PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA CIVIL
“Análise do comportamento experimental e
numérico de prismas de alvenaria
estrutural submetidos a ações verticais
utilizando elementos finitos
volumétricos”
MARCELO RODRIGO DE MATOS PEDREIRO
Orientador: Prof. Dr. Rogério de Oliveira Rodrigues
Dissertação apresentada à Faculdade de Engenharia - UNESP – Campus de Ilha Solteira, para obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil.
Área de Conhecimento: Estruturas
Elaborada pela Seção Técnica de Aquisição e Tratamento da Informação Serviço Técnico de Biblioteca e Documentação da UNESP - Ilha Solteira.
Pedreiro, Marcelo Rodrigo de Matos.
P371a Análise do comportamento experimental e numérico de prismas de alvenaria estrutural submetidos a ações verticais utilizando elementos finitos volumétricos / Marcelo Rodrigo de Matos Pedreiro. -- Ilha Solteira : [s.n.], 2011
209 f. : il.
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual Paulista. Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira. Área de Conhecimento: Estruturas, 2011
Orientador: Rogério de Oliveira Rodrigues Inclui bibliografia
1. Alvenaria estrutural. 2. Prismas. 3. Método dos elementos finitos. 4. Comportamento estrutural não-linear.
Agradeço primeiramente a DEUS, em quem confio plenamente, pela vida maravilhosa que me concedeste.
Ao Prof. Dr. Rogério de Oliveira Rodrigues, pela orientação, dedicação e pela cumplicidade no desenvolvimento deste trabalho, sem os quais jamais teria chegado até aqui. Mais que um professor, um grande amigo e incentivador.
Aos meus amigos e grandes incentivadores, desde os tempos da graduação, Prof. MSc. Roberto Racanicchi, Prof. MSc Maicon Marino Albertini, e Prof. MSc. Edson Florentino de Souza.
A todos os professores do Departamento de Engenharia Civil da FEIS/UNESP que me fizeram crescer não só em conhecimento, mas como pessoa, durante esse período de convívio e aprendizado, em especial os professores Prof. Dr. Haroldo de Mayo Bernardes, Prof. Dr. Renato Bertolino Jr. e Prof. Dr. Jefferson Sidney Camacho.
Agradeço aos meus amigos, que compartilharam comigo esses anos de mestrado, sabendo cultivar uma amizade que o tempo amadureceu.
À minha esposa Paula e meu filho Felipe pela motivação, paciência e compreensão em todas as horas que precisei privá-los do convívio.
PEDREIRO, M. R. M. Análise do comportamento experimental e numérico de prismas de alvenaria estrutural submetidos a ações verticais utilizando elementos finitos volumétricos. 210p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2011.
Com a crescente evolução da engenharia estrutural e dos diferentes sistemas construtivos, o profissional atuante nessa área necessita incorporar o microcomputador como uma ferramenta básica, de modo a manter a qualidade, a competitividade e a eficiência de seu trabalho. Apesar de o projeto de alvenaria estrutural ter uma modelagem bastante simples, a utilização de ferramentas computacionais para auxiliar o projetista, no desenvolvimento da análise e do cálculo, corresponde a uma parcela significativa do tempo total despendido na execução do projeto. Frente a esse fato, apresenta-se como necessidade imediata o desenvolvimento de códigos computacionais confiáveis que possibilitem efetuar várias simulações de situações de projeto e carregamento.
discretização, sendo que para a consideração da não-linearidade dos materiais utilizou-se o critério de Mohr-Coulomb, permitindo representar a diminuição da rigidez em função da ruptura do material. O código gerado em linguagem Visual Basic permitiu realizar simulações numéricas, cujos resultados quando comparados com resultados experimentais mostraram-se bastante satisfatórios.
PEDREIRO, M.R.M., Experimental and numeric analysis of behavior of the masonry prisms submitted to vertical actions using volumetric finite elements. 210p. Dissertação (Mestrado em Engenharia Civil) – Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, Universidade Estadual Paulista, Ilha Solteira, 2011.
With the growth of the Structural Engineering and the different building systems, the professional who works in this area needs to incorporate the computer as a basic tool in a way to keep the quality, competitiveness, and the efficiency of his work. Despite of the structural masonry project has a very simple modeling, the uses of computational tools help the designer in the development of the analysis and the calculation, it corresponds to a significant plot of the total time spent on the project execution. Before this fact, it is presented as an immediate necessity the development of computational reliable programs which enables to perform many simulations of design situations and loading.
In this context, the present work aims the numerical simulation of nonlinear behavior of physical structural masonry prisms submitted to vertical actions. The Finite Element Method will be employed as discrete models to numerical analysis using triangular linear prisms with six nodes and parabolic prisms with fifteen nodes, simulating concrete blocks parts (14 x 19 x29cm), as well as the mortar joints, making a tridimentional modulation of the prism, besides considering separately the physical characteristics of each cited material.
The code generated in Visual Basic language allowed making numerical simulations whose results, when compared to the experimental, are showed as very satisfying.
