A Alternativa Local de Brunella

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Brunella’s Local Alternative

Marianna Ravara Vago

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Alternativa de Brunella Local - Resumen

Marianna Ravara Vago

Directores: Felipe Cano Torres (UVa, Espa˜na) y M´arcio Gomes Soares (UFMG, Brasil)

Nuestro trabajo empieza con la siguiente conjetura, debida a Marco Brunella:

Conjetura de Brunella: Sea F foliación holomorfa singular de codi-mensión uno en P3_C. Si no existe superficie proyectiva algebraica invari-ante por F entonces cada hoja es unión de curvas algebraicas.

Nosotros interpretamos la Conjetura de Brunella como un fenómeno de difusión-concentración de la no-trascendencia en las hojas, ya que son hojas de una foliación que, en definitiva, está dada por una ecuación algebraica. Si existe una hipersu-perficie invariante, consideramos que la no-trascendencia está concentrada en ella. Caso contrario, se distribuye entre las hojas como la propiedad de que cada hoja está subfoliada por curvas algebraicas.

El objetivo de nuestro trabajo es estudiar el fenómeno de concentración-difusión de la no-trascendencia en las hoja en la situación local de un germen de foliación

F de (C3_,_{0). Si} _F _{admite un germen de superficie anal´ıtica invariante,} conside-ramos que la no-trascendencia está concentrada en este germen. Caso contrario, la no-trascendencia se distribuye y las hojas de un entorno del origen presentarán propiedades de semi-trascendencia, que vamos describir posteriormente. En nuestro trabajo pedimos que la foliación F cumpla algunas condiciones técnicas no restric-tivas, a las que llamamos RI (Relatively Isolated) y CH (Complex Hyperbolic), que posteriormente explicaremos.

Alternativa de Brunella Local: Sea F una foliaci´on RICH de (C3_,_0). Entonces se tiene una de las alternativas:

1. F admite un germen de superficie anal´ıtica invariante.

2. Existe un entorno del origen formado por hojas con finales semi-trascendentes.

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El punto de partida es estudiar qué propiedades cumple un germen de foliación holomorfa singular de codimensión unoF en (C3_,_{0) que no admite superficie anal´ıtica} invariante. La primera observación es que la foliación debe serdicr´ıtica. La definición general de dicriticidade es la siguiente:

SeaF un germen de foliaci´on holomorfa singular en (Cn_,_{0). Diremos que}

F es dicr´ıtica si existe un germen de aplicaci´on anal´ıtica no invariante para F

φ: (C2,0)→(Cn,0)

tal que φ∗_F ₌_{dx _{= 0}_} _{y tal que la imagen por}_φ _{de la curva} _y_{= 0 sea} invariante paraF.

Podemos precisar un poco más la condición de dicriticidad en nuestro caso. En el trabajo Desingularization of nondicritical holomorphic foliations in dimension three, (Acta Mathematica, 1992), F. Cano y D. Cerveau presentan un argumento que permite la construcción de superficies invariantes en el caso de foliaciones no dicr´ıticas. En consecuencia de este argumento se tiene que, en el caso de que no existan superficies invariantes para una foliación, cuando tomamos una reducción de singularidades en el sentido de F. Cano (Reduction of singularities of codimension one singular foliations in dimension three, Annals of Mathematics, 2004),

R: (C3,0) =M0

π1

←−M1

π2

←−M2 ←− · · ·

πN

←−MN

con centros invariantes y que tienen cruzamientos normales con el divisor excepcional global de cada etapa entonces existe una componente gen´ericamente transversal D

del ´ultimo divisor excepcional EN _⊂ _M

N que es compacta (es decir D ⊂ π−1(0),

donde

π =π1 ◦π2 ◦ · · ·πN).

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Complex Hyperbolic foliations (foliaciones CH).

La condición CH es la generalización, en dimensión tres, de las foliaciones de tipo

curva generalizada introducidas por C. Camacho, A. Lins-Neto y P. Sad en Topo-logical invariants and equidesingularizantion for holomorphic vector fields (1984). Es decir, una foliación CH es tal que no admite singularidades de tipo sillas-nodo después de reducción de singularidades. La definición precisa es la siguiente:

Se dice que F foliaci´on en (Cn_,_{0) es CH si para cada aplicaci´on}

φ: (C2,0)→(Cn,0)

tal que φ∗_F _{est´a definida se tiene que}_φ∗_F _{es una curva generalizada en} el sentido de C. Camacho, A. Lins Neto y P. Sad.

A fin de controlar mejor la situación pedimos a la foliación una condición a la que llamamos RI -relatively isolated. Es una condición más débil queabsolutamente aislada, que son las foliaciones que se desingularizan haciendo únicamente blow-ups centrados en puntos (esta situación en el caso de campos de vectores ha sido estudi-ada por F. Cano, D. Cerveau y B. Scárdua en Théorie élémentaire des feuilletages holomorphes singuliers).

Decimos que F foliaci´on de (C3,0) es RI si existe una reducci´on de sin-gularidades

S : (C3,0) =M0

π1

←−M1

π2

←− · · · πN

←−MN

tal que para todo 1≤s≤N se tiene

1. El centro Ys−1 ⊂ Ms−1 del blow-up πs es no singular, tiene

cruza-mientos normales con el divisor excepcional Es−1 _⊂ _M

s−1 y con

π1◦π2 ◦ · · · ◦πs−1−1(0) y es invariante por el transformado Fs−1 de

F.

2. La intersecci´on Ys−1∩(π1◦π2◦ · · · ◦πs−1)−1(0) es un ´unico punto.

Como consecuencia de la propiedad RI-2, se tiene que nunca ser´an usadas curvas compactas (es decir, que se proyectan en el origen) como centros de blow-up.

Si una foliaci´onF admite una reducci´on de singularidades RI como arriba, en-tonces obtenemos que todos los puntos de MN son simples para la pareja FN, EN

(en el sentido de F. Cano). En cada etapa, el divisor excepcionalEs _{es la uni´on del}

transformado de los divisores generados en etapas anteriores con el nuevo divisor

Ds

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E1 ₌_D1

1 =π−11 (Y0),

E2 ₌_D2

1 ∪D22, dondeD22 =π2−1(Y1) y D12 es el transformado por π2 de D11, ...

EN ₌_DN

1 ∪D2N ∪ · · ·DNN donde DNN =πN−1(YN−1).

Un divisorDs

j ⊂Es es invariante si es una separatriz de FN (es decir, fuera del

conjunto singular es una hoja de Fs). Caso contrario, decimos que esgen´ericamente

transversal o dicr´ıtico. En cada etapa Ms, la pre-imagen del origen (π1◦π2 ◦ · · · ◦

πs)−1(0) es una uni´on conexa de divisores compactos y de curvas compactas. En el

segundo caso, la curva compacta est´a contenida en un divisor no compacto que es un germen alrededor de la curva.

Los puntos deMN son simples para la parejaFN, EN y hay una lista concreta de

ecuaciones que describem localmente la foliación en cada punto contemplando todas las posibilidades. Esquematicamente, podemos describirlos de acuerdo con su tipo dimensional, que denominamos τ (el número de variables necesarias para escribir localmente la foliación en el punto). En dimensión tres, tenemos 1≤τ ≤3. Además si τp es el tipo dimensional del punto p ∈ MN entonces existen 3−τp campos de

vectores tangentes a FN (localmente en p).

1. Los puntos de tipo dimensional 1 son los puntos regulares de FN.

2. Los puntos de tipo dimensional 2 son los puntos singulares de FN que est´an

contenidos en una ´unica curva del lugar singular Sing FN. Son, esencialmente,

singularidades en dimensi´on dos trivializadas por un campo de vectoresξ tan-gente a FN. Para todo punto p∈ MN tal que τp = 2 podemos encontrar un

abierto tal que todos los puntos singulares de FN en este abierto tienen tipo

dimensional igual a 2.

3. Los puntos de tipo dimensional 3 son los puntos de FN que est´an contenidos

en tres curvas del lugar singular Sing FN. Se puede encontrar un abierto tal

que todos los puntos tienen tipo dimensional m´as bajo.

