Teoria isomorfa dos espaços de Banach
C
0(K, X
)
Leandro Candido Batista
Tese apresentada
ao
Instituto de Matemática e Estatística
da
Universidade de São Paulo
para
obtenção do título
de
Doutor em Ciências
Programa: Matemática
Orientador: Prof. Dr. Elói Medina Galego
Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu auxílio financeiro do CNPq (processo 142423/2011-4) e da CAPES
Teoria isomorfa dos espaços de Banach
C
0(K, X
)
Esta tese contém as correções e alterações sugeridas pela Comissão Julgadora durante a defesa realizada por Leandro Candido Batista em 12/11/2012. O original encontra-se disponível no Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo.
Comissão Julgadora:
• Prof. Dr. Elói Medina Galego - IME-USP
Agradecimentos
Ao longo deste trabalho muitos foram os que de alguma forma me ajudaram e encorajaram a alcançar o seu término. Por essa razão, desejo expressar os meus sinceros agradecimentos:
Ao Professor Doutor Elói Medina Galego, meu orientador, pela competência científica, pela disponibilidade, pela amizade e generosidade reveladas ao longo deste período.
Aos membros da Comissão Julgadora pelas valiosas sugestões que contribuiram de forma signi-ficativa para o enriquecimento deste trabalho.
À minha amada esposa, Rita Cavalcanti, pelo inestimável apoio familiar, pela paciência e com-preensão reveladas ao longo destes anos.
À minha família, meus pais Joaquim e Vera e meu irmão Leonardo, pelo enorme carinho e incentivo.
Ao Professor Doutor Daniel Victor Tausk pela valiosa ajuda sanando minhas inúmeras dúvidas sempre com brilhantismo e bom humor.
Aos Professores, Aleksander Pełczyński, Yoav Benyamini e Krzysztof Jarosz, por suas ines-timáveis opiniões, sugestões e interesse pelo trabalho.
Aos grandes amigos, André Pierro de Camargo, Cesar Adriano Batista e Renato Alessandro Martins, pelo apoio.
Ao Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo pela oportunidade. À Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior, CAPES, e ao Conselho Na-cional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico, CNPq, pelo apoio financeiro.
Mais uma vez, a todos os meus sinceros agradecimentos.
Resumo
Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, denotamos por C0(K, X) o espaço de todas as funções a valores em X contínuas sobre K que se anulam no
infinito, munido da norma do supremo. No espírito do clássico teorema de Banach-Stone 1937, estabelecemos que seC0(K1, X)é isomorfo a C0(K2, X), ondeX é um espaço de Banach de cotipo
finito e tal que X é separável ouX∗ tem a propriedade de Radon-Nikodým, então ou K1 e K2 são
ambos finitos ou K1 e K2 tem a mesma cardinalidade. Trata-se de uma extensão vetorial de um
resultado de Cengiz 1978, o caso escalar X=Rou X=C.
Demonstramos também que se K1 e K2 são intervalos compactos de ordinais e X é um espaço
de Banach de cotipo finito, então a existência de um isomorfismo T de C(K1, X) em C(K2, X)
com kTkkT−1k < 3 implica que uma certa soma topológica finita de K1 é homeomorfa a alguma
soma topológica finita deK2. Mais ainda, seXnnão contém subespaço isomorfo a Xn+1 para todo
n∈N, entãoK1 é homeomorfo a K2. Em outras palavras, obtemos um teorema tipo Banach-Stone
vetorial que é uma extensão de um teorema de Gordon de 1970 e ao mesmo tempo uma extensão de um teorema de Behrends e Cambern de 1988. Mostramos que se existe um isomorfismoT deC(K1)
em um subespaço de C(K2, X) com kTkkT−1k<3, então a cardinalidade do α-ésimo derivado de
K2 ou é finita ou é maior do que a cardinalidade do α-ésimo derivado de K1, para todo ordinal α.
Em seguida, seja num inteiro positivo, Γ um conjunto infinito munido da topologia discreta e
X um espaço de Banach de cotipo finito. Estabelecemos que se o n-ésimo derivado de K for não vazio, então a distância de Banach-Mazur entre C0(K, X) e C0(Γ, X) é maior ou igual a 2n+ 1.
Também demonstramos que para quaisquer inteiros positivos n e k, a distância de Banach-Mazur entreC([1, ωnk], X)eC
0(N, X) é exatamente2n+ 1. Estes resultados fornecem extensões vetoriais
para alguns teoremas de Cambern de 1970.
Para um ordinal enumerável α, denotando por C(α) o espaço de Banach das funções contínuas no intervalo de ordinal [1, α], obtemos cotas superiores H(n, k) e cotas inferiores G(n, k) para as distâncias de Banach-Mazur entre os espaços C(ω) e C(ωnk),1≤n, k < ω, verificando H(n, k)−
G(n, k) <2. Estas estimativas fornecem uma resposta para uma questão de Bessaga e Pełczyński de 1960 sobre as distâncias de Banach-Mazur entreC(ω)e cada um dos espaçosC(α),ω≤α < ωω.
Palavras-chave: Espaços de Banach, Espaços de funções contínuas a valores vetoriais,
Isomorfis-mos, Teorema de Banach-Stone, Distâncias de Banach-Mazur.
Abstract
For a locally compact Hausdorff space K and a Banach space X, we denote by C0(K, X) the
space ofX-valued continuous functions onK which vanish at infinity, endowed with the supremum norm. In the spirit of the classical 1937 Banach-Stone theorem, we prove that if C0(K1, X) is
isomorphic to C0(K2, X), where X is a Banach space having finite cotype and such that X is
separable orX∗ has the Radon-Nikodým property, then either K1 and K2 are finite orK1 and K2
have the same cardinality. It is a vector-valued extension of a 1978 Cengiz result, the scalar case
X=Ror X=C.
We also prove that ifK1 andK2 are compact ordinal spaces andXis Banach space having finite
cotype, then the existence of an isomorphismT fromC(K1, X) ontoC(K2, X)withkTkkT−1k<3
implies that some finite topological sum of K1 is homeomorphic to some finite topological sum
of K2. Moreover, if Xn contains no subspace isomorphic to Xn+1 for every n ∈ N, then K1 is
homeomorphic to K2. In other words, we obtain a vector-valued Banach-Stone theorem which is
an extension of a 1970 Gordon theorem and at same time an improvement of a 1988 Behrends and Cambern theorem. We show that if there is an embedding T of a C(K1) into C(K2, X) with
kTkkT−1k<3, then the cardinality of theα-th derivative ofK
2 is either finite or greater than the
cardinality of the α-th derivative of K1, for every ordinal α.
Next, letnbe a positive integer,Γan infinite set with the discrete topology andX is a Banach space having finite cotype. We prove that if then-th derivative ofK is not empty, then the Banach Mazur distance between C0(K, X) and C0(Γ, X) is greater than or equal to2n+ 1. Thus, we also
show that for every positive integers nand k, the Banach Mazur distance between C([1, ωnk], X)
andC0(N, X)is exactly2n+ 1. These results provide vector-valued versions of some 1970 Cambern
theorems.
For a countable ordinal α, writing C(α) for the Banach space of continuous functions on the interval of ordinal [1, α], we give lower boundsH(n, k) and upper bounds G(n, k) on the Banach-Mazur distances between C(ω) andC(ωnk),1≤n, k < ω, such thatH(n, k)−G(n, k)<2. These estimates provide an answer to a 1960 Bessaga and Pełczyński question on the Banach-Mazur distances between C(ω)and each of the C(α) spaces,ω ≤α < ωω
Keywords: Banach spaces, Spaces of vector-valued continuous functions, Isomorphisms,
Banach-Stone Theorem, Banach-Mazur distances.
Sumário
Lista de Símbolos xiii
Introdução xv
1 Medidas vetoriais e integração vetorial 1
1.1 Introdução . . . 1
1.2 Medidas Vetoriais . . . 1
1.3 Integração vetorial . . . 3
1.4 Representação de funcionais em C0(K, X) . . . 6
1.5 O Teorema de Radon-Nikodým . . . 9
2 Sobre isomorfismos entre espaços C0(K, X) e a cardinalidade de K 15 2.1 Introdução . . . 15
2.2 Sobre espaços C0(K, X),X de cotipo finito . . . 17
2.3 Sobre funções w∗-mensuráveis . . . 20
2.4 Sobre funções semicontínuas inferiormente . . . 22
2.5 Demonstração do Teorema 2.8 . . . 23
3 Sobre isomorfismos entre espaços C(K, X) com distorção menor que 3 27 3.1 Introdução . . . 27
3.2 Sobre isomorfismos de C(K1) em espaçosC(K2, X) . . . 29
3.3 Demonstrações dos teoremas . . . 32
3.4 Considerações finais . . . 35
4 Sobre distâncias de Banach-Mazur entre espaços C0(K, X) eC0(Γ, X) 39 4.1 Introdução . . . 39
4.2 Resultados preliminares . . . 41
4.3 Cotas inferiores para as distâncias entre C0(K, X) eC0(K, X) . . . 43
4.4 Cotas superiores as para distâncias entre C([1, ωnk], X) e C 0(N, X) . . . 47
5 Sobre distâncias de Banach-Mazur entre espaços C(ω) e C(α), ω ≤α < ωω 53 5.1 Introdução . . . 53
5.2 Resultados preliminares . . . 55
5.3 Cotas inferiores para as distâncias entre C(K) eC(L),L(2) =∅. . . 56
5.4 Cotas superiores para as distâncias entre C(ω) eC(ωnk),1≤n, k < ω . . . 59
Lista de Símbolos
N o conjunto dos números naturais.
