�������� �� � ��������������� �� �������� ���� �� ����������
�����������
����� �������������� ����������� �� ���������� �� ���
������ �� ������ ��������� �� ����
Leonardo Avila
Orientador: Prof. Dr. S´ergio Lu´ıs Zani
������������� ����������� �� ��������� �� ��������� ���������� ��� � �� ������������ � ��������� ���� ����� ��� ���������� ���� ���������� �� ������� �� ������ �� ��������� � ������������
Sum´
ario
1 Introdu¸c˜ao 7
2 Distribui¸c˜oes Peri´odicas 11
��� ��������� ������ ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ��������������� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� T������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
��� � �������� (𝒫′
T(ℝn),∗,+) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
3 S´eries de Fourier em 𝒫T(ℝn) e 𝒫′
T(ℝn) 39
��� ������ �� ������� �� 𝒫T(ℝn) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������ �� ������� �� 𝒫′
T(ℝn) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������ ������� �� ������� �� 𝒫T(ℝn) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������ ������� �� ������� �� 𝒫′
T(ℝn) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
4 Fun¸c˜oes Anal´ıticas Reais em ℝn 63
��� ������ �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ��������� ����������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
5 Expans˜oes Assint´oticas 77
6 Hipoeliticidade Anal´ıtica Global 83
��� ��������������� ���������� ������ �� �������� L=∂t+c(t)∂x ��𝒟′(𝕋2) �� ��� ���������� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ��������� ��� ���������� Lu=0 �Lu=f � � � � � � � � � � � � � � ��
����� ������������ � �������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ����������� �� ��������� ����������� ����� � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ���� �� ����������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� �������������� �� ������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ���������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��
Abstract
Agradecimentos
Cap´
ı
tulo 1
Introdu¸c˜
ao
� �������� ����� ������ �� � ������ �� ��������������� ���������� ������ �� ��� ������ �� ���������� �������� �� ���� 𝕋2� � ������L=∂
t+c(t)∂x� ����c(t)�� ��� ��������
���������� ����2π������������ ���� ���������� ���� ������������ ������ �� �������𝒟′(𝕋2)
��� ��������������� 2π������������ �������� �� ℝ2� �� ����������������� ���������������
�������� �� ���� 𝕋2� ����� ��� �� ��� �������� �� ����������� ���������� ������������
����� �������� � ����� ��� � ������ ������� �� �������� ��� ��������� ����������� ����� �� 𝕋2 ����� ������� �� ��� ��������� ������ � �������� ����� ������������� �� ���������
�� ��������� ����� ���� �� ���������� ��� �� ����� L=∂t+c(t)∂x� �� ����� �����
���� �� ��������� ����������� �����c(t)��𝕋�� ��� ����� ���L���� ���� ���� �������� ��� ��������� ��� ���������� �� �����
����� �� ��� ������������� �� ������ �� ����� ����� ����������� � ��������� ���� �� ������� �������� ��������� �� ������������ � ����������� �� ���������
�� ��������� � �� ������� � ������� ��� ��������������� T������������� ��� ���� � �������� �������� ��� ��������� ������� �� ��� �������������� T������������ � ���� ��������� ������������ ����������� �� ������������ �� �������� �� ������������� ������ ��������� ���� ����������� ���� ��������������� ������� ����������� ���������� � ���������� �� ������� ����� �� ������� ��� ������ ������ � ���������������� � ������� ��� ��������������� T������������� 𝒫′
T(ℝn)� �� ������� ��� ��������������� ������ 𝒟′(ℝn)� ��� �� ��������
� ���������� ������������ �� T������������� �� �������������� ��� �������� ��� �������� ������ � T������������� �� ����������������
�� ��������� � �� ����������� ��� ������ �������� ������ �������������� ������� ����� ��� ������� ���������� �� �������� ��������������� T������������ � ��������� ������ ���� �������������� �������� �� ����������� �� ���� ����������� ���������� �� ��������
�� ��������� � ���� ���������� ��������� �������� ���� ��� ������ �� ���������� �� ������� ���������� ��� ���� � ���������� �� ��� �������� ���������� ���� �� ������� ���������� � ������� ������������� �� ����� �� �������������� �� ������� ��� ������������ �� ������������ ���� ��������� �������� �� ���� ����������� ���������� �� ��������
�� ��������� � �� ������������ �� ������� ���� ���������� �� ���������� ������������� ������������ �� ��������� ��������� ���������� �� �� ����������� � ������� ��
����� ������� ��������� ��������� ��� ������� �� ����� ���� ���������� �� ��� ��� �������� ���������� ���� ���������� ��� ����������� �������� �� ������� �� ��� ������� ��������� � ��� ������� �������� ���������� ���������� ���� � �������� L=∂t+c(t)∂x�
�� ���� �� ��� c(t)���� �� �� ���� ��� ������� L����
� ��������� � �� ������������ �������� �� �������������� �� ������� ��������� �� ������������� �������� ����� ��� ����������� �� ���������� ���� �� ����� �������� ������ �������� �� ���� 𝕋2� �� ����� �� �������������� �� ��� �� ����������� ���
��������� �������� ���� � ��������� ������������� ���� ����� �� ������������� �� ����� �� ���� �� ���� � � ����� �� ������� �� ������ ���������� ��������� ����� ���������� ������������ �� ���� � ������ ������� ����� ��� �������������� ���� ��������� �� ��������
����� �� �������������� ����� ����������� ������� ����������� � �����������
Defini¸c˜ao 1.1 ���� ℕ= {0, 1, 2, . . .}� ������� ��� α �� �� �������������� ������ α ∈ℕn�
Defini¸c˜ao 1.2 ����� α = (α1, . . . ,αn)∈ℕn � x= (x1, . . . , xn)∈ℝn� �����
α! =α1!α2!⋅ ⋅ ⋅αn!
|α|=α1+α2+⋅ ⋅ ⋅+αm
xα =xα1
1 x
α2
2 ⋅ ⋅ ⋅x
αn
n
|x|α=|x
1|α1|x2|α2⋅ ⋅ ⋅|xn|αn
(x)α=
n
�
j=1
(xj)αj =
n
�
j=1
(xj(xj−1)⋅ ⋅ ⋅(x−αj+1))
∂α= ∂
α
∂xα =
∂α1
∂xα1
1
∂α2
∂xα2
2
⋅ ⋅ ⋅ ∂ αn
∂xαn
n
Dα= 1
i|α|
∂α
∂xα.