Figura 1.1 – Discretização do prisma para o elemento prismático
regular de 8 nós ... 22
Figura 1.2 – Discretização do prisma com o elemento prismático regular de 20 nós ... 23
Figura 1.3 - Geometria do bloco de concreto. ... 24
Figura 1.4 - Geometria do elemento finito (Wedge). ... 24
Figura 1.5 - Discretização do chanfro com elemento finito prismático triangular. ... 25
Figura 2.1 - Comportamento tensão x deformação típico do concreto. 30 Figura 2.2 - Curva típica tensão x deformação axial e tensão x deformação volumétrica do concreto para ensaio de compressão uniaxial. ... 31
Figura 2.3 - Critério de Mohr-Coulomb. ... 33
Figura 2.4 – Definição da superfície de ruptura. ... 35
Figura 2.5 – Definição da superfície de ruptura no plano desviador. ... 36
Figura 2.6 – Relação Tensão x Deformação Genérica. ... 38
Figura 3.1 – Elemento finito prismático linear com seis nós. ... 41
Figura 3.2 – Sistema de coordenadas. ... 42
Figura 3.3 - Sistema de coordenadas obliquas. ... 43
Figura 3.4 - Pirâmide de Pascal. ... 47
Figura 3.5 - Valores para as coordenadas nodais – W6. ... 48
Figura 4.1 - Elemento finito prismático parabólico com quinze nós. 62 Figura 4.2 - Valores para as coordenadas nodais – W15. ... 65
Figura 5.1 - Discretização da viga com carregamento axial (KN) em z e 8 elementos W6. ... 83
Figura 5.2 – Resultados dos deslocamentos nodais (cm) para discretização com 8 elementos W6 e carregamento axial. ... 84
Figura 5.3 – Discretização da viga com carregamento perpendicular ao eixo (KN) e 8 elementos W6. ... 85
Figura 5.4 – Resultados dos deslocamentos nodais (cm) para discretização com 8 elementos W6 e carregamento (KN) perpendicular ao eixo. ... 86
Figura 5.5 – Discretização da viga com carregamento perpendicular ao eixo (KN) e 256 elementos W6. ... 87
Figura 5.6 - Resultados dos deslocamentos nodais (cm) para discretização com 256 elementos W6 e carregamento (KN) perpendicular ao eixo. ... 88
Figura 5.8 – Discretização da viga com carregamento axial(KN) e oito
elementos W15. ... 90
Figura 5.9 - Resultados dos deslocamentos nodais (cm) para discretização com 8 elementos W15 e carregamento axial (KN). ... 91
Figura 5.10 - Discretização da viga com carregamento perpendicular ao eixo (KN) e oito elementos W15. ... 92
Figura 5.11 - Resultados dos deslocamentos nodais (cm) para discretização com 8 elementos e carregamento perpendicular(KN). ... 93
Figura 5.12 – Discretização da viga com duas camadas de elementos W15. ... 94
Figura 5.13 – Discretização da viga com carregamento perpendicular ao eixo (KN) e oito elementos W15. ... 94
Figura 5.14 - Resultados dos deslocamentos nodais (cm) na direção y, discretizado com duas camadas de elementos W15 e carregamento perpendicular (KN). ... 95
Figura 5.15 – Prisma discretizado com elementos pentaétricos triangulares. ... 97
Figura 5.16 – Primeira camada de Elementos Finitos (Bloco). ... 98
Figura 5.17 – Segunda camada de Elementos Finitos (Bloco). ... 98
Figura 5.18 – Terceira camada de Elementos Finitos (Argamassa). ... 98
Figura 5.19 – Quarta camada de Elementos Finitos (Bloco). ... 99
Figura 5.20 – Quinta camada de Elementos Finitos (Bloco). ... 100
Figura 5.21 – Posição das camadas nodais nos prismas, discretizados com elementos lineares. ... 101
Figura 5.22 – Primeira camada de nós para elemento W6. ... 101
Figura 5.23 – Segunda camada de nós para elemento W6. ... 102
Figura 5.24 – Terceira camada de nós para elemento W6. ... 102
Figura 5.25 – Quarta camada de nós para elemento W6. ... 103
Figura 5.26 – Quinta camada de nós para elemento W6. ... 103
Figura 5.27 – Sexta camada de nós para elemento W6. ... 104
Figura 5.28 – Prisma discretizado com elementos W6 e carregado em z ... 105
Figura 5.29 - Posição das camadas nodais nos prismas, discretizados com elementos W15. ... 106
Figura 5.30 – Primeira camada de nós para elemento W15. ... 107
Figura 5.31 – Segunda camada de nós para elemento W15. ... 108
Figura 5.32 – Terceira camada de nós para elemento W15. ... 109
Figura 5.36 – Sétima camada de nós para elemento W15. ... 113
Figura 5.37 – Oitava camada de nós para elemento W15. ... 114
Figura 5.38 – Nona camada de nós para elemento W15. ... 115
Figura 5.39 – Décima camada de nós para elemento W15. ... 116
Figura 5.40 – Décima primeira camada de nós para elemento W15. ... 117
Figura 5.41 – Prisma discretizado com elementos W15 e força distribuída em z ... 120
Figura 5.42 – Fluxograma geral de cálculo. ... 121
Figura 6.1 – Primeiros elementos a romper no PR2-A01, análise com elemento W6. ... 128
Figura 6.2 - Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais e numéricos - W6 – PR2-A01. ... 128
Figura 6.3 – Primeiros elementos a romper no PR2-A01, analise com elemento W15. ... 130
Figura 6.4 - Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais obtidos por Albertini (2009) e o resultado do elemento W15 – PR2-A01 ... 131
Figura 6.5 - Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais obtidos por Albertini (2009) e o resultado numérico dos elementos W15 e W6 – PR2-A01. ... 131
Figura 6.6 – Modo de ruptura do prisma PR2-A01. ... 132
Figura 6.7 – Primeiros elementos a romper no PR2-A02, análise com elemento W6. ... 135
Figura 6.8 - Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais obtidos por Albertini (2009) e o resultado do elemento W6 – PR2-A02. ... 136
Figura 6.9– Primeiros elementos a romper no PR2-A02, análise com elemento W15. ... 138
Figura 6.10 - Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais obtidos por Albertini (2009) e o resultado do elemento W15 – PR2-A02. ... 139
Figura 6.11 - Gráfico Força x Deslocamento comparativo entre resultados experimentais obtidos por Albertini (2009) e o resultado numérico dos elementos W15 e W6 – PR2-A02. ... 139
Tabela 5.1 - Deslocamentos x números de camadas ... 87
Tabela 5.2 – Forças nodais em z – W6 (KN) ... 104
Tabela 5.3 – Forças nodais em z – W15(KN) ... 118
Tabela 6.1 – Deslocamentos dos nós 299, 312, 353 e 361 no PR2-A01 -
W6 ... 127
Tabela 6.2 – Deslocamentos dos nós 1165, 1217, 1387 e 1425 no
PR2-A01 – W15 ... 129
Tabela 6.3 – Deslocamentos dos nós 299, 312, 353 e 361 no PR2-A02 -
W6 ... 134
PR2-LISTA DE SÍMBOLOS
, ,
x y z
ε ε ε Componentes de deformações lineares (específicas) nas
direções x, y, z
, ,
xy yz xz
γ γ γ Componentes de deformações (específicas) de cisalhamento
ou de distorções
, ,
x y z
σ σ σ Componentes normais de tensões nas direções x, y, z
, ,
xy yz xz
τ τ τ Componentes cisalhantes de tensão
c
f Resistência à compressão do material
t
f Resistência à tração do material
c Coesão do material
