Sobre a existência de pontos homoclínicos em vizinhanças de pontos fixos elípticos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE MINAS GERAIS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

SOBRE A EXISTˆENCIA DE PONTOS HOMOCL´INICOS EM VIZINHANC¸ AS DE PONTOS FIXOS EL´IPTICOS

Disserta¸c˜ao apresentada ao Departamento de Matem´atica da Universidade Federal de Minas Gerais, como parte dos requisitos para obten¸c˜ao do t´ıtulo

de Mestre em Matem´atica

Aluno: Carlos Alberto Salazar Mercado

Orientador: M´ario Jorge Dias Carneiro

Belo Horizonte

Agradecimentos

Em primeiro lugar agrade¸co a Deus por todas as coisas.

Ao meu orientador M´ario Jorge Dias Carneiro pela orienta¸c˜ao e paciˆencia.

`

A minha familia pelo apoio durante toda a minha vida.

A todos os professores com os quais eu tive a honra de aprender.

Aos Membros da banca pela gentileza de participar da avalia¸c˜ao deste

tra-balho.

Aos meus amigos Jose, Miguel, Farley, Edwin, Julio, Renato, Mario, Aislan,

Luiz, Juliano e todos os colegas do mestrado pelo companherismo e aten¸c˜ao.

`

A Eliane e `a Kelli pela ajuda e disposi¸c˜ao.

`

A CAPES pela bolsa de estudos.

Resumo

Nesse trabalho, estudaremos o comportamento gen´erico dos difeomorfismos

simpl´eticos no plano em torno de um ponto fixo el´ıptico.

Nossa abordagem utiliza a forma normal de Birkhoff para garantir a existˆencia

de ´orbitas peri´odicas hiperb´olicas e el´ıpticas em cada vizinhan¸ca do ponto

fixo el´ıptico e ser´a mostrado que o conjunto dos difeomorfismos simpl´eticos

anal´ıticos reais, com ponto fixo el´ıptico no zero e que possuem ´orbitas el´ıpticas

e hiperb´olicas em toda vizinhan¸ca do zero ´e um subconjunto residual.

Desenvolveremos a teoria de variedades invariantes locais, e obtemos uma

representa¸c˜ao das variedades invariantes como gr´afico de fun¸c˜oes. Assim,

ser´a poss´ıvel garantir a proximidade das variedades est´avel e inst´avel de dois

pontos hiperb´olicos da mesma ´orbita.

Finalmente, usando que o difeomorfismo preserva ´area demonstraremos que

as variedades est´avel e inst´avel de fato possuem ponto de interse¸c˜ao, obtendo

assim, os pontos homocl´ınicos.

A principal referˆencia ´e o artigo do Edward Zehnder [1] “Pontos homocl´ınicos

Abstract

In this dissertation, we study certain aspects of symplectic diffeomorphisms

in the plane near an elliptic fixed points.

Our approach considers a Birkhoff formal norm to ensure the existence of

hyperbolic and elliptic periodic orbits in every neighborhood of the elliptic

fixed point and it will be shown that the set of real analytic symplectic

dif-feomorphisms with elliptic fixed point at zero and have elliptical orbits and

hyperbolic in every neighborhood of zero is a residual subset.

We will develop the theory of local invariant manifolds, we get a

representa-tion of the invariant manifolds as graph funcrepresenta-tions. Thus, you can ensure the

proximity of the stable and unstable varieties two hyperbolic points in the

same orbit.

Finally, using the fact that diffeomorphism preserves area, prove that the

stable and unstable varieties actually have the intersection point, thus

obtai-ning an called homoclinic points.

The main reference is a paper of Edward Zehnder [1] “Homoclinic points

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao v

1 Preliminares 1

1.1 Transforma¸c˜oes Simpl´eticas . . . 1

1.2 Fun¸c˜oes Geradoras . . . 5

1.3 Pontos Fixos e ´Orbitas Peri´odicas . . . 7

1.4 A forma normal de Birkhoff e uma topologia no espa¸co das

fun¸c˜oes geradoras . . . 9

2 Obten¸c˜ao de ´orbitas peri´odicas 15

3 Variedades invariantes locais no anel A 38

4 A interse¸c˜ao das variedades invariantes locais 56

Considera¸c˜oes Finais 60

Apˆendice 62

Introdu¸

c˜

ao

O objetivo principal desta disserta¸c˜ao ´e estudar o comportamento gen´erico

dos difeomorfismos simpl´eticos em torno de um ponto fixo el´ıptico.

Usa-remos como principal referˆencia o artigo do Edward Zehnder [1] “Pontos

homocl´ınicos perto de pontos fixos el´ıpticos”.

Esta disserta¸c˜ao est´a dividida em quatro cap´ıtulos. O primeiro trata dos

pre-liminares. Nele s˜ao fornecidos alguns conceitos b´asicos sobre transforma¸c˜oes

simpl´eticas, fun¸c˜oes geradoras e a forma normal de Birkhoff. Dizemos que

uma propriedade ´e gen´erica, em um espa¸co topol´ogico de Baire, se ela ´e

satisfeita para um subconjunto residual desse espa¸co. Definiremos um certo

espa¸co de difeomorfismos simpl´eticos anal´ıticos e uma topologia nesse espa¸co.

No cap´ıtulo 2, apresentaremos um lema que garante a existˆencia de ´orbitas

peri´odicas hiperb´olicas e el´ıpticas em cada vizinhan¸ca do ponto fixo el´ıptico,

o que ser´a feito por aproxima¸c˜ao usando a forma normal de Birkhoff, e

ser´a mostrado um teorema que garante que o conjunto dos difeomorfismos

simpl´eticos anal´ıticos reais, com ponto fixo el´ıptico no zero e que possuem

residual.

No cap´ıtulo 3, desenvolveremos a teoria de variedades invariantes locais, e

ob-temos uma representa¸c˜ao das variedades invariantes como gr´afico de fun¸c˜oes.

Assim, ser´a poss´ıvel garantir a proximidade das variedades est´avel e inst´avel

de dois pontos hiperb´olicos da mesma ´orbita, o que ser´a feito na proposi¸c˜ao

3.1.

Finalmente, no cap´ıtulo 4, usando que o difeomorfismo preserva ´area

de-monstraremos que as variedades est´avel e inst´avel de fato possuem ponto de

interse¸c˜ao, obtendo assim, os pontos homocl´ınicos. No artigo de Zehnder ´e

provado que de fato a interse¸c˜ao dessas variedades ´e transversal.

Este importante resultado foi posteriormente generalizado para dimens˜oes

mais altas e tamb´em, foi generalizado por C. Genecand [2] usando a teoria

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo, o qual ´e essencial para todo o desenvolvimento do

traba-lho, forneceremos a teoria b´asica das transforma¸c˜oes simpl´eticas em R2_,

fun¸c˜oes geradoras, forma normal de Birkhoff e uma classifica¸c˜ao dos pontos

peri´odicos. Definiremos o espa¸co de fun¸c˜oes anal´ıticas sobre o qual

trabalha-remos. As primeiras se¸c˜oes ser˜ao usadas em quase toda parte do trabalho.

1.1

Transforma¸

c˜

oes Simpl´

eticas

Nesta se¸c˜ao, vamos fornecer as defini¸c˜oes e propriedades importantes das

transforma¸c˜oes simpl´eticas em R2_{. Estudaremos, tamb´em um m´etodo para}

obter transforma¸c˜oes simpl´eticas por meio de uma fun¸c˜ao denominada fun¸c˜ao

geradora.

Defini¸c˜ao 1.1 Uma matriz T _∈M2×2_{(R) satisfazendo a identidade}

onde J =

0 1

−1 0

, ´e dita uma matriz simpl´etica. O conjunto de todas as matrizes simpl´eticas em T ∈M2x2_{(R)´e denotado por Sp(1,R).}

Defini¸c˜ao 1.2 Uma fun¸c˜ao diferenci´avel f : U ⊂ R2 _−→ R2_{,U aberto de} R2_{, ´e dita simpl´etica se a Jacobiana ´e uma matriz simpl´etica.}

O seguinte teorema fornece algumas propriedades de Sp(1,R_). Teorema 1.1 Se T ´e uma matriz simpl´etica, ent˜ao:

a) T ´e invert´ıvel e T−1 _{´e simpl´etica, com T}−1 _=−JTt_J.

b) Tt _{´e simpl´etica.}

c) Se S ´e simpl´etica, T S ´e simpl´etica. Demonstra¸c˜ao.

a) Como T ´e simpl´etica e det(J) = 1, temos que:

(det(T))2 = (det(Tt))(det(J))(det(T)) =det(TtJT) =det(J) = 1 donde segue que T ´e invert´ıvel. Usando (1.1) temos o resultado. b) Como T ´e simpl´etica, Tt_{JT =J e T}t _=JT−1_J−1 _=−JT−1_J,

logo (Tt₎t_JTt _{=T JT}t_{=T J(}

−JT−1_{J) = J.}

c) Como T e S s˜ao simpl´eticas,

(T S)t_{J(T S) = (S}t_Tt_{)J(T S) =S}t_(Tt_{JT)S =S}t_{JS =J.}

Assim, T S ´e simpl´etica.

Esse teorema mostra que Sp(1,R_{) ´e um grupo, munido da multiplica¸c˜ao de}

matrizes.

Teorema 1.2 Seja T uma matriz simpl´etica. Se λ ´e um autovalor de T

ent˜ao λ−1 _{tamb´em ´e autovalor de T.}

Demonstra¸c˜ao. Como T ´e simpl´etica, temos que Tt _{= −JT−}1_{J, logo o}

det(T) = _±1. Se λ´e um autovalor de T, tem-se:

PT(λ) = det(T −λI) = det(T −λI)t=det(Tt−λI)

=det(₋JT−1J+λJ2) =det(J)det(₋T−1+λI)det(J) =det(λT−1(T ₋λ−1I)) =λ2det(T−1)det(T ₋λ−1I) =det(T)λ2PT(λ−1)

de onde segue o resultado.

Usando que o determinante de uma matriz ´e igual ao produto de seus

auto-valores, segue o corol´ario:

Corol´ario 1.1 O determinante de uma matriz simpl´etica ´e igual a 1.

Uma consequˆencia importante deste corol´ario ´e que uma transforma¸c˜ao simpl´etica

Exemplos de transforma¸c˜oes simpl´eticas.