Defini¸c˜ao 1.3 ���� C∞
c (ℝ n) =�
φ:ℝn−→ℂ;φ∈C∞(ℝn),φ ��� ������� ���������,
���� � ������� �� φ� S(φ)� �� � ����� �� �������� {x∈ℝn;φ(x)∕=0}.
Defini¸c˜ao 1.4 ����(φn)n∈ℕ ��� ���������� �� ��������� ��C∞c (ℝn)� ������� ���
φn −→ 0 �� C∞c (ℝn)� ������ ������ �� �������� K ��� ���
S(φn) ⊂ K� ���� ���� n ∈ ℕ� � ���x∈A{|Dαφn(x)|} −→ 0� n −→ ∞� ���� ����
�
Defini¸c˜ao 1.5 ���� u : C∞
c (ℝn) −→ ℂ �� ��������� ������� ������� ��� u ��
��������� ������ φn−→0 �� C∞c (ℝn) ������� ��� u(φn)−→0 �� ℂ�
��������� ���
𝒟′(ℝn) =�u:C∞
c (ℝ n)
−→ℂ;u �� ������ � ��������� �
Cap´
ı
tulo 2
Distribui¸c˜
oes Peri´
odicas
��������������� ���� ���������� �������� ���������� �������� �� �������� �� ��������� � ������� ���������� ��� �������������� ���������� �� �� ��������� ������ ���������� ���� ���� ��� ������� �� ��������� ����������� ������� ����� ���������� ����� ����������� � �������� �� ��� �������������� ����������� �������� ��� 𝒫T(ℝn)� ����� ���� � �������
�� ������������� ����� �������� ������� ������������ � ���� �� ���� ���� ���� �������� ���������� �� 𝒫T(ℝn)� ������������ �� ��� ������� �������� ��� �������� �� �������
�������� ������� �� ℝn� ����� ����� ����� ��������� ����� � ����� �� ������������
�� ���������� �������� ����� �������� �� �������� ������������ � ������� 𝒫′
T(ℝn) ��� ��������������� T������������� ���
���� � ������� �� ������������� ���� ����������� �� ���������������� ����� ����������� �� ������� ��� ������� ����������� 𝒫′
T(ℝn) ���� �� ���������� �� 𝒟′(ℝn)� ��
�������� ���������� �� ������� ����������� ����������� ��� ��������� ���� ����������� �� ��������������� ������������ ���������� ��� ��� �������������� ��� �������� ��������� ����������� � ��� �������� ���������� �� ������� ����������
��� �� �������� T������������� �� ��� �������������� ��� ��� �������� ������ � T������������� ����� ���������������� ���������� ������� ������������ � ����� ���� � ������ �� ���������� �������� ������������ ��� ������������ � ������� �� ��������� �� �������� ���������� �� 𝒫′
T(ℝn)� ����������� �� T��������������
2.1
Fun¸c˜
oes Testes Peri´
odicas
Defini¸c˜ao 2.1 ����� T > 0� m= (m1, . . . , mn)∈ℤn� �����
𝒫T(ℝn) =�θ
∈C∞(ℝn); θ(x) =θ(x
−Tm),∀x∈ℝn,∀m∈ℤn
�
.
𝒫T(ℝn) �� � ������� ���������� ��� ��������� ������ ������������
Defini¸c˜ao 2.2 ������� ��� ��� ���������� (θj)j∈ℕ� ��� θj ∈ 𝒫T(ℝn)� ��������
�� 𝒫T(ℝn)� �� ������� θ ∈ 𝒫
T(ℝn)� ��� ��� Dαθj ��������
������������� ���� Dαθ �� ℝn ���� ���� α= (α
1, . . . ,αn)∈ℕn�
��� ���� ����������� 𝒫T(ℝn)�� �� ������� ����������� �������� �� ��������
d(θ,φ) =
∞
�
k=0
pk(θ−φ) 2k(1+p
k(θ−φ)) , ����
pk(θ) =���
{
|Dαθ(x)|;x ∈ℝn,|α|≤k} �� ��� �����������
Teorema 2.3 ��� ���������� (θj)j∈ℕ� ��� θj ∈ 𝒫T(ℝn)� �������� ���� θ ��
𝒫T(ℝn) �� � ������� �� p
k(θj−θ)−→0� j−→ ∞� ���� ���� k∈ℕ�
��������������� �� θj −→ θ �� 𝒫T(ℝn) ������� ����� k∈ ℕ � ���� ε > 0� ������
J > 0 ��� ��� �� j≥J �x∈ℝn� ������
|Dαθj(x)−Dαθ(x)|<ε ���� ���� α� ��� ���|α|≤k� ����� ������ ��� �� j≥J�
pk(θj−θ) = ��� x∈ℝn
|α|≤k
|Dαθj(x)−Dαθ(x)|≤ε. �� pk(θj−θ)−→0 ������ ���� ���� α∈ℕn�|α|≤k� ����� ���
���
x∈ℝn
|Dαθj(x)−Dαθ(x)|≤ ��� x∈ℝn
|β|≤k
|Dβθj(x)−Dβθ(x)|=pk(θj−θ)−→0.
∙
Proposi¸c˜ao 2.4 ���� ���� φ∈C∞
c (ℝn)� �����
θ(x) = �
m∈ℤn
φ(x−Tm).
������ θ∈𝒫T(ℝn)�
��������������� ������ �� ���� ������ ����� ����� ������ ���� �� ������������� ���� � ������ �� ��������� θ����� ��� �������� ���� � ���� �� φ��� ������� ���������
������� ��� �� ���� ����� �� ��� ��������� θ �� ��� ���� ������ �� ����� ������
C > 0� ��� ��� φ(x) =0� ���� ����x∈ℝn ��� ���|x|≥C� ������ �� x∈ℝn�|x|≤a
���� ����� a > 0� ������
���� ����� ���� ������ ���� ������� ��
=⇒−C < Tmi−xi < C, i=1, . . . , n.
���� −a≤xi ≤a� �����
−C−a≤−C+xi < Tmi < C+a, i =1, . . . , n.
����� |mi|≤(C+a)/T�i =1, . . . , n �� ��������� |m|≤n(C+a)/T. ���� ������
������ �� ������� ����� �� n������ m ∈ ℤn ��� ���������� ���� ������� �����������
������� ��������� ���� ����� k=k(a)∈ℕ������������
θ(x) =φ(x−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+φ(x−Tmk),
����� ��� |x|≤a�
��������� ���θ�� ����������� ���� m∈ℤn�
θ(x−Tm) =
�
k∈ℤn
φ(x−Tm−Tk) =
�
k∈ℤn
φ(x−T(m+k)) =
= �
l∈ℤn
φ(x−Tl) =θ(x).
