos newtonianos . . . 39

4.1.2 Modelagem matemátiaparauidos newtonianos emregime turbulento . . . . 39

4.1.3 Formulação matemátia para uidos nãonewtonianos . . . 43

4.2 Metodologia desolução . . . 46

(13)

4.3 Equações detrabalho disretas . . . 51

4.4 Condiçõesadiionais adotadas e suasdisretizações . . . 58

4.4.1 Condiçõesiniiais. . . 58

4.4.2 Condiçõesde ontorno . . . 59

5 Resultados numériospara sistemashiperbólios 1D e 2D 67 5.1 Esolha do parâmetrolivre

β

parao esquemaTDPUS-C

3

. . . 67

5.2 Equações 1De2Dde leisonservação . . . 69

5.2.1 Adveçãode esalares . . . 69

5.2.2 Equação nãolinear deBurgers . . . 72

5.2.3 Equação nãolinear deBukley-Leverett . . . 77

5.3 Sistemas1De 2Ddeleisde onservação . . . 79

5.3.1 Equações deáguas rasas . . . 79

5.3.2 Equações deEuler . . . 85

5.3.3 Equações damagnetohidrodinâmia . . . 102

6 Simulação de esoamentos inompressíveis 105 6.1 Resultadospara uidosnewtonianos . . . 105

6.1.1 Jatos livresemregimelaminar . . . 105

6.1.2 Colapsode umbloo de uidoemregime laminar . . . 111

6.1.3 Jatos livres3Dabaixos valoresdo númerode Reynolds . . . 114

6.1.4 Jatos livres2De3Dno regimeturbulento . . . 124

6.1.5 Colapsode uidoe interação da superfíielivre omumobstáulo . . . 134

6.2 Resultadospara uidosnão newtonianos 3D . . . 137

7 Considerações nais e trabalhos futuros 141

A Produçãoientía assoiada 143

B Código para solução da equação de Burgers 2D utilizando a linguagem C

++

151

(14)

2.1 Representaçãoesquemátia do ampo develoidades deum esoamento de uido. . . . 7

2.2 Soluçãoanalítia do problemade adveção omveloidadede onveção

u >

0

. . . 8

2.3 Moléulaomputaionalda disretização dostermosonvetivos noponto

P

. . . 9

2.4 Região de monotoniidade paraesquemas de segunda ordem no diagrama de variáveis normalizadas. . . 10

2.5 Diagramade variáveisnormalizadas: Região CBC. . . 11

2.6 Diagramade variáveisnormalizadas: Região ECBC. . . 12

2.7 DVN:Região TVD.. . . 13

2.8 ComparaçãoentraassoluçõesnumériasobtidasomoesquemaLax-Wendroeanalítia doproblema de adveção.

N

= 2000

e

CF L

= 0

.

3

. . . 16

2.9 Plano

Ψ(

r

f

)

⊥

r

f

mostrando aregião de extremos (

r

f

≤

0

),a região de monotoniidade (vizinhançade

r

f

= 1

) e asregiõesde alta urvatura(

r

f

>>

1

e

r

f

<<

1

). . . 17

2.10 RegiãoTVD de Sweby. . . 18

2.11 RegiãoTVD de segundaordem nasvariáveis

(Ψ

, r

)

.. . . 19

2.12 RegiãoTVD parao esquemaTDPUS-C

3

emvariáveis normalizadas. . . 22

2.13 RegiãoTVD parao esquemaTDPUS-C

3

emtermosde limitadores de uxo. . . 23

3.1 Regiãode integração parao áluloda veloidade dohoque. . . 27

3.2 Ondade hoque. . . 28

3.3 Ondade rarefação. . . 28

3.4 Soluçãotípia paraumproblemade Riemann dasequações deEuler. . . 28

3.5 Volumede ontrole no plano

x

−

t

. . . 29

3.6 Evolução espaial das soluções numérias da equação de Burgers 1D aluladas om TDPUS-C

3

. Euler explíitona partetemporal (nãoTVD).. . . 34

3.7 Soluçõesnumérias da equação deBurgers 1Daluladas omTDPUS-C

3

. SSP-RK3 naparte temporal (TVD). . . 35

(15)

4.2 Geometriaelular de umaregião espeía . . . 48

4.3 Ilustraçãodeumasuperfíieplanarinlinadaformandoangulode

45

0

omovetornormal

n

= (

√

₂

2 ,

0 ,

√

₂

2 )

. . . 62

4.4 Perl típioda amada limiteturbulenta. . . 63

4.5 Ilustraçãodasélulas adjaentes aoontorno rígido. . . 64

5.1 Esolha doparâmetro

β

. . . 68

5.2 Teste 1: soluções numérias do problema de adveção 1D om TDPUS-C

3

, AD-BQUICKEST,ARORA-ROE,CUBISTA e TOPUS.

t

= 1

,

N

= 200

e

CF L

= 0

.

5

. . . 70

5.3 Teste 1: soluções numérias do problema de adveção 1D om TDPUS-C

3

, AD-BQUICKEST,ARORA-ROE,CUBISTA e TOPUS.

t

= 20

,

N

= 200

e

CF L

= 0

.

5

. . . 70

5.4 Teste 3: análiseTVD parao esquemaTDPUS-C

3

. . . 73

5.5 Teste4: soluçõesnumériasdaequaçãoinvísidadeBurgersobtidasomoTDPUS-C

3

antes e depois daformação dohoque. . . 73

5.6 Teste 4: soluções numérias da equação invisida de Burgers depois do hoque alu-ladasom TDPUS-C

3

,ADBQUICKEST, ARORA-ROE, CUBISTAe TOPUS. . . . 74

5.7 Teste 5: soluções numérias ao longo do plano

x

=

y

da equação de Burgers 2D om TDPUS-C

3

, ADBQUICKEST, ARORA-ROE, CUBISTA e TOPUS.

t

= 0

.

5 /π

,

160 _×

160

élulas omputaionais e

CF L

= 0

.

4

. . . 76

5.8 Teste 5: soluçõesnumérias ao longo do plano

x

=

y

da equação de Burgers 2Dom TDPUS-C

3

,EPUS,SDPUS-C1eTOPUS.

t

= 0

.

5 /π

,

160 ×

160

élulasomputaionais e

CF L

= 0

.

4

. . . 77

5.9 Teste 6: soluções numérias para a equação não linear de Bukley-Leverett.

t

= 0

.

4

,

CF L

= 0

.

4

e

N

= 200

. . . 78

5.10 Teste 6: soluções numérias da equação de Bukley-Leverett. Região do hoque

x

≈

−

0 .

077

e da desontinuidade de ontato

x

≈

0 .

64

. . . 78

5.11 Ilustração esquemátia de um esoamento om superfíie livre sobre a inuênia da gravidade. . . 79

5.12 Teste 7: soluçõesnumérias omTDPUS-C

3

e a solução exata parao nívelda água

h

noproblema deruptura da barragem.

N

= 400

e

CF L

= 0

.

91

. . . 81

5.13 Teste7: omparaçãoentreassoluçõesnumériasparaoníveldaágua

h

omTDPUS-C

3

, ADBQUICKEST, ARORA-ROE, CUBISTA, TOPUS e a solução exata.

t

= 10

,

N

=

100

e

CF L

= 0

.

91

. . . 82

5.14 Teste 8: nívelda água

h

+

B

(

x

)

ea vazão

hu

1

(b).

t

= 200

,

N

= 200

e

CF L

= 0

.