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En dimensión dos, en el trabajo Monodromy and topological classification of germs of holomorphic foliations (2010), J.F. Mattei y D. Mar´ın denominan por singularidad nodal a los puntos de la forma xdy−λydx, donde λes un número real positivo (no racional). Sea F un germen de foliación de (C3_,_{0) y}

σ:M′ →M = (C3,0)

una reducción de singularidades de F. Sea Γ⊂ Sing F un germen de curva. Dec-imos que F es genéricamente nodal a lo largo de Γ si existe un germen de curva Γ′ _⊂_Sing _F′_, _F′ ₌_σ∗_F_{, tal que todos sus puntos de tipo dimensional 2 son} singu-laridades nodales en dimensión dos y σ(Γ′_{) = Γ. Decimos que} _F _es _{genéricamente}

dicr´ıtica a lo largo de Γ si existe una componenteDdel divisor excepcionalE′ _⊂_M′ que es gen´ericamente transversal a F′ _{y tal que} _σ₍_D_{) = Γ.}

El resultado t´ecnico que corresponde a la Alternativa de Brunella Local es el siguiente:

Theorem 1 SeaF foliaci´on RICH de(C3_,₀₎_{y suponga que}_F _{no admite germen de}

superficie anal´ıtica invariante. Entonces se tiene una de las siguientes propiedades:

(a) Existe entorno W del origen 0 ∈ C3 _{tal que para cada hoja} _L _⊂ _W _de _F _en

W existe curva anal´ıtica γ ⊂L con 0∈γ.

(b) Existe un germen de curva anal´ıtica Γ⊂(C3_,₀₎_{contenida en el lugar singular}

Sing F tal que F es gen´ericamente dicr´ıtica o gen´ericamente nodal a lo largo de Γ.

Como consecuencia del Teorema 1 obtenemos que todas las hojas de F tienen un final semi-trascendente. Otra consecuencia es que si no se tiene (b) entonces se tiene (a). Es decir, se puede ver antes de reducci´on de singularidades, mirando las curvas del lugar singular Sing F, si existe un entorno del origen tal que toda hoja de F en este entorno contiene un germen de curva anal´ıtica en el origen.

Daremos una breve descripci´on de la demostraci´on del Teorema 1.

Fijamos la reducci´on de singularidades RIS. Queremos estudiar las propiedades de las hojas en el espacio final MN y en etapas intermedias Ms de la reducci´on de

singularidades.

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están (localmente) separadas de las hojas próximas a la otra. De esta manera, el saturado de una curva transversal a una separatriz en un punto regular no es un entorno de la singularidad. En las singularidades simples CH no nodales, las hojas próximas a una separatriz están próximas a la otra. En este caso, el saturado de una curva transversal a una de las separatrices, unión con las separatrices, es un entorno de la singularidad.

El mismo fenómeno es observado en dimensión tres. Un punto nodal de tipo dimensional dos es, esencialmente, una singularidad nodal en dimensión dos, y el comportamiento de las hojas es (localmente) el mismo. Un punto nodal de tipo dimensional tres está localmente dado por la 1-forma

ω =λdx x +µ

dy

y −

dz z

donde λ, µ son reales positivos no racionales. Observamos que dos de las curvas del conjunto singular pasando por el punto son genéricamente nodales, es decir, sus puntos de tipo dimensional dos son nodales (en este caso, las curvas (x = z = 0) y (y = z = 0)); mientras que la tercera curva (en este caso, (x = y = 0)) no es genéricamente nodal. Se tiene que las hojas próximas a la separatriz (z = 0) no están próximas a las otras dos separatrices. Entonces tenemos la misma situación que en dimensión dos: el saturado de una curva transversal a la separatriz (z = 0) en un punto regular no es un entorno de la singularidad.

Un punto CH simple no nodal de tipo dimensional dos es, esencialmente, una singularidad CH simple no nodal en dimensión dos; por lo tanto el comportamiento de las hojas es el mismo que en dimensión dos. Un punto CH simple no nodal de tipo dimensional tres es tal que o bien ninguna, o como máximo una de las curvas del conjunto singular pasando por el punto es genéricamente nodal. En ambos casos, el saturado de una curva transversal a una de las separatrices en un punto regular, unión con las tres separatrices, es un entorno de la singularidad.

Consideramos, en el espacio final MN, el subconjunto del lugar singular

Sing FN que es la uni´on de las curvas que son gen´ericamente nodales. Decimos

que una componente conexa C de este subconjunto es unacomponente nodal si to-dos sus puntos de tipo dimensional tres son nodales. Es decir, una componente nodal C ⊂ Sing FN es una uni´on finita de curvas,

C =C1∪C2∪ · · · ∪Ck

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y para todo punto q ∈ C con tipo dimensional tres se tiene que

q∈Ci∩Ci′, i, i′ ∈ {1,2, . . . , k}.

Una componente nodal podr´ıa ser, por lo tanto, una barrera para el flujo de las hojas pr´oximas al divisor excepcional EN_{. Sin embargo las componentes nodales}

act´uan como un gu´ıa para las hojas de FN que se acumulan sobre ella y de esta

manera, estudiando su comportamiento, podemos sacar conclusiones sobre el com-portamento de estas hojas.

La foliación F, por hipótesis, no admite germen de superf´ıcie anal´ıtica invari-ante; como consecuencia del método de Cano-Cerveau existe un divisor DN

j ⊂ EN

gen´ericamente transversal tal que π(DN

j ) = 0. Es decir,DNj es un divisordicr´ıtico y

compacto. Si no existen componentes nodales paraF,S entonces no hay obstrucción en el camino de las hojas hacia las componentes dicr´ıticas compactas. Por lo tanto una foliación RICH sin superficie invariante y sin componentes nodales en su desin-gularización produce un entorno del origen formado por hojas que contienen una curva anal´ıtica invariante.

El trabajo principal de la tesis consiste un saber qué pasa cuando hay compo-nentes nodales paraF,S. Hacemos un estudio fino de la estructura del lugar singular en etapas intermedias de la reducción de singularidades S para probar el siguiente resultado (cuya demostración es la parte técnica más importante del trabajo):

Proposition 1 Sea F foliaci´on RICH sin superficie invariante y sea C ⊂ Sing FN

una componente nodal. Entonces C cumple una de las siguientes propiedades:

1. C ∩EN

dic 6=∅, es decir, C alcanza la parte dicr´ıtica del divisor excepcional EN.

2. C posee una componente irreducible que no es compacta.

Veamos c´omo se recupera el Teorema 1 a partir de la Proposici´on 2. Suponga que todas las componentes nodales de F,S alcanzen la parte dicr´ıtica compacta de EN_{. Entonces encontramos un entorno del origen tal que toda hoja de} _F _en

este entorno contiene un germen de curva anal´ıtica en el origen. Ahora suponga que existe una componente nodal C que no alcanza la parte dicr´ıtica compacta de

EN_{. Entonces o bien} _C _{llega hasta un divisor dicr´ıtico no compacto, o bien una de}

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La demostración de la Proposición 2 se hace por reducción al absurdo: suponemos que existe una componente nodal C ⊂ Sing FN, que dejaremos fijada para siempre,

que no llega hasta la parte dicr´ıtica del divisor excepcional EN y tal que todas sus curvas irreducibles son compactas. Entonces Cs_{, la imagem de} _C _{en la etapa}

intermediaMsde la reducci´on de singularidadesS, cumple las siguientes propiedades

(para 1≤s≤N): 1. Cs_∩_Es

dic = ∅, es decir, Cs no alcanza la parte dicr´ıtica del divisor

excepcionalEs_.

2. Seaq ∈Msun punto tal queq∈Dsi∩Dsk∩DlsdondeDsi, Dks, Dlsson

divisores invariantes deEs _y _Ds

i ∩Dks ⊂ Cs. Entonces exactamente

una de las otras dos intersecciones de los divisores tambi´en est´a contenida en Cs_{. Es decir, se tiene o bien}

D_is∩Ds_l ⊂ Cs , D_ks∩D_ls6⊂ Cs

o bien

Dsk∩Dls⊂ Cs , Dis∩Dsl 6⊂ Cs .

3. Sea q ∈Ms un punto contenido en dos o tres divisores invariantes

deEs _{y sea}_Ds

i un divisor invariante deEs que contieneq. Sea Γ⊂

Sing Fs una curva del conjunto singular que est´a gen´ericamente

contenida ´unicamente en el divisor Ds

i y tal queq ∈ Γ. Llamemos

a las curvas de intersecci´on deDs

i con los otros divisores invariantes

que contienenqdebarreras. Entonces si la barrera es gen´ericamente no nodal, Γ se prolonga al otro divisor invariante con la misma naturaleza; si la barrera es gen´ericamente nodal, Γ se prolonga al otro divisor pero cambia su naturaleza. Es decir:

3.1 Si Γ es no nodal y la barrera es no nodal, la prolongaci´on de Γ es no nodal.

3.2 Si Γ es no nodal y la barrera es nodal, la prolongaci´on de Γ es nodal.

3.3 Si Γ es nodal y la barrera es no nodal, la prolongaci´on de Γ es nodal.

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4. SeaC⊂ Cs _{una curva que est´a gen´ericamente contenida en un ´}_unico

divisor invariante deEs_{, que llamamos} _Ds

i. Entonces no existe una

curva Γ ⊂ Sing Fs que está genéricamente contenida únicamente

en el divisor Ds

i y tal que C∩Γ6=∅.

