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O ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES VIA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS

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O ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÕES VIA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS

HUMBERTO NASCIMENTO SAMPAIO JUNIOR

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O ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÃO VIA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS.

HUMBERTO NASCIMENTO SAMPAIO JUNIOR

Dissertação de Mestrado apresentada à Comissão

Acadêmica Institucional do PROFMAT-UFBA como

requisito parcial para obtenção do título de Mestre em

Matemática.

Orientadora: Profa. Dra. Ana Lucia Pinheiro Lima.

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O ENSINO-APRENDIZAGEM DE FUNÇÃO VIA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS.

HUMBERTO NASCIMENTO SAMPAIO JUNIOR

Dissertação de Mestrado apresentada à Comissão

Acadêmica Institucional do PROFMAT-UFBA como

requisito parcial para obtenção do título de Mestre em

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DEDICATÓRIA

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6

AGRADECIMENTOS

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RESUMO

A Matemática é a ciência dos números, dos cálculos e das formas. Desde tempos

remotos, o ser humano faz uso da Matemática para facilitar a vida e organizar a sociedade.

Assim, torna-se indispensável elaborar explicações simples, objetivas, baseadas em exemplos

cotidianos dos educandos, para um fácil entendimento. Deste modo, este trabalho busca

analisar a importância da resolução de problemas envolvendo funções de forma

interdisciplinar e suas aplicações no contexto social do aluno. Para tanto, tornou-se necessário

a divisão do trabalho em etapas, a saber: primeiro foi selecionado o público alvo, no caso em

questão, os professores de Matemática do Colégio Estadual Dr. Rômulo Almeida, localizado

no município de Santo Antônio de Jesus, Bahia, Brasil. Segundo foi aplicado um questionário

situacional, no intuito de verificar o domínio do conteúdo função por estes professores.

Terceiro foi feito uma oficina com estes professores sobre elaboração de problemas

contextualizados de funções. Quarto foi aplicado um questionário avaliativo com os

professores. Utilizou-se de uma amostragem não probabilística por conveniência. A pesquisa

classificou-se como exploratória analítica e descritiva. O estudo trata-se de um trabalho de

estudo de campo no qual foi identificado que os professores estão dispostos a fazer do ensino

da Matemática uma ação participativa interdisciplinar e prazerosa.

(8)

8

ABSTRACT

Mathematics is the science of numbers, calculations and forms. Since ancient times, humans

make use of mathematics to make life easier and organize society. Thus, it is essential to

develop simple explanations, objective, based on the students' everyday examples for easy

understanding. So, this paper seeks to analyze the importance of solving problems involving

functions across disciplines and their applications in the social context of the student. .

Therefore, it became necessary to divide the work in stages, as follows: Firstly we selected the

target audience, in this case, teachers of Mathematics at the State College Dr. Romulo

Almeida, located in the municipality of Santo Antônio de Jesus, Bahia, Brazil. Secondly. a

situational questionnaire was applied, in order to examine the content domain function by these teachers. Thirdly a workshop was done with these teachers about developing these

problems on contextualized functions. And to complete a questionnaire was administered to

teachers evaluation. We used a non-probability sample of convenience. The research was

classified as exploratory and descriptive analytic. The study deals with a job field study in

which it was identified that the teachers are willing to make the teaching of mathematics a

pleasurable and interdisciplinary participatory action.

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9

LISTA DE GRÁFICOS

Gráfico 1 – Grau de importância da resolução de problemas no ensino da Matemática... 36

Gráfico 2 – Utiliza resolução de problemas na sala de aula com seus alunos?... 36

Gráfico 3 – Qual a frequência?... 37

Gráfico 4 – Opinião oficina... 37

Gráfico 5 – Tema... 38

Gráfico 6 – Metodologia... 38

Gráfico 7 – Material didático... 39

Gráfico 8 – Foi positivo?... 41

Gráfico 9 – Disposição... 42

Gráfico 10 – Função afim... 46

Gráfico 11 – Função quadrática... 48

(10)

10

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 – Acertos dos professores... 32

(11)

11

Introdução... 12

1. A Pesquisa ... 13

2. Tema... . 14 3. Justificativa... 14

4. Relevância da Pesquisa ... 14

5. Limitações ... 14

6. Objetivos ... 15

6.1. Objetivos Gerais ... 15

6.2. Objetivos Específicos ... 15

7. Problema da Pesquisa ... 15 8. Hipóteses ... 16

8.1. Hipóteses básicas... 16

8.2. Hipóteses secundárias... 16

Capítulo 1 - Referencial Teórico... 17

1. A Matemática enquanto disciplina solucionadora de problemas... 17

2. Função, conceito e definição... 18

Capítulo 2 - Metodologia... 24

Capítulo 3 - Questionário Situacional... 26

Capítulo 4 - Oficina com os Professores... 33

Capítulo 5 - Resultado e discussões... 36

Capítulo 6 – Definições das funções estudadas... 43

Capítulo 7 - Problemas contextualizados... 53

Considerações Finais... 60

Referências Bibliográficas... 61

(12)

12

INTRODUÇÃO

Em decorrência das transformações sociais do mundo globalizado, os sistemas

educacionais tem passado por várias reformas, sendo alvo de grandes discussões, e contudo,

as mudanças nos modelos educacionais não vêm ocorrendo de forma homogênea. Entre as

várias tendências educacionais que norteiam o processo educacional, ainda prevalece a prática

tradicionalista caracterizada pela transmissão de conhecimentos, na qual, o professor fala e os

alunos participam executando os exercícios relacionados ao conteúdo trabalhado, conteúdo

esse, que muitas vezes não desperta o interesse do aluno, quer por falta de coesão com seu

dia-a-dia, quer pela forma a qual é transmitida pelo professor. Salve-se que, os fatores pelos

quais o educador resiste a essa prática estão relacionados à estrutura educacional vigente, no

que diz respeito à formação do profissional e também, ligado a política de desvalorização do

magistério. Muitos são os modelos educacionais adotados pelo nosso sistema e que são

trazidos de cima para baixo sem uma previa preparação do profissional, e muitas vezes sem

uma estrutura adequada, e que acabam não gerando bons resultados.

A verdade é que toda essa problemática remete a uma realidade educacional distante

do que se deve ter. A insatisfação do professor no exercício da profissão, bem como, o

desinteresse do aluno pela escola, coloca o Brasil numa posição longe da desejada no ranque

mundial em qualidade de ensino. Diante desse quadro, há uma necessidade gritante de

inovação e mudança na prática pedagógica. É preciso resgatar o interesse do aluno pela escola

e colocar a sua realidade como parte do objeto de estudo.

Um dos grandes problemas é que, na maioria das escolas, o ensino da Matemática

ainda fica restrito a utilização de métodos e fórmulas para resolução de exercícios trazidos

pelos livros didáticos e que, na maioria das vezes, não faz referência ao contexto social do

aluno.

A contextualização acontece de forma limitada no estudo do cálculo algébrico por

conta das dificuldades de formação dos docentes, aos fatores já mencionados acima e também

pela excessiva carga horária de trabalho dos professores, o que ocasiona a falta de tempo

necessária para uma boa preparação de suas aulas. Nessa prática vigente é comum ouvir do

(13)

13

sendo que muitas vezes, o meio no qual o aluno está inserido, é rico em situações que cabem a

relação e a aplicação prática dos conteúdo teóricos estudados nas escolas e, no entanto, tais

considerações não são feitas.