9

. . 82

5.15 Teste 9: ruptura de uma barragemirular. Soluções numérias para o nível da água

h

aolongo doeixo

x

(

y

= 0

) obtidos omTDPUS-C

3

,FORCE, GODUNOV-HLL.. . 83

5.16 Teste 9: ruptura deuma barragemirular. Evolução espaialdassoluçõesnumérias obtidas omTDPUS-C

3

parao nívelda água

h

ao longodo eixo

x

(

y

= 0

).. . . 84

5.17 Teste 10: omparação entre assoluçõesnumérias dadensidade

ρ

parao problemade

(16)

5.18 Teste 10: evoluçãoespaialdassoluçõesnumériasdadensidade

ρ

para oproblemade

Shu-Osher omTDPUS-C

3

,ADBQUICKEST, ARORA-ROE,CUBISTAe TOPUS. 86

5.19 Teste 10: soluções numérias da densidade

ρ

problema de Shu-Osher nas regiões NF,

FF,EWe TN. . . 87

5.20 Teste 11: omparação entre as soluções numérias da densidade

ρ

para o problema deWoodward-Colella obtidasomTDPUS-C

3

,ADBQUICKEST, ARORA-ROE, CU-BISTA e TOPUS.. . . 89

5.21 Teste 11: omparação entre assoluçõesnumérias dadensidade

ρ

parao problemade Woodward-Colella omTDPUS-C

3

,EPUS,SDPUS-C

1

eTOPUS. . . 89

5.22 Teste 11: problemadeWoodward-Colella. Evoluçãotemporalda densidade

ρ

e veloi-dade

u

1

dassoluções numérias obtidas omTDPUS-C

3

eSUPERBEE. . . 90

5.23 Teste 11: problemadeWoodward-Colella. Evoluçãotemporalda densidade

ρ

e veloi-dade

u

1

obtidas om TDPUS-C

3

e SUPERBEE.. . . 91

5.24 Teste13: soluçõesnumériasdadensidade

ρ

paraoproblemaDMRom ADBQUICK-ESTna malhauniforme

δx

= 1

/

400

e WENO5-LW4 . . . 94

5.25 Teste 13: ampliação da região prinipal das soluções numérias para a densidade

ρ

paraoproblema DMRom TDPUS-C

3

,ADBQUICKESTe ARORA-ROE.

t

= 0

.

2

. 96 5.26 Teste 13: ampliação daregião prinipal dassoluçõesnumérias paraadensidade

ρ

do problema DMR no tempo

t

= 0

.

2

aluladas om CUBISTA e TOPUS. 30 linhas de ontorno de

ρ

= 1

.

5

até

ρ

= 22

.

97

, om malhas uniformes

δx

= 1

/

100

,

1 /

200

,

1 /

400

,

t

= 0

.

2

e

CF L

= 0

.

6

. . . 97

5.27 Teste13: ampliaçãodaregiãoprinipaldassoluçõesnumériasparaadensidade

ρ

para o problema DMR alulada om SUPERBEE e

δx

= 1

/

200

e WENO5 e

δx

= 1

/

960

.

t

= 0

.

2

. . . 97

5.28 Teste 14: ondiçõesiniiais doproblema dasinstabilidadesde Rayleigh-Taylor. . . 98

5.29 Teste14: soluçõesnumériasparaadensidade

ρ

paraoproblemadasinstabilidadesde Rayleigh-Taylor om TDPUS-C

3

, ADBQUICKEST, ARORA-ROE, CUBISTA, TO-PUSe SUPERBEEe WENO5om

δx

= 1

/

960

. . . 100

5.30 Teste 14: Instabilidades de Rayleigh-Taylor. Perl da energia inétia em

y

= 4

x

no tempo

t

= 1

.

95

om TDPUS-C

3

, ADBQUICKEST, ARORA-ROE, CUBISTA, TOPUSeSUPERBEE. . . 101

5.31 Teste 14: soluçõesnumérias paraa densidade

ρ

para oproblema dasinstabilidadese Rayleigh-TayloromTDPUS-C

3

,EPUS,SDPUS-C

1

eTOPUS om

δx

= 1

/

960

. . . 101

5.32 Teste 15: soluções numérias da densidade

ρ

para o problema da MHD 1D om TDPUS-C

3

. . . 103

5.33 Teste 16: superfíie dadensidade

ρ

parao problemade Orszag-Tang. . . 104

5.34 Teste 18: perlda pressão

p

aolongo dalinha

y

= 0

.

625 π

. . . 104

6.1 Jatode uidoinidente sobre umasuperfíierígida. . . 106

(17)

6.3 Contorno daveloidade

u

parao problemado jatolivre 2Dsobre umasuperfíie rígida. 108

v

paraoproblema de jatolivre2Dsobre umasuperfíie rígida

noregime laminar. . . 109

6.5 Contorno dapressão

p

parao problemado jatolivre2Dsobre umasuperfíierígida. . 109

6.6 Comparaçãoentreassoluçõesnumériasdaaltura

h

obtidasomTDPUS-C

3

eanalítia paraoproblema de simetriaradial. . . 110

6.7 Ressalto hidráulioirular emdistintosângulos simuladopeloesquema TDPUS-C

3

. 111 6.8 Ilustraçãoesquemátia do olapso de umbloo deuido. . . 111

6.9 Soluções numérias para o espalhamento horizontal,

xmax

, obtidas om TDPUS-C

3

paraoproblema doolapso de umbloo de uido3Dno regimelaminar. . . 112

6.10 Contorno da veloidade

u

para o problema do olapso de um bloo de uido 3D no regimelaminar omTDPUS-C

3

. . . 113

6.11 Contorno da veloidade

w

para o problema do olapso de um bloo de uido 3D no regimelaminar omTDPUS-C

3

. . . 113

6.12 Contorno dapressão

p

parao problemadoolapso de umbloo deuido3Dnoregime laminarom TDPUS-C

3

.. . . 114

6.13 Estruturas dosjatososilantes visosossegundo Cruikshank eMunson(1981). . . 115

6.14 Geometriapara oproblemado jatoirular e planar. . . 115

6.15 Evolução temporal do jatoirular osilante. Teste 1. . . 118

6.16 Evolução temporal do jatoirular osilante. Teste 2. . . 119

u

,

v

eda pressão

p

dojatoirular osilante. Teste 2. . . 120

6.18 Evolução temporal do jatoplanar osilante omTDPUS-C

3

.

t

= 0

.

2 s,

0 .

4 s

e

0 .

6 s

. . . 121

6.19 Evolução temporal do jatoplanar osilante omTDPUS-C

3

.

t

= 0

.

8 s,

1 s

e

1 .

2 s

. . . . 122

6.20 Contornos dasveloidades

u

,

w

ea pressão

p

dojatoplanar osilante. . . 123

6.21 Comparação entre as soluções numérias e analítia para o problema do jato livre 2D sobreuma superfíierígidano modelo

κ

−

ε

padrãoassoiadoao TDPUS-C

3

. . . 125

6.22 Comparação entre as soluções numérias e analítia para o problema do jato livre 2D sobreumasuperfíierígidaimpermeávelnomodelo

RN G κ

−

ε

assoiadoaoTDPUS-C

3

.126 6.23 Comparação entre as soluçõesnumérias obtidas om TDPUS-C

3

nosmodelos

κ

−

ε

padrãoe

RN G κ

−

ε

assoiados ao TDPUS-C

3

,e analítia do problemado jatolivre 2Dsobreuma superfíierígidaimpermeável. MalhaI. . . 126

u

paraoproblema dojatolivre 2Dsobreumasuperfíie rígida impermeável nomodelo

κ

−

ε

padrão assoiado aoTDPUS-C

3

. MalhaIII. . . 127

v

parao problemado jatolivre 2Dsobreumasuperfíie rígida impermeável nomodelo

κ

−

ε

3

. MalhaIII. . . 127

6.26 Contorno da pressão

p

para o problema do jato livre 2D sobre uma superfíie rígida impermeável nomodelo

κ

−

ε

3

. MalhaIII. . . 128

u

paraoproblema dojatolivre 2Dsobreumasuperfíie rígida impermeável nomodelo

RN G κ

−

ε

3

. MalhaIII. . . 128

(18)

6.29 Contorno da pressão

p

para o problema do jato livre 2D sobre uma superfíie rígida

impermeável nomodelo

RN G κ

−

ε

3

. Malha III. . . 129

6.30 Soluções numérias obtidas om TDPUS-C

3

(extraídas no plano

yz

na posição

x

=

0 .

