• Nenhum resultado encontrado

Sobre singularidades analíticas de soluções de uma classe de campos vetoriais no...

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2017

Share "Sobre singularidades analíticas de soluções de uma classe de campos vetoriais no..."

Copied!
111
0
0

Texto

(1)

�������� �� � ��������������� �� �������� ���� �� ����������

�����������

����� �������������� ����������� �� ���������� �� ���

������ �� ������ ��������� �� ����

Leonardo Avila

Orientador: Prof. Dr. S´ergio Lu´ıs Zani

������������� ����������� �� ��������� �� ��������� ���������� ��� � �� ������������ � ��������� ���� ����� ��� ���������� ���� ���������� �� ������� �� ������ �� ��������� � ������������

(2)
(3)

Sum´

ario

1 Introdu¸c˜ao 7

2 Distribui¸c˜oes Peri´odicas 11

��� ��������� ������ ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ��������������� ����������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� T������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

��� � �������� (𝒫′

T(ℝn),∗,+) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

3 S´eries de Fourier em 𝒫T(n) e 𝒫

T(ℝn) 39

��� ������ �� ������� �� 𝒫T(n) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������ �� ������� �� 𝒫′

T(ℝn) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������ ������� �� ������� �� 𝒫T(n) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ������ ������� �� ������� �� 𝒫′

T(ℝn) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

4 Fun¸c˜oes Anal´ıticas Reais em n 63

��� ������ �� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� ��������� ����������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

5 Expans˜oes Assint´oticas 77

6 Hipoeliticidade Anal´ıtica Global 83

��� ��������������� ���������� ������ �� �������� L=∂t+c(t)x ��𝒟′(𝕋2) �� ��� ���������� ������������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ��������� ��� ���������� Lu=0 �Lu=f � � � � � � � � � � � � � � ��

����� ������������ � �������������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ����������� �� ��������� ����������� ����� � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ���� �� ����������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ��� �������������� �� ������� ��������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� ����� ���������� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

(4)
(5)

Abstract

(6)

Agradecimentos

(7)

Cap´

ı

tulo 1

Introdu¸c˜

ao

� �������� ����� ������ �� � ������ �� ��������������� ���������� ������ �� ��� ������ �� ���������� �������� �� ���� 𝕋2� � ������L=

t+c(t)∂x� ����c(t)�� ��� ��������

���������� ����2π������������ ���� ���������� ���� ������������ ������ �� �������𝒟′(𝕋2)

��� ��������������� 2π������������ �������� �� ℝ2� �� ����������������� ���������������

�������� �� ���� 𝕋2� ����� ��� �� ��� �������� �� ����������� ���������� ������������

����� �������� � ����� ��� � ������ ������� �� �������� ��� ��������� ����������� ����� �� 𝕋2 ����� ������� �� ��� ��������� ������ � �������� ����� ������������� �� ���������

�� ��������� ����� ���� �� ���������� ��� �� ����� L=∂t+c(t)∂x� �� ����� �����

���� �� ��������� ����������� �����c(t)��𝕋�� ��� ����� ���L���� ���� ���� �������� ��� ��������� ��� ���������� �� �����

����� �� ��� ������������� �� ������ �� ����� ����� ����������� � ��������� ���� �� ������� �������� ��������� �� ������������ � ����������� �� ���������

�� ��������� � �� ������� � ������� ��� ��������������� T������������� ��� ���� � �������� �������� ��� ��������� ������� �� ��� �������������� T������������ � ���� ��������� ������������ ����������� �� ������������ �� �������� �� ������������� ������ ��������� ���� ����������� ���� ��������������� ������� ����������� ���������� � ���������� �� ������� ����� �� ������� ��� ������ ������ � ���������������� � ������� ��� ��������������� T������������� 𝒫′

T(ℝn)� �� ������� ��� ��������������� ������ 𝒟′(ℝn)� ��� �� ��������

� ���������� ������������ �� T������������� �� �������������� ��� �������� ��� �������� ������ � T������������� �� ����������������

�� ��������� � �� ����������� ��� ������ �������� ������ �������������� ������� ����� ��� ������� ���������� �� �������� ��������������� T������������ � ��������� ������ ���� �������������� �������� �� ����������� �� ���� ����������� ���������� �� ��������

�� ��������� � ���� ���������� ��������� �������� ���� ��� ������ �� ���������� �� ������� ���������� ��� ���� � ���������� �� ��� �������� ���������� ���� �� ������� ���������� � ������� ������������� �� ����� �� �������������� �� ������� ��� ������������ �� ������������ ���� ��������� �������� �� ���� ����������� ���������� �� ��������

�� ��������� � �� ������������ �� ������� ���� ���������� �� ���������� ������������� ������������ �� ��������� ��������� ���������� �� �� ����������� � ������� ��

(8)

����� ������� ��������� ��������� ��� ������� �� ����� ���� ���������� �� ��� ��� �������� ���������� ���� ���������� ��� ����������� �������� �� ������� �� ��� ������� ��������� � ��� ������� �������� ���������� ���������� ���� � �������� L=∂t+c(t)∂x�

�� ���� �� ��� c(t)���� �� �� ���� ��� ������� L����

� ��������� � �� ������������ �������� �� �������������� �� ������� ��������� �� ������������� �������� ����� ��� ����������� �� ���������� ���� �� ����� �������� ������ �������� �� ���� 𝕋2� �� ����� �� �������������� �� ��� �� ����������� ���

��������� �������� ���� � ��������� ������������� ���� ����� �� ������������� �� ����� �� ���� �� ���� � � ����� �� ������� �� ������ ���������� ��������� ����� ���������� ������������ �� ���� � ������ ������� ����� ��� �������������� ���� ��������� �� ��������

����� �� �������������� ����� ����������� ������� ����������� � �����������

Defini¸c˜ao 1.1 ���� ℕ= {0, 1, 2, . . .}� ������� ��� α �� �� �������������� ������ α ℕn

Defini¸c˜ao 1.2 ����� α = (α1, . . . ,αn)∈ℕn � x= (x1, . . . , xn)∈ℝn� �����

α! =α1!α2!⋅ ⋅ ⋅αn!

|α|=α1+α2+⋅ ⋅ ⋅+αm

xα =xα1

1 x

α2

2 ⋅ ⋅ ⋅x

αn

n

|x|α=|x

1|α1|x2|α2⋅ ⋅ ⋅|xn|αn

(x)α=

n

j=1

(xj)αj =

n

j=1

(xj(xj−1)⋅ ⋅ ⋅(x−αj+1))

∂α= ∂

α

∂xα =

∂α1

∂xα1

1

∂α2

∂xα2

2

⋅ ⋅ ⋅ ∂ αn

∂xαn

n

Dα= 1

i|α|

∂α

∂xα.