Q o conjunto dos números racionais.
R o conjunto dos números reais.
R+ o conjunto dos números reais positivos.
C o conjunto dos números complexos.
K o conjunto Rou C.
[0,1] o conjunto {x∈R: 0≤x≤1}.
[1, α] o conjunto dos ordinais{γ : 1≤γ ≤α} munido da topologia da ordem.
ω o primeiro ordinal infinito.
ω1 o primeiro ordinal não enumerável.
|K| a cardinalidade de um conjunto K.
K1 .
∪K2 a união disjunta dos conjuntos K1 eK2.
K1 ≈K2 os espaços topológicos K1 e K2 são homeomorfos.
BX a bola unitária fechada de um espaço normado X.
SX a esfera unitária de um espaço normado X.
Br(x) a bola aberta de centro x e raior.
L(X, Y) o espaço dos operadores lineares contínuos deX emY.
X∗ o espaço L(X,K).
X⊕Y o espaço X×Y munido da norma k(x, y)k= max{kxk,kyk}.
ln
∞ o espaço Kn munido da norma do máximo.
C0(K, X) espaço das funções contínuas de K emX que se anulam no infinito,
munido da norma do supremo.
C0(K) o espaço C0(K,K).
C(K, X) o espaço C0(K, X) seK é compacto.
C(K) o espaço C(K,K).
C(α) o espaço C([1, α]),ω ≤α < ω1.
c o espaço C(ω).
c0 o espaço C0(N).
B(K) a menor σ-álgebra de subconjuntos de um espaço topológico K
contendo todos os abertos de K.
rcabv (K, X) o espaço de Banach das medidas vetoriais µ:B(K)→X regulares,
σ-aditivas e de variação limitada, munido da norma da variação.
✶A a função característica de um conjuntoA.
X ∼Y os espaços de BanachX eY são isomorfos .
X ∼λ Y existe um isomorfismo linear sobrejetorT de X emY tal que kTkkT−1k< λ, para algum 1< λ <∞.
Introdução
Neste trabalho estudamos alguns aspectos da teoria isomorfa dos espaços de Banach C0(K, X).
Um desses aspectos remonta ao clássico teorema de Banach-Stone:
Teorema (Banach-Stone). Sejam K1 e K2 espaços compactos de Hausdorff. Se C(K1) e C(K2)
são isometricamente isomorfos, então K1 e K2 são homeomorfos.
Este resultado, obtido em 1932 por Banach [4] para compactos métricos e estendido em 1937 por Stone [50] para espaços compactos, foi generalizado em 1965 por Amir [3] para espaços compactos e, de forma independente, em 1967 por Cambern [13] para espaços localmente compactos. O resultado estabelece que se K1 e K2 são espaços localmente compactos de Haudorff e T é um isomorfismo
linear sobrejetor de C0(K1)em C0(K2), sekTkkT−1k<2, entãoK1 eK2 são homeomorfos.
O teorema de Banach-Stone também foi generalizado para a classe dos espaços de Banach
C0(K, X). Para espaços de Banach reais, a maior generalização até o presente momento, foi obtida em 1988 e é devida a Behrends e Cambern [6]. O resultado propõe que se X é uniformemente não-quadrado, ver [33, Definição 1.1], existe 1< λ ≤2 tal que se K1 e K2 são espaços localmente
compactos de Haudorff e T é um isomorfismo linear sobrejetor de C0(K1, X) em C0(K2, X) com
kTkkT−1k< λ, então K
1 e K2 são homeomorfos.
No que se refere às relações conjuntísticas preservadas entre espaços localmente compactos de Hausdorff K1 e K2 sob um isomorfismo sobrejetor T de C0(K1) em C0(K2), um resultado não
trivial obtido em 1978 por Cengiz [16], que de certa forma pode ser considerado uma versão fraca
do teorema de Banach-Stone, estabelece que se os espaços C0(K1) e C0(K2) são isomorfos, então
K1 e K2 têm a mesma cardinalidade.
Os resultados de Cengiz [16], Behrends e Cambern [6] sugerem o seguinte problema:
Problema. Sejam X um espaço de Banach uniformemente não-quadrado, K1 e K2 espaços
lo-calmente compactos de Hausdorff. Suponha que C0(K1, X) e C0(K2, X) sejam isomorfos. Nessas
condições o que pode ser dito sobre as cardinalidades deK1 eK2?
No Capítulo 2 respondemos completamente esta questão, mais ainda, obtemos um resultado envolvendo uma classe mais geral de espaços de Banach, os espaços decotipo finito, ver [21, p. 218]. Ainda nesta linha de pesquisa devemos recordar um resultado de Gordon de 1970, ver [31]. Para uma certa classe de espaços compactos, o autor estabelece outra extensão para o Teorema de Banach-Stone. Mais precisamente, seK1 e K2 são compactos métricos enumeráveis e T é um isomorfismo
linear sobrejetor de C(K1) emC(K2) comkTkkT−1k<3, então K1 eK2 são homeomorfos.
No Capítulo 3, inspirado em Gordon [31], buscamos extensões de seu resultado para C(K, X), onde K é um compacto homeomorfo a um intervalo de ordinal eX é um espaço de Banach. Nosso objetivo é resolver o seguinte problema:
Problema. Sejam K1 e K2 espaços compactos métricos enumeráveis e X um espaço de Banach
de cotipo finito. Suponha existir um isomorfismo sobrejetor T de C(K1, X) em C(K2, X) com
kTkkT−1k < 3. Nestas condições, o que pode ser dito a respeito de K
1 e K2? Para algum desses
espaçosX seria possível concluir queK1 e K2 são homeomorfos?
No Capítulo 4 abordamos outro aspecto da teoria isomorfa dos espaços de Banach C0(K, X).
Desta vez, dado um isomorfismo sobrejetor T de C0(K1) em C0(K2), sabendo que os espaços K1
eK2 não são homeomorfos procuramos quantificar a distorçãokTkkT−1k. Estudamos inicialmente
o caso K2 =N. Nesse sentido, voltamos nossa atenção para um tabalho de Cambern de 1968, ver
[14], no qual foi estabelecido que a distância de Banach-Mazur entre os espaçoscec0 é exatamente 3. Recorde que para espaços de Banach isomorfos X e Y a distância de Banach-Mazur é definida por
d(X, Y) = inf T
kTkkT−1k
ondeT percorre todos os isomorfismos sobrejetores deXemY. O resultado de Cambern [14] sugere o seguinte problema:
Problema. Quais são os valores de d(C([1, ωnk]), c0),1≤n, k < ω?
Mais geralmente, se Γ é um espaço topológico discreto e K é um espaço localmente compacto de Hausdorff não discreto, a intuição sugere que um isomorfimo sobrejetor T de C0(K) em C0(Γ)
deve“destruir” os pontos de acumulação de K e, por isso, é razoável pensar que kTkkT−1k cresce conforme aumenta a altura de K. De fato, no Capítulo 4 demonstramos que para um espaço de Banach X de cotipo finito, se T é um isomorfismo sobrejetor de C0(K, X) em C0(Γ, X) e se o n
-ésimo derivado deK for não vazio, entãokTkkT−1k ≥2n+ 1. Também apresentamos uma solução completa para o problema anterior.
No Capítulo 5, seguindo a mesma linha de trabalho do Capítulo 4, estudamos os espaços de BanachC(α),ω ≤α < ω1. A classificação isomorfa destes espaços foi obtida em 1960 por Bessaga
e Pełczyński [7]. Eles estabeleceram que se ω ≤ α ≤ β < ω1, então C(α) é isomorfo a C(β) se e
somente se existe1≤n < ωtal queαn≤β < αn+1.Na ocasião, também foram obtidas estimativas
para as distâncias de Banach-Mazur entre estes espaços: n≤d(C(α), C(β))≤4n+3.
Bessaga e Pełczyński [7, p. 59] consideram o problema de se obter funções G, H : N → R+
satisfazendo
sup(H(n)/G(n))<∞ e G(n)≤d(C(α), C(β))≤H(n), n∈N.
Capítulo 1
Medidas vetoriais e integração vetorial
1.1
Introdução
Nosso objetivo neste capítulo é reunir algumas ferramentas técnicas necessárias para abordar o estudo de funcionais lineares definidos sobre espaços de funções a valores vetoriais. Vamos apresentar algumas definições e propriedades básicas em teoria de medidas vetoriais e espaços de funções contínuas que serão utilizadas ao longo deste trabalho. Para um estudo mais detalhado sobre estes tópicos recomendamos [20], [22] e [23].
1.2
Medidas Vetoriais
Em princípio, utilizaremos a notação e a terminologia para teoria de medida e teoria de espaços de Banach que podem ser encontradas em [20] e [35]. Iniciamos com a seguinte definição:
Definição 1.1. Sejam K um conjunto não vazio, A uma álgebra de subconjuntos de K e X um espaço normado. Uma função µ : A → X é denominada medida vetorial finitamente aditiva se verificar para quaisquer A, B∈ A, comA∩B =∅,
µ(A∪B) =µ(A) +µ(B).
Uma função µ:A →Xé denominadamedida vetorial σ-aditivase para toda sequência (Ai)i∈N de elementos mutuamente disjuntos de Acom união em A, verificar
µ
∞ [
i=1
Ai !
=
∞ X
i=1
µ(Ai).
