Otimização robusta de carteiras utilizando desigualdades matriciais lineares.

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Texto

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OTIMIZAÇÃO ROBUSTA DE CARTEIRAS UTILIZANDO DESIGUALDADES

MATRICIAIS LINEARES

Oswaldo L. V. Costa

∗ oswaldo@lac.usp.br

Rodrigo B. Nabholz

∗ rodrigo.nabholz@poli.usp.br

Departamento de Engenharia de Telecomunicações e Controle, Escola Politécnica da Universidade de São Paulo

CEP: 05508-900, São Paulo, SP, Brasil

ABSTRACT

The main goal of this paper is to formulate a robust mean-semivariance portfolio selection problem in terms of a linear matrix inequalities (LMI) optimization problem. The mean-semivariance model takes as the risk function a convex com-bination of the semivariances (below and above the expected return) of thetracking error(the difference between the in-vestor’s portfolio and a benchmark portfolio). We consider different forms of calculating the mean and semivariance of the tracking error. It is desired to minimize an objective function defined as a convex combination of the risk function minus the expected return of thetracking error. By a robust solution we mean a feasible portfolio which leads to a worst case value function lower than any other worst case value function evaluated at any other feasible portfolio. Numeri-cal simulations will be presented with data from São Paulo Stock Exchange (BOVESPA).

KEYWORDS: Mean-semivariance, portfolio optimization,

linear matrix inequalities, computational tool.

RESUMO

O objetivo deste trabalho é formular um problema de seleção robusta de ativos utilizando média-semivariância em termos de um problema de otimização com desigualdades matriciais lineares (LMI). O modelo de média-semivariância usa como função risco uma combinação convexa das semivariâncias

Artigo submetido em 09/12/02

1a. Revisão em 14/03/03; 2a. Revisão em 08/07/03

Aceito sob recomendação do Ed. Assoc. Prof. Takashi Yoneyama

(acima e abaixo do retorno esperado) do erro de rastreamento (a diferença entre os retornos da carteira considerada e um benchmark). Consideramos diferentes formas de calcular a média e a semivariância do erro de rastreamento. Iremos en-tão minimizar uma função objetivo definida como uma com-binação convexa da função risco menos o retorno esperado de erro de rastreamento. Chamamos de solução robusta a carteira factível que minimiza o valor da função objetivo no pior caso. Serão apresentadas simulações numéricas com da-dos de ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA).

PALAVRAS-CHAVE: Média-semivariância, desigualdades

matriciais lineares, otimização de carteiras, ferramenta com-putacional.

1 INTRODUÇÃO

Neste trabalho iremos abordar modelos para a seleção ótima de ativos para a composição de uma carteira. Por ati-vos entende-se uma coleção de instrumentos financeiros nos quais um investidor pode aplicar o seu dinheiro (ex: ações, CDB´s, poupança, etc.). Neste contexto, carteiras seriam um conjunto de ativos financeiros. O exemplo clássico de uma carteira é um fundo de investimento, onde o gestor aplica os recursos dos cotistas em ativos financeiros.

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risco ou minimizar o risco esperado para um dado retorno esperado. A seleção ótima de ativos obtida através da resolu-ção desses problemas é a ferramenta mais usada e conhecida para a alocação de capital (ver (Campbell et al., 1997), (Elton e Gruber, 1995), (Jorion, 1992)). Recentemente o modelo de média-variância foi estendido para incluir a otimização do erro de rastreamento (ver (Roll, 1992)) e modelos de semi-variância (ver (Hanza e Janssen, 1998)). Neste caso, o gestor dos recursos é avaliado pela performance obtida em compa-ração com umbenchmarkpré-estabelecido. O problema da decisão de alocação neste caso é baseado na diferença entre o retorno obtido pelo gestor e o retorno dobenchmark, o cha-mado erro de rastreamento ou “tracking error”. No modelo de semivariância a função risco é uma combinação convexa das semivariâncias (acima e abaixo do retorno esperado) do erro de rastreamento. Como exemplos de trabalhos sobre o erro de rastreamento podemos mencionar (Roll, 1992) que considera o problema de minimizar a volatilidade do erro de rastreamento, e (Rudolf et al., 1999), que utiliza modelos li-neares para minimização do erro de rastreamento. Outras funções objetivos para esta classe de problemas também po-dem ser consideradas (ver (Zenios, 1993)), e uma aborda-gem unificada destas metodologias pode ser encontrada em (Duarte Jr., 1999).