Defini¸c˜ao 1.3 ���� C∞

c (ℝ n) =

φ:ℝnℂ;φC∞(ℝn),φ ��� ������� ���������,

���� � ������� �� φ� S(φ)� �� � ����� �� �������� {x∈ℝn;φ(x)=0}.

Defini¸c˜ao 1.4 ����(φn)n∈ℕ ��� ���������� �� ��������� ��C∞c (ℝn)� ������� ���

φn −→ 0 �� C∞c (ℝn)� ������ ������ �� �������� K ��� ���

S(φn) ⊂ K� ���� ���� n ∈ ℕ� � ���x∈A{|Dαφn(x)|} −→ 0� n −→ ∞� ���� ����

(9)

Defini¸c˜ao 1.5 ���� u : C∞

c (ℝn) −→ ℂ �� ��������� ������� ������� ��� u ��

��������� ������ φn−→0 �� C∞c (ℝn) ������� ��� u(φn)−→0 �� ℂ�

��������� ���

𝒟′(ℝn) =�u:C∞

c (ℝ n)

−→ℂ;u �� ������ � ��������� �

(10)
(11)

Cap´

ı

tulo 2

Distribui¸c˜

oes Peri´

odicas

��������������� ���� ���������� �������� ���������� �������� �� �������� �� ��������� � ������� ���������� ��� �������������� ���������� �� �� ��������� ������ ���������� ���� ���� ��� ������� �� ��������� ����������� ������� ����� ���������� ����� ����������� � �������� �� ��� �������������� ����������� �������� ��� 𝒫T(ℝn)� ����� ���� � �������

�� ������������� ����� �������� ������� ������������ � ���� �� ���� ���� ���� �������� ���������� �� 𝒫T(ℝn)� ������������ �� ��� ������� �������� ��� �������� �� �������

�������� ������� �� ℝn� ����� ����� ����� ��������� ����� � ����� �� ������������

�� ���������� �������� ����� �������� �� �������� ������������ � ������� 𝒫′

T(ℝn) ��� ��������������� T������������� ���

���� � ������� �� ������������� ���� ����������� �� ���������������� ����� ����������� �� ������� ��� ������� ����������� 𝒫′

T(ℝn) ���� �� ���������� �� 𝒟′(ℝn)� ��

�������� ���������� �� ������� ����������� ����������� ��� ��������� ���� ����������� �� ��������������� ������������ ���������� ��� ��� �������������� ��� �������� ��������� ����������� � ��� �������� ���������� �� ������� ����������

��� �� �������� T������������� �� ��� �������������� ��� ��� �������� ������ � T������������� ����� ���������������� ���������� ������� ������������ � ����� ���� � ������ �� ���������� �������� ������������ ��� ������������ � ������� �� ��������� �� �������� ���������� �� 𝒫′

T(ℝn)� ����������� �� T��������������

2.1

Fun¸c˜

oes Testes Peri´

odicas

Defini¸c˜ao 2.1 ����� T > 0� m= (m1, . . . , mn)∈ℤn� �����

𝒫T(ℝn) =θ

∈C∞(ℝn); θ(x) =θ(x

−Tm),∀x∈ℝn,∀m∈ℤn

.

𝒫T(ℝn) �� � ������� ���������� ��� ��������� ������ ������������

Defini¸c˜ao 2.2 ������� ��� ��� ���������� (θj)j∈ℕ� ��� θj ∈ 𝒫T(ℝn)� ��������

�� 𝒫T(ℝn) �� ������� θ 𝒫

T(ℝn)� ��� ��� Dαθj ��������

������������� ���� Dαθ �� n ���� ���� α= (α

1, . . . ,αn)∈ℕn�

(12)

��� ���� ����������� 𝒫T(ℝn)�� �� ������� ����������� �������� �� ��������

d(θ,φ) =

k=0

pk(θ−φ) 2k(1+p

k(θ−φ)) , ����

pk(θ) =���

{

|Dαθ(x)|;x ∈ℝn,|α|k} �� ��� �����������

Teorema 2.3 ��� ���������� (θj)j∈ℕ� ��� θj ∈ 𝒫T(ℝn)� �������� ���� θ ��

𝒫T(ℝn) �� � ������� �� p

k(θj−θ)−→0� j−→ ∞� ���� ���� k∈ℕ�

��������������� �� θj −→ θ �� 𝒫T(ℝn) ������� ����� k∈ ℕ � ���� ε > 0� ������

J > 0 ��� ��� �� j≥J �x∈ℝn� ������

|Dαθj(x)−Dαθ(x)|<ε ���� ���� α� ��� ���|α|k� ����� ������ ��� �� jJ�

pk(θj−θ) = ��� x∈ℝn

|α|≤k

|Dαθj(x)−Dαθ(x)|≤ε. �� pk(θj−θ)−→0 ������ ���� ���� α∈ℕn�|α|≤k� ����� ���

���

x∈ℝn

|Dαθj(x)−Dαθ(x)|≤ ��� x∈ℝn

|β|≤k

|Dβθj(x)−Dβθ(x)|=pk(θj−θ)−→0.

Proposi¸c˜ao 2.4 ���� ���� φC∞

c (ℝn)� �����

θ(x) = �

m∈ℤn

φ(x−Tm).

������ θ𝒫T(ℝn)

��������������� ������ �� ���� ������ ����� ����� ������ ���� �� ������������� ���� � ������ �� ��������� θ����� ��� �������� ���� � ���� �� φ��� ������� ���������

������� ��� �� ���� ����� �� ��� ��������� θ �� ��� ���� ������ �� ����� ������

C > 0� ��� ��� φ(x) =0� ���� ����x∈ℝn ��� ���|x|C� ������ �� xn|x|a

���� ����� a > 0� ������

(13)

���� ����� ���� ������ ���� ������� ��

=⇒−C < Tmi−xi < C, i=1, . . . , n.

���� −a≤xi ≤a� �����

−C−a≤−C+xi < Tmi < C+a, i =1, . . . , n.

����� |mi|≤(C+a)/T�i =1, . . . , n �� ��������� |m|≤n(C+a)/T. ���� ������

������ �� ������� ����� �� n������ m ∈ ℤn ��� ���������� ���� ������� �����������

������� ��������� ���� ����� k=k(a)ℕ������������

θ(x) =φ(x−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+φ(x−Tmk),

����� ��� |x|a�

��������� ���θ�� ����������� ���� m∈ℤn

θ(x−Tm) =

k∈ℤn

φ(x−Tm−Tk) =

k∈ℤn

φ(x−T(m+k)) =

= �

l∈ℤn

φ(x−Tl) =θ(x).

