UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM FÍSICA
TESE DE DOUTORADO
Aplicações da
q
-Álgebra em Física da Matéria Condensada
André Afonso Araujo Marinho
Natal - RN, Brasil
-UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE
CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TERRA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA E EXPERIMENTAL
PROGRAMA DE PÓS GRADUAÇÃO EM FÍSICA
TESE DE DOUTORADO
Aplicações da
q
-Álgebra em Física da Matéria Condensada
André Afonso Araujo Marinho
Tese apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Física do Departamento de Física Teórica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obtenção do grau de doutor em Física.
Orientador: Prof. Dr. Carlos Chesman de Araujo Feitosa
Co-orientador: Prof. Dr. Francisco de Assis de Brito
Natal - RN, Brasil
AGRADECIMENTOS
• Primeiramente agradeço a Deus por chegar até aqui e por continuar;
• Acontecem muitas coisas durante 4 anos, e para conseguir chegar aqui, lembro todo
dia de uma conversa que tive com um grande amigo, que disse: “se perder o foco não
termina o doutorado, em 4 anos acontecem muitas coisas que contruibuem para isso”,
e realmente, muitos acontecimentos contribuiram para que eu não estivesse aqui. Se
não fosse por pessoas muitos especiais, eu teria realmente perdido o foco;
• Ao prof. Dr. Carlos Chesman de Araujo Feitosa (Chesman) responsável direto por
minha vinda para Natal em 2010, e ao prof. Dr. Francisco de Assis de Brito (Chico),
pelas orientações, sugestões, incentivos, estímulos, amizade, liberdade e competência
com que conduziram este trabalho;
• Aos Professores que contribuiram para minha formação e com ótimas discussões, em
especial os profs. Drs. Masdras Gandhi, Liacir Lucena, Felipe Bohn e Álvaro Ferraz;
• Aos colegas de pós-graduação, Bira, Edmilson, Manilo, Kennedy, Rodolfo, Vivian,
aos funcionários do DFTE em especial dona Celina, pela grata convivência, momentos
de estudo e descontração durante a minha permanência neste Departamento. Gostaria
de agradecer muito a Neymar que foi a primeira pessoa que conheci quando cheguei
e atencioso com todos, um grande amigo que ganhei aqui e tenho certeza que levarei
para o resto da vida;
• À CAPES e CNPq, pelo suporte financeiro;
• À minha familia meus pais José e Mariana, por todo carinho, apoio, incentivo,
li-berdade, confiança, dedicação e esforço para que hoje eu estivesse aqui, e às minhas
irmãs Ana Paula e Angela que mesmo longe não deixamos de torcer um pelos outros,
amo muito vocês. Eu teria que escrever um livro para descrever tudo o que meus
pais passaram para que nunca nos faltasse nada. Agradeço a Deus por esse rígido
alicerce em minha vida, sem vocês não estaria vivendo este momento, e partindo para
o próximo passo. Meus pais obrigado por tudo, amo muito vocês.
• À minha esposa Valquiria, que é de fundamental importância para que eu não
desis-tisse. Passamos por tantas provações nesse período de 3 anos de casados, que acho
que podia adicionar um capítulo à tese. Mas sempre esteve ao meu lado, incentivando,
com seu jeito carinhoso e amoroso, vejo em seus olhos todos os dias a confiança e
or-gulho que ela sente de mim, e isso não tem preço, e me dá forças para levantar todo
dia de manha e correr atrás do nosso futuro. Te amo muito minha gatona.
• Não podia deixar de agradecer aos meus bichinhos, Titinho e Amora, que mesmo
sem entender nada, em momentos conturbados, só querem passar carinho, amor, e um
pequeno afago em suas cabecinhas fazem esquecer todos os problemas.
Lista de Trabalhos
• (q1, q2)-deformed Landau diamagnetismD-dimensional. A.A. Marinho, F.A. Brito,
C. Chesman, (elab. 2014).
• Thermal properties of a solid through Fibonacci oscillators. A.A. Marinho, F.A.
Brito, C. Chesman, (elab. 2014).
• Fibonacci Oscillators in the Landau Diamagnetism problem. A.A. Marinho, F.A.
Brito, C. Chesman, arXiv:cond-mat.stat/ 1403.0272v1. - Submetido Physica A,
mar/2014.
• Thermal properties of a solid throughq-deformed algebra. A.A. Marinho, F.A. Brito,
C. Chesman, Physica A 391, 3424-3434 (2012).
• q-deformed Landau diamagnetism problem embedded in D-dimensions. F.A. Brito,
Resumo
Abordamos a generalização das quantidades termodinâmicas q-deformadas através da
q-álgebra que descreve uma álgebra generalizada para bósons e férmions. A motivação
para o nosso estudo surge do interesse de fortalecer nossas idéias iniciais, a fim de propor
uma possível aplicação experimental. Em nossa jornada, conhecemos uma generalização
recentemente proposta ao formalismo doq-cálculo, que é a aplicação de uma seqüência
ge-neralizada, descrita por dois parâmetros de deformação reais positivos e independentesq1 e
q2, conhecidos por osciladores de Fibonacci. Aplicamos ao conhecido problema do
diamag-netismo de Landau imerso em um espaçoD-dimensional, que ainda gera boas discussões
por sua natureza, e a dependência com o número de dimensões D, nos possibilita
futura-mente estendermos a sua aplicação para sistemas extra-dimensionais, tais como a
Cosmolo-gia Moderna, a Física de Partículas e Teoria de Cordas. Comparamos nossos resultados com
alguns obtidos experimentalmente, apresentando grande equivalência. Aplicamos ainda o
formalismo dos osciladores aos sólidos de Einstein e Debye, fortalecendo à interpretação da
q-deformação atuando como um fator de perturbação ou impureza, num determinado
sis-tema, modificando as propriedades do mesmo. Nossos resultados mostram que a inserção
de dois paramêtros de desordem, possibilitaram uma maior faixa de ajuste, ou seja,
possibi-litando alterar apenas a propriedade desejada, por exemplo, a condutividade térmica de um
elemento sem que o mesmo perca sua essência.
Palavras-chave: Mecânica Estatística; Matéria Condensada;q-Álgebra;q-Cálculo;
Abstract
We address the generalization of thermodynamic quantityq-deformed byq-algebra that
describes a general algebra for bosons and fermions . The motivation for our study stems
from an interest to strengthen our initial ideas, and a possible experimental application. On
our journey, we met a generalization of the recently proposed formalism of theq-calculus,
which is the application of a generalized sequence described by two parameters deformation
positive real independent andq1andq2, known for Fibonacci oscillators . We apply the well-known problem of Landau diamagnetism immersed in a space D-dimensional, which still
generates good discussions by its nature, and dependence with the number of dimensions
D, enables us future extend its application to systems extra-dimensional, such as Modern
Cosmology, Particle Physics and String Theory. We compare our results with some
experi-mentally obtained performing major equity. We also use the formalism of the oscillators to
Einstein and Debye solid, strengthening the interpretation of the q-deformation acting as a
factor of disturbance or impurity in a given system, modifying the properties of the same.
Our results show that the insertion of two parameters of disorder, allowed a wider range of
adjustment , i.e., enabling change only the desired property, e.g., the thermal conductivity
of a same element without the waste essence .