Como apontado em (Rustem et al., 1995), para a estratégia ótima do modelo de média-variância ser útil, os retornos perados dos ativos e a matriz de covariância precisam ser es-timativas precisas. Pequenas variações nos retornos podem provocar grandes mudanças na decisão de alocação, como pode ser visto em (Black e Litterman, 1991). Esta falta de robustez com relação à imprecisão inerente as estimativas dos retornos e variâncias motiva o estudo de modelos robus-tos de otimização. Neste caso, a otimização não é feita para um único caso de médias e variâncias, mas consideramos um conjunto de valores para estes parâmetros, que chamaremos de cenários. Estratégias robustas para carteira min-max são consideradas em (Rustem et al., 1995), onde deseja-se obter uma carteira que minimize o valor da função objetivo no pior caso (máximo sob os cenários). Apesar de ser uma solução de pior caso entre todos os cenários utilizados, na prática po-demos obter uma boa estratégia, principalmente se analisar-mos períodos de muita volatilidade e mercados emergentes. Em (Costa e Paiva, 2002) é proposta uma abordagem com de-sigualdades matriciais lineares para resolver numericamente o problema robusto de seleção ótima de carteiras. Assume-se que os retornos esperados dos ativos bem como a matriz de covariância pertencem a um politopo convexo definido por alguns vértices escolhidos pelo gestor. Dois problemas fo-ram abordados: o primeiro foi encontrar a carteira de vola-tilidade mínima no pior caso do erro de rastreamento com uma performance esperada garantida mínima. O segundo foi obter a carteira com o maior retorno esperado no pior caso com uma máxima volatilidade do erro de rastreamento

deter-minada. Mostrou-se que estes dois problemas são equivalen-tes a resolver problemas de otimização com desigualdades matriciais lineares. Outras referências sobre algoritmos ro-bustos para finanças são (Howe e Rustem, 1997) e (Howe et al., 1996).

Devido ao grande número de técnicas computacionais rá-pidas e confiáveis disponíveis atualmente para problemas de otimização com desigualdades matriciais lineares (ver (Oliveira et al., 1994)), esta abordagem tem se mostrado uma ferramenta importante para a derivação de algoritmos nu-méricos em controle robusto e problemas relacionados. Em particular, algoritmos utilizando programação semi-definida para obtenção de controle para sistemas estocásticos foram apresentados recentemente (ver (Boyd et al., 1994), (Costa et al., 1997),(Geromel et al., 1991)). Indicamos estas refe-rências para maiores detalhes sobre a implementação prática de tais algoritmos.

O principal objetivo deste artigo, baseado em (Costa e Nabholz, 2002), é utilizar desigualdades matriciais lineares para resolver um problema de otimização do erro de rastrea-mento robusto utilizando o critério de média-semivariância e considerando diferentes valores para os retornos esperados e semivariâncias. Vamos assumir que os retornos espera-dos espera-dos ativos pertencem a um politopo convexo definido por alguns vértices escolhidos pelo gestor. Para o cálculo das semivariâncias, vamos considerar estimativas baseadas em dados históricos dos retornos dos ativos. Pesos decres-centes ao longo do tempo são aplicados ao conjunto de da-dos. Assumimos também que a matriz formada pelos pesos pertence a um politopo convexo definido por alguns vérti-ces escolhidos pelo gestor. A idéia por trás desta hipotése é que estes parâmetros (expectativa de retornos e semiva-riâncias) não são exatamente conhecidos e dificilmente são estimados com precisão. A função objetivo que queremos minimizar é a combinação convexa da semivariância do erro de rastreamento menos o retorno esperado do erro de rastre-amento. O problema de otimização robusta do erro de ras-treamento neste caso é determinar a carteira que minimiza o pior caso (máximo considerando todas as possíveis combi-nações convexas dos parâmetros) da função objetivo. Acre-ditamos que esta técnica representa uma ferramenta compu-tacional importante na direção de superar as principais limi-tações do modelo de otimização de média-variância mencio-nado acima, com foco especial para problemas reais.

(3)

Bo-vespa. O artigo é concluído na seção 5 com os comentários finais. Todas as provas podem ser encontradas no apêndice.

2 PRELIMINARES

2.1 Desigualdades Matriciais Lineares e

Definições Básicas

Vamos denotar porReRn o espaço dos reais e vetoresn -dimensionais reais respectivamente. Para uma dada matriz Q, definimos Q′ como a matriz transposta de QeQ 0 (Q >0respectivamente) significa que a matriz simétricaQ tem que ser semi-definida positiva (definida positiva). Para x∈Rne0o vetor zeron-dimensional, a desigualdadex≥0

significa que cada elemento do vetorxé maior ou igual a zero.

Vejamos alguns fatos básicos sobre desigualdades matrici-ais lineares, também conhecidas por LMI. Uma LMI (não-estrita) tem a forma

F(x) =F0+

n

X

i=1

xiFi≥0 (1)

sendox=

 

x1

.. . xn

  ∈R

nas variáveis e as matrizes

simétri-casFi, i = 0, . . . , ndadas. Um resultado importante para converter desigualdades convexas não-lineares em uma for-mulação LMI é o chamado complemento de Schur, que a-presentamos a seguir (ver (Saberi et al, 1995), pag 13).