Sendo o conceito de função um conteúdo de grande importância no desenvolvimento

de outros conteúdos matemáticos e com muita aplicabilidade no dia-a-dia, sente-se a

necessidade de desenvolver um trabalho diferenciado que possa contribuir significativamente

para a vida dos estudantes, que estes possam compreender as relações deste tópico com a

prática diária e dessa forma mostrar o sentido de estudar “pra que”. E, também perceber que o

estudo de função está relacionado, com a Física, com a Biologia, com a Química, com a

Economia, com as questões ambientais, uma vez que é entendida como duas grandezas que se

relacionam e que uma está em função da outra.

Vale ressaltar que nos dias atuais é relevante a crise em que se encontra a

Matemática escolar. Infelizmente, o nosso país segue o ritmo do sistema capitalista,

reproduzindo assim, os conhecimentos de acordo com os interesses da classe dominante. Em

contrapartida, é papel dos educadores buscarem formas eficientes, promissoras e que sejam

confiáveis e autônomas para melhoria do ensino, criando meios e traçando metas que possam

ser úteis aos educandos enquanto cidadãos.

A Proposta fundamental deste trabalho é propor aos professores uma forma de inovar

e transformar o ensino do conteúdo função na disciplina Matemática, do Colégio Estadual Dr.

Rômulo Almeida em Santo Antonio de Jesus, propondo a elaboração de problemas de forma

contextualizada observando que, o ensino médio tem como finalidade preparar o aluno para

vida, é necessária a adequação do ensino da Matemática para o desenvolvimento e promoção

de estudantes com diferentes interesses e capacidades.

1. A Pesquisa

Foi percebido no decorrer da elaboração de atividades docentes é frequente a falta de

associação nos problemas tratados na disciplina Matemática com o dia-a-dia do estudante

fazendo com que os educandos sintam dificuldades no aprendizado da disciplina. Este fato

tem despertado o interesse em propor um trabalho que atenda aos anseios dos alunos e que

(14)

14 2. Tema

Função

3. Justificativa

Sabe-se, em parte, que os problemas educacionais são originários de uma prática

pedagógica tradicionalista e que se limita a utilização do livro didático, onde as situações

propostas não retratam a realidade social do aluno, tornando o estudo desinteressante e sem

significado.

A educação na perspectiva da transformação deve estar pautada na concepção de

aprendizagem, ou seja, o ensino deve abordar os conceitos a partir da realidade sóciopolítica e

econômica dos educandos, objetivando a construção coletiva dos conhecimentos.

Assim, a partir do conhecimento matemático, o aluno desenvolve estratégias que o

auxiliem em situações do dia-a-dia. Neste sentido, as funções permitem essa busca da

compreensão do mundo, desenvolve o espírito criativo, o raciocínio lógico, ajudando o aluno

vislumbrar de outra forma o que é e para que serve a Matemática. Para tanto, nada melhor que

situações cotidianas que o envolva e o desafie, despertando o interesse pela disciplina.

4. Relevância da Pesquisa

Diante dos problemas educacionais e seus reflexos na qualidade de ensino, torna-se

de suma relevância propor ao educando uma concepção de educação, por meio de estudos

capazes de gerar aplicações no contexto social em que vive, rompendo assim com barreiras

que impedem os avanços nesta área.

Deste modo, tornando-se capazes de reconhecer a importância do alinhamento entre

o dia-a-dia e a teoria matemática, desenvolve-se nos estudantes o interesse pela disciplina.

5. Limitações

Em se tratando de um trabalho contextualizado é importante considerar a existência

de um conjunto de fatores que limitam as possibilidades de realizar uma pesquisa de

(15)

15

tema, o fator tempo é determinante, desde a elaboração e planejamento à execução das

atividades, até a análise dos resultados. Além do mais, a falta de livros paradidáticos que

abordem a questão inibe os avanços nessa ordem.

6. Objetivos

6.1. Objetivo Geral

Analisar junto aos professores (docentes) a importância da resolução de problemas

no ensino-aprendizagem do conteúdo funções, através do uso de problemas contextualizados.

6.2. Objetivos Específicos

 Estimular as habilidades interdisciplinares, criando vínculo de professor para

com professor;

 Apresentar propostas de mudanças na escola, no que se refere ao ensino de

função e aos aspectos metodológicos do planejamento, objetivando maior

participação e interesse na aprendizagem;

 Utilizar o conhecimento de função para o aperfeiçoamento da leitura, da

compreensão e ação sobre a realidade.

7. Problema da Pesquisa

Tradicionalmente, a avaliação da aprendizagem em Matemática parte do pressuposto que o “bom” aluno é aquele que consegue utilizar de forma “correta”, algoritmos e fórmulas na resolução de exercícios, que na maioria das vezes são réplicas fiéis dos exercícios feitos

em sala ou propostos pelos professores e livros didáticos.

Não queremos dizer com isso que a memorização não seja importante. Porém, ela

(16)

16

mecanismos de avaliação que desperte no aluno o interesse pela disciplina, conforme podem

ser verificados nos exemplos apresentados no capítulo 6 deste trabalho.

Neste contexto, a resolução de problemas entra como peça fundamental já que a

própria evolução da espécie humana é marcada pela solução de problemas, e a Matemática

sempre foi uma grande parceira do homem neste processo.

8. Hipóteses

8.1. Hipóteses Básicas

A dissociação das práticas do professor e o contexto social do aluno contribuem na

não aprendizagem do aluno no que se refere à resolução de problemas no ensino da

matemática.

8.2. Hipóteses Secundárias

 O professor se limita ao uso do livro didático, fazendo com que, as questões propostas

não traduzam a realidade do estudante.

 O professor busca a educação tradicionalista.

(17)

17

Capítulo 1

REFERENCIAL TEÓRICO

1. A Matemática Enquanto Disciplina Solucionadora de Problemas

A História da Matemática foi e está sendo construída a partir da resolução de

problemas, porque, se o homem não tivesse um problema para resolver, ele não iria pensar em

uma solução. Afinal, ainda existem muitas portas a serem abertas e muita coisa a ser

descoberta (CARVALHO 2005).

Resolver problemas matemáticos é parte essencial no ensino da disciplina

Matemática. No entanto a compreensão e aplicação de algoritmos, na forma de exercícios

repetitivos, tomam quase todo tempo das atividades nesta disciplina nas etapas que compõem

a educação básica (CARVALHO, 2005).

O ensino da Matemática passa assim a ser algo enfadonho e sem significado para o

educando, que passa a desgostar da disciplina logo nas séries iniciais. (CARVALHO, 2005).

Portanto, estudar Matemática é resolver problemas e desta maneira os professores desta

disciplina, em todos os níveis, possuem a responsabilidade de ensinar a arte de resolver

problemas. Para tanto, o primeiro passo nesse caso é propor o problema de uma maneira

adequada. (DANTE, 2005).

A compreensão dos conceitos de contextualização e interdisciplinaridade é

indispensável para que o professor possa elaborar problemas de aplicação significativos para

o educando (DANTE, 2005).