���� x0 ∈ℝn� ���� a > 0 ��� ��� |x0|< a� ������
θ(x) =φ(x−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+φ(x−Tmk), |x|< a,
� ����� ��� � ������������ �������������� ��x0� ���� ����
Dαθ(x
0) =Dαφ(x0−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+Dαφ(x0−Tmk).
����� ����� ������� ��������
Dαθ(x) = �
m∈ℤn
Dα(x−Tm),
� θ∈𝒫T(ℝn)�
∙
Proposi¸c˜ao 2.5 ���� (φl)l∈ℕ� φl ∈ C∞c (ℝn)� ��� ��� φl �������� ���� φ ��
C∞
c (ℝn)� ������ � ���������� (θl)l∈ℕ �� 𝒫T(ℝn)� ������� ��� θl(x) =
∑
m∈ℤnφl(x−Tm)� �������� �� 𝒫T(ℝn) ���� θ(x) =
∑
m∈ℤnφ(x−Tm)�
��������������� ������ a > 0 ��� ��� S(φl) ⊂ B[0, a]� ���� ���� l ∈ ℕ � Dαφl
�������� ���� Dαφ�������������� ���� ���� α∈ℕn�
�����α∈ℕn �ε> 0� ����Dα(φ
�
m∈ℤn
Dα(φl−φ)(x−Tm) =Dα(φl−φ)(x−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+Dα(φl−φ)(x−Tmkl). ���� ������ a > 0 ��� ��� φl(x) = 0� �� x /∈ B[0, a]� ���� ����� l ∈ ℕ� �����
�� φl(x−Tm) ∕=0 ���� ���� l ∈ℕ� ������ |x−Tm|≤a � ���� ������� ��� xi−a≤ Tmi ≤a+xi�
���� x ∈ [0, T]n� ����� ���
−a−T ≤ −a ≤ Tmi � xi ≤ a+T �� ���������
|mi|≤ aT +1�
���� a ��������� �� l ∈ ℕ� ����������� ��� ��� ������ �� ������� ����� k� �� �������� m ∈ ℕ ���� ��� φl(x−Tm) ∕= 0, ���� ���� l ∈ ℕ� ����� ����� ������� ��������
�
m∈ℤn
Dα(φl−φ)(x−Tm) =Dα(φl−φ)(x−Tm1)+
+⋅ ⋅ ⋅+Dα(φl−φ)(x−Tmk), ∀l∈ℕ, ∀x∈[0, T]n.
���� Dαφ
l �������� ���� Dαφ �������������� ������ l0 ∈ ℕ ��� ��� l ≥ l0
������� ���
���
x∈Rn
|Dαφl(x)−Dαφ(x)|≤
ε
k. ����� �� l ≥l0 �x∈[0, T]n ������
|Dαθl(x)−Dαθ(x)|=|Dα(θl−θ)(x)|=
=���Dα� �
m∈ℤn
(φl−φ)(x−Tm)����= � � � �
m∈ℤn Dα(φ
l−φ)(x−Tm) � � �=
=|Dα(φl−φ)(x−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+Dα(φl−φ)(x−Tmk)|≤
≤|Dα(φ
l−φ)(x−Tm1)|+⋅ ⋅ ⋅+|Dα(φl−φ)(x−Tmk)|≤
≤ ε
k +⋅ ⋅ ⋅+
ε
k =ε.
∙
Defini¸c˜ao 2.6 ���� UT(ℝn) =
�
ξ∈C∞
c (ℝn);
�
m∈ℤ
ξ(x−Tm) =1, ∀x∈ℝn
�
.
�� ξ∈UT(ℝn)� ������� ��� ξ �� ����������
���� ����� ���� ������ ���� ������� ��
����� ξ:ℝ−→ℝ� ���
ξ(t) =χ(−1,1) ��1
0
ex(1−−1x)dx
�−1�1
|t|
ex(1−−1x)dx
���� ��� ξ ∈ C∞
c (ℝn) � S(ξ) = [−1, 1]� ���� t ∈ ℝ� ���� m0 ∈ ℤ ��� ���
m0≤t < m0+1� ���� ��� 0≤t−m0< 1.�������� −1≤t−m0−1 < 0� �� m≥m0+2������ t≤m�
|t−m|=t−m≥t+1−m0 = (t−m0) +1≥1.
����� ������ �� m < m0 ������
t−m= (t−m0) + (m0−m)≥1. ����� ξ(t−m) =0 ��m∕∈{m0, m0+1}�
������
∞
�
m=−∞
ξ(t−m) =ξ(t−m0) +ξ(t−m0−1) =
=� �1
0
ex(1−−1x)dx
�−1��1 t−m0
ex(1−−1x)dx+
�1 1+m0−t
ex(1−−1x)dx
�
=
=� �1
0
ex(1−−1x)dx
�−1��1 t−m0
ex(1−−1x)dx
� −
�0 t−m0
ex(1−−1x)dx=
=� �1
0
ex(1−−1x)dx
�−1��1 0
ex(1−−1x)dx
�
=1. ��� ���� �� ��������� ����� ��� �������� ���������ζ:ℝn −
→ ℂ���� ���
ζ(x1, . . . , xn) =ξ(x1)⋅ ⋅ ⋅ξ(xn).
Proposi¸c˜ao 2.8 ���� ξ ��� �������� ���������� �� (θj)j∈ℕ �������� ���� θ ��
𝒫T(ℝn) ������ (ξθ
j)j∈ℕ �������� ���� ξθ �� C∞c (ℝn)�
��������������� ����� ��� S(ξθj)⊂S(ξ)� ����α ∈ℕn� ����� ���
Dα(ξθj) =
�
γ+β=α
α!
γ!β!D
γξDβθ
j
�������� ������������� ����
�
γ+β=α
α!