Proposição 1 SuponhaR >0. Então

·

Q S

S′ R

¸

≥0 (2)

se e somente se

Q−SR−1S′≥0. (3)

Note que a primeira desigualdade na Proposição 1 está na forma de uma LMI, e a segunda está na forma de uma de-sigualdade convexa não-linear. Um problema de otimização com desigualdades matriciais lineares consiste em achar um xfactível (ou seja, acharxtal queF(x)≥0) que minimize (ou maximize) uma função convexa c(x). Como mostrado em (Boyd et al., 1994), (Ghaoui e Niculescu, 2000), existem atualmente algoritmos numéricos para resolução de proble-mas de otimização com desigualdades matriciais lineares bastante eficientes (por exemplo (Oliveira et al., 1994)), com o ótimo global encontrado em tempo polinomial ((Boyd et al., 1994), (Ghaoui e Niculescu, 2000)).

Um Corolário imediato da Proposição 1 é o seguinte:

Corolário 1 Suponha Q ≥ 0uma matriznpor n,x(i) ∈

Rn, ePk

i=1α(i) = 1, α(i)≥0, i= 1, . . . , k. Então1

° ° ° ° °

Q12 ³Xk

i=1

α(i)x(i)´

° ° ° ° °

2

k

X

i=1

α(i)°° °Q

1 2x(i)

° ° °

2

. (4)

Assim sendo vamos definir por conveniência, para X um espaço de vetores reais ou matrizes, e uma coleção de pontos v(i) ∈ X, i = 1, . . . , κ, o politopo convexo Con{v(1), . . . , v(κ)}como

Con{v(1), . . . , v(κ)}=

(

v∈X;v=

κ

X

i=1

α(i)v(i), κ

X

i=1

α(i) = 1, α(i)≥0

)

. (5)

A formulação acima será utilizada na caracterização da ro-bustez no modelo para seleção de carteiras.

Para um vetorx ∈ Rn, definimos os vetores [x]+ ∈ Rn e

[x]−∈Rnda seguinte maneira

[x]+=

 

max{0, x1}

.. . max{0, xn}

, (6)

e[x]−=x−[x]+, sendoxioi-ésimo componente do vetor x. Seja Λuma matriz diagonalnporncom componentes positivos. É fácil ver que

[x]′

+Λ[x]−= 0. (7)

Desta forma definimos para x ∈ Rn, y ∈ Rn, u ∈ Rn, v ∈ Rn, eΛuma matriz diagonal nporncom elementos positivos,

Υ(x, u) = Λ12(u−x), (8)

∆(y, v) = Λ12(v+y), (9)

g(x, y, u, v) =θkΥ(x, u)k2+ (1−θ)k∆(y, v)k2 (10) comθ ∈ [0,1]. Suponha que queremos obteru∈ Rn,v ∈

Rn,u≥0ev≥0tal que minimizeg(x, y, u, v). Seja

g(x, y) = min

u≥0, v0g(x, y, u, v). (11)

Proposição 2 Para quaisqueru≥0, v≥0,

g(x, y, u, v)≥θkΛ12[x]k2+ (1−θ)kΛ12[y]+k2 (12)

e o ponto de mínimo em (11) é atingido parau= [x]+, v =

−[y]−eg(x, y) =θkΛ 1

2[x]k2+ (1−θ)kΛ12[y]+k2. 1Vale ressaltar que a norma que estamos adotando ao longo de todo este

(4)

2.2 Modelo para Seleção de Carteiras

Vamos considerar um modelo financeiro no qual existamN ativos com risco representados pelo vetor aleatório de retor-nosA(tomando valores emRN), e um ativo livre de risco com retorno conhecidor ∈ R. Por conveniência, iremos escreverA(t)para denotar o vetor de retornos num determi-nado instante de tempote porAi(t)ai-ésima componente deste vetorA(t). O vetor aleatório de retornosAtem vetor de médiasµ ∈ RN, e uma matriz de covariância N ×N dimensionalΩ. Desta formaApode ser escrito como

A=µ+ǫ (13)

comǫum vetor aleatório com média zero e matriz de cova-riânciaΩ. É conveniente definir o vetorϕ∈RN+1como:

ϕ=

µ

µ r

. (14)

Uma carteiraω será dada por um vetor emRN cujos com-ponentes são os pesos investidos nos ativos com riscoA, ou seja, ai-ésima componenteωideωé a proporção da carteira investida no ativo i. Assumiremos que a carteira pertença então ao conjuntoΓ, definido em termos da seguinte LMI:

Γ =

(

ω∈RN;F0+

N

X

i=1

ωiFi≥0

)

(15)

onde Fi, i = 0, . . . , N são matrizes simétricas dadas. O conjuntoΓé conveniente para representar restrições do tipo: a soma das componentes da carteira ser menor ou igual a1, e não permitir vendas a descoberto. Ou seja, restrições do tipo:

ω′1≤1,0≤ωi, i= 1, . . . , N (16) nas quais1representa um vetorN-dimensional formado por

1em todas posições. Neste caso, as matrizesFitem dimen-são(N+ 1)×(N+ 1). A matrizF0será formada por zeros

exceto o elemento(1,1), que será1. Parai = 1, . . . , N, as matrizesFisão

F1=

   

−1 0 . . . 0

0 1 . . . 0

..

. ... . .. ...

0 0 . . . 0

   

, . . . , FN =

   

−1 0 . . . 0

0 0 . . . 0

..

. ... . .. ...

0 0 . . . 1

   

.