Exemplo 1.1.1 Consideremos a mudan¸ca de coordenadas polares no plano, com uma pequena altera¸c˜ao, dada por

Φ :R+_{×(0,2π)−→}R2_{\ {(x, y)∈}R2_/x>0, y = 0_} (r, θ)_7−→Φ(r, θ) = (√2rcosθ,√2rsinθ) Verifica-se neste caso que (DΦ)t_{J(DΦ) =J, logo Φ ´e simpl´etica.}

Exemplo 1.1.2 Sejaf : (x, y)_7−→(ξ, η) definida porξ =αx, η=βy. Onde

α, β s˜ao constantes n˜ao nulas. Assim, T =Df =

α 0

0 β

Por tanto, Tt_{JT =αβJ. Isto ´e, a transforma¸c˜aof ´e simpl´etica se e somente}

se αβ = 1

Exemplo 1.1.3 Seja f(x, y) = (ax+by, cx+dy), assim (Df)t_{J(Df) = J}

se e somente se, det(Df) =ad₋bc= 1. Os autovalores deDf s˜ao

λ1,2 =

a+d_±p(a+d)2 ₋₄

2 .

Se _|a +d_| < 2 temos que os autovalores da derivada da f possuem parte imagin´aria n˜ao nula, vamos chamar de λ1 =x+iy e λ2 =x−iy. Usando o

teorema (1.2) temos que λ2 =λ−11 e

λ1.λ2 =x2+y2 = 1.

Ent˜ao toda transforma¸c˜ao, nas condi¸c˜oes acima, de um aberto de R2 _{em R}2

Esse tipo de transforma¸c˜oes s˜ao chamados de transforma¸c˜oes lineares simpl´eticas

el´ıpticas.

1.2

Fun¸

c˜

oes Geradoras

Vamos, agora, obter um processo para constru¸c˜ao de transforma¸c˜oes simpl´eticas

por meio de uma fun¸c˜ao chamada de fun¸c˜ao geradora. Seja ω a 2-forma

ω = dx ∧dy, considere a mudan¸ca de coordenadas f : (x, y) 7−→ (ξ, η) e assuma que ξ(x, y) e η(x, y) est˜ao definidas em uma vizinhan¸ca aberta da origem deR2_{. Pelo corol´ario (1.1), nas condi¸c˜oes acima, a mudan¸ca de}

coor-denadas f ´e simpl´etica se e somente sedx_∧dy=dξ_∧dη.

Umak₋forma ω´e fechada se dω = 0. Definindo as 1-formasω1 =ydx−ηdξ

e ω3 = xdy −ξdη, temos que ω1 e ω3 s˜ao fechadas se e somente se ω2 =

ω1 +d(ηξ) = ydx+ξdη e ω4 = ω3 +d(ηξ) = xdy +ηdξ tamb´em s˜ao

fe-chadas. Assim, temos que f ´e simpl´etica se e somente se ω1, ω2, ω3 eω4 s˜ao

fechadas. O Lema de Poincar´e nos diz que toda forma fechada ´e localmente

exata. Assim, a mudan¸ca de coordenadasf ´e simpl´etica se e somente se exis-tem fun¸c˜oes, definidas em uma vizinhan¸ca da origem (0,0), µ1 = µ1(x, ξ),

µ2 =µ2(x, η), µ3 =µ3(y, η) e µ4 =µ4(y, ξ) tais quedµi =ωi, i= 1,· · · ,4.

Estas fun¸c˜oes fornecem uma forma f´acil de construir transforma¸c˜oes simpl´eticas.

∂µ1

∂ξ (x, ξ)dξ =dµ1 =ω1. Isto acontece se, e somente se,

∂µ1

∂x(x, ξ) =y, ∂µ1

∂ξ (x, ξ) =−η.

Por tanto, qualquer mudan¸ca de coordenadas f tal que existe uma µ1 que

satisfaz estas duas ´ultimas condi¸c˜oes ´e simpl´etica. Assumindo agora que

∂2_µ 1

∂x∂ξ(x, ξ)6= 0, segue-se do teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita que podemos obter ξ

como fun¸c˜ao de xe y,ξ =ξ(x, y), e temos assim a mudan¸ca de coordenadas simpl´eticaf : (x, y)_7−→(ξ, η) = (ξ(x, y),₋∂µ1

∂ξ (x, ξ(x, y))). De forma similar,

temos o seguinte teorema

Teorema 1.3 As seguintes condi¸c˜oes definem mudan¸cas de coordenadas simpl´eticas

a) y= ∂µ1

∂x(x, ξ), η=− ∂µ1

∂ξ (x, ξ), quando ∂2µ1

∂x∂ξ(x, ξ)6= 0.

b) y= ∂µ2

∂x(x, η), ξ= ∂µ2

∂η (x, η), quando ∂2_µ

2

∂x∂η(x, η)6= 0.

c) x= ∂µ3

∂y (y, η), ξ=− ∂µ3

∂η(y, η), quando ∂2_µ

3

∂y∂η(y, η)6= 0.

d) x= ∂µ4

∂y (y, ξ), η= ∂µ4

∂ξ (y, ξ), quando ∂2_µ4

∂y∂ξ(y, ξ)6= 0.

As fun¸c˜oes µi, i= 1,· · · ,4,s˜ao chamadas de fun¸c˜oes geradoras.

Vamos estudar alguns exemplos de fun¸c˜oes geradoras

Exemplo 1.2.1 Seja µ4(y, ξ) = yξ, ∂ 2_µ

4

∂y∂ξ(y, ξ) = 1. Assim, a aplica¸c˜ao f :

(x, y) _7−→ (ξ, η) define uma mudan¸ca de coordenadas simpl´eticas dada por

x= ∂µ4

∂y (y, ξ) = ξ, η= ∂µ4

Exemplo 1.2.2 Suponhamos que temos uma fun¸c˜aoξ=f(x),comf′_(x)

in-vert´ıvel, ent˜ao esta fun¸c˜ao pode ser estendida a uma transforma¸c˜ao simpl´etica

usando µ2, como no teorema (1.3), na seguinte forma

µ2(x, η) = f(x)η.

Assim, y=f′_{(x)η e ξ=f(x), isto ´e}

(x, y)7−→(ξ=f(x), η=f′(x)−1y)

Exemplo 1.2.3 Seja f : (x, y) _7−→ (ξ, η) uma transforma¸c˜ao simpl´etica. Consideremos a 1-forma ω = (ξ₋x)dη+ (y₋η)dx a qual ´e fechada, pois a

f preserva ´area. Pelo lema de Poincar´e, existe uma fun¸c˜ao µ(x, η), tal que

dµ=ω, isto ´e

ξ = x+µη(x, η) e

y = η+µx(x, η).

Este exemplo ser´a usado ao longo do trabalho. Observe que µdefine implici-tamente ξ =ξ(x, y) eη =η(x, y), isto ´eµ define implicitamente a mudan¸ca de coordenadas f. Usaremos a seguinte nota¸c˜ao E(µ) =f.

1.3

Pontos Fixos e ´

Orbitas Peri´

odicas

Nesta se¸c˜ao forneceremos as defini¸c˜oes de ´orbitas peri´odicas e pontos fixos

Defini¸c˜ao 1.3 Seja f um difeomorfismo definido em uma vizinhan¸ca dep_∈

R2 _{em R}2_{. A ´orbita positiva do ponto p por f ´e O}+

f(p) = {fk(p), k ∈ N0}, a ´orbita negativa do ponto p por f ´e O−_f(p) =_{fk_{(p), k ∈Z}−

0} e a ´orbita do ponto p por f ´e Of(p) ={fk(p), k∈Z}.

Defini¸c˜ao 1.4 Uma ´orbita do ponto p por f ´e dita peri´odica, de periodo T

se fi_(p)

6

=p, para cada i= 1,_{· · ·} , T ₋1, e fT_{(p) =p.}

Defini¸c˜ao 1.5 Seja f : V ⊂ R2 _−→ R2 _{um difeomorfismo simpl´etico. Um} ponto p _∈ V ´e dito um ponto peri´odico hiperb´olico de f se p ´e um ponto peri´odico de f, de periodo T, e os autovalores da transforma¸c˜ao linear

DfT

p pertencem a R\ {±1}, e ´e dito ponto fixo el´ıptico, se f(p) = p e os

autovalores da transforma¸c˜ao linear Dfp pertencem a S1\ {±1}.

Defini¸c˜ao 1.6 Seja p um ponto peri´odico hiperb´olico de periodo n, fn_{(p) =}

p, os conjuntos

Ws(p) ={x/fnk(x)→p, quando k → ∞}

Wu(p) =_{x/f−nk(x)_→p, quando k _{→ ∞}}

s˜ao chamados de variedade est´avel e variedade inst´avel do ponto p

respectivamente.

Se considerarmos apenas partes compactas da variedade Ws_{(p) que contˆem}

o ponto hiperb´olico p, chamaremos de variedade est´avel local e denotaremos por Ws

Defini¸c˜ao 1.7 Um ponto h ´e dito homocl´ınico a uma ´orbita peri´odica, se ´e a interse¸c˜ao da variedade inst´avel e a variedade est´avel de dois pontos peri´odicos hiperb´olicos p e q pertencentes `a mesma ´orbita. Isto ´e, se

h∈Wu(p)\ {p} ∩Ws(q)\ {q}.

1.4

A forma normal de Birkhoff e uma

topo-logia no espa¸

co das fun¸

c˜

oes geradoras

Nesta se¸c˜ao definiremos um espa¸co de fun¸c˜oes geradoras e uma topologia

nesse espa¸co. Forneceremos tamb´em a forma normal de Birkhoff.

Defini¸c˜ao 1.8 Um difeomorfismo f : U ⊂ R2 _{7−→ R}2 _{´e dito anal´ıtico se} suas componentes s˜ao fun¸c˜oes infinitamente diferenci´aveis que verificam o teorema de Taylor. Nesse caso

f(x, y) = ( X

i+k_≥0

aikxiyk,

X

i+k_≥0

bikxiyk),

onde U ´e um aberto definido pelo raio de convergˆencia das s´eries.

Denotaremos por S0 o subconjunto de difeomorfismos simpl´eticos anal´ıticos

locais f definidos em uma vizinhan¸ca aberta de 0 ∈R2 _{e tais que 0 ´e ponto}

fixo el´ıptico de f. Descreveremos os elementos deS0 porf = (Df0)◦f ,b onde b

f ´e uma transforma¸c˜ao simpl´etica da forma

b

Onde O1 ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica nas vari´aveis x e y de ordem menor maior

ou igual a 2.