Keywords: Statistical Mechanics; Condensed Matter;q-algebra;q-calculus;
Índice
1 Introdução 1
2 q-Álgebra e aplicações 6
2.1 q-Álgebra de Heisenberg . . . 7
2.1.1 Algumas Propriedades daq-Álgebra . . . 7
2.1.2 Oscilador Harmônico Generalizado Deformado . . . 10
2.1.3 q-Bósons . . . 11
2.1.4 q-Férmions . . . 16
2.2 Álgebra quânticaq-deformada . . . 18
2.3 Álgebra dos Osciladores de Fibonacci . . . 26
3 Aplicação dos Osciladores de Fibonacci no Diamagnetismo de Landau em D -Dimensões 32 3.1 Aplicação dos Osciladores de Fibonacci . . . 33
3.1.1 Número de Partículas, Energia interna e Calor Específico . . . 36
3.1.2 Entropia, Magnetização e Susceptibilidade Magnética . . . 40
3.2 Aplicação das Derivadas de Jackson . . . 43
3.2.1 Número de partículas, Energia Interna e Calor Especifico . . . 46
3.2.2 Entropia, Magnetização e Susceptibilidade Magnética . . . 49
3.3 Gráficos não deformados para diferentes dimensõesD . . . 55
ÍNDICE ÍNDICE
4.1 Implementação daq-deformação . . . 59
4.1.1 Sólido de Einsteinq-deformado . . . 59
4.1.2 Sólido de Debyeq-deformado . . . 62
4.2 Aplicação dos Osciladores de Fibonacci . . . 69
4.2.1 Sólido de Einstein (q1, q2)-deformado . . . 69
4.2.2 Sólido de Debye (q1, q2)-deformado . . . 72
5 Conclusões e Perspectivas 77 A Diamagnetismo de Landau 80 A.1 Degenerescência . . . 83
B Sólido de Einstein 86
Lista de Figuras
3.1 Energia Interna em função do Campo Magnético H, Eq.(3.1.25). . . . 38 3.2 Calor Específico em função do campo magnético H, Eq.(3.1.32). . . . 38 3.3 Magnetização em função do campo magnético H, Eq.(3.1.45). . . . 42 3.4 Susceptibilidade Magnética em função do campo magnético H, Eq.(3.1.49). . . . 42 3.5 Energia Interna em função do campo magnético H, Eq.(3.2.74) . . . 48 3.6 Calor Específico em função do campo magnético H, Eq.(3.2.76) . . . 48 3.7 Magnetização em função do campo magnético H, Eq.(3.2.84) . . . 50 3.8 Magnetização para os parâmetros apropriados para um cristal sub-dopado. O
de-talhe mostra como a magnetização anómala está quase desaparecendo para T = 36.1Ke evolui para um regime de flutuação única emT = 37K[135]. . . 51 3.9 Curvas isotérmicas de magnetização doY N i2B2Cem função do campo magnético
H, para temperatura acima deT c(0) = 15.25±0.02K, [136]. . . 51 3.10 Magnetização doY bC6em função do campo magnético. Detalhe: a magnetização
versus temperatura medida de campoH= 1mT, com campo de resfriamento (FC) e campo zero de resfriamento (ZFC) [137]. . . 52 3.11 Magnetização dependente da temperatura FC e ZFC para amostras puras
(imacula-das) e hidrogenadas deCaC6em um campo magnético aplicado externo de100Oe.
Detalhe: (a) mostra a variação do comportamento diamagnético do supercondutor muito fraco para as amostras deCaC6 hidrogenizadas. (b) mostra a
LISTA DE FIGURAS LISTA DE FIGURAS
3.12 Magnetização dependente do campo magnético como uma função da temperatura para Ca-GIC (Composto intercalado de cálcio-grafite) [139]. . . 53 3.13 Magnetização em função do campo magnético de Ca-GIC puro e amonizados, em
diferentes pressões de absorção de amônia [139]. . . 53 3.14 Susceptibilidade Magnética em função do campo magnético H, Eq.(3.2.86) . . . . 53 3.15 ConstanteC1paraL−=2π−0.9(vermelho),L+=2π+ 0.9(azul), (esquerda) e
constanteC2paraL−=2π−0.9(preto),L+=2π+ 0.9(amarelo), (direita) em
função do número de dimensõesD(0,· · · ,13) ,λT = 1,Eq. (3.1.18). . . 56
3.16 Energia Interna em função do campo magnético H para dimensões D conforme legenda, e comL+=2π+ 0.9(esquerda) eL−=2π−0.9(direita),λT = 1,. . . . 56
3.17 Magnetização em função do campo magnético H para dimensõesDconforme
le-genda, e comL+=2π+ 0.9(esquerda) eL−=2π−0.9(direita),λT = 1. . . 57
3.18 Susceptilidade magnética em função do campo magnético H para dimensões D
conforme legenda, e comL+=2π+ 0.9(esquerda) eL−=2π−0.9(direita),λT = 1. 57
4.1 Entropia em função da Temperatura nos seguintes intervalos: (T=0,· · ·,10K)
(es-querda) e (T=0,· · · ,1000K) (direita) . . . 61 4.2 Calor Específico em função da Temperatura nos intervalos: (T=0,· · · ,1K)
(es-querda), (T=0,· · ·,10K) (centro) e (T=0,· · · ,1000K) (direita). . . . 61 4.3 Temperatura Debye θD do F e eCr em função da variação de q = 0.1 àq → 1
(esquerda); Calor EspecíficocV doF eeCrem função da variação deq = 0.1à
q →1(direita) . . . 67 4.4 Condutividade TérmicaκdoF eeCrem função da variação deq = 0.1àq →1. . 67 4.5 Condutividade elétricaσdoF eeCrem função da variação deq = 0.1àq→1. . 68 4.6 Condutividade térmicaq-deformadaκqdoCrparaq→1eq = 0.1em função da
TemperaturaT, para:T = 0àT = 1600K. . . 68 4.7 Entropia em função da Temperatura nos seguintes intervalos: (T=0,· · ·,10K)
LISTA DE FIGURAS LISTA DE FIGURAS
4.8 Calor Específico em função da Temperatura nos intervalos: (T=0,· · · ,1K)
(es-querda), (T=0,· · ·,10K) (centro) e (T=0,· · · ,1000K) (direita). . . . 71 4.9 Temperatura de DebyeθDem função da variação deq2= 0.1,· · ·,1e comq1= 1. 73 4.10 Calor EspecíficocV em função da variação deq2 = 0.1,· · · ,1e comq1 = 1. . . 74 4.11 Condutividade Térmicaκem função da variação deq2= 0.1,· · ·,1e comq1= 1. 74 4.12 Condutividade Elétricaσem função da variação deq2 = 0.1,· · · ,1e comq1= 1. 75 4.13 Condutividade Térmicaκ do Fe em função da Temperatura no intervalo de T =
Capítulo 1
Introdução
O estudo dos grupos quânticos e álgebras quânticas tem atraído um grande interesse nos
últimos anos e estimulado intensa investigação nos vários domínios da física [1]-[6], tendo
em conta uma gama de aplicações, que abrange cosmologia e matéria condensada, por
exem-plo buracos negros, efeito Hall quântico fracionário e supercondutores de alta temperatura
[7], bem como teorias racionais de campo, geometria não-comutativa, teoria quântica das
super-álgebras e assim por diante [8]-[12]. Não há uma definição satisfatória universalmente
reconhecida do que seja um grupo quântico. Todas as propostas em vigor sugerem a idéia
de deformação de um objeto clássico, que pode ser, por exemplo, um grupo algébrico, ou
um grupo de Lie. Em todas as propostas os objetos deformados perdem as propriedades de
grupo. O que sempre se procura preservar nas deformações é o entendimento das diversas
representações que os objetos admitem [13]-[15].
Jackson introduziu em seus trabalhos a chamada álgebra q-deformada [16]-[19]. As
investigações realizadas em vários aspectos desempenharam um papel importante quanto
à sua compreensão e desenvolvimento. Uma realização concreta de tais atributos atenta
para o surgimento da deformação através de um de seus principais ingredientes o parâmetro
de deformação q, introduzido nas relações de comutação que definem a álgebra de Lie do
2
no limite q → 1 [20]. Osq-osciladores usando as chamadas derivadas de Jackson (JD)
são considerados a fim de definir uma dinâmica generalizada q-deformada em um espaço
de fase q-comutativo [21]. Para esta finalidade fazemos uso dos operadores de criação e
aniquilação da mecânica quânticaq-deformada.
Um possível mecanismo capaz de gerar uma versão deformada da mecânica estatística
clássica consiste em substituir, a distribuição Boltzmann-Gibbs, pela sua versão deformada.
Nesse sentido postula-se uma forma de entropia deformada que implica numa teoria de
ter-modinâmica generalizada [22]-[29]. Desta forma, encontramos na literatura a generalização
da mecânica estatística [30]-[36]. Neste contexto, foi demonstrado em [37]-[46] que uma
realização natural da termodinâmicaq-deformada pode ser construída sobre o formalismo
deq-cálculos.
Outra discussão importante é sobre as principais razões para considerar dois
parâme-tros de deformação distintas em algumas aplicações físicas. Partindo da generalização de
números inteiros, procedimento básico naq-álgebra [16], Arik generaliza a seqüência de
Fi-bonacci [47], que como sabemos é uma combinação linear onde o terceiro número é a soma
dos dois antecessores e assim por diante, e engloba as progressões aritmética e geométrica,
que são formas bem conhecidas para descrever uma seqüência de números inteiros. Ele
propõe chamar os números dessa seqüência generalizada de osciladores de Fibonacci, onde
são introduzidos os parâmetrosq1 eq2, e são bem investigados por [48]-[56], eles oferecem
uma unificação dos osciladores quânticos com os grupos quânticos, tendo a propriedade
de degeneração do espectro invariante sob o grupo quântico, assim, a simetria do grupo é
preservada. A álgebra quântica com dois parâmetros de deformação pode ter uma maior
flexibilidade quando se trata de aplicações fenomenológicos aos modelos físicos concretos
[39, 40]. Surgindo interesse em aplicações físicas.