γ!β!D
γξDβθ=Dα(ξθ),
∙
� ������������ �������� ������ ��� �� ������ ��������� �������� ��� �������� θ ��
𝒫T(ℝn) �� ����� ∑
m∈ℤφ(x−Tm)� ���φ∈C∞c (ℝn)�
Proposi¸c˜ao 2.9 � ����������� F: C∞
c (ℝn) −→ 𝒫T(ℝn)
φ �−→ ∑m∈ℤφ(⋅−Tm)
�� ������������
��������������� ���� θ∈ 𝒫T(ℝn)� ���� �������� ξ
∈UT(ℝn) � ����� φ= ξθ ∈
C∞
c (ℝn)� ������ �����
(Fφ)(x) = �
m∈ℤ
φ(x−Tm) =
�
m∈ℤ
ξ(x−Tm)θ(x−Tm) =
=θ(x)�
m∈ℤ
ξ(x−Tm) =θ(x). ����� Fφ=θ�
∙
2.2
Distribui¸c˜
oes Peri´
odicas
Defini¸c˜ao 2.10 �� ��������� ������ f : 𝒫T(ℝn) −
→ ℂ �� ���� ��������� ��� ���
������������� ���������� �� ���� ���� ���������� (θj)j∈ℕ �� 𝒫T(ℝn) ��� ��������
θj−→0� ������� ��� f(θj)−→ 0 �� ℂ�
Defini¸c˜ao 2.11 � ������� ��������
𝒫′
T(ℝn) =
�
f:𝒫T(ℝn)−→ℂ;f�� ������ � ����������
�� ������� �� ������� ��� ��������������� ����������� � �� �������� ��� �� ���� ��� �������������� �����������
�� f∈𝒫′
T(ℝn) �θ∈𝒫T(ℝn)� �������� � �������� ���������� f(θ) = (f,θ)�
Teorema 2.12 ���� f:𝒫T(ℝn)−
→ ℂ �� ��������� ������� ���� ������������
�� � �� ����������
�� ������� C > 0 � m∈ℕ ���� ���
|(f,θ)|≤C � |α|≤m
���
x∈ℝn
|Dαθ(x)|, ������
���� ����������� ���� ���� ������� ��
��������������� ������� ��� � ���� �������� �� (θj)j∈ℕ −→ 0 �� 𝒫T(ℝn) ������
���x∈ℝn|Dαθj(x)| ����� � ���� ���� ���� α∈ℕn� ����� � ����
�
|α|≤m
���
x∈ℝn
|Dαθ
j(x)|
������� ����� � ���� ������ j ����� �� �������� ��������� ������ � ������������ �� � ����������� ��� f �� ����������
������� ����� ���f�� ���������� ������� ��� � �� ������ ������� ���� ����m∈ℕ�
������� ��������� �θm∈𝒫T(ℝn)��� ���
|(f,θ�m)|> m
�
|α|≤m
���
x∈ℝn
|Dαθ�m(x)|.
�������� θm = |(f,θ�θ�mm)|� ����� ���
|(f,θm)|=1 > m
�
|α|≤m
���
x∈ℝn
|Dαθm(x)|.
��� ����� ����������� ���
0 < � |α|≤m
���
x∈ℝn
|Dαθm(x)|<
1 m.
������ θm �������� ���� ���� �� 𝒫T(ℝn)� ������(f,θm) ���� �������� � ���� �� ℂ�
∙
Defini¸c˜ao 2.14 ������� ��� ��� ���������� (fn)n∈ℕ �� ��������������� �� ������� ����� �� 𝒫′
T(ℝn) �� ������� f∈𝒫T′(ℝn) ��� ��� ���� ���� θ∈𝒫T(ℝn) � ����������
�� �������� ��������� (fn,θ) �������� ���� (f,θ)�
������� ����� ���� �� ������ ��� ����� ���������� ����� ��� �������������� ���������� ���� �� ��� �������������� ����� ��ℝn� ����������� �𝒟′(ℝn)� �� ��� ����� ���𝒫′
T(ℝn)�
𝒟′(ℝn)���� �������� ���������� ��������� ���⟨u,φ⟩��� �������������� ����� ��������
���� �������� φ ∈ C∞
c (ℝn) ���� ����������� �� ��������� (f,θ) ����� �� ���� �� ���
�������������� �����������
� �������� ������� ������ ��� 𝒫′
T(ℝn) ���� ��� ����������� ������ � ���������
����� �� 𝒟′(ℝn)� �� ������� �� ��� ������ �� ������������ ������ ����� 𝒫′
T(ℝn)
� �� ���������� �������� � ����������� �� 𝒟′(ℝn)� � ������
𝒟T′(ℝn) =�u∈𝒟′(ℝn);u=uTm, ∀m∈ℤn
�
Teorema 2.15 ������ �� ������������ ������ A:𝒫′
T(ℝn)−→ 𝒟′T(ℝn).
��������������� ���� f ∈𝒫′
T(ℝn)� ���� ���� φ∈C∞c (ℝn) ���������
θ= �
m∈ℤn
φTm.
���� ��� θ∈𝒫T(ℝn)� ������� ������u:C∞
c (ℝn)−→ℂ���
u(φ) =�f, �
m∈ℤn
φTm
�
= (f,θ).
��������� ���u ∈𝒟′
T(ℝn)�
������������ �� φ,ψ∈C∞
c (ℝn) �λ ∈ℂ ������
u(φ+ψ) =�f, �
m∈ℤn
(φ+ψ)Tm
�
=�f, �
m∈ℤn
φTm
�
+�f, �
m∈ℤn
ψTm
�
=u(φ) +u(ψ).
u(λφ) =�f, �
m∈ℤn
(λφ)Tm
�
=�f,λ �
m∈ℤn
φTm
�
=λ�f, �
m∈ℤn
φTm
�
=λu(φ).
������������� �� φj �������� ���� ���� �� C∞c (ℝn)� � ������������ ���� ������� ���
������� ��� θj =
∑
m∈ℤn(φj)Tm �������� ���� 0 �� 𝒫T(ℝn)� ����� ����� ⟨u,φj⟩ =
(f,θj)�������� ���� � �� ℂ� ����� u∈𝒟′(ℝn)�
�������������� �� φ∈C∞
c (ℝn)� m∈ℤn ������
⟨uTm,φ⟩=⟨u,φ−Tm⟩=
� f, �
k∈ℤm
(φ−Tm)Tk
�
=
=�f, �
k∈ℤm
φT(k−m)
�
=�f, �
k∈ℤm
φTk
�
=⟨u,φ⟩,
���� ��� uTm =u� ��������� u∈𝒟′T(ℝn)�
����
A: 𝒫′
T(ℝn) −→ 𝒟′T(ℝn)
f �−→ u ,
���� ⟨u,φ⟩=�f,∑m∈ℤnφTm
�
�φ∈C∞
c (ℝn)�
��������� ���A �� ������ � ���������� ������������ �� f, g∈𝒫′
T(ℝn) � λ∈ℂ ������� ���� ����φ∈C∞c (ℝn)� �����
⟨A(f+g),φ⟩= (f+g, �
m∈ℤn
φTm) =
� f, �
m∈ℤn
φTm
�
+�g, �
m∈ℤn
φTm
�
���� ����������� ���� ���� ������� ��
=⟨A(f),φ⟩+⟨A(g),φ⟩=⟨A(f) +A(g),φ⟩,
⟨A(λf),φ⟩=⟨λf, �
m∈ℤn
φTm⟩=λ⟨f,
�
m∈ℤn
φTm⟩=λ⟨A(f),φ⟩=⟨λA(f),φ⟩.