Est´a claro queC cumple las propiedades 1-4 en el espacio finalMN, ya que todos

los puntos deMN son simples. Lo que es notable es que el comportamiento final de

C ya puede ser observado en etapas intermedias de la reducci´on de singularidades. Usando las propiedades 1-4 llegamos a una contradicc´on y demostramos que una componente nodal C que no llega a la parte dicr´ıtica del divisor excepcional EN _y

tal que todas sus curvas irreducibles son compactas no puede existir, y con esto se termina la demostraci´on de la Proposici´on 2.

Finalmente, veamos como se recupera la Alternativa de Brunella Local a partir del Teorema 1. Hay dos tipos posibles de finales de hojas semi-trascendentes:

• El final contiene un germen de curva anal´ıtica en el origen.

• El final se acumula, después de reducción de singularidades, únicamente en el lugar singular Sing FN. En este caso, la única posibilidad de acumulación es

en una componente nodal.

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Alternativa de Brunella Local - Resumo

Marianna Ravara Vago

Orientadores: Felipe Cano Torres (UVa, Espanha) e M´arcio Gomes Soares (UFMG, Brasil)

Nosso trabalho come¸ca com a seguinte conjectura, devida a Marco Brunella:

Conjectura de Brunella: Seja F folhea¸c˜ao holomorfa singular de codi-mens˜ao um emP3

C. Se n˜ao existe superf´ıcie projetiva alg´ebrica invariante

porF então cada folha é união de curvas algébricas.

Nós interpretamos a Conjectura de Brunella como un fenômeno de difusão-concentra¸cão da não-transcendência nas folhas, uma vez que são folhas de uma folhea¸cão que, em definitiva, está dada por uma equa¸cão algébrica. Se existe uma hipersuperf´ıcie invariante, nós consideramos que a não-transcendência está concen-trada nela. Caso contrário, se distribue entre as folhas como a propriedade de que cada folha está sub-folheada por curvas algébricas.

O objetivo do nosso trabalho é estudar o fenômeno de concentra¸cão-difusão da não-transcendência nas folhas na situa¸cão local de um germe de folia¸cãoF de (C3_,_0). Se F admite um germe de superf´ıcie anal´ıtica invariante, consideramos que a não-transcendência está concentrada neste germe. Caso contrário, a não-não-transcendência se distribue e as folhas de uma vizinhan¸ca da origem apresentarão propriedades de semi-transcendência, que vamos descrever posteriormente. No nosso trabalho pedimos que a folhea¸cão F cumpra algumas condi¸cões técnicas não restritivas, que chamamos RI (Relatively Isolated) e CH (Complex Hyperbolic) e que posteriormente explicaremos.

Alternativa de Brunella Local: Seja F uma folhea¸c˜ao RICH de (C3_,_0). Ent˜ao tem-se uma das alternativas:

1. F admite um germe de superf´ıcie anal´ıtica invariante.

2. Existe uma vizinhan¸ca da origem formada por folhas com finais semi-transcendentes.

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O ponto de partida é estudar que propriedades cumpre um germe de folhea¸cão holomorfa singular de codimensão umF de (C3_,_{0) que não admite superf´ıcie anal´ıtica} invariante. A primeira observa¸cão é que a folhea¸cão deve ser dicr´ıtica. A defini¸cão geral de dicriticidade é a seguinte:

Seja F um germe de folhea¸c˜ao holomorfa singular de (Cn_,_{0). Diremos}

queF édicr´ıticase existe um germe de aplica¸cão anal´ıtica não invariante para F

φ: (C2,0)→(Cn,0)

tal que φ∗_F ₌ _{dx _{= 0}_} _{e tal que a imagem por} _φ _{da curva} _y _{= 0 seja} invariante paraF.

Podemos precisar um poco mais a condi¸cão de dicriticidade no nosso caso. No trabalho Desingularization of nondicritical holomorphic foliations in dimension three, (Acta Mathematica, 1992), F. Cano e D. Cerveau apresentam um argumento que permite a constru¸cão de superf´ıcies invariantes para o caso de folhea¸cões não dicr´ıticas. Como consequência deste argumento tem-se que, no caso de que não existam superf´ıcies invariantes para uma folhea¸cão, quando tomamos uma redu¸cão de singularidades no sentido de F. Cano (Reduction of singularities of codimension one singular foliations in dimension three, Annals of Mathematics, 2004),

R: (C3,0) =M0

π1

←−M1

π2

←−M2 ←− · · ·

πN

←−MN

isto é, uma composi¸cão de blow-ups com centros invariantes e que tem cruzamentos normais com o divisor excepcional global de cada etapa, então existe uma compo-nente genéricamente transversal D do último divisor excepcional EN _⊂ _M

N que ´e

compacta (ou seja, D⊂π−1_{(0), onde} _π₌_π

1◦π2◦ · · ·πN).

A segunda fase do trabalho é pensar que, se não há superf´ıcie invariante então to-das as folhas da folhea¸cão irão parar, após redu¸cão de singularidades, em uma com-ponente dicr´ıtica compacta. Consequentemente, desenhando uma curva anal´ıtica em cada folha em um ponto regular da interse¸cão com a componente dicr´ıtica poder´ıamos ver que cada folha contém uma curva anal´ıtica invariante que chega à origem. Esta ser´ıa a propriedade local que substituir´ıa a correspondente global da Conjectura de Brunella. Não obstante, esta propriedade não é tão evidente. A primeira obstru¸cão é o comportamento das folhas próximo a uma singularidade de tipo sela-nó. Por esta razão, em uma primeira aproxima¸cão vamos considerar unicamente as folhea¸cões que não contém selas-nó em uma (e portanto, em todas) redu¸cão de singularidades. À estas folhea¸cões damos o nome de

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A condi¸cão CH é a generaliza¸cão, em dimensão três, das folhea¸cões de tipocurva generalizada introduzidas por C. Camacho, A. Lins-Neto e P. Sad em Topological invariants and equidesingularizantion for holomorphic vector fields (1984). Ou seja, uma folhea¸cão CH em dimensão três é tal que não admite singularidades de tipo sela-nó após redu¸cão de singularidades. A defini¸cão precisa é a seguinte:

Dizemos que F folhea¸cão de (Cn_,_{0) é CH se para cada aplica¸cão}

φ: (C2_,₀₎_→_(Cn_,₀₎

tal que φ∗_F _{est´a definida tem-se que} _φ∗_F _{´e uma curva generalizada no} sentido de C. Camacho, A. Lins Neto e P. Sad.

Para controlar melhor a situa¸cão pedimos à folhea¸cão uma condi¸cão que chamamos RI - relatively isolated. É uma condi¸cão mais fraca que absolutamente isolada, que são as folhea¸cões que se desingularizam fazendo unicamente blow-ups centrados em pontos (esta situa¸cão no caso de campos de vetores foi estudada por F. Cano, D. Cerveau e B. Scárdua em Théorie élémentaire des feuilletages holomorphes sin-guliers).

Dizemos que uma F folhea¸cão de (C3_,_{0) é RI se existe uma redu¸cão de} singularidades

S : (C3,0) =M0

π1

←−M1

π2

←− · · · πN

←−MN

tal que para todo 1≤s≤N tem-se

1. O centro Ys−1 ⊂ Ms−1 do blow-up πs ´e n˜ao singular, tem

cruza-mentos normais con o divisor excepcional Es−1 _⊂ _M

s−1 e com

π1◦π2◦ · · · ◦πs−1−1(0) e é invariante pelo transformado Fs−1 de F. 2. A interse¸cão Ys−1∩(π1◦π2◦ · · · ◦πs−1)−1(0) é um único ponto.

Como consequência da propriedade RI-2, temos que nunca serão usadas curvas compactas (isto é, que se projetam na origen) como centros de blow-up.

Se uma folhea¸cãoF admite uma redu¸cão de singularidades RI como acima, então obtemos que todos os pontos de MN são simples para o par FN, EN (no sentido de

F. Cano). Em cada etapa, o divisor excepcional Es _{´e a uni˜ao do transformado dos}

divisores gerados em etapas anteriores com o novo divisor Ds

s =πs−1(Ys−1). Ou seja,

E1 ₌_D1

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E2 ₌_D2

1 ∪D22, onde D22 =π2−1(Y1) y D21 ´e o transformado porπ2 deD11, ...

EN ₌_DN

1 ∪D2N ∪ · · ·DNN onde DNN =π−1N (YN−1). Um divisor Ds

j ⊂ Es ´e invariante se ´e uma separatriz de Fs (quer dizer, fora

do lugar singular é uma folha de Fs). Caso contrário, decimos que é

generi-camente transversal ou dicr´ıtico. Em cada etapa Ms, a pr´e-imagen da origem

(π1 ◦π2 ◦ · · · ◦πs)−1(0) ´e uma uni˜ao conexa de divisores compactos e de curvas

compactas. No segundo caso, a curva compacta está contida em um divisor não compacto que é um germe ao redor da curva.