Realizamos aplicações da q-álgebra [57]-[59], e percebemos que a q-deformação está
ligada a fenômenos devidos a impurezas no material, ou fatores de desordem em um sistema
3
elétrica nula abaixo de certa temperatura critica (são diamagnéticos perfeitosχ= 1). Logo,
surgem as motivações de aplicarmos os parâmetros (q1, q2) no problema do Diamagnetismo de Landau e nos modelos dos sólidos de Einstein e Debye.
O termo diamagnetismo é utilizado para designar um comportamento característico de
determinados tipos de materiais (por exemplo, água, vidro, plástico e compostos orgânicos)
e que se caracteriza pelo fato de serem ligeiramente repelidos por campos magnéticos fortes.
Este comportamento justifica-se pelo fato dos elétrons terem uma tendência à se agruparem
em pares com spins orientados em direções opostas, pelo que cada par tem um spin total
nulo; consequentemente a maior parte dos átomos com número par de elétrons tem um spin
total nulo, originando uma oposição ao campo de indução magnética induzido com relação
ao campo externo que conduz à uma repulsão no campo externo. O campo magnético de
cada partícula causa movimento ciclotron, criando assim um momento magnético orbital,
regido pela Lei de Faraday-Lenz. Assim, o sistema exibe uma susceptibilidade magnética
negativa, marca característica do diamagnetismo.
O diamagnetismo pode ser utilizado como um fenômeno ilustrativo do papel essencial
da mecânica quântica na superfície, no perímetro, e na dissipação da mecânica estatística
do não-equilíbrio. O que é ainda mais notável é que a fronteira do meio como também
qualquer fronteira interna desempenha um papel crucial, a contribuição diamagnética no
momento angular anula a contribuição decorrente do assim chamado “salto de órbitas”,
des-ses elétrons, que batem na fronteira e buscam multiplicar e constituir o que se refletiu em
um efeito chamado “corrente de fronteira” [43]. Esse foi um grande triunfo da mecânica
quântica de Landau em 1930, quando revelou que a discretização de níveis de energia, e
consequentemente a degeneração de cada nível conduzia de uma maneira natural para
sus-ceptibilidade magnética [63].
A susceptibilidade magnética é uma característica intrínseca de cada material e sua
iden-tidade está relacionada com a estrutura atômica e molecular. Dayi [64] realiza o cálculo da
4
conduz ao diamagnetismo de Landau, aplicando uma estatística não extensiva [22], que é
uma forte candidata para a resolução de problemas onde a termodinâmica padrão não é
apli-cável. Özeren [65] também aplica a estatística de Tsallis, no mesmo problema, utilizando
um outro método. Obviamente, outras deformações não comutativas podem ser aplicadas,
por exemploq-deformação viaJD[57].
Sabemos que um sólido é constituído por um grande número de átomos ligados por
for-ças de coesão de vários tipos. Contudo num gás, as moléculas estão livres para percorrer
todo o recipiente, ou num líquido, em que as moléculas têm menos liberdade, porém ainda
percorrem distâncias consideráveis. O movimento dos átomos num sólido é muito restrito,
isso faz com que cada átomo se movimente apenas dentro de uma pequena vizinhança,
exe-cutando movimento vibratório em torno de seu ponto de equilíbrio. Num sólido cristalino,
os pontos de equilíbrio das vibrações atômicas formam uma estrutura espacial regular, uma
estrutura cúbica, por exemplo.
O estudo conduzido por Anderson, Lee e Elliot [60]-[62] mostrou que na presença de
defeitos ou impurezas num cristal modificam o potencial eletrostático em sua vizinhança,
quebrando a simetria translacional do potencial periódico. Esta perturbação pode produzir
funções de onda eletrônicas localizadas próximo da impureza, deixando de ser propagado
por todo o cristal.
A condutividade de semicondutores também pode ser dramaticamente alterada pela
pre-sença de impurezas, isto é, átomos diferentes partindo dos mesmos átomos que formam o
cristal puro. Esta propriedade permite a produção de uma variedade de dispositivos
ele-trônicos do mesmo material semicondutor. Esse processo de colocação de impurezas em
materiais semicondutores é chamada de dopagem.
Nesta tese, os assuntos estão dispostos da seguinte forma: No Cap.2, apresentamos uma
introdução daq-álgebra e dos osciladores de Fibonacci. Destacamos algumas propriedades,
suas possíveis aplicações, a sua origem partindo do princípio da incerteza de Heisenberg o
5
inserimos os paramêtros q1 e q2 no problema do diamagnetismo de Landau, por dois ca-minhos: através de uma função de partição generalizada; e da utilização das JD. Outras
discussões relacionadas a D-dimensões são consideradas. No Cap.4, aplicamos os
oscila-dores nos sólidos de Einstein e Debye e obtemos resultados (q1, q2)-deformados para as suas propriedades térmicas bem interessantes. E apresentamos nossas conclusões e perspectivas
Capítulo 2
q-Álgebra e aplicações
A construção de uma versão generalizada da álgebra dos operadores q-deformados, se
faz necessária. Principalmente através da inserção de um fator multiplicativo em um
ope-rador linear, que modificará suas caracterísitcas. Representações da álgebra de Heisenberg
q-deformada tem chamado muito a atenção na literatura [66], e sua conexão com oq-cálculo
baseado no número básico (definido logo a seguir) vem sendo investigado por vários autores
[9, 21][67]-[70].
Vários modelos utilizando aq-deformação foram desenvolvidos com o objetivo de
com-parar as propriedades algébricas e termostáticas dos sistemas decorrentes da álgebra do
os-ciladorq-deformado, que vão desde as interações entre férmions e bósons em física de
há-drons, estudo dos anions, quarks e antiquarks, teoria de campos, quebra de simetria chiral,
transição de fase entre condensados nucleônicos e piônicos, interações nucleares de muitos
corpos, entre outros estudos [13][49]-[53][71]-[84] .
Embora não esteja claramente estabelecido se a modificação da relação de incerteza
de Heisenberg nos conduz diretamente a álgebra quânticaq-deformada de bósons e
férmi-ons, as conseqüências estátisticas e termodinâmicas dos sistemas físicosq-deformados tem
sido intensamente investigadas [85]-[105]. As regras daq-álgebra são estruturadas no
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 7
q-álgebra está intimamente conectada com a q-deformação da relação de Heisenberg. Por
outro lado, foi demonstrado em [53, 56, 85, 86, 96, 107] que os comportamentos de alta e
baixa temperatura dos grupos quânticos bosônicos e fermiônicos, dependem radicalmente
dos parâmetros reais de deformação.
O número básico é definido por
[α]≡ q
α−q−α
q−q−1 , (2.0.1)
ondeqé um número real arbitrário,0< q <∞. Na formulação simétrica podemos limitar
a0< q <1ou1< q <∞. Esta notação [ ] apresenta as seguintes propriedades: i) quando
q → 1, [α] → α; ii)[0] = 0e [1] = 1; iii)[−α] = −[α]; é invariante sob a transformação
simétricaq ↔ q−1 [95, 96]. Vamos agora, demonstrar que oq-cálculo tem sua origem na relação da incerteza de Heisenbergq-deformada.
2.1
q
-Álgebra de Heisenberg
2.1.1
Algumas Propriedades da
q
-Álgebra
Em(1908)Jackson [17], introduziu oq-operador diferencial de Euler-Jackson
(Dqφ)(x) =
φ(x)−φ(qx)
(1−q)x , q∈C\[1]. (2.1.2)
No limite deqaproximando-se de1, temos a derivada usual de Leibniz,
lim
q→1(Dqφ)(x) =
dφ
dx, (2.1.3)
Podemos notar como essa derivada atua, através do exemplo:
Dq(xα) =
xα−(qx)α
(1−q)x =
xα(1−qα)
x(1−q) = [α]qx
α−1, α
∈C. (2.1.4)
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 8
seguimos as fórmulas
D(x)f(x) = (x)Df(x) +D(x)f(x), (2.1.5)
Dq(u(x) +v(x)) =Dqu(x) +Dqv(x). (2.1.6)
Dq(u(x)v(x)) = Dqu(x)v(x) +u(qx)Dqv(x). (2.1.7)
Dq
u(x)
v(x)
= v(x)Dqu(x)−u(x)Dqv(x)
v(qx)v(x) , v(qx)v(x)6= 0. (2.1.8)
Aplicando Taylor [108], no lado direito de (2.1.2), obtemos a seguinte expressão para o
q-operador diferencial:
Dq(f(x)) =
∞
X
k=0
(q−1)k
(k+ 1)!x
kf(k+1)(x), (2.1.9)
desde quef seja analítica.
