Soluções analíticas para a taxa interna de retorno

(1)

•

N<t> 96

~ ANAL!TICAS' PARA A TAXA INIEmA DE

RETOmo

.

I

r-' ! ... ~ : ... ~ r)

t.""'"

'.#.. ,. -'

~,.,

..."

• .

I

. ~~(l(~i;~ :to " .. ('íonal ;--...

.. ol;;::. ~~ .. :. '

i> .. O!;: '.' ~ ~:.J .. ;.(.

lli fi "· .. ·vl t\Jlllid

... 1987

-1,...)1·,. ,'} "'.: J·/ ....

":lda com

"1

'. Ln, < L.ll .•. .J1 G<.:t ~ I U.

I

; .!: :

"~'''''r"\ rir,

ANprl"c '"\ o

' • t. , . , _ '. ",-J ~,,-.t I _ ' - "

"

. d

n f ... r

. . . I')(··f~Ir·O

o

r'"

jI. I.,: I·,' 'I. I ' '11'-L.

(2)

Sumário

Regra geral, a taxa interna de retorno de um dado

fluxo de caixa só pode ser determinada de forma aproximada,

e mediante o emprego de procedimentos iterativos. Concentran

do atenção na classe dos fluxos de caixa ditos do tipo

sim-ples, sao abordados certos casos particulares para os quais,

muitas vezes com base em interpretações financeiras,

é

possí-·

vel a abtenção de soluções analíticas .

(3)

I - Introdução

Sendo dado um projeto, caracterizado pela

se-qüência de fluxos de caixa líquidos periódicos {aO,a_l ,··· ,a

n},

onde aOa

n #= O, diz-se que i

> -

1 é uma taxa interna de

retor-no (TIR) do projeto se for verificada a relação:

n V(i)

=

L

j=O

a. (l+i)-j = O.

J (1)

Fazenqo-se x

=

l/(l+i), segue-se, então, que a

determinação da(s) taxa(s) interna(s) de retorno do projeto

considerado é equivalente

ã

busca das raízes reais positivas

do seguinte polinômio do grau n em x:

n

P(x)

=

L

j=O

(2)

·Ora, corno é fartamente sabido do estudo da

teo-ria das equaçoes, nao é em ger~l possível, se n

>

4, calcular

as raízes de P(x) por intermédio de soluções analíticas.

As-sim, regra geral, a determinação da TIR de um dado projeto só

pode ser efetuada, de uma maneira aproximada, fazendo-se uso

de um procedimento de cunho iterativo, tais como os

algorít-mos de Boulding e de Newton-Raphson, ou o método da bisseção,

corno discutido em de Faro (1985).

No que se segue, iremos concentrar a atenção so

bre a cham~d.:l classe de projetos do tipo investimento si~ples,

(4)

na seqüencia formada pelos coeficientes do correspondente

po-linômio em x, decorre da chamada Regra de Sinais de Descartes

que temos semi:Jre uma e somente uma TIR. Além do mais,como ir!:,

mos discutir, existem certos casos particulares de projetos

do tipo investimento simples para os quais, por meio de

solu-ções analíticas relativamente simples, se pode calcular o

va-lor exato de sua única TIR. Ressalta também que, como

vere-mos, em muitos casos a correspondente. expressão 'para a TIR

pode ser f~cilmente justificada por meio de uma interpretação

financeira.

2 - Alguns Casos Particulares de Projetos do Tipo Simples

Sem que se tenha a pretensão de efetuar um

lé-vantamento exaustivo, esta seção contém a análise de sete

ca-sos particulares de projetos do tipo investimento simples, aI

•

guns dos quais já foram anteriormente abordados em de Faro

(1985),para os quais o valor da correspondente TIR pode ser

calculado por meio de fórmulas algébricas.

Com o intuito de propiciar uma imediata

inter-pretação financeira para alguns dos resultados que serao apre

sentados, suponha-se que -aO repres~nta o valor de um empr~s

timo, o qual deve ser restituido por intermédio da seqüência

de n pagamentos aI' a

2, .•• , an. Obviamente, .estaremos

interes-sados no cuso em que a soma desses n pagamentos periódicos é

(5)

diato que a correspondente TIR, que

é

a taxa cobrada no

em-pr~stimo, ~ nula.