Usando o exemplo (1.2.3) garantimos a existˆencia da fun¸c˜ao geradora µ, tal que µ(0) = 0 e em uma vizinhan¸ca do 0 tem a seguinte forma:

µ(x, η) = X

k+l≥3

µklxkηl

Denotaremos por G0 o conjunto dessas fun¸c˜oes geradoras. Como toda

trans-forma¸c˜ao linear simpl´etica el´ıptica T ´e conjugada a uma rota¸c˜ao Rα, ver

exemplo (1.1.3), isto ´e T = A_◦Rα◦A−1, com A simpl´etica, restringiremos

nosso estudo apenas as rota¸c˜oes, e descreveremos o conjunto dos

difeomor-fismos f =Rα◦E(µ)∈S0,Rα = (Df)0 pela seguinte carta

f =Rα◦E(µ)7−→(λ, µ)∈ {S1\ {±1} ×G0},

onde E(µ) =f ,b como no exemplo (1.2.3) eλ =e2πiα_{, α real, ´e um autovalor}

de Rα = (Df)0. Usaremos a abrevia¸c˜ao f ≡(λ, µ).

Com o prop´osito de ter uma vizinhan¸ca de 0 ∈ R2 _{que esteja contida no}

dominio de defini¸c˜ao de todas as fun¸c˜oes geradoras locais que consideraremos,

vamos introduzir para K >0 o subconjunto G0K ⊂G0 definido por

G0K ={µ∈G0/|µkl|< Kk+l, k+l ≥3}

As seminormas pkl em G0 s˜ao definidas pelos coeficientes de µ,

As (ǫ)₋vizinhan¸cas abertas com centro em µs˜ao definidas por

B(µ,(ǫ)) ={ν ∈G0/pkl(ν−µ)< ǫkl, k+l ≥3},

onde (ǫ) = (ǫkl), ǫkl > 0, k+l ≥ 3. Em G0K definimos a topologia induzida

por todas as vizinhan¸cas abertas, e em S1_×G

0K definimos a topologia

pro-duto, com esta topologia o espa¸coS1_×G

0K ´e de Baire, isto ´e toda interse¸c˜ao

enumer´avel de conjuntos abertos e densos ´e denso emS1_×G

0K, veja apˆendice.

Neste trabalho todos os difeomorfismos ser˜ao simpl´eticos e anal´ıticos

de-finidos em alguma vizinhan¸ca aberta U de 0 _∈ R2 _{o qual ser´a um ponto}

fixo el´ıptico. Assim, se λ, λ1 s˜ao autovalores de Df0, ent˜ao λ.λ1 = 1, pois f

preserva ´area, isto ´e λ= λ−₁1. Al´em disso _|λ_| = 1, λ₆= _±1 pela elipticidade, isto ´e λ = e2πiα_{,2α /∈ Z. O seguinte teorema ´e devido a G.D. Birkhoff, a}

demonstra¸c˜ao de uma vers˜ao do teorema pode ser encontrada em [3].

Teorema 1.4 Sejaf : (R2_,0)−→(R2_{,0)um germe de difeomorfismo simpl´etico} e λ =e2πiα _{autovalor de Df}

0 tal que λn6= 1 para n= 1,· · · , q−1, e λq = 1. Existe uma mudan¸ca de vari´aveis simpl´etica e anal´ıtica Φ tal que na nova vari´avel ζ =ξ+iη= (ξ, η), o difeomorfismo Φ−1_{◦f◦Φ assume a seguinte} forma

Φ−1_◦f_◦Φ(ζ) =ζ.e2πia(|ζ|2₎

+cζ(q−1)+Pq(ζ, ζ)

em ζ, ζ come¸cando com termos de ordem q(isto ´e, 0 ´e um zero de ordem q

de Pq.) Os αi s˜ao chamados de invariantes simpl´eticos e c∈C.

Na demonstra¸c˜ao do teorema, temos que paraf(x, y) = (ξ(x, y), η(x, y)), fazendo z =x+iye ζ =ξ+iη, o fato def ser um difeomorfismo simpl´etico implica que

dx_∧dy =dξ_∧dη_⇔dζ_∧dζ¯=dz_∧dz¯ (1.2) SejaF(z,z¯) =ζ(z+¯z

2 ,

z₋z¯

2i ) e suponha queF(z,z¯) =λz+Rq(z,z¯)+O(|z | q+1_),

onde Rq(z,z¯) =P_k+j=qakjzkz¯j ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau q.

Para um melhor entendimento consideraremos alguns casos particulares para

os valores de q.

Exemplo 1.4.1 Considere q = 2, assim F(z,z¯) = λz + a20z2 +a11zz¯+

a02z¯2+O(|z |3), logo F(z,z¯) = ¯λz¯+ ¯a20z¯2+ ¯a11zz¯+ ¯a02z2+O(|z |3)

Logo, usando (1.2), a defini¸c˜ao da F em termos de ζ e o fato de f ser simpl´etica, temos que:

1 = det

λ+ 2a20z+a11z¯ a11z+ 2a02z¯

¯

a11z¯+ 2 ¯a02z ¯λ+ 2 ¯a20z¯+ ¯a11z+O(|z |)

Considere Φ(z,z¯) =z+S(z,z¯), com S(z,z¯) = P_k+j=2bkjzkz¯j.

Usando (1.2) e desenvolvendodζ_∧dζ¯em termos de dz_∧dz¯temos a seguinte rela¸c˜ao entre os coeficientes akj e bkj.

bkj =

akj

Para os detalhes pode ser consultado a referˆencia [3], na p´agina 43.

Exemplo 1.4.2 Considere q = 3, usando o mesmo racioc´ınio do exemplo anterior, usaremos que λ.λ¯= 1 para termos a seguinte equa¸c˜ao,

(λb30+a30−b30λ3)z3+(λb21+a21−λb21)z2z¯+(λb12+a12−b12λ¯)zz¯2+(λb03+a03−λ¯3b03)¯z3 = 0

Ent˜ao, podemos escolher os coeficientes bij tal que a fun¸c˜ao F tenha a forma

mais simples poss´ıvel, mas ´e imposs´ıvel zerar o termoa21. Acontece a mesma

coisa quando trabalhamos com q = 2n+ 1, n∈N_{, n˜ao ser´a poss´ıvel zerar os}

termos da forma an+1,n isto decorre da elipticidade do ponto 0∈R2, ´e dizer

λ.λ¯ = 1, onde λ´e autovalor de Df0.

Observac˜ao 1.1 Do processo inductivo na demonstra¸c˜ao do teorema de Birkhoff decorre inmediatamente a dependˆencia dos invariantes de Birkhoff

α0, α1,· · ·, αs e da constante c em fun¸c˜ao de λ. Mais precisamente, a

de-pendˆencia ´e a seguinte:

α0 =λ, αi =

ai+1,i

λ2πi, i= 1,· · · , s.

Assim, se considerarmos f ≡(e2πiα0_{, µ) dependendo do α}

0, o difeomorfismo

Φ e a forma normal f = Φ−1_◦f

1 ◦Φ dependem anal´ıticamente de α0, se α0

pertence a um intervalo tal que λn _{6= 1, onde λ = e}2πiα0_{, ´e satisfeita. Em}

Cap´ıtulo 2

Obten¸

c˜

ao de ´

orbitas peri´

odicas

Neste cap´ıtulo, provaremos a existˆencia de ´orbitas peri´odicas el´ıpticas e

hi-perb´olicas em uma vizinhan¸ca do ponto fixo el´ıptico de forma gen´erica no

espaco S1_{\ {±1} ×G}

0k. Para isso usaremos a forma normal de Birkhoff.

Lema 1 Sejam f _≡ (e2πiα_{, µ) ∈ M e B = B(f, ǫ,(ǫ}

kl)) uma vizinhan¸ca

aberta com centro f. Sejamp, q ∈N_{, q ≥6, e(p, q) = 1tais que |}p

q−α|<

1 4ǫ. Existem uma fam´ılia (fτ),|τ|< ₂1√ǫ, de difeomorfismos fτ ≡(e2πi(

p q−τ

2₎

, µ2) tal que (fτ)⊂B, e uma fam´ılia(Φτ)de mudan¸cas de coordenadas anal´ıticas

com Φτ(0) = 0 dependendo anal´ıticamente de τ tais que Φτ−1◦fτ◦Φτ tem a

forma do teorema (1.4) com α1 = 1, c >0 e

a(_|ζ _|2) = p

q −τ

2₊

|ζ _|2 +_{· · ·}+αs|ζ |2s

Demonstra¸c˜ao. Usando a observa¸c˜ao 1.1, podemos introduzir um parˆametro

τ e definir a fam´ılia (fτ) de difeomorfismos por

fτ ≡(e2πi(

p q−τ

2₎

, µ).

Do exemplo (1.2.3) sabemos que para fτ ser simpl´etica, µdeve satisfazer as

seguintes equa¸c˜oes

ξ = x+∂µ(x, η)

∂η =x+

X

i+k_≥3

kµikxiηk−1

y = η+∂µ(x, η)

∂x =η+

X

i+k≥3

iµikxi−1ηk

Observac˜ao 2.1 Usando o teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita na segunda equa¸c˜ao podemos escrever η em termos dex e y, assim temos

η(x, y) = y−µ12y2−2µ21xy−3µ30x2−µ13y3−2µ22xy2−

−3µ31x2y−4µ40x3− · · ·

ξ(x, y) = x+µ21x2+ 2µ12xη(x, y) + 3µ03η(x, y)2 +µ31x3+

+ 2µ22x2η(x, y) + 3µ13xη(x, y)2+ 4µ04η(x, y)3+· · ·

Assim, substituindo esses valores na forma normal de Birkhoff, Teorema (1.4),

considerando λ = e2πi(pq−τ 2₎

e usando expans˜ao de Taylor para a fun¸c˜ao

exponencial temos

Φ−1_◦fτ◦Φ(ξ(x, y), η(x, y)) = λ(ξ(x, y) +iη(x, y))(1 + 2πiα1|ξ(x, y) +iη(x, y)|2+

+_{· · ·}) +c(ξ₋iη)q−1_+P

Pela demonstra¸c˜ao da forma normal de Birkhoff na referˆencia [3] sabemos

que

Φ−1◦fτ◦Φ(ξ(x, y), η(x, y)) = F(x+iy, x−iy) =λ(x+iy) +

+a21(x2+y2)(x+iy) +a32(x2+y2)2(x+iy) +

+· · ·+a[q 2][

q 2−1](x

2_+y2₎[q

2]−1(x+iy) +· · · (2.2)

Observemos que os coeficientes dos termos c´ubicos da fun¸c˜ao geradora µ

produzem os termos quadr´aticos em η e ξ, logo nas vari´aveis x e y, mas na equa¸c˜ao (2.2) n˜ao aparecem termos quadr´aticos para as vari´aveis x e y. Assim, sem perda de generalidade podemos considerar a fun¸c˜ao geradora

come¸cando com termos de grau 4.