(17)

Consideremos agora que(1−ω′1)é investido num ativo livre de riscor. Assim sendo, o retorno do investidor é dado por

ω′A+ (1ω1)r. (18)

Tomemos ainda uma carteira conhecidaωB fornecida pelo gestor, chamada benchmark. O retorno do benchmark é como em (18), ou seja,

ω′

BA+ (1−ωB′ 1)r. (19)

De (18) e (19) temos que a diferença entre o retorno da car-teira do investidorωe obenchmark, definido como o erro de rastreamentoe(ω), é

e(ω) = (ω−ωB)′A+ (ωB−ω)′1r. (20)

O valor esperado do erro de rastreamentoe(ω), denotado por ρ(ω), segue das equações (13) e (20), e é dado por

ρ(ω) = (ω−ωB)′µ+ (ωB−ω)′1r

= (ω−ωB)′(µ−1r) (21)

e a variância (volatilidade), denotada porσ2(ω), é

σ2(ω) = (ω−ωB)′Ω(ω−ωB). (22)

Como mencionado anteriormente, estamos interessados em medir o risco através de uma combinação convexa das se-mivariâncias acima e abaixo da média do retorno do erro de rastreamento, que são definidas como segue: a semivariância abaixo da média é definida por

η−(ω) = E³(min{0, e(ω)−ρ(ω)})2´

= E³(min{0,(ω−ωB)′(A−µ)})2

´

(23)

e a semivariância acima da média por

η+(ω) = E³(max{0, e(ω)−ρ(ω)})2´

= E³(max{0,(ω−ωB)′(A−µ)})2

´

(24)

De (23) e (24), a função risco é definida, para θ ∈ [0,1], como

θη−(ω) + (1−θ)η+(ω). (25)

Pode-se verificar que para θ = 12, temos 12³η−(ω) +

η+(ω)´ = 1

2σ2(ω). O parâmetro θ permite ao investidor

ponderar os desvios de carteira em relação a sua média. Por exemplo, paraθ = 1, a função risco seria a semivariância abaixo da média, penalizando apenas os retornos abaixo da média. Para maiores detalhes e propriedades desta função risco citamos (Hanza e Janssen, 1995), (Duarte Jr., 1999), (Markowitz, 1959).

Suponhamos que um conjunto de dados históricos ai(t), t = 1, . . . T, esteja disponível, e ai(t) representa o valor observado do retorno aleatórioAi(t)no instantet. Vamos assim definir a matrizAcomo:

A=

 

a1(1) . . . aN(1) ..

. . .. ... a1(T) . . . aN(T)

(5)

Portanto at-ésima linha deArepresenta o valor observado deA(t). Seja

Λ =

 

λ(1) . . . 0

..

. . .. ...

0 . . . λ(T)

 (27)

ondeλ(t)representa o peso dado ao valor observado no ins-tantetquando estimamos os parâmetrosη−(ω), η+(ω).

As-sumiremos que PT

t=1λ(t) = 1. Das equações (23), (24),

(26), uma estimativa paraη−(ω), η+(ω)usandoA, os pesos

Λ, e a médiaµ, denotadas porη− µ,Λ(ω), η

+

µ,Λ(ω)

respectiva-mente, seria dada por:

ηµ,Λ(ω) =°° °Λ

1

2[(A −1µ′)(ω−ωB)] ° ° ° 2 = = T X t=1

λ(t)

à ·N

X

i=1

(ai(t)−µi)(ωi−ωiB)

¸

!2

(28)

ηµ,+Λ(ω) =°° °Λ

1

2[(A −1µ′)(ω−ωB)]+ ° ° ° 2 = = T X t=1

λ(t)

÷N X

i=1

(ai(t)−µi)(ωi−ωiB)

¸

+

!2

(29)

2.3 Seleção Robusta de Carteiras

Utili-zando SemiVariância

Vamos abordar nesta seção o problema de seleção robusta de carteiras utilizando semivariância como função risco, que é o objetivo principal deste trabalho. Vamos lembrar que se tivéssemos estimativas precisas para os parâmetros µ, rf e ηµ,Λ(ω), η+µ,Λ(ω)então o problema de otimização a ser re-solvido seria, paraδ∈[0,1], θ∈[0,1], dado por:

inf ω∈Γ

fϕ,Λ(ω) (30)

com

fϕ,Λ(ω) = −(1−δ)(ω−ωb)′(µ−1rf)

+δ(θηµ,Λ(ω) + (1−θ)ηµ,+Λ(ω)) (31)

µ

lembrando queϕ =

µ

µ rf

¶¶

. Vale ressaltar queδ

repre-senta o grau de aversão ao risco do investidor. À medida que δaumenta de 0 para 1, aumenta também a cautela do inves-tidor. E podemos ver que, paraδ= 1, o investidor deseja a carteira de mínimo risco, independente do retorno esperado, enquanto que paraδ= 0, o interesse é na carteira de máximo

retorno, desconsiderando seu risco.

Podemos ver, das equações (28) e (29), que as estimativas paraη−(ω), η+(ω) dependem diretamente de Λ, ϕ.