056

) para o problema do jato livre 3D om os modelos de turbulênia

κ

−

ε

padrão

e

RN G κ

−

ε

assoiados om TDPUS-C

3

,omparadas omas soluçõesvisosae não

visosadeWatson(1964). . . 131

6.31 Comparação entreas soluçõesnumérias (extraídas noplano

yz

na posição

x

= 0

.

056

)

obtidas omTDPUS-C

3

e asanalítias, não visosa e visosade Watson, parao

pro-blema do jatolivre 3Dom as modelagens de turbulênia

κ

−

ε

padrão e

RN G κ

−

ε

assoiados omTDPUS-C

3

. . . 131

6.32 Evoluçãotemporaldoproblemadojatolivre3Dsobreumasuperfíierígidaimpermeável

usandoa assoiação

RN G κ

−

ε

-TDPUS-C

3

. MalhaII. . . 132

u

paraoproblema dojatolivre 3Dsobreumasuperfíierígida

impermeávelusandoasassoiações

κ

−

ε

padrão-TDPUS-C

3

e

RN G κ

−

ε

-TDPUS-C

3

.

MalhaII. . . 133

6.34 Contornoda veloidade

w

paraoproblemadojatolivre3Dsobreumasuperfíierígida

impermeávelusandoasassoiações

κ

−

ε

padrão-TDPUS-C

3

e

RN G κ

−

ε

-TDPUS-C

3

.

MalhaII. . . 133

6.35 Contornodapressão

p

paraoproblemadojatolivre3Dsobreumasuperfíierígida

im-permeávelusandoasassoiações

κ

−

ε

padrão-TDPUS-C

3

e

RN G κ

−

ε

-TDPUS-C

3

.

MalhaII. . . 133

6.36 Ilustração do problema de olapso de uido e interação da superfíie livre om um

obstáulo. . . 134

6.37 Evoluçãotemporaldassuperfíieslivresusandoaombinação

RN G κ

−

ε

-TDPUS-C

3

doproblemadeolapsodeuidoeinteraçãodasuperfíielivreomumobstáulo. Vista

lateral. . . 135

6.38 Evoluçãotemporaldassuperfíieslivresusandoaombinação

RN G κ

−

ε

-TDPUS-C

3

doproblemadeolapsodeuidoeinteraçãodasuperfíielivreomumobstáulo. Vista

deima. . . 136

6.39 Geometriaparao modeloSXPP. . . 137

6.40 Modelo SXPP. Resultados obtidos om TDPUS-C

3

.

Re

= 0

.

96

,

W e

= 0

.

1

,

̺

= 0

.

5

,

ϑ

= 0

.

9

,

γ

= 0

.

1

,

Q

= 1

. . . 138

6.41 Modelo SXPP.Resultados obtidos om TDPUS-C

3

.

Re

= 0

.

96

,

W e

= 0

.

1

,

̺

= 0

.

01

,

ϑ

= 0

.

3

,

γ

= 0

.

8

. . . 139

3

.

Re

= 0

.

64

,

W e

= 0

.

1

,

̺

= 0

.

5

,

ϑ

= 0

.

9

,

γ

= 0

.

1

,

Q

= 1

. . . 139

3

.

Re

= 0

.

32

,

W e

= 0

.

1

,

̺

= 0

.

5

,

ϑ

= 0

.

9

,

γ

= 0

.

1

. . . 139

(19)

(20)

2.1 Alguns esquemasem variáveis não normalizadas e suas orrespondentes expressõesem

variáveis normalizadas. . . 10

2.2 Diferentesvaloresdo parâmetro

β

para o esquemaTDPUS-C

3

. . . 22

4.1 Parâmetros do modelo

κ

−

ε

padrãode turbulênia.. . . 41

4.2 Parâmetros do modelo

RN G κ

−

ε

deturbulênia. . . 41

5.1 Esolha do parâmetro

β

. Teste de onvergênia para TDPUS-C

3

om

β

= 64

,

266

,

526

e

567 .

25

da equação deBurgers 1Dnotempo

t

= 0

.

33

e

CF L

= 0

.

5

. . . 69

5.2 Teste 1: teste de onvergênia do experimento de Zalesak om TDPUS-C

3

, AD-BQUICKEST,ARORA-ROE,CUBISTAeTOPUSnotempo

t

= 1

. SSP-RK3naparte temporal. . . 71

5.3 Teste 1: teste de onvergênia do experimento de Zalesak om TDPUS-C

3

, AD-BQUICKEST, ARORA-ROE, CUBISTA e TOPUS no tempo

t

= 20

. SSP-RK3 na partetemporal. . . 71

5.4 Tempo de omputaçãoporiteração parao Teste 1. . . 71

5.5 Teste 2: teste de onvergênia obtido omTDPUS-C

3

.

t

= 1

e

CF L

= 0

.

5

. . . 72

5.6 Teste 5: teste de onvergênia paraa equação de Burgers 2Dom TDPUS-C

3

, AD-BQUICKEST,ARORA-ROE,CUBISTA eTOPUS nanorma

L

1

. . . 74

5.7 Teste 5: teste de onvergênia paraa equação de Burgers 2Dom TDPUS-C

3

, AD-BQUICKEST,ARORA-ROE,CUBISTA eTOPUS nanorma

L

∞

. . . 75

5.8 Teste5: testedeonvergêniaparaaequaçãodeBurgers2DomTDPUS-C

3

,EPUS, SDPUS-C

1

e TOPUSna norma

L

1

.

t

≈

0 .

5 /π

e

CF L

= 0

.

4

. . . 75

5.9 Teste5: testedeonvergêniaparaaequaçãodeBurgers2DomTDPUS-C

3

,EPUS, SDPUS-C

1

e TOPUSna norma

L

∞

.

t

≈

0 .

5 /π

e

CF L

= 0

.

4

. . . 75

(21)

5.11 Teste 12: teste deonvergêniada densidade

ρ

paraasequaçõesnãolineares deEuler

2DomTDPUS-C

3

,ADBQUICKEST,ARORA-ROE,CUBISTAeTOPUSnanorma

L

_∞

.

t

= 2

e

CF L

= 0

.