Se|q| >1, ou0<|q|<1e|z| <|1−q|−1, temos uma funçãoq-exponencialE
q(z), e
aplicando aq-derivada,
Eq(z) =
∞
X
n=0
1 [n]q!
zn, DqEq(az) =aEq(az). (2.1.10)
Assim, podemos tratarq-análogos das funções trigonométricas (sinecospor exemplo), da
forma
sinq(x) =
1
2i(Eq(ix)−Eq(−ix)), cosq(x) =
1
2(Eq(ix) +Eq(−ix)), (2.1.11)
aplicandoq-derivada, temos
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 9
Podemos também verificar a seguinte identidade
cosq(x) cos1
q(x) + sinq(x) sin 1
q(x) = 1. (2.1.13)
Wolfgang Hahn [109] chamou [a]q de basische Zahlen, podemos traduzir como
nú-meros básicos, ou seja nosso número básico definido em (2.0.1). Podemos apresentar três
exemplos deq-análogos simétricos:
[a]q =
qa−q−a
q−q−1 , [a]q =
q2a−q−2a
q2−q−2 , [a]q=
qa2 −q− a 2
q12 −q−12
. (2.1.14)
Podemos ainda definir esses números pela relação [57, 78, 85, 97, 110, 111]
[a] = q
a−1
q−1, (2.1.15)
ondeqpode ser qualquer número real ou complexo. Veremos que os mesmos correspondem
à seqüência de números inteiros positivos,1,2,· · ·,n,· · ·. Temos a seqüência,
[1] = 1 (2.1.16)
[2] = 1 +q (2.1.17)
[3] = 1 +q+q2 (2.1.18)
· · · ·
[n] = 1 +q+q2+· · ·+qn−1 (2.1.19)
· · · ·
[n]! = [1][2][3]· · ·[n]. (2.1.20)
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 10
2.1.2
Oscilador Harmônico Generalizado Deformado
Além dos osciladores que descreveremos a seguir, outros tipos deformados são apresentados
por Bonatsos em [113]. Todos são acomodados dentro da mesma estrutura matemática do
oscilador generalizado deformado, que é definida como álgebra gerada pelos operadores
de criação (a†), aniquilação (a), número (N) e a função estruturaΦ(x), que satisfazem as
relações,
[a, N] =a, [a†, N] =−a†, (2.1.21)
a†a = Φ(N) = [N], aa†= Φ(N + 1) = [N + 1], (2.1.22)
ondeΦ(x)é uma função analitica positiva característica para o regime da deformação, com
Φ(0) = 0, e concluimos da Eq.(2.1.22), queN = Φ−1(a†a), e as relações de comutação e
anticomutação são satisfeitas:
[a, a†] = [N + 1]−[N], {a, a†}= [N + 1] + [N]. (2.1.23)
Podemos provar que a álgebra generalizada deformada possui um espaço de Fock de
autovetores|0i,|1i, . . . ,|ni. . ., do operador númeroN,
N|ni=n|ni, hn|mi=δnm, a|0i= 0, (2.1.24)
onde|0ié o estado de vácuo. Estes autovetores são gerados pela fórmula:
|ni= p1
[n]!(a
†)n
|0i, [n]! =
n Y
k=1
[k] =
n Y
k=1
Φ(k), (2.1.25)
a|Ni= [N]12|N −1i, a†|Ni= [N+ 1] 1
2|N+ 1i. (2.1.26)
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 11
com os respectivos autovalores de energia,
H = ~ω 2 aa
†+a†a, (2.1.27)
E(n) = ~ω
2 (Φ(n) + Φ(n+ 1)) =
~ω
2 ([n] + [n+ 1]). (2.1.28)
Obtemos os resultados para o oscilador harmônico ordinário quandoΦ(n) =n. E para,
Φ(n) = q
n−q−n
q−q−1 = [n]. (2.1.29)
Mostramos no trabalho [58] — ver os resultados obtidos na Sec.(4.1), um exemplo de
aplicação, partindo de uma das definições mostradas pela Eq.(2.1.14), e em particular para
qreal (q= expγ, [20, 21, 77, 80, 93, 98, 100, 102, 114]), onde obtivemos os autovalores de
energia,
Φ(n) = q
n 2 −q−
n 2
q12 −q− 1 2
= [n], E(n) = ~ω 2
"
sinh n+12γ2 sinh γ4
#
. (2.1.30)
Outros casos paraΦ(x)são apresentados por Bonatsos e Daskaloyannis [113], como por
exemplo: osciladores paraférmionicos, parabosônicos. No nosso caso, iremos trabalhar com
osq-bósons [1, 56, 85, 102], [115]-[117] eq-férmions [9, 59, 86],[118]-[121].
2.1.3
q
-Bósons
Consideramos o princípio da incerteza de Heisenbergq-deformado
qxp−px=i~∆. (2.1.31)
Há pelo menos duas opções onde∆pode se manter preservado no (limite clássico) quando
q→1. Uma possibilidade para que isso ocorra tem sido estudada por [70, 78], sendo∆ = 1.
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 12
formulação que é simétrica emq↔q−1. Isso nos leva a introduzir um ansatz [92]
qxp−px=i~q−N. (2.1.32)
Para q 6= 1, o momento p = −i~∂x, tem que ser substituído pelo operador generalizado
p=−i~D, de acordo com,
Dx−qxD=q−N. (2.1.33)
Buscamos a solução da Eq.(2.1.33) para o operadorD. Obteremos a solução partindo da
resolução dosq-osciladores. Assim,
[b, b†]
q=bb†−qb†b= ∆, H=
1 2(bb
†+b†b), (2.1.34)
ondeb,b†são os operadores de aniquilação e criação dos osciladores deq-bóson.
Expressaremos a Eq.(2.1.34), em termos deHe dos auto-estados|ni:
b|ni= [n]12|n−1i, b†|ni= [n+ 1]12|n+ 1i, (2.1.35)
H|ni= 1 2
[n] + [n+ 1], ∆|ni=q−n|ni. (2.1.36)
onde,
[n] = q
n−q−n
q−q−1 . (2.1.37)
Estabelecendo,
B =
b
b†
. (2.1.38)
Assim a equação (2.1.34) pode ser escrita como segue
BtǫB=q−(n+12), onde, ǫ=
0 q
−12
−q12 0
. (2.1.39)
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 13
[1, 3, 14, 15]:
TtǫT =T ǫTt=ǫ. (2.1.40)
Portanto qualquer novo vetorXserá definido por
B=TX, satisfará XtǫX= ∆. (2.1.41)
A transformação de observáveis no espaço de Fock para o espaço de configuração é
rea-lizada definindo-seX. A partir da definição dada por [70], obtemos o princípio da incerteza
de Heisenbergq-deformado (2.1.31),
X =
D
x
, (2.1.42)
inserindo o operador de dilataçãoθ(definido a seguir), chegamos a solução do operadorD
D= 1
x[θ]q =
1
x
qθ−q−θ
q−q−1 . (2.1.43)
Isto também se processa na deformação da equação (2.1.32) original.