2.1 - O Caso de pagamento único

O caso mais trivial, que será aqui abordado tão

somente para que a análi~e contemple todas as situações

conhecidas, ~ aquele onde a. = O, para j =1,2, •.• ,n-l,

mais

J

unicamente a sendo positivo. Em tal eventualidade,· como

n

bem conhecido, decorre imediatamente de (1) que:'

(3)

2.2 - O caso de dois pagamentos

Sendo m um inteiro positivo, considere-se o com

.-e

ca-so onde a. = O

J se j

*

m ou se j

*

n = 2m. Ou seja, somente os pagamentos a _me a sao positivos. Neste caso, o valor

n TIR i deve s~r tal que:

-a

+

a (l+i)-m + a (l+i)-2m =

O

m

n

(4)

Logo, definindo-se a incógnita auxiliar

-m

y·= (l+i) (5).

da

segue-se que precisamos tão somente resolver uma equaçao do

segundo gr:111 em y. Como só a raíz positiva ~ de interesse,

(6)

I

. I

i = {«a2 -.4a

Oa ) 1/2

m

n

(6)

"~ interessante notar as seguintes situações

es-peciais, cujas soluções são decorr~ncias imediatas das

análi-ses dos "casos 2.3, 2.4 e 2.5, respectivamente:

a)

c)

a _n

=

a _m- a

O

Em tal eventualidade, tem-se:

i

=

(l-a

la

)l/m

m O

I

Teremos agora:

i

=

(a la )l/m - 1

n

m

2(2a -a )

_n

_m

= -

a

_O

Para esta situação, tem-se:

i

=

{1+2(a - a )/a }l/m - 1

n

m

O

. 2.3 • O caso de pagamento periódico dos juros

"( 6 I )

(6" )

(6"')

Consideremos agora a situação na qual a. = P

>

O I

)

j = l,2, ... ,n-l,e an=p-ao.Decorre de (I), que "o valor da TIR

deve ser soluç~o da seguinte equaçao:

(7)

~ fácil verificar, por .substituição direta, que

V(~P/aO) =O.Por conseguinte, a TIR do fluxo de caixa em

apre-ço é:

i. = - p/a _o ₍₈₎

Tal particilar tipo de fluxo de caixa, que já

havia sido estudado por Boulding (1936), apresenta a

seguin-te inseguin-terpretação financeira. O valor financiado, -.a

O' deve

ser resgatado mediante o pagamento periódico dos juros,

cal-culados

à

taxa i = - P/aO' com

o

principal sendo _restituído

-no final dos n períodos que correspondem ao prazo do

empres-timo.

2.3.1 - O caso· onde os juros periódicos sao cobrados

an-tecipadamente.

Uma variação do caso considerado neste item, e

-aquele em que aO

=

P-K<O, a.

=

P>O, j=1,2, .•. ,n-:I.,e a=K>O.

)

n

Decorre de (1), que devemos agora resolver a seguinte equaçao

em i:

V(i) =P-I<+Pll-(l+i)-nj / i + (K-P) (l+i)-n = O (9)

Como poJe ser facilmente verificado, V(P/(K-P»=O.

Logo, face

à

unicidade da TIR para projetos do tipo

investi-mento simples, conclui-se que a solução procurada é:

(8)

6.

Relativamente

à

correspondente interpretação fi

nanceirQ desta variação, denotemos P = a K, para 0< a<l. De~

te modo, podemos interpretar P como sendo o valor dos juros

que são periodicamente cobrados

à

taxa de desconto a, inciden

te sobre o valor financiado K. Sendo um resultado clássico da

Matemática Financeira (cf. de Faro (1982, pgs. 85-86», decoE

re, então,que a taxa efetiva de juros que está sendo cobrada

-e igual a:

i = ai (l-a) _{(10 • )}

Neste ponto, convem observar que, do ponto de

vista formal, não existe nenhuma distinção entre a variação

aqui considerada e o caso geral de pagamento periódico dos

juros. A única diferença é a relativa

à

correspondente

inter-pretação financeira. Assim, por exemplo, sendo dado o f"luxo

de caixa no qual aO = - 200; a

j = 20, j = 1,2, ..• ,n-l; an=220,

podemos ter as duas seguintes interpretações financeiras: a)