������������� ��������� ��� ���������� (fj)j∈ℕ� fj∈𝒫T′(ℝn) ��� ���fj ����� � ����
�� 𝒫′
T(ℝn)� ���� φ∈C∞c � ����� ���
���
j−→∞⟨
A(fj),φ⟩= ��� j−→∞
� fj,
�
m∈ℤn
φTm
�
=0.
����� A(fj)����� � ���� �� 𝒟′T(ℝn)�
����� ������ � ������ ��u∈𝒟′
T(ℝn)� ������ ��� ������ ��������������T�����������
f=H(u),�� ���� ��� ���� ����������� ���� � ������� �� A� ���� ξ∈UT(ℝn)� ���� ���� u∈𝒟′T(ℝn)�����
fξ :𝒫T(ℝn) −→ ℂ
θ �−→ ⟨u,ξθ⟩ .
��������� ���fξ ∈𝒫T′(ℝn).
������������ ����� θ� β∈𝒫T(ℝn)� λ∈ℂ�
�� fξ(θ+β) =⟨u,ξ(θ+β)⟩=⟨u,ξθ+ξβ⟩= ⟨u,ξθ⟩+⟨u,ξβ⟩=fξ(θ) +fξ(β).
�� fξ(λθ) =⟨u,ξ(λθ)⟩=⟨u,ξλθ⟩=⟨λu,ξθ⟩=λ⟨u,ξθ⟩=λfξ(θ).
������������� ���� (θj)j∈ℕ� θj ∈𝒫T(ℝn)� ��� ���������� ��� ��� θj ����� � ���� ��
𝒫T(ℝn)� � ������������ ���� ������� ��� ��� ��� ���ξθ
j����� � ���� ��C∞c (ℝn)� ����
u∈𝒟′
T(ℝn)� ����� ���fξ(θj) =⟨u,ξθj⟩ −→0.�����fξ ∈𝒫T′(ℝn)� ��������� �����
��� � ���������� ��fξ ��������� �� ������� ��ξ� ���� ��� ��ξ,η∈UT(Rn)� ������fξ =fη�
��������� ����� ���
u= �
m∈ℤn
(uη)Tm.
���� φ∈C∞
c (Rn)� ������
⟨u−
�
|m|≤k
(uη)Tm,φ⟩=⟨u−
�
|m|≤k
uTmηTm,φ⟩=
=⟨u−
�
|m|≤k
uηTm,φ⟩= ⟨u(1−
�
|m|≤k
ηTm),φ⟩=
⟨u,(1−
�
|m|≤k
�������� ���� ����� ������ k ����� ���� �������� ���� 1−
∑
|m|≤kηTm ����� � ����
�� 𝒫T(ℝn) �� ���� ������������ ����(1
−
∑
|m|≤kηTm)φ����� � ���� �� C∞c (ℝn)� �����
�� ����� ����
⟨�
|m|≤k
(uη)Tm,φ⟩=
�
|m|≤k
⟨(uη)Tm,φ⟩,
����� ���
⟨�
m∈ℤn
(uη)Tm,φ⟩= �
m∈ℤn
⟨(uη)Tm,φ⟩.
�������� ����� ��� fξ =fη� ���� θ∈𝒫T(ℝn)� ����φ=ξθ� � ���� ����� ���
fξ(θ) =⟨u,ξθ⟩=⟨
�
m∈ℤn
(uη)Tm,ξθ⟩= = �
m∈ℤn
⟨(uη),(ξθ)−Tm⟩=
�
m∈ℤn
⟨uη,θξ−Tm⟩=
= �
m∈ℤn
⟨u,ηθξ−Tm⟩=
�
m∈ℤn
⟨uξ−Tm,ηθ⟩=
= �
m∈ℤn
⟨(uξ)−Tm,ηθ⟩=⟨u,ηθ⟩=fη(θ).
���������� � �������� ������� fξ =f� ��������
H: 𝒟′
T(ℝn) −→ 𝒫T′(ℝn)
u �−→ H(u) ,
����
H(u) : 𝒫T(ℝn) −
→ ℂ
θ �−→ ⟨u,ξθ⟩ ,
���� ξ∈UT�
������������ ����� u, v∈𝒟′
T(ℝn) �λ ∈ℂ� ����� ���� ���� θ∈𝒫T(ℝn)� ���
(H(u+v),θ) =⟨u+v,ξθ⟩=⟨u,ξθ⟩+⟨v,ξθ⟩= = (H(u),θ) + (H(v),θ) = (H(u) +H(v),θ).
(H(λu),θ) =⟨λu,ξθ⟩=λ⟨u,ξθ⟩= (λH(u),θ).
������������� �� uj−→0 �� 𝒟′T(ℝn)� ������ ���� ���� θ∈𝒫T(ℝn) �ξ∈UT(ℝn)�
����� ��� (H(uj),θ) =⟨uj,ξθ⟩ −→ 0� ��������� H(uj)−→0 �� 𝒫T′(ℝn)�
��������� ��� H �� � ������� �� A� ����� u ∈ 𝒟′
T(ℝn)� φ ∈ C∞c (Rn) � ξ ∈
���� ����������� ���� ���� ������� ��
ψ(x) =ξ(x) �
m∈ℤn
φTm(x) =
�
m∈ℤn
ξφTm(x) =
= �
m∈ℤn
(φξ−Tm)Tm(x) =0.