Dife-rentes valores deΛ, ϕlevam a diferentes valores da função

objetivo (31). Consideremos assim a situação na qual deseja-se utilizar no problema de otimização (30) todos os possíveis valores dos parâmetrosΛ, ϕdentro dos politopos convexos

Ξ =Con{ϕ(1), . . . , ϕ(κ)}, (32)

e

Σ =Con{Λ(1), . . . ,Λ(ν)}. (33) Vamos assumir novamente que PT

t=1λ(k, t) = 1, k =

1, . . . , ν, lembrando que λ(k, t) são os elementos na dia-gonal de Λ(k). É importante ressaltar que os valores ϕ(1), . . . , ϕ(κ)eΛ(1), . . . ,Λ(ν)são fornecidos pelo gestor da carteira, e portanto não estamos interessados neste estudo em maneiras de obtê-los. O parâmetroµ(i)irá representar diferentes estimativas para o retorno dos ativos de risco, seja em função de diversas formas de cálculo ou de diferentes ce-nários futuros do período no qual a carteira manter-se-á inal-terada. De forma análoga os parâmetrosrf(i)podem repre-sentar valores distintos que a taxa livre de risco pode assumir no mesmo período. Os parâmetrosΛ(k)denotam diferentes pesos que podemos considerar na estimativa da função risco nas equações (28), (29). Logo, a versão robusta do problema de otimização de carteiras apresentado em (30), (31) é dada por:

inf ω∈Γ

sup ϕ∈Ξ,Λ∈Σ

fϕ,Λ(ω). (34)

Portanto estamos querendo determinar uma carteiraω∗ tal que:

sup ϕ∈Ξ,Λ∈Σ

fϕ,Λ(ω∗)≤ sup

ϕ∈Ξ,Λ∈Σ

fϕ,Λ(ω). (35)

para cadaω ∈ Γ, ou seja, existemϕ ∈Ξ,Λ ∈Σde forma que:

sup ϕ∈Ξ,Λ∈Σ

fϕ,Λ(ω∗)≤fϕ,Λ(ω). (36)

Note que é possível obtermos para algumϕ∈Ξ,Λ∈Σ:

fϕ,Λ(ω)≤fϕ,Λ(ω∗) sup ϕ∈Ξ,Λ∈Σ

fϕ,Λ(ω∗). (37)

Quanto maiores forem os conjuntosΞeΣ, maiores as chan-ces de encontrarmosϕ∈Ξ,Λ∈Σsatisfazendo (37). Logo a utilização de um número muito grande de cenários pode de-teriorar a performance do método, dado que obteremos uma soluçãoω∗ desnecessariamente pessimista que minimiza o maior valor (pior caso) da função objetivo nos conjuntosΞe

Σ. Logo, o bom desempenho desta modelagem depende bas-tante de uma escolha criteriosa dos cenários que serão consi-derados no problema de min-max.

No que segue, será conveniente fazermos as seguintes de-finições parau≥0, v≥0, ω∈Γ, ϕ∈Ξ,Λ∈Σ:

Υϕ,Λ(ω, u) =

n

Λ12(u−(A −1µ′)(ω−ωb)) o

(6)

∆ϕ,Λ(ω, v) =

n

Λ12(v+ (A −1µ′)(ω−ωb)) o

. (39)

Definimos também

gϕ,Λ(ω, u, v) = −(1−δ)(ω−ωb)′(µ−1r)

+δθkΥϕ,Λ(ω, u)k2

+δ(1−θ)k∆ϕ,Λ(ω, v)k2.

Proposição 3 Para cadaω∈Γfixo,

sup ϕ∈Ξ,Λ∈Σ

fϕ,Λ(ω) =

min

u≥0,v0 k=1,...,κ,ℓmax=1,...,ν gϕ(k),Λ(ℓ)(ω, u, v). (40)

3 FORMULAÇÃO LMI

Vamos introduzir agora uma formulação para o problema ro-busto de seleção de carteiras apresentado em (34) utilizando desigualdades matriciais lineares. Mostraremos, através de um teorema, que a formulação LMI para o problema (34) é:

Minimizarz (41)

Sujeito a: (42)

S0 S1 S2

S′

1 I 0

S′

2 0 I

≥0

i= 1, . . . , κ, k= 1, . . . , ν (43)

u≥0, v≥0, ω∈Γ. (44)

com:

S0 = (z+ (1−δ)(ω−ωB)′(µ(i)−1r(i)))

S1 = (δθ)

1

ϕ(i),Λ(k)(ω, u)′,

S2 = (δ(1−θ))

1

2∆ϕ(i),Λ(k)(ω, v)′

e as variáveis são : u, v, z, ω. Vale ressaltar que na equa-ção (43) a desigualdade é para cada elemento dos vetoresT -dimensionalu, v, e0representa o vetorT-dimensional zero.

O resultado a seguir mostra que o problema de otimiza-ção utilizando desigualdades matriciais lineares apresentado acima (41 - 44) resolve o problema de otimização robusta de carteiras (34).