(

o empréstimo de 200 unidades de capital deve ser resgatado me

diante o pagamento periódico dos juros vencidos, calculados

à

taxa i

=

20/200

=

10% por período, com o principal sendo

res-tituído no fim dos n períodos que correspondem ao prazo total

da operação de financiamento considerada. b) o empréstimo de

220 unidades de capital deve ser resgatado através do pagame~

to antecipado dos juros periódicos vincendos, calculados

à

ta

xa de desconto a = 20/220, com o principal sendo também

(9)

2.4 O caso de pagamentos em progressão geométrica

Suponha-se agora que. as prestações .formem uma

j - l .

progressao geométrica; isto é:

a.

=

Pa ,J = 1, •.• ,n, com P > O

J "

e a> O. Tendo em vista (1), segue-se que devemos resolver a

seguinte equação em i:

P {1-[ a/ (l+i)

1

n} / (l+i - a), se a =1= l+i

V (i)

=

aO

+

(11)

np/a se a = 1

+

i

~, então, de conclusão imediata que, se for veri

. ficada a relação

a

= -

np/a

O

(12)

teremos que a TIR do fluxo de caixa em questão será igual a:

i = a - 1 (13)

Deve-se observar que, para valores de a que nao

satisfaçam a relação (12), não

é,

em geral, possível a deter

minação do valor exato da correspondente TIR.l

1 _{Note-se que, se a=l teremos o caso de pagamentos constantes, o} _qual

"tem sido extensivamente estudado na literatura sobre o assunto. Para a

anâl j :;c de algumas formulas apreximadas, bem como de extensões para o

(10)

2.4.1 - Empréstimo com cláusula de correçao monetária

pré-fixada.

Supondo a presença de inflação; para a qual se

estima a taxa periódica 'constante 0, reconsideremos o caso on

de o empréstimo de -aO unidades de .capita1 deve ser resgatado

mediante o pagamento periódico dos juros vencidos,

à

taxa

re-a1, fixada ex-ante, R. Agora, para que se incorpore a

inf1a-ção, o valor do primeiro pagamento será fixado em -Ra

O (1+0) i.O .

. 2

valor do segundo em ~RaO{1+0) i ••• i e o valor do n-ésimo em

-Ra

o{1+0)n, mais o valor monetariamente corrigido do

princi-- n

pa1, que e -a_O{1+0) . Deste modo, os ?aga~entos. periódicos

dos juros formam urna progressão geométrica de razão igual a

1+0, com a taxa periódica aparente que está sendo cobrada no

empr6stimo sendo igual a

i

=

(I

+

0) (I

+

R) - 1 (14)

Consequentemente, se o fluxo de caixa considera

j-:-l . _ n-1 n

do for tal que a

j = P a , J -1,2, .•. ,n-l,com. an=pa -aOa,

decorre que o valor da correspondente TIR será dado por:

-e:

i

=

a - I - p/aO (lS)

Observando que a equaçao que deve ser resolvida

V(i) =dO+P {l-la/{l+i)]n}/(l+i-a)-aola/{l+i)]n = o.

(11)

e fácil verificar, por substituição d·ireta, que,efetivarnente,

V(a - 1- P/aO)

=

o.

Cabe ainda notar que, obviamente, se a

=

1, que

corresponde ao caso onde não há. correção monetária

pré-fixa-'da, recairemos no caso estudado no item 2.3.

2.5 - O caso de pagamentos em progressão aritmética

Consideremos agora o caso onde a seqüênci? de

pagamentos periódicos forma uma progressão aritmética. Isto

.

-é, se j a o caso onde a. = P +

B

(j -1)

>

O , j = 1, ... , n , sendo J

8*0

a razão da progressão; que tanto pode ser positiva

quan-to neg.:ltiva.

Tendo em vista (i), segue-se que a TIR do fluxo

de caixa ora considerado é a taxa i tal que:

V(i)

=

aO + P[l-(l+i)-n]/i + (B/i){[l-(l+i)~n]/i

-n

- n(l+i) }

=

O (17)

No caso particular em que se verifica a

rela-çao

n (nB

+

P)

+

aO ::: O (18)

é fácil ver, mediante simples substituição em (17), que

venS/ao)

=

O. Por conseguinte, para este caso

particular,tem-se que a correspondente TIR é dada por:

(12)

Com relação à respectiva interpretação finance!

ra, .que se refere ao caso particular em apreço, basta que se

recorde do chamado sistema de amortizações constantes (SAC).