475

.. . . 93

5.12 Teste 18: teste de onvergênia da densidade

ρ

parao problema de Orszag-Tang om TDPUS-C

3

,ADBQUICKEST, ARORA-ROE, CUBISTA e TOPUSna norma

L

1

. . . 104

6.1 Dadosda simulação dojatolivre 2Dno regimelaminar. . . 107

6.2 Dadosda simulação dojatolivre 2Dno regimelaminar emsimetriaradial. . . 108

6.3 Estimativasteórias e numérias nasmalhas I,IIe IIIpara oraio dosalto hidráulio. 110 6.4 Dadosda simulação doolapso de umbloo de uido. . . 112

6.5 Dadosda simulação dojatoirular osilante. Teste 1. . . 116

6.8 Dadosda simulação dojatolivre 2Dno regimeturbulento. . . 124

6.9 Dadosda simulação dojatolivre 3Dno regimeturbulento. . . 130

(22)

ADBQUICKEST - Adaptive Bounded QUICKEST

BEM - BoundaryElement Method

CBC - ConvetiveBoundedness Criterion

CDS - Central DiereneSheme

CFL - Courant-Friedrih-Levy

CFD - Computational FluidDynamis

CHJ - Cirular Hydrauli Jump

CLAWPACK - Conservation Laws Pakage

CUBISTA - ConvergentandUniversallyBoundedInterpolationShemeforTreatmentInterpolation

DC - Diferenias Centrais

DF - Dinâmia deFluidos

DFC - Dinâmiade Fluidos Computaional

DNS - DiretNumerial Simulation

DVN - Diagrama deVariáveis Normalizadas

EDO - Equação DiferenialOrdinária

EDPs - EquaçõesomDerivadasPariais

ENO - EssentiallyNon-Osillatory

EPUS - Eight Degree Upwind Polynomial Sheme

ECBC - Extended Convetive BoundednessCriterion

FORCE - First-Order Centred

FOU - First Order Upwind

Fr - Número de Froude

GENSMAC - Generalized-Simplied-Marker-and-Cell

HLL - Harten-Lax-van Leer

HLLE - Harten-Lax-van Leer-Einfeldt

ICMC - Instituto deCiênias Matemátiase deComputação

LMACC - Laboratóriode Matemátia Apliadae Computação Cientía

LW - Lax-Wendro

LES - Large-Eddy Simulation

LF - Limitadoresde Fluxo

MAC - MarkerandCell

MC - Monotonized Central

MFIX - Multiphase Flow withInterphaseeXhanges

(23)

QUICK - Quadrati Upstream Interpolationfor Convetive Kinematis

QUICKEST - QuadratiUpstreamInterpolationforConvetiveKinematiswithEstimated Stream-ingTerms

Re - Número de Reynolds

RNG - Renormalization Group

SHARP - ASimpleHigh-Auray ResolutionProgram

SMAC - Simplied Marker-And-Cell

SDPUS-C

1

- Six-DegreePolynomial Upwind Shemes C

1

SMART - Sharp and Monotoni Algorithmfor RealistiTransport

SOU - SeondOrder Upwind

SPH - SmoothedPartile Hydrodynamis

SSP-RK3 - Strong Stability PreservingRunge-Kutta ThirdOrder

SXPP - Single eXtendedPomPom

TDPUS-C

3

- Tenth Degree Polynomial Upwind ShemeC

3

TOPUS - Third-Order PolynomialUpwind Sheme

TV - Total Variation

TVD - Total Variation Diminishing

URANS - Unsteady Reynolds-Averaged Navier-Stokes

USP - Universidadede São Paulo

VN - Variaveis Normalizadas

VONOS - Variable-OrderNon-Osilatory Sheme

WACEB - Weighted-Average Coeient Ensuring Boundedness

WB - Warming-Beam

We - Número de Weisemberg

(24)

1

Introdução

1.1 Tema da pesquisa

A maioria dosproblemas físios modelados por EDPsem DFC, que vão desde leisde onservação

hiperbólias om termos-fonteaté equaçõesde Navier-Stokesa altos valoresdo número de Reynolds,

é dominada por onveção; e, portanto, propensa a formação de soluções desontínuas e estruturas

vortiais. A dominânia dos termos onvetivos (em geral não lineares) diultam sobremaneira a

derivação de soluções numérias para tais sistemas. Em função disso, onsidera-se ruial propor

téniasomputaionaisespeializadaspararesolveressesproblemasomplexos. Deinteressepartiular

no presente trabalho estão as aproximações dos termos onvetivos por esquemas upwind de alta

resolução e a implementação de modelagens

κ

−

ε

de turbulênia. As propriedades desejadas dos

métodos de aproximação aqui investigados são: (i) boa preisão e robustez; (ii) limitação da solução

numériasemosilaçõesnãofísiaseompouaintroduçãodevisosidadenuméria;e(iii)simpliidade

na implementação e baixo ustoomputaional.

1.2 Desenvolvimento de modelagens numérias

Desde os anos 50, uma grande quantidade de modelagens numérias para os termos onvetivos

tem sido onebida om o propósito de simular omputaionalmente problemas omplexos em DFC.

A maior diuldade que tem motivado a pesquisa na área é o problema de representar bem fortes

hoques, desontinuidades de ontato e estruturas vortiais que apareem nas soluções numérias.

As primeiras tentativas bem suedidas para estes problemas foram propostas por VonNeumann e

Rihtmyer (1950), Courant et al. (1952) e Spalding (1972), utilizando métodos de primeira ordem

de preisão loal. Entretanto, ertas desvantagens intrínseas a esses métodos lássios, tais omo

suavização da solução em regiões de altos gradientes, têm direionado a pesquisa na área para a

derivaçãodesoluçõessimples,maispreisase/ouinondiionalmenteestáveis;apareeuatéumteorema

devido a Godunov (1959) armando que esquemas lineares que não geram osilações numérias só

(25)

diferençasentrais(DC),upwinddesegundaordem(SOU)(WarmingeBeam,1976),QUICK(Leonard,

1979)e QUICKEST (Leonard,1988a), entre outros. No entanto, sobondiçõesseverasde onveção,

taisomoomovimentoturbulento,essesesquemasinevitavelmenteproduzemsoluçõesosilatórias(não

monotnias)em regiões ondeasvariáveisonvetadas experimentam gradientes elevados.

Comoobjetivodesuperarosdefeitosassoiadosaosesquemasonvenionaisitadosanteriormente,

umnúmerosubstanialdeesquemasmonotniostemsurgidonaliteraturaespeializada. Como

exem-plopode-seitaralasseMUSCLdevanLeer(1979)eosesquemasMINMODdeRoe(1986),SMART

de Gaskell e Lau (1988), SHARPde Leonard (1988b), WACEB de Song et al. (2000), CUBISTA de

Alvesetal.(2003),ARORA-ROEdeAroraeRoe(1997)eADBQUICKESTdeFerreiraetal.(2009). A

prinipalvantagemdessesesquemaséqueelesapturarambemsoluçõessuavesdaquelasontaminadas

omosilaçõesnão físias e,ao mesmotempo,melhorarama onvergênia. Deve-se observar também

queessesesquemas(alguns deles aomenos), emborafunionando bemem algunsproblemas,não

pro-duzem soluçõeslimitadas nas situaçõesom hoques, desontinuidades de ontato (ver, por exemplo,

KuaneLin(2000) eLineLin(1997))e/ou emsimulaçõesde esoamentosvisoelástiosommodelos

onstitutivos hiperbólios (Xueet al., 2002). Em Lin e Chieng (1991), osautores observaram que os

esquemasSMARTe SHARP, emborapreservem altapreisão, produzemaltos níveis de osilações no

aso do problema do tubo de hoque de Sod (1978). Em Alves etal. (2000), om o usode esquemas

upwind, os autores simularam uma série de esoamentos visoelástios e observaram que os álulos

não onvergiram om o renamento de malha. Em Baxevanou e Fidaros (2008) há uma assoiação

de esquemas upwind TVD om a modelagem

κ

−

ε

padrão ujos resultados apontaram deiênias

do esquema upwind devido a Roe-Sweby, mas om o emprego do limitador de uxo MINMOD, essa

assoiação apresentou melhorias quando omparado aosesquemasde primeira ordem, DC e QUICK;

e estesúltimos levando àdivergêniadosálulos emproblemas onde a onveçãoé dominante.