φ Ângulo de atrito interno do material
1, 2, 3
σ σ σ
Tensões principais1
I Primeiro invariante do tensor das tensões
2
J Segundo invariante do tensor desviador
θ Ângulo de similaridade ou invariante cilíndrico
σoct Tensão normal octaédrica
ξ Módulo do vetor hidrostático
ρ Módulo do vetor desviador
τoct Tensão tangencial octaédrica
E0 Módulo de elasticidade inicial
R Redutor do módulo de elasticidade
Einst Módulo de elasticidade instantâneo
P
Π Energia potencial total
U Energia de deformação elástica
Ω Energia potencial das forças externas
e
f
Vetor de forças nodais equivalentes do elemento
d
Vetor das componentes de deslocamento nodais
0
µ
Energia de deformação específicae
V Volume do elemento
φ
Matriz das funções de forma do elemento
E
Matriz dos coeficientes elásticos
L
~
J Matriz Jacobiana de transformação de coordenadas
s
k
Matriz de rigidez secante do elemento
V
p
Vetor de forças volumétricas
S
p
Vetor de forças superficiais
C
p
Vetor de forças concentradas no elemento
, ,
ξ η ζ Coordenadas adimensionais ou normalizadas
x,y,z Coordenadas cartesianas do sistema local
a,b,c Dimensões do elemento finito
SUMÁRIO
CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO ... 19
1.1 - Definição do problema ... 22
1.2 - Objetivos ... 25
1.3 - Apresentação da estrutura da dissertação ... 26
CAPÍTULO 2 - MODELOS FÍSICOS NÃO-LINEARES ... 28
2.1 - Comportamento não-linear do concreto ... 29
2.2 - Critério de ruptura de Mohr-Coulomb ... 32
2.3 - Módulo de elasticidade instantâneo dos materiais .... 37
CAPÍTULO 3 - ELEMENTO FINITO VOLUMÉTRICO LINEAR ... 41
3.1 - Funções de forma ... 46
3.2 - Matriz de rigidez ... 52
CAPÍTULO 4 - ELEMENTO FINITO VOLUMÉTRICO PARABÓLICO ... 62
4.1 - Funções de forma ... 63
4.2 - Matriz de rigidez ... 69
CAPÍTULO 5 - ANÁLISE NUMÉRICA E ASPECTOS COMPUTACIONAIS ... 82
5.1 - Validação da matriz de rigidez ... 82
5.1.1 - Exemplo 1 ... 82
5.1.1.1 - Viga com oito elementos W6 e força axial ... 82
5.1.1.2 -Viga com oito elementos W6 e força perpendicular ao eixo... ... 84
5.1.1.3 - Viga com elementos W6 e força perpendicular ao eixo... ... 86
5.1.2 - Exemplo 2 ... 88
5.1.2.1 - Viga com oito elementos W15 e força axial ... 89
5.1.2.2 - Viga com oito elementos W15 e força perpendicular ao eixo... ... 91
5.1.2.3 - Viga com 16 elementos W15 e força perpendicular ao eixo... ... 93
5.2 - Análise de prismas de alvenaria ... 95
5.2.1 - Discretização do prisma ... 96
5.2.1.1 - Modelo discretizado com elemento W6 ... 100
CAPÍTULO 6 - ANÁLISE COMPARATIVA ... 125
6.1 - Prisma vazio assentado com argamassa A01 ... 125
6.1.1 - Análise comparativa utilizando o elemento W6 ... 126
6.1.2 - Análise comparativa utilizando o elemento W15 ... 129
6.1.3 - Análise comparativa utilizando os elemento W6 e W15 .. ... ... 131
6.2 - Prisma vazio assentado com argamassa A02 ... 132
6.2.1 - Análise comparativa utilizando o elemento W6 ... 133
6.2.2 - Análise comparativa utilizando o elemento W15 ... 136
6.2.3 - Análise comparativa utilizando os elemento W6 e W15 ... ... 139
CAPÍTULO 7 - CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 141
7.1 - Discussão dos resultados ... 141
7.2 - Conclusão ... 142
7.3 - Proposta para desenvolvimento futuro ... 142
REFERÊNCIAS ... 144
ANEXO I ... 148
CAPÍTULO 1 -
INTRODUÇÃO
A alvenaria convencional consiste em blocos ou tijolos unidos entre si por juntas de argamassa e tem papel apenas de vedação. No caso da alvenaria estrutural, além do papel de vedação, ela também desempenha função estrutural.
As construções de alvenaria estrutural, desde o começo das civilizações, vêm sendo utilizadas com base na experiência adquirida ao longo do tempo, através de tentativas e erros (CAMACHO, 1995 apud ANDOLFATO, 2002, p.1).
Conforme Logullo (2006, p.17 citado por ALBERTINI 2009, p.17), impulsionada pelos baixos custos e pelo déficit habitacional nacional, a alvenaria estrutural apresenta grande potencial de crescimento por propiciar maior racionalidade na execução da obra, redução de consumo e do desperdício dos materiais, aumentando a eficiência da mão-de-obra, além de apresentar nítidas vantagens quanto à diminuição de espessuras de revestimento a ser utilizado.
Para um melhor aproveitamento do potencial resistente do sistema estrutural, é ideal aperfeiçoar o desempenho de todos os elementos que o compõem, tais como: bloco, argamassa, graute e armadura. Para tal é necessário um conhecimento das características dos materiais, assim como os fenômenos físicos e mecânicos que ocorrem na alvenaria em regime de serviço.
No entanto cabe ao engenheiro desenvolver novas tecnologias para representar os fenômenos físicos através da modelagem numérica, recorrendo às informações da natureza, quando necessário, para resolver as abstrações matemáticas e compreender o comportamento de um sistema através da modelagem física.
Segundo Faglioni (2006, p.13 citado por ALBERTINI 2009, p.18), a análise estrutural estática tem como objetivo determinar a intensidade e a forma de distribuição dos esforços em um determinado sistema estrutural, quando esse é submetido a um carregamento qualquer, sem que o mesmo varie ao longo do tempo. Assim, o campo de tensões calculado deve apresentar um equilíbrio entre as forças internas e externas, bem como deslocamentos contínuos.
Para cada tipo de comportamento estrutural, que é objeto de estudo, cabe um tipo de análise que pode ser linear ou não-linear. No caso de análise do comportamento linear da estrutura, deve-se considerar a manutenção das propriedades do material (linearidade física), assim como a manutenção das características geométricas iniciais (linearidade geométrica); entretanto para uma análise não-linear, considera-se mudança das propriedades físicas (não-linearidade física), da geometria inicial (não-linearidade geométrica) ou ainda a alteração da geometria e das propriedades físicas (dupla não-linearidade).
sistemas, de forma que sejam satisfeitas as condições de contorno. Além de que, nos sistemas contínuos, o número de graus de liberdade é infinito, em decorrência da continuidade, o que dificulta esse tipo de análise para resolução do problema.
Devido a essas dificuldades, surgiram os métodos numéricos, após o advento dos computadores, que foram capazes de transformar o sistema estrutural contínuo, com infinitos graus de liberdade, em um sistema estrutural discreto, com um número finito de graus de liberdade. Com relação aos métodos, pode-se citar o Método dos Elementos Finitos (MEF), Método das Diferenças Finitas e o Método dos Elementos de Contorno, entre outros.