Isto e, o capital emprestado, -aO' deve ser resgatado , por

meio de prestações compostas de uma parcela constante de amor

tização, no valor de -a0/n, e de uma parcela de juros

deter-minada, em cada caso, pela aplicação da taxa i sobre o -saldo

devedor remanescente. Deste modo, como o saldo devedor

de-cresce linearmente, devemos ter:

a

j = - aO/n+i~O{(j-l)/n-l}, j = l , .•. ,n (20)

Ou seja, as prestações seguem uma progressao

aritmética, com razao

B

= iaO/n

<

o.

2.6 - O caso de um duplo empréstimo

Estudemos agora a situação que, por razoes que

•

serao feitas claras a seguir, denominamos de caso de um

du-pIo empréstimo. Tal situação, em termos de fluxo de caixa, e

-caracterizada pelo fato de que, sendo'n um número par, tem-se

que, para j = l, 2, ••• ,n-l:

com

= { a

>

O, se j for impar a.

J

B

>

a,

se j for par

i1

=

r. -

aO

n

(21)

(22)

rUND/\çl .. · ,-. " ',~; 'f~\~GAS

(13)

Para esta eventualidade, é fácil verificar,

co-mo decorre de (1), que a equação que deveco-mos resolver para a

determinação da correspondente TIR pode ser escrita como:

V(i)

=

aO + al 1- (l+i)-n]/i+ (B-a)[1-(1+i)-n

_J

/[i(2+i)]

-n

-a (1

+

i) = O

O (23)

Para a resolúção da equação dada por (23),

ire-mos fazer uso da seguinte interpretação financeira.

Imagine-mos que o valor financiado, como sempre igual a -aO' é

cons-tituido por dois distintos empréstimos: o primeiro no valor

El , o segundo no valor E2 , e tais que, sendo k

>

1, tenha~se:

(24 )

•

Para o primeiro empréstimo, os juros periódicos

vencidos serão cobrados

à

taxa .i,com o principal sendo

resti-tuido no fim dos n períodos do prazo de resgate. Deste modo, .

devemos ter a = iR l •

Quanto ao segundo empréstimo, os juros

venci-dos serao cobravenci-dos a cada dois períovenci-dos,

à

mesma taxa i do

primeiro empréstimo, com o principal também devendo ser

res-tituido no fim do prazo n. Consequentemente, devemos ter

B - a=i(2+i)E 2.

(14)

apresentad~, que a taxa i que está sendo cobrada no

emprésti-mo totul deve ser solução do seguin~e sistema:

{ k

= -

iaO/a

(3 -a=(2+i) (k-l)

(25 )

Logo, é de imediata conclusão que a TIR do

flu-xo de caixa considerado será dada por:

i = {2a

_o

+a + [ (2a 2 1/2

O + a) - 4aO (a + (3)] }/(2aO) (26)

2.7 - Taxa líquida real de um empréstimo com pagamentos

constantes em termos correntes

Concluindo nossa análise,consideremos o caso re

centemente estudado em Leung e Tanchoco (1986). A situação

diz respeito a um empréstimo de valor -aO' ·0 qual deve ser p~

•

go por meio de n prestações anuais constantes, calculadas

..

a

taxa anual conhecida

p>

O. Dado que se estima a presença de

inflação,

à

taxa anua~ constante 0, sem que haja cláusula de

correção monetária para o valor das prestações, e que, .para

fins de imposto de renda, os juros anuais são dedutíveis,

de-seja-se estimar o valor da taxa efeti.va anual real, i, que.es

tá sendo implicitamente cobrada, na hipótese de que a alíqü~

ta para fins de cálculo do imposto de renda mantenha-se

cons-tante e igual a t.