Tratar os conteúdos de ensino de forma contextualizada significa aproveitar ao

máximo as relações existentes entre esses conteúdos e o contexto pessoal ou social do aluno,

de modo a dar significado ao que está sendo aprendido, levando-se em conta que todo conhecimento envolve uma relação ativa entre o sujeito e o objeto do conhecimento

(18)

18

A sociedade atual determina uma experiência interdependente com os diferentes

campos do saber, entretanto, Freire (1996) já informava que a formação escolar atual pouco

colaborava para a integralidade do indivíduo devido à fragmentação do que é lecionado e a

insuficiência de comunicação dos saberes, que atrapalha o desenvolvimento de uma visão

sistêmica e globalizada sobre os acontecimentos notados durante as aulas o que

consequentemente trará implicações na vida do estudante.

O discurso tradicional tem como premissa a formação integral, contudo, o

aprendizado na realidade é realizado de modo adverso, centrado no individualismo de cada

matéria, impossibilitando deste modo a formação global e centrada no desenvolvimento de

potencialidades, habilidades e competências através das quais seriam gerados, cidadãos,

conscientes do seu papel nas áreas sociais e políticas (MORIN, 2004).

O método tradicionalista de educar está ultrapassado devendo conceder lugar para a

formação integral baseada no desenvolvimento de habilidades multifocais, uma vez que

entende-se por ensinar no compreender de Freire (1996, p. 119) “transferir a inteligência do

objeto ao educando, mas instigá-lo no sentido de que, como sujeito cognocente, se torne capaz

de inteligir e comunicar o inteligido”. Deste raciocínio nasce a precisão de que sejam

propostas novas técnicas e recursos capazes de proporcionar o estímulo ao estudante

despertando-o o interesse pela busca do conhecimento o qual, poder-se-á ser alcançado de

diversas formas, assim, dentro ou fora da escola, abarcando não exclusivamente os métodos

específicos existentes, mas gerando instrumentos de aquisição em consonância com a

realidade, e o cotidiano do aluno (FREIRE, 1996; MORIN, 2004).

2. Função, Conceitos e Definições

O conceito de função do ponto de vista matemático está definido na página 21 deste

trabalho. No entanto, a palavra função no cotidiano tem vários significados, como por

exemplo, a função da chave do carro é ligar o carro.

(19)

19

No final do século XII, com os trabalhos sobre movimento dos planetas, a

Matemática, começou a ser aplicada com sucesso aos problemas de movimento, hoje denominada de Cinemática e Dinâmica. Conforme Silva e Filho (2011, p. 68) “o conceito de variação começou a ser melhor aplicado e os fenômenos naturais identificados por leis que os regem. Essas leis são expressas por funções”.

Seguem, abaixo, alguns exemplos de definições do conceito de função ao longo do

tempo, a partir do século XVIII:

Jean Bernoulli, 1718:

Chama-se aqui de Função de uma variável uma quantidade

composta de alguma maneira qualquer dessa variável e de

constantes.

Euler, 1748:

Uma quantidade constante é uma quantidade determinada,

mantendo o mesmo valor permanentemente. [...] Uma

quantidade variável é uma quantidade indeterminada ou

universal que encerra em si todos os valores determinados.

[...] Uma função de uma variável é uma expressão analítica

composta de uma maneira qualquer de quantidades variáveis

e de números ou quantidades constantes.

J. L. Lagrange, 1797:

Chama-se função de uma ou várias quantidades variáveis

qualquer expressão para cálculo em que essas quantidades

entrem em alguma forma qualquer, misturadas ou não com

outras quantidades, que são consideradas como dadas, e

valores invariáveis enquanto as quantidades da função

podem tomar todos os valores possíveis.

J. B. J. Fourier, 1822:

Em geral, a função f(x) representa uma sucessão de valores

ou ordenadas, cada uma das quais arbitrárias. Sendo dada

uma infinidade de valores para a abscissa x, haverá um

número igual de ordenadas f(x). Todas têm valores

numéricos verdadeiros, ou positivos, ou negativos ou nulos.

Nós não supomos que essas ordenadas estão sujeitas a uma

lei comum; elas sucedem umas as outras em alguma

(20)

20

se fosse uma quantidade isolada.

G. L. Dirichlet, 1837:

Suponhamos que a e b sejam dois valores diferentes

definidos e x seja uma variável que pode assumir,

gradualmente, todos os valores localizados entre a e b.

Agora, se para cada x corresponde um único, finito y de tal

forma que, se x atravessa continuamente o intervalo de a a b,

y = f(x) varia da mesma forma gradualmente, então y é

chamado um função contínua de x para este intervalo. Não é,

em absoluto, necessário que y dependa de x no intervalo

todo de acordo com a mesma lei; de fato, não é em absoluto

necessário pensar somente em relações que possam ser

expressas por operações matemáticas. Geometricamente

representadas, isto é, x e y imaginados como abscissa e

ordenada, uma função contínua aparece como uma curva

conexa, para a qual somente um ponto corresponde a cada

abscissa entre a e b.

G. Peano, 1911:

Função é uma relação especial, que a qualquer valor da

variável faz corresponder um só valor. [...]

N. Bourbaki, 1939:

Sejam E e F dois conjuntos, distintos ou não. Uma relação

entre uma variável x de E e uma variável y de F é dita uma

relação funcional em y, ou relação funcional de E em F, se,

para todo x E, existe um e somente um elemento y de F,

que está na relação considerada com x.

É interessante verificar que ao longo do tempo, a definição do conceito de função é

subordinada fortemente aos problemas que ocupavam os matemáticos em determinada época.

Portanto, a necessidade de estudar os fenômenos naturais foi que fez surgir o

conceito de função.

(21)

21

texto de Dirichlet, e a definição atual com seu caráter mais abrangente, como a descrita por Bourbaki, onde não só a unicidade está presente, mas também a extensão da relação funcional para quaisquer dois conjuntos que não necessariamente devam ser numéricos. (COSTA, 2005, p.7)

Na Matemática, o conceito de função é um dos mais importantes. O conceito básico

de função é o seguinte: toda vez que temos dois conjuntos e algum tipo de associação entre

eles, que faça corresponder a todo elemento do primeiro conjunto um único elemento do

segundo conjunto, ocorre uma função.

Os PCNEMs delineiam o trabalho com este conceito fundamental em matemática no

ensino médio, no seguinte trecho:

O estudo de Funções pode ser iniciado com uma exploração qualitativa das relações entre duas grandezas em diferentes situações: idade e altura; área do círculo e raio; tempo e distância percorrida; tempo e crescimento populacional; tempo e amplitude de movimento de um pêndulo, entre outras. Também é interessante provocar os alunos para que apresentem outras tantas relações funcionais e que, de início, esbocem qualitativamente os gráficos que representam essas relações, registrando os tipos de crescimento e decrescimento (mais ou menos rápido). (PCNEM, p.72)

O uso de funções pode ser encontrado em diversos assuntos. Por exemplo, na tabela

de preços de uma loja, a cada produto corresponde um determinado preço. Outro exemplo

seria o preço a ser pago numa conta de luz, que depende da quantidade de energia consumida.

Dados dois conjuntos A e B, chama-se produto cartesiano de A em B ao conjunto

formado por todos os pares ordenados (x, y), onde x  A e y  B.

Definiremos por relação, qualquer subconjunto de um produto cartesiano.

O produto cartesiano A X B acha-se intimamente ligado à ideia de relação, ou mais

precisamente, relação binária. Uma relação (binária) R entre elementos do conjunto

A e elementos do conjunto B é uma condição ou um conjunto de condições que

permitem determinar, dados x A e y B, se x está ou não relacionado com y

segundo R. No caso afirmativo, escreve-se xRy. (ELON, 2006, p.80)

Observe, por exemplo, os diagramas das relações abaixo:

(22)

22

A relação acima não é uma função, pois existe o elemento 1 no conjunto A, que não

está associado a nenhum elemento do conjunto B.