Substituindo os valores de ξ(x, y) e η(x, y) na equa¸c˜ao (2.1) e igualando os coeficientes com a equa¸c˜ao (2.2) vamos obtera21em termos deδ, usaremos

a seguinte rela¸c˜ao para obter o α1.

α1 =

a21

2πiλ.

Assim, igualando os coeficientes dos termos de grau 3, temos as seguintes

equa¸c˜oes

a21 = λ(µ31−4iµ40)

ia21 = λ(2µ22−3iµ31)

a21 = λ(3µ13−2iµ22)

Se a21 for diferente de zero, temos que α1 ´e diferente de zero em τ = 0.

Por´em se a21 ´e zero, o lado direito das equa¸c˜oes acima s˜ao iguais a zero, e

temos assim rela¸c˜oes entre os coeficientes de grau 4 da fun¸c˜ao geradora µ.

Para fazer que as fun¸c˜oes anal´ıticas, na forma normal de Birkhoff, α1(τ) e

c(τ) sejam distintas de zero em τ = 0, usaremos a seguinte perturba¸c˜ao na fun¸c˜ao geradora µ.

µ2(x, η) =µ(x, η)−δ

π

2(x

2_+η2₎2_+Im(b(x+iηq_)).

Lembrando que

ξ = x+ ∂µ2

∂η (x, η), y = η+ ∂µ2

∂x (x, η),

obtemos

ξ = x+∂µ

∂η(x, η)−2ηδπ(x

2_+η2_{) +bqx}q₋1

−3b

q q₋3

xq−3η2+ +_{· · · ±}(q₋1)bqxηq−2,

y = η+ ∂µ

∂x(x, η)−2xδπ(x

2_+η2_{) + (q}

−1)bqxq−2η₋

−(q₋3)b

q q₋3

Aplicando o teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita na ´ultima equa¸c˜ao podemos obter

η =η(x, y) e temos assim ξ=ξ(x, y). Mais precisamente

η(x, y) = y₋4(µ40−δ

π

2)x

3

−3µ31x2y−2(µ22−δπ)xy2−µ13y3− · · ·

−(q₋1)bqxq−2y+ (q₋3)b

q

3

xq−4y3_{− · · · ∓}(q₋1)

q q₋1

yq−1 ξ(x, y) = x+µ31x3 + 2(µ22−δπ)x2y+ 3µ13xy2 + (4µ04−2δπ)y3

+_{· · ·}+bqxq−1₋3b

q

3

xq−3y2+_{· · · ±}(q₋1)bqxyq−2

Substituindo esses valores deξeηna equa¸c˜ao (2.1) e igualando os coeficientes com a equa¸c˜ao (2.2) vamos obter as seguintes rela¸c˜oes para a21

a21 = [µ31−4i(µ40−δ

π

2)]λ

ia21 = [2(µ22−δπ)−3µ31i]λ

a21 = [3µ13−2i(µ22−δπ)]λ

ia21 = [2(2µ04−δπ)−iµ13]λ

Resolvendo as equa¸c˜oes para a21 e usando as rela¸c˜oes entre os coeficientes

µik, temos quea21(0) = 2πiδe2 p

qπi. Finalmente obtemos

α1(0) =

a21(0)

2πie2pqπi

= 2πiδe

2p qπi

2πie2pqπi

=δ.

Usando o mesmo racioc´ınio podemos obter c(0) =b.

Se considerarmos_|δ_|< 2_πmin(ǫkl−µkl), k+l = 4 e|b|< min(ǫkl−µkl). k+_kl

−1

, k+l=q e como |p

q −τ

2_{−α|< ǫ temos que f}

τ ∈B.

cont´ınuas, garantimos a existˆencia de uma vizinhan¸ca de 0 tal que α(τ) e

c(τ) s˜ao diferentes de zero para τ nessa vizinhan¸ca.

Para essa fam´ılia de difeomorfismos com α1(τ) 6= 0 e c(τ) 6= 0 provaremos

a existˆencia de pontos peri´odicos n˜ao degenerados(pontos fixos para fq τ) os

quais dependem anal´ıticamente de τ e pertencem, para τ pequeno, `a vizi-nhan¸ca U de 0. Para isto, normalizaremos oα1. Vamos considerarα1 >0 e

usaremos a transforma¸c˜ao escalarζ _→pα1(τ)ζe substituindo na forma

nor-mal de Birkhoff temosα1 = 1.Fazendo a mudan¸ca de coordenadas,ζ →eiµζ

e substituindo na forma normal de Birkhoff podemos considerar, sem perda

de generalidade, c >0. Finalmente temos, para o difeomorfismo fτ

a(_|ζ _|2) = p

q −τ

2₊

|ζ _|2 +_{· · ·}+αs|ζ |2s.

Para determinar os pontos fixos defq

τ parafτ,de acordo ao lema 1,

intro-duziremos na carta da forma normal Φτ as coordenadas polaresξ+iη=reiφ.

Mostraremos que os pontos fixos de fq

τ tendem a zero quandoτ →0. Assim,

podemos explodir a vizinhan¸ca do ponto fixo el´ıptico 0, introduzindo uma

mudan¸ca de escala (φ, r)→(φ, τ ρ). Definamosh(φ, ρ) =τ ρeiφ_.

(Φ(φ, ρ), R(φ, ρ)) = Be(φ, ρ) =h−1◦B◦h(φ, ρ) = h−1◦B(τ ρeiφ)

τ R(φ, ρ)eiΦ(φ,ρ) = τ ρei[φ+2π(a(τ ρ)2)]+cτq−1ρq−1e−iφ(q−1)+Pq(φ, ρ)

R(φ, ρ)eiΦ(φ,ρ) = ρei[φ+2π(a(τ ρ)2)]+cτq−2ρq−1e−iφ(q−1)+Pq(φ, ρ)

Considerando R dependendo tamb´em de c, temos

R(φ, ρ, c)

ρ e

i(Φ−φ₋2π(a(τ ρ)2₎₎

= 1 +cτq−2ρq−2e−i(qφ+2π(a(τ ρ)2))+Pq(φ, ρ) (2.3)

R(φ, ρ, c)

ρ = |1 +cτ

q−2_ρq−2_e−i(qφ+2π(a(τ ρ)2₎₎

+Pq(φ, ρ)|

(R(φ, ρ, c)

ρ )

2 _{= 1 +c}2_τ2(q−2)_ρ2(q−2)_{+ 2cτ}q−2_ρq−2_{cos(qφ+ 2π(a(τ ρ)}2_{)) +P}

q(φ, ρ, c)

R(φ, ρ, c) = ρ

q

1 +c2_τ2(q−2)_ρ2(q−2)_{+ 2cτ}q−2_ρq−2_{cos(qφ+ 2π(a(τ ρ)}2_{)) +P}

q(φ, ρ, c)

Usando a expans˜ao em s´erie de Taylor na vari´avel cparaR(φ, ρ, c), obtemos a fun¸c˜ao R(φ, ρ)

R(φ, ρ) = R(φ, ρ, c) = R(φ, ρ,0) +c∂R(φ, ρ, c)

∂c |c=0+· · ·

= ρ+ c

2(2τ

q−2_ρq−1_{cos(qφ+ 2πa(τ ρ)}2_{)) +P}

q(φ, ρ)

= ρ+cτq−2_ρq−1_(cosφ

−((q₋1)φ+ 2πa(τ ρ)2) sinφ+_{· · ·}) +Pq(φ, ρ)

= ρ+cτq−2_ρq−1_cosφ+P

Para obter a fun¸c˜ao Φ(φ, ρ) usaremos a equa¸c˜ao (2.3)

tan(Φ−φ−2π(a(τ ρ)2)) = −cτ

q₋2_ρq₋2_{sin(qφ+ 2πa(τ ρ)}2_{) +P}1

q(φ, ρ)

1 +cτq−2_{cos(qφ+ 2πa(τ ρ)}2_{) +P}2

q(φ, ρ)

= [−cτq−2ρq−2sin(qφ+ 2πa(τ ρ)2) +Pq1(φ, ρ)].

.

∞

X

n=0

(−cτq−2ρq−2cos(qφ+ 2πa(τ ρ)2)−Pq2(φ, ρ)) n

Usando a aproxima¸c˜ao da tangente pela identidade numa vizinhan¸ca do zero,

temos

Φ₋φ₋2πa(τ ρ)2 = [₋cτq−2ρq−2sin(qφ+ 2π(a(τ ρ)2)) +Pq1(φ, ρ)].(1 +· · ·)

= ₋cτq−2ρq−2[sinφ+ (φ(q₋1) + 2πa(τ ρ)2) cosφ_{− · · ·}] +Pf1

q(φ, ρ))

= ₋cτq−2ρq−2sinφ+Pq(φ, ρ)

Assim temos

Φ = φ+ 2πa(τ ρ)2₋cτq−2_ρq−2_sinφ+P

q(φ, ρ)

= φ+ 2πp q + 2πτ

2_(b(ρ2₎

−1))₋cτq−2_ρq−2_sinφ+P

q(φ, ρ),

onde

b(ρ2) = ρ2+τ2α2ρ4 +· · ·+τ2σ−2ασρ2σ, σ= [

q

2]−1.

Considere a fun¸c˜ao Pq =τq−1ρq−1H(τ, τ ρ, φ), ondeH(τ, τ ρ, φ) ´e uma fun¸c˜ao

sobre s _∈ Z+_{, obtemos a seguinte representa¸c˜ao para f}s

τ nas coordenadas

(φ, ρ), com φ=φmod(2π).