O número básico apresentado aqui, definido na equação (2.0.1) constitui a base da
álge-bra de osciladoresq-deformados [2]. Para provarmos utilizamos a propriedadex[N + 1]=
[N]x. Uma prova alternativa e instrutiva, consiste em mostrar primeiro que:
[N]x=x[N+ 1] =xq[N] +xq−N,
⇒ [N]x−qx[N] =xq−N. (2.1.44)
Esta é a ligação fundamental entre o q-número básico e aq-deformação da relação de
incerteza, que nos leva automaticamente a derivada de Jackson (JD) através do número
básico. A fim de mostrar que a Eq.(2.1.43), é de fato a derivada generalizada, procedemos
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 14
Primeiramente definimos o operador de dilatação
θ≡x ∂
∂x, (2.1.45)
tal que satisfaçam as propriedades
θx=x(θ+ 1), θrx= (θ+ 1)r, φ(θ)x=xφ(θ+ 1), (2.1.46)
onder é um número qualquer eφ é um polinômio arbitrário. Podemos mostrar que isto é
verdade, estendendo a propriedade para qualquer monômio de uma variável realq, quando
qθx=xqθ+1. (2.1.47)
Continuando da Eq.(2.1.47), podemos estabelecer a propriedade adicional
θxr =rxr, (2.1.48)
para qualquer númeror, que pode ser estendido para um monômio,
θbxr =rbxr. (2.1.49)
Expandindo a série
qθ = 1 +θlnq+ θ
2
2!(lnq)
2+
· · · , (2.1.50)
obtemos o monômio,
qθxr =xrqr = (qx)r. (2.1.51)
Essa relação imediatamente generaliza-se para um polinômio e obtemos a Eq. (2.1.51), para
qualquer função polinomial. Temos agora de fazer a observação que existe na representação
holomórfica [21]
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 15
ondeN é o operador número de bósonsq-deformado. A propriedade, (2.1.51), também é
válida para uma função arbitrária polinomial, ondeθ pode ser N ou [N]. Se escolhermos
θ =N, obtemos a propriedade
qNφ(x) = φ(qx), (2.1.53)
que pode ser estendido para o resultado
q−Nφ(x) =φ(q−1x). (2.1.54)
A partir disso e do resultado (2.1.43), podemos obter imediatamente um importante
resultado
Dφ(x) = 1
x
qN −q−N
q−q−1 φ(x) =
1
x
φ(qx)−φ(q−1x)
q−q−1 , (2.1.55)
que é reconhecido como a definição padrão [85, 106], na formulação simétrica da JD,
que é reduzida à derivada ordinária no limite q → 1. Concluimos que, a introdução das
(JD)surge naturalmente a partir da relação de Heisenbergq-deformada através doq-número
básico.
Vamos agora considerar osq-bósons e aJDque obedece a relação (2.1.33). Se
escolher-mos a representaçãoD⇒b,x⇒b†, como em (2.1.52), então obteremos imediatamente
bb†−qb†b=q−N. (2.1.56)
Assim, a álgebra dos operadores de criação e aniquilação dos osciladoresq-deformados
pode ser considerada como decorrente de uma representação de coordenadas e daJD.
Por-tanto, neste sentido, a álgebra de bósons q-deformados é uma conseqüência imediata da
deformação da álgebra de Heisenberg. Podemos então, concluir que:
qNb=bqN−1, [N]b =b[N
−1], [N + 1] =q[N] +q−N.
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 16
2.1.4
q
-Férmions
Vamos agora voltar nossa atenção para a termodinâmica e a mecânica estatística dos
férmi-ons com base na álgebraq-deformada. Vamos considerar especificamente o número básico,
como definido na Eq.(2.0.1), enquanto os operadores de criação e aniquilação satisfazem
[86], a álgebra
f f†+q−1f†f =q−N.
(2.1.58)
Esta equação, que conduz à determinação de muitas funções termodinâmicas de q
-férmions, mostra uma clara simetria desejável entre férmions e bósons e além disso, o
número básico utilizado para férmions é exatamente o mesmo que aquele utilizado para
bósons. Quando examinamos as álgebras descritas pelas Eqs.(2.0.1) e (2.1.58), juntamente
com a relação de Heisenberg (2.1.32), concluimos que as mesmas, não fornecem uma
re-presentação para a JD (2.1.43), para produzir a álgebra q-férmions (2.1.58). Em outras
palavras, não existe qualquer representação holomórfica útil deJD, como na Eq. (2.1.52),
tal quex⇔f†,∂x⇔f, que irá produzir a álgebra na Eq.(2.1.58).
Por outro lado devemos notar que aJDno caso deq-férmions ainda decorre da relação
Heisenbergq-deformada como foi mostrado anteriormente. Na teoria baseada nesta álgebra
deq-férmions, os autovalores do operador de númeroN pode assumir os valoresn= 0,1,
apenas, obedecendo a teoria do princípio da exclusão de Pauli, assim como no caso de
férmions não deformados. Além disso, podemos demonstrar que as álgebras apresentadas
acima podem ser transformadas para o caso de férmions normais, ou seja não deformados
[9, 115]. Existe uma outra representação interessante, resultando em uma álgebra de
fér-mionsq-deformada diferente que vamos investigar agora. Vamos introduzir a definição dos
números básicos de férmions dado por [9, 83, 91, 107, 109, 115]
[z]F =
q−z −(−1)zqz
q+q−1 , (2.1.59)
2.1. Q-ÁLGEBRA DE HEISENBERG 17
que é análogo à Eq.(2.1.33) para o caso do bóson,
F x+qxF =q−N, (2.1.60)
cuja solução é dada por F = x−1[N]
F. Isso pode ser verificado da seguinte forma:
Pri-meiro confirmamos que as propriedades apresentadas nas Eqs.(2.1.45)-(2.1.51) também são
válidas no caso dos férmions quando usamos os números básicos generalizados (2.1.59).
Precisamos de uma extensão dessas propriedades básicas. Ao escrevermos (−q)n como
(exp (iπ)q)ne por meio da extensão da série para o exponencial, obtemos
(−q)Nx=x(−q)N+1. (2.1.61)
Convém salientar queN é um operador, e que a equação acima não está em conflito com
a Eq. (2.1.47). Consequentemente, teremos a representação holomórfica (1/x)[N]F ⇔ f,
x⇔f†, o que leva a
f f†+qf†f =q−N (2.1.62)
Podemos fornecer uma prova direta para a solução da Eq. (2.1.62). A prova explícita começa
com a observação de que sugirá uma interpretação melhor para[N]Fx =x[N + 1]F, junto
com a propriedadeq[N] + [N+ 1] =q−N. Assim,
qx1
x[N]F +
1
x[N]Fx=q
−N, qx1
x[N]F +
1
xx[N + 1]F =q
−N. (2.1.63)
A partir da Eq.(2.1.62), faremos algumas observações, a seguir:
• A álgebra da Eq.(2.1.62) pode ser considerada como resultante da representação acima,
decorrente especialmente do número básico de férmions definido na Eq.(2.1.59), que
é uma introdução realizada por Chaichian et al [9];
• É notável que este número básico de férmions, nos fornece prontamente uma
2.2. ÁLGEBRA QUÂNTICAQ-DEFORMADA 18
para os q-férmions, ou seja, fornece uma justificativa fundamental para a definição
(2.1.59) em si;
• Observamos que esta álgebra de q-férmions não se baseia na relação q-Heisenberg.
A conexão com a relação de q-Heisenberg é válida somente para q-bósons. Apesar
das aparências, o operadorF que aparece na Eq.(2.1.60) não tem relação com aJD,
que tem a sua única conexão com osq-bósons; ele não tem qualquer semelhança com
as derivadas ordinárias no limite clássico. Finalmente, observamos que isto leva a
uma generalização dos férmions [9], no sentido de que esta álgebraq-deformada vai
além do princípio de exclusão de Pauli e os autovalores deN são arbitrários e não se
restringem aos valores0,1;
2.2
Álgebra quântica
q
-deformada
Com base no que foi estudado nas seções anteriores, por meio dessa estrutura e também
outros fatores que serão mostrados a seguir, formulamos umaq-álgebra onde engloba bósons
e férmions.