���� x0 ∈ℝn� ���� a > 0 ��� ��� |x0|< a� ������

θ(x) =φ(x−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+φ(x−Tmk), |x|< a,

� ����� ��� � ������������ �������������� ��x0� ���� ����

θ(x

0) =Dαφ(x0−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+Dαφ(x0−Tmk).

����� ����� ������� ��������

Dαθ(x) = �

m∈ℤn

Dα(x−Tm),

� θ𝒫T(ℝn)

Proposi¸c˜ao 2.5 ���� (φl)l∈ℕ� φl ∈ C∞c (ℝn)� ��� ��� φl �������� ���� φ ��

C∞

c (ℝn)� ������ � ���������� (θl)l∈ℕ �� 𝒫T(ℝn)� ������� ��� θl(x) =

m∈ℤnφl(x−Tm)� �������� �� 𝒫T(ℝn) ���� θ(x) =

m∈ℤnφ(xTm)�

��������������� ������ a > 0 ��� ��� S(φl) ⊂ B[0, a]� ���� ���� l ∈ ℕ � Dαφl

�������� ���� Dαφ�������������� ���� ���� αn

�����α∈ℕn �ε> 0� ����Dα(φ

(14)

m∈ℤn

Dα(φl−φ)(x−Tm) =Dα(φl−φ)(x−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+Dα(φl−φ)(x−Tmkl). ���� ������ a > 0 ��� ��� φl(x) = 0� �� x /∈ B[0, a]� ���� ����� l ∈ ℕ� �����

�� φl(x−Tm) ∕=0 ���� ���� l ∈ℕ� ������ |x−Tm|≤a � ���� ������� ��� xi−a≤ Tmi ≤a+xi�

���� x ∈ [0, T]n� ����� ���

−a−T ≤ −a ≤ Tmi � xi ≤ a+T �� ���������

|mi|≤ aT +1�

���� a ��������� �� l ∈ ℕ� ����������� ��� ��� ������ �� ������� ����� k� �� �������� m ∈ ℕ ���� ��� φl(x−Tm) ∕= 0, ���� ���� l ∈ ℕ� ����� ����� ������� ��������

m∈ℤn

Dα(φl−φ)(x−Tm) =Dα(φl−φ)(x−Tm1)+

+⋅ ⋅ ⋅+Dα(φl−φ)(x−Tmk), ∀l∈ℕ, ∀x∈[0, T]n.

���� Dαφ

l �������� ���� Dαφ �������������� ������ l0 ∈ ℕ ��� ��� l ≥ l0

������� ���

���

x∈Rn

|Dαφl(x)−Dαφ(x)|≤

ε

k. ����� �� l ≥l0 �x∈[0, T]n ������

|Dαθl(x)−Dαθ(x)|=|Dα(θl−θ)(x)|=

=��Dα� �

m∈ℤn

(φl−φ)(x−Tm)����= � � � �

m∈ℤn Dα(φ

l−φ)(x−Tm) � � �=

=|Dα(φl−φ)(x−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+Dα(φl−φ)(x−Tmk)|≤

≤|Dα(φ

l−φ)(x−Tm1)|+⋅ ⋅ ⋅+|Dα(φl−φ)(x−Tmk)|≤

≤ ε

k +⋅ ⋅ ⋅+

ε

k =ε.

Defini¸c˜ao 2.6 ���� UT(ℝn) =

ξC∞

c (ℝn);

m∈ℤ

ξ(x−Tm) =1, ∀x∈ℝn

.

�� ξUT(ℝn)� ������� ��� ξ �� ����������

(15)

���� ����� ���� ������ ���� ������� ��

����� ξ:ℝℝ� ���

ξ(t) =χ(−1,1) ��1

0

ex(1−−1x)dx

�−1�1

|t|

ex(1−−1x)dx

���� ��� ξ C∞

c (ℝn) � S(ξ) = [−1, 1]� ���� t ∈ ℝ� ���� m0 ∈ ℤ ��� ���

m0≤t < m0+1� ���� ��� 0≤t−m0< 1.�������� −1≤t−m0−1 < 0� �� m≥m0+2������ t≤m�

|t−m|=t−m≥t+1−m0 = (t−m0) +1≥1.

����� ������ �� m < m0 ������

t−m= (t−m0) + (m0−m)≥1. ����� ξ(t−m) =0 ��m∕∈{m0, m0+1}�

������

m=−∞

ξ(t−m) =ξ(t−m0) +ξ(t−m0−1) =

=� �1

0

ex(1−−1x)dx

�−1��1 t−m0

ex(1−−1x)dx+

�1 1+m0−t

ex(1−−1x)dx

=

=� �1

0

ex(1−−1x)dx

�−1��1 t−m0

ex(1−−1x)dx

� −

�0 t−m0

ex(1−−1x)dx=

=� �1

0

ex(1−−1x)dx

�−1��1 0

ex(1−−1x)dx

=1. ��� ���� �� ��������� ����� ��� �������� ���������ζ:ℝn

→ ℂ���� ���

ζ(x1, . . . , xn) =ξ(x1)⋅ ⋅ ⋅ξ(xn).

Proposi¸c˜ao 2.8 ���� ξ ��� �������� ���������� �� (θj)j∈ℕ �������� ���� θ ��

𝒫T(ℝn) ������ (ξθ

j)j∈ℕ �������� ���� ξθ �� C∞c (ℝn)�

��������������� ����� ��� S(ξθj)⊂S(ξ)� ����α ∈ℕn� ����� ���

Dα(ξθj) =

γ+β=α

α!

γ!β!D

γξDβθ

j

�������� ������������� ����

γ+β=α

α!