Os pontos de MN s˜ao simples para o par FN, EN e h´a uma lista concreta de

equa¸cões que descrevem localmente a folhea¸cão em cada ponto contemplando to-das as possibilidades. Esquematicamente, podemos descrever os pontos simples de acordo com seu tipo dimensional, que denominamos τ (o número de variáveis necessárias para escrever localmente a folhea¸cão no ponto). Em dimensão três, temos 1 ≤ τ ≤ 3. Além disso, se τp é o tipo dimensional do ponto p ∈ MN então

existem 3−τp campos de vetores tangentes a FN (localmente em p).

1. Os pontos de tipo dimensional 1 s˜ao os pontos regulares de FN.

2. Os pontos de tipo dimensional 2 s˜ao os pontos singulares de FN que est˜ao

contidos em uma ´unica curva do lugar singular Sing FN. S˜ao, essencialmente,

singularidades em dimens˜ao dois trivializadas por um campo de vetores ξ

tangente a FN. Para todo ponto p ∈ MN tal que τp = 2 podemos encontrar

um aberto tal que todos os pontos singulares de FN neste aberto tem tipo

dimensional igual a 2.

3. Os pontos de tipo dimensional 3 s˜ao os pontos de FN que est˜ao contidos em

trˆes curvas do lugar singular Sing FN. Podemos encontrar um aberto tal que

todos os pontos tem tipo dimensional mais baixo.

O objeto do nosso trabalho são as folhea¸cões RICH: são as folhea¸cões de (C3_,₀₎ que admitem uma redu¸cão de singularidades RI e tais que todos os pontos de MN

s˜ao simples para FN, EN e sem selas-n´o.

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racional). Seja F um germe de folhea¸c˜ao de (C3_,_{0) e}

σ:M′ →M = (C3,0)

uma redu¸cão de singularidades de F. Seja Γ ⊂ Sing F um germe de curva. Dize-mos que F é genericamente nodal ao longo de Γ se existe um germe de curva Γ′ _⊂ _Sing _F′_, _F′ ₌ _σ∗_F_{, tal que todos seus pontos de tipo dimensional 2 são} singularidades nodais em dimensão dois e σ(Γ′_{) = Γ. Dizemos que} _F _é

generica-mente dicr´ıtica ao longo de Γ se existe uma componente D do divisor excepcional

E′ _⊂_M′ _{que ´e genericamente transversal a} _F′ _{e tal que}_σ₍_D_{) = Γ.}

O resultado técnico que corresponde à Alternativa de Brunella Local é o seguinte:

Theorem 1 Seja F folhea¸c˜ao RICH de(C3_,₀₎ _{e suponha que}_F _{n˜ao admite germe}

de superf´ıcie anal´ıtica invariante. Ent˜ao tem-se uma das seguientes propriedades:

(a) Existe vizinhan¸ca W da origem 0 ∈ C3 tal que para cada folha L ⊂ W de F

em W existe curva anal´ıtica γ ⊂L com 0∈γ.

(b) Existe um germe de curva anal´ıticaΓ⊂(C3_,₀₎_{contida no lugar singular Sing}

F tal que F ´e genericamente dicr´ıtica ou genericamente nodal ao longo de Γ.

Como consequência do Teorema 1 obtemos que todas as folhas de F tem um final semi-transcendente. Outra consequência é que se não se tem (b)então tem-se

(a). Isto é, é poss´ıvel ver antes de redu¸cão de singularidades, olhando para as curvas do lugar singular Sing F, se existe uma vizinhan¸ca da origem tal que toda folha de

F nesta vizinhan¸ca cont´em um germe de curva anal´ıtica na origen.

Daremos uma breve descri¸c˜ao da demonstra¸c˜ao do Teorema 1.

Fixamos a redu¸cão de singularidades RI S. Queremos estudar as propriedades das folhasno espa¸co final MN e em etapas intermediárias Ms da redu¸cão de

singu-laridades.

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curva transversal a uma das separatrizes, uni˜ao com as separatrizes, ´e uma vizi-nhan¸ca da singularidade.

O mesmo fenômeno é observado em dimensão três. Um ponto nodal de tipo dimensional dois é, essencialmente, uma singularidade nodal em dimensão dois, e o comportamento das hojas é (localmente) o mesmo. Um ponto nodal de tipo dimensional três está localmente dado pela 1-forma

ω =λdx x +µ

dy

y −

dz z

ondeλ, µsão reais positivos não racionais. Observamos que duas das curvas do con-junto singular passando pelo ponto são genericamente nodais, isto é, seus pontos de tipo dimensional dois são nodais (neste caso, as curvas (x=z = 0) y (y=z = 0)); enquanto que a terceira curva (neste caso, (x=y= 0)) não é genericamente nodal. Tem-se que as folhas próximas à separatriz (z = 0) não estão próximas às outras duas separatrizes. Então temos a mesma situa¸cão que em dimensão dois: o satu-rado de uma curva transversal à separatriz (z = 0) em um ponto regular não é uma vizinhan¸ca da singularidade.

Um ponto CH simples não nodal de tipo dimensional dois é, essencialmente, uma singularidade CH simples não nodal em dimensão dois; portanto o comportamento das folhas é o mesmo que em dimensão dois. Um ponto CH simples não nodal de tipo dimensional três é tal que ou bem nenhuma, ou como máximo uma das curvas do conjunto singular passando pelo ponto é genericamente nodal. Em ambos casos, o saturado de uma curva transversal a uma das separatrizes em um ponto regular, união com as três separatrizes, é uma vizinhan¸ca da singularidade.

Consideramos, no espa¸co final MN, o subconjunto do lugar singular

Sing FN que é a união das curvas que são genericamente nodais. Dizemos que

uma componente conexa C deste subconjunto é uma componente nodal se todos seus pontos de tipo dimensional três são nodais. Isto é, uma componente nodal C ⊂

Sing FN ´e uma uni˜ao finita de curvas,

C =C1∪C2∪ · · · ∪Ck

tal queCi ´e uma curva irredut´ıvel genericamente nodal do lugar singular Sing FN e

para todo ponto q ∈ C com tipo dimensional trˆes tem-se que

(18)

Uma componente nodal poderia ser, portanto, uma barreira para o fluxo das folhas pr´oximas ao divisor excepcional EN_{. Contudo, as componentes nodais atuam como}

um guia para as folhas deFN que se acumulam sobre ela e desta maneira, estudando

seu comportamento, podemos tirar conclus˜oes sobre o comportamento destas folhas.

A folhea¸cão F, por hipótese, não admite germe de superf´ıcie anal´ıtica invari-ante; como consequência do método de Cano-Cerveau existe um divisor DN

j ⊂ EN

genericamente transversal tal que π(DN

j ) = 0. Ou seja, DNj ´e um divisor dicr´ıtico

e compacto. Se não existem componentes nodais para F,S então não há obstru¸cão no caminho das folhas até as componentes dicr´ıticas compactas. Portanto uma folhea¸cão RICH sem superf´ıcie invariante e sem componentes nodais em sua desin-gulariza¸cão produz uma vizinhan¸ca da origen formada por folhas que contém uma curva anal´ıtica invariante.

O trabalho principal da tese consiste em saber o que acontece quando existem componentes nodais para F,S. Fazemos um estudo fino da estrutura do lugar singular em etapas intermediárias da redu¸cão de singularidades S para provar o seguinte resultado (cuja demostra¸cão é a parte técnica mais importante do trabalho):

Proposition 2 Seja F folha¸c˜ao RICH sem superf´ıcie invariante e seja C ⊂ Sing

FN uma componente nodal. Ent˜ao C cumpre uma das seguintes propriedades:

1. C ∩EN

dic 6=∅, isto ´e, C alcan¸ca a parte dicr´ıtica do divisor excepcional EN.

2. C possui uma componente irredut´ıvel que n˜ao ´e compacta.

Vejamos como se recupera o Teorema 1 a partir da Proposi¸c˜ao 2. Suponhamos que todas as componentes nodais de F,S alcancem a parte dicr´ıtica compacta de

EN_{. Ent˜ao encontramos uma vizinhan¸ca da origen tal que toda folha de} _F _nesta

vizinhan¸ca cont´em um germe de curva anal´ıtica na origen. Agora suponhamos que existe uma componente nodalC que n˜ao alcan¸ca a parte dicr´ıtica compacta deEN_.

Então ou bem C chega até um divisor dicr´ıtico não compacto, ou bem uma das curvas irredut´ıveis de C é não compacta. Então existe um germe de curva anal´ıtica Γ⊂Sing F tal queF é genericamente dicr´ıtica ou genericamente nodal ao longo de Γ e o resultado segue.