A simetria algébrica do oscilador quântico é definida pela álgebra de Heisenberg, em
termos dos operadores de aniquilação e criaçãoc,c†, respectivamente, e o operador número
N, por meio de [9, 86, 88, 90, 93, 105, 122, 123],
[c, c]K = [c†, c†]K = 0, cc†−Kqc†c=q−N (2.2.64)
[N, c†] =c†, [N, c] =−c, (2.2.65)
onde o parâmetro de deformaçãoqé real e[x, y]K =xy−Kyx, sendoK = 1paraq-bósons
com comutadores eK =−1paraq-férmions com anti-comutadores. O valor observado do
número básico[x]tem que satisfazer a propriedade da não-aditividade
2.2. ÁLGEBRA QUÂNTICAQ-DEFORMADA 19
Os operadores obedecem as seguintes relações,
c†c= [N], cc†= [1 +KN], (2.2.67)
onde definimos nosso número básico como em [2, 9, 21, 75, 86, 94, 117, 120],
[x] = q
x−q−x
q−q−1 . (2.2.68)
A ortonormalização do auto-estado|nino espaçoq-Fock é construída de acordo com:
|ni= (c
†)n p
[n]!|0i, c|0i= 0, (2.2.69)
As ações decec†sobre o estado|nino espaçoq-Fock são conhecidas por:
c†|ni= [n+ 1]1/2
|n+ 1i, (2.2.70)
c|ni= [n]1/2|n−1i, (2.2.71)
N|ni=n|ni. (2.2.72)
A transformação do espaço de Fock para o espaço de configuração1existe segundo [21,
70]
c†=x, c=D(q)
x . (2.2.73)
Jackson em [19]p.255, introduziu operadorD(xq), conhecido por derivadas de Jackson
(JD)[16, 56, 57, 74, 86, 92, 105, 111, 117], que é diferente do operador usual de Leibniz
(∆)[106],
D(xq)f(x) = f(qx)−f(q−
1x)
x(q−q−1) . (2.2.74)
2.2. ÁLGEBRA QUÂNTICAQ-DEFORMADA 20
No limite de q → 1, o número básico[x]é reduzido ao número x, visto em (2.2.74).
Por-tanto,JDocorre naturalmente em estruturas quânticas deformadas.
Para calcularmos o número de ocupação ni (estatística q-deformada), partimos da
Ha-miltoniana dos osciladoresq-deformados não-interagentes (bósons ou férmions) [85, 97, 99,
102, 105, 110],
H=X
i
(ǫi−µ)Ni = X
i
(ǫi−µ)c†ici, (2.2.75)
ondeµé o potencial químico do sistema eǫi é a energia cinética no estadoiassociado com
o operador númeroNi. A Hamiltoniana é deformada e depende implicitamente deq, sendo
o operador número definido na Eq. (2.2.67). A média térmica de um observável(A)pode
ser calculada conforme,
hAi=tr(ρA), (2.2.76)
ondeρé o operador densidade. Definimos a função de partição grande canônicaΞcomo
ρ= exp(−βH)
Ξ , Ξ =tr(exp(−βH)), (2.2.77)
eβ = 1
κBT, ondeκB é a constante de Boltzmann. Determinaremos o número de ocupação médion(iq)2, e demonstraremos como chegamos as relações da JD trabalhando no limite de
altas temperaturasz ≪1(baixa densidade ou gás diluido).
[ni]≡ h[ni]i=tr
ρc†ici
= tr(exp(−βH)c
†
ici)
Ξ , limq→1h[ni]i=ni, (2.2.78)
a partir da Eq.(2.2.78) apresentamos duas formas distintas para resolução, no limiteq → 1
ambas chegam ao mesmo resultado final. Contudo, veremos que na primeira resolução
chegaremos à equação de forma geral, por outro lado, a segunda resolução nos permite
escrever as derivadas de Jackson (JD). Os mesmos procedimentos ainda serão realizados na
2indice(q)é incluido para diferenciarmos do usual, uma vez que: lim
q→1n (q)
2.2. ÁLGEBRA QUÂNTICAQ-DEFORMADA 21
continuidade deste capitulo, até obtermos as relações para os osciladores de Fibonacci, que
ainda serão apresentados.
i)
[ni] = X
ni
exp−β(ǫi−µ)ni
hni|c†ici|nii
X
ni
exp−β(ǫi−µ)ni
=
X
ni
[ni]zexp(−βǫini)
X
ni
zexp(−βǫini)
, (2.2.79)
ondez = exp(βµ)é a fugacidade. Com a definição dada pela Eq.(2.2.68),
[ni] =−
qzexp(βǫi)
zexp(−βǫi)−1
z−qexp(βǫi)
qz−exp(βǫi)
, (2.2.80)
quandoq →1,
ni =−
z z−exp(βǫi)
= 1
z−1exp (βǫ
i)−1
. (2.2.81)
Para[ni+ 1], temos das relações dos operadoresciec†i,
[1 +Kni] =Kq[ni] +q−ni, (2.2.82)
[1 +Kni]≡ h[1 +Kni]i= X
ni
exp−β(ǫi−µ)ni
hni|cic†i|nii
X
ni
exp−β(ǫi−µ)ni
,
[1 +Kni] = X
ni
[1 +Kni]zexp (−βǫini)
X
ni
zexp (−βǫini)
,
[1 +Kni] =−
qexp(βǫi)
zexp(−βǫi)−1
Kqz−qz+exp(βǫi)
z−qexp(βǫi)
zq−exp(βǫi)
2.2. ÁLGEBRA QUÂNTICAQ-DEFORMADA 22
quandoq →1,
(1 +Kni) = −
z−zK−exp(βǫi)
z−exp(βǫi)
= z
−1exp(βǫ
i)−1 +K
z−1exp(βǫ
i)−1
. (2.2.84)
Fazendo,
[ni]
[1 +Kni]
= 1
qK +z−1eβǫi−q,
ni
(1 +Kni)
= 1
z−1eβǫi−1 +K. (2.2.85)
Por outro lado, por exemplo, se estivermos em um sistema de bósons, ondeK = 1,
teremos
[ni]
[1 +ni]
= ni (1 +ni)
=zexp(−βǫi). (2.2.86)
ii) Voltando a Eq.(2.2.78), aplicamos a propriedade ciclíca do traço [71, 74, 90, 95, 96,
97], obtemos,
tr exp−βX
nj
(ǫj−µ)njc†ici
!
=
= tr c†i exp−βX
nj
(ǫj−µ)(nj +δji)ci
!
=
= exp−β(ǫi−µ)
tr exp−βX
nj
(ǫj −µ)njcic†i
!
, (2.2.87)
assim,
[ni] =
exp−β(ǫi−µ)
tr exp−βX
nj
(ǫj−µ)njcic†i
!
tr exp−βX
nj
(ǫj −µ)nj
! , (2.2.88)
e pela definiçãocic†i = [1 +Kni],
[ni] = exp(−β(ǫi−µ))[1 +Kni] →
[ni]
[1 +Kni]
2.2. ÁLGEBRA QUÂNTICAQ-DEFORMADA 23
Resolvendo a Eq.(2.2.89),
[ni] =
zexp(−βǫi)q−ni
1−Kqzexp(−βǫi)
= q
−ni
z−1exp(βǫ
i)−Kq
, (2.2.90)
com a definição do número básico (2.2.68) temos,
qni −q−ni
q−q−1 =
q−ni
z−1exp(βǫ
i)−Kq
, (2.2.91)
(q)2ni = q−q
−1+z−1exp(βǫ
i)−Kq
z−1exp(βǫ
i)−Kq
, (2.2.92)
e assim, obtemos o número de ocupação médioq-deformadon(iq),
n(iq) = 1 2 ln(q)ln
q−q−1+z−1exp(βǫ
i)−Kq
z−1exp(βǫ
i)−Kq
. (2.2.93)
Da álgebra do oscilador3q-deformado (por exemplo, no caso de bósons), temos que o
número de ocupação médio é dado por :
n(iq) = 1 2 ln(q)ln
z−1exp(βǫ
i)−q−1
z−1exp(βǫ
i)−q
. (2.2.94)
Por outro lado do oscilador quântico não-deformado temos que o número de ocupação
médio é dado por:
ni =
1
z−1exp(βǫ
i)−1
. (2.2.95)
Temos que,
N(q) =X
i
n(iq) e N =X
i
ni. (2.2.96)
2.2. ÁLGEBRA QUÂNTICAQ-DEFORMADA 24
Notamos queN pode ser obtido da função de partiçãoΞda forma:
ln Ξ =−X
i
ln(1−zexp(−βǫi)). (2.2.97)
ComoN é definido por
N =z ∂
∂z ln Ξ, (2.2.98)
então,
N =X
i
zexp(−βǫi)
1−zexp(−βǫi)
=X
i
1
z−1exp(βǫ
i)−1
, (2.2.99)
ou seja,
N =X
i
ni. (2.2.100)
No limitez ≪ 1(altas temperaturas), é fácil estabelecer uma relação entreN(q) eN viaD(zq) e∂z. Note que nesse limite temos:
n(iq)= q−q−
1
2 lnq zexp(−βǫi) e ni =zexp(−βǫi), (2.2.101)
logo,
n(iq) = q−q
−1
2 lnq ni, (2.2.102)
ou seja,
X
i
n(iq) = q−q−
1
2 lnq
X
i
ni ⇒ N(q) =
q−q−1
2 lnq N. (2.2.103)
Usando (2.2.95) e (2.2.98) temos:
zDz(q)ln Ξ = q−q
−1
2 lnq z ∂
∂z ln Ξ, (2.2.104)
tal que,
D(zq) = q−q−
1
2 lnq ∂
2.2. ÁLGEBRA QUÂNTICAQ-DEFORMADA 25
As energias médiasU(q) eU são, portanto, também relacionadas. Note que:
U(q)=X
i
ǫin(iq) e U = X
i
ǫini. (2.2.106)
Usando (2.2.102) vemos que:
U(q)= q−q−
1
2 lnq U. (2.2.107)
Podemos escrever,
U(q) =− ∂
∂β ln Ξ =− ∂yi
∂β ∂ ∂yi
ln Ξ. (2.2.108)
Como ∂y∂
i é similar a
∂
∂z, poisz = exp(βµ)eyi = exp(βǫi), generalizamos
∂ ∂yi →
Dy(qi), (2.2.109)
logo,
U(q) = ∂yi
∂βD
(q)
yi ln Ξ. (2.2.110)
Para,
Dy(qi) = q−q−
1
2 lnq ∂ ∂yi
, (2.2.111)
temos,
U(q)=−∂yi
∂β
q−q−1
2 lnq ∂ ∂yi
ln Ξ, (2.2.112)
ou seja,
U(q) = q−q
−1
2 lnq U. (2.2.113)
Basicamente a aplicação daJDresume-se em:
∂
∂z →D
(q)
z ou
∂ ∂yi →
D(q)
2.3. ÁLGEBRA DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 26
onde vemos a conexão entre Dz(q) e a derivada usual definida por Leibinz∂z ou (∆)
na Eq.(2.2.105).