φs = φ+ 2π(

p

qs−p) + 2πsτ

2_(b(ρ2₎₋₁₎₋

−csτq−2ρq−2sin(sφ) +τq−1ρq−1fs(τ, τ ρ, φ) (2.4)

ρs =ρ+csτq−2ρq−1cos(sφ) +τq−1ρqgs(τ, τ ρ, φ) (2.5)

O lema seguinte fornece as ´orbitas de pontos el´ıpticos, eτ, e de pontos

hi-perb´olicos hτ.

Lema 2 Seja (fτ) a fam´ılia de fun¸c˜oes anal´ıticas de acordo ao lema 1, nas

coordenadas polares ρ, φ. Existe para cada δ > 0, um τ(δ) > 0 tal que fq τ

possui 2q pontos fixos isolados zν(τ) em |z|< δ, para todo0< τ < τ(δ), ν=

1,2,_{· · ·},2q. Os pontos fixos s˜ao dados por

zν(τ) = τ ρν(τ)eiφν(τ), (2.6)

onde as fun¸c˜oes ρν e φν s˜ao anal´ıticas em τ e

ρν(0) = 1, φν(0) =

π q(ν−

1 2).

Al´em disso, os q pontos fixos, com ν ´ımpar, denotados por (eν), formam

uma ´unica ´orbita de pontos peri´odicos el´ıpticos defτ e os q pontos fixos com

ν par, denotados por (hν), formam uma ´unica ´orbita de pontos peri´odicos

hiperb´olicos.

O(eν) = ∪ q

s=1fτs(eν) = ∪ q

O(hν) = ∪qs=1fτs(hν) = ∪qµ=1h2µ, (2.8)

Demonstra¸c˜ao. Nas coordenadas (ρ, φ) a condi¸c˜ao para (ρ, φ) ser ponto fixo de fq

τ ´e ρq = ρ e φq = φmod(2π). Escrevendo (2.4) e (2.5) com s = q na

forma

φq =φ+ 2πqτ2fb1(τ, ρ, φ) (2.9)

ρq =ρ+cqτq−2fb2(τ, ρ, φ). (2.10)

Com

b

f1(τ, ρ, φ) = b(ρ2)−1−

c

2πτ

q−4_ρq−2_{sin(qφ) +} 1

2πqτ

q−3_ρq−1_f

q(τ, τ ρ, φ(2.11))

e

b

f2(τ, ρ, φ) = ρq−1cos(qφ) +

τ cqρ

q_g

q(τ, τ ρ, φ). (2.12)

Assim, (ρ, φ) ´e ponto fixo de fq

τ se e somente se

b

fτ(ρ, φ)≡(fb1(τ, ρ, φ),fb2(τ, ρ, φ)) = (0,0), (2.13)

pois c₆= 0.

As fun¸c˜oes fb1 e fb2 s˜ao anal´ıticas em τ e ρ. Usando (2.11) e (2.12) temos b

f1(τ, ρ, φ) =ρ2−1 +O1(τ)

e

b

Onde

O1(τ) = τ2α2ρ4+· · ·+τ2σ−2ασρ2σ −

c

2πτ

q₋4_ρq₋2_{sin(qφ) +}

+ 1

2πqτ

q₋3_ρq₋1_f

q(τ, τ ρ, φ)

e O2(τ) =

τ cqρ

q

gq(τ, τ ρ, φ)

Ent˜ao, se τ = 0,existem exatamente 2q solu¸c˜oes para a equa¸c˜ao (2.13), e s˜ao (ρν, φν) = (1,

π q(ν−

1

2)), ν= 1,2,· · · ,2q.

Para cada ν = 1,_{· · ·} ,2q, usaremos o teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita para a fun¸c˜aofb(τ, ρ, φ) = (ρ2_−1+O

1(τ), ρq−1cos(qφ)+O2(τ)) efb(0, ρν, φν) = (0,0).

Como

det(dfb0(ρ(ν), φ(ν))) = det

2ρ 0

(q−1)ρq₋2_{cos(qφ) −qρ}q₋1_sin(qφ)

= ₋2qsinπ(ν₋1

2) = (−1)

ν_2q

6

= 0,

Ent˜ao existem vizinhan¸casU de (0, ρν, φν) eV de 0 tais que para cadaτ ∈V

existe um ´unico (ρν(τ), φν(τ)) tal que (τ, ρν(τ), φν(τ))∈U e

b

f(τ, ρν(τ), φν(τ)) = (0,0) com (ρν(0), φν(0)) = (ρν, φν) = (1,

π q(ν−

1 2)).

Alem disso, como fb´e anal´ıtica em τ temos que ρν(τ), φν(τ) s˜ao anal´ıticas

em τ, ent˜ao para cada δ >0 podemos escolher um τ(δ) pequeno o suficiente tal que (0, τ(δ))⊂V e |zν(τ)|=τ ρν(τ)< δ, para todo τ ∈(0, τ(δ)).

paraν = 1,_{· · ·} ,2q.Essas fun¸c˜oes representam os pontos fixos dados em(2.6), isto ´e

fq

τ(ρν(τ), φν(τ)) = (ρν(τ), φν(τ)). (2.14)

Para provar que os pontos fixos (eν) e (hν) constituem duas ´unicas ´orbitas

de fτ observamos primeiro que, para cada ponto fixo p de fq e para s ∈ Z,

fs_{(p) ´e tamb´em ponto fixo de f}q_{, pois}

fq

◦fs_{(p) =f}s

◦fq_{(p) =f}s_{(p). (2.15)}

Seja pν = (ρν(τ), φν(τ)) logo se segue de (2.4) e (2.5) que

fτs(pν) = (ρsν(τ), φ s

ν(τ)) (2.16)

onde

(ρsν(0), φ s

ν(0)) = (1, φν(0) + 2π(

p

qs−p))

= (1,π

q(ν+ 2ps−

1

2)mod(2π))

= (1, φν(s)(0)mod(2π)), 1≤ν(s) =ν+ 2ps≤2q.

Usando (2.14) e (2.15) temos que fq

τ(ρsν(τ), φsν(τ)) = (ρsν(τ), φsν(τ)), isto ´e

b

fτ(ρsν(τ), φsν(τ)) = (0,0).

Pela unicidade das fun¸c˜oes ρν(τ) e φν(τ) no teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita

temos que

(ρs

Como ν(s) =ν+ 2ps segue-se que se ν ´e par(´ımpar) logo ν(s) ´e par(´ımpar). Usando (2.16) e (2.17) para ν par ou ´ımpar temos que existem exatamente

q pontos distintosfs

τ(ρν) = (ρν(s)(τ), φν(s)(τ)). Assim, temos

O(eν) = ∪qs=1fτs(ρν(τ), φν(τ)) =∪qs=1(ρν(s)(τ), φν(s)(τ)) =∪qµ=1e2µ₋1

O(hν) =∪ q

s=1fτs(ρν(τ), φν(τ)) =∪ q

s=1(ρν(s)(τ), φν(s)(τ)) =∪qµ=1h2µ.

Logo temos as igualdades (2.7) e (2.8). Os pontos fixos s˜ao

zν(τ) = (ρν(τ), φν(τ)) =τ ρν(τ)eiφν(τ).

Ainda n˜ao foi provado que eν ehν s˜ao de fato pontos el´ıpticos e hiperb´olicos

respectivamente, isso ser´a provado no lema 4.

Observac˜ao 2.2 Temos usado fortemente que α1(0) 6= 0, pois na verdade b

f1(τ, ρ, φ) =α1(τ)ρ2−1+O(τ) e seα1(0) = 0 teriamos quefb1(0, ρ, φ) = −1 e

a equa¸c˜ao (2.13) n˜ao teria solu¸c˜ao. Assim, n˜ao seria poss´ıvel usar o teorema

da fun¸c˜ao impl´ıcita para garantir a existˆencia dos pontos fixos de fq τ.

No cap´ıtulo 3 construiremos as variedades est´avel e inst´avel dos pontos

fi-xos hiperb´olicos, e por simplicidade ser´a conveniente deslocar o ponto fixo

ao origem. Assim consideraremos uma mudan¸ca de escalas para obter que

fq

τ, introduzimos as novas coordenadas definidas por

φ = φν(τ) +ψ (2.18)

ρ = ρν(τ) +τ

q

2−2x (2.19)

Vamos restringir as novas coordenadas apenas ao anel A dado por

A={(ψ, x)/0≤ψ ≤2π,|x| ≤2γ, γ =

r _c

qπ}. (2.20)

Como (ρν(τ), φν(τ)) ´e ponto fixo de fτq, usando a equa¸c˜ao (2.4) temos

b(ρ2ν(τ))−1−

cτq−4

2π ρ

q₋2

ν (τ) sin(qφν(τ)) +

τq−3

2qπρ

q₋1

ν (τ)fq = 0

ρ2ν(τ) +τ2α2ρ4ν(τ) +· · ·+τ2 σ₋2_α

σρ2νσ(τ)−1−τ

q₋4_{f(τ, ν) = 0,}

onde f(τ, ν) ´e uma fun¸c˜ao anal´ıtica em τ que depende de ν. Como ρν(τ) ´e

anal´ıtica em τ, ent˜ao temos

ρ2ν(τ) = 1−τ2P1(τ) +τq−4f(τ, ν),

ρν(τ) = 1−τ2P1(τ) +τq−4f(τ, ν) +

1 2(−τ

2_P

1(τ) +τq−4f(τ, ν))2+· · ·

ρν(τ) = 1−τ2P1(τ) +τq−4f1(τ, ν)

Repare que P1 ´e anal´ıtico em τ e n˜ao depende de ν, assim

ρν(τ)−ρµ(τ) =τq−4f1(τ, ν)−τq−4f1(τ, µ) =τq−4ρνµ(τ) (2.21)

para todo µ= 1,2,· · · ,2q,eρνµ(τ) ´e anal´ıtica em τ. Assim, para τ

pν epµ, respectivamente, est˜ao suficientemente pr´oximas.

Como x= (ρ−ρν(τ))τ2−

q

2 e usando (2.21) temos que

(ρµ(τ)−ρν(τ))τ2−

q

2 =τq−4τ2− q

2ρ_νµ(τ) = τ q 2−2ρ_νµ.

Assim, o anel A cont´em todos os pontos fixos de fq

τ, de acordo ao lema 2,

para τ suficientemente pequeno. A seguinte representa¸c˜ao de fq

τ nas novas coordenadas (ψ, x) ser´a a principal

ferramenta para a constru¸c˜ao das variedades invariantes locais.