O Método dos Elementos Finitos foi idealizado com os trabalhos de Argyris e Kelsey (1954, apud RODRIGUES 1997, P.1) e de Turner et al (1956, apud RODRIGUES 1997, P.1). Com isso, os pesquisadores passaram a ter uma ferramenta poderosa que permite a modelagem numérica dos fenômenos envolvidos na análise estrutural. O MEF baseia-se na discretização do sistema estrutural, onde seus componentes são divididos em pequenas regiões, chamadas elementos finitos.
Quando aplicado a problemas de análise estrutural, o conceito básico do MEF é tal que o sistema estrutural contínuo pode ser modelado numericamente pela sua subdivisão em pequenas regiões (os elementos finitos), que conectados entre si através de nós formam o conjunto estrutural discreto.
resolver o problema estrutural desejado, uma vez que, para tais sistemas, é fácil a imposição das condições de contorno da estrutura. Por ser um método de discretização, a solução obtida é aproximada e para se obter uma resposta satisfatória, usualmente, deve-se escolher o tipo adequado de elemento finito, assim como a quantidade e a disposição geométrica do mesmo.
1.1 - Definição do problema
O presente trabalho está inserido na linha de pesquisa sobre análise numérica e experimental do comportamento não-linear da alvenaria estrutural, vinculada ao Núcleo de Ensino e Pesquisa da Alvenaria Estrutural - NEPAE, que teve início com o trabalho de Silva Junior (2007). Nesse primeiro trabalho, o autor realizou uma análise numérica do comportamento não-linear de prismas de alvenaria estrutural submetidos a ações verticais utilizando o elemento finito prismático regular linear, discretizando blocos e argamassas (Figura 1.1) com elementos finitos de geometria cúbica com oito nós situados nos vértices, apresentando uma variação linear de deslocamentos ao longo de seus lados.
Figura 1.1 – Discretização do prisma para o elemento prismático regular de 8 nós
Posteriormente Albertini (2009) realizou uma análise do comportamento experimental e numérico de prismas de alvenaria estrutural utilizando o elemento finito prismático regular parabólico, discretizando blocos e argamassas com mesma geometria apresentado por Silva Junior (2007), porém com uma melhor discretização (Figura 1.2) e com um elemento finito de vinte nós, com três nós situados em cada borda, sendo a variação de deslocamento parabólica ao longo dos lados do elemento.
Figura 1.2 – Discretização do prisma com o elemento prismático
regular de 20 nós
Fonte: Albertini (2009, p.129)
Figura 1.3 - Geometria do bloco de concreto.
Fonte: Pedreiro (2011)
Na escolha dos elementos finitos volumétricos a serem desenvolvidos optou-se por elementos que apresentem geometria triangular nas superfícies paralelas, conforme apresentado na Figura 1.4, contendo seis e quinze nós, permitindo o acoplamento entre os elementos utilizados por Silva Junior (2007) e Albertini (2009), respectivamente.
Figura 1.4 - Geometria do elemento finito (Wedge).
Fonte: Pedreiro (2011)
Figura 1.5 - Discretização do chanfro com elemento finito prismático triangular.
Fonte: Pedreiro (2011)
1.2 - Objetivos
Este trabalho tem como objetivos:
•Apresentar o desenvolvimento explícito das matrizes de rigidez do elemento finito prismático linear com seis nós e do elemento finito prismático parabólico com quinze nós;
•discretizar prismas de alvenaria estrutural compostos por blocos de concreto, utilizando-se os elementos finitos já mencionados, e fazer análise numérica com cada um separadamente;
•aplicar modelos físicos não-lineares para o concreto,
visando a análise para carregamentos estáticos;
•elaborar sub-rotinas computacionais em linguagem VBASIC de modo a simular o comportamento não-linear da alvenaria estrutural;
1.3 - Apresentação da estrutura da dissertação
Neste primeiro capítulo procurou-se mostrar uma visão geral do trabalho desenvolvido, descrevendo-se, para tanto, tema e motivação, definição do problema, objetivos do trabalho, e finalizando, uma apresentação sucinta dos capítulos subseqüentes.
No segundo capítulo será exposto de forma sucinta o critério de ruptura de Mohr-Coulomb, que será implantado no código computacional, e o equacionamento necessário para consideração do módulo de elasticidade instantâneo dos materiais.
No terceiro capítulo será apresentada a dedução da matriz de rigidez do elemento finito prismático linear com seis nós de vértice e três graus de liberdade por nó, utilizado na discretização do prisma.
No quarto capítulo apresenta a dedução da matriz de rigidez do elemento finito prismático linear com quinze nós e três graus de liberdade por nó, utilizado na discretização do prisma.
No quinto capítulo são apresentados todos os elementos da análise numérica, sendo descritos aspectos referentes à discretização do prisma e fluxograma geral de cálculo do código computacional que realiza a análise não-linear por meio do MEF, utilizando-se um processo incremental de carregamento.
deslocamentos de um ponto específico e comum às duas análises.
No sétimo capítulo será realizada a discussão dos resultados obtidos, seguido da conclusão e de uma proposta para desenvolvimento futuro nessa mesma linha de pesquisa.
CAPÍTULO 2 -
MODELOS FÍSICOS NÃO-LINEARES
Considerando-se o material estrutural como tendo comportamento elástico-linear, as relações constitutivas apresentadas pela Mecânica dos Sólidos são dadas pelas equações (2.1) a (2.6), conforme apresentado em Faglione (2006, p.45 e p.46)
(
)
1
x x y z
E
ε
=
ª
¬
σ
−
ν σ
+
σ
º
¼
(2.1)(
)
1
y y x z
E
ε
=
ª
¬
σ
−
ν σ
+
σ
º
¼
(2.2)(
)
1
z z x y
E
ε
=
ª
¬
σ
−
ν σ
+
σ
º
¼
(2.3)(
)
2 1
xy xy
E
ν
γ
=
+
τ
(2.4)(
)
2 1
xz xz
E
ν
γ
=
+
τ
(2.5)(
)
2 1
yz yz
E
ν
γ
=
+
τ
(2.6)acréscimo de uma pequena parcela de carregamento, surgindo inclusive deformações irreversíveis ou plásticas.
Deste modo para considerar a diminuição da rigidez e as deformações irreversíveis, se faz conveniente a utilização de modelos que permitam analisar a deformação e ruptura dos prismas de alvenaria estrutural.
Muitos modelos ou critérios de ruptura podem ser encontrados na literatura, onde comumente os mesmos são definidos no espaço das tensões pelo número de constantes mecânicas do material. O comportamento do concreto pode ser modelado por meio da simulação matemática das relações entre tensão e deformação a partir de uma série de experimentos simples, em que se procura definir a forma da superfície de ruptura do concreto, desconsiderando-se os mecanismos microscópicos intrínsecos do material.