Teorema 1 ω∈Γé uma solução ótima do problema inf sup posto em (34) se e somente seu, v, z, ωé solução ótima do problema LMI posto em (41) a (44). Mais ainda,

z = max

i=1,...,κ,k=1,...,ν

n

−(1−δ)(ω−ωb)′(µ(i)−1r(i))

+ δ(1−θ)kΛ(k)12[(A −1µ(i)′)(ω−ωb)]

+k2

+ δθkΛ(k)12[(A −1µ(i)′)(ω−ωb)] −k

2o (45)

u= [(A −1µ(ι)′)(ωω

b)]+ (46)

v=−[(A −1µ(ι)′)(

ω−ωb)]− (47)

eι∈ {1, . . . , κ}, ξ∈ {1, . . . , ν}atingem o máximo na

equa-ção (45).

Vale ressaltar que o problema de otimização utilizando de-sigualdades matriciais lineares colocado acima é equivalente ao seguinte problema de programação não-linear:

Minimizarz Sujeito a:

z+ (1−δ)(ω−ωb)′(µ(i)−1r(i)) + δθ(u−τ(i))′Λ(k)(uτ(i)) + δ(1−θ)(v+τ(i))′Λ(

k)(v+τ(i))≥0

i= 1, . . . , κ, k= 1, . . . , ν u≥0, v≥0

ω∈Γ

no qualτ(i) = (A −1µ(i)′)(ωω b).

Assim sendo, podemos utilizar também métodos para pro-blemas de programação não-linear para resolver o problema robusto de carteiras. A vantagem de utilizar desigualdades matriciais lineares é que este tipo de formulação é tratável tanto do ponto de vista teórico como numérico, e existem hoje códigos bastante eficientes para a obtenção de soluções.

Para o caso no qual temosθ= 1, o problema de otimização (41)-(44) pode ser simplificado para:

Minimizarz Sujeito a:

·

S0 S1

S′

1 I

¸

≥0

i= 1, . . . , κ, k= 1, . . . , ν u≥0, ω∈Γ,

e de forma análoga paraθ= 0. Para o caso de termosθ= 12, o problema de otimização (41)-(44) pode ser simplificado a

Minimizarz Sujeito a:

·

S0 δ

1

2(ω−ωB)′Ω(i, k) δ12Ω(i, k)(ω−ωB) Ω(i, k)

¸

≥0

i= 1, . . . , κ, k= 1, . . . , ν, ω∈Γ

sendoΩ(i, k) = (A −1µ(i)′)Λ(k)(A −1µ(i)).

4 EXEMPLOS NUMÉRICOS

(7)

Dada a diversidade de ativos e indicadores existentes no mer-cado brasileiro, decidimos estabelecer convenções para a re-alização das simulações. Em primeiro lugar adotamos o Ín-dice da Bolsa de Valores de São Paulo, o IBOVESPA, como nossobenchmarke, assim sendo, selecionamos um conjunto de ações negociadas nesta Bolsa de Valores para o cálculo da carteira robusta.

O IBOVESPA é o valor, em moeda corrente, de uma carteira teórica de ações e um dos mais importantes indicadores do desempenho médio das cotações do mercado de ações brasi-leiro. O seu valor é apurado diariamente como sendo o soma-tório dos pesos (quantidade teórica da ação multiplicada pelo último preço da mesma) das ações integrantes de sua carteira teórica. E para determinar quais os ativos irão compor esta carteira teórica, a Bolsa de Valores de São Paulo utiliza uma metodologia onde os aspectos mais importantes são a liqui-dez e o índice de negociabilidade, que é calculado com base no número de negócios e volume financeiro, das ações.

Na prática, estas 2 informações são muito importantes para o investidor no momento da escolha dos ativos que irão com-por sua carteira. Mais ainda, como o intuito do nosso mo-delo é obter uma carteira que melhor acompanhe a variação dobenchmark, que é o IBOVESPA, decidimos então utilizar as 37 ações que foram mais representativas na composição da carteira téorica deste índice ao longo de 2001, de forma que a soma das participações individuais de cada uma delas tenham representado, durante o período, no mínimo 85% da participação total.

Assim sendo, calculamos a carteira ótima semanalmente para o primeiro semestre de 2001, e utilizamos os últimos 63 da-dos disponíveis para construir a matriz de retornosA. As-sumimos ainda que a riqueza inicial disponível para investi-mento era 100 unidades monetárias.

Para as simulações numéricas utilizamos os seguintes valores para os parâmetros:

1. números de LMIs:

(a) κ= 1, ν= 1(uma LMI);

(b) κ= 2, ν= 2(quatro LMIs);

2. δ:

(a) δ1= 0,94;

(b) δ2= 0,97; (c) δ3= 0,99;

3. θ= 0,75;

4. matrizΛ:

(a) Λ(1) =

     

1

63 0 . . . 0 0

0 631 . . . 0 0

..

. ... . .. ... ...

0 0 . . . 631 0

0 0 . . . 0 1

63

     

;

(b) Λ(2) = 0c,1

   

0,962 0 . . . 0

0 0,961 . . . 0

..