Lema 3 O difeomorfismo fq

τ tem a seguinte forma no anel A

ψq = ψ+ατ

q 2x+τ

q

2+1h₁(τ, ψ, x)mod(2π), (2.22)

xq = (−1)νβτ

q

2sen(qψ) +x+τ q

2+1h₂(τ, ψ, x), (2.23)

α = 4πq, β =cq. (2.24)

as fun¸c˜oes hi, i = 1,2 s˜ao anal´ıticas em √τ e x, e peri´odicas em ψ com

periodo 2π. Mais ainda, hi(τ,0,0) = 0 e para |τ|< τ0, com τ0 >0,

|hi(τ, .)|C1_(A)≤k, k =constante. Demonstra¸c˜ao. Defina

g(ψ, x) = (φ, ρ) = (φν(τ) +ψ, ρν(τ) +τ

e usando (2.9) e (2.18) temos que

fτq(ψ, x) = (ψq, xq) =g−1◦fτq◦g(ψ, x) = g−1◦f q

τ ◦(φ, ρ) = (φν(τ) +ψ, ρν(τ) +τ

q 2−2x)

= g−1(ψ+φν + 2πqτ2fb1(τ, ρν(τ) +τ

q

2−2x, φ_ν(τ) +ψ), ρ_ν(τ) +

+ψq2−2x+cqτq−2fb₂(τ, ρ_ν(τ) +τ q

2−2x, φ_ν(τ) +ψ))

= (ψ+ 2πqτ2fb1(τ, ρν(τ) +τ

q

2−2x, φ_ν(τ) +ψ), x+

+cqτq2fb₂(τ, ρ_ν(τ) +τ q

2−2x, φ_ν(τ) +ψ)).

Ent˜ao temos

ψq =ψ+ 2πqτ2fb1(τ, ρν(τ) +τ

q

2−2x, φ_ν(τ) +ψ) (2.25)

xq = x+cqτ

q

2fb₂(τ, ρ_ν(τ) +τ q

2−2x, φ_ν(τ) +ψ). (2.26)

Para aplicar a f´ormula de Taylor, vamos fazer a seguinte mudan¸ca de vari´avel

y=τq2−2x e definimos a fun¸c˜ao

g(τ, y, ψ) = 2πqτ2fb1(τ, ρν(τ) +y, φν(τ) +ψ)

e de acordo `a equa¸c˜ao (2.11) podemos escrever g(τ, y, ψ) da seguinte forma

g(τ, y, ψ) = 2πqτ2(b(ρ2)₋1) +τq−2_g

1(τ, y, ψ) (2.27)

Seja

a expans˜ao de Taylor, emy. Como (ρν(τ), φν(τ)) ´e ponto fixo, ent˜aofb1(τ, ρν(τ), φν(τ)) =

0 entao g(τ,0,0) = 0 e obtemos, para γ0(τ, ψ) = g(τ,0, ψ). Usando (2.27)

temos

γ0(τ, ψ) = τq−2(g1(τ,0, ψ)−g1(τ,0,0))

desde que

d dyb(ρ

2_{) =} d

dρb(ρ

2_).dρ

dy = d dyb(ρ

2_{) = 2ρ}

ν(τ) +τ b1(τ) = 2 +τ b2(τ)

em y= 0, e b2 ´e anal´ıtica em τ, ent˜ao temos

γ1(τ, ψ) =

d

dyg(τ, y, ψ)|y=0 = 4πqτ

2 _{+ 2πqτ}3_b

2(τ) +τq−2

d

dyg1(τ,0, ψ).

e

γ2(τ, ψ, y) = Z 1

0

(1−s) d

2

ds2g(τ, sy, ψ)ds

fazendo y = τq

2−2x na f´ormula (2.28) e substituindo em (2.25) temos a

pri-meira parte do lema, pois q−2≥ q

2 + 1 para q≥6.

Para a segunda parte do lema usaremos a seguinte rela¸c˜ao

cosq(φν(τ)+ψ) = cosq(φν(0)+O(τ) +ψ) = cos(π(ν−

1

2) +ψ) +O(τ) = −sinπ(ν− q

2) sinqφ= (−1)

ν

sinqφ+O(τ) Substituindo em (2.26) e usando (2.12), temos

xq = x+cqτ

q

2[(ρ_ν(τ) +y)q−1cosq(φ_ν(τ) +ψ) +O(τ)]

= x+cqτq2[(1 +O(τ))q−1cosq(φ_ν(τ) +ψ) +O(τ)]

= x+ (₋1)ν_cqτq

2 sinqψ+τ q

Assim, temos demonstrado as duas primeiras igualdades do lema. Das

igual-dades (2.18) e (2.19) sabemos que o ponto fixo de fq

τ ´e (ψ, x) = (0,0), assim

(0,0) =fq

τ(0,0) = (ψq, xq) = (τ

q

2+1h₁(τ,0,0), τ q

2+1h₂(τ,0,0)).Finalmente

te-mos hi(τ,0,0) = 0, i= 1,2.Observemos que hi ´e anal´ıtica e ela est´a definida

no compacto A, logo _|hi(τ, .)C1_(A)|< k para i= 1,2.

O seguinte lema demonstra que as ´orbitas obtidas no lema 2 s˜ao, de fato,

´orbitas el´ıptica e hiperb´olica.

Lema 4 A ´orbita de pontos peri´odicos comν par consiste de pontos peri´odicos hiperb´olicos e com ν´ımpar consiste de pontos peri´odicos el´ıpticos.

Demonstra¸c˜ao. Vamos calcular a derivada de fq

τ no ponto (ψ, x) = (0,0),

para isso usaremos as representa¸c˜oes de ψq exq obtidas no lema 3.

(dfq τ)0 =

1 ατq

2

(−1)ν_qβτq 2 1

+O(τq2+1).

E temos que os autovalores de (dfq τ)0 s˜ao

λν

1,2 = 1±τ q

2[(−1)νqαβ]12 +O(τ q 2+1)

Se ν ´e par, temos que o autovalores s˜ao n´umeros reais, diferentes de 1. Se ν

´e ´ımpar, temos que os autovalores s˜ao n´umeros complexos, com parte

ima-ginaria n˜ao nula. Assim, usando o exemplo (1.1.3) temos que os autovalores

possuem m´odulo 1.

Observemos que (dfq

τ)(0,0)e (dfτq)(φ_ν(τ),ρν(τ))s˜ao matrizes conjugadas, assim

te-mos que os autovalores acima s˜ao, tamb´em, os autovalores de (dfq

De fato,

fq

τ(0,0) = g−

1

◦fq

τ ◦g(0,0)

dfq

τ(0,0) = dg−

1

(φν(τ),ρν(τ))(df

q

τ)(φν(τ),ρν(τ))dg(0,0)

E assim, para ν par(´ımpar), temos que os autovalores λ1,2 s˜ao n´umeros

re-ais(em S1_{) diferentes de±1. Isto ´e, a ´orbita de f}

τ cont´em pontos peri´odicos

hiperb´olicos(el´ıpticos).

O seguinte teorema ´e o principal resultado deste cap´ıtulo, e garante que a

pro-priedade dos difeomorfismos terem ´orbitas peri´odicas el´ıpticas e hiperb´olicas

arbritariamente pr´oximas do ponto fixo el´ıptico ´e uma propriedade gen´erica.

Teorema 2.1 Seja K > 0 e M =M(K) o espa¸co de difeomorfismos locais

M = _{f _≡ (λ, µ)/f _∈ S1 _{\ {±1} ×G}

0K com a topologia definida na se¸c˜ao

1.4.

Seja M0 ⊂ M o conjunto desses difeomorfismos que possuem uma ´orbita de pontos peri´odicos el´ıpticos e uma ´orbita de pontos peri´odicos hiperb´olicos em toda vizinhan¸ca de 0. Ent˜ao M0 ´e residual, isto ´e

M0 =∩n_≥1Un,

Un ⊂M,

onde os Un, n≥1, s˜ao conjuntos abertos e densos em M, de difeomorfismos

Demonstra¸c˜ao. Provaremos que

M0 =∩n≥1Un.

i) Seja f _∈ M0. Ent˜ao f possui uma ´orbita peri´odica el´ıptica e uma

´orbita peri´odica hiperb´olica em toda vizinhan¸ca de 0, em particular

possui ´orbitas peri´odicas el´ıpticas e hiperb´olicas nas vizinhan¸cas Dn e

f _∈Un, para todon. Assim M0 ⊂ ∩n≥1Un.

ii) Seja f _{∈ ∩}n≥1Un. Ent˜ao f possui ´orbitas peri´odicas el´ıpticas e

hi-perb´olicas nas vizinhan¸cas Dn, agora como toda vizinhan¸ca do zero

cont´em algumDn, ent˜aofpossui, para toda vizinhan¸ca do zero, ´orbitas

peri´odicas el´ıpticas e hiperb´olicas. Assim f ∈M0.

Provaremos que Un ´e denso e aberto em M, para todo n.

iii) Se f _≡(λ, µ) _∈M, λ = e2πiα_{. Seja ǫ >0, considere g ≡ (}p

q, µ) tal que

|g₋f_|< ǫ

2 e

fm ≡(

p q −

1

m2, µ

m

1 ),

com_|p q−(

p q−

1

m2)|<

ǫ

2m eµ m

1 tal que pkl(µm1 −µ)< 2ǫm. Assim, usando

o lema 2 para cada δ = _m1, m > n, existem ´orbitas peri´odicas el´ıpticas e hiperb´olicas de fm em Dm ⊂Dn,poism > n.Logo fm possui ´orbitas

peri´odicas el´ıpticas e hiperb´olicas emDn ent˜ao fm ∈Un, m > n.Como

fm →g,quando m → ∞, logo|fm−f| ≤ |fm−g|+|g−f|< ǫ.

iv) Seja f _≡ (e2πiα0_{, µ}

0) ∈ Un, isto ´e f possui pelo menos uma ´orbita

peri´odica hiperb´olica,h, f(h),· · ·, fk_{(h) e uma ´orbita de peri´odica el´ıptica}

e, f(e),_{· · ·} , fr_{(e) contidos emD} n.