Neste trabalho, será adotado o critério de Mohr-Coulomb, sendo esse um dos critérios mais indicados para análise do comportamento do concreto submetido a um estado qualquer de tensões.
2.1 - Comportamento não-linear do concreto
As deformações irreversíveis causadas no concreto surgem principalmente pelo processo da microfissuração ocorrida internamente ao material. A ocorrência desse processo se dá principalmente na zona de transição que é a região definida entre a pasta de cimento e o agregado graúdo, e é responsável pela diminuição da rigidez estrutural, conforme ilustrado na Figura 2.1.
microfissuras têm abertura inferior a 10µm e comprimento entre 3 e 13 mm, antes mesmo da aplicação do carregamento. Após a aplicação do carregamento, a microfissuração acontece gradativamente no interior do concreto como resultado da alteração da distribuição de tensões entre a pasta de cimento e o agregado graúdo, e se dá pela ausência ou perda progressiva da aderência na zona de transição.
Figura 2.1 - Comportamento tensão x deformação típico do concreto.
Fonte: Rodrigues (2002, p.177)
Figura 2.2 - Curva típica tensão x deformação axial e tensão x deformação volumétrica do concreto para ensaio de compressão
uniaxial.
Fonte: Rodrigues (2002, p.201)
A primeira fase corresponde a tensões até cerca de 30% da sua resistência à compressão, em que o concreto apresenta comportamento elástico sem apresentar deformações permanentes, conforme mostrado na Figura 2.2, e linear, sendo que as fissuras instaladas no elemento antes do carregamento mantêm-se praticamente inalteradas após o início do mesmo. (BUCHAIM, 2001 apud ALBERTINI, 2009, p.25)
Na terceira fase, para tensões aplicadas acima de 0,5.fc, ocorre o início da fissuração na pasta de cimento, com união das fissuras na zona de transição (fissuras de aderência). A propagação das fissuras ainda é estável, não aumentando para valores de força constantes. A fissuração dá-se paralelamente à carga, e este estágio é chamado limite de descontinuidade. (BUCHAIM, 2001 apud ALBERTINI, 2009, p.26)
Na quarta fase, para tensões aplicadas na faixa de (0,75 a 0,80).fc, as fissuras aumentam até o limite crítico, podendo-se
conduzir o elemento até a ruptura. Nesta fase, o concreto apresenta fraturas dependentes do tempo, dando início ao processo reverso da deformação volumétrica, que passa da contração a expansão. (BUCHAIM, 2001 apud ALBERTINI, 2009, p.26)
2.2 - Critério de ruptura de Mohr-Coulomb
Para simular o comportamento do concreto submetido a um estado de tensão qualquer, o critério de Mohr-Coulomb tem sido muito utilizado, sendo este uma generalização da equação de ruptura de Coulomb definida por:
tan c
τ
= −σ
φ
(2.7)onde, tem-se:
τ
é a tensão de cisalhamento;σ
é a tensão normal; c é a coesão;φ ângulo de atrito interno do material.
proveniente da referida coesão do material, outra vinda de uma fração da tensão normal atuante nesse mesmo plano. (ALBERTINI, 2009, p.26)
Graficamente, a equação (2.7) representa uma reta tangente ao maior círculo de tensões principais, como mostrado na Figura 2.3. Quando o par de tensões (-
σ
,τ
) atuantes em um ponto qualquer do material situarem-se sobre tal reta ocorrerá à ruptura do material. (ALBERTINI, 2009, p.26)Figura 2.3 - Critério de Mohr-Coulomb.
Fonte: Albertini (2009)
Por meio da Figura 2.3 e para
σ
1≥
σ
2≥
σ
3, a equação (2.7) pode ser reescrita em função das tensões principais. Sendo a distância entre os pontos O e B dados por:1 3 1 3
2
2
OB
=
OE
−
EB
= −
σ
+
σ
−
σ
−
σ
⋅
sen
φ
(2.8)substituindo-se na equação (2.7) resulta:
1 3
cos
1 3 1 3tan
2
c
2
2
sen
σ
σ
σ
σ
σ
σ
φ
φ
φ
−
§
+
−
·
⋅
= −
¨
+
⋅
¸
⋅
©
¹
(2.9)(
)
(
)
1
1
31
1
2
cos
2
cos
sen
sen
c
c
σ
φ
σ
φ
φ
φ
+
⋅
−
−
=
⋅
⋅
(2.10)O critério ainda pode ser definido em função dos invariantes (I1, J2, ș), onde o primeiro invariante do tensor
das tensões é representado por I1 e é definido pela equação
(2.11), o segundo invariante do tensor desviador pode ser representado por J2 dado pela equação (2.12) e o terceiro
invariante ș é pode ser obtido pela equação (2.13).
1 1 2 3
I
=
σ
+
σ
+
σ
(2.11)(
) (
2) (
2)
22 1 2 2 3 3 1
1
6
J
= = ⋅
ª
¬
σ
−
σ
+
σ
−
σ
+
σ
−
σ
º
¼
(2.12)( )
J
J
2 3 2 32
3
3
3
cos
θ
=
(2.13)Utilizando-se as relações de ı1 e ı3 apresentadas na equação (2.14) onde as tensões principais ficam definidas em função apenas dos invariantes (I1,J2,ș) e substituindo-se na
equação ((2.10) obtém-se o critério em função de (I1, J2, ș),
como mostra a equação (2.15).
(
)
(
)
1 1 2 2 3 1 cos 2 31 cos 120º
3 3
1 cos 120º
I J
σ
θ
σ
θ
σ
θ
½ ½ ½
° ° ° ° ° °
= + −
® ¾ ® ¾ ® ¾
° ° ° ° ° + ° ¯ ¿ ¯ ¿ ¯ ¿ (2.14)
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1 23
60º
.cos
60º
cos
0
3
3
,
,
0
I
sen
J sen
J sen
c
f I J
φ
θ
φ
θ
φ
θ
+
+
+
+
− ⋅
=
=
ou, com auxílio das equações (2.16), (2.17), (2.18) e (2.19):
I
oct 13
1
=
σ
(2.16)3
octξ
=
σ
(2.17)2
2
J
oct3
ρ
=
=
τ
(2.18)J
oct 23
2
=
τ
(2.19)a equação (2.15) pode ser reescrita em função de (
ξ
,ρ
,θ
), conforme a equação (2.20).(
)
(
)
(
,
,
)
0
0
cos
6
60
cos
sen
60
sen
3
sen
2
0 0=
=
−
+
+
+
+
θ
ρ
ξ
φ
θ
φ
ρ
θ
ρ
φ
ξ
f
c
(2.20)Segundo Faglione (2006, p.86) no espaço das tensões principais, o critério de Mohr-Coulomb é representado por uma pirâmide hexagonal irregular, conforme ilustra a Figura 2.4, cujo contorno define a superfície de ruptura do material.