�� |x|≤a� ������
ψ(x) =ξ(x)(φ(x−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+φ(x−Tmk)),
������ m1, . . . , mk ∈ℤn� ����� ����� ���� ���� x∈ℝn� � ������
�
m∈ℤn
ξφTm =
�
m∈ℤn
(φξ−Tm)Tm
�� ������ ����� �� ����� ����� �������
⟨A(H(u)),φ⟩= (H(u), �
m∈ℤn
φTm) =⟨u,ξ
�
m∈ℤn
φTm⟩=
=⟨u, �
m∈ℤn
(φξ−Tm)Tm⟩=
�
m∈ℤn
⟨u,(φξ−Tm)Tm⟩=
= �
m∈ℤn
⟨u,φξ−Tm⟩=
�
m∈ℤn
⟨uξ−Tm,φ⟩=
= �
m∈ℤn
⟨(uξ)−Tm,φ⟩=⟨
�
m∈ℤn
(uξ)−Tm,φ⟩=⟨u,φ⟩,
���� �� ���� �������� ���������� ���� �������� �� ������� �� ������������ ����� ����� �� ������������� ��� fξ =fη�
������ ���� f∈𝒫′
T(ℝn)� θ∈𝒫T(ℝn)� ξ∈UT(ℝn)� ���� � ��������
(H(A(f)),θ) =⟨A(f),ξθ⟩=�f,�
m∈ℤ
(ξθ)Tm�= =�f,�
m∈ℤ
ξTmθ
�
=�f,θ�
m∈ℤ
ξTm
�
= (f,θ).
��������� H=A−1� � ��� ��������� � ��������
∙
Exemplo 2.16 ���� �������� ϕ : ℝn −→ ℂ ��� ��� ϕ(x) = ϕ(x−Tm)� ∀m ∈ ℤn�
∀x∈ℝn� ����� ��� ����������� �� [0, T]n� ��� ������ � ��� �������������� ����������
fϕ :𝒫T(ℝn)−→ℂ� �� �������� �������� ���� ���� θ∈𝒫T(ℝn)� �����
(fϕ,θ) =
�
[0,T]n
� ����������� �� fϕ ����� �� ����������� �� ��������� � ������������ �� fϕ
����� ��
� � �
�
[0,T]n
ϕθj
� �
�≤ ���
x∈[0,T]n
|θj(x)|
�
[0,T]n
|ϕ|.
Exemplo 2.17 ���������
δ: 𝒫T(ℝn) −
→ ℂ
θ �−→ θ(0). ����������� ��� δ �� ��� �������������� �����������
������������ ����� θ1,θ2 ∈𝒫T(ℝn) � λ∈ℂ� �����
δ(θ1+θ2) = (θ1+θ2)(0) =θ1(0) +θ2(0) =δ(θ1) +δ(θ2)
δ(λθ1) =λθ1(0) =λδ(θ1).
������������� �� θj −→ 0 �� 𝒫T(ℝn)� ������ δ(θj) = θj(0) −→ 0 �� ℂ� �����
����� δ ∈ 𝒫′
T(ℝn)� ������� ���� � �������������� �� δ� A(δ) �� 𝒟′T(ℝn)�
������� � ������� ����� ������� ��� ��� ��������������� ������� A(δ) =�δ� ��
������� ���
⟨�δ,φ⟩= (δ, �
m∈ℤn
φTm) =
�
m∈ℤn
(δ,φTm) =
= �
m∈ℤ
φ(Tm).
�
δ �� ������� �� �������������� ����� �� ����� T������������ �� ����� �� ����� ����������� �� Tm� m ∈ ℤn� ��������� ��� ���� ���� �� ����� ���� ����
φ∈C∞
c (ℝn)�
Opera¸c˜oes com Distribui¸c˜oes Peri´odicas
������� ����� ������� ����������� ���������� � ��������� �� 𝒫′
T(ℝn)�
����� f, g ∈ 𝒫′
T(ℝn)� θ,θ1,θ2 ∈ 𝒫T(ℝn)� λ ∈ ℂ� � (βj)j∈ℕ� ��� ���������� ��
𝒫T(ℝn) ��� �������� ���� �����
Adi¸c˜ao.
�����
f+g: 𝒫T(ℝn) −
→ ℂ
���� ����������� ���� ���� ������� ��
������������ (f+g)(θ1+θ2) = (f,θ1+θ2) + (g,θ1+θ2) = (f,θ1) + (f,θ2) + (g,θ1) +
(g,θ2) = (f+g,θ1) + (f+g,θ2).
(f + g,λθ) = (f,λθ) + (g,λθ) = λ(f,θ) + λ(g,θ = λ((f,θ) + (g,θ)) =
λ(f+g)(θ)�
������������� (f+g)(βj) = (f,βj) + (g,βj)−→ 0� j−→ 0.
���� f+g∈𝒫′
T(ℝn)�
Multiplica¸c˜ao por φ∈𝒫T(ℝn).
�����
φf: 𝒫T(ℝn) −
→ C
θ �−→ (f,φθ) .
������������ (φf)(θ1+θ2) = (f,φ(θ1+θ2)) = (f,φθ1+φθ2) = (f,φθ1) + (f,φθ2) =
φf(θ1) +φf(θ2).
(φf)(λθ) = (f,λφθ) =λ(f,φθ) =λ(φf)(θ).
������������� (φf)(βj) = (f,φβj)−→0�j−→0� ����� ���� ���� α∈ℕn� ���� ���
|Dαφβj(x)|≤ ���
|γ|≤|α|
|Dγφ(x)| �
|γ|≤|α|
Cγ|Dγβj(x)|−→0
������������� ���� ���� α� ����� φf∈𝒫′
T(ℝn)�
Transla¸c˜ao.
���� h∈ℝn� �����
fh : 𝒫T(ℝn) −→ ℂ
θ �−→ (f,θ−h)
, ���� θh(x) =θ(x−h)�
������������ fh(θ1 +θ2) = (f,(θ1 +θ2)−h) = (f,(θ1)−h + (θ2)−h) = (f,(θ1)−h) +
(f,(θ2)−h) =fh(θ1) +fh(θ2).
fh(λθ) = (f,(λθ)−h) = (f,λθ−h) =λ(f,θ−h) =λfh(θ).
������������� fh(βj) = (f,(βj)−h)−→0 �� ℂ� ���� ���� ���� α∈ℕn�
Dα(βj)−h(x) =D
αβ
j(x+h)−→0
Reflex˜ao. �����
�
f: 𝒫T(ℝn) −
→ ℂ
θ �−→ (f,θ�) ,
���� �θ(x) =θ(−x)�
������������ �f(θ1+θ2) = (f,(θ1+θ2)�) = (f,θ�1+θ�2) = (f,θ�1)+(f,θ�2) =f�(θ1)+f�(θ2).
�
f(λθ) = (f,(λθ)�) = (f,λθ�) =λ(f,θ�) =λf�(θ)�
������������� �f(βj) = (f,β�j)−→0 �� ℂ� ���� ���� ���� α∈ℕn� ������� ��
���
x∈ℝn
|Dαβj(x)|= ��� x∈ℝn
|Dαβ�j(x)|,
� ����� ���� �βj −→0�� 𝒫T(ℝn)� ����� �f∈𝒫T′(ℝn)�
Deriva¸c˜ao de uma distribui¸c˜ao f∈𝒫′
T(ℝn).