A preços correntes, o valor da prestação

(15)

-n

P = - aop/[ 1- (l+p)' ] (27)

Também a preços correntes, denotando-se por C k

o valor do saldo devedor .10go após o pagamento da k-ésima

prestação, e lançando mão do chamado método prospectivo,. cf.

de Faro (1982, pgs. 235-236), segue-se que o valor da parcela

de juros contida na k-ésima prestação, para k=1,2, .•. ,n é:

J'

=

k

ou

J

k = p[ 1 - (1 + p) -n+k-l] (28)

Deste modo, tendo em .vista a estimativa da taxa

de inflação e a alíqüota do imposto de renda, segue-se que, a

preços da data do empréstimo, o valor efetivo do k-ésimo paga

menta, para k=l,2, . . . ,n,

é

igual a:

= P{l-'t[ 1_(1+p)-n+k-l]}(1+0)-k (29)

Por conseguinte, face

à

(1), segue-se que a

ta-xa efetiva anual, em termos reais, cobrada no financiamento

considerado,é a ~IR i tal que:

n

V(i)

=

aO + I:.oP{l-t[ l_(l+p)-n+k-l] }[(l+0) (l+io>rk = O

k=l

(30)

(16)

extensivo uso do ferramenta 1 analítico genericamente denomina

do transformada-Z, ou geométrica, para a determinação de

uma

expressão sob forma fechada para a equação

(30).

Embora

tal

ferramental seja de grande valor em si mesmo,

~ão

há

necessi-dade de sua aplicação na situação em apreçoi basta que se

pr~

ceda como no caso estudado no item

2.4.

Para tanto,

analoga

-mente ao

feito pelos autores citados, e conveniente

introdu-zir a notação:

V (i)

1 +

P

(1

+

0) (1

+

i)

Podemos, então, reescrever

(30)

como:

n

=

aO

+

P

{(l-t)

r

k=l

B-k+ta-

n - l

~

(a/B)k} = O

k=l

(31)

(30 I )

Para a obtenção de uma forma. fechada para a

ex-""

pressao

(30')y

precisamos distinguir dois casos:

a)

a

=

B

Em t?l eventualidade, devemos ter:

+

p{ (l-t)

t

1 -

a-n

j

-n-l

O

(32)

V (i)

=

_aO

a - I

+

nta

}

=

Ou seja, tendo em vista o valor de P como

dado

por (27), decorre que devemos ter:

(32 I )