γ!β!D

γξDβθ=Dα(ξθ),

(16)

� ������������ �������� ������ ��� �� ������ ��������� �������� ��� �������� θ ��

𝒫T(ℝn) �� �����

m∈ℤφ(x−Tm)� ���φ∈C∞c (ℝn)�

Proposi¸c˜ao 2.9 � ����������� F: C∞

c (ℝn) −→ 𝒫T(ℝn)

φ �−mφ(Tm)

�� ������������

��������������� ���� θ 𝒫T(ℝn)� ���� �������� ξ

∈UT(ℝn) � ����� φ= ξθ ∈

C∞

c (ℝn)� ������ �����

(Fφ)(x) = �

m∈ℤ

φ(x−Tm) =

m∈ℤ

ξ(x−Tm)θ(x−Tm) =

=θ(x)�

m∈ℤ

ξ(x−Tm) =θ(x). ����� Fφ=θ�

2.2

Distribui¸c˜

oes Peri´

odicas

Defini¸c˜ao 2.10 �� ��������� ������ f : 𝒫T(ℝn)

→ ℂ �� ���� ��������� ��� ���

������������� ���������� �� ���� ���� ���������� (θj)j∈ℕ �� 𝒫T(ℝn) ��� ��������

θj−→0� ������� ��� f(θj)−→ 0 �� ℂ�

Defini¸c˜ao 2.11 � ������� ��������

𝒫′

T(ℝn) =

f:𝒫T(ℝn)ℂ;f�� ������ � ����������

�� ������� �� ������� ��� ��������������� ����������� � �� �������� ��� �� ���� ��� �������������� �����������

�� f∈𝒫′

T(ℝn) �θ∈𝒫T(ℝn)� �������� � �������� ���������� f(θ) = (f,θ)�

Teorema 2.12 ���� f:𝒫T(ℝn)

→ ℂ �� ��������� ������� ���� ������������

�� � �� ����������

�� ������� C > 0 � mℕ ���� ���

|(f,θ)|C � |α|≤m

���

x∈ℝn

|Dαθ(x)|, ������

(17)

���� ����������� ���� ���� ������� ��

��������������� ������� ��� � ���� �������� �� (θj)j∈ℕ −→ 0 �� 𝒫T(ℝn) ������

���x∈ℝn|Dαθj(x)| ����� � ���� ���� ���� α∈ℕn� ����� � ����

|α|≤m

���

x∈ℝn

|Dαθ

j(x)|

������� ����� � ���� ������ j ����� �� �������� ��������� ������ � ������������ �� � ����������� ��� f �� ����������

������� ����� ���f�� ���������� ������� ��� � �� ������ ������� ���� ����m∈ℕ�

������� ��������� �θm∈𝒫T(ℝn)��� ���

|(f,θ�m)|> m

|α|≤m

���

x∈ℝn

|Dαθ�m(x)|.

�������� θm = |(f,θ�θmm)|� ����� ���

|(f,θm)|=1 > m

|α|≤m

���

x∈ℝn

|Dαθm(x)|.

��� ����� ����������� ���

0 < � |α|≤m

���

x∈ℝn

|Dαθm(x)|<

1 m.

������ θm �������� ���� ���� �� 𝒫T(ℝn)� ������(f,θm) ���� �������� � ���� �� ℂ�

Defini¸c˜ao 2.14 ������� ��� ��� ���������� (fn)n∈ℕ �� ��������������� �� ������� ����� �� 𝒫′

T(ℝn) �� ������� f∈𝒫T′(ℝn) ��� ��� ���� ���� θ∈𝒫T(ℝn) � ����������

�� �������� ��������� (fn,θ) �������� ���� (f,θ)�

������� ����� ���� �� ������ ��� ����� ���������� ����� ��� �������������� ���������� ���� �� ��� �������������� ����� ��ℝn� ����������� �𝒟′(ℝn)� �� ��� ����� ���𝒫

T(ℝn)�

𝒟′(ℝn)���� �������� ���������� ��������� ���u,φ��� �������������� ����� ��������

���� �������� φ C∞

c (ℝn) ���� ����������� �� ��������� (f,θ) ����� �� ���� �� ���

�������������� �����������

� �������� ������� ������ ��� 𝒫′

T(ℝn) ���� ��� ����������� ������ � ���������

����� �� 𝒟′(ℝn)� �� ������� �� ��� ������ �� ������������ ������ ����� 𝒫

T(ℝn)

� �� ���������� �������� � ����������� �� 𝒟′(ℝn)� � ������

𝒟T′(ℝn) =�u𝒟′(ℝn);u=uTm, ∀m∈ℤn

(18)

Teorema 2.15 ������ �� ������������ ������ A:𝒫′

T(ℝn)−→ 𝒟′T(ℝn).

��������������� ���� f ∈𝒫′

T(ℝn)� ���� ���� φ∈C∞c (ℝn) ���������

θ= �

m∈ℤn

φTm.

���� ��� θ𝒫T(ℝn)� ������� ������u:C

c (ℝn)−→ℂ���

u(φ) =�f, �

m∈ℤn

φTm

= (f,θ).

��������� ���u ∈𝒟′

T(ℝn)�

������������ �� φ,ψ∈C∞

c (ℝn) �λ ∈ℂ ������

u(φ+ψ) =�f, �

m∈ℤn

(φ+ψ)Tm

=�f, �

m∈ℤn

φTm

+�f, �

m∈ℤn

ψTm

=u(φ) +u(ψ).

u(λφ) =�f, �

m∈ℤn

(λφ)Tm

=�f,λ �

m∈ℤn

φTm

=λ�f, �

m∈ℤn

φTm

=λu(φ).

������������� �� φj �������� ���� ���� �� C∞c (ℝn)� � ������������ ���� ������� ���

������� ��� θj =

m∈ℤn(φj)Tm �������� ���� 0 �� 𝒫T(ℝn)� ����� ����� ⟨u,φj⟩ =

(f,θj)�������� ���� � �� ℂ� ����� u∈𝒟′(ℝn)�

�������������� �� φC∞

c (ℝn)� m∈ℤn ������

⟨uTm,φ⟩=⟨u,φ−Tm⟩=

� f, �

k∈ℤm

(φ−Tm)Tk

=

=�f, �

k∈ℤm

φT(k−m)

=�f, �

k∈ℤm

φTk

=u,φ,

���� ��� uTm =u� ��������� u∈𝒟′T(ℝn)�

����

A: 𝒫′

T(ℝn) −→ 𝒟′T(ℝn)

f �−→ u ,

���� ⟨u,φ=�f,∑mnφTm

�φC∞

c (ℝn)�

��������� ���A �� ������ � ���������� ������������ �� f, g∈𝒫′

T(ℝn) � λ∈ℂ ������� ���� ����φ∈C∞c (ℝn)� �����

⟨A(f+g),φ⟩= (f+g, �

m∈ℤn

φTm) =

� f, �

m∈ℤn

φTm

+�g, �

m∈ℤn

φTm

(19)

���� ����������� ���� ���� ������� ��

=A(f),φ+A(g),φ=A(f) +A(g),φ,

⟨A(λf),φ⟩=λf, �

m∈ℤn

φTm⟩=λ⟨f,

m∈ℤn

φTm⟩=λ⟨A(f),φ⟩=⟨λA(f),φ⟩.