A relação acima também não é uma função, pois existe o elemento 4 no conjunto A,

que está associado a mais de um elemento do conjunto B.

No exemplo:

a relação é uma função, pois todo elemento do conjunto A, está associado a somente um

elemento do conjunto B.

De modo mais formal, podemos escrever a definição de função como:

Dados dois conjuntos A e B, e uma relação entre eles, dizemos que essa relação é uma função de A em B se e somente se, para todo x  A existe um único y  B de modo

(23)

23

Numa função o primeiro conjunto é chamado de domínio (D), o segundo de

contradomínio (CD) e o conjunto formado pelos elementos do contradomínio que se relacionam com os elementos do Domínio é chamado de conjunto imagem (Im).

Por exemplo, observe a função f: A  B representada pelo diagrama a seguir:

Temos que:

i. O Domínio D = {1, - 3, 3, 2}

ii. O Contradomínio CD = {1, 4, 5, 9}

(24)

24

Capítulo 2

METODOLOGIA

Em sentido amplo, ciência (do latim scientia, traduzido por "conhecimento")

refere-se a qualquer conhecimento ou prática sistemáticos. Em refere-sentido estrito, ciência refere-refere-se ao

sistema de adquirir conhecimento baseado no método científico bem como ao corpo

organizado de conhecimento conseguido através de tais pesquisas.

A metodologia se preocupa em como chegar à captação e manipulação da realidade

justificada como ciência. Esta não acredita em mitos ou religião como forma de explicação.

No sentido amplo, a pesquisa envolve a busca da verdade. Para o inicio de toda pesquisa,

deve-se levar em conta a formulação de um problema, como uma dificuldade em que se deve

encontrar solução.

A pesquisa é classificada mediante os seus objetivos e procedimentos técnicos que

utilizam. Serão focalizados neste estudo apenas os tipos empregados nesta pesquisa. Diante

do problema levantado neste estudo, esta pesquisa será classificada com descritiva,

bibliográfica e de levantamento.

A pesquisa descritiva possui o objetivo principal de descrever as características de

uma população. Primordialmente, existe a observação dos fatos, o registro a análise,

classificação e interpretação dos mesmos, sem interferência do pesquisador. Objetiva

conhecer a realidade e interpretá-la, sem interferências.

A pesquisa descritiva usa padrões textuais como, por exemplo, questionários para identificação do conhecimento. A pesquisa descritiva tem por finalidade observar, registrar e analisar os fenômenos sem, entretanto, entrar no mérito de seu conteúdo. Na pesquisa descritiva não há interferência do investigador, que apenas procura perceber, com o necessário cuidado, a frequência com que o fenômeno acontece. É importante que se faça uma análise completa desses questionários para que se chegue a uma conclusão.(GIL, 1996. p.75)

As vantagens da pesquisa descritiva estão relacionadas com o fato de descrição dos

(25)

25

A classificação bibliográfica é empregada devido ao fato da existência de fontes de

pesquisa referentes ao tema, já elaborados e utilizados como fonte de estudo pelo pesquisador.

Entre este material, é valido destacar, livros, publicações avulsas, boletins, jornais, revistas,

pesquisas, teses, monografias, artigos científicos, materiais cartográficos, dentre outros.

Gil (1996, p. 56) caracteriza as pesquisa do tipo levantamento, como sendo a

interrogação direta das pessoas em que se deseja conhecer o comportamento. Na maioria dos

levantamentos não se pesquisam toda a população, existe uma seleção, uma amostra

significativa, que é tomada como objeto de investigação. Este é um dos muitos tipos de

pesquisa que apresentam vantagens e desvantagens em se colocarem em prática.

Como todos os outros tipos de pesquisa, existem limitações, dentre elas: ênfase nos

aspectos perceptivos, como a percepção representa o que a pessoa tem de si mesmo, os dados

podem ser distorcidos. Existe diferença entre o que as pessoas fazem e o que julgam correto

fazer; pouca profundidade no estudo da estrutura e dos processos sociais.

Visando conhecer as reais percepções dos professores da unidade escolar Colégio

Estadual Democrático de 2º Grau Dr. Rômulo Almeida localizada no município de Santo

Antônio de Jesus, a cerca da utilização de métodos modernos de ensino, foi adotada um

procedimento que se estabelecem três etapas, sendo a primeira, a aplicação de um

questionário utilizado por Costa (2008, p. 17) com os professores de Matemática da Unidade

Escolar com o intuito de verificar o nível de conhecimento destes sobre o conceito de função,

a segunda foi a realização de uma oficina com os professores na respectiva escola e a terceira

foi feita a coleta de dados. Procede à coleta de dados utilizando um questionário contendo 13

questões, sendo quatro abertas, permitindo que os entrevistados expressem livremente suas

ideias acerca do objeto pesquisado, e nove questões fechadas, permitindo a expressão direta

dos professores a cerca das ideias trabalhadas na oficina, segundo a ótica de cada participante.

É um conjunto de questões relacionado ao problema estudado, para serem respondidas pelo

(26)

26

Capítulo 3

QUESTIONÁRIO SITUACIONAL

No intuito de conhecer melhor os professores participantes da pesquisa, foi aplicado

um questionário utilizado por Cláudio Bispo de Jesus Costa, em sua Dissertação de Mestrado “O conhecimento do Professor de Matemática sobre o Conceito de Função”, que se encontra no BIT - Banco Indutor de Trabalhos, da Biblioteca Digital do PROFMAT.

Neste trabalho, Costa utilizou como amostra um grupo formado por trinta

professores de Matemática do ensino fundamental e médio, com idades variando entre vinte e

dois e cinquenta anos que participavam, no momento da pesquisa, do curso de Especialização

em Ensino de Matemática do Instituto de Matemática da UFRJ - Universidade Federal do Rio

de Janeiro, e cursavam a disciplina Funções Reais.

Este questionário foi entregue a cada um dos outros seis professores da referida

Unidade Escolar. No entanto, apenas quatro professores responderam, sendo que, dos dois

que não responderam um justificou pelo fato de não ser licenciado em Matemática e está

lecionando a disciplina por ser a única carga horária disponível na Unidade Escolar. O outro

não justificou.

Para aumentar a amplitude da pesquisa, o questionário foi aplicado também a

estudantes da disciplina Análise 1, semestre 2013.1 da UFBA - Universidade Federal da

Bahia. No curso, participavam onze estudantes, aos quais foi entregue o questionário, e dado

um prazo de quinze dias para o recolhimento. No entanto, apenas cinco entregaram o

questionário na data combinada.

(27)

27 Questão 01

Quais das situações abaixo se referem ao conceito de função? Justifique a sua

resposta.

a) Um carro se move numa certa rodovia. O motorista, a cada posto de pedágio, anota a distância percorrida e o tempo de percurso.

b) Um estudante elabora uma tabela para relacionar as medidas áreas de diversos retângulos em função de seus perímetros.

c) Uma relação que associa a cada número x > 0 um cilindro cujo volume é x.

 Objetivo: verificar através da resposta, em especial através de suas justificativas, como

os professores relacionam o conceito de função com as ideias físicas ou geométricas

apresentadas nos exemplos práticos.