Reentemente tem apareido na literatura alguns trabalhos assoiando esquemas upwind

(usual-mente os esquemas DC,FOU, SOU e QUICK) om a modelagem

RN G κ

−

ε

de (Yakhot e Orszag,

1986). Em Fudihara et al. (2007), usando os esquemas FOU e SOU, foi feito um estudo numério

da aerodinâmia de um forno om um queimador de bloo; em Wang e Wang (2011) é apresentada

umaomparação entre soluçõesnumérias,om ouso doesquema DC easmodelagens

κ

−

ε

padrão,

RN G κ

₋

ε

eRealizable

κ

−

ε

(Shihetal.,1995),paraoproblemadojatolivre2Dsobreumasuperfíie

rigida; e em Ghadimi et al. (2012), os autores utilizaram o ódigo omerial Fluent

R inrementado

om o esquema DC parasimular a transferênia de alor no uxode ar emjanelas. Observa-se,

por-tanto, umatendêniaatual na literaturaem seusar osesquemasonvetivos FOU, DC eQUICK em

problemasenvolvendo turbulênia. Assim,aneessidadedeumesquemadeonveçãotipoupwindque

proporionaboapreisão,limitaçãodasoluçãonuméria(semosilaçõesnãofísiaseompoua

intro-dução de visosidade numéria) e simpliidade na implementação para aproximar termos onvetivos

de leis de onservação e problemas relaionados em DFC ontinua a estimular a pesquisa ientía

em várias áreas da engenharia. Dentro deste enário, e no ontextodos ritérios de limitação TVD e

CBC,trêsnovosesquemasupwind(eorrespondenteslimitadoresdeuxo)apareeramnaliteratura: o

TOPUSdeFerreira etal.(2012),oSDPUS-C1de Limaetal. (2012)e,maisreentemente,o esquema

EPUS de Corrêa etal. (2012). O esquemaTOPUS foiproposto utilizando parte de umpolinmio de

(26)

uidos;noentanto oTOPUSnãosereduzaumafunção suavenospontos

0

e

1

dentrododiagramade

variáveis normalizadas de Leonard(1988a); isso, segundo Lin e Chieng(1991), pode gerar problemas

deonvergêniaemproblemasomplexos,omoéoasodasinstabilidadesdeRayleigh-Taylore

esoa-mentos inompressíveis envolvendo superfíies livres móveis,e muitas outras apliações. Os esquemas

SDPUS-

C

1

eEPUS, por outrolado, sãode lasse

C

1

e

C

2

nessespontos, respetivamente.

AderivaçãodeumnovoesquemaonvetivoTVD/CBC universal,parareonstruções(upwind) de

uxosnumérios,quepossuaumamoléulaomputaionalsimples(envolvendonomáximotrêspontos

de malha por uxo numério), que satisfaz propriedades de difereniabilidade superior a dois e que

sejaumaalternativa àlassede esquemasupwind deapturadehoqueséumatemaderelevâniaem

DFC e ontemplado nesta tese. Vale reonheer quehá também uma lasse importante de esquemas

sostiados, os bem onheidosENO/WENO e suas variações (ver, por exemplo, Qiu e Shu (2011) e

Wan etal.(2012)), parasimulações deesoamentosompressíveis;essa lassetem proporionado boa

preisãoloalompoua visosidadenuméria, masédifíil deimplementarerelativamentepobreem

malhasgrosseiras.

1.3 Motivação, objetivo e ontribuição do presente estudo

O interesse resente de soluções aproximadas para equações de onservação da DFC deriva da

demanda por modelagens simples, robustas, baratas e apazes de prever ampos de esoamentos de

uidos ontendofortes hoques,desontinuidades deontato e/ou estruturasvortiais,omo aontee

nasequaçõesdeEuler da dinâmiadosgases enasequaçõesde Navier-Stokes sobforteinuêniados

termos não lineares. Nosúltimos anos, ospesquisadores do LMACC do ICMC-USP têm-se dediado

ao desenvolvimento de métodos numérios para simular esoamentos inompressíveis newtonianos e

não newtonianos om superfíies livres móveis. Em partiular, várias ténias inovadoras têm sido

desenvolvidas por essespesquisadores, dentreelas destaam-se:

•

desenvolvimentoeimplementaçãodemétodosnumériosparaesoamentosdeuidosnewtonianos

emumaampla faixa donúmero deReynolds (Ferreira etal.,2012);

•

implementaçãode modelagensde turbulênia

κ

−

ε

padrão(Ferreira et al.,2013);

•

análise, implementação e validação de modelos reológios a uma variada gama de números de

Weisemberg(Oishi etal.,2012, Tomé etal., 2012);e

•

simulação omputaional de esoamentos omplexos, tais omo bifásios uido-uido om

su-perfíies livres móveis (Santos et al., 2012, Lima et al., 2012) e gás-sólido num leito uidizado

(Corrêaetal., 2012).

Com o auxílio de esquemas upwind de alta resolução de lasse de difereniabilidade 1 e 2, esses

avanços têm sido parialmente inorporados aos ódigos CLAWPACK de LeVeque (2012), Freeow de

Castelo et al. (2000) e MFiX (2011), permitindo a simulação de sistemas hiperbólios de leis de

on-servação, de esoamentos inompressíveis de uidos newtonianos em uma ampla faixa do número de

Reynolds e de esoamentos reológios 3Dde interesse tenológio na indústria de polímeros(ver

M-Keeetal. (2008),Tomé etal.(2008), Ferreiraetal. (2009), Carvalhoetal. (2010), Queiroz eFerreira

(27)

arentesdeumesquemaupwinddelasse

C

3

universaleumamodelagem

RN G κ

−

ε

daturbulênia. A

assoiaçãodessesduasmodelagens(upwindinge

RN G κ

−

ε

)onstitui,portanto,amotivaçãoprinipal

parao presentetrabalho detese.

O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento e teste de um novo esquema onvetivo upwind

polinomial de grau dez de lasse

C

3

, denominado TDPUS-C

3

. Outro objetivo é a assoiação do

esquema TDPUS-C

3

ommodelagens

κ

−

ε

(padrão e

RN G κ

−

ε

) paraasimulação omputaional

de uma variedade de problemas omplexos em DFC, usando a metodologia URANS. E a ênfase da

tese é forneer à literatura ténias numérias alternativas as quais podem ser utilizadas tanto em

esoamentos ompressíveisquanto eminompressíveis.

Aontribuição dopresentetrabalho é omosegue:

(i) introduçãodeumnovoesquemaonvetivoupwind universaldelasse

C

3

(oTDPUS-C

3

)paraa

reonstruçãodeuxosnumérios;omaexpetativaderesolverproblemasomplexosemregiões

suavese altos gradientesom pontosextremose desontinuidades;

(ii) adaptação doódigoCLAWPACKomo esquemaTDPUS-C

3

pararesolversistemas hiperbólios

de leisdeonservação;

(iii) inlusãono ambiente de simulaçãoFreeowdo novo esquema upwind pararesolver esoamentos

newtonianos e não newtonianos;

(iv) inorporação (análise e implementação) no sistema Freeow da modelagem

RN G κ

−

ε

e sua

assoiaçãoom oesquema TDPUS-C

3

para resolveresoamentos inompressíveis turbulentos;

(v) disponibilização de uma variedade de dados de simulações numérias (

≈

24) para equações de

onservaçãoda DFC;

(vi) apresentação à literatura dos prinipais resultados numérios oriundos deste trabalho de tese,

ujosdetalhes estãodesritosno ApêndieA.