Figura 2.4 – Definição da superfície de ruptura.
Já os comprimentos característicos da superfície de ruptura, relativos aos meridianos de tração e de compressão, podem ser obtidos através da equação (2.20), atribuindo-se os valores (
θ
=00,ξ
=0,ρ
=ρ
T0) e (θ
=600,ξ
=0,ρ
=ρ
C0) respectivamente,conforme equações (2.21) e (2.22):
φ
φ
ρ
sen
3
cos
6
2
0
=
+
c
T (2.21)
φ
φ
ρ
sen
3
cos
6
2
0
=
−
c
C (2.22)
e o módulo do vetor hidrostático
ξ
também pode ser obtido através da equação (2.20), considerando-se nulo o módulo do vetor desviador (ρ
= 0), que resulta a equação (2.23).φ
ξ
=
3c
cot
(2.23)Dessa forma, em relação ao plano desviador, a superfície de ruptura fica definida por um hexágono irregular, conforme ilustrado pela Figura 2.5.
Figura 2.5 – Definição da superfície de ruptura no plano desviador.
Finalizando-se, os parâmetros c e
φ
podem ser definidos em função da resistência à tração ft e da resistência à compressãofc do concreto, obtidas através de um ensaio de tração simples
e de compressão simples, respectivamente.
Assim, para ensaio de compressão simples os valores das tensões principais são dados por σ1 = σ2 = 0 e σ3 = fc e ensaio
de tração simples por σ2 = σ3 = 0 e σ1 = fc. Substituindo-se
tais valores na equação (2.10), obtêm-se as equações (2.24) e (2.25)
φ
φ
sen
1
cos
2
−
−
=
c
f
c (2.24)φ
φ
sen
1
cos
2
+
+
=
c
f
t (2.25)Resolvendo-se tal sistema de equações encontram-se as relações procuradas, conforme equações (2.26) e (2.27), que definem, respectivamente, o ângulo de atrito interno e a coesão em função as resistências ft e fc.
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
−
+
=
−f
f
f
f
t c t c 1sen
φ
(2.26)(
)
(
)
φ
φ
φ
φ
cos
2
sen
1
cos
2
sen
1
+
+
=
−
−
=
f
cf
tc
(2.27)2.3 - Módulo de elasticidade instantâneo dos materiais
comportamento não-linear para determinados níveis de tensão, deve ser avaliada a alteração do módulo de elasticidade do concreto em função da variação das tensões.
Como na formulação do Método dos Elementos Finitos a equação básica de equilíbrio estático tem por princípio o sistema ser considerado como linear, para contornar essa situação, na simulação numérica foi utilizado o processo incremental de forças. (ALTRAN, 2010, p.62)
A Figura 2.6 apresenta uma curva genérica de relação tensão-deformação, ilustrando o módulo de elasticidade inicial e os respectivos módulos de elasticidade instantâneos em função de fc e de İ. (ALBERTINI, 2009, p.124)
Figura 2.6 – Relação Tensão x Deformação Genérica.
Fonte: Albertini (2009, p.124)
Conforme demonstrado por Albertini (2009, p.124 a 125), tem-se que o módulo de elasticidade inicial (E0) é definido
por:
( )
0 tan
E =
α
(2.28)( )
tan
INST
E =
β
(2.29)Desse modo:
R
β =α − (2.30)
onde R é um redutor a ser determinado em função da deformação sofrida pelo elemento e da resistência do material.
Conhecendo-se da trigonometria que:
( )
tan y
x
β =∂
∂ (2.31)
para a situação analisada, pode-se dizer, então que:
INST
E σ
ε
∂ =
∂ (2.32)
Dessa forma, a partir da equação (2.32), os módulos de elasticidade do bloco e da argamassa foram definidos por Albertini (2009, p. 125 a 127), conforme segue.
2.3.1 -Módulo de elasticidade instantâneo do bloco
A partir de resultados obtidos experimentalmente por Albertini (2009, p.125), o módulo de elasticidade instantâneo do bloco de concreto é definido por:
5
473, 6. 3, 00.10 . .
INST
E = fc− fc
ε
(2.33)sendo o módulo de elasticidade inicial dado por:
0 473, 6.
e o redutor R, que reduzirá o módulo de elasticidade do bloco com o aumento das deformações, é dado por:
5
3, 00.10 . .
R= − fc
ε
(2.35)2.3.2 -Módulo de elasticidade instantâneo da argamassa
Baseado em resultados experimentais obtidos por Albertini (2009, p.126) módulo de elasticidade instantâneo da argamassa é definido por:
5
510, 6. 1,30.10 . .
INST
E = fc− fc
ε
(2.36)sendo o módulo de elasticidade inicial dado por:
0 510, 6.
E = fc (2.37)
e o redutor R, que reduzirá o módulo de elasticidade do bloco com o aumento das deformações, é dado por:
5
1, 30.10 . .
CAPÍTULO 3 -
ELEMENTO FINITO VOLUMÉTRICO LINEAR
Para os elementos da alvenaria estrutural (concreto e argamassa) considerou-se, em uma primeira análise, um prisma com uma série de elementos sólidos, e para tal foi adotado como elemento finito prismático o pentaedro triangular reto de seis nós, que apresenta variação linear ao longo de seus lados, denominado W6 (Wedge 6).
Considerando-se o elemento apresentado na Figura 3.1 composto de seis nós de vértice, têm-se como graus de liberdade três translações por nó.
Figura 3.1 – Elemento finito prismático linear com seis nós.
Fonte: Pedreiro (2011)
Figura 3.2 – Sistema de coordenadas.
Fonte: Pedreiro (2011)
Sendo esse triângulo referido ao sistema cartesiano “x” e “y”, adota-se um sistema de coordenadas oblíquas (
ξ
2,ξ
3) que contenha dois lados do elemento, com origem no nó 1 e um eixo auxiliar “x
” também com origem no nó 1 e paralelo a “x”. Considerando-se um ponto “P” qualquer, a posição deste em relação ao nó 1 será dado porξ
2 P ,ξ
3P. A soma das projeções dessas coordenadas sobre “x
” resultará:2
cos
2 3cos
3p P P
x
=
ξ
θ
+
ξ
θ
(3.1)Definindo-se as seguintes coordenadas adimensionais:
2 2
12
l
ξ
ξ
=
3 3
13
l
ξ
ξ
=
(3.2)Para o ponto “P” tem-se:
2P 2P
l
12ξ
=
ξ
ξ
3P=
ξ
3Pl
13 (3.3)introduzindo-se na expressão de “
x
p”:2 12
cos
2 3 13cos
3p P P
x
=
ξ
l
θ
+
ξ
l
θ
(3.4)(
)
(
)
2 2 1 3 3 1
p P P
x
=
ξ
x
−
x
+
ξ
x
−
x
(3.5)uma vez que “P” é um ponto genérico, pode-se dizer que para qualquer ponto:
(
)
3(
)
1 2 2 1 3 1
x
=
x
+
ξ
x
−
x
+
ξ
x
−
x
(3.6)Além do sistema oblíquo já usado, com origem no nó 1, poderia ser usado um outro sistema alternativo com origem no nó 2, como mostra a Figura 3.3.