Como somente a situação a corresponde ao conceito de função, consideramos correto

apenas quem respondeu apenas esta alternativa, mas aqueles que marcaram além da situação a

mais uma das outras duas situações, a resposta foi considerada parcialmente certa.

Questão 02

Substituindo x por 1 em ax² + bx + c = 0 (a, b e c números reais) obtemos um valor

positivo. Substituindo x por 6 nesta mesma expressão obtemos um valor negativo. Quantas

soluções distintas existem para ax² + bx + c = 0, x  IR? Justifique sua resposta.

 Objetivo: foram analisados na resposta os aspectos das diferentes representações de

uma função. Através da expressão algébrica enunciada espera-se a conexão da ideia de

raízes de uma função com o gráfico da função quadrática, afim ou constante, pois o

coeficiente a também pode ser igual a 0 (zero). Entretanto, não foi penalizado o

professor que não considerou a possibilidade de a = 0.

A maioria dos professores considerou a possibilidade da função ser uma função afim,

(28)

28

entanto os estudantes que acertaram foram unanimes em considerar (no caso da função ser

quadrática) que se  0 a função não possui ao mesmo tempo valor positivo e negativo como

é dito no enunciado e, portanto ela possui duas raízes reais distintas. Os professores que

erraram a questão não se atentaram para este fato.

Questão 03

Sejam f e g duas funções reais definidas respectivamente por

2 -x g(x) e 2 x

4 -x²

f(x) 

 . Podemos afirmar que f e g são iguais? Justifique sua resposta.

 Objetivo: esta questão pretendeu verificar se o professor sabe que duas funções são

iguais se, e somente se, possuem o mesmo domínio, contradomínio e lei de formação.

Esta foi a questão mais polêmica, pois todos os que erraram consideraram que a

função possuía a mesma lei de formação, após feita a devida simplificação, desconsiderando

que os domínios das duas funções são diferentes. Um dos professores chegou a sugerir que

apesar das funções possuírem domínios diferentes elas eram iguais.

Questão 04

Os gráficos abaixo representam funções distância por tempo. Qual deles descreve

melhor a distância percorrida por um ciclista numa corrida contra o tempo. Na parte inicial da

prova ele tem de subir uma grande montanha.

 Objetivo: esta questão investiga se o professor tem clara a trajetória descrita pelo

ciclista com a relação entre as variáveis distância e tempo. Entretanto os eixos não

(29)

29

A maior parte dos professores identificou a não marcação dos eixos e, fizeram sua

própria marcação colocando no eixo horizontal a grandeza tempo e no eixo vertical a

grandeza distância, considerando correta a alternativa (B). Alguns, no entanto, consideraram a

possibilidade do gráfico (A), com a inversão dos eixos. Os dois estudantes que erraram a

questão marcaram como correto o gráfico (C), considerando que um ciclista pode subir uma

grande montanha com velocidade constante.

Questão 05

Um estudante disse que existem duas funções inversas para f(x) = 10x: uma é a

função raiz e a outra é a função logarítmica. O estudante está certo? Justifique sua resposta.

 Objetivo: esta questão deseja investigar se o professor entende a inversa de uma função pela visão limitada de “desfazer” a função para se obter a função inversa ou se ele utiliza a definição onde g é inversa de f, se e somente se, x  D(f), temos g(f(x))

= x e x  D(g), temos f(g(x)) = x.

Todos os pesquisados acertaram a questão tendo a maioria salientado que a inversa

de uma função é única.

Questão 06

Na Tabela abaixo temos as abscissas e as ordenadas dos pontos no plano cartesiano

que pertencem ao gráfico de uma função real.

(30)

30 a) 0

b) 1

c) 2

d) C7, 2

e) infinito

 Objetivo: é esperado que o professor considere a possibilidade de construção de

infinitas funções tomando as informações dadas como ponto de partida para

conjecturas sobre o seu gráfico, visto que a representação tabular tem suas limitações.

Todos os três pesquisados que erraram a questão, um professor e dois estudantes consideraram que os pontos da tabela são pontos apenas da função identidade.

Questão 07

Determine a área do plano cartesiano limitada pelo gráfico de f: IR  IR, definida

por f(x) = log10 10x, pelas retas x = 0, x = 3 e o eixo 0x.

 Objetivo: os aspectos analisados nesta questão foram: as derivações do conceito de

função (composição e inversão); entendimento e compreensão do conteúdo;

conhecimento do repertório básico e as diferentes representações.

Apenas um estudante errou a questão não percebendo que a função f(x) = log10 10x

corresponde a função f(x) = x. No entanto, um dos professores também não percebeu tal fato e

calculou a área usando integral.

Questão 08

O gráfico da figura 1 pertence à função real f. Na figura 2 representamos o gráfico da

função real g que é obtida através de transformações da função f. Escreva a sentença da

(31)

31

 Objetivo: tendo em vista a ausência de expressões algébricas referente a lei de

formação da função, pretende-se apenas que o professor verifique as translações

ocorridas: duas unidades para cima e uma unidade para direita. Ou seja, sendo a figura

1 y = f(x), na figura 2 tem-se y = f(x - 1) + 2.

Todos os que acertaram a questão entenderam que houve duas translações, porém

dois estudantes partiram do pressuposto de que o gráfico de f é da função f(x) = |x² - 1|, não

compreendendo que o que estava sendo cobrado eram apenas as transformações ocorridas

com o gráfico da função.

Questão 09

Sabendo que f: X  Y é uma função, determine se cada uma das afirmativas abaixo é

verdadeira ou falsa. Justifique somente as falsas:

i. Para todo y  Y, existe um x  X tal que f(x) = y.

ii. Se f(x1)  f(x2) em Y, temos x1 x2 em X.

iii. Se x1 x2, temos f(x1)  f(x2) em Y.

iv. Para todo x  X, existe y  Y tal que f(x) = y.

 Objetivo: os aspectos analisados nesta questão são os conceitos essenciais e o

conhecimento da definição de função.

Apesar de se tratar dos conceitos elementares de função, três dos pesquisados

(32)

32 Resultado Final

Tabela 1: Acertos dos professores

Professor Nota Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9

Estudante 1 3,3

Estudante 2 4,4

Professor 1 5,6

Professor 2 5,6

Professor 3 7,7

Estudante 3 8,3

Estudante 4 8,9

Professor 4 10,0

Estudante 5 10,0

Média 7,1

Certo

Parcialmente

Errado

Tabela 2: Percentual de acertos por questão

Questões Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q9 Q10

Acertos 61,1% 55,6% 66,7% 55,6% 100% 66,7% 100% 88,9% 66,7%

Apesar da quantidade de professores e alunos que participaram da pesquisa ser

reduzido, percebe, nesse universo, que aspectos fundamentais do conceito de função não são

(33)

33

Capítulo 4

OFICINA COM OS PROFESSORES

Introdução

O ensino de Matemática no Brasil tem piorado ao longo dos anos. Várias são as causas desta decadência. Uma delas é um ensino focado na “memorização” e na resolução de exercício descontextualizados. Isto não elimina a importância desta prática, mas um ensino de

Matemática centrado na resolução de problemas é de grande importância.

O matemático Húngaro George Pólya trabalhou em grande variedade de tópicos

matemáticos, incluindo séries, teoria dos números, combinatória e teoria das probabilidades.

No fim da sua vida tentou caracterizar o modo como a maioria resolvia problemas de

matemática, e tentou descrever como devia ser ensinada a resolução de problemas. Seu

esquema para resolução de problemas encontra-se resumido em anexo.