���� ��� �������� ����� θ∈𝒫T(ℝn)� �� α = (α
1,⋅ ⋅ ⋅ ,αn)∈ℕn� ����� ���
Dαθ= 1
i|α|
∂|α|θ
∂xα1
1 ⋅ ⋅ ⋅∂x
αn
n
.
�� ��������� �������� � �������� �� �������� �� ��� �������� ������ �� ��� ����� ��� ���� �������������� ���������� ������ ��� �������� ��� ������� �� ��� �������������� �����������
���� f∈𝒫′
T(ℝn)� ���� ���� α∈ℕn� �����
Dαf: 𝒫
T(ℝn) −→ ℂ
θ �−→ (f,(−1)|α|Dαθ) .
������������
Dαf(θ1+θ2) = (f,(−1)|α|Dα(θ1+θ2)) = (f,(−1)|α|Dαθ1+ (−1)|α|Dαθ2) =
= (f,(−1)|α|Dαθ1) + (f,(−1)|α|Dαθ2) =Dαf(θ1) +Dαf(θ2).
������������� D|α|f(θ
j) = (f,(−1)αDαθj)−→ 0�� ℂ� ���� Dαθj −→0 �� 𝒫T(ℝn)�
���� Dαf∈𝒫′
T(ℝn).
���� ����������� ���� ���� ������� ��
Dαfθ =fDαθ.
�� ����� �� φ∈𝒫T(ℝn)� ������� ������ ������������ ��� �������
(fDαθ,φ) =
�
[0,T]n
(Dαθ)φ= �
[0,T]n
θ(−1)|α|Dαφ= (Dαf θ,φ).
Operador deriva¸c˜ao em 𝒫′
T(ℝn).
�����
Dα: 𝒫′
T(ℝn) −→ 𝒫T′(ℝn)
f �−→ Dαf .
� �������� ����������� ��𝒫′
T(ℝn) �� ������ � ����������
������������ �� f, g∈𝒫′
T(ℝn) �λ ∈ℂ� ������ ���� ���� θ∈𝒫T(ℝn)� �����
(Dα(f+g),θ) = (f+g,(−1)|α|
Dαθ) = (f,(−1)|α|
Dαθ) + (g,(−1)|α|
Dαθ) =
= (Dαf,θ) + (Dαg,θ) = (Dαf+Dαg,θ), � �������
(Dα(λf),θ) = (λf,(−1)|α|Dαθ) =λ(f,(
−1)|α|Dαθ) =λ(Dαf,θ) = (λDαf,θ). ������������� Dαf(θ
j) = (f,(−1)αDαβj)−→ 0�� ℂ� ���� Dαβj−→0 �� 𝒫T(ℝn)�
��� ����������� ������ ���� ��������� ���� ������ ��� ��������������fϕ �����������
� ϕ �� ������� �� ������� ����� ������ ����� �������������� ���� ��� ����������� ϕ�
������� ��������� ���� ���� ����������������� ��� ���������� �� ���������� ���� ���� �� ���� ��� ����������� ������ �� � :𝒫′
T(ℝn)−→𝒫T′(ℝn) �� ��� ��� ����������� ����������
����� � ∗:𝒫′
T(ℝn)×𝒫T′(ℝn)−→𝒫T′(ℝn)�� ��� ��� ����������� ���������� �����
˜
fϕ=fϕ˜
fϕ1 ∗fϕ2 =fϕ1∗ϕ2.
������ � �� ������ ��������� ���� ������� ������ f˜ϕ ��� �ϕ� �� ����������� ���
ϕ ���� ���������� ���� ���������
� �������� ������� ������� ���𝒫T(ℝn)�� ����� �� ������� ��� ��������� ����������
Teorema 2.18 ��������� φ ∈ C∞
c (ℝn) ��� ���
∫
φ = 1� φ ≥ 0� S(φ)⊂[0, T]n� ����
θε=ε−n
�
m∈ℤn
φ(x−Tm
ε )
��� θε ∈𝒫T(ℝn) � 0 <ε< 1� �� f:ℝn −→ ℂ�� ��������� � T����������� ������
fε(x) =
�
[0,T]n
f(x−y)θε(y)dy
�������� � 𝒫T(ℝ)n � f
ε −→ f ��������������
��������������� �� x ∈ [0, T]n� ������ ���� ���� m = (m
1, . . . , mn) ∈ ℤn� m ∕= 0�
������ mi∕=0 ��� ���
− Tmi
ε ≤
xi−T mi
ε ≤
T(1−mi)
ε .
�� mi ≤ 1 ������ xi−T mε i ≤ 0 �� ����� ����� φ(x−Tmε ) = 0� �� mi ≤ −1� ������ −T mεi ≥ Tε ≥ T �� ��������� φ(x−Tmε ) = 0� ������ θε(x) = ε−nφ(xε)� �� x ∈ [0, T]n�
������
fε(x) =
�
[0,T]n
f(x−y)θε(y)dy=ε−n
�
[0,T]n
f(x−y)φ( y
ε)(y)dy=
= �
[0,Tε−1]n
f(x−εz)φ(z)dz=
�
[0,T]n
f(x−εz)φ(z)dz=
= �
ℝn
f(x−εz)φ(z)dz=ε−n
�
ℝn
f(u)φ(x−u
ε )du,
���� S(φ)⊂[0, T]n⊂[0, Tε−1]n� � ���������
fε(x) =ε−n
�
ℝn
f(y)φ(x−y
ε )dy,
��� ������� ��������
fε(x) =ε−n
�
Kx
f(y)φ(x−y
ε )dy,
����
Kx ={y∈ℝn; 0≤
xi−yi
ε ≤T, i=1, . . . , n}=
={y∈ℝn; xi−εT ≤yi ≤xi, i=1, . . . , n}.
���� ���Kx �� �� �������� ��������� �����x, x′ ∈ℝn� ����K�� �������� ��� ���
���� ����������� ���� ���� ������� ��
|fε(x)−fε(x′)|≤
�
ℝm
|f(y)||φ(x−y
ε )−φ(
x′
−y
ε )|dy≤
≤ε−n ���
u∈[0,T]n
|f(u)|
�
K
|φ(x−y
ε )−φ(
x′
−y
ε )|dy≤
≤ε−n−1C ���
u∈[0,T]n
|f(u)|m(K)|x−x′|, ���� m(K)�� � ������ �� K. ���� fε �� ����������
���� ������ ��� fε �� �������������� �������� ������� �� ������ ����� ������� ��� �
����� �� ������������ � ��������φ�� ���������� ��fε����� ����� � ������� � ������������
����� ������ Dαφ �� ������ ��φ� ������
|f(x)−fε(x)|=
� � �
�
[0,T]n
f(x)φ(z)dz−
�
[0,T]n
f(x−εz)φ(z)dz � � �≤
≤
�
[0,T]n
|f(x)−f(x−εz)|φ(z)dz≤ ���
z∈[0,T]n
|f(x)−f(x−εz)|.