Observação 1.2. Estaremos focados principalmente em medidas vetoriaisσ-aditivas definidas em
σ-álgebras. Contudo, o conceito de medida finitamente aditiva é fundamental na investigação de operadores lineares definidos sobre espaços de funções a valores vetoriais. Por simplicidade e sem possibilidade de confusão, por medida vetorial estaremos nos referindo tanto a uma medida finita-mente aditiva quanto a uma medidaσ-aditiva nas condições da Definição 1.1.
Um par ordenado (K,Σ), onde K é um conjunto e Σ é umaσ-álgebra sobre K, será chamado espaço mensurável.
Muitos dos resultados obtidos neste trabalho dependem do conceito devariação que recordare-mos em seguida.
Definição 1.3. Sejam (K,Σ) um espaço mensurável, X um espaço de Banach e µ: Σ→X uma
medida vetorial. A variação de µé a aplicação |µ|definida sobreΣ por
|µ|(A) = sup n X
k=1
kµ(Ak)k, A∈Σ,
onde o supremo é tomado sob todas as partições finitas{A1, . . . , An}de AemΣ. Sempre que uma medida vetorial µsatisfizer|µ|(K)<∞, diremos que µtemvariação limitada.
Proposição 1.4. Sejam (K,Σ)um espaço mensurável eX um espaço de Banach. Seµ: Σ→X é uma medida vetorial de varição limitada e σ-aditiva (finitamente aditiva), sua variação|µ|: Σ→R
é uma medida positiva e σ-aditiva (finitamente aditiva). Mais ainda, |µ| é a menor de todas as medidas positivas que cumprem µ(A)≤ |µ|(A) para todo A∈Σ.
Demonstração. Claramente|µ|(A)≥0para todo A∈Σ e|µ|(A)≤ |µ|(B) sempre que A, B ∈Σ e
A⊆B.
Vamos verificar o caso em que µ é σ-aditiva. Para µfinitamente aditiva, a demonstração pode ser obtida com um argumento análogo.
Seja (Ai)i∈N uma sequência de elementos mutuamente disjuntos de Σ. Dado ǫ > 0 arbitrário, para cadai∈N, seja {Bi
1, . . . , Bnii} uma partição deAi emΣsatisfazendo ni
X
j=1
kµ(Bji)k ≥ |µ|(Ai)−
ǫ
2i.
Então, para qualquer subconjunto finito J ⊂Npodemos escrever
|µ|
∞ [
i=1
Ai !
≥ |µ| [
i∈J
Ai !
≥X
i∈J
ni X
j=1
kµ(Bji)k
≥
X
i∈J
|µ|(Ai)−ǫ.
Isso implica
|µ|
∞ [ i=1 Ai ! ≥ ∞ X i=1
|µ|(Ai).
Por outro lado, dado ǫ >0 arbitrário, seja {B1, . . . , Bn}uma partição de S∞i=1Ai verificando n
X
j=1
kµ(Bj)k ≥ |µ| ∞ [ i=1 Ai ! −ǫ.
Claramente, para cada i∈N, a coleção {Ai∩B1, . . . , Ai∩Bn} forma uma partição de Ai em Σ. Podemos escrever
kµ(Bj)k=kµ ∞ [
i=1
(Ai∩Bj) !
k=k
∞ X
i=1
µ(Ai∩Bj)k ≤ ∞ X
i=1
kµ(Ai∩Bj)k, 1≤j≤n.
Consequentemente
|µ|
∞ [
i=1
Ai !
−ǫ≤
n X
j=1
kµ(Bj)k ≤ ∞ X i=1 n X j=1
kµ(Ai∩Bj)k
≤
∞ X
i=1
1.3 INTEGRAÇÃO VETORIAL 3
Comoǫ >0 é arbitrário, deduzimos que
|µ| ∞ [
i=1
Ai !
≤ ∞ X
i=1
|µ|(Ai).
Para a segunda parte, seja λ outra medida positiva satisfazendo kµ(A)k ≤ λ(A) para todo
A∈Σ. Então, dada uma partição{A1, . . . , An} arbitrária de Aem Σ, temos n
X
i=1
kµ(Ai)k ≤ n X
i=1
λ(Ai) =λ(A),
logo,
|µ|(A)≤λ(A).
1.3
Integração vetorial
Apresentaremos brevemente nesta seção um conceito simples de integração vetorial que terá um papel importante em nosso trabalho. Trata-se de um conceito de integração sobre medidas vetoriais a valores em duais de espaços normados. Para um estudo mais detalhado sobre este tópico recomendamos [22].
Nesta seção e ao longo deste trabalho, para um conjunto arbitrário A, denotaremos por ✶A a função característica deA.
Definição 1.5. Sejam (K,Σ) um espaço mensurável e X um espaço de Banach. Uma função
f :K →X será chamada de simples se existiremv1, . . . , vn∈X e A1, . . . , An∈Σ tais que
f = n X
i=1
vi·✶Ai.
Observação. É possível verificar que toda função simplesf :K→X pode ser escrita como
f = n X
i=1
vi·✶Ai,
onde v1, . . . , vn∈X e A1, . . . , Anformam uma partição de K emΣ.
Para um espaço mensurável (K,Σ) e um espaço de Banach X, o conjunto de todas as funções simples de K emX, munido das operações usuais de adição de funções e multiplicação de função por escalar, é um espaço vetorial. A aplicação f 7→ kfk= supx∈Kkf(x)k define uma norma sobre este espaço. Este espaço normado será denotado porS(Σ, X).
Definição 1.6. Sejam(K,Σ)um espaço mensurável eX um espaço de Banach. Dizemos que uma função f : K → X é mensurável se existe uma sequência (fn)n∈N em S(Σ, X) tal que fn → f pontualmente.
Teorema 1.7. Sejam(K,Σ) um espaço mensurável eX um espaço de Banach. Se (fn)n∈N é uma sequência de funções de K em X, mensuráveis e convergindo pontualmente a f, então o limite f é mensurável.
Medidas vetoriais a valores em duais topológicos de espaços normados desempenham papel fundamental no estudo de funcionais lineares contínuos sobre espaços de funções a valores vetoriais. A este tipo de medida dedicaremos nosso subsequente estudo neste capítulo.
Para um espaço de Banach X denotamos X∗ seu dual topológico, i.e., o espaço de todos os funcionais lineares contínuos emX. A dualidade entreX∗ e X será denotada porhv∗, vi,hv, v∗i ou
v∗(v).
Proposição 1.8. Sejam (K,Σ) um espaço mensurável e X um espaço de Banach. Se µ: Σ→X∗
é uma medida vetorial de variação limitada, então
|µ|(A) = sup n X i=1
hµ(Ai), vii
, A∈Σ,
onde o supremo é tomado sob todas as partições finitas {A1, . . . , An} deA emΣe v1, . . . , vn∈BX.
Demonstração. FixeA∈Σarbitrário. Da definição de variação temos
|µ|(A)≥sup n X i=1
hµ(Ai), vii .
Resta apenas demonstrar a desigualdade contrária. Fixeǫ >0e uma partição qualquer{B1, . . . , Bm} de A. Para cada 1≤j≤m existe uj ∈BX satisfazendo
kµ(Bj)k −
ǫ
m ≤ hµ(Bj), uji.
Então
m X
j=1
kµ(Bj)k −ǫ≤ m X
j=1
hµ(Bj), uji ≤sup n X i=1
hµ(Ai), vii
e deduzimos que
|µ|(A)≤sup n X i=1
hµ(Ai), vii +ǫ.
Por ǫ >0 ser arbitrário concluímos que
|µ|(A)≤sup n X i=1
hµ(Ai), vii .
Sejam (K,Σ) um espaço mensurável e µ: Σ→ X∗ uma medida vetorial de variação limitada. Para cada f =Pni=1vi·✶Ai ∈ S(Σ, X) defina
Sµf = n X
i=1
hµ(Ai), vii. (1.1)
Em virtude de µser finitamente aditiva, o valor de Sµf independe da particular representação def como uma função simples. Não é difícil verificar que a fórmula (1.1) define um funcional linear contínuo emS(Σ, X) e que, de acordo com a Proposição 1.8, verifica
1.3 INTEGRAÇÃO VETORIAL 5
Denotando por M(Σ, X) o completamento de S(Σ, X), espaço cujos os elementos serão de-nominados funções totalmente mensuráveis, o funcional Sµ admite uma única extensão de mesma norma aM(Σ, X) que será denotada por
Z
f dµ, f ∈ M(Σ, X).
Da mesma forma, dado A∈Σ, a aplicação µA(B) =µ(B∩A), define uma medida sobreΣ. O funcional linear associado a µAtem norma |µ|(A) e pode ser denotado
Z
A
f dµ= Z
f dµA, f ∈ M(Σ, X).
Se A, B∈Σsão disjuntos, entãoµA∪B=µA+µB. Com a notação acima podemos escrever Z
A∪B
f dµ= Z
f dµA∪B= Z
f dµA+ Z
f dµB = Z
A
f dµ+ Z
B
f dµ, f ∈ M(Σ, X).
No caso escalar, no qual X =R ou X =C, para funções totalmente mensuráveis a integração definida acima coincide com a integração abstrata usual desenvolvida em teoria da medida. A proposição seguinte combina esses dois conceitos.
Proposição 1.9. Sejam (K,Σ) um espaço mensurável e µ : Σ → X∗ uma medida vetorial de variação limitada. Para cada f ∈ M(Σ, X) temos
Z f dµ ≤ Z
kf(x)kd|µ|(x).