������������� ��������� ��� ���������� (fj)j∈ℕ� fj∈𝒫T′(ℝn) ��� ���fj ����� � ����

�� 𝒫′

T(ℝn)� ���� φ∈C∞c � ����� ���

���

j−→∞⟨

A(fj),φ⟩= ��� j−→∞

� fj,

m∈ℤn

φTm

=0.

����� A(fj)����� � ���� �� 𝒟′T(ℝn)�

����� ������ � ������ ��u∈𝒟′

T(ℝn)� ������ ��� ������ ��������������T�����������

f=H(u),�� ���� ��� ���� ����������� ���� � ������� �� A� ���� ξUT(ℝn)� ���� ���� u∈𝒟′T(ℝn)�����

fξ :𝒫T(ℝn) −→ ℂ

θ �− u,ξθ .

��������� ���fξ ∈𝒫T′(ℝn).

������������ ����� θ� β𝒫T(ℝn) λ

�� fξ(θ+β) =⟨u,ξ(θ+β)⟩=⟨u,ξθ+ξβ⟩= ⟨u,ξθ⟩+⟨u,ξβ⟩=fξ(θ) +fξ(β).

�� fξ(λθ) =⟨u,ξ(λθ)⟩=⟨u,ξλθ⟩=⟨λu,ξθ⟩=λ⟨u,ξθ⟩=λfξ(θ).

������������� ���� (θj)j∈ℕ� θj ∈𝒫T(ℝn)� ��� ���������� ��� ��� θj ����� � ���� ��

𝒫T(ℝn)� � ������������ ���� ������� ��� ��� ��� ���ξθ

j����� � ���� ��C∞c (ℝn)� ����

u∈𝒟′

T(ℝn)� ����� ���fξ(θj) =⟨u,ξθj⟩ −→0.�����fξ ∈𝒫T′(ℝn)� ��������� �����

��� � ���������� ��fξ ��������� �� ������� ��ξ� ���� ��� ��ξ,η∈UT(Rn)� ������fξ =fη�

��������� ����� ���

u= �

m∈ℤn

(uη)Tm.

���� φC∞

c (Rn)� ������

⟨u−

|m|≤k

(uη)Tm,φ⟩=⟨u−

|m|≤k

uTmηTm,φ⟩=

=u−

|m|≤k

uηTm,φ⟩= ⟨u(1−

|m|≤k

ηTm),φ⟩=

⟨u,(1−

|m|≤k

(20)

�������� ���� ����� ������ k ����� ���� �������� ���� 1−

|m|≤kηTm ����� � ����

�� 𝒫T(ℝn) �� ���� ������������ ����(1

|m|≤kηTm)φ����� � ���� �� C∞c (ℝn)� �����

�� ����� ����

⟨�

|m|≤k

(uη)Tm,φ⟩=

|m|≤k

⟨(uη)Tm,φ⟩,

����� ���

⟨�

m∈ℤn

(uη)Tm= �

m∈ℤn

⟨(uη)Tm.

�������� ����� ��� fξ =fη� ���� θ∈𝒫T(ℝn)� ����φ=ξθ� � ���� ����� ���

fξ(θ) =⟨u,ξθ⟩=⟨

m∈ℤn

(uη)Tm,ξθ= = �

m∈ℤn

⟨(uη),(ξθ)−Tm⟩=

m∈ℤn

⟨uη,θξ−Tm⟩=

= �

m∈ℤn

⟨u,ηθξ−Tm⟩=

m∈ℤn

⟨uξ−Tm,ηθ⟩=

= �

m∈ℤn

⟨(uξ)−Tm,ηθ⟩=⟨u,ηθ⟩=fη(θ).

���������� � �������� ������� fξ =f� ��������

H: 𝒟′

T(ℝn) −→ 𝒫T′(ℝn)

u �−→ H(u) ,

����

H(u) : 𝒫T(ℝn)

→ ℂ

θ �− u,ξθ ,

���� ξUT�

������������ ����� u, v∈𝒟′

T(ℝn) �λ ∈ℂ� ����� ���� ���� θ∈𝒫T(ℝn)� ���

(H(u+v),θ) =u+v,ξθ=u,ξθ+v,ξθ= = (H(u),θ) + (H(v),θ) = (H(u) +H(v),θ).

(H(λu),θ) =λu,ξθu,ξθ= (λH(u),θ).

������������� �� uj−→0 �� 𝒟′T(ℝn)� ������ ���� ���� θ∈𝒫T(ℝn) �ξ∈UT(ℝn)�

����� ��� (H(uj),θ) =⟨uj,ξθ⟩ −→ 0� ��������� H(uj)−→0 �� 𝒫T′(ℝn)�

��������� ��� H �� � ������� �� A� ����� u ∈ 𝒟′

T(ℝn)� φ ∈ C∞c (Rn) � ξ ∈

(21)

���� ����������� ���� ���� ������� ��

ψ(x) =ξ(x) �

m∈ℤn

φTm(x) =

m∈ℤn

ξφTm(x) =

= �

m∈ℤn

(φξ−Tm)Tm(x) =0.

�� |x|a� ������

ψ(x) =ξ(x)(φ(x−Tm1) +⋅ ⋅ ⋅+φ(x−Tmk)),

������ m1, . . . , mk ∈ℤn� ����� ����� ���� ���� x∈ℝn� � ������

m∈ℤn

ξφTm =

m∈ℤn

(φξ−Tm)Tm

�� ������ ����� �� ����� ����� �������

⟨A(H(u)),φ= (H(u), �

m∈ℤn

φTm) =⟨u,ξ

m∈ℤn

φTm⟩=

=u, �

m∈ℤn

(φξ−Tm)Tm⟩=

m∈ℤn

⟨u,(φξ−Tm)Tm⟩=

= �

m∈ℤn

⟨u,φξ−Tm⟩=

m∈ℤn

⟨uξ−Tm,φ⟩=

= �

m∈ℤn

⟨(uξ)−Tm,φ⟩=⟨

m∈ℤn

(uξ)−Tm,φ⟩=⟨u,φ⟩,

���� �� ���� �������� ���������� ���� �������� �� ������� �� ������������ ����� ����� �� ������������� ��� fξ =fη�

������ ���� f∈𝒫′

T(ℝn)� θ∈𝒫T(ℝn)� ξ∈UT(ℝn)� ���� � ��������

(H(A(f)),θ) =A(f),ξθ=�f,�

m∈ℤ

(ξθ)Tm�= =�f,�

m∈ℤ

ξTmθ

=�f,θ�

m∈ℤ

ξTm

= (f,θ).