i9u~ldadc

esta que só ocorre no caso trivial onde t

=

O

(17)

~~~~---15.

b) a:1=

a

. . Neste caso, que

é

o de verdadeiro

~

interesse

pr~

tico, teremos que

(30 I ) _

pode -se:r escri t'a -como:

V(i)

=

1

-p

-n

l-(l+p)

+

-a-I

t {

a -

a

(33 )

o

ponto que merece ser aqui destacado

é que,

c~

mo apontado por Leung e

Tanchoco (1·986) ,a solução da equaçao

(33)

é

dada simplesmente por

i = {(l-t) P - 0

}I

(1+0) (34)

Para a comprovaçao de tal resultado,

repetire-mos aqui, por sua 'pertinência, a análise desenvolvida por

a-queIes autores. Para tanto, iniciemos reescrevendo

(33)

de

tal modo que:

ou

(a-I) an

.l-t

- - - - f

an-I

a-I

n (n-I)u

I-t

an-l

{ - ( - - ) +

a-I

Sn

t

+

a-a

t 1 n a

(18)

n

tCa-l)a

n

Qn

a - I - )

{ n n

n

an _ 1., _ (a-1) a

«(3

-1)

a

e

(a-(3)

ou

,

n. n

n

t

{Ca -I) )

(13-1)-

(13

-l)a (a-B) }

=

anB

n

(a-B) «(3-1)

ou

n a -1

n

(a-I) a

Bn

+

l

+

(3n _

a

n

+

l Bn

+

a n

+

l _ a n

a

n

(3n(a-l) «(3-1)

ou

t =

do que decorre a relação (34)

3 - Conclusão

(!3-1)(3n

16.

Como é bem sabido, para a deter.minação do valor

numérico da taxa õe retorno de um dado fluxo de caixa é,

em

geral, necessário que se faça uso. de um procedimento de cunho

iterativo.

Tais

procedimentos, além de extremamente

(19)

. I

Todavia, como discutimos aqui, existem certos

tipos particulares de seqüências de .fluxos de caixa, para os

qu~is é possí"Jel a determinação do valor numérico das

respec-tivas taxas internas de retorno, mediante o emprego de

fórmu-las exatas~ Ademais, em muitos desses casos tais fórmulasp~

dem ser facilmente justificadas por imtermédio de

(20)

Referêncius

K. E. Boulding (1936), "'rime arid Investment'~, Economica, Vol.

3, N9 10, pags. 196-220.

C. de Faro (1981), "Closed-FormExpressions for the A{)proximate

-Evuluation of Interest Rates: Extensions to the Geometric

Sequence of Payments Case", The Engineering Economist,Vol.

27, N9 1, pags. 80-89.

(198?), Matemática Financeira, 9~ Ed., Editora Atlas,S.A.:

são Paulo.

(1985), A Eficiência Margi~al do Capital corno Critério de

Avaliaç~o Econôm~ca de Projetos de Investimentos, IBMEC/ PNPE: Rio de Janeiro.

L.C. Leung e J. M. A. Tanchoco (1986), ".Alternative Methods for

Cash-Flow Model1ing", The Engineering Economist, VoI. 31,

(21)

50. JOGOS DE INFORMAÇÃO INCOMPLETA: UMA INTRODUÇÃO - Sérgio Rib~iro da Costa

Wer1ang - 1984 (esgotado)' '

51. A TEORIA MONETARIA MODERNA E O EQUILrBRIO GERAL WALRASIANOCOM UM NOMERO INFINITO DE BENS - A. Araujo -1984 (esgotado)

52. A INDETERMINAÇÃO DE MORGENSTERN - Antonio Maria da Si 1veira - 1984 (esgotado)

53. O PROBLEMA DE CREDIBILIDADE EM POLTTICA ECONOMICA Rubens Penha Cysne -1984 (esgotado)

54. UMA ANALISE ESTATTsTICA DAS CAUSAS DA EMISSÃO DO CHEQUE SEM FUNDOS: FORMU-LAÇÃO DE UM PROJETO PILOTO - Fernando de Holanda Barbosa, Clovis de Faro e Aloísio Pessoa de Araujo - 1984

55. POLTTICA MACROECONOMICA NO BRASIL: 1964-66 ~ Rubens Penha Cysne 1985 -(esgotado)

56. EVOLUÇÃO DOS PLANOS BAslCOS DE FINANCIAMENTO PARA AQUISiÇÃO DE CASA PROPRIA 00 BANCO NACIONAL DE HABITAÇÃO: 1964-1984 - Clovis de Faro - 1985 (esgotado)

57. MOEDA INDEXADA - Rubens P. Cysne - 1985 (esgotado)

58. INFLAÇÃO E SALARIO REAL: A EXPERI~NCIA BRASILEIRA Raul José Ekerman -1985 (esgotado)

5'. O ENFOQUE MONETARIO DO BALANÇO DE PAGAMENTOS: UM RETROSPECTO - Valdir Ramalho de Melo - 1985 (esgotado)

60. HOEDA E PREÇOS RELATIVOS: EVID~NCIA EMPTRICA Antonio SaLazar P. Brandão -1985 (esgotado)