Demonstração. Sejaf ∈ M(Σ, X). Sef é simples, suponhaf =Pni=1vi·✶Ai onde A1, . . . , An∈Σ
são mutuamente disjuntos. Então
Z f dµ = n X i=1
hµ(Ai), vii ≤ n X i=1
|hµ(Ai), vii| ≤ n X
i=1
kµ(Ai)k kvik
≤ n X
i=1
kvik |µ|(Ai) = Z
kf(x)kd|µ|(x).
Para o caso geral, seja(fn)n∈Numa sequência emS(Σ, X) convergindo uniformemente af. Da continuidade do funcional g7→R gdµtemos
lim n→+∞
Z
fndµ = Z f dµ (1.2)
e como claramente (kfnk)n∈Nconverge uniformemente a kfkpodemos escrever
lim n→+∞
Z
kfn(x)kd|µ|(x) = Z
kf(x)kd|µ|(x). (1.3)
Já verificamos a proposição para funções simples. Assim,
Z
fndµ
≤
Z
Z
f dµ
= limn→+∞ Z
fndµ
≤n→lim+∞ Z
kfn(x)kd|µ|(x) = Z
kf(x)kd|µ|(x).
1.4
Representação de funcionais em
C
0(K, X
)
Nossa meta nesta seção é apresentar um breve estudo sobre funcionais lineares definidos em de-terminados espaços de funções contínuas. Como veremos na sequência, este estudo está intimamente ligado com o conceito de integração apresentado na Seção 1.3.
Definição 1.10. SejamK um espaço topológico localmente compacto de Hausdorff eX um espaço de Banach. Dizemos que uma funçãof :K→ X se anula no infinito se para cadaǫ >0existe um compactoJ ⊂K tal que kf(x)k< ǫpara todo x∈K\J.
Para um espaço localmente compacto de Hausdorff Ke um espaço de Banach X, o conjunto de todas as funções contínuas f :K → X que se anulam no infinito, munido das operações usuais de adição de funções e multiplicação de função por escalar, formam um espaço vetorial, mais ainda, a aplicação f 7→ kfk= supx∈Kkf(x)k define uma norma completa sobre este espaço. Este espaço de Banach será denotado por C0(K, X). Se X for R ou C, este espaço será denotado por C0(K).
QuandoK for compacto estes espaços serão denotados porC(K, X)e C(K) respectivamente.
Observação 1.11. Sejam K um espaço topológico localmente compacto de Hausdorff não com-pacto, K=K∪ {∞}. o compactificado de Aleksandrov deK eX um espaço de Banach. O espaço
C0(K, X) pode ser identificado de maneira natural com o subespaço de C(K, X) das funções
con-tínuasf :K→X satisfazendof(∞) = 0.
Teorema 1.12(Lema de Urysohn). SejamK um espaço localmente compacto de Hausdorff, U um aberto em K, F ⊂ U e F é compacto. Então existe f ∈ C0(K) tal que 0 ≤ f(x) ≤ 1 para todo
x∈K, f(x) = 1 se x∈F e f(x) = 0 se x∈K\U.
Demonstração. Se K for compacto, por K ser de Hausdorff, então K é normal. Podemos aplicar o Lema de Urysohn para espaços topológicos normais [25, Teorema 1.5.11] e concluir que existe
f ∈C(K) tal que 0≤f(x)≤1 para todox∈K,f(x) = 1 sex∈F ef(x) = 0 sex∈K\U. SeKfor não compacto, como na Observação 1.11, identificamos o espaçoC0(K)com o subespaço
deC(K)das funções contínuasf :K→Ksatisfazendof(∞) = 0. PorK ser localmente compacto de Hausdorff, seu compactificado de AleksandrovKé normal. PorF ⊂K ser compacto, o conjunto
F é fechado emK. Podemos aplicar novamente o [25, Teorema 1.5.11] e obter uma funçãof ∈C(K)
tal que 0≤f(x)≤1 para todox∈K,f(x) = 1 sex∈F ef(x) = 0sex∈K\U. Porf(∞) = 0, temos quef ∈C0(K).
Para um espaço topológico K, a menor σ-álgebra contendo todos os abertos de K é chamada
σ-álgebra de Borel e será denotada porB(K). Os elementos de B(K)serão chamados deborelianos
de K. Uma medida vetorial ou escalar µdefinida sobreB(K) será chamada demedida de Borel. Para medidas de Borel, um conceito fundamental em nosso trabalho é o de regularidade que recordaremos em seguida.
Definição 1.13. Seja K um espaço topológico. Uma medida positiva µ:B(K)→Rserá
denomi-nada regular se para todo boreliano B, satisfizer
1.4 REPRESENTAÇÃO DE FUNCIONAIS EMC0(K, X) 7
Se µ for uma medida vetorial de Borel, diremos que µé regular quando |µ| for regular no sentido acima.
Sejam K um espaço localmente compacto de Hausdorff e X um espaço de Banach. O conjunto de todas medidas µ : B(K) → X regulares, σ-aditivas e de variação limitada, munido das oper-ações usuais de adição de medidas e multiplicação de medida por escalar, é um espaço vetorial. A aplicação µ7→ kµk=|µ|(K) define uma norma completa sobre este espaço que será denotado por
rcabv(K, X). Se X for Rou Ceste espaço será denotado simplesmente por rcabv(K).
Observação 1.14. Por simplicidade, para um espaço topológicoK localmente compacto de Haus-dorff estaremos assumindo de maneira implícita aσ-álgebraB(K). Também por simplicidade, para o espaço mensurável (K,B(K)) e um espaço de Banach X, o espaço das funções simples mensu-ráveis munido da norma do supremo, introduzido na Seção 1.3, será denotado por S(K, X) e seu completamento por M(K, X).
Proposição 1.15. Sejam K um espaço localmente compacto de Hausdorff e X um espaço de Banach. Para toda função f ∈ C0(K, X) existe uma sequência (fn)n∈N em S(K, X) convergindo uniformemente a f e tal quekfnk ≤ kfk para todo n∈N.
Demonstração. Seja f ∈C0(K, X) e sem perda de generalidade vamos supor que kfk= 1. Fixado
n∈N, considere o conjuntoLn={x∈K :kf(x)k ≥ 1n}que é não vazio e compacto, pois a função
f é contínua e se anula no infinito. Para cada x∈Ln defina
Ux =f−1
B1
n(f(x))
.
Note-se que {Ux:x∈K} é um recobrimento aberto de Ln. Por compacidade, existem pontos distintos x1, . . . , xm∈Ln tais que
Ln⊂Ux1∪. . .∪Uxm.
Em seguida, para cada 1≤i≤m defina
Ai =Uxi\ [
j<i
Uxj e fn= m X
i=1
f(xi)·✶Ai.
Para cada x∈K, sex∈K\(Ux1 ∪. . .∪Uxm), então x /∈Ln efn(x) = 0, logo
kf(x)−fn(x)k=kf(x)k< 1
n.
Por outro lado, se x∈Ux1 ∪. . .∪Uxm, então existe um único1≤i≤m tal quex∈Ai. Temos
kf(x)−fn(x)k=kf(x)−f(xi)k< 1
n.
Portantokf−fnk ≤ n1 e dessa forma, podemos construir uma sequência(fn)n∈Nde funções simples convergindo uniformemente a f. Mais ainda, segue imediatamente da construção de cada fn que kfnk ≤ kfk.
Teorema 1.16. Sejam K um espaço localmente compacto de Hausdorff eµ∈rcabv(K, X∗). Para
cada aberto U ⊆K seja FU ={f ∈C0(K, X) :kfk ≤1 e f(x) = 0 se x∈K\U}. Então
|µ|(U) = sup
FU Z
f dµ
Demonstração. Seja U ⊆ K um aberto não vazio. Dado ǫ > 0, de acordo com a Proposição 1.8, existe uma função simples g = Pni=1vi ·✶Ai, onde v1, . . . , vn ∈ BX e A1, . . . , An formam uma partição deU em B(K), satisfazendo
|µ|(U)< ǫ
2+ n X i=1
hµ(Ai), vii = ǫ 2 + Z gdµ . (1.5)
Devido à regularidade de |µ|, existem abertos U1, U2, . . . , Un e compactos J1, J2, . . . , Jn satis-fazendo
Ji ⊂Ai ⊂Ui ⊂U e |µ|(Ui\Ji)<
ǫ
2n(kvik+ 1)
, 1≤i≤n.
Aplicando o Lema de Urysohn 1.12, podemos obter funções hi ∈ C0(K), 1 ≤ i ≤ n, tais que 0 ≤ hi(x) ≤ 1 para todo x ∈ K, hi(x) = 1 se x ∈ Ji e hi(x) = 0 se x ∈ K \Ui. Como os compactos J1, . . . , Jn são mutuamente disjuntos, as funções h1, . . . , hn podem ser escolhidas com suportes mutuamente disjuntos. Defina h:K→X por
h(x) = n X
i=1
vi·hi(x).
Claramente h∈ FU. Utilizando a Proposição 1.9 podemos escrever
Z gdµ− Z hdµ = Z
(g−h)dµ
≤
Z
kg−hkd|µ| ≤ n X
i=1
kvik Z
|✶Ai−hi|d|µ| ≤ n X i=1
kvik Z
✶(Ui\Ki)d|µ|
≤ n X
i=1
(kvik · |µ|(Ui\Ki))
≤ n X
i=1
kvikǫ 2n(kvik+ 1)
< ǫ
2.
Então, retomando a relação (1.5), deduzimos
|µ|(U)< ǫ
2 + Z gdµ < ǫ+
Z hdµ
≤ǫ+ supF U Z f dµ . Por ǫser arbitrário, resulta
|µ|(U)≤sup
FU Z f dµ .