A demostra¸cão da Proposi¸cão 2 é feita por redu¸cão ao absurdo: supomos que existe uma componente nodalC ⊂SingFN, que deixaremos fixada para sempre, que

n˜ao chega at´e a parte dicr´ıtica do divisor excepcional EN _{e tal que todas suas curvas}

irredut´ıveis são compactas. EntãoCs_{, a imagem de}_C _{na etapa intermediária} _M s da

(19)

1. Cs _∩_Es

dic = ∅, isto ´e, Cs n˜ao alcan¸ca a parte dicr´ıtica do divisor

excepcionalEs_.

2. Seja q ∈Ms um ponto tal que q ∈ Dis∩Dks ∩Dls onde Dsi, Dks, Dls

s˜ao divisores invariantes deEs _e _Ds

i ∩Dks ⊂ Cs. Ent˜ao exatamente

uma das outras duas interse¸cões dos divisores também está contida em Cs_{. Ou seja, tem-se ou bem}

D_is∩Ds_l ⊂ Cs _{, D}s

k∩Dls6⊂ Cs

ou bem

Ds_k∩D_ls⊂ Cs _{, D}s

i ∩Dsl 6⊂ Cs .

3. Sejaq ∈Msum ponto contido em dois ou trˆes divisores invariantes

deEs_{e seja}_Ds

i um divisor invariante deEsque cont´emq. Seja Γ ⊂

Sing Fs uma curva do conjunto singular que est´a genericamente

contida unicamente no divisor Ds

i e tal que q ∈ Γ. Chamemos

as curvas de interse¸c˜ao de Ds

i com os outros divisores invariantes

que contém q de barreiras. Então se a barreira é genericamente não nodal, Γ se prolonga ao outro divisor invariante con a mesma natureza; se a barreira é genericamente nodal, Γ se prolonga ao outro divisor porém sua natureza muda. Ou seja:

3.1 Se Γ é não nodal e a barreira é não nodal, o prolongamento de Γ é não nodal.

3.2 Se Γ é não nodal e a barreira é nodal, o prolongamento de Γ é nodal.

3.3 Se Γ é nodal e a barreira é não nodal, o prolongamento de Γ é nodal.

3.4 Se Γ é nodal e a barreira é nodal, o prolongamento de Γ é não nodal.

4. SejaC ⊂ Cs _{uma curva que est´a genericamente contida em um ´}_unico

divisor invariante deEs_{, que chamamos}_Ds

i. Ent˜ao n˜ao existe curva

Γ⊂SingFs que est´a genericamente contida unicamente no divisor

Ds

i e tal que C∩Γ6=∅.

Est´a claro que C cumpre as propriedades 1-4 no espa¸co final MN, j´a que todos

os pontos de MN são simples. O que é notável é que o comportamento final deC já

(20)

as propriedades 1-4 chegamos a uma contradi¸cão e demonstramos que uma compo-nente nodal C que não chega à parte dicr´ıtica do divisor excepcional EN _{e tal que}

todas suas curvas irredut´ıveis são compactas não pode existir. Com isto terminamos a demonstra¸cão da Proposi¸cão 2.

Finalmente, vejamos como se recupera a Alternativa de Brunella Local a partir do Teorema 1. H´a dois tipos poss´ıveis de finais de folhas semi-transcendentes:

• O final cont´em um germe de curva anal´ıtica na origen.

• O final se acumula, após redu¸cão de singularidades, unicamente no lugar sin-gular Sing FN. Neste caso, a única possibilidade de acumula¸cão é em uma

componente nodal.

(21)

0 Introduction

It is a question of M. Brunella to decide if the following alternative is true:

Let F be a singular holomorphic foliation of codimension one in the pro-jective space P3. If there is no projective algebraic surface invariant by

F, each leaf is a union of algebraic curves.

The answer to this question is known [10] to be positive in the case of a generic pencil of foliations.

This work concerns a local version of the above alternative. Consider a germF

of singular holomorphic foliation of codimension one in (C3_,_{0) and assume that it} has no invariant germ of analytic surface. We prove, under some conditions on the foliation, that there exists a neighborhood of the origin which is a union of semi-transcendental leaves.

A key remark for understanding germs of foliations without invariant germs of surface is that they must be dicritical. In a general we say that F is dicritical if there exists a holomorphic germ of map

φ : (C2_,₀₎ _→ _(C3_,₀₎

(x, y) 7→ (φ1(x, y), φ2(x, y), φ3(x, y))

such that φ((y = 0)) is invariant by F and the pullback φ∗_F _{of the foliation} _F co-incides with the foliationdx= 0 in (C2_,_{0). In [5] it is proved that any nondicritical} foliation in (C3_,_{0) has an invariant germ of analytic hypersurface; this is also true} in any ambient dimension [8].

In this paper we consider only Relatively Isolated Complex Hyperbolic germs of foliations in (C3_,_{0), that we shall refer to as “RICH foliations”, for short. A germ}_F of singular holomorphic foliation of codimension one in (C3_,_{0) is a RICH foliation} if there exists a reduction of singularities for F

S : (C3,0) =M0

π1

←−M1

π2

←− · · · πN

←−MN

such that for any 1 ≤k≤N we have

1. The center Yk−1 ⊂ Mk−1 of the blow-up πk is nonsingular, has normal

cross-ings with the total exceptional divisor Ek−1 _⊂ _M

(22)

2. The intersectionYk−1 ∩(π1◦π2◦ · · · ◦πk−1)−1(0) is a single point.

Moreover, we ask (Complex Hyperbolic) that all the points of MN are simple and

without saddle-nodes in the sense of the general reduction of singularities in dimen-sion three [4].

The condition “Complex Hyperbolic” has been frequently considered since the publication of the paper [2], where the authors consider germs of foliations in di-mension two, called “generalized curves”, without saddle-nodes in the reduction of singularities.

The condition “Relatively Isolated”is less restrictive than “Absolutely Isolated”. It contains as examples the case of equireduction along a curve and the foliations of the type df = 0, where f = 0 defines a germ of surface with absolutely isolated singularity. The absolutely isolated singularities of vector fields have been studied in [1], whereas for the case of codimension one foliations on (C3_,_{0) the singular locus} has codimension two unless we have a holomorphic first integral as proved in [14]. Anyway, in the paper [7], the authors consider foliations desingularized essentially by punctual blow-ups, which gives also a condition more restrictive than being Rel-atively Isolated.

Let us recall, see for instance [16], that a germ of foliationGon (C2_,_{0) contains a}

nodal separator if in the reduction of singularities there is a singularity analytically equivalent to dy−λdx = 0 where λ is a non rational positive real number.

Consider a germ of curve Γ contained in the singular locus of F. We say that

F is generically dicritical along Γ if it is dicritical at a generic point of Γ. This is equivalent to saying that in the reduction of singularities S there exists a dicritical (generically transversal) component D of the exceptional divisor EN _⊂ _M

N such

thatπ1◦π2◦ · · · ◦πN(D) = Γ. Moreover, we can verify this fact at the equireduction

points of Γ by doing an essentially two-dimensional reduction of singularities [4]. If

F is not generically dicritical along Γ, it is known [4] that the equiredution along Γ is given by the (nondicritical) reduction of singularities of the restrictionG ofF to a plane section transversal to Γ at a generic point. In this case, we say thatF is gener-ically nodal along Γ if this is such a plane transversal sectionGhas a nodal separator.

The main result in this work my be stated as follows:

Theorem Let F be a RICH foliation in (C3_,₀₎_{. Assume that there is no germ of}

(23)

1. There exists a neighborhood W of the origin 0 ∈ C3 such that for each leaf

L⊂W of F in W there is an analytic curve γ ⊂L with 0∈γ.

2. There is an analytic curve Γ contained in the singular locus Sing F such that

F is generically dicritical or generically nodal along Γ.

(24)

1 Preliminaries

1.1 Codimension one holomorphic foliations

Let M be a complex manifold of dimension n and let ΩM be its cotangent sheaf

-that is to say, it is the sheaf of germs of differential holomorphic 1-forms over M. A

holomorphic singular foliation of codimension one F, over M, is an integrable and invertible OM-submodule of ΩM such that the quotient ΩM/F is torsion-free. This

means that for each point p ∈ M we can find local coordinates x1, x2, . . . , xn such

that the stalk Fp is generated by a differential 1-form

Ω =

n

X

i−1

bidxi, bi ∈ OM,p

where Ω∧dΩ = 0 and the coefficients b1, b2, . . . , bn have no common factor. The

singular locus Sing F is locally given by

Sing F ={b1 =b2 =· · ·=bn = 0} .