Considere a fun¸c˜ao ϕ : Dn ×U → Dn, U aberto de M, definida por

ϕ(p, g) = gk_{(p)−p, comϕ(h, f) = 0.ComoD}

1ϕ(h, f) =Dfk−I o qual

´e um isomorfismo, pois h´e um ponto fixo hiperb´olico defk_{, e assim os}

autovalores s˜ao da forma x,1

x, x 6=±1, por tanto o det(Df

k_{−I)6= 0.}

Usando o teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita, existem vizinhan¸casW de (h, f) e Vf de f tais que para cadag ∈Vf existe um ´unico pontop(g) tal que

(p(g), g) ∈ W e ϕ(p(g), g) = gk_{(p(g))− p(g) = 0. Isto ´e para todo}

g _∈ Vf existe um ponto p(g), numa vizinhan¸ca de h, que ´e ponto fixo

de gk_.

Temos garantido a existˆencia de uma ´orbita peri´odica deg, a qual est´a contida em Dn, pois para cada i= 1,· · · , k

|gi(p(g))−fi(h)| ≤ |gi(p(g))−fi(p(g))|+|fi(p(g))−fi(h)|

o primeiro termo do lado direito ´e pequeno pela proximidade dag com

f e o segundo termo ´e pequeno pela continuidade daf.

Finalmente a ´orbita peri´odicap(g),· · · , gk_{(p(g)) ´e uma ´orbita hiperb´olica}

pois, pela proximidade de g com f, os autovalores de Dgk_{(p) tem a}

forma x+ǫ,_x+1_ǫ os quais s˜ao diferentes de±1 para ǫ pequeno.

vizi-nhan¸caVef def tal que para todog ∈Vef g possui uma ´orbita peri´odica

el´ıptica contida em Dn. Considere V = Vf ∩ Vef a qual ´e uma

vizi-nhan¸ca de f tal que para todo g _∈V, g possui pelo menos uma ´orbita peri´odica el´ıptica e uma ´orbita peri´odica hiperb´olica contida em Dn,

logo V _⊂Un, e temos provado que Un ´e um conjunto aberto.

Com o qual temos demonstrado o teorema.

Observemos que, tendo obtido ´orbitas el´ıpticas se acumulando em 0,

pode-mos aplicar novamente o Teorema 2.1 e obter cadeias de ´orbitas peri´odicas

Cap´ıtulo 3

Variedades invariantes locais no

anel A

Neste cap´ıtulo estudaremos as variedades est´avel e inst´avel dos pontos

fi-xos hiperb´olicos (hν), de acordo ao lema 2, de fτq. O objetivo ´e obter

re-presenta¸c˜oes das variedades invariantes como gr´afico de fun¸c˜oes na forma

x=l±_{(ψ), para ψ num certo intervalo D.}

Usando a representa¸c˜ao de fq

τ no anelA dado por (2.20) e de acordo com o

lema 3, introduzimos a nota¸c˜ao fq

τ =f = (f1, f2) por

ψq =f1(ψ, x) =ψ+ατ q

2x+h₁(τ, ψ, x), (3.1)

xq =f2(ψ, x) =βτ q

2 sinqψ+x+h₂(τ, ψ, x), (3.2)

onde h1(τ,0,0) =h2(τ,0,0) = 0 e hi =O(τ

q

2+1), i= 1,2 uniformemente em

(ψ, x)∈A.

Pelo teorema da variedade est´avel(inst´avel), garantimos a existˆencia das

va-riedades est´avel e inst´avel, denotadas por Ws _{e W}u _{respectivamente, e al´em}

disso elas s˜ao imers˜oes anal´ıticas, ver refˆerencia [5]. Se Wu

varie-dade inst´avel local, ent˜ao a varievarie-dade inst´avel, Wu _{´e constru´ıda tomando-se}

Mu _{= ∪}

n_≥1(fτq)n(Mlu). Por´em, n´os estamos interessados em saber a forma

dessas curvas e qu˜ao pr´oximas est˜ao as variedades est´avel e inst´avel de dois

pontos peri´odicos da mesma ´orbita de fτ. Assim ser´a poss´ıvel demonstrar

que a variedade est´avel e a variedade inst´avel de dois pontos peri´odicos

hi-perb´olicos se intersectam, o que ser´a feito no cap´ıtulo 4.

Nosso objetivo agora ´e representar as variedades invariantes como gr´afico de

fun¸c˜oes x =g±_{(ψ) e mostrar que tal representa¸c˜ao ´e v´alida no intervalo de}

comprimento 3π

q . Para conseguir isso vamos realizar uma prova de existˆencia

usando o teorema de Banach no espa¸co de fun¸c˜oes definidas no intervalo de

comprimento 3π

2q.

Come¸caremos com a constru¸c˜ao da variedade invariante local Wu

l de f no

ponto zero. Se Wu

l ´e o gr´afico de g−, logo a condi¸c˜ao de invariˆancia ´e

graf(g−)_⊂f(graf(g−)) (3.3)

e g− _{tem que satisfazer a equa¸c˜ao funcional}

g−_(f

1(ψ, g−(ψ))) =f2(ψ, g−(ψ)). (3.4)

Que significa que a fun¸c˜ao g− _{´e um ponto fixo da transforma¸c˜ao}

ν →f2◦(1, ν)◦[f1◦(1, ν)]−1

num certo espaco de fun¸c˜oes. Esta transforma¸c˜ao n˜ao ´e muito ´util porque a

dire¸c˜ao do eixo dosψ. Para resolver isso, estudaremosg−_{na formag}− _=η(u)

nos pontos (τ, ψ) que ´e dada por

g−(τ, ψ) = η(u)(τ, ψ) (3.5)

=γsin(1

2qψ) +u(τ, ψ) (3.6)

γ =

r

β α.

2

√_q =

r _c

qπ (3.7)

e determinar a equa¸c˜ao funcional para u(τ, ψ), com u(τ,0) = 0

Lema 5 Sejag−_{=η(u), logo a equa¸c˜ao funcional (3.4) parag}−_{´e equivalente}

`a seguinte equa¸c˜ao funcional para u, com u(τ,0) = 0

u(τ, f1(ψ, η(u))) = f3(τ, ψ, u), (3.8)

f3(τ, ψ, u) = (1−τ q

2α₁cos(1

2qψ))u(τ, ψ) +h(τ, ψ, u) (3.9)

onde α1 =α.γ.₂q =q√4πcq e h(τ,0,0) = 0 com h=O(τ q

2+1)uniformemente em (ψ, u)_∈A,_|u_{| ≤}γ.

Demonstra¸c˜ao. Consideraremos as seguintes nota¸c˜oes

Θu = ατ

q

2η_u+h₁(τ, ψ, η_u), (3.10)

Λu = (

q

2)

2_γ Z 1

0

(1−s) sinq

Usando (3.4) e (3.6) e a expans˜ao de Taylor do seno com resto na forma

integral, temos

g−(f1(ψ, g−(ψ))) = g−(ψ + Θu) =η(u)(τ, ψ+ Θu) (3.12)

= γsinq

2(ψ+ Θu) +u(τ, f1(ψ, ηu)) (3.13)

= γsinqψ

2 +

q

2γcos(

qψ

2 )Θu−ΛuΘ

2_{+u(τ, f}

1(ψ, η(u))) (3.14)

= γsinqψ

2 +

q

2γcos(

qψ

2 )[ατ

q

2[γsin(qψ

2 +u(τ, ψ))] +h1(τ, ψ, η(u)]−

−ΛuΘ2+u(τ, f1(ψ, η(u))) (3.15)

= γsinqψ 2 +βτ

q

2 sinqψ+α₁τ q

2 cos(qψ

2 )u(τ, ψ) + + q

2γcos(

qψ

2 )h1(τ, ψ, η(u))−ΛuΘ

2

u+u(τ, f1(ψ, η(u))). (3.16)

E usando (3.2) e (3.6) obtemos que

f2(ψ, g(ψ)) =βτ q

2 sinqψ+γsinqψ

2 +u(τ, ψ) +h2(τ, ψ, η(u)). (3.17) Finalmente a equa¸c˜ao (3.4) decorre de (3.8) ao igualar as equa¸c˜oes (3.16) e

(3.17), onde

h(τ, ψ, u) = h2(τ, ψ, η(u))−

q

2γcos(

qψ

2 )h1(τ, ψ, η(u)) + ΛuΘ

2

u.

Observemos que se ψ =u = 0, η(u) = 0 e h(τ,0,0) = 0. h= O(τq2) pois h₁

e h2 tamb´em s˜ao.

Observemos que para τ pequeno, a fun¸c˜ao F(u) = f3(τ, ψ, u) ´e uma

con-tra¸c˜ao quando o fator |1−α1τ q

2 cos(qψ

2 )| < 1. Isto ´e, F ´e uma contra¸c˜ao se

e somente se _|ψ_| < π

u(τ, .) se aproxima ao zero. Assim temos que o gr´afico da variedade inst´avel local est´a suficientemente pr´oxima de γsin(qφ₂ ), para|ψ|< π_q.

Como queremos provar a interse¸c˜ao entre as variedades est´avel e inst´avel,

precisamos obter as equa¸c˜oes para essas curvas em um intervalo maior,

di-gamos I =_{ψ/_|ψ_{| ≤} 3π

2q}, veja figura 3.2. Vamos obter uma aproxima¸c˜ao da

variedade inst´avel local com a fun¸c˜ao γsin(qφ₂ ) em I, para isso precisamos de uma contra¸c˜ao em I. Para conseguir isso faremos a seguinte mudan¸ca de coordenadas de u

ν(τ, ψ) = e−K|ψ|_{u(τ, ψ), (3.18)}

para K grande o suficiente. Consideraremos primeiro o caso ψ ≥0 e intro-duziremos as nota¸c˜oes

β(ν)(ψ) = η(νeKψ), (3.19)

ρν(ψ) = f1(τ, ψ, β(ν)), (3.20)

σν(ψ) = (1−α1τ q

2 cosqψ

2 )e

−K(ρν(ψ)−ψ)_{ν(τ, ψ) +h(τ, ψ, e}Kψ_ν)e−Kρν(ψ_(3.21))

Substituindo (3.18) em (3.8) e usando (3.9), (3.19), (3.20) e (3.21) temos

ν(τ, ρν(ψ)) = ν(τ, f1(τ, ψ, β(ν)))

= e−Kρν(ψ)[(1₋τq2α₁cosqψ

2 )νe

Kψ

A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao funcional ν(τ, ρν(ψ)) = σν(ψ) ´e um ponto fixo da

fun¸c˜ao Γτ definida por

Γτ :ν →σν◦ρ−ν1, (3.22)

para ν num certo espa¸co de fun¸c˜oes Bτ δ. L(f) denotar´a a constante de

Lipschitz de uma fun¸c˜ao cont´ınua f entre dois espa¸cos m´etricos, caso exista. Seja Bτ δ, δ = (δ1, δ2) o conjunto fechado de fun¸c˜oes cont´ınuas ν definidas

sobre D= [0,3π

2 ] tal que ν(0) = 0, |ν| ≤δ1τ, L(ν)≤δ2τ, com

|ν_{| ≤}supψ∈D|ν(ψ)|.