��������� H=A−1� � ��� ��������� � ��������

Exemplo 2.16 ���� �������� ϕ : ℝn ℂ ��� ��� ϕ(x) = ϕ(x−Tm)� ∀m ∈ ℤn�

∀xℝn� ����� ��� ����������� �� [0, T]n� ��� ������ � ��� �������������� ����������

fϕ :𝒫T(ℝn)−→ℂ� �� �������� �������� ���� ���� θ∈𝒫T(ℝn)� �����

(fϕ,θ) =

[0,T]n

(22)

� ����������� �� fϕ ����� �� ����������� �� ��������� � ������������ �� fϕ

����� ��

� � �

[0,T]n

ϕθj

� �

�≤ ���

x∈[0,T]n

|θj(x)|

[0,T]n

|ϕ|.

Exemplo 2.17 ���������

δ: 𝒫T(ℝn)

→ ℂ

θ �− θ(0). ����������� ��� δ �� ��� �������������� �����������

������������ ����� θ1,θ2 ∈𝒫T(ℝn) � λ∈ℂ� �����

δ(θ1+θ2) = (θ1+θ2)(0) =θ1(0) +θ2(0) =δ(θ1) +δ(θ2)

δ(λθ1) =λθ1(0) =λδ(θ1).

������������� �� θj −→ 0 �� 𝒫T(ℝn)� ������ δ(θj) = θj(0) −→ 0 �� ℂ� �����

����� δ 𝒫′

T(ℝn)� ������� ���� � �������������� �� δ� A(δ) �� 𝒟′T(ℝn)�

������� � ������� ����� ������� ��� ��� ��������������� ������� A(δ) =�δ� ��

������� ���

⟨�δ,φ= (δ, �

m∈ℤn

φTm) =

m∈ℤn

(δ,φTm) =

= �

m∈ℤ

φ(Tm).

δ �� ������� �� �������������� ����� �� ����� T������������ �� ����� �� ����� ����������� �� Tm� m ∈ ℤn� ��������� ��� ���� ���� �� ����� ���� ����

φ∈C∞

c (ℝn)�

Opera¸c˜oes com Distribui¸c˜oes Peri´odicas

������� ����� ������� ����������� ���������� � ��������� �� 𝒫′

T(ℝn)�

����� f, g ∈ 𝒫′

T(ℝn)� θ,θ1,θ2 ∈ 𝒫T(ℝn)� λ ∈ ℂ� � (βj)j∈ℕ� ��� ���������� ��

𝒫T(ℝn) ��� �������� ���� �����

Adi¸c˜ao.

�����

f+g: 𝒫T(ℝn)

→ ℂ

(23)

���� ����������� ���� ���� ������� ��

������������ (f+g)(θ1+θ2) = (f,θ1+θ2) + (g,θ1+θ2) = (f,θ1) + (f,θ2) + (g,θ1) +

(g,θ2) = (f+g,θ1) + (f+g,θ2).

(f + g,λθ) = (f,λθ) + (g,λθ) = λ(f,θ) + λ(g,θ = λ((f,θ) + (g,θ)) =

λ(f+g)(θ)�

������������� (f+g)(βj) = (f,βj) + (g,βj)−→ 0� j−→ 0.

���� f+g∈𝒫′

T(ℝn)�

Multiplica¸c˜ao por φ𝒫T(ℝn).

�����

φf: 𝒫T(ℝn)

→ C

θ �−→ (f,φθ) .

������������ (φf)(θ1+θ2) = (f,φ(θ1+θ2)) = (f,φθ1+φθ2) = (f,φθ1) + (f,φθ2) =

φf(θ1) +φf(θ2).

(φf)(λθ) = (f,λφθ) =λ(f,φθ) =λ(φf)(θ).

������������� (φf)(βj) = (f,φβj)−→0�j−→0� ����� ���� ���� α∈ℕn� ���� ���

|Dαφβj(x)|≤ ���

|γ|≤|α|

|Dγφ(x)| �

|γ|≤|α|

Cγ|Dγβj(x)|−→0

������������� ���� ���� α� ����� φf∈𝒫′

T(ℝn)�

Transla¸c˜ao.

���� h∈ℝn� �����

fh : 𝒫T(ℝn) −→ ℂ

θ �− (f,θ−h)

, ���� θh(x) =θ(x−h)�

������������ fh(θ1 +θ2) = (f,(θ1 +θ2)−h) = (f,(θ1)−h + (θ2)−h) = (f,(θ1)−h) +

(f,(θ2)−h) =fh(θ1) +fh(θ2).

fh(λθ) = (f,(λθ)−h) = (f,λθ−h) =λ(f,θ−h) =λfh(θ).

������������� fh(βj) = (f,(βj)−h)−→0 �� ℂ� ���� ���� ���� α∈ℕn�

Dα(βj)−h(x) =D

αβ

j(x+h)−→0

(24)

Reflex˜ao. �����

f: 𝒫T(ℝn)

→ ℂ

θ �− (f,θ�) ,

���� �θ(x) =θ(x)�

������������ �f(θ1+θ2) = (f,(θ1+θ2)�) = (f,θ�1+θ�2) = (f,θ�1)+(f,θ�2) =f�(θ1)+f�(θ2).

f(λθ) = (f,(λθ)�) = (f,λθ�) =λ(f,θ�) =λf�(θ)�

������������� �f(βj) = (f,β�j)−→0 �� ℂ� ���� ���� ���� α∈ℕn� ������� ��

���

x∈ℝn

|Dαβj(x)|= ��� x∈ℝn

|Dαβ�j(x)|,

� ����� ���� �βj −→0�� 𝒫T(ℝn)� ����� �f∈𝒫T′(ℝn)�

Deriva¸c˜ao de uma distribui¸c˜ao f∈𝒫′

T(ℝn).

���� ��� �������� ����� θ∈𝒫T(ℝn)� �� α = (α

1,⋅ ⋅ ⋅ ,αn)∈ℕn� ����� ���

Dαθ= 1

i|α|

∂|α|θ

∂xα1

1 ⋅ ⋅ ⋅∂x

αn

n

.

�� ��������� �������� � �������� �� �������� �� ��� �������� ������ �� ��� ����� ��� ���� �������������� ���������� ������ ��� �������� ��� ������� �� ��� �������������� �����������

���� f∈𝒫′

T(ℝn)� ���� ���� α∈ℕn� �����

f: 𝒫

T(ℝn) −→ ℂ

θ �− (f,(1)|α|Dαθ) .

������������

Dαf(θ1+θ2) = (f,(−1)|α|Dα(θ1+θ2)) = (f,(−1)|α|Dαθ1+ (−1)|α|Dαθ2) =

= (f,(1)|α|Dαθ1) + (f,(−1)|α|Dαθ2) =Dαf(θ1) +Dαf(θ2).