It is a closed analytic subset of M of codimension ≥ 2. An irreducible element

f ∈ OM,p (resp. ˆOM,p) is a separatrix (resp. formal separatrix) if, and only if, f

divides Ω∧df. This means that, outside Sing F, the closed analytic hypersurface (f = 0) is contained in a leaf of F.

Though the description ofF near a singular point can be quite complicated, the theorem below asserts that, on the other hand, in a neighborhood of a regular point this task is much simpler:

Theorem 2 (Frobenius) Let Ω be an integrable 1-form over M and p a point such that Ω(p) 6= 0. There exist two germs of functions u, f ∈ OM,p such that

u(p)6= 0, df(p)6= 0 and

Ωp =udf .

It is sometimes useful to regard a foliation F as adapted to a normal crossings divisor E ⊂M.

A subset E ⊂ M is a normal crossings divisor on M is a union of finitely many nonsingular hypersurfaces such that at each point p ∈ M we can find local coordinates x1, x2, . . . , xn such that

E =

e

Y

i=1

xi = 0

!

(25)

Let ΩM[−E] be the sheaf of germs of differential meromorphic 1-forms overM which

have at most simple poles alongE. Aholomorphic codimension one foliation adapted to E over M is a pair (F, E) whereF is an OM-submodule of ΩM[−E] such that

(a) F is locally free of rank one. (b) F ∧dF = 0.

(c) ΩM[−E]/F is torsion-free.

Let’s take a moment to explain the consequences of this definition at each point of M. Let JE be the sheaf of ideals that define the divisor E ⊂M and fix a point

p ∈ M; we may choose local coordinates x1, x2, . . . , xn (which are simply a regular

system of parameters of the local ring OM,p) such that

JE,p=

Y

i∈A

xi

!

· OM,p, A⊂ {1,2, . . . , n} .

Then the stalk ΩM,p[−E] is generated by

dxi

xi

i∈A

∪ {dxi}i /∈A .

Therefore, Fp is generated by a differential meromorphic 1-form

ω=X

i∈A

ai

dxi

xi

+X

i /∈A

aidxi, ai ∈ OM,p

such that ω∧dω = 0 and a1, a2, . . . , an have no common factor.

Let F(M, E) be the space of holomorphic codimension one foliations adapted to E. Given (F, E)∈ F(M, E) and a point p ∈ M, the adapted order νp(F, E) is

(using the notation above)

νp(F, E) = min{νp(ai);i= 1,2, . . . , n}.

The singular locus of (F, E) is given by

Sing (F, E) ={p∈M; νp(F, E)≥1} .

It is a closed analytic subset of X and since ΩM[−E]/F has no torsion, it has

(26)

IfE =∅, we recover the usual notion of holomorphic codimension one foliation. Furthermore, there is a bijection

hol : F(M, E)→ F(M,∅) defined by the following property:

If (G,∅) = hol(F, E), then G

M−E =F

M−E .

This implies that if Fp is generated by the 1-form ω above, then Gp is generated by

Ω = Y

i∈A∗

xi

!

ω ,

where A∗ ₌ _{i _∈ _A_;_x

i does not divide ai}. Note that xi = 0 where i ∈ A∗ are

precisely the components of E that are separatrices.

Now fix (G,∅) ∈ F(M,∅) and a point p ∈ M. Assume Gp is generated by the

1-form Ω above. We have already defined what is a separatrix (resp. formal separa-trix) of (G,∅). An invariant analytic space of (G,∅) is an irreducible closed analytic space K ⊂M such that Ω

K = 0 at nonsingular points of K. In this case, we’ll say

thatK isinvariant by G. IfH ⊂M is an analytic hypersurface which is invariant for

G, then it defines, at each pointp∈H, a separatrix ofG. Conversely, an irreducible hypersurface H ⊂M is invariant for G if and only if it defines a separatrix at each point p∈H.

Let (F, E)⊂ F(M, E) and fix and irreducible component D of E. We sayF is anondicritical component ofE for (F, E) if and only ifDis invariant for hol(F, E). Otherwise we say thatF is adicritical component of E for (F, E). Therefore, using the notation above, we have that

A∗ =ni∈A; (xi = 0) is a nondicritical component for (F, E)

o

.

Let Y ⊂ M be a nonsingular analytic subspace of M. We say that Y has normal crossings with E if the following holds: at each point p∈Y there are local coordinates x1, x2, . . . , xn and sets A, B ⊂ {1,2, . . . , n} such that

E = Y

i∈A

xi = 0

!

and Y =\ nxi = 0; i∈B

(27)

locally at p. AssumeY andE have normal crossings and letπ :M′ _→_M _{be a} blow-up centered atY. CallE′ ₌_π−1₍_E_∪_Y_{) (with reduced structure); then}_E′ _⊂_M′ _{is a} normal crossings divisor on M′. Now, if (F, E)∈ F(M, E) and hol(F, E) = (G,∅), there exist unique (F′_{, E}′₎_{∈ F}₍_M′_{, E}′_{) and (}_G′_,_∅₎_{∈ F}₍_M′_,_∅_{) such that}

F′

M′₋_π−1₍_Y₎ =F

M−Y and G

′

M′₋_π−1₍_Y₎ =G

M−Y

under the isomorphism π : M′ ₋_π−1₍_Y₎ _→ _M ₋_Y_{. Furthermore hol(}_F′_{, E}′_{) =} (G′_,_∅_{). In this situation, we say (}_F′_{, E}′_{) is the} _{adapted strict transform} _{of (}_{F, E}₎ by π and that (G′_,_∅_{) is the} _{strict transform} _{of (}_G,_∅_{) by} _π_{. We denote} _π∗_F ₌ _F′_,

π∗_G ₌_G′_.

We will go into more detail about the properties of blow-up morphisms in the next section.

In this work, we will consider holomorphic codimension one foliations of (C3_,_{0) =}

M. At some points, however, we will regard the restriction of these foliations to a non-invariant transversal two-dimensional section, which results in a codimension one foliation of C2. Thus in this chapter we also recall some concepts, definitions and results concerning foliations in dimension two.

1.2 Blow-up morphisms

Let M be a complex manifold, dim M =n. In this section, we recall the definition of the blow-up of a point p∈M, and the definition of the blow-up of a smooth an-alytic subset S⊂M that has normal crossings withM and such that codim S≥2. We focus our attention in the local equations. We refer to the vast literature for the universal property of the blow-up, the properness and other intrinsic properties of these morphisms.

Consider the set

Σ =n(x, X)∈Cn×Pn−1; x∈Xo .

Let’s write x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ Cn, X = [X1 : X2 : · · · : Xn] ∈ Pn−1. So x ∈ X

means that [x] = [(x1, x2, . . . , xn)]∈Pn−1 is precisely

(28)

Since (x1, x2, . . . , xn) ∼ (X1, X2, . . . , Xn) if and only if there exists a λ ∈ C∗ such

that (x1, x2, . . . , xn) =λ(X1, X2, . . . , Xn), we get that, whenever xj, Xj 6= 0,

x1

X1 = x2

X2

=· · ·= xn

Xn

=λ .

So whenever xj, Xj 6= 0, the equations

xi

xj

= Xi

Xj

, i6=j

define the set Σ⊂Cn_×_Pn−1_{. We regard Σ with the induced topology of}_Cn_×_Pn−1_.

Consider the first projection

π: Σ → Cn

(x, X) 7→ x .

Suppose x= (x1, x2, . . . , xn) ∈Cn, x6= 0: there exists a i ∈ {1,2, . . . , n} such that

xi 6= 0. Therefore [x]∈Pn−1 is well defined, and we may putπ−1(x) = (x,[x])∈P.

So apart from the choice of representant of the class [x],π is injective. Naturally, π

is surjective. Therefore

π : Σ−π−1(0)→Cn− {0}

is a isomorphism. We have that π−1_{(0) = (0}_,_[_a

1 : a2 : · · · : an]) such that 0 ∈

λ(a1, a2, . . . , an); thus

π−1(0) ={0} ×Pn−1 ≃Pn−1 .

The map π is called the blow-up of the origin of Cn, the set π−1_{(0) is called} the exceptional divisor and the set Σ ∪ π−1_{(0) is the new ambient space, also of} dimension n.

Now we would like to write the mapπ inlocal charts. Let

Hj =

n

[a1 :a2 :· · ·:an]∈Pn−1; aj 6= 0

o

.

Note that Hj ≃Cn−1. We put

Σj = Σ∩(Cn×Hj) =

n

(x, X); Xj 6= 0

o

.

Finally, we define

Φj : Σj → Cn

(x, X) 7→ X1_X

j,

X2 Xj, . . . ,

Xj−1 Xj , xj,

Xj+1 Xj , . . . ,

Xn

Xj

(29)

The mapπ◦Φ−1_j will give the expression ofπin the local chart Σj. For instance,

in the case n = 2, we have

Φ1 : Σ1 −→ C2

((x1, x2),[X1 :X2]) 7→

x1,X2_X1

and

Φ2 : Σ1 −→ C2

((x1, x2),[X1 :X2]) 7→

X1 X2, x2

_.