1.4 Estrutura da tese e equipamentos utilizados

Orestantedateseestáestruturadaemseteapítulosdesritosaseguir. Noapítulo2apresenta-se

umabreve desrição dateoria dosesquemasonvetivos emvariáveis normalizadas e orrespondentes

limitadoresde uxo. Nesseapítuloinlui-seaindaodesenvolvimento donovoesquemaonvetivo

up-wind TDPUS-C

3

. Oapítulo3éreservadoparaaformulaçãodesistemashiperbólioseametodologia

de solução, inluindo o método de Godunov, o algoritmo de propagação das ondas e resolvedores de

Riemann. No apítulo 4 estãodesritos osoneitos básiosda formulação matemátia de

esoamen-tos inompressíveis newtonianos nos regimes laminar e turbulento e uidos não newtonianos. Neste

apítulo ontempla-se também a disretização dos termos onvetivos e das ondições de ontorno

adotadas. Oapítulo5ontémresultados numériosparasistemashiperbólios deleisdeonservação

1D e 2D. Comparações om esquemas bem estabeleidos na literatura e om soluções analítias são

também realizadas. O apítulo 6 é destinado aos resultados de simulações numérias de problemas

omplexos, tais omo esoamentos inompressíveis newtonianos (nos regimes laminar e turbulento) e

(28)

As simulações numérias apresentadas ao longo desta tese foram rodadasnos seguintes

omputa-dores doLMACC doICMC-USP:

•

umomputadorCoreQuadQ96503Ghz,4GbdememoriaRAM,500Gbdedisorígidoesistema

operaional Ubuntu 10.04, linux 2.6.32;

•

umaestação de trabalho 8 xi7 Core i7CPU-950 3.07Ghz, 16 Gb de memoria RAM,1.6 Tb de

diso rígidoesistemaoperaional Ubuntu 10.04, linux2.6.35;e

•

umluster onstituído de: 16nósotosXeon,ada máquinaomdois proessadoresQuadCore

(29)

(30)

2

Esquemas onvetivos upwind

Neste apítulo apresenta-se a base teória para o desenvolvimento de esquemas onvetivos tipo

upwindque araterizam-se por respeitar osentido depropagação dasinformaçõesdoesoamento e o

desenvolvimento donovo esquemaonvetivo TDPUS-C

3

.

2.1 Motivação e aproximação upwind

Em muitas apliações, taisomo poluiçãodoar, oeanograa eoutras iênias físias,éneessário

alular o transporte (ou onveção) de propriedades físias (ou onentrações de onstituintes) no

esoamento deumuido. Porexemplo,onsidere umuidoemmovimento uja veloidadedo ampo,

emada ponto do domínio, éonheida, omoilustrado na Fig. 2.1.

−

→

_V

_{= (}

_{u, v, w}

₎

P

= (

x, y, z

)

φ

=

φ

(

x, y, z, t

)

x

y

z

Figura 2.1: Representaçãoesquemátia do ampo de veloidades de umesoamento de uido.

Dado

P

= (

x, y, z

)

, denota-se este ampo de vetorespor

−

→

_V

_{= (}

_{u, v, w}

₎

T

,em que

u

=

u

(

x, y, z, t

)

,

v

=

v

(

x, y, z, t

)

,

w

=

w

(

x, y, z, t

)

, sendo

u

,

v

,

w

:

R

4 _→

_R

(31)

onvetada no esoamento; pode-se pensar, por exemplo, em uma gota de tinta espalhando-se no

uidoounotransportedeumpoluentenoesoamento. Aequaçãoquemodelaotransportedavariável

φ

emumampode veloidade é,no aso3D, dada por

∂φ

∂t

+

∂

(

uφ

)

∂x

+

∂

(

vφ

)

∂y

+

∂

(

wφ

)

∂z

= 0

,

(2.1)

onde asomponentes

u, v, w

,denidas previamente,sãoasveloidades de onveção davariável

φ

nas

direções

x

,

y

,

z

,respetivamente.

Semperdade generalidade, onsidera-senesse estudo oaso1Dda equação (2.1) dada por

∂φ

∂t

+

∂

(

uφ

)

∂x

= 0

,

0 ≤

t

≤

T,

a

≤

x

≤

b, T >

0 .

(2.2)

Oproblemadenidopor(2.2)omondiçãoiniial

φ

(

x,

0) =

φ

0 (

x

)

eondiçõesdeontorno

φ

(

a, t

) =

φ

a

e

φ

(

b, t

) =

φ

b

, sendo

u

a veloidade de onveção- ampo este quegeralmente não pode ser alulado

analitiamente, requeraproximaçõesnumérias paraadveção de

φ

. No asoemque

u

= 1

,aseguinte

expressão é asolução analítia (verFig. 2.2)

φ

(

x, t

) =

φ

0 (

x

−

t

)

.

(2.3)

Destaforma,umainformaçãotransportadaviaadveçãoétransladadaparadireitaquandoa

veloi-dadede onveção

u

é positiva,e paraesquerda quandonegativa. AFig. 2.2ilustrao omportamento

da solução analítia para

u >

0

.

x

t

φ

(

x,

0) =

φ

0 (

x

)

φ

(

x, t

) =

φ

0 (

x

−

ut

)

u >

0

Figura2.2: Solução analítia do problemade adveção omveloidade de onveção

u >

0

.

Otermo onvetivo(2.2) avaliado numponto

P

deumamalhaestruturada,omoindiado naFig.

2.3, é aproximado por

∂

(

uφ

)

∂x

P

≈

(

uφ

)

_|

f

−

(

uφ

)

|

g

δx

=

u

f

φ

f

−

ugφg

δx

,

(2.4)

(32)

é

u

f

= (

uD

+

uU

)

/

2

e

ug

= (

uU

+

uR

)

/

2

.

δx

2 δx

U

=

i

R

=

i

₋

1 g

=

i

₋

1 /

2 f

=

i

+ 1

/

2 D

=

i

+ 1

φ

g

P

φ

f

U

g

U

f

Figura2.3: Moléulaomputaionalda disretização dostermosonvetivos noponto

P

.

Aproximaçõesparaavariávelonvetada

φ

,em(2.4),nasfaes

f

e

g

,

φ

f

e

φ

g

(ou uxosnumérios

nestas faes), podem ser obtidas por interpolação upwind em função dos valores dessa variável nos

seguintespontos: oà jusante

D

,oàmontante

U

eomaisàmontante

R

,omoilustradonaFig. 2.3; e

essasposiçõesparainterpolaçãosãoautomatiamentedenidasdeaordoomossinaisdasveloidades

deonveção

U

f

e

U

g

. Em síntese,umaaproximação(ouesquema) upwindpara

φ

f

(umesquemapara

φ

g

segue proedimentossimilares) éda forma

φ

f

=

φ

f

(

φD

, φU

, φR

)

,

(2.5)

em que

φ

D

,

φ

U

e

φ

R

são os valores de

φ

nos pontos

D

,

U

e

R

, respetivamente. Para simpliar a

relaçãofunional (2.5),Leonard(1988a)introduziuooneitodevariáveisnormalizadas(VN)denido

por

ˆ

φ

₍

_·

₎

=

φ

(

· )

−

φ

R

φ

D

−

φ

R

,

(2.6)

om

ˆ

φ

D

= 1

e

ˆ

φ

R

= 0

. A relação funional (2.5) omumente denominada araterístia em variáveis

normalizadas, passa entãoa serrepresentada omo

ˆ

φ

f

= ˆ

φ

f

( ˆ

φ

U

)

.