. ... . .. ...

0 0 . . . 1

   

;

5. Amostra de Dados: 63 dias úteis (aprox. 3 meses);

sendocum fator de normalização. Em ambos os casos calcu-lamos o vetorµde acordo com a média móvel dos últimos 63 dias, e utilizamos os pesos dos ativos selecionados na com-posição do Ibovespa para obter o vetorωB. Consideramos o ativo livre de riscorkcomo o CDI-Cetip.

Geramos 3 conjuntos diferentes de carteiras. Para a Simula-ção 1temos:

• números de LMIs = 1

• δ=δ1

• matrizesΛ=Λ(1)(cenário 1)

ParaSimulação 2consideramos:

• números de LMIs = 4

• δ=δ2

• matrizesΛ=Λ(1)(cenário 1) eΛ(2)(cenário 2)

E paraSimulação 3:

• números de LMIs = 4

• δ=δ3

• matrizesΛ=Λ(1)(cenário 1) eΛ(2)(cenário 2)

(8)

Figura 1: Retornos Semanais do IBOVESPA e das Simulações 1, 2 e 3

Os resultados foram obtidos utilizando um solver chamado

LMISoldesenvolvido por Oliveira, de Faria e Geromel da

Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação da Uni-versidade Estadual de Campinas, e disponível em (Oliveira et al., 1994).

Vale colocar que não faz parte do escopo deste trabalho um estudo mais profundo sobre a questão da geração dos cená-rios, portanto utilizamos apenas pesos diferentes (matrizes

Λ) para o cálculo das estimativas de média e semi-variâncias como forma de diferenciá-los.

No primeiro gráfico temos a variação semanal das 4 carteiras (Simulação 1, Simulação 2, Simulação 3e o Ibovespa). No segundo temos o comportamento das carteiras ao longo do tempo, dado que o investimento inicial foi 100

Com base nos gráficos apresentados, principalmente consi-derando o gráfico de rentabilidade acumulada, podemos no-tar que as 3 simulações realizadas apresenno-taram resultados satisfatórios, ou seja, acompanharam a variação do bench-marke conseguiram um rendimento superior ao IBOVESPA no período considerado.

Neste contexto podemos fazer 2 análises: comparar modelos distintos (Simulação 1versusSimulações 2 e 3), bem como analisar o impacto da parametrização nos resultados do mo-delo robusto (Simulação 2versusSimulação 3).

Com relação à comparação de metodologias distintas, pode-mos observar que, apesar do modelo robusto ser uma análise de pior caso, uma escolha conveniente do conjunto de parâ-metros pode produzir resultados melhores do que os obtidos utilizando a metodologia clássica de Markowitz onde consi-deramos apenas um cenário de risco e retorno. Por exemplo, quando comparamos asSimulações 1 e 2eSimulações 1 e 3, dado que definimos para asSimulações 2 e 32 cenários de risco e retorno, sendo um deles o mesmo utilizado no modelo de Markowitz (Simulação 1), era esperado que o modelo ro-busto fornecesse um resultado de pior caso, ou seja, apresen-tasse uma rentabilidade inferior. No entanto, principalmente quando comparamos com aSimulação 3, podemos observar justamente o inverso, ou seja, o modelo robusto fornece um resultado melhor do que o modelo clássico.

(9)

dife-Figura 2: Retorno Acumulado do IBOVESPA e das Simulações 1, 2 e 3

rentes do modelo, podemos dizer que a escolha dos parâme-trosθeδsão tão importantes quanto a determinação dos ce-nários econômicos. Ou seja, não adianta termos uma boa projeção de risco e retorno dos ativos se a resposta do modelo não atende às necessidades do investidor. Portanto, mais do que a coerência e correção matemática do modelo proposto, a sua utilização em condições reais de mercado depende muito do investidor/usuário da ferramenta.

Em termos práticos, este é um aspecto bastante interessante pois sempre que modificamos nossas estimativas de risco e retorno (θe cenários) estamos, de alguma maneira, tentando prever o comportamento futuro do mercado financeiro, o que não é uma tarefa trivial! No entanto, uma vez que nossas “previsões” sejam coerentes, é preciso estabelecer os objeti-vos do investidor, ou seja, dado um conjunto de alternativas de investimento (quais ativos bem como suas expectativas de retorno e risco) qual a decisão será tomada

Mais informações sobre simulações numéricas do modelo proposto podem ser encontradas em (Rodrigo, 2002).

5 CONCLUSÕES

(10)

APÊNDICE: DEMONSTRAÇÕES

Neste apêndice apresentaremos as demonstrações do Coro-lário 1, Teorema 1 e Proposições 2, 3.

Corolário 1

Prova.Da Proposição 1 segue que para cadai

·

x(i)′Qx(i) x(i)Q1/2

Q1/2x(i) I

¸

≥0

e portanto

Pk

i=1α(i)

·

x(i)′Qx(i) x(i)Q1/2

Q1/2x(i) I

¸

=

=

" Pk

i=1α(i)x(i)′Qx(i)

Pk

i=1α(i)x(i)′Q1/2

Pk

i=1α(i)Q1/2x(i) I

#

≥0.