O trabalho se limitará a problemas de aplicação do conceito de funções (afins,

quadráticas, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas elementares), visto que tem grande

importância em muitas áreas do conhecimento.

Problemas de aplicação são aqueles que retratam situações reais do dia-a-dia

e que exigem o uso da matemática para serem resolvidos. São também

chamados de situação-problema. (DANTE 2005, p. 20)

Objetivo Geral

Capacitar professores da rede pública de ensino, especificamente do Colégio

(34)

34

Brasil), para interpretação e elaboração de problemas envolvendo aplicações das funções

acima citadas.

Objetivos Específicos

 Trabalhar o conceito de função.

Apresentar o conceito de problema de aplicação.  Interpretar problemas que envolvam funções.  Elaborar problemas envolvendo funções.

Metodologia

A oficina consistiu de dois momentos distintos: no primeiro momento (período da

manhã) teve uma discussão teórica sobre as funções (citadas acima), bem como do conceito

de problema de aplicação. No segundo momento (período da tarde) foram apresentados

alguns problemas de aplicação de funções, que foram discutidos e analisados pelos

professores, bem como a elaboração, por parte destes, de alguns problemas.

Público Alvo

Professores de Matemática do ensino médio da Unidade Escolar acima citada.

Justificativa

O baixo desempenho dos alunos na disciplina deve-se em parte ao fato destes não

conseguirem relacionar o que é ensinado em sala de aula com o seu cotidiano. O trabalho com

resolução de problemas contextualizados vem preencher esta lacuna tornando a Matemática

mais atrativa e interessante.

Cronograma

A oficina teve uma carga horária de 08 horas, sendo realizada em 04 de Março de

(35)

35

 Manhã (De 8:00 h as 12:00 h)

 Aula em DVD (Coleção Vestibulando, Álgebra 1 e 2 e Trigonometria 1 da

Fundação Padre Anchieta. Professor José Anchieta Camargo) sobre Funções.  Definição de problemas de aplicação.

 Exemplificação de problemas de aplicação.

 Apresentação de técnicas para resolução de problemas.

 Tarde (De 13:30 h 17:00 h)

 Apresentação de problemas de aplicação de função.

 Discussão e utilização do esquema de Polya para resolução de problemas.  Elaboração de problemas de aplicação de função.

 Avaliação da Oficina

Avaliação

Foi feita uma avaliação desta atividade pelos professores participantes, através de

questionário que se encontra em anexo.

Como organizador e orientador das atividades percebi que a maioria dos professores

estão dispostos a trabalhar com resolução de problemas contextualizados, porém não se

sentem confiantes para executarem tal tarefa, de forma plena, por entenderem que tal

atividade demandam tempo e capacitação para a qual se sentem inseguros, por não serem

(36)

36

Capítulo 5

RESULTADOS E DISCUSSÕES

Depoimentos dos Professores

1. Em sua opinião qual o grau de importância da resolução de problemas no ensino da

Matemática.

Gráfico 1

Fonte: Depoimentos 2013.

2. Você utiliza a resolução de problemas na sala de aula com seus alunos?

Gráfico 2

(37)

37

3. Se respondeu Sim na questão anterior, com que frequência?

Gráfico 3

Fonte: Depoimentos 2013.

4. Esta oficina ajudou a você a entender melhor como elaborar problemas?

Gráfico 4

Fonte: Depoimentos 2013.

(38)

38 Gráfico 5

Fonte: Depoimentos 2013.

6. O que achou da metodologia utilizada na oficina?

Gráfico 6

Fonte: Depoimentos 2013.

(39)

39 Gráfico 7

Fonte: Depoimentos 2013.

8. Comente em poucas palavras sua opinião sobre a importância da resolução de

problemas contextualizados para o aprendizado do seu aluno.

Professor 1

“É importante trabalhar problemas contextualizados, pois o aluno passa a entender a importância dos conteúdos do currículo. Infelizmente faz-se necessário

trabalhar conceitos elementares como o uso de determinados algoritmos, o que termina esgotando o tempo das aulas”.

Professor 2

“Acredito que a resolução de problemas ajudará muito no desenvolvimento das minhas aulas. Começarei com problemas mais fáceis, de fácil compreensão até os alunos estarem preparados para resolver problemas mais difíceis”.

Professor 3

(40)

40

problemas com outros conteúdos. Sei que alguns conteúdos tem mais aplicações

que outros, mas procurarei trabalhar com problemas de aplicação na maioria dos assuntos”

Professor 4

“Trabalhar com resolução de problemas em sala de aula é importante para que o aluno perceba a importância da Matemática no seu dia a dia, e entenda esta ciência como um conhecimento que tem significado”

Professor 5

“Seria ótimo trabalhar com resolução de problemas se os nossos alunos dominassem os conteúdos matemáticos correspondentes a sua série. Mas isso não

acontece, o que dificulta muito o trabalho do professor, principalmente no ensino

médio. Mas isso não significa que não devemos tentar”.

Professor 6

“Tenho medo que a resolução de problemas desvirtue o ensino de Matemática, pois, quando aplicamos os conceitos matemáticos, terminamos dando ao aluno

uma visão limitada da disciplina. Por exemplo, (utilizando o tema deste trabalho,

função): vamos pegar um garoto que vende picolé a R$ 0,50 e paga um aluguel

pelo carrinho de R$ 10,00. A função que define sua renda é definida por f(x) =

0,5x – 10. Como o garoto não vende fração de picolé, mas o picolé inteiro, esta

função teria como domínio o conjunto dos inteiros, podendo levá-lo a entender

(41)

41

9. Um dos grandes problemas enfrentados no ensino da Matemática é a dificuldade dos

alunos no que se refere à resolução de problemas. Em sua opinião, isso ocorre por

quê?

Principais pontos apontados nas respostas dos professores foram:

 Falta de base nos conteúdos das séries anteriores.  Baixa autoestima.

 Influências negativas do ambiente sócio cultural extraclasse.  Falta de prática de resolução de problemas em sala de aula.

10.Em sua opinião, trabalhar com problemas de forma contextualizada foi positivo?

Gráfico 8

Fonte: Depoimentos 2013.

11.O desinteresse do aluno com relação aos conteúdos trabalhados em Matemática se

deve ao fato de:

( ) Falta de leitura interpretativa;

( ) Metodologia inadequada;

( ) Falta de pré-requisitos;

( ) Falta de acompanhamento família;

Os professores entrevistados consideraram todos os itens relevantes, embora

(42)

42

12. Na aplicação da oficina foi proposto que se trabalhasse uma lista de exercícios de

caráter contextualizados. Relate os resultados assim obtidos.

Os professores escreveram uma resposta comum:

“É interessante a elaboração de problemas de aplicação, porém devemos entender que

existe uma lacuna muito grande entre a série em que o aluno se encontra e o conhecimento

que eles deveriam ter. Por isso não podemos abandonar os exercícios tradicionais sob pena de não dá uma sólida base matemática aos nossos educandos”

13.Você estaria disposto a trabalhar problemas envolvendo função de forma

contextualizada.

Gráfico 9

(43)

43

Capítulo 6

DEFINIÇÕES DAS FUNÇÕES

ESTUDADAS

Neste capítulo definiremos as funções estudadas neste trabalho, as funções afim,

quadrática, exponencial, logarítmica e as trigonométricas seno e cosseno.