(2.7)

Na Fig. 2.4estão ilustrados, nodiagrama devariáveis normalizadas (DVN), osesquemaslássios

(33)

monotonii-dade paraesquemasde segundaordem de preisãoloal.

ˆ

φ

f

ˆ

φ

U

ˆ

φ

f

= 2 ˆ

φ

U

ˆ

φ

f

= 1

P

Q

O

0 .

5

1 .

0

1 .

5

0 .

5

1 .

0

1 .

5

SOU FOU

QUICK

CDS

Figura 2.4: Região de monotoniidade para esquemas de segunda ordem no diagrama de variáveis

normalizadas.

Tabela 2.1: Alguns esquemas em variáveis não normalizadas e suas orrespondentes expressões em

variáveis normalizadas.

Esquema Variáveis não normalizadas Variáveis normalizadas

FOU

φ

f

=

φ

U

ˆ

φ

f

= ˆ

φ

U

CDS

φ

f

=

1

2 (

φ

D

+

φ

U

)

φ

ˆ

f

=

3

4 +

1

2 ( ˆ

φ

U

−

1

2 )

QUICK

φ

f

=

1

2 (

φ

D

+

φ

U

)

−

1

8 (

φ

D

−

2 φ

U

+

φ

R

)

φ

ˆ

f

=

3

4 +

3

4 ( ˆ

φ

U

−

1

2 )

SOU

φ

f

=

3

2 φ

U

−

1

2 φ

D

φ

ˆ

f

=

3

2 φ

ˆ

U

Usando o desenvolvimento em série de Taylor, pode-se mostrar (ver Leonard (1988a)) que para

qualquer esquema (linearou nãolinear) emvariáveis normalizadas valemasseguintes propriedades:

•

um esquema em variáveis normalizadas que passa pelos pontos O(0,0) e P(1,1) é limitado

(ondiçãoneessária);

•

umesquemaemvariáveisnormalizadasquepassapeloponto Q(1/2,3/4)alança segundaordem

de preisão(ondiçãoneessáriae suiente);

•

um esquema em variáveis normalizadas que passa pelo ponto Q(1/2,3/4) e tem inlinação 3/4

nesse ponto,alança tereira ordem depreisão (ondição neessáriae suiente).

A ideia de se onstruir um esquema limitado que atinja (ao menos) segunda ordem e produza

(34)

seguir:

O

(0

,

0);

(2.8)

P

(1

,

1);

(2.9)

Q

(1

/

2 ,

3 /

4);

(2.10)

e paratereiraordem a araterístiadeve passar por essespontosom derivada 3/4 em

Q

.

2.1.1 Critérios de limitação

Soluçõesnumériaslimitadasesemosilaçõesnãofísiassãodesumaimportâniaparaotransporte

depropriedades físias(Tao etal.,2005). Comoobjetivode obtersoluçõeslimitadasfaz-seneessário

queavariação davariável onvetada

φ

nasfaes

f

e

g

(ver Fig. 2.3)esteja loalmentelimitadaentre

osvaloresvizinhos. Por exemplo,paraafae

f

deve-se ter

φ

U

≤

φ

f

≤

φ

D

.

(2.11)

Paraalançartalobjetivo,GaskelleLau(1988)propuseramoritérioonvetion boundednessriterion

(CBC)paralimitação daaraterístia emvariáveis normalizadas, isto é











ˆ

φ

f

∈

[ ˆ

φU,

1]

,

se

φU

ˆ

∈

[0

,

1];

ˆ

φ

f

= 1

,

se

φ

ˆ

U

= 1;

ˆ

φ

f

= 0

,

se

φ

ˆ

U

= 0;

ˆ

φ

f

= ˆ

φ

U

,

se

φ

ˆ

U

∈

/

[0

,

1]

.

(2.12)

A Fig. 2.5ilustra nodiagrama emvariáveis normalizadas aregião de limitaçãoCBC.

ˆ

φ

f

ˆ

φ

U

CBC

1

(35)

Portanto, obtém-se soluções limitadas se o esquema dado por (2.7) está inteiramente ontido na

região CBC. Vale observar que desde há muito o ritério CBC tem sido aeito omo uma ondição

neessáriaesuienteparaderivaresquemaslimitados(GaskelleLau,1988,Darvish,1993,Choietal.,

1995,Waterson eDeonink,2007,Kemm, 2010,Ferreiraetal.,2012,Limaet al.,2012). Todavia,nos

trabalhos de Tao (2000), Yu etal. (2001) e Wei et al. (2006) os autores provaram que a ondição de

limitaçãoCBC éapenassuiente;e,então, elespropuseram novasrestriçõespara limitaçãohamada

extended CBC(ECBC)eilustradanaFig. 2.6. Osresultadosnumériosapresentadosporessesautores

mostraramser satisfatórios,tanto em limitaçãoomo auráia.

ˆ

φ

f

ˆ

φ

U

Q(1/2,3/4)

ECBC

1

Figura2.6: Diagrama devariáveisnormalizadas: RegiãoECBC.

Outroritériodelimitaçãoimportante,equegarantemonotoniidadedasolução,éototalvariation

diminishing (TVD) de Harten et al. (1976) (ver também Sweby e Baines (1981), Harten (1983));

iniialmente dene-se a variação total da solução numéria

φ

no tempo

n

+ 1

por

T V

(

φ

n

+1

) =

X

k

|

φ

n

_k

₊₁

+1

₋

φ

_k

n

+1

_|

,

k

_∈

N

_.

(2.13)

Diz-se entãoque umesquemade onveção éTVD seele produzsolução numériaque satisfaz

T V

(

φ

n

+1

)

_≤

T V

(

φ

n

)

.

(2.14)

Os métodosonstruídos satisfazendoo oneito de limitação TVD araterizam-se por serem

onser-vativos, limitados e impedem a formação de osilações não físias (espúrias) nas soluções numérias

(Harten, 1983). No ontexto de variáveis normalizadas, asondições para umesquema ser TVD são

(ver Harten (1983))







ˆ

φ

f

∈

[ ˆ

φ

U

,

2 ˆ

φ

U

]

e

φ

ˆ

f

≤

1 ,

φ

ˆ

U

∈

[0

,

1]

,

ˆ

φ

_f

= ˆ

φ

U

,

φ

ˆ

U

∈

/

[0

,

1]

.

(2.15)

A Fig. 2.7apresenta aregião TVD no diagramade variáveis normalizadas.

(36)

nor-ˆ

φ

f

ˆ

φ

U

TVD

1

Figura2.7: DVN: RegiãoTVD.

malizadas, algunsdeles utilizadosneste trabalho paraomparação.

•

ADBQUICKEST de Ferreira et al. (2009): Este esquema é umaversão limitadado esquema

QUICKEST de Leonard (1979) e ontempla o número de

CF L

,

θ

=

aδ

t

/δ

x

(sendo

a

uma

ve-loidade de onveção), em sua formulação. O ADBQUICKEST tem sido usado na literatura

para a simulação de sistemas hiperbólios omplexos de leis de onservação (ver, por exemplo,

Candezano etal. (2010a,b),Le (2011), Ferreiraetal. (2012))e problemasde esoamento

inom-pressíveis de uidos newtonianos/não newtonianos nos regimes laminar e turbulento (Ferreira

et al., 2009, Kurokawa, 2009). O ADBQUICKEST tem sido um esquema padrão no ódigo

Freeow e suaformulação é omosegue:

ˆ

φ

f

=











(2

₋

θ

) ˆ

φ

U

,

0 <

φ

ˆ

U

< a

1 ,

ˆ

φ

U

+

1 ₂

(1

− |

θ

|

)(1

−

φ

ˆ

U

)

−

1 ₆

(1

−

θ

2 )(1

−

2 ˆ

φ

U

)

, a

1 < f u < b

1 ,

1 _{− |}

θ

_|

+

_|

θ

_|

φ

ˆ

U

,

b

1 <

φ

ˆ

U

<

1 ,

ˆ

φU,

asoontrário

,

(2.16)

onde

a

1 =

2 ₋

3 _|

θ

_|

+

θ

2

7 ₋

6 _|

θ

_{| −}

3 θ

+ 2

θ

2

e

b

1 =

−

4 + 6

_|

θ

_{| −}

3 θ

+

θ

2 −

5 + 6

θ

₋

3 _|

θ

_|

+ 2

θ

2

.