Por outro lado, fixef ∈ FU arbitrária. Sef não for a função nula, podemos supor sem perda de generalidade que kfk= 1. Neste caso, seja (fn)n∈N uma sequência em S(K, X), construída como na demonstração da Proposição 1.15, que converge uniformemente af e que satisfazkfnk ≤1para todo n∈N.
Dadon∈N, porfn(x) = 0sex∈K\U, podemos escreverfn=Pri=1n vi·✶Ai, ondev1, . . . , vrn ∈
BX e A1, . . . , Arn formam uma partição deU emB(K). Assim,
Z
fndµ = rn X i=1
hµ(Ai), vii ≤ |
1.5 O TEOREMA DE RADON-NIKODÝM 9
Passando-se ao limite na expressão acima para n tendendo ao infinito obtemos
Z
f dµ
≤ |µ|(U). Por f ∈ FU ser arbitrária, temos
sup
FU Z
f dµ
≤ |µ|(U) .
Para um espaço localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X, de acordo com a Proposição 1.15, temos C0(K, X)⊂ M(K, X). Assim, dado um funcional linear contínuoϕ
sobre C0(K, X), por uma aplicação do teorema Hahn-Banach, ϕ se estende a um funcional linear
contínuo ϕ sobre M(K, X) de mesma norma. Note-se que ao funcional ϕ podemos associar a aplicação µ:B(K)→X∗ definida para cadaA∈ B(K) e cada v∈X por
hµ(A), vi=ϕ(✶A·v).
Não é difícil verificar queµ é uma medida vetorial finitamente aditiva e que satisfaz
kϕk=|µ|(K) e ϕ(f) = Z
f dµ, f ∈C0(K, X). (1.6)
Naturalmente, a extensão ϕ não está univocamente determinada assim como a medida µ cor-respondente. Para medidas escalares, o clássico Teorema de Representação de Riesz [45, Teorema 6.19] estabelece que o dual de C0(K) pode ser identificado com rcabv(K) via teoria de integração. Um resultado de I. Singer determina que dentre todas as medidasµque cumprem (1.6) existe uma única em rcabv(K, X∗). Trata-se de uma extensão do Teorema de Representação de Riesz para os espaçosC0(K, X).
Teorema 1.17(Representação de Riesz-Singer). Existe um isomorfismo isométrico entreC0(K, X)∗
e rcabv(K, X∗), onde cada funcional ϕ∈C0(K, X)∗ e a medida µ∈rcabv(K, X∗) correspondente se relacionam pela seguinte fórmula integral
ϕ(f) = Z
f dµ ,f ∈C0(K, X),
com kϕk=|µ|(K).
Para a demonstração deste teorema, no caso em queKé compacto, recomendamos [32] e também [48, Lema 1.6, p. 193]. Para K localmente compacto, o teorema pode ser obtido do caso compacto como explicado em [11, p. 2]. Para uma demonstração detalhada do caso localmente compacto recomendamos [40].
Observação 1.18. A demonstração original do Teorema 1.17 descoberta por I. Singer em [49]
é incompleta. Este resultado, até onde sabemos, foi completado pela primeira vez por J. Gil de Lamadrid em [30].
1.5
O Teorema de Radon-Nikodým
Sejam (K,Σ) um espaço mensurável e X um espaço de Banach. Recordamos que uma medida vetorial µ : Σ → X é absolutamente contínua com relação a uma medida positiva λ : Σ → R e escrevemosµ≪λ, se
lim
λ(A)→0µ(A) = 0.
Observação. Devemos notar que µ≪λnão significa que µ(A) = 0sempre queλ(A) = 0, a menos queµ eλsejam ambasσ-aditivas.
Recordamos em seguida um teorema clássico, [45, Teorema 6.10].
Teorema 1.19 (Radon-Nikodým). Sejam λ: Σ→R uma medida positiva e σ-aditiva, µ: Σ→K
uma medidaσ-aditiva de variação limitada satisfazendoµ≪λ. Então existe uma funçãoγ :K→K
mensurável, integrável e satisfazendo
µ(A) = Z
A
γdλ e |µ|(A) = Z
A|
γ|dλ, A∈Σ.
Para medidas vetoriaisµ: Σ→Xsabemos que não existem, em geral, densidadesγmensuráveis satisfazendo conclusão semelhante a do Teorema 1.19, isto só ocorre quando X tem a propriedade de Radon-Nikodým.
Um espaço de Banach X tem a propriedade de Radon-Nikodým (ou P.R.N.) se para qualquer espaço mensurável (K,Σ), qualquer medida positiva e σ-aditiva λ : Σ → R e qualquer medida vetorial σ-aditiva de variação limitada µ : Σ→ X tal queµ ≪ λ, existir uma função γ :K → X
mensurável, Bochner integrável e que verifica, para todoA∈Σ, a relação
µ(A) = Z
A
γdλ.(Bochner)
Exemplos de espaços de Banach com essa propriedade são: espaços reflexivos [20, Corolário 13, p. 76] e espaços duais separáveis [20, Teorema 1, p. 79].
Inspirado em [22, Teorema 34, p. 37], apresentaremos uma versão do teorema de Radon-Nikodým para medidas a valores emX∗ sem a imposição dos espaços envolvidos possuirem a propriedade de Radon-Nikodým. Todavia, a densidade γ obtida é apenasw∗-mensurável.
Definição 1.20. Sejam(K,Σ)um espaço mensurável eXum espaço de Banach. Dizemos que uma funçãof :K →X∗ é w∗-mensurável se para todo v∈X a função numérica
x7→ hf(x), vi for mensurável no sentido usual.
Recordamos que uma propriedade P(x) definida para cada x ∈ K é dita verdadeira µ-qs ou
µ-quase sempre se o conjunto N = {x ∈ K :P(x) é falsa} está contido em algum A ∈ Σ tal que
µ(A) = 0.
Teorema 1.21. Sejam K um espaço localmente compacto de Hausdorff, X um espaço de Banach separável e µ∈rcabv(K, X∗). Existe uma função γ :K →X∗ w∗-mensurável, tal que kγ(x)k= 1
para todo x∈K e que verifica
hµ(A), ui= Z
Ah
γ(x), uid|µ|(x), A∈ B(K) e u∈X.
Demonstração. Para cada v∈X defina a aplicaçãoµv :B(K)→Kpor
1.5 O TEOREMA DE RADON-NIKODÝM 11
Claramenteµv ∈rcabv(K) e µv ≪ |µ|. De acordo com o Teorema de Radon-Nikodým 1.19, existe uma funçãoγv :K→Kmensurável, integrável e satisfazendo
µv(A) = Z
A
γvd|µ| e |µv|(A) = Z
A|
γv|d|µ|, A∈ B(K). (1.7)
Seja N(v) ={x∈K :|γv|(x)>kvk}e defina para cada n∈No conjunto
An=
x∈K :|γv|(x)≥ kvk+ 1
n
.
Temos N(v) =Sn∈NAn e
kvk+ 1
n
|µ|(An)≤ Z
An
|γv|d|µ|=|µv|(An)≤ kvk · |µ|(An), n∈N.
Então,|µ|(An) = 0 para todo n∈N e deduzimos que|µ|(N(v)) = 0.
Concluímos que para cada v∈X existe uma função mensurável γv :K →Kque verifica (1.7), um borelianoN(v) com|µ|(N(v)) = 0e vale
|γv|(x)≤ kvk, x∈K\ N(v). (1.8) Para cada u, v∈X e a, b∈Ktemos
µau+bv=aµu+bµv. Então, para cadaA∈ B(K) vale a relação
Z
A
γau+bvd|µ|=µau+bv(A) =aµu(A) +bµv(A) = Z
A
(aγu+bγv)d|µ|
e portanto
γau+bv(x) =aγu(x) +bγu(x), µ-qs. (1.9) Podemos fixar um boreliano M(a, b, u, v) tal que|µ|(M(a, b, u, v)) = 0de forma que a relação (1.9) se verifique para todox∈K\ M(a, b, u, v).
Em seguida, seja{vn:n∈N}uma sequência densa emX. Denote porKQ o corpoQouQ+iQ, conformeX seja um espaço de Banach sobre Rou Crespectivamente e seja X0 o espaço normado
gerado sobreKQ por {vn:n∈N}. Claramente,X0 é enumerável e denso em X.
Defina
N = [
a,b∈KQ
u,v∈X0
(N(au+bv)∪ M(a, b, u, v))
e observe que N ∈ B(K) e |µ|(N) = 0.
Para cada v ∈ X0 vamos redefinir γv em N por 0. Assim, quaisquer que sejam u, v ∈ X0 e
a, b∈KQ, as relações (1.8) e (1.9) são verdadeiras em todoK. Para cada x∈K considere ϕx :X0 →Kpor
ϕx(v) =γv(x), v∈X0.
Em virtude de (1.8) e (1.9) serem verdadeiras em todoK, a funçãoϕxé linear e contínua emX0.
Portanto, o funcionalϕx admite uma única extensão de mesma norma a X e que por simplicidade também será denotada por ϕx.
Defina a função γ :K →X∗ como γ(x) =ϕ
Para demonstrar que γ éw∗-mensurável fixeu∈X arbitrário e seja(un)n∈Numa sequência em
X0 convergindo a u. Para cada n∈N, por construção, a aplicação
x7→ϕx(un) =γun(x)
é mensurável. Consequentemente, a aplicação
x7→ hγ(x), ui=ϕx(u) = lim
n→+∞ϕx(un) = limn→+∞γun(x) é mensurável, pois trata-se de um limite pontual de funções mensuráveis.