2.3
Álgebra dos Osciladores de Fibonacci
É de conhecimento que a generalização de números inteiros de modo geral é dado por uma
seqüência. Duas formas conhecidas para descrever uma seqüência são as progressões
arit-méticas e geométricas. Uma simples generalização que engloba ambas é a seqüência
Fi-bonacci [47]-[56], que como sabemos é uma combinação linear onde o terceiro número
é a soma dos dois antecessores e assim por diante. As definições dos números básicos,
apresentadas neste capitulo são seqüências Fibonacci generalizadas, portanto, o número
ge-neralizado do espectro pode ser dado por número inteiro de Fibonacci.
Com o intuito de estabelecermos uma estatística do sistema em função dos parâmetros de
deformação (q1, q2) permitindo assim, calcularmos as funções termostatísticas no limite de baixas e altas temperaturas. Continuaremos descrevendo através da inserção do paramêtro
Kuma álgebra para (q1, q2)-bósons e (q1, q2)-férmions, usando o formalismo que generaliza
o cálculo de Fibonacci, recentemente proposto ao formalismo doq-cálculo.
Primeiramente, descreveremos a distribuição estátistica partindo de uma das definições
do número básico simetrizada apresentada na Eq.(2.1.14) [9, 71]. Mesmo não sendo
ob-jeto principal de investigação, essa nova definição, assim como a dada pela Eq.(2.2.68),
são de fundamental importância para a compreensão dos procedimentos realizados para
descrevermos a partir do número báscio de Fibonacci, as maneiras de aplicarmos a (q1, q2
)-deformação. Assim,
[xi,q] =
q2xi−q−2xi
q2−q−2 , (2.3.115)
cic†i −Kq2c†ici =q−2Ni, [1 +Kxi,q] =q2[xi,q] +Kq−2Ni. (2.3.116)
encontra-2.3. ÁLGEBRA DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 27
remos os seguintes resultados:
i)
[ni,q] = X
ni
[ni,q]zexp
(−βǫi)ni
X
ni
zexp(−βǫi)ni
[ni,q] =−
q2zexp(βǫ
i)
zexp(−βǫi)−1
z−q2exp(βǫ
i)
q2z−exp(βǫ
i)
, (2.3.117)
quandoq →1,
ni =
1
z−1exp (βǫ
i)−1
. (2.3.118)
Agora,
[1 +Kni,q] = X
ni
[1 +Kni,q]zexp
(−βǫi)ni
X
ni
zexp(−βǫi)ni
[1 +Kni,q] = −
q2eβǫi ze−βǫi−1 Kq2z−q2z+eβǫi
(z−q2eβǫi) (zq2−eβǫi) , (2.3.119)
quandoq →1,
(1 +Kni) =
z−1exp(βǫ
i)−1 +K
z−1exp(βǫ
i)−1
. (2.3.120)
Fazendo,
[ni,q]
[1 +Kni,q]
= 1
q2K+z−1eβǫi −q2,
ni
(1 +Kni)
= 1
z−1eβǫi−1 +K.(2.3.121)
Para um sistema de bósons, ondeK = 1, teremos,
[ni,q]
[1 +ni,q]
= ni (1 +ni)
=zexp(−βǫi). (2.3.122)
2.3. ÁLGEBRA DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 28
de ocupação médioq-deformadoni,q,
ni,q =
1 4 ln(q)ln
q2−q−2+z−1exp(βǫ
i)−Kq2
z−1exp(βǫ
i)−Kq2
. (2.3.123)
SeK = 1,
ni,q =
1 4 ln(q)ln
z−1exp(βǫ
i)−q−2
z−1exp(βǫ
i)−q2
. (2.3.124)
Expandindo em z ≪ 1, temos a relação para JD, e como demonstrado
anterior-mente pela Eq.(2.2.105), também chegamos a JD para a definição do número básico
(2.3.115),
ni,q =
q2 −q−2
4 ln(q) zexp(−βǫi), ni,q =
q2−q−2
4 ln(q) ni. (2.3.125)
D(zq) = q
2−q−2
4 ln(q) ∂z. (2.3.126)
Com base nos procedimentos anteriores, serão introduzidos os parâmetrosq1eq2(chamados por Arik de osciladores de Fibonacci [47]), e são bem investigados por [48]-[56]. Definindo
o número básico de Fibonacci,
[xi,q1,q2] =c †
ici =
q2xi 2 −q
2xi 1
q2 2 −q12
, (2.3.127)
cic†i −Kq12ci†ci =q22Ni, e cic†i −Kq22ci†ci =q12Ni, (2.3.128)
[1+Kxi,q1,q2] =Kq 2
1[xi,q1,q2]+q 2Ni
2 , ou [1+Kxi,q1,q2] =Kq 2
2[xi,q1,q2]+q 2Ni
1 . (2.3.129)
Temos a Hamiltoniana dada por,
Hq1,q2 =
X
i
(ǫi−µq1,q2)Ni, (2.3.130)
Hamil-2.3. ÁLGEBRA DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 29
toniana é deformada e depende implicitamente deq1eq2 sendo o operador número definido na Eq.(2.3.127). Obtemos, o número de ocupação médio deformado para os parâmetrosq1 eq2, por meio de:
i)
[ni,q1,q2] =
X
ni
[ni,q1,q2]zq1,q2exp
(−βǫi)ni
X
ni
zq1,q2exp
(−βǫi)ni
(2.3.131)
ondezq1,q2 = exp(βµq1,q2)é a fugacidade do sistema, utilizaremos a notaçãozq1,q2 =
z′, assim,
[ni,q1,q2] =
z′(exp(βǫ
i)−z′)
(exp(βǫi)−q22z′) (exp(βǫi)−q12z′)
, (2.3.132)
quandoq1 =q2 = 1,
ni =
1
z−1exp (βǫ
i)−1
. (2.3.133)
Agora,
[1 +Kni,q1,q2] =
X
ni
[1 +Kni,q1,q2]z′exp
(−βǫi)ni
X
ni
z′exp(−βǫ
i)ni
=
= 1 + K(exp(βǫi)−z′)
q2 1 −q22
1 (q2
2z′ −exp(βǫi))
+ 1
(exp(βǫi)−q12z′)
,(2.3.134)
quandoq1 =q2 = 1,
(1 +Kni) =
z−1exp(βǫ
i)−1 +K
z−1exp(βǫ
i)−1
2.3. ÁLGEBRA DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 30
Fazendo,
[ni,q1,q2]
[1 +Kni,q1,q2]
= 1
Kq2
2+z′−1exp(βǫi)−q22
, (2.3.136)
ni
(1 +Kni)
= 1
z−1eβǫi−1 +K. (2.3.137)
ParaK = 1, teremos,
[ni,q1,q2]
[1 +ni,q1,q2]
= ni (1 +ni)
=zexp(−βǫi). (2.3.138)
ii) Agora pela Eq.(2.2.87), e com a definição dada pela Eq.(2.3.127),
ni,q1,q2 =
1
lnq21
q2 2
ln
q2
1 −q22+z′−1exp(βǫi)−Kq12
z′−1exp(βǫ
i)−Kq21
!