So

Φ−1₁ : C2 − {(0, y)} −→ Σ1

(a, b) 7→ (a, ab),[1 :b] and

Φ−1₂ : C2− {(x,0)} −→ Σ2

(a, b) 7→ (ab, b),[a: 1] . Hence

π◦Φ−1₁ ((a, b)) = (a, ab) is thefirst local chart , π◦Φ−1₂ ((a, b)) = (ab, b) is the second local chart .

Ifn = 3, we have

Φ1 : Σ1 −→ C3

((x1, x2, x3),[X1 :X2 :X3]) 7→

x1,X2_X1,X3_X1

_,

Φ2 : Σ2 −→ C3

((x1, x2, x3),[X1 :X2 :X3]) 7→

X1 X2, x2,

X3 X2

_,

Φ3 : Σ3 −→ C3

((x1, x2, x3),[X1 :X2 :X3]) 7→

X1 X3,

X2 X3, x3

_.

So

Φ−11 : C3− {(0, y, z)} −→ Σ1

(a, b, c) 7→ (a, ab, ac),[1 :b :c] , Φ−1₂ : C3− {(x,0, z)} −→ Σ2

(30)

Φ−1₃ : C3 − {(x, y,0)} −→ Σ3

(a, b, c) 7→ (ac, bc, c),[a:b: 1] . Therefore

π◦Φ−1₁ ((a, b, c)) = (a, ab, ac) is thefirst local chart , π◦Φ−1

2 ((a, b, c)) = (ab, b, bc) is the second local chart ,

π◦Φ−1₃ ((a, b, c)) = (ac, bc, c) is the third local chart .

So in dimensionn, we will have Φ−1_j : Cn− {xj = 0} → Σj

(x1, . . . , xn) 7→

(x1xj, x2xj, . . . , xj−1xj, xj, xj+1xj, . . . , xnxj),

[x1 :· · ·:xj−1 : 1 : xj+1:· · ·:xn]

and therefore

π◦Φ−1_j ((x1, . . . , xn)) = (x1xj, x2xj, . . . , xj−1xj, xj, xj+1xj, . . . , xnxj)

is the j-th local chart of the blow-up of the origin 0∈Cn_.

Now we wish to perform the blow-up of an analytic subset S ⊂ M that has normal crossings withM and such that codim S ≥2. For each pointp∈S, we can find local coordinates at psuch that

S =

 Y

i∈Ap

xi = 0



 where Ap ⊂ {1,2, . . . , n} .

To make the notation easier, we will write

S =x1 =x1 =· · ·=xk = 0

, k≤n−2.

The only coordinates we will modify will be x1, x2,· · ·, xk; the others will be kept

as they are. Naturally, when we perform the blow-up of the origin, we modify all coordinates given that

{0}={x1 =x2 =· · ·=xn = 0} .

Forj = 1,2, . . . , k, we will once again consider the sets

Σj = Σ∩(Cn×Hj) =

n

((x1, . . . , xn),[X1 :· · ·:Xn]); Xj 6= 0

o

(31)

Now we will define the maps Ψj : Σj → Cn

(x, X) 7→ X1 Xj,

X2 Xj, . . . ,

Xj−1 Xj , xj,

Xj+1 Xj , . . . ,

Xk

Xj, xk+1, . . . , xn

_.

So

Ψ−1_j : Cn− {xj = 0} → Σj

(x1, . . . , xn) 7→

(x1xj, . . . , xj−1xj, xj, xj+1xj, . . . , xkxj, xk+1, . . . , xn),

[x1 :· · ·:xj−1 : 1 : xj+1 :· · ·:xk : xk_x+1_j :. . .: x_xn_j]

and

π◦Ψ−1_j ((x1, . . . , xn)) = (x1xj, . . . , xj−1xj, xj, xj+1xj, . . . , xkxj, xk+1, . . . , xn)

is the j-th local chart of the blow-up of S∈Cn. For each point p∈S, we have that

π◦Ψ−1_j (p)≃Pk−1 .

For example, suppose we want to blow-up the z-axis of C3, Z = {x = y = 0}. We will consider the maps

Ψ1 : Σ1 → C3

((x1, x2, x3),[X1 :X2 :X3]) 7→

x1,X2_X1, x3

and

Ψ2 : Σ2 → C3

((x1, x2, x3),[X1 :X2 :X3]) 7→

X1

X2, x2, x3

_.

Therefore

Ψ−11 : C3− {(0, y, z)} → Σ1

(a, b, c) 7→ (a, ab, c),[1 :b: c_a] and

Ψ−1₂ : C3− {(x,0, z)} → Σ2

(a, b, c) 7→ (ab, b, c),[a: 1 : c b]

_,

thus we have

π◦Ψ−1₁ ((a, b, c)) = (a, ab, c) is thefirst local chart , π◦Φ−1₂ ((a, b, c)) = (ab, b, c) is thesecond local chart .

(32)

Figure 1: Explosion of the origin of R2

For example, ifπ:M′ _→_M _{= (R}2_,_{0) is the blow up of the origin in} _R2 _{we have} that

π◦φ−1₁ (x, y) = (x′, x′y′) , π◦φ−1₂ (x, y) = (x′′y′′, y′′) .

Hence the change of coordinate is given by y′ 7→ 1

x′′ and π

−1₍₀₎_≃_P1_.

1.3 Simple singularities in dimension two

Throughout this section, M will denote a complex manifold of dimension two. Let

F be a holomorphic codimension one foliation of M, and let p ∈ M be a singular point of F. Given local coordinates x, y at p, let ω = a(x, y)dx+b(x, y)dy be a generator of F.

Definition 1 We say that p is a simple singularity of F if the jacobian matrix

Jp(ω;x, y) =

    

−∂b

∂x(p) − ∂b ∂y(p) ∂a

∂x(p) ∂a ∂y(p)

    

has two eigenvalues, (λ, µ) 6= (0,0), such that if λµ 6= 0 then λ/µ /∈ Q>0. We say

(33)

This definition depends neither on the choice of generatorω nor on the choice of local coordinates. Thus we can rewrite the local generator of F as

ω= (λxdy−µydx) +ω1, where the coefficients of ω1 have order ≥2.

Remark 1 There are exactly two formal invariant curves at the origin, Γx and Γy,

tangent to Lx =T0(x= 0) and Ly =T0(y = 0) respectively. The directions Lx and

Ly are called the proper directionsof the singular point 0∈C2. Ifµ6= 0 thenLx is a

strong proper direction, and it is weak otherwise; the same for Ly. Briot-Bouquet’s

Theorem asserts that if Lx is strong, then Γx is convergent.

This discussion is resumed in the following lemma, whose proof we omit (it may be found in [6]):

Proposition 3 Through a simple singularity pass exactly two formal curves, at least one of them convergent.

One very important characteristic of the simple singularities is that they are stable under blow-up.

Proposition 4 Let π : M1 → M0 = M be the blow-up morphism centered at p.

Suppose thatp is a simple singularity ofF such that the quotients of the eigenvalues are {α,1/α}. Let F1 be the strict transform of F. Then

1. the exceptional divisor E =π−1₍_p₎ _{is invariant by} _F_;

2. the foliation F1 has exactly two singular points, p1, p2 in E, and the quotients

of the eigenvalues are, respectively,

α−1, 1 α−1

,

α

1−α,

1−α α

.

In particular, the points p1, p2 are simple singularities of F1.

In [16], J-F. Mattei and D. Mar´ın give the following definition:

Definition 2 Let F be a codimension one foliation ofM, dim M = 2. A point p∈

Sing F is a nodal singularity if the 1-form that generates F locally at p is given by

ωp = (λ1y+· · ·)dx+ (λ2x+· · ·)dy

(34)

Remark 2 The topological characterization of a nodal singularity is the existence of a saturated closed set whose complement is disconnected and such that each connected component is a neighborhood of one of the two separatrices (without the origin). That is to say, this saturated closed set acts like a separator of leaves of the foliation near the separatrices at the point. Suppose Γx = (x = 0), Γy = (y = 0)

are the two separatrices at p. So if ∆⊂M is a one-dimensional section transversal to Γy at a regular point q and not invariant by the foliation (say, for instance, that

∆ = {1} ×D), we have that SatF(∆) is not a neighborhood of the nodal point p. This phenomenon is not seen in the complex hyperbolic singularities which are not nodal: at those points, if ∆ is like before, then SatF(∆) is in fact a neighborhood of the singular point. We will study this situation in detail in Chapter 4.