O resultado desejado segue da aplicação da Proposição 1 na desigualdade acima.

Proposição 2

Prova.Comox= [x]++ [x]−segue que

kΥ(x, u)k2 = kΛ12((u−[x]+)−[x])k2

= kΛ12(u−[x]+)k2+kΛ12[x]k2

−2(u−[x]+)′Λ[x]−. (48)

Mas de (7)

−(u−[x]+)′Λ[x]− = −u′Λ[x]−+ [x]′+Λ[x]−

= −u′Λ[x]−≥0

comou ≥ 0, −[x]− ≥ 0eΛ é uma matriz diagonal com componentes positivos. Portanto de (48) para qualqueru≥0

kΥ(x, u)k2≥ kΛ12(u−[x]+)k2+kΛ12[x]k2 (49)

e é possível ver que o mínimo de (49) é atingido em u = [x]+, com valor kΛ

1

2[x]−k2. Analogamente o mínimo de

∆(y, v)sobrev ∈Rn,v≥0é atingido emv=−[y]− com valorkΛ12[y]+k2. Isto completa a prova.

Proposição 3

Prova.Para quaisqueru≥0, v≥0, ϕ∈Ξ,Λ∈Σ, com

ϕ=

κ

X

i=1

α(i)ϕ(i),

κ

X

i=1

α(i) = 1, α(i)≥0,

Λ =

ν

X

k=1

β(k)Λ(k),

e

ν

X

k=1

β(k) = 1, β(k)≥0,

temos da Proposição 2 que

gϕ,Λ(ω, u, v) ≥ fϕ,Λ(ω) (50)

e o ponto de mínimo no lado esquerdo de (50) parau ≥

0, v≥0éfϕ,Λ(ω), atingido em

u= [(A −1µ′)(ω−ωB)]+,

e

v=−[(A −1µ′)(ωω B)]−.

Vamos definir então

χu=

³

u−(A −1µ(i)′)(

ω−ωB)

´

,

e

χv =

³

v+ (A −1µ(i)′)(

ω−ωB)

´

.

Do Corolário 1 temos

° °

°Υϕ,Λ(ω, u) ° ° ° 2 = = ° ° ° °

Λ12 µ

u−

µ

A −1

i=1α(i)µ(i)′

¶µ

ω−ωB

¶¶° ° ° ° 2 = ° ° ° °

Λ12 µ

i=1α(i)χu

¶° ° ° °

2

≤Pκ

i=1α(i)

° ° °Λ

1 2χu

° ° °

2

e como

kΥϕ(i),Λ(ω, u))k2=

=kΛ12(u−(A −1µ(i)′)(ω−ωB))k2

=χ′ u

k=1β(k)Λ(k)χu

=Pν

k=1β(k)χ′uΛ(k)χu temos que

kΥϕ,Λ(ω, u)k2 ≤

κ X i=1 ν X k=1

β(k)α(i)kΛ(k)12χuk2

= κ X i=1 ν X k=1

β(k)α(i)kΥϕ(i),Λ(k)(ω, u)k2.

Analogamente

k∆ϕ,Λ(ω, v)|2 ≤

κ X i=1 ν X k=1

β(k)α(i)kΛ(k)12χvk2

= κ X i=1 ν X k=1

(11)

Como

(ω−ωB)′(µ−1r) =

i=1α(i)(ω−ωB)

(µ(i)1r(i))

podemos concluir que

gϕ,Λ(ω, u, v)≤

κ

X

i=1

ν

X

k=1

β(k)α(i)gϕ(i),Λ(k)(ω, u, v).

Desta forma,

sup ϕ∈Ξ,Λ∈Σ

gϕ,Λ(ω, u, v) =max

i,k gϕ(i),Λ(k)(ω, u, v)

e o máximo é alcançado para algum i ∈ {1, . . . , κ}, k ∈ {1, . . . , ν}. Tomando o mínimo sobreu≥0, v≥0obtemos a partir de (50) o resultado desejado.

Teorema 1

Prova. Vamos fixarω ∈ Γ. Conforme a Proposição 1 a desigualdade (42) é equivalente a

z ≥ gϕ(i),Λ(k)(ω, u, v) (51)

e deve ser satisfeita para todoi = 1, . . . , κ, k = 1, . . . , ν. Portanto de (51) temos

z ≥ max

i=1,...,κ,k=1,...,νgϕ(i),Λ(k)(ω, u, v).

Como queremos minimizar z, a melhor escolha é tomar o mínimo sobreu ≥ 0, v ≥ 0. Segue então da Proposição 3

que

z ≥ min

u≥0,v≥0 k=1,...,κ,ℓmax=1,...,ν gϕ(k),Λ(ℓ)(ω, u, v)

= sup

ϕ∈Ξ,Λ∈Σ

fϕ,Λ(ω). (52)

e o mínimo é obtido parauevcomo nas equações (45), (46), (47). Então de (52), minimizar (41) sujeito às restrições (42) a (44) é equivalente a resolver (34).

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Referências