Em seguida, fixeA∈ B(K)eu∈Xarbitrários. Seja(un)n∈Numa sequência emX0convergindo
a u. Aplicando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue [45, Teorema 1.34] obtemos
hµ(A), ui= lim
n→+∞hµ(A), uni= limn→+∞µun(A) = limn→+∞ Z
A
γun(x)d|µ|(x) (1.10)
= Z
A lim
n→+∞γun(x)d|µ|(x) = Z
A
ϕx(u)d|µ|(x) = Z
Ah
γ(x), uid|µ|.
Concluímos que
hµ(A), ui= Z
Ah
γ(x), uid|µ|(x), A∈ B(K)e u∈X. (1.11)
Vamos verificar agora que a função γ pode ser redefinida em um conjunto de medida nula de modo a satisfazer, além da relação (1.11),kγ(x)k= 1 para todo x∈K.
Seja {en:n∈N} uma sequência densa emSX. Porx7→ hγ(x), eni ser mensurável para todo n, decorre que
x7→ kγ(x)k= sup n∈N|h
γ(x), eni| é mensurável. De acordo com (1.11) temos
|hµ(A), eni|= Z
Ah
γ(x), enid|µ|(x)
≤
Z
Ak
γ(x)kd|µ|(x), A∈ B(K)e n∈N.
Deduzimos que
|µ|(A)≤ Z
Ak
γ(x)kd|µ|(x), A∈ B(K).
Por outro lado, em virtude dekγ(x)k ≤1 para todox∈K, temos Z
Ak
γ(x)kd|µ|(x)≤ |µ|(A), A∈ B(K).
Consequentemente
|µ|(A) = Z
Ak
γ(x)kd|µ|(x), A∈ B(K). (1.12)
Por (1.12), inferimos que kγ(x)k = 1, |µ|-qs. Assim, podemos redefinir γ em um conjunto de medida nula de modo a satisfazer kγ(x)k= 1 para todo x∈K.
1.5 O TEOREMA DE RADON-NIKODÝM 13
este resultado.
Teorema 1.22. Sejam (K,Σ) um espaço mensurável, λ: Σ →R uma medida positiva, σ-aditiva e completa, µ: Σ →X∗ uma medida σ-aditiva e de varição limitada tal que µ≪ λ. Então existe
uma função γ :K→X∗ w∗-mensurável verificando as seguintes condições: (a) A função x→ kγ(x)k é mensurável e integrável com respeito aλ. (b) Para todo v∈X e todoA∈Σ
hµ(A), vi= Z
Ah
γ(x), vidλ(x).
(c) Para todo A∈Σ
|µ|(A) = Z
Ak
γ(x)kdλ(x).
Proposição 1.23. Sejam K um espaço localmente compacto de Hausdorff e X um espaço de Banach. Se X é separável ou X∗ tem a propriedade de Radon-Nikodým, então para cada µ ∈
rcabv(K, X∗) existe uma função γ :K →X∗ w∗-mensurável verificando as seguintes condições: (a) kγ(x)k= 1 para todo x∈K
(b) Para toda f ∈C0(K, X), a função x7→ hγ(x), f(x)i é mensurável
(c) Para toda f ∈C0(K, X) Z
f dµ= Z
hγ(x), f(x)id|µ|(x).
Mais ainda, no caso em que X∗ tem a propriedade de Radon-Nikodým, γ pode ser escolhida
men-surável.
Demonstração. Se X for separável, de acordo com o Teorema 1.21, existe uma funçãoγ :K →X∗ w∗-mensurável, tal que kγ(x)k= 1 para todox∈K e verificando
hµ(A), vi= Z
Ah
γ(x), vid|µ|(x), A∈ B(K) e v∈X. (1.13)
Se X tem a propriedade de Radon-Nikodým, em virtude de µ≪ |µ|, existe por definição uma funçãoγ :K →X∗ mensurável, Bochner integrável e que verifica, para todoA∈ B(K),
µ(A) = Z
A
γd|µ|.(Bochner)
Observe que a relação (1.13) também é verdadeira neste caso. Mais ainda, de acordo com [20, Teorema 4.(iv), p. 46], vale
|µ|(A) = Z
Ak
γ(x)kd|µ|(x), A∈ B(K)
e decorre que kγ(x)k = 1,|µ|-qs. Assim, podemos redefinir γ em um conjunto de medida nula de modo a satifazer, além da relação (1.13), kγ(x)k= 1 para todo x∈K.
Para ambos os casos, X é separável ou X∗ tem a propriedade de Radon-Nikodým, seja f ∈
Claramente, para todo n∈N, a aplicaçãox7→ hγ(x), fn(x)i é mensurável. Consequentemente,
x7→ hγ(x), f(x)i= lim
n→∞hγ(x), fn(x)i é mensurável, pois trata-se de um limite pontual de funções mensuráveis.
Além disso, para todox∈K e todon∈Nvale
|hγ(x), fn(x)i| ≤ kγ(x)kkfn(x)k ≤ kfk.
Aplicando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue [45, Teorema 1.34] obtemos
lim n→∞
Z
hγ(x), fn(x)id|µ|(x) = Z
hγ(x), f(x)id|µ|(x). (1.14)
Em seguida, fixe n∈N. Podemos supor que
fn= rn X
i=1
vi·✶Bi,
onde B1, . . . , Bn é uma partição de K em B(K). Utilizando a relação (1.13) escrevemos Z
fndµ= rn X
i=1
hµ(Bi), vii= rn X
i=1 Z
Bi
hγ(x), viid|µ|(x)
= rn X
i=1 Z
✶Bi(x)· hγ(x), viid|µ|(x) = rn X
i=1 Z
hγ(x), vi·✶Bi(x)id|µ|(x)
= Z
hγ(x),
rn X
i=1
vi·✶Bi(x)id|µ|(x) = Z
hγ(x), fn(x)id|µ|(x).
Concluímos que
Z
fndµ= Z
hγ(x), fn(x)id|µ|(x), n∈N. (1.15)
Combinando as relações (1.14) e (1.15) e utilizando a continuidade do funcional linearf 7→R f dµ
obtemos Z
f dµ= lim n→∞
Z
fndµ= lim n→∞
Z
hγ(x), fn(x)id|µ|(x) = Z
Capítulo 2
Sobre isomorfismos entre espaços de
Banach
C
0
(
K, X
)
e a cardinalidade de
K
2.1
Introdução
Dado um espaço topológico localmente compacto de Hausdorff K e um espaço de Banach X
denotamos por C0(K, X) o espaço das funções contínuas de K em X que se anulam no infinito,
munido da norma do supremo. Se X for R ou C, este espaço será denotado por C0(K). Se K for compacto estes espaços serão denotados porC(K, X) eC(K)respectivamente.
Definição 2.1. Sejam X e Y espaços de Banach. Um isomorfismo de X em Y é um operador linearT :X →Y contínuo, injetor e com imagem fechada. O númerokTkkT−1kserá denominado
distorção de T.
Dados espaços de BanachX eY, se existir um isomorfismo sobrejetor de XemY, diremos que
X e Y são isomorfos e escreveremos X ∼Y. Para enfatizar que existe um isomorfismo sobrejetor com distorção estritamente menor que λ, para algum 1< λ <∞, escreveremos X ∼λ Y. Se existir um isomorfismo sobrejetor T : X → Y com distorção kTkkT−1k = 1 diremos que X e Y são isometricamente isomorfos.
Para espaços topológicos compactos de Hausdorff K1 eK2, o clássico teorema de Banach-Stone
afirma que se C(K1) e C(K2) forem isometricamente isomorfos, então K1 e K2 são homeomorfos
(mais simplesmente,K1≈K2). Este resultado foi obtido por S. Banach [4] para compactos métricos
e estendido por M. H. Stone [50] para compactos de Hausdorff. De forma independente, em [3] e [13], este resultado foi generalizado como se segue:
Teorema 2.2(Amir-Cambern). SejamK1 eK2 espaços localmente compactos de Hausdorff. Então
C0(K1)∼2 C0(K2) =⇒K1≈K2.
Quando K1 é compacto e K2 é não compacto, foi estabelecido por Cambern [9] que 2 é a
melhor constante para o teorema acima. Para o caso no qual K1 e K2 são compactos este fato foi
estabelecido por Cohen [18].
Surge em seguida a questão sobre quais relações topológicas são preservadas sob a existência de um isomorfismo sobrejetor T : C0(K1) → C0(K2) com kTkkT−1k ≤ n. Um fato interessante
e não trivial estabelecido por Cengiz [16], sem a hipótese de limitação sobre a distorção, é uma
versão fraca do Teorema 2.2 que apresentaremos em seguida. A cardinalidade de um conjunto K
será denotada por|K|.
Teorema 2.3 (Cengiz). Sejam K1 e K2 espaços localmente compactos de Hausdorff. Então
C0(K1)∼C0(K2) =⇒ |K1|=|K2|.
O teorema de Banach-Stone foi também generalizado para espaços de funções contínuas assu-mindo valores em um espaço de Banach. Para espaços de Banach reais, a maior generalização até então é devida a Behrends e Cambern, veja [6]. Para mais generalizações vetoriais do Teorema 2.2 veja também [34].
Teorema 2.4 (Behrends-Cambern). Seja X um espaço de Banach uniformemente não-quadrado. Então existe1< λ≤2 tal que para quaisquer espaços localmente compactos de HausdorffK1 e K2,
C0(K1, X)∼λ C0(K2, X) =⇒K1 ≈K2.