����f�� ��������� � ����������� �� ������������� ���������� ������ ����η> 0� ������
δ> 0��� ���
|x−y|<δ=⇒ |f(x)−f(y)|<η. ���� z ∈ [0, T]n� |z| ≤ √nT� � ���� ���� 0 < ε < √δ
nT � x ∈ ℝ
n� ����� ���
|x−(x−εz)|=ε|z|<δ� ����|f(x)−f(x−εz)|<η � �������� ���
z∈[0,T]n
|f(x)−f(x−εz)|≤η, � ��� ����� fε−→f ��������������
∙
�� ��� ������ ����� ��������� ���� �� � �������� �� ��� �������������� ���������� �� ��� �������� ���������� ������ ���� �������������� ����������� � ��� �������� ����������� Teorema 2.19 �� f � g ���� ��������� ���������� � ����������� �� ℝn � ∂f
∂xj = g �� ������� �� ��������������� ����������� ������ f �� �������������� ��� ��������� � xj
���� ����������
��������������� ������ � ��������� �� ������� ����
∂ ∂xj
fε(x) =ε−n
�
[0,T]n
f(y) ∂
∂xj
(φ(x−y
ε ))dy=
=−ε−n
�
[0,T]n
f(y) ∂
∂yj
(φ(x−y
=ε−n
�
[0,T]n
g(y)φ(x−y
ε ) =gε.
����fε−→f � gε−→g �������������� ����� ��� ∂∂xfj =g�
∙
2.3
T
-Convolu¸c˜
ao
Defini¸c˜ao 2.20 ����� f∈𝒫′
T(ℝn) � θ∈𝒫T(ℝn)� ����� � ������������ �� f ��� θ
���� � ��������
f∗θ:ℝn−→ℂ, ���� ���
(f∗θ)(a) = (f,θ�a),
���� �θa(x) =θ(a−x)� Exemplo 2.21
���� θ∈𝒫T(ℝn)�
(δ∗θ)(a) = (δ,θ�a) =θ�a(0) =θ(a).
Exemplo 2.22
����� θ∈𝒫T(ℝn) �h
∈ℝn� �����
(δh∗θ)(a) = (δh,θ�) = (δ,(θ�)−h) = (θ�a)−h(0) =θ�a(h) =θ(a−h). Exemplo 2.23
����� α ∈ℕn �θ∈𝒫
T(ℝn)� �����
(Dαδ∗θ)(a) = (Dαδ,θ�a) = (δ,(−1)|α|Dαθ�a) =
= (δ,(−1)|α|( −1)|α|
Dαθa) =Dαθ(a),
�� ��������� Dαδ∗θ=Dαθ.
Teorema 2.24 �����f ∈𝒫′
T(ℝn)� θ∈𝒫T(ℝn)� ������ f∗θ∈𝒫T(ℝn)�Dα(f∗θ) =
���� T���������� ��� ��
��������������� ����� a ∈ ℝn � ��� ���������� (a
j)j∈ℕ ��� ��� aj −→ a� ����
������ � ������������ �� f∗θ� ����� ������ ��� �θaj −→ θ�a �� 𝒫T(ℝ
n)� ���� �����
(f∗θ)(aj) = (f,θ�aj)−→(f,θ�aj) = (f∗θ)(a). ���������� ������� ��� �θaj −→θ�a�� 𝒫T(ℝ
n)� ����α∈ℕn� ������� ���� ������
� ��������� �� θ ����� ���������� ������C > 0� ��� ���
|Dα�θ
aj(x)−D
αθ�
a(x)|=|Dαθ(aj−x)−Dαθ(a−x)|≤C|aj−a|. ���� aj −→ a� �������� � ����������
����ei �i������� ����� �� ���� ��������� ��ℝn� ���� ��� ����������(hj)�hj∈ℝ�
hj∕=0 ��� ��� hj −→0� �����
[(f∗θ)(a+hjei)−(f∗θ)(a)]h−1j = [(f,θ�a+hjei)−(f,θ�a)]h
−1 j =
= [(fhjei,θ�a)−(f,θ�a)]h
−1
j = ((fhjei−f)h
−1 j ,θ�a).
��������� ��� gj = (fhjei −f)h
−1
j �������� ����
∂ ∂xif ��
𝒫′
T(ℝn)� ���� φ ∈
𝒫T(ℝn)� ����� (g
j,φ) = ((fhjei − f)h
−1
j ,φ) = (f,(φ −φ−hjei)h
−1
j )� ����� ������
���������� ��� (φ−φ−hjei)h
−1
j −→ −∂∂xiφ ��
𝒫T(ℝn)� ���� ���� α ∈ ℕn� �����
���
|∂α((φ−φ−hjei)h
−1 j +∂α
∂φ ∂xi
)(x)|
=|(∂αφ(x)−∂αφ(x+hjei)−∂α
∂ ∂xi
φ(x))h−1j |−→0,
������������� �� ℝn� ���� ∂ ∂xi∂
αφ���������� � ���������� �
(∂αφ(x+hjei)−∂αφ(x))h−j1
�������� ������������ ���� ∂ ∂xi∂
αφ(x)� ����� ∂
∂xi(f∗θ) =
∂
∂xif∗θ� � ����
∂ ∂xif∗θ ���������� ����� ��� f∗θ∈C1(ℝn)� ������� ���� ���
( ∂
∂xi
f∗θ)(a) = ( ∂
∂xi
f,θ�a) = (f,−
∂ ∂xi
�
θa) = (f,(
∂ ∂xi
θ)∨
a) = (f∗
∂ ∂xi
θ)(a).
���������
∂ ∂xi
(f∗θ) = ∂
∂xi ∗
θ=f∗ ∂
∂xi
θ.
������ � ���������� �� ���������� ����� ��� �� ∂α(f ∗θ) = ∂αf ∗θ = f∗∂αθ ��
���������� ������� ��������� β=α+ei� ����� ���
∂β(f∗θ) = ∂
∂xi
∂α(f∗θ) = ∂
∂xi