1.4 Reduction of singularities in dimension two

This section is devoted to recalling, without much detail, the proof of a very known and important result due to Seidenberg [24], which can be stated as follows:

Theorem 3 Let F be a codimension one singular foliation of M, dim M = 2. There exists a morphism π : M →M0 =M, composition of finitely many blow-ups

centered at points, such that every singularity of π∗_F _{is simple.}

The proof of Theorem 3 is split in two parts: first we perform finitely many blow-ups centered at points in order to obtain pre-simple singularities; second, we make the passage from pre-simple singularities to simple ones, also by performing finitely many blow-ups.

Definition 3 LetF be a codimension one foliation ofM and letp∈M be a singular point of F. We will say p is a pre-simple singularity if, given local coordinates x, y

at p such that F is generated by the 1-form ω =a(x, y)dx+b(x, y)dy, the matrix

Jp(ω;x, y) =

     −∂b

∂x(p) − ∂b ∂y(p) ∂a

∂x(p) ∂a ∂y(p)

     is non-nilpotent.

(35)

X(x, y) =b(x, y) ∂

∂x +a(x, y) ∂ ∂y

has one nonzero eigenvalue. Like the simple singularities, the pre-simple singularities are also stable under blow-up. Let p ∈M be a pre-simple point of F which is not a simple singularity. Then the vector field X locally at p has one of the following types:

1. X =mx ∂ ∂x +ny

∂

∂y +· · · , m, n∈Z>0 ;

2. X =x ∂

∂x + (y+x) ∂

∂y +· · · .

We will now exhibit a series of arguments which will lead to the proof of Theorem 3, but beforehand, let’s fix some notation.

Remark 3 - Notation Let F be a codimension one foliation of M. We will repeatedly work with a sequence

M =M0 ←−π1 M1 ←−π2 · · · ←−πN Mn← · · · (1)

composition of blow-ups morphisms such that:

− the center ofπ1 is a singular point ofF, p∈M =M0;

− the center ofπs is a point ps−1 ∈Ms−1, s≥2;

− Ds

s =π−1s (ps−1)≃P1;

− Ds

i is the strict transform by πs of Dsi−1, i < s;

− Es₌_Ds

1∪Ds2∪ · · · ∪Dss−1∪Dss is the exceptional divisor;

− F1 =π1∗F, . . . ,Fs =πi∗Fs−1, i≥2, where π∗iFi−1 denotes the trans-form ofFi−1 by πi.

Note that each Ds

i is isomorphic to P1 and that at each stage, the exceptional

divisor Es _{has normal crossings with} _M

s. We will fix E0 ⊂ M = M0, the first

divisor, to be the empty set. If Γs−1 ⊂Ms−1 is a curve, then Γs will denote its strict

transform by πs.

(36)

Lemma 5 LetF be a codimension one foliation of M, pa singular point of F, and let Γ be a formal nonsingular curve passing through p. Consider a sequence like (1) such that pi = Γi∩π−1i (pi−1). If pi is a singular point of Fi for every i∈N, then Γ

is an invariant curve of F.

Proof: Assume that Γ = (y= 0) locally atp. We wish to show that Γ1 is invariant by F1 and therefore Γ will be invariant by F.

Take local coordinates x′_{, y}′ _at _p

1 given by x′ = x, y′ = y/x. Note that Γ1 = (y′ _{= 0). The exceptional divisor} _E1 _{is given at} _p

1 by x′ = 0. Even if x′ = 0 is dicritical, we write a generator of (F1, E1) as

ω1 =a1(x′, y′)

dx′

x′ +b1(x

′_{, y}′₎_dy′ _,

where a1, b1 have no common factor. The fact that p1 is singular implies that

νp1(a1)≥1 .

We perform the second blow-up and we obtain

ω2 =a2(x′′, y′′)

dx′′

x′′ +b2(x

′′_y′′₎_dy′′

where x′′ ₌_x′ ₌_{x, y}′′ ₌_y′_/x′ _{and, putting}_ν

2 = min{νp1(a1), νp1(b1) + 1},

a2 =

1

x′′

ν2

a1+y′′b1

b2 =

1

x′′

ν2−1

b1 .

Note that ν2 ≥ 1. We repeat the argument. Note that y′ = 0 is invariant by F1 if and only if we have a1 =y′˜a1. Suppose, by absurd, that we have the contrary; thus we can write

a1 =xm1u1(x) +y′˜a1, u1(0)6= 0 .

a2 =xm2u2(x) +y′′a˜2, u2(0)6= 0 .

· · · , · · ·

The computations above show that m2 = m1 −ν2 < m1, but this cannot occur indefinitely and we arrive to a contradiction.

(37)

Remark 4 The result is also valid if Γ is a singular curve.

Given a pointp∈M and a divisor with normal crossingsE ⊂M, we will denote

ep(E) as the number of components ofE passing throughp. Given a foliationF and

a normal crossings divisorE, we denoteEinv, respectivelyEdic, the normal crossings

union of the invariant components of E byF, respectively dicritical components of

E by F.

Now we recall the definition of the Milnor number of a foliation at a pointp∈M. Let F be a codimension one foliation in M such that, given local coordinates x, y

at p,F is generated by the 1-form

ω=a(x, y)dx+b(x, y)dy .

The Milnor number of F at p, µp(F), is the intersection multiplicity of the curves

{a= 0} and {b= 0}at p,

µp(F) =ip(a, b) .

Suppose π1 : M1 → M is a blow-up centered at p, and put E1 = π1−1(p). Noether’s formula combines the multiplicity of intersection before and after π1:

ip(a, b) = νp(a)·νp(b) +

X

p′_∈_E1

ip′(a′, b′) ,

where νp(a), νp(b) are the orders of a, b at p and (we are considering the first local

chart, x=x′_{, y} ₌_x′_y′₎

a′(x′, y′) = 1

x′νp(a)a(x

′_{, x}′_y′₎

b′(x′, y′) = 1

x′νp(b)b(x

′_{, x}′_y′₎ _.

We use Noether’s formula to achieve the next result, whose proof we will omit but may be found in several places, such as in [6].

Lemma 6 Supposeπ1 :M1 →M is a blow-up centered at p, E1 =π1−1(p). If m be

the minimum of the multiplicities of a, b, then

1. µp(F) = m2−(m+ 1) + P p′_∈_E1

µp′(F1) if π₁ is nondicritical ;

2. µp(F) = (m+ 1)2−(m+ 2) +

P

p′_∈_E1

(38)

Let us start the proof of Theorem 3. In order to do that, let’s assume it is false; thus we can find an infinite sequence of blow-ups

S : M0 ←−π1 M1 ←−π2 · · ·

as in Remark 3 with the following conditions:

1. The centerpi−1 of πi is not a simple point of Fi−1; 2. Each pi ∈π−1i (pi−1) .

Let us show that S cannot exist.

Let Iq = µq(Fi)−eq(Einvi ); we wish to see the behavior of Iq under blow-ups.

Due to Lemma 6, if m≥2 and πi+1 is the blow-up centered at pi, dicritical or not,

we have that _X

p′_∈_Di+1

i+1

µp′(F_i+1)< µ_p

i(Fi) .

Thus for every point p′ _∈ _Di+1

i+1, µp′(F_i+1)< µ_p

i(Fi) and Ip′ < Ipi; that is to say, if

m ≥2,Ipi decreases with each blow-up. So let’s see what happens when m= 1.

Lemma 7 In the situation above,

− if m= 1 and πi+1 is dicritical, then pi is pre-simple;

− if m= 1, epi(E

i_{) = 2}_{, then} _p

i is pre-simple;

− if pi is not pre-simple, then Ipi ≥ Ip′ ∀ p

′ _∈ _Di+1

i+1. Furthermore, we

have a strict inequality if πi+1 is dicritical.

Proof: For the first assertion, consider the dicritical divisor Di_i₊₁+1: there exist two distinct points in D_ii+1₊₁ and two smooth curves, Γ1 and Γ2, invariant by Fi+1 and transversal to D_ii₊₁+1 at these points. Take local coordinates x, y at pi such that

πi+1(Γ1∪Γ2) = (xy= 0). Then Fi is generated by the 1-form

ω =ya(x, y)dx+xb(x, y)dy .

Since m= 1, eithera(pi)6= 0 or b(pi)6= 0; supposea(pi)6= 0. Then we can divideω

bya and obtain another generator for Fi, ω∗ =ydx+xb∗(x, y)dy. Thus the matrix

Jpi(ω

∗

1;x, y) =

⋆ ⋆

0 1

A Alternativa Local de Brunella

Brunella’s Local Alternative

Marianna Ravara Vago

Contents

Alternativa de Brunella Local - Resumen

Alternativa de Brunella Local - Resumo

0

Introduction

1

Preliminaries

1.1

Codimension one holomorphic foliations

1.2

Blow-up morphisms

1.3

Simple singularities in dimension two

1.4

Reduction of singularities in dimension two