Função Afim

Uma função f: IR  IR chama-se afim quando existem constantes a, b  IR tais que

f(x) = ax + b para todo x  IR. (ELON, 2006)

Podemos saber se uma função f: IR  IR é afim sem que explicitamente os

coeficientes a e b. Neste caso o coeficiente b = f(0), chama-se valor inicial. O coeficiente a

pode ser determinado por dois pontos distintos (porém arbitrários), A(x1, f(x1)) e B(x2, f(x2)).

Como:

f(x1) = ax1 + b (i)

e

f(x2) = ax2 + b (ii)

Subtraindo (i) por (ii), temos:

) 2 1 2

1) f(x) .(x -x

f(x  a

Portanto:

2 1

2 1

x -x

) f(x -) f(x 

a

(44)

44 1) Função identidade

f: IR  IR definida por f(x) = x para todo x  IR. Nesse caso a = 1 e b = 0.

2) Função linear

f: IR  IR definida por f(x) = ax para todo x IR. Nesse caso a  0 e b = 0.

3) Função constante

f: IR  IR definida por f(x) = b para todo x  IR. Nesse caso a = 0.

4) Translação da função identidade

F: IR  IR definida por f(x) = x + b para todo x  IR e b 0. Nesse caso a = 0.

Taxa de variação de uma função

Consideremos uma função f: IR  IR.

Dados x e x + h  IR, com h  0, o número

h f(x) -h) f(x

chama-se taxa de variação

da função f no intervalo de extremos x e x + h.

Taxa de variação de uma função afim f(x) = ax + b

Vamos demonstrar que a taxa de variação (ou taxa de crescimento) de uma função

afim, no intervalo [x, x + h], para x, x + h  IR e h  0, é a constante a.

Temos que: a a a a a a a a a                 h h h f(x) -h) f(x logo, b -x -b h x f(x) -h) f(x : Assim b h x b h) (x h) f(x b x f(x)

(45)

45

Lembremos que uma função f: A  IR com A  IR é:

 crescente se x1 < x2, então f(x1) < f(x2);  decrescente se x1 < x2, então f(x1) > f(x2).

É possível provar que, dada uma função f: IR  IR, crescente ou decrescente, se f(x

+ h) – f(x) depender apenas de h e não de x, então f é uma função afim. A demonstração deste

teorema encontra-se em (ELON, 2006, p. 100).

Gráfico da função afim f(x) = ax + b

O gráfico da função afim é uma reta. Para provar isso basta mostrar que três pontos

quaisquer do gráfico são colineares.

Sejam:

P1(x1. ax1 + b)

P2(x2, ax2 + b)

Para que isso ocorra é necessário e suficiente que um dos números d(P1, P2), d(P2, P3)

e d(P1, P3) seja igual a soma dos outros dois. Supomos x1 < x2 < x3 e mostramos que:

D(P1, P3) = d(P1, P2) + d(P2, P3)

Temos que:

 

2

1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 x -x x1 -x2 1 ) x -(x ) x -x ( b -x -b x x -x ) P , d(P a a a a a         

(46)

46

2

1 3 3 1 2 2 3 3 2 1 x -x ) P , d(P 1 x -x ) P , d(P a a     Portanto:

 

 

1 3

2 1 3 2 2 3 1 2 3 2 2 1 x , x d 1 x -x 1 x -x x -x P , P d P , P d        a a

Ou seja d(P1, P3) = d(P1, P2) + d(P2, P3)

Logo três pontos quaisquer do gráfico de uma função afim são colineares, o que

significa que o gráfico é uma reta.

Geometricamente, b é a ordenada do ponto onde a reta que é gráfico da função f(x) =

ax + b, intersecta o eixo Oy.

Gráfico 10

Proporcionalidade e função linear

Duas grandezas são proporcionais se para cada valor de x em uma delas corresponde a um

(47)

47 a) Quanto maior for x, maior será y, ou seja:

Se x  y e x` y` então x < x` implica y < y`.

b) Se dobrarmos, triplicarmos, etc. o valor de x, então o valor de y será dobrado,

triplicado, etc., ou seja:

Se x  y, então nx  NY, para todo n  IN*.

A correspondência x  y que satisfaz essa duas condições, chama-se

proporcionalidade.

A função linear f: IR  IR definida por f(x) = ax para todo x IR, com a  0satisfas

essas condições.

Função quadrática

Uma função f: IR  IR chama-se quadrática quando existem números reais a, b e c

com a  0, tais que f(x) = ax² + bx + c para todo x  IR. (ELON, 2006)

Forma canônica da função quadrática

f(m) k que concluimos 4a² b² -4ac k e 2a b m de chamando 4a b² -ac 4 2 2a b x a c bx ax² f(x)                      

A demonstração encontra-se em (ELON, 2006, p. 124).

De modo geral, da forma canônica:

f(x) = a(x – m)² + k

concluímos que, para qualquer x  IR:

(48)

48 Gráfico da função quadrática

Considerando um ponto F e uma reta d que não o contém. Chamamos de parábola de foco F e

diretriz d ao conjunto de pontos do plano que distam igualmente de F e de d.

Gráfico 11

A reta perpendicular a diretriz que contém o foco chama-se eixo da parábola. O

ponto (V) mais próximo da diretriz chama-se vértice desta parábola. O vértice (V) é o ponto

médio do segmento cujos extremos são os vértices e a intersecção do eixo com a diretriz.

Imagem da função quadrática

A determinação do vértice da parábola ajuda a elaboração do gráfico e permite

determinar a imagem da função, bem como o seu valor máximo ou mínimo.

Uma das maneiras de determinar o vértice é lembrar que a parábola é simétrica em

relação ao eixo. Determinada a posição desse eixo, encontramos a abscissa do vértice, e com

esta, obteremos a ordenada, que é função da abscissa.

Outra maneira é lembrar que na forma canônica (p. 46) p vértice é dado por (m, k)

sendo m = 2a

b

 e k = f(m) =

4a 4a

b

-4ac 2 

 .

(49)

49 b h ax 2 h bh h 2axh h c -bx -ax -c bh bx h 2axh ax h f(x) -h) f(x c h) b(x h) a(x h) f(x c bx ax f(x) 2 2 2 2 2 2                      

Quando h tende a zero, a taxa de variação se aproxima de 2ax + b.

Função exponencial

Seja a um número real positivo, que suporemos sempre diferente de 1. A função

exponencial de base a, f: IR  IR+, indicada pela notação f(x) = ax, deve ser definida de

modo a ter as seguintes propriedades, para quaisquer x, y  IR.

1) ax . ay = ax + y;

2) a1 = a;

3) x < y  ax < ay quando a > 1 e

x < y  ay < ax quando 0 < a < 1 (ELON 2006)

Taxa de variação relativa da função exponencial

Dada a função f(x) = b.ax, com a e b constantes positivas temos:

1 a ba ) 1 a ( ba ba ba ba f(x) f(x) -h) f(x ba h) f(x ba f(x) h x h x x x h x h x x            

(50)

50

Vimos que se f é uma função exponencial então para qualquer então para qualquer

x, h  IR o quociente:

1 a f(x)

f(x) -h)

f(x  h 

Não depende de x, mas só de h. A recíproca também é verdadeira e está demonstrada

em (ELON, 2006, p.185)

Função logarítmica

Para todo numero real positivo a ≠ 1, a função exponencial *

IR IR :

f  , f(x) = ax é uma correspondência biunívoca entre IReIR*. Ela é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1, e tem a propriedade: f(x1 + x2) = f(x1) . f(x2).