������������� D|α|f(θ

j) = (f,(−1)αDαθj)−→ 0�� ℂ� ���� Dαθj −→0 �� 𝒫T(ℝn)�

���� Dαf𝒫

T(ℝn).

(25)

���� ����������� ���� ���� ������� ��

Dαfθ =fDαθ.

�� ����� �� φ∈𝒫T(ℝn)� ������� ������ ������������ ��� �������

(fDαθ,φ) =

[0,T]n

(Dαθ)φ= �

[0,T]n

θ(−1)|α|Dαφ= (Dαf θ,φ).

Operador deriva¸c˜ao em 𝒫′

T(ℝn).

�����

: 𝒫

T(ℝn) −→ 𝒫T′(ℝn)

f �−→ Dαf .

� �������� ����������� ��𝒫′

T(ℝn) �� ������ � ����������

������������ �� f, g∈𝒫′

T(ℝn) �λ ∈ℂ� ������ ���� ���� θ∈𝒫T(ℝn)� �����

(Dα(f+g),θ) = (f+g,(−1)|α|

Dαθ) = (f,(−1)|α|

Dαθ) + (g,(−1)|α|

Dαθ) =

= (Dαf,θ) + (Dαg,θ) = (Dαf+Dαg,θ), � �������

(Dα(λf),θ) = (λf,(1)|α|Dαθ) =λ(f,(

−1)|α|Dαθ) =λ(Dαf,θ) = (λDαf,θ). ������������� Dαf(θ

j) = (f,(−1)αDαβj)−→ 0�� ℂ� ���� Dαβj−→0 �� 𝒫T(ℝn)�

��� ����������� ������ ���� ��������� ���� ������ ��� ��������������fϕ �����������

� ϕ �� ������� �� ������� ����� ������ ����� �������������� ���� ��� ����������� ϕ�

������� ��������� ���� ���� ����������������� ��� ���������� �� ���������� ���� ���� �� ���� ��� ����������� ������ �� � :𝒫′

T(ℝn)−→𝒫T′(ℝn) �� ��� ��� ����������� ����������

����� � ∗:𝒫′

T(ℝn)×𝒫T′(ℝn)−→𝒫T′(ℝn)�� ��� ��� ����������� ���������� �����

˜

fϕ=fϕ˜

fϕ1 ∗fϕ2 =fϕ1∗ϕ2.

������ � �� ������ ��������� ���� ������� ������ f˜ϕ ��� �ϕ� �� ����������� ���

ϕ ���� ���������� ���� ���������

� �������� ������� ������� ���𝒫T(ℝn)�� ����� �� ������� ��� ��������� ����������

(26)

Teorema 2.18 ��������� φ C∞

c (ℝn) ��� ���

φ = 1� φ 0� S(φ)[0, T]n� ����

θε=ε−n

m∈ℤn

φ(x−Tm

ε )

��� θε ∈𝒫T(ℝn) � 0 <ε< 1� �� f:ℝn −→ ℂ�� ��������� � T����������� ������

fε(x) =

[0,T]n

f(x−y)θε(y)dy

�������� � 𝒫T(ℝ)n f

ε −→ f ��������������

��������������� �� x ∈ [0, T]n� ������ ���� ���� m = (m

1, . . . , mn) ∈ ℤn� m ∕= 0�

������ mi∕=0 ��� ���

− Tmi

ε ≤

xi−T mi

ε ≤

T(1−mi)

ε .

�� mi ≤ 1 ������ xi−T mε i ≤ 0 �� ����� ����� φ(x−Tmε ) = 0� �� mi ≤ −1� ������ −T mεi ≥ Tε ≥ T �� ��������� φ(x−Tmε ) = 0� ������ θε(x) = ε−nφ(xε)� �� x ∈ [0, T]n�

������

fε(x) =

[0,T]n

f(x−y)θε(y)dy=ε−n

[0,T]n

f(x−y)φ( y

ε)(y)dy=

= �

[0,Tε−1]n

f(x−εz)φ(z)dz=

[0,T]n

f(x−εz)φ(z)dz=

= �

ℝn

f(x−εz)φ(z)dz=ε−n

ℝn

f(u)φ(x−u

ε )du,

���� S(φ)[0, T]n[0, Tε−1]n� � ���������

fε(x) =ε−n

ℝn

f(y)φ(x−y

ε )dy,

��� ������� ��������

fε(x) =ε−n

Kx

f(y)φ(x−y

ε )dy,

����

Kx ={y∈ℝn; 0≤

xi−yi

ε ≤T, i=1, . . . , n}=

={y∈ℝn; xi−εT ≤yi ≤xi, i=1, . . . , n}.

���� ���Kx �� �� �������� ��������� �����x, x′ ∈ℝn� ����K�� �������� ��� ���

(27)

���� ����������� ���� ���� ������� ��

|fε(x)−fε(x′)|≤

ℝm

|f(y)||φ(x−y

ε )−φ(

x′

−y

ε )|dy≤

≤ε−n ���

u∈[0,T]n

|f(u)|

K

|φ(x−y

ε )−φ(

x′

−y

ε )|dy≤

≤ε−n−1C ���

u∈[0,T]n

|f(u)|m(K)|x−x′|, ���� m(K)�� � ������ �� K. ���� fε �� ����������

���� ������ ��� fε �� �������������� �������� ������� �� ������ ����� ������� ��� �

����� �� ������������ � ��������φ�� ���������� ��fε����� ����� � ������� � ������������

����� ������ Dαφ �� ������ ��φ� ������

|f(x)fε(x)|=

� � �

[0,T]n

f(x)φ(z)dz−

[0,T]n

f(x−εz)φ(z)dz � � �≤

[0,T]n

|f(x)f(x−εz)|φ(z)dz≤ ���

z∈[0,T]n

|f(x)f(x−εz)|.