•

ARORA-ROE de Arora e Roe (1997): Este é um esquema derivado dos trabalhos de Roe e

(37)

A suaformulação éomo segue:

ˆ

φ

f

=











ˆ

φ

U

|

θ

|

+(1

_|

_θ

_|

−

θ

)

,

0 <

φ

ˆ

U

< a

2 ,

ˆ

φ

U

+

1 ₆

[2

−

φ

ˆ

U

+

|

θ

|

(2 ˆ

φ

U

−

1)](1

−

θ

)

, a

2 <

φ

ˆ

U

< b

2 ,

ˆ

φ

U

+

₁

1 _−|

−

θ

_θ

_|

(1

−

φ

ˆ

U

)

,

b

2 <

φ

ˆ

U

<

1 ,

ˆ

φ

U

,

asoontrário

,

(2.17)

onde

a

2 =

2 _|

θ

_{| − |}

θ

_|

2 6 +

_|

θ

_{| −}

2 _|

θ

_|

2

e

b

2 =

6 ₋

(2

_{− |}

θ

_|

)(1

_{− |}

θ

_|

)

6 + (1

_{− |}

θ

_|

)(2

_|

θ

_{| −}

1)

.

•

CUBISTA de Alves et al. (2003): Este é um esquema desenvolvido para melhorar as

pro-priedadesde onvergêniaem esoamentos transientes. Asua expressãoé omosegue:

ˆ

φ

f

=











7

4 φ

ˆ

U

,

0 <

φ

ˆ

U

<

3 /

8 ,

3

4 φU

ˆ

+

3

8 ,

3 /

8 ≤

φU

ˆ

≤

3 /

4 ,

1

4 φ

ˆ

U

+

3

4 ,

3 /

4 <

φ

ˆ

U

<

1 ,

ˆ

φ

U

,

φ

ˆ

U

∈

/

(0

,

1)

.

(2.18)

•

TOPUS de Ferreira et al. (2012): Este esquema é o primeiro da família dos esquemas upwind

polinomiaisdesenvolvidonoLMACCdoICMC-USP.TOPUSdependedeumparâmetrolivre

α

,

atingindoseumelhor desempenhoem

α

= 2

. A suaformulação éomo segue:

ˆ

φ

f

=







α

φ

ˆ

4 U

+ (

−

2 α

+ 1) ˆ

φ

U

3 + (

5 α

−

4

10 ) ˆ

φ

2 U

+ (

−

α

4 +10

) ˆ

φ

U

,

φ

ˆ

U

∈

[0

,

1];

ˆ

φ

U

,

φ

ˆ

U

∈

/

[0

,

1]

.

(2.19)

•

SUPERBEEde Roe (1986): Esteé umesquemade segundaordem depreisão loal,

popular-menteusadoemproblemasompressíveis,etemsidoumesquemapadrãonoódigoMFiX(2011)

para a simulação omputaional de esoamentos de duas fases gás-sólido. A sua formulação é

omosegue:

ˆ

φ

f

=











2 ˆ

φ

U

,

0 ≤

φ

ˆ

U

<

1 ₃

;

1

2 (1 + ˆ

φ

U

)

,

1

3 ≤

φ

ˆ

U

<

1

2 ;

3

2 φ

ˆ

U

,

1

2 ≤

φ

ˆ

U

<

2

3 ;

1 ,

2 ₃

_≤

φU

ˆ

_≤

1;

ˆ

φ

U

,

φ

ˆ

U

∈

/

[0

,

1]

.

(2.20)

(38)

esquemapadrão noódigoCLAWPACK. Em resumo, aformulaçãodo MCé omosegue:

ˆ

φ

f

=











2 ˆ

φ

U

,

0 ≤

φ

ˆ

U

<

1 ₄

;

ˆ

φ

U

+

1 ₄

,

1 ₄

≤

φ

ˆ

U

<

3 ₄

;

1 ,

3 ₄

_≤

φ

ˆ

U

≤

1;

ˆ

φ

U

,

φ

ˆ

U

∈

/

[0

,

1]

.

(2.21)

2.1.2 Limitadores de uxo

Aideiabásiadoslimitadoresdeuxo(LF)élimitaresquemasnãomonotnios. Tradiionalmente,

oslimitadores deuxo sãoembutidos emesquemasnumérios dealta resolução, tais omooesquema

MUSCLdevanLeer (1979),paraevitar oapareimento deosilaçõesnãofísiasna solução numéria.

Ooneitodelimitadorde uxofoiintroduzidoporvanLeer(1973,1974)eBoriseBook(1973,1976)

numa série de trabalhos sobre os esquemas upwind de segunda ordem que não produzem osilações

numérias (verdetalhesemHirsh(2007)).

Com o intuito de preisar melhor o oneito de limitador de uxo, onsidera-se o transporte

uni-dimensional de um esalar

u

om veloidade

a >

0

modelado pela equação linear

u

t

+

au

x

= 0

.

Soluçõesnumérias paraessaequaçãopodemserobtidasviaoesquema(nãoTVD)deLaxeWendro

(1960)-LW(ou umadisretizaçãodesegundaordem,ouaindaoesquemaupwind desegundaordem de

Warminge Beam (1976)-WB). Em partiular, ométodo deLW paraessaequação linear édado por

u

n

_i

+1

=

u

n

_i

₋

θ

(

u

n

_i

₊₁

₋

u

n

_i

₋

₁

) +

θ

2

2 (

u

n

i

+1

−

2 u

n

i

+

u

n

i

−

1 )

,

(2.22)

onde adisretização foifeita tomando-se omobaseo ponto de malha(

iδ

x

, nδ

t

) e usando-sediferença

parafrentenotempo(métododeEuler)eentralnoespaço. AFig. 2.8mostraasoluçãonumériavia

o método (2.22) e solução analítia parao transportede uma onda quadrada via aequação adveção

(2.2) om

u

= 1

. Vê-selaramente por essagura queoesquema de LW gerasoluçõesnumérias não

limitadas.

Este esquema pode ser separado em uma parte de primeira ordem (FOU) mais uma parte que

orresponde a termosnão monotnios deorreção, isto é

u

n

_i

+1

=

u

n

_i

₋

θ

(

u

n

_i

₋

u

n

_i

₋

₁

)

|

{z

}

FOU

+

θ

2 (1

−

θ

)(

u

n

i

−

u

n

i

−

1 )

−

θ

2 (1

−

θ

)(

u

n

i

+1

−

u

n

i

)

|

{z

}

termosnãomonótonos

.

(2.23)

Para tornar o esquema (2.23) limitado (TVD), multiplia-se a sua segunda parte por uma função

Ψ = Ψ(

r

)

(queéolimitadordeuxo),onde

r

éumsensordesuavidadequedetetagradienteselevados

(pontos extremos, desontinuidades ou hoques) e denido omo a razão dos gradientes onseutivos