Segue-se que f possui uma função inversa.

Definição

A inversa da função exponencial de base a é a função logax :IR* IR, que associa

a cada número real positivo x o número real loga x, chamado logaritmo de x na base a, com a

real positivo e a ≠ 1.

Observe que f :IRIR*, dada porf(x) = ax, tem a propriedade f(x1 + x2) = f(x1) . f(x2). A sua inversa g:IR IR

*

 , dada por g(x) = loga x, tem a propriedade loga (x1 . x2) = loga x1 + loga x2.

Como a função logarítmica é a inversa da função exponencial, temos:

IR x todo para x log

(51)

51 Caracterização da função logarítmica

Como Saber se para um determinado problema devemos usar o modelo dado pelas

funções logarítmicas?

Quando tivermos diante de uma função f :IRIR*, crescente ou decrescente tal

que f(x1 . x2) = f(x1) + f(x2) para qualquer x1, x2 

*

IR. A demonstração deste teorema

encontra-se em (ELON, 2006, p.194)

As Funções Trigonométricas seno e cosseno

As funções cós: IR  IR, chamadas função cosseno e função seno respectivamente,

são definidas, pondo-se para cada t  IR:

E(t) = (cos t, sen t)

Noutras palavras, x = cós t e y = sem t são respectivamente a abscissa e a ordenada

do ponto E(t) da circunferência unitária.

Segue-se imediatamente desta definição que vale, para todo t  IR, a relação

fundamental

cos²t + sen²t = 1 (ELON, 2006)

As funções seno e cosseno são periódicas. Uma função f: IR  IR é periódica

quando existe T ≠ 0 tal que f(t + T) = f(t), para todo t  IR. Se isto o corre, então f(t + kT) =

f(t), para todo T  IR e k  Z. O menor T > 0 tal que f(t + T) = f(t) para todo t  IR,

chama-se período da função. O período das funções chama-seno e coschama-seno é 2.

A função cosseno é par e a função seno é ímpar.

Uma função f: IR  IR é par quando f(- t) = f(t) para todo t  IR. Uma função f: IR  IR é ímpar se f(- t) = - f(t) para todo t  IR.

Portanto, temos:

(52)

52

Abaixo os gráficos das funções y = cos x e y = sen x

(53)

53

Capítulo 7

PROBLEMAS

CONTEXTUALIZADOS

Durante a oficina feita com os professores foram apresentados alguns problemas

encontrados em diversos exames vestibulares. Depois foi pedido aos professores, que

formassem dois grupos, e cada grupo pesquisasse ou formulassem cinco problemas e

escrevessem na forma tradicional e contextualizada estes problemas.

Problemas Apresentados aos Professores:

(Unisinos – RS) Suponha que o número de carteiros necessários para distribuir, em cada dia,

as correspondências entre as residências de um bairro seja dado pela função

2x 500

22x f(x)

 ,

em que x é o número de residências e f(x) é o número de carteiros.

Se foram necessários 6 carteiros para distribuir, em um dia, estas correspondências, calcule o

número de residências desse bairro que as receberam.

(Vunesp – SP) Duas pequenas fábricas de calçados, A e B, tem fabricado, respectivamente,

3000 e 1100 pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a fabrica A aumentar

sucessivamente a produção em 70 pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a

produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica B superará a produção da fábrica A a

partir de que mês?

(UFSC) Ao ser cobrada uma falta numa partida de futebol, a trajetória da bola é tal que sua

altura h, em metros, varia com o tempo t, em segundos, de acordo com a equação h = - t² + 2t.

(54)

54

(FGV – SP) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a

relação existente entre eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou

experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de curva de aprendizagem é dado pela

expressão.

Q = 700 – 400e-0,5t, em que

Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário,

t = meses de experiência,

e = 2,7183.

a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente?

b) E um funcionário sem qualquer experiência, quantas peças deverá produzir deverá produzir? Compare esse resultado com o resultado do item a. Há coerência entre eles?

(U.F. – São Carlos-SP) A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina a

produção de madeira, evolui, desde que é plantada, segundo o modelo matemático:

h(t) = 1,5 + log (t + 1)

Com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu

3,5 m de altura, Quantos anos transcorreu entre o momento da plantação até o do corte?

(FEI – SP) Na estação de trabalho de pintura de peças de uma fábrica, a pressão em um

tambor de ar comprimido varia com o tempo conforme a expressão P(t) = 50 + 50.      

2 -t

sen  ,

t > 0. Em qual instante t corresponde o valor mínimo da pressão?

(55)

55 Problema 1

Enfoque tradicional Contextualização

Sabendo que os pontos A(10 000; 80 000)

e B(20 000; 120 000) pertencem a gráfico

de uma função afim, qual o valor de f(30

000)?

A receita mensal R de uma empresa

relaciona-se com os gastos mensais com

propaganda por meio de uma função afim.

Quando a empresa gasta R$ 10 000,00 por

mês em propaganda, sua receita é de R$

80 000,00; Se o gasto com propaganda for

o dobro daquele, a receita mensal cresce

50% em relação aquela. Qual a receita

mensal se o gasto com propaganda for R$

30 000,00?

Problema 2

Enfoque tradicional Contextualização

Dada a função f: R  R, definida por f(x)

= - x² + 40x, calcule:

a) f(10)

b) As coordenadas do vértice da

parábola, que é o gráfico desta

função.

c) Os zeros da função.

Um físico lançou um projétil

obliquamente para cima, constatando que

a equação da trajetória do objeto era h =

-t² + 40t, em que h é a altura, em metros,

atingida pelo projétil para um tempo t em

segundos.

a) Que altura o projétil alcançará em 10

segundos?

b) Qual a altura máxima que este projétil

alcançará?

c) Em quanto tempo este projétil alcançará

a altura máxima?

d) Em quanto tempo este projétil cairá no

(56)

56 Problema 3

Enfoque tradicional Contextualização

Dada a função f(x) = 10k.x, e sabendo que

f(4) = 2.f(0), calcule f(6).

O crescimento de certa cultura de

bactérias é descrito pela função X(t) =

C.10k.x, em que X(t) é o número de

bactérias no tempo t  0; C e k são

constantes positivas. Se o número de

bactérias duplica depois de 4 horas, qual o

número que ficará multiplicado o valor

inicial ao fim de 6 horas?

Problema 4

Enfoque tradicional Contextualização

Dado f(x) = log(100,7. x), x  0, calcule

f(10).

Um médico ao estudar o crescimento

médio das crianças de uma determinada

cidade, com idades que variavam de 1 a

12 anos, obteve a fórmula h =

log(100,7. i) em que h é a altura da

criança (em metros) e i é a idade (em

anos). Uma criança de 10 anos dessa

cidade terá que altura?

Problema 5

Enfoque tradicional Contextualização

Dada a função f(x) = 5,3.sen(30x),

calcule:

a) O valor máximo e mínimo dessa

função;

b) O período da função.

A tensão em volts de um circuito elétrico

é dado por U(t) = a.sen(bt) em que a e b

são constantes e t é o tempo em segundos.

Em certo circuito elétrico, a tensão é dada

por U(t) = 5,3.sen(30t). Determine a

amplitude e o período de tensão desse

Imagem

Tabela 1: Acertos dos professores
Gráfico 2
Gráfico 4
Gráfico 9
+4

Referências

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