����f�� ��������� � ����������� �� ������������� ���������� ������ ����η> 0� ������

δ> 0��� ���

|x−y|<δ=⇒ |f(x)−f(y)|<η. ���� z ∈ [0, T]n |z| nT� � ���� ���� 0 < ε < δ

nT � x ∈ ℝ

n� ����� ���

|x−(x−εz)|=ε|z|<δ� ����|f(x)−f(x−εz)|<η � �������� ���

z∈[0,T]n

|f(x)f(x−εz)|≤η, � ��� ����� fε−→f ��������������

�� ��� ������ ����� ��������� ���� �� � �������� �� ��� �������������� ���������� �� ��� �������� ���������� ������ ���� �������������� ����������� � ��� �������� ����������� Teorema 2.19 �� f � g ���� ��������� ���������� � ����������� �� ℝn ∂f

∂xj = g �� ������� �� ��������������� ����������� ������ f �� �������������� ��� ��������� � xj

���� ����������

��������������� ������ � ��������� �� ������� ����

∂ ∂xj

fε(x) =ε−n

[0,T]n

f(y) ∂

∂xj

(φ(x−y

ε ))dy=

=ε−n

[0,T]n

f(y) ∂

∂yj

(φ(x−y

(28)

=ε−n

[0,T]n

g(y)φ(x−y

ε ) =gε.

����fε−→f � gε−→g �������������� ����� ��� xfj =g�

2.3

T

-Convolu¸c˜

ao

Defini¸c˜ao 2.20 ����� f∈𝒫′

T(ℝn) � θ∈𝒫T(ℝn)� ����� � ������������ �� f ��� θ

���� � ��������

f∗θ:ℝnℂ, ���� ���

(f∗θ)(a) = (f,θ�a),

���� �θa(x) =θ(a−x)� Exemplo 2.21

���� θ𝒫T(ℝn)

θ)(a) = (δ,θ�a) =θ�a(0) =θ(a).

Exemplo 2.22

����� θ𝒫T(ℝn) h

∈ℝn� �����

(δh∗θ)(a) = (δh,θ�) = (δ,(θ�)−h) = (θ�a)−h(0) =θ�a(h) =θ(a−h). Exemplo 2.23

����� α ℕn θ𝒫

T(ℝn)� �����

(Dαδθ)(a) = (Dαδ,θ�a) = (δ,(−1)|α|Dαθ�a) =

= (δ,(−1)|α|( −1)|α|

Dαθa) =Dαθ(a),

�� ��������� Dαδθ=Dαθ.

Teorema 2.24 �����f ∈𝒫′

T(ℝn)� θ∈𝒫T(ℝn)� ������ f∗θ∈𝒫T(ℝn)�Dα(f∗θ) =

(29)

���� T���������� ��� ��

��������������� ����� a ∈ ℝn � ��� ���������� (a

j)j∈ℕ ��� ��� aj −→ a� ����

������ � ������������ �� f∗θ� ����� ������ ��� �θaj −→ θ�a �� 𝒫T(ℝ

n)� ���� �����

(f∗θ)(aj) = (f,θ�aj)−→(f,θ�aj) = (f∗θ)(a). ���������� ������� ��� �θaj −→θ�a�� 𝒫T(ℝ

n)� ����αn� ������� ���� ������

� ��������� �� θ ����� ���������� ������C > 0� ��� ���

|Dα�θ

aj(x)−D

αθ

a(x)|=|Dαθ(aj−x)−Dαθ(a−x)|≤C|aj−a|. ���� aj −→ a� �������� � ����������

����ei �i������� ����� �� ���� ��������� ��ℝn� ���� ��� ����������(hj)�hj∈ℝ�

hj∕=0 ��� ��� hj −→0� �����

[(f∗θ)(a+hjei)−(f∗θ)(a)]h−1j = [(f,θ�a+hjei)−(f,θ�a)]h

−1 j =

= [(fhjei,θ�a)−(f,θ�a)]h

−1

j = ((fhjei−f)h

−1 j ,θ�a).

��������� ��� gj = (fhjei −f)h

−1

j �������� ����

∂ ∂xif ��

𝒫′

T(ℝn)� ���� φ ∈

𝒫T(ℝn)� ����� (g

j,φ) = ((fhjei − f)h

−1

j ,φ) = (f,(φ −φ−hjei)h

−1

j )� ����� ������

���������� ��� (φφ−hjei)h

−1

j −→ −∂∂xiφ ��

𝒫T(ℝn)� ���� ���� α n� �����

���

|∂α((φ−φ−hjei)h

−1 j +∂α

∂φ ∂xi

)(x)|

=|(∂αφ(x)∂αφ(x+hjei)−∂α

∂ ∂xi

φ(x))h−1j |−→0,

������������� �� ℝn� ���� ∂ ∂xi∂

αφ���������� � ���������� �

(∂αφ(x+hjei)−∂αφ(x))h−j1

�������� ������������ ���� ∂ ∂xi∂

αφ(x)� �����

∂xi(f∗θ) =

∂xif∗θ� � ����

∂ ∂xif∗θ ���������� ����� ��� f∗θC1(ℝn)� ������� ���� ���

( ∂

∂xi

f∗θ)(a) = ( ∂

∂xi

f,θ�a) = (f,−

∂ ∂xi

θa) = (f,(

∂ ∂xi

θ)∨

a) = (f∗

∂ ∂xi

θ)(a).

���������

∂ ∂xi

(f∗θ) = ∂

∂xi ∗

θ=f∗ ∂

∂xi

θ.

������ � ���������� �� ���������� ����� ��� �� ∂α(f θ) = αf θ = fαθ ��

���������� ������� ��������� β=α+ei� ����� ���

∂β(f∗θ) = ∂

∂xi

∂α(f∗θ) = ∂

∂xi

Referências

Documentos relacionados

O biogás gerado no tratamento de águas residuárias de suinocultura, quando reaproveitado como fonte energética, necessita passar por processos de purificação

Raichelis 1997 apresenta cinco categorias que na sua concepção devem orientar a análise de uma esfera pública tal como são os conselhos: a visibilidade social, na qual, as ações e

Derivaram de ações capazes de interferir no dimensionamento desta unidade, especialmente que atuassem sobre as vazões e qualidades de água a demandar e

Em números absolutos, os resultados mostraram que as regiões médio-norte e nordeste apresentaram a maior amostragem de produtores rurais que expandiram a sua área agrícola através

seguida apresentamos o principal resultado: boa colocação local para o problema de valor inicial (problema de Cauchy) associado à equação NLSNL para dados iniciais pequenos

No presente trabalho é relatada a ocorrência de uma nova espécie de Corazuphium no Brasil, encontrada na Gruta do Gonçalo, no município de Campo Formoso, Bahia.. A nova espécie

AV CINQUENTENARIO X R ADOLFO MARON SCB AVENIDA AZIZ MARON EM FRENTE AO SHOPPING SCB AVENIDA AZIZ MARON SEM NUMERO RUA BARTOLOMEU MARIANO20 20 AVENIDA JOSE SOARES PINHEIRO SEM

2 - A dispensa para consulta pré-natal, amamentação ou aleitação não determina perda de quaisquer direitos e é considerada como prestação efectiva de trabalho. 3 -