Recordamos que um espaço de Banach X é uniformemente não-quadrado, ver [33], se existir
0< δtal que
x, y ∈BX =⇒
x−y
2
≤1−δ ou
x+y
2
≤1−δ.
Como exemplos de espaços de Banach uniformemente não quadrados destacamos os espaçoslp, 1< p <∞, ver [17]. Por outro lado, é simples verificar que c0 e l1 não possuem essa propriedade.
Os teoremas 2.3 e 2.4 sugerem, de maneira natural, o seguinte problema:
Problema 2.5. Sejam X um espaço de Banach uniformemente não-quadrado, K1 e K2 espaços
localmente compactos de Hausdorff tais que
C0(K1, X)∼C0(K2, X).
Nessas condições o que pode ser dito sobre as cardinalidades de K1 e K2?
Neste capítulo daremos uma resposta completa a esta questão. Demonstraremos um resultado mais geral no que diz respeito a isomorfismos entre espaços C0(K, X). Devemos recordar, ver [38] ou [21, p. 218], a seguinte definição:
Definição 2.6. Dizemos que um espaço de BanachX6={0}tem cotipo finito se existir2≤q <∞
e uma constanteκ >0tal que para todon∈Ne para toda sequência de vetoresv1, v2, . . . , vn∈X, vale
( n X
i=1
kvikq)
1
q ≤κ Z 1
0 k n X
i=1
ri(t)vik2dt !1
2 ,
onde ri : [0,1]→Rdenotam as funções de Rademacher, definidas por
ri(t) = sign(sin 2iπt).
Observação 2.7. Note-se que cotipo finito é uma propriedade estável sob isomorfismos sobrejetores, i.e., para espaços de Banach X e Y, seX tem cotipo finito eX∼Y, então Y tem cotipo finito.
Inspirado por [16] vamos demonstrar a seguinte extensão vetorial do Teorema 2.3.
Teorema 2.8. Seja X um espaço de Banach de cotipo finito. Se X é separável ou se X∗ tem a propriedade de Radon-Nikodým, então para quaisquer espaços localmente compactos de Hausdorff
K e J temos
C0(K, X)∼C0(J, X) =⇒ |K| |J|< ω0 ou |K|=|J|.
O Teorema 2.8 pode, em um certo sentido, ser considerado uma versão fraca do Teorema 2.4 e fornece imediatamente uma solução para o Problema 2.5. De fato, recorde que um espaço de Banach
X é uniformemente convexo, ver [17], se para todo0< ǫ≤2 existe 0< δ verificando
x, y∈BX e kx−yk ≥ǫ=⇒
x+y
2
2.2 SOBRE ESPAÇOSC0(K, X),X DE COTIPO FINITO 17
Por [12, Lema 1] e [21, Teorema 14.1, p. 283], se X é uniformemente convexo então tem cotipo finito. De acordo com um resultado de P. Enflo [24], todo espaço uniformemente não quadrado admite uma norma equivalente uniformemente convexa. Assim, ver Observação 2.7, se X é uni-formemente não quadrado então X tem cotipo finito. Um resultado devido a R. C. James [33, Teorema 1.1] afirma que seXé uniformemente não-quadrado então é reflexivo, logo, X∗ é reflexivo e, segundo um teorema devido a Pettis [20, Corolário 13, p. 76], tem a propriedade de Radon-Nikodým.
Observação 2.9. Segue diretamente das definições que se X é uniformemente convexo, então X
é uniformemente não quadrado. Destacamos que a recíproca não é verdadeira. De fato, considere o espaço
X2,λ= (l2,k · k2,λ), 1< λ < √
2,
onde kxk2,λ = max{kxk2, λ· kxk∞}. É fácil verificar queX2,λ é um espaço de Banach uniforme-mente não quadrado. Por outro lado, X2,λ não é uniformemente convexo pois existem x, y ∈
SX2,λtais que
x6=y e
x+y
2 ≥1.
Note-se que o Teorema 2.8 cobre os casos l1 e X = lp(Γ), onde Γ é um conjunto discreto arbitrário e 1 < p < ∞. Não sabemos responder quando as asserções deste teorema permanecem verdadeiras para o caso remanescente X=l1(Γ), ondeΓ é um conjunto não enumerável.
O clássico teorema de Milyutin [44, Teorema 21.5.10] mostra que não podemos remover a hipótese de cotipo finito no caso em que X é separável. De fato, a conclusão do Teorema 2.8 não vale para uma classe muito grande de espaços de Banach separáveis. Por exemplo, de acordo com [41, Teorema 1], considere a família dos espaços mutuamente não isomorfos C([0,1], lp) com 1≤p <∞. Para todo compacto métrico enumerável K temos
C(K, C([0,1], lp))∼C(K×[0,1], lp)∼C([0,1]×[0,1], lp)∼C([0,1], C([0,1], lp)).
Mais ainda, recordando que para todo conjunto não enumerávelΓ o espaçoC0(Γ)∗ =l1(Γ)tem a propriedade de Radon-Nikodým, ver [20, Corolário 8, p. 83], e vale a relação
C0(N, C0(Γ))∼C0(Γ)∼C0(Γ, C0(Γ)),
concluímos que a hipótese de cotipo finito no Teorema 2.8 também não pode ser removida no caso em que X∗ tem a propriedade de Radon-Nikodým.
Organizamos este capítulo do seguinte modo. Na Seção 2.2 vamos estabelecer alguns resultados sobre espaços de Banach de cotipo finito que serão necessários na demonstração do Teorema 2.8. Na Seção 2.3 demonstraremos um resultado envolvendo funções w∗-mensuráveis que nos permitirá fornecer uma prova unificada do Teorema 2.8 para os dois casos distintos:Xé separável ouX∗ tem a propriedade de Radon-Nikodým.
Na Seção 2.4 vamos estabelecer um lema envolvendo funçõessemicontínuas inferiormente asso-ciadas a operadores lineares deC0(K1, X)emC0(K2, X)e finalmente na Seção 2.5 demonstraremos
o Teorema 2.8.
2.2
Sobre espaços
C
0(K, X
),
X
de cotipo finito
Proposição 2.10. Sejam X um espaço de Banach de cotipo finito, K e J espaços localmente compactos de Hausdorff. Seja T um isomorfismo de C0(K, X) em C0(J, X) e defina para cada
y∈J o conjunto
Ky ={x∈K:|T∗(ϕ·δy)|({x})>0 para algum ϕ∈SX∗},
onde δy denota a medida de Dirac concentrada emy. Então
(a) Ky é enumerável para todo y∈J.
(b) SeJ é infinito e para cadax∈K existir algum y∈J tal que x∈Ky, então |K| ≤ |J|.
Demonstração. (a) Assumiremos queKy é não enumerável para algumy ∈ J e mostraremos que esta suposição implica uma contradição.
Com efeito, sob esta suposição, existe algum 0< ǫ <1tal que
{x∈K:|T∗(ϕ·δy)|({x})> ǫpara algum ϕ∈SX∗}
é infinito.
Por X ter cotipo finito 2≤q <∞, de acordo com a Definição 2.6, existe uma constanteQ >0
tal que para qualquer sequência de vetoresv1, v2, . . . , vm ∈X, se0< δ≤ kvikpara cada1≤i≤m, existe uma escolha apropriada de escalaresri =±1 verificando
m X i=1
ri·vi
≥
δ·Q·√q
m. (2.1)
Fixe n ∈ N satisfazendo ǫ·Q· √qn > 2kTk. Fixe também pontos distintos x
1, . . . , xn ∈ K e
ϕ1, . . . , ϕn∈SX∗ tais que
kT∗(ϕi·δy) ({xi})k=|T∗(ϕi·δy)|({xi})> ǫ, 1≤i≤n. Existem vetoresv1, . . . , vn na bola unitária deX verificando
hT∗(ϕi·δy) ({xi}), vii> ǫ,1≤i≤n. (2.2) Devido à regularidade das medidas T∗(ϕ
i·δy) podemos fixar U1, . . . , Un, vizinhanças mutua-mente disjuntas dex1, . . . , xnrespectivamente, satisfazendo
|T∗(ϕi·δy)|(Ui\ {xi})≤
ǫ
2. (2.3)
Aplicando o Lema de Urysohn 1.12, podemos encontrar funções hi ∈ C0(K) com 0 ≤ hi(x) ≤ 1 para todo x ∈ K, hi(xi) = 1 e hi(x) = 0 se x ∈ K\Ui. Defina fi ∈ C0(K, X) por fi = vi·hi. Então, das relações (2.2) e (2.3),
kT fi(y)k ≥ |hϕi, T fi(y)i|= Z
fidT∗(ϕi·δy)
≥ |hT∗(ϕi·δy) ({xi}), vii| − Z
fidT∗(ϕi·δy)− hT∗(ϕi·δy) ({xi}), vii
> ǫ−
Z
fidT∗(ϕi·δy)− Z
xi
fidT∗(ϕi·δy)
≥ǫ− |T∗(ϕi·δy)|(Ui\ {xi})≥
ǫ
2.3 SOBRE ESPAÇOSC0(K, X),X DE COTIPO FINITO 19
De acordo com (2.1) existe uma escolha apropriada de escalares ri=±1 tais que n X i=1
ri·T fi(y)
≥
ǫ·Q·√qn
2 . (2.4)
Em virtude deUi∩Uj =∅, sei6=j, e kfik ≤1,1≤i≤n, temos n X i=1
ri·fi ≤ 1.
Por (2.4) e pela escolha de ǫ,
kTk ≥ T n X i=1
ri·fi ! ≥ T n X i=1
ri·fi !