Figura 3.3 - Sistema de coordenadas obliquas.
Definindo-se as coordenadas adimensionais: 3 3 23
l
ξ
ξ
=
1 1 12l
ξ
ξ
=
(3.7)pode-se escrever com base na geometria, segundo a Figura 3.3:
2 1 3 3
12
cos
1cos
2l
=
ξ
+
ξ
+
ξ
β
+
ξ
β
(3.8)2 1 3 1 3 2
12
cos
cos
1
l
ξ
+
ξ
+
ξ
β
+
ξ
β
=
(3.9)13 23
2 1 3 1 3 2
12 12
1
l
cos
l
cos
l
l
ξ
ξ
ξ
β
ξ
β
=
+
+
+
(3.10)(
)
3
1 2 13 1 23 2
12
1
l
cos
l
cos
l
ξ
ξ
ξ
β
β
=
+
+
+
(3.11)1 2 3
1
=
ξ
+
ξ
+
ξ
(3.12)substituindo-se (3.12) na expressão de “x”:
(
)
(
)
(
)
1 1 2 3 2 2 1 3 3 1
x
=
x
ξ
+
ξ
+
ξ
+
ξ
x
−
x
+
ξ
x
−
x
(3.13)1 1 2 2 3 3
x
=
x
ξ
+
x
ξ
+
x
ξ
(3.14)De modo análogo pode-se mostrar que:
1 1 2 2 3 3
Agrupando-se os resultados obtidos na forma matricial tem-se:
1
1 2 3 2
1 2 3 3
1
1
1
1
x
x
x
x
y
y
y
y
ξ
ξ
ξ
½
ª
º ½
° °
«
»
° °
=
® ¾
«
»
® ¾
° °
«
»
° °
¯ ¿
¬
¼ ¯ ¿
(3.16) ou 1 2 ~ 3
1
x
T
y
ξ
ξ
ξ
½
½
° °
° °
=
® ¾
® ¾
° °
° °
¯ ¿
¯ ¿
(3.17)
cuja inversa é dada por:
1 1 2 ~ 3
1
T
x
y
ξ
ξ
ξ
− ½
½
° °
° °
=
® ¾
® ¾
° °
° °
¯ ¿
¯ ¿
(3.18)
Assim, tem-se:
1 2 3 3 2 2 3 3 2
2 3 1 1 3 3 1 1 3
3 1 2 2 1 1 2 2 1
1
1
2
x y
x y
y
y
x
x
x y
x y
y
y
x
x
x
A
x y
x y
y
y
x
x
y
ξ
ξ
ξ
−
−
−
½
ª
º ½
° °
«
»
° °
=
−
−
−
® ¾
«
»
® ¾
° °
«
−
−
−
»
° °
¯ ¿
¬
¼ ¯ ¿
(3.19)
onde “A” é a área do triangulo que pode ser calculado por:
(
2 3 3 1 3 1 2 1 1 3 3 2)
~
2
Det T
=
x y
+
x y
+
x y
−
x y
−
x y
−
x y
=
A
(3.20)i j k k j
i j k
i k j
a
x y
x y
m
y
y
x
x
x
=
−
°
=
−
®
°
=
−
¯
(3.21)com índices variando ciclicamente, ou seja:
/
1
2,
3
/
2
3,
1
/
3
1,
2
P i
j
k
P i
j
k
P i
j
k
= → =
=
°
= → =
=
®
°
= → =
=
¯
(3.22)chega-se a relação geral:
(
)
1
2
i
a
im x
in y
iA
ξ
=
+
+
(3.23)3.1 - Funções de forma
As funções aproximadoras desse elemento contêm seis monômios extraídos do polinômio algébrico cúbico completo em x, y e z. Nesse caso, para garantir a continuidade com os deslocamentos dos elementos adjacentes, a função deslocamento deve variar linearmente ao longo dos lados. Sendo assim, para um sistema de coordenadas adimensionais, com origem no centro do lado 1-4 do pentaedro, e usando-se a relação encontrada na equação (3.23), pode-se escrever com base na Figura 3.1, que:
2
ξ
=
ξ
eη ξ
=
3 (3.24)portanto, pode-se escrever:
(
2 2 2)
1
2
A
a
m x
n y
ξ
=
+
+
;(
3 3 3)
1
2
A
a
m x
n y
η
=
+
+
ez
c
As funções interpoladoras para os deslocamentos u, v e w, são dadas pelas equações (3.26), (3.27) e (3.28), respectivamente, todos extraídos da pirâmide de Pascal, mostrada na Figura 3.4.
0 1 2 3 4 5
( , , )
u
ξ η ζ
=α
+α ξ α η α ζ α ξζ α ηζ
+ + + + (3.26)0 1 2 3 4 5
( , , )
v
ξ η ζ
=β
+β ξ β η β ζ
+ + +β ξζ
+β ηζ
(3.27)0 1 2 3 4 5
( , , )
w
ξ η ζ
=γ
+γ ξ γ η γ ζ
+ + +γ ξζ
+γ ηζ
(3.28)Figura 3.4 - Pirâmide de Pascal.
Na forma matricial, essas equações são dadas por:
~ ~
.
~u
=
ϕ α
(3.29)em que:
{
}
~
u= u v w
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
ξ η ζ ξζ ηζ
ϕ
ξ η ζ ξζ ηζ
ξ η ζ ξζ ηζ
ª º
« »
=« »
« »
¬ ¼
(3.30)
{
0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5}
T
α
=α
α
α
α
α
α
β
β
β
β
β
β
γ
γ
γ
γ
γ
γ
(3.31)
Particularizando-se para cada nó de acordo com a Figura 3.5 na matriz ϕ
, tem-se:
Figura 3.5 - Valores para as coordenadas nodais – W6.