61. INTERPRETAÇÃO.ECONOMICA, INFLAÇÃO E INDEXAÇÃO Antonio Maria da Silveira -1985 (esgotado)

62. HACROECONOMIA - CAPTTUlO I - O SISTEMA MONETARIO - Mario Henrique Simonsen 'e Rubens Penha Cysne - 1985 (esgotado)

63. HACROECONOMIA - CAPrTULO I I - O BALANÇO DE PAGAMENTOS - Mario Henrique Simonsen e Rubens Penha Cysne - 1985 (esgotado)

64. HACROECONOMIA - CAPTTULO III - AS CONTAS NACIONAIS - Mario Henrique Simonsen e Rubens Penha Cysne - 1985 (esgotado)

65. A DEMANDA POR DI VI DENDOS: UMA JUSTI FI CATI'VA TÉORI CA - TOMMY CH I N-CH II:J TAN e Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - 1985 (esgotado)

66. BREVE RETROSPECTO DA ECONOMIA BRASILEIRA ENTRE 1979 e 1984 - Rubens Penha Cysne - 1985

(22)

69. BRAZll INTERNATIONAl.TRADE ANO ECONOMIC GROWTH - Mario Henrique Simonsen - 1986

70. CAPITALIZAÇÃO CONTrNUA: APLICAÇÕES - Clovis de Faro- 1986 (esgotado)

71. A RATIONAL EXPECTATIONS PARADOX - Mario Henrique Simonsen - 1986 (esgotado)

72.

A

BUSINESS CYCLE STUDY FOR THE U.S. FORM 1889 TO 1982 - Carlos Ivan Simonsen Leal - 1986

73. DINAMICA MACROECONOMICA - EXERCrCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS - Rubens Penha Cysne - 1986 (esgotado)

74. COMMONKNOWLEDGE ANO GAME THEaRY - Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - 1986

75. HYPERSTABILITY OF NASH EQUILIBRIA - Carlos Ivan Simonsen °Leal - 1986

76. THE BROWN-VON NEUMANN DIFFERENTIAL EQUATION FOR BIMATRIX GAMES -Carlos Ivan Simonsen Leal - 1986 (esgotado)

77. EXISTENCE OF A SOLUTION TO THE PRINCIPAL'S PROBLEM - Carlos Ivan Simonsen Leal - 1986

78. FILOSOFIA E POLrTICA ECONOMICA I: Variações sobre o Fenômeno, a Ciência e seus Cientistas - Antonio Maria da Silveira - 1986

79. O PREÇO DA TERRA NO BRASIL: VERIFICAÇÃO.DE ALGUMAS HIPOTESES - Antonio

Sal azar Pessoa Brandão - 1986 o

80. M~TODOS MATEMATICOS DE ESTATrSTICA E ECONOMETRIA: Capitulos 1 e 2 Carlos Ivan Simonsen Leal - 1986 - (esgotado)

81. BRAZILIAN IND~XING ANO INERTIAL INFLATION: EVIDENCE FROM TIME-VARYING ESTIMATES OF AN INFLATION TRANSFER FUNCTION

Fernando de Holanda Barbosa e Paul D. MocNel is - 1986

82. CONSORCIO VERSUS CRtDITO DIRETO EM UM REGIME DE MOEDA ESTAvEL-~ Clovis deoFaro ;. 01986

83. NOTAS DE AULAS DE TEORIA ECONOMICA AVANÇADA I - Carlos Ivan SimonsenLeal-1986

84.

FILOSOFIA E POLTTICA ECONOMICA II - Inflação e Indexação - Antonio Maria da Si lveira - 1936 - (esgotado) .

85. SIGNALLlNG ANO ARBITRAGE - Vicente Madrigal e Tommy C. Tan - 1986

86. ASSESSORIA ECONOMICA PARA A ESTRATrGIA DE GOVERNOS ESTADUAIS: ELABORAÇÕES o SOBRE UMA ESTRUTURA ABERTA - Antonio Maria da Silveira - 1986 - (esgotado)

(23)

•

89. MACROECONOMIA COM RACIONAMENTO UM MODELO SIMPLIFICADO PARA ECONOMIA ABERTA

- Rubens Penha Cysne, Carlos Ivan Simonsen Leal e Sérgio Ribeiro da Costa

Werlang - 1986

90. RATIONAL EXPECTATIONS, INCOME POLICIES ANO GAME THEORY - Mario Henrique Simonsen - 1986 - ESGOTADO

91. Nal'AS SOBRE IDDErDS DE GERAÇÕES SUPERPOSI'AS 1: OS FUNDAMEN1.'QS

F.CX::Noocns

- Antonio Salazar P. Brandão - 1986 - ESGOTADO

92. TOPICOS DE CONVEXIDADE E APLICAÇÕES

A

TEORIA ECONOMICA - Renato Fragel1i Cardoso - 1986

93. A TEORIA DO PREÇO DA TERRA: UM RESENHA - Sérgio Ribeiro da Costa Werlang - 1987

94. INFLACAO, INDEXACÃO E ORCAMENTO DO GOVERNO - Fernando de Holanda Barbosa

- 1987

95. UMA RESENHA DAS TEORIAS DE INFLAÇÃO Maria Silvia Bastos Marques - 1987

96. SOLUÇÕES ANALÍTICAS. PARA A TAXA INTERNA DE RETORNO

- Clovis de Faro - 1987

000047110