. (2.3.139)
ComK = 1,
ni,q1,q2 =
1 lnq12
q2 2
ln z
′−1exp(βǫ
i)−q22
z′−1exp(βǫ
i)−q21
!
. (2.3.140)
Expandindo a Eq.(2.3.139) emz′ ≪1, temos a relação para JD,
ni,q1,q2 =
q2 1−q22
lnq21
q2 2
z′exp(−βǫi), ni,q1,q2 =
q2 1−q22
lnq21
q2 2
ni. (2.3.141)
D(q1,q2)
z =
q2 1 −q22
lnq21
q2 2
∂z(q1,q2), (2.3.142)
Dz =∂z, quandoq1 = 1,q2 →1. (2.3.143)
Aplicaremos os osciladores de Fibonacci, nos capitulos a seguir, e obteremos resultados
2.3. ÁLGEBRA DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 31
calor específico, condutividade térmica, etc. Trabalharemos nos regimes de baixas (z ≫1)
e altas temperaturas (z ≪ 1), e quando q1 = 1 e q2 → 1 e vice-versa, todos os resulta-dos obtiresulta-dos retornam aos encontraresulta-dos na literatura [124]-[127], pois as JD viram derivadas
Capítulo 3
Aplicação dos Osciladores de Fibonacci
no Diamagnetismo de Landau em
D
-Dimensões
O problema do diamagnetismo resolvido por Landau continua a levantar questões que
têm forte relevância ainda hoje [128, 129]. Estas questões dizem respeito à natureza quântica
inerente do problema, o papel de limites de fronteira e de dissipação, o significado dos
limites termodinâmicos e acima de tudo, mescla mecânicas clássica e quântica ocasionada
pelo ambiente decoerência induzido.
Para explicarmos o fenômeno do diamagnetismo, temos que levar em conta a interação
entre o campo magnético externo e o movimento orbital dos elétrons. Descartando o termo
de spin, o hamiltoniano de uma partícula na presença de um campo magnético H, é dado
pela expressão [124]
H= 1
2m
p−e cA
2
, (3.0.1)
onde m e e são a massa e a carga do elétron respectivamente, A é o potencial vetor associado
ao campo magnético H e c é a velocidade da luz, em unidades (CGS). No contexto da
[124]-3.1. APLICAÇÃO DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 33
[127]. Para ver isto, basta escrevermos a função de partição no espaço de fase clássico,
Ξcl = Z
d3r
Z
d3pexp (−βH), (3.0.2)
Ξcl = Z
d3r
Z
d3pexp
−2βmp− e cA
2
. (3.0.3)
Note que podemos eliminar a dependência deΞcl com o campo magnético, ao realizarmos
uma mudança de variávelp′ →p−(ec)A, tal que
Ξcl = Z
d3r
Z
d3pexp
−βp′
2
2m
. (3.0.4)
Podemos fazer uma generalização paraD-dimensões, mudando a dimensão do espaço de
coordenadas e de momento de3paraDdimensões. O problema original em(D= 3)pode
ser visto de maneira detalhada a partir da equação (3.0.4) no Apêndice A, onde mostramos
que o diamagnetismo de Landau é um fenômeno puramente quântico. Neste caso, obtemos
a degenerescência g e também calculamos a frequência clássica de rotação definida por
ω = eH mc.
3.1
Aplicação dos Osciladores de Fibonacci
Inserimos os osciladores de Fibonacciq1eq2, através da Eq.(2.3.132), baseados nos desen-volvimentos realizados nas Secs.(2.2) e (2.3). Partiremos da(q1, q2)-função de partição no
ensemble grande canônico,
ln Ξ =−K
g X δ=1 X k ∞ X n
{ln [1−Kexp[−β(ǫ−µ)]q1,q2]}
1, (3.1.5)
ondeK =±1, para bósons e férmions respectivamente (definido na Sec.(2.2)).
1ln [1
−Kexp[−β(ǫ−µ)]q1,q2] =
ln[1−Kz′q2
1exp(−βǫ)](q− 2
1 −1)+ln[1−Kz′q 2
2exp(−βǫ)](1−q− 2 2 )]
3.1. APLICAÇÃO DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 34
Realizamos os somatórios, primeiramente considerando o limite contínuo,
X
k
f(k)→ L
w
(2π)w
Z ∞
−∞
dwkzfn(kz), (3.1.6)
ondew= (D−2), ek2
z =k12+k22+· · ·+k2w eL(D) =V(hiper-volume). Devemos notar
que aumentamos apenas o número de dimensões para(D−2)dimensões extras. O sistema
continua, em sua essência, um problema planar imerso em D dimensões. Substituindo a
Eq.(3.1.6) na Eq.(3.1.5), realizando uma expansão da forma,−ln(1−x) = x+x22 +· · ·, e trabalhando num limite de altas temperaturas ou de gás diluído(z ≪1), chegamos em
ln Ξ = KgL
w
(2π)w
∞
X
n=0
Z ∞
−∞
dwkz
z′Ke(−βǫ)+ z
′2K2e(−2βǫ)(q2
1 +q22−1)
2
, (3.1.7)
Definimos o fator de degenerescênciage a energiaǫ, e
g = 2L
2eH
hc , ǫ=
~2k2
z
2m +~ω
n+1 2
. (3.1.8)
ln Ξ = K(22gLπ)wwz′
" Z ∞
−∞
dwkzexp
−β~
2k2
z
2m
| {z }
I1 ∞ X n=0 exp
−β~ω
n+ 1 2
| {z }
S1
#
+
+K3gLwz′2(q21+q22−1) 2(2π)w
" Z ∞
−∞
dwkzexp
−β~
2k2
z
m
| {z }
I2 ∞ X n=0 exp
−2β~ω
n+1 2
| {z }
S2
#
.(3.1.9)
Observamos que as integrais I1 eI2 são gaussianas. A resolução de uma integral
gaus-siana é dada por:
Z ∞
−∞
exp(−ax2)dx=π
a
(1 2)
. (3.1.10)
Logo chegamos aos respectivos resultados,
Z ∞
−∞
exp
−β~
2k2
z
2m
dwkz =
2πm β~2
(w 2)
3.1. APLICAÇÃO DOS OSCILADORES DE FIBONACCI 35
Z ∞
−∞
exp
−β~
2k2
z
m
dwkz =
1 2
(w
2)2πm
β~2
(w 2)
. (3.1.12)
Lembrando queβ = κ1
BT, ondeκB é a constante de Boltzmann, temos
2πmκBT
~2 (w 2) = 1 λw T , (3.1.13)
onde,λT é o comprimento de onda térmico de De Broglie. Por outro lado, os resultados dos
somatóriosS1 eS2da Eq.(3.1.9), são respectivamente
∞
X
n=0
exp
−β~ω
n+1 2
= 1
2 sinh(βµBH)
, (3.1.14) ∞ X n=0 exp
−2β~ω
n+1 2
= 1
2 sinh(2βµBH)
, (3.1.15)
ondeµB = 2emc~ é o magneton de Bohr, e chamando(βµBH) =γ.
Com os resultado obtidos nas Eqs.(3.1.11-3.1.15) e o valor deg, podemos reescrever a
Eq.(3.1.9),
ln Ξ = z
′K22L2e
2hc
L
(2π)λT
w
1 sinh(γ) +
z′K
2(w2)
(q2
1 +q22−1)
2 sinh(2γ)
, (3.1.16)
ln Ξ = z
′K2LDeH
hc
1 (2π)λT
w
1 sinh(γ)+
z′K
2(w2)
(q2
1 +q22−1)
2 sinh(2γ)
. (3.1.17)
Podemos ainda definir dois fatores
C1 =
L(D)e
hc(λT(2π))w
, C2 =
L(D)e
hcλT(2π)2(
1 2)
w, (3.1.18)
e chamaremos(q2
![Figura 3.9: Curvas isotérmicas de magnetização do Y N i 2 B 2 C em função do campo magnético H, para temperatura acima de T c (0) = 15.25 ± 0.02K, [136].](https://thumb-eu.123doks.com/thumbv2/123dok_br/15555935.98010/64.892.289.575.545.784/figura-curvas-isotérmicas-magnetização-função-magnético-temperatura-acima.webp)