- No 1 (ξ =0;η=0;ζ = −1):
1
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
ϕ
− ª º « » =« − » « − » ¬ ¼- Nó 2 (ξ =1;η=0;ζ = −1):
2
1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
ϕ
− − ª º « » =« − − » « − − » ¬ ¼- Nó 3 (ξ =0;η=1;ζ = −1):
3
1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
ϕ
− − ª º « » =« − − » « − − » ¬ ¼- Nó 4 (ξ =0;η=0;ζ =1):
4
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
ϕ
ª º « » =« » « » ¬ ¼- Nó 5 (ξ =1;η=0;ζ =1):
5
1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
- Nó 6 (ξ =0;η=1;ζ =1):
6
1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
ϕ
ª º « » =« » « » ¬ ¼Considerando-se conjuntamente os seis nós do elemento tem-se:
d
=
A
⋅
α
(3.32)onde d
é apresentada por:
[
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 5 5 5 6 6 6]
T
d
=
u
v
w
u
v
w
u
v
w
u
v
w
u
v
w
u
v
w
(3.33)
sendo A
:
~
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 A − − − − − − − − − − − − − − − =
0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0
1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0
1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1
ª º « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » « » ¬ ¼ (3.34)
Da equação (3.32) obtém-se a matriz α
matriz dos deslocamentos d
, como mostra a equação (3.35):
1
A
d
α
=
−⋅
(3.35)Generalizando-se os deslocamentos em função das coordenadas da estrutura, os deslocamentos u
do elemento
finito podem ser expressos em função dos deslocamentos nodais
d
, por meio da utilização de funções de forma apropriadas, conforme relação definida pela equação (3.36).
u
=
φ
⋅
d
(3.36)
Substituindo-se a equação (3.35) na (3.29) e comparando-se com a equação (3.36) obtém-se que a matriz das funções de forma φ
, para o elemento finito prismático pentaédrico linear com seis nós, que é dada pela equação (3.37).
1
A
φ ϕ
−= ⋅
(3.37)Explicitamente, a matriz φ
é dada pela equação que segue:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
2
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
N N N N N N
N N N N N N
N N N N N N
φ ª º « » = « » « » ¬ ¼ (3.38)
Com Ni sendo apresentados em um sistema de coordenadas naturais dado pelas equações de (3.39) a (3.44).
(
)(
)
1 1 1
N = − −
ξ η
−ζ
(3.39)(
)
2 1
(
)
3 1
N =
η
−ζ
(3.41)(
)(
)
4 1 1
N = − −
ξ η
+ζ
(3.42)(
)
5 1
N =
ξ
+ζ
(3.43)(
)
6 1
N =
η
+ζ
(3.44)3.2 - Matriz de rigidez
A matriz de rigidez de um elemento finito qualquer pode ser deduzida por meio da equação (3.45).
(
~ ~ ~)
~
T
ks B E B dVe Ve
= ³ (3.45)
onde tem-se:
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1 2
0
0
0
0
0
2
1
1 2
1 2
0
0
0
0
0
2
1 2
0
0
0
0
0
2
E
E
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
υ
−
ª
º
«
»
−
«
»
«
−
»
«
»
−
«
»
=
⋅
«
»
+
−
«
»
−
«
»
«
»
«
»
−
«
»
«
»
¬
¼
(3.46)Jacobiana
~
J de transformação de coordenadas, que relaciona um elemento infinitesimal do domínio real a um elemento infinitesimal no domínio de coordenadas naturais. A matriz dada pela equação (3.47) é chamada de matriz Jacobiana e seu determinante é chamado de Jacobiano.
~
x x x
y y y J
z z z
ξ η ζ
ξ η ζ
ξ η ζ
ª∂ ∂ ∂ º
« » ∂ ∂ ∂ « » «∂ ∂ ∂ » =« » ∂ ∂ ∂ « » «∂ ∂ ∂ » « » ∂ ∂ ∂ ¬ ¼ (3.47)
Com o mapeamento isoparamétrico, pode-se escrever a matriz Jacobiana na forma:
~
e e e
e e e
e e e
e e e
e e e
e e e
N
N
N
x
x
x
N
N
N
J
y
y
y
N
N
N
z
z
z
ξ
η
ζ
ξ
η
ζ
ξ
η
ζ
ª
∂
∂
∂
º
«
»
∂
∂
∂
«
»
«
∂
∂
∂
»
=
«
»
∂
∂
∂
«
»
«
∂
∂
∂
»
«
»
∂
∂
∂
«
»
¬
¼
(3.48)que também pode ser escrita na forma:
6 1
1 1 1
6 1
~
6 6 6
6 1
.
TN
N
x
y
z
N
N
J
x
y
z
N
N
ξ
ξ
η
η
ζ
ζ
ª
∂
∂
º
«
»
∂
∂
«
» ª
º
«
∂
∂
»
«
»
=
«
» «
»
∂
∂
«
» «
¬
»
¼
«
∂
∂
»
«
»
∂
∂
¬
¼
(3.49)fica definida por:
(
)
1
1 1
1 0 0
, , det( )
~ ~ ~
~ V
T
ks f x y z dV B E B J d d d
η
ξ η ζ
−
−
§ ·
= = ¨ ¸
© ¹
³
³ ³ ³
(3.50)tem-se que:
~ ~ ~.
B=L
φ
(3.51)onde φ
é a matriz explicitada em (3.38) e L~ é a matriz de
operadores de derivação, dada pela equação (3.52).
~ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 x y z L y x z x z y ∂ ª º «∂ » « » ∂ « » « ∂ » « » ∂ « » « ∂ » =« » ∂ ∂ « » «∂ ∂ » « » ∂ ∂ « » «∂ ∂ » « ∂ ∂ » « » ∂ ∂ « » ¬ ¼ (3.52)
6 1 2 6 1 2 6 1 2
~ 1 1 2 2 6 6
6 6
1 1 2 2
6 6
1 1 2 2
0 0 0 0 .. .. 0 0
0 0 0 0 .. .. 0 0
0 0 0 0 .. .. 0 0
0 0 .. .. 0
0 0 .. .. 0
0 0 0
N
N N
x x x
N
N N
y y y
N
N N
z z z
B
N N
N N N N
y x y x y y
N N
N N N N
z x z x y y
N N
N N N N
z y z y y y
∂ ∂ ∂ ª « ∂ ∂ ∂ « ∂ ∂ ∂ « « ∂ ∂ ∂ « ∂ ∂ ∂ « « ∂ ∂ ∂ « = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ « « ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ « ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ « « ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ¬ º » » » » » » » » » » » » » « » « » « »¼ (3.53)
Como as funções de forma do elemento dadas em termos das coordenadas ξ η, e ζ , o problema na montagem da matriz
~
B é que esta contém derivadas das funções de forma com os respectivos x, y e z. Para obter as derivadas com relação à x, y e z na linhagem da matriz, a regra da cadeia da diferenciação parcial deve ser utilizada:
i i i i
i i i i
i i i i