Para garantir que Γτ ´e de fato uma contra¸c˜ao em Bτ δ demonstraremos o

seguinte lema.

Lema 6 Seja K = 27q. Existem δ1 >0, δ2 >0 e τ0 >0 tais que para cada

τ _∈(0, τ0)as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras paraBτ δ,com δ= (δ1, δ2.)

i) Γτ est´a bem definida em Bτ δ,

ii) Γτ(Bτ δ)⊂Bτ δ,

iii) Γτ restrita a Bτ δ ´e uma contra¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao.

i) Para garantir que a fun¸c˜ao Γτ est´a definida em todo Bτ δ,

cont´ınua e que ρ−1

ν (D)⊂ D.Seja ν ∈ Bτ δ e δ= (δ1, δ2),δ1 >0, δ2 >0

a serem determinadas depois.

Observe que 0 ´e ponto fixo deν,ν(τ,0) = 0. Assimβ(ν)(0) eh1(τ,0,0) =

0.Do lema 3 sabemos queDh1´e uniformemente acotada emA, e usando

o teorema do valor m´edio temos

|h1(τ, ψ, β(ν))| =|h1(τ, ψ, β(ν))−h1(τ,0,0)|

=|Dh1(τ, sψ, sβ(ν))||(0, ψ, β(ν))| ≤τ q

2+1C₁ψ,

ondeC1 >0, seτ δ1 < ǫ1eτ δ2 < ǫ2.Paraτ < ǫ1min{δ1−1, δ2−1}usaremos

a desigualdade anterior e a seguinte desigualdade|eKψ_{ν| ≤C}

2(δ1+δ2)τ,

pois

L(eKψν) = |eKψ|L(ν) +|ν|L(eKψ)≤B1δ2τ+δ1τ B2 =C2(δ1+δ2)τ,

para demonstrar que a fun¸c˜ao ρν ´e crescente em ψ. De fato,

ρν(ψ)−ψ ≥αγτ

q

2sin

qψ

2 −τ

q

2+1A₁ψ,

onde A1 =C1+C2(δ1 +δ2). Como sinqψ₂ ≥

√

2q

3π ψ, para ψ ∈ D temos

que

ρν(ψ)−ψ ≥

αγq

3π τ

q

2ψ, (3.23)

paraτ suficiente pequeno tal queτ < αγq(√2₋1)(3π)−1_A−1

1 >0.Desta

´e demonstrar que a ρ−1

ν ´e Lipschitz cont´ınua, para isso consideremos

|ρν(ψ1)−ρν(ψ2)| = |f1(τ, ψ1, β(ν)(ψ1))−f2(τ, ψ2, β(ν)(ψ2))|

= _|ψ1+ατ q

2β(ν)(ψ₁) +h₁(τ, ψ₁, β(ν)(ψ₁))−ψ₂−ατ q

2β(ν)(ψ₂)−

−h2(τ, ψ2, β(ν)(ψ2))|

≥ |ψ1−ψ2| −ατ q

2|β(ν)(ψ₁)−β(ν)(psi₂)|+|h₁(τ, ψ₁, β(ν)(ψ₁))−

−h2(τ, ψ2, β(ν)(ψ2))|

≥ (1₋αγq

4

√

2τq2 −[C₃(δ₁ +δ₂) +C₄]τ q

2+1)|ψ₁−ψ₂|.

Escolhendo θ1 ∈(

√

2 2 ,

√

3

2 ) obtemos

|ρν(ψ1)−ρν(ψ2)| ≥(1−α1θ1τ q

2)|ψ₁−ψ₂|,

paraτ pequeno o suficiente tal queτ < α1(θ1−

√

2

2 )(C3(δ1+δ2) +C4)− 1_.

Assim, temos que ρν ´e Lipschitz cont´ınua e ρ−ν1 tamb´em ´e, e alem

disso L(ρ−1

ν )≤(1−α1θ1τ q

2)−1.Outra forma de escrever a constante de

Lipschitz de ρ−1

ν ´e

L(ρ−ν1)<(1 +α1θ2τ q

2), (3.24)

onde θ2 ∈(θ1,

√

3

2 ) e τ suficientemente pequeno.

Assim, temos que ρν ´e invert´ıvel para cada ν ∈ Bτ δ. Observe que da

equa¸c˜ao (3.23) temos que ρ−1

ν (ψ) ≤ ψ, assim a fun¸c˜ao σν est´a bem

definida para todo ν ∈ Bτ δ e temos que Γτ est´a definida em todo

ii) Defina

Fν(ψ) = (1−α1τ q

2 cosqψ

2 )e

−K(ρν(ψ)−ψ)_.

Provaremos que

sup

ψ_∈D

Fν(ψ)≤(1−

√

3α1

2 τ

q

2). (3.25)

De fato, para 0 _≤ ψ _≤ π

3q temos que −cos qψ

2 ≤ −

√

3

2 , usando (3.23)

temos que K(ρν(ψ)−ψ) ≥0, assim Fν(ψ)≤ (1− α1 √

3 2 τ

q

2). Por outro

lado, usando (3.23) temos que K(ρν(ψ)−ψ)≥Kαγτ

q 2 9 para

π

3q ≤ψ ≤

3π

2q, como −cosx ´e crescente nesse intervalo e e− x

≤ 1₋ x

2, quando

0≤x≤ 3

2 temos que

Fν(ψ) ≤ (1 +α1τ q 2

√

2 2 )(1−

1

18Kαγτ

q 2)

≤ 1 + (αγq

2− 1

18Kαγ)τ

q 2 +C

5τq

E para K _≥27q temos que

Fν(ψ)≤1−αγqτ

q

2 +C₅τq ≤1−α₁

√

3 2 τ

q 2,

o qual demonstra (3.25).

Para provar que Γτ(Bτ δ) ⊂ Bτ δ, provaremos que para ν ∈ Bτ δ as

seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisteitas

1) Γτ(ν) ´e Lipschitz cont´ınua, usando (3.24)

|Γτ(ν)(ψ1)−Γτ(ν)(ψ2)| = |σν ◦ρ−ν1(ψ1)−σν ◦ρ−ν1(ψ2)|

≤ |σν|(1 +α1θ2τ q

2) Γτ(ν)(0) = 0, pois ρ−ν1 ´e injectiva e ρν(0) = 0, assim

Γτ(ν)(0) =σν◦ρ−ν1(0) =σν(0) = 0.

3) _|Γτ(ν)| ≤δ1τ, Usando (3.25) e |ν| ≤δ1τ, temos

|Γτ(ν)(ρν(ψ))| ≤ |σν(ψ)|

≤ |Fν(ψ)||ν|+|h1(τ, ψ, eKψν)|

≤ (1−α1

√

3 2 τ

q

2)|ν|+C₆τ q 2+1

≤ δ1τ −τ q 2+1(α₁

√

3

2 δ1−C6), para τ < ǫ2δ1−1. Escolhendo δ1 > C6(α1

√

3

2 )−1 temos que |Γτ(ν)|< δ1τ.

4)L(Γτ(ν))≤δ2τ. Usando (3.25) temos

L(σν)≤ |Fν|L(ν) +τ

q

2+1C₈ ≤(1−α₁

√

3 2 τ

q

2)L(ν) +C₇τ q 2+1,

se τ < ǫ3δ−21. Para θ3 =

√

3

2 −θ2 e τ suficiente pequeno dependendo

de δ2 obtemos, usando L(Γτ(ν)) ≤ L(σν)L(ρ−ν1), (3.24) e L(ν) ≤ δ2τ

temos

L(Γτ(ν))≤ (1−

√

3 2 τ

q

2)(1 +α 1θ2τ

q

2)L(ν) +C 8τ

q 2+1

≤ (1₋α1θ3τ q

2)L(ν) +τ q 2+1C

9

≤ δ2τ −τ q 2+1(α

1θ3δ2 −C9).

O qual demonstra o item 3.

iii) Provaremos que Γτ ´e uma contra¸c˜ao.

Da defini¸c˜ao de σν, equa¸c˜ao (3.21), temos que

|σν1(ψ)−σν2(ψ)| ≤ |Fν1(ψ)ν1(ψ)−Fν2(ψ)ν2(ψ)|+τ q 2+1C

10|ν1−ν2|,

usando (3.25) e _|ρν1(ψ)−ρν2(ψ)| ≤ τ q

2C₁₁|ν₁ −ν₂| a qual decorre da

defini¸c˜ao de Fν e a equa¸c˜ao (3.20). Assim,

|Fν1(ψ)ν1(ψ)−Fν2(ψ)ν2(ψ)| ≤ |Fν1(ψ)||ν1 −ν2|+|Fν1(ψ)−Fν2(ψ)||ν2|

≤ (1₋α1

√

3 2 τ

q 2)|ν

1−ν2|+τ q 2+1C

11|ν1−ν2|.

Finalmente temos que

|(Γτ(ν1)−Γτ(ν2))(ρν1(ψ))| ≤ |Γτ(ν1)(ρν1(ψ))−Γτ(ν2)(ρν2(ψ))|+

+_|Γτ(ν2)(ρν2(ψ))−Γτ(ν2)(ρν1(ψ))|

≤ |σν1(ψ)−σν2(ψ)|+L(Γτ(ν2))|ρν2(ψ)−ρν1(ψ)|

≤ (1₋α1

√

3 2 ατ

q

2)|ν₁−ν₂|+τ q 2+1C₁₂

≤ (1₋ α1 2 τ

q

2)|ν₁−ν₂|.

O qual demonstra que Γτ ´e uma contra¸c˜ao emρν(D), masD⊂ρν(D),

assim

|Γτ(ν1)−Γτ(ν2)| ≤λτ|ν1−ν2|,

onde λτ = 1−α₂1τ

q