(y) = n X i=1
ri·T fi(y)
>kTk,
o que é uma contradição.
(b) Segue de nossa hipótese que
K= [ y∈J
Ky.
De acordo com o item (a), o conjunto Ky é enumerável para todo y∈K. Portanto|K| ≤ |Y|.
A soma direta de espaços de BanachX eY munida da norma do máximo será denotadaX⊕Y. Especificamente, X⊕Y denota o espaço X×Y munido da normak(x, y)k= max{kxk,kyk}. Por questão de simplicidade, denotaremos por Xn a soma direta den cópias de X, munida da norma do máximo.
Recordamos o seguinte resultado:
Teorema 2.11 (Samuel). Sejam X e Y espaços de Banach. Então X ouY contém um subespaço isomorfo a c0 se e somente seX⊕Y contém um subespaço isomorfo a c0.
Demonstração. Ver C. Samuel [46, Teorema 1].
Observe que o Teorema 2.8, no caso em que K ou J são finitos, é consequência imediata do seguinte resultado:
Proposição 2.12. Sejam X um espaço de Banach de cotipo finito e K um espaço topológico de Hausdorff finito. Então para todo espaço localmente compacto de Hausdorff J vale
C0(K, X)∼C0(J, X) =⇒ |J|< ω0.
Demonstração. Por K ser finito e discreto existen∈Ntal que
Xn∼C0(K, X)∼C0(J, X).
Então J deve ser finito. Do contrário, C0(J, X), e consequentemente Xn, contém um subespaço
isomorfo ac0. De acordo com o Teorema 2.11,Xcontém um subespaço isomorfo ac0o que contradiz
2.3
Sobre funções
w
∗-mensuráveis
Nesta seção apresentaremos um resultado envolvendo funções w∗-mensuráveis que será funda-mental na demonstração do principal resultado deste capítulo. Recordamos que dado um espaço mensurável (K,Σ) e um espaço de Banach X, uma função γ :K → X∗ é w∗-mensurável se para todo v∈X a função numérica y7→ hγ(y), vi for mensurável no sentido usual.
Proposição 2.13. SejamXum espaço de Banach,J um espaço localmente compacto de Hausdorff,
µ∈rcabv(J)eγ :J →X∗ uma função tal quekγ(y)k= 1para todoy∈J. Com relação àσ-álgebra de Borel de J, suponha que
(a) X é separável eγ é w∗-mensurável ou
(b) γ é mensurável.
Então para cada ǫ > 0 existe um compacto J0 ⊂ J tal que |µ|(J \J0) ≤ ǫ e para cada v ∈ X a
restrição da função numéricay 7→ hγ(y), vi a J0 é contínua.
Demonstração. (a) Considere a esfera SX∗ munida da topologia fraca∗. Seja {vn : n ∈ N} uma
sequência densa emSX∗ e defina
d(ψ, ϕ) =
∞ X
n=1 1
2n|hψ, vni − hϕ, vni|, ψ, ϕ∈SX∗. Demonstra-se que dé uma métrica que induz a topologia de SX∗.
Fixe ǫ >0 arbitrário. Para cadan∈ N, por γ(J)⊆SX∗ e por SX∗ ser compacto na topologia
fraca∗, ver [26, Teorema 3.37, p. 99], podemos recobrirγ(J)com uma coleção finita de bolas abertas {U1, . . . , Urn} de raio
1
2n, ondern é o menor inteiro positivo para o qual existe tal coleção. Para cada 1≤i≤rn suponha
Ui =
ψ∈SX∗ : d(ψ, ϕi)<
1 2n
e considere a função ηi :J →Rdefinida por
ηi(y) = d(γ(y), ϕi), y∈J.
Porγ serw∗-mensurável,ηié mensurável pois se trata de um limite pontual de funções mensuráveis. Mais ainda, por
ηi−1([0, 1
2n[) =γ
−1(U i),
deduzimos que γ−1(Ui) é um boreliano para todo1≤i≤rn. Então, se
Ai=Ui\ [
j<i
Uj e Bi =γ−1(Ai), 1≤i≤rn,
podemos concluir que B1, . . . , Brn são borelianos mutuamente disjuntos satisfazendo
J = [ 1≤i≤rn
Bi.
Devido à regularidade de |µ| existe para cada 1 ≤ i ≤ rn, um compacto não vazio Li ⊂ Bi satisfazendo
|µ|(Bi\Li)≤
ǫ rn·2n
2.3 SOBRE FUNÇÕESW∗-MENSURÁVEIS 21
Para cada 1≤i≤rn fixe yi∈Li e defina
γn= rn X
i=1
γ(yi)·✶Li.
Em virtude deL1, . . . , Lrn serem mutuamente disjuntos, sey∈L1∪. . .∪Lrn então
d(γ(y), γn(y))< 1
n.
Para cada n∈N defina Kn=L1∪. . .∪Lrn. Observe que
|µ|(J \Kn) =|µ|
( [
1≤i≤rn
Bi)\Kn
=
rn X
i=1
|µ|(Bi\Li)≤
ǫ
2n
e que a restrição deγn aKn é contínua. Defina J0=T∞n=1Kn. Temos
|µ|(J\J0) =|µ| ∞ [
n=1
(J \Kn) !
≤ ∞ X
n=1
|µ|(J\Kn)≤ǫ.
Por construção, a sequência (γn)n∈N, restrita a J0, converge uniformemente, na métrica d, para
a restrição de γ a J0. Assim, considerando sobre X∗ a topologia fraca∗, a restrição de γ a J0 é
contínua. De forma equivalente, para cada v ∈X, a restrição da função numérica y 7→ hγ(y), vi a
J0 é contínua.
(b) Se a função γ é mensurável, então existe uma sequência de funções simples (γn)n∈N con-vergindo pontualmente a γ. Dado ǫ >0, o Teorema de Egorov [22, Teorema 42, p. 18] fornece um conjunto mensurávelN ⊂J tal que|µ|(N)≤ 2ǫ e a sequência (γn)n∈Nconverge a γ uniformemente sobre J\N, na métrica induzida pela norma.
Dado n∈N suponha
γn= rn X
i=1
vi·✶Bi,
onde v1, . . . , vrn são vetores em X e B1, . . . , Brn são borelianos não vazios, mutuamente disjuntos
e verificam
J = [ 1≤i≤rn
Bi.
Devido à regularidade de|µ|podemos encontrar para cada1≤i≤rn, um compactoLi ⊂Bi\N verificando
|µ|((Bi\N)\Li)≤
ǫ rn·2n+1
.
DefinaKn=L1∪. . .∪Lrn,n∈N. Temos
|µ|((J\N)\Kn) =|µ|
( [
1≤i≤rn
(Bi\N))\Kn
=
rn X
i=1
|µ|((Bi\N)\Li)≤
ǫ
2n+1,
Defina J0=T∞n=1Kn. Então
|µ|((J\N)\J0) =|µ| ∞ [
n=1
((J\N)\Kn) !
≤ ∞ X
n=1
|µ|((J\N)\Kn)≤
ǫ
2.
Resulta que
|µ|(J\J0) =|µ|((J\N)\J0) +|µ|(N\J0)≤ǫ.
Por construção, a sequência (γn)n∈N, restrita ao compacto J0, converge uniformemente, na
métrica induzida pela norma, para a restrição da função γ a J0, logo, a restrição de γ a J0 é
contínua. Concluímos que para cada v ∈ X, a restrição da função numérica y 7→ hγ(y), vi a J0 é
contínua.
2.4
Sobre funções semicontínuas inferiormente
Nesta seção apresentaremos um resultado envolvendo funções semicontínuas inferiormente que será utilizado posteriormente. Recordamos que uma função f a valores reais é denominada semi-contínua inferiormente se o conjunto f−1(]r,+∞[)for aberto para todo r ∈R, ver [47, Definição
6.3.1].
Lema 2.14. Sejam X um espaço de Banach,K eJ espaços localmente compactos de Hausdorff, S
um operador linear contínuo de C0(K, X) em C0(J, X) e γ uma função deJ em X∗ satisfazendo
kγ(y)k= 1 para todo y∈J e tal que para todo v∈X a função numéricay7→ hγ(y), vi é contínua. Então para cada aberto U ⊂K a função
y7−→ |S∗(γ(y)·δy)|(U)
é semicontínua inferiormente.
Demonstração. De início, observe que para cadaf ∈C0(K, X) a função
y7−→
Z
f dS∗(γ(y)·δy)
=|hγ(y), Sf(y)i|
é contínua. De fato, dado f ∈C0(K, X) fixe y0 ∈J. Em virtude de kγ(y)k = 1 para todoy ∈ J,
vale
|hγ(y), Sf(y)i − hγ(y0), Sf(y0)i|=|hγ(y), Sf(y)−Sf(y0)i+hγ(y)−γ(y0), Sf(y0)i|
≤ kSf(y)−Sf(y0)k+|hγ(y)−γ(y0), Sf(y0)i|.
A relação acima e a continuidade das funções y 7→ hγ(y), Sf(y0)i e Sf : J → X implicam a continuidade da funçãoy 7→ |hγ(y), Sf(y)i|.
Em seguida, dado um aberto U ⊂K, considere a coleção
FU ={f ∈C0(K, X) :kfk ≤1e f(x) = 0para todo x∈K\U}.
Como visto acima, y 7→ |hγ(y), Sf(y)i| é contínua para todof ∈ FU. Portanto
y7−→sup
FU Z
f dS∗(γ(y)·δy)
