Resultados de existência e de não existência de soluções para uma classe de equações elípticas

(1)

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Matem´atica

Resultados de existência e de não existência

de soluç ões para uma classe de equaç ões el´ıpticas

Fabiana Maria Ferreira

(2)

(3)

Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Matem´atica

Resultados de existência e de não existência

de soluç ões para uma classe de equaç ões el´ıpticas

Fabiana Maria Ferreira

Dissertação apresentada ao Departamento de Matemática do Instituto de Ciências Exa-tas da Universidade Federal de Minas Gerais, como requisito parcial para a obtenção de t´ıtulo de Mestre em Matemática.

Orientadora: Profa. Dra. Maria José Alves Co-orientador: Prof. Dr. Ronaldo B. Assunção

(4)

classe de equac¸ ˜oes el´ıpticas

xvi + 94 páginas. Dissertação (Mestrado) — Universidade Federal de Minas Gerais, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Ma-temática

1. Operadorp-laplaciano.

2. Desigualdade de Caffarelli-Kohn-Nirenberg. 3. Existência e não-existência de soluç ões.

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

Agradecimentos

A Deus, por ser presença certa em todos os momentos e por me mostrar que a alegria é sempre o remédio da alma.

Aos meus pais, pelo apoio e confiança que depositaram em mim. E acima de tudo pelo amor que se mostrou sempre presente através de palavras ao telefone, abraços de conforto, consolo, incentivo, alegria e saudade. Amo vocês!

`

As minhas irm˜as, pela amizade e pelos conselhos.

Aos amigos do mestrado, obrigada pela amizade e carinho!

Aos meus orientadores Maria Jos´e Alves e Ronaldo Brasileiro, pela paciˆencia e pelo conhe-cimento transmitido.

Aos professores Ol´ımpio Hiroshi Miyagaki e Paulo C´esar Carri˜ao, pelas dicas valiosas e amizade.

A todos os professores e aos funcion´arios, em especial a Andr´ea e a Kelli, que fizeram parte dessa jornada.

`

(10)

Nesta monografia estudamos uma classe de problemas el´ıpticos quase lineares com singulari-dades no operador e na n˜ao-linearidade. Especificamente, consideramos o problema

        

−div(_|x|α_|∇_u₍_x₎_|p−2_∇_u₍_x_{)) =}_|_x_|β_[_u₍_x_)]p(α,β)−1 _x_∈_Ω

u(x)>₀ _x_∈Ω

u(x) =0 x∈∂Ω_,

em queΩ _⊂ RN_, _N > _{3 e} _p(α,β) _≡ p(N+β)

N−p+α ´e o valor cr´ıtico obtido da desigualdade de

Caffarelli, Kohn e Nirenberg.

Recentemente muitos resultados foram publicados para esse tipo de problema nos casos em que 0∈ Ω_{ou em que}Ω´e um dom´ınio exterior tal que 0 /_∈ ∂Ω_{. Baseados no artigo de Bartsch,}

Peng e Zhang [3], consideramos o caso menos estudado em que 0 ∈ ∂Ω_{. Quando} _α 6 _{0 e}

β>_{0, isto é, quando a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg falha, demonstramos uma} identidade do tipo de Pohozaev. Consequentemente, esse problema não possui solução quando

Ω_{é um cone estrelado em relação a um ponto}_x₀_∈RN_{. Modificando algumas condiç ões sobre}

os parâmetrosαeβdemonstramos a existência de uma solução através da minimização de um funcional definido em um espaço de Sobolev com propriedades que refletem a geometria do dom´ınioΩ.

Também estudamos o caso concreto da desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg. Su-pondo que 1< _p< _N_,_α> _p−_N_,_β >_α−_p_,_α_/_p > _β_/_p(_α_,_β)_{demonstramos a existência de} uma solução através da minimização do quociente de Rayleigh-Ritz, isto é,

Sα,β(Ω)≡ inf

u∈Da

0(Ω)

u6≡0

Z

Ω|x|

α

|∇u(x)_|pdx

Z

Ω|x|

β

|u(x)_|p(α,β)dxp/p (α,β).

A existência de uma solução estritamente positiva e de energia m´ınima (conhecida como solução

ground state) é obtida como consequência do princ´ıpio do máximo. Na mesma direção, usando o fato de que Sα,β(Ω) é atingido e o princ´ıpio do máximo demonstramos um resultado de

comparação paraSα,β(Ω); precisamente, seΩ1 Ω2, entãoSα,β(Ω1)>Sα,β(Ω2).

No caso de dom´ınios diferenci´aveis, quando ∂Ω _∈ C2 _{e com a hip ´otese de que 0} _∈ _∂Ω_,

demonstramos um resultado de não existência de solução para alguns tipos de dom´ıniosΩ_.

A ideia ´e demonstrar que Sα,β(Ω) = Sα,β(RN) e usar a invariˆancia do quociente acima para

concluir queSα,β(Ω)n˜ao ´e atingido.

Baseados nos artigos de Bartsch, Peng e Zhang [3] e de Kou e Peng [17], também estuda-mos um problema de valor de fronteira com condiç ões do tipo de Neumann. Especificamente,

(11)

consideramos o problema 

         

−div(_|x_|α_|∇_u₍_x₎_|p−2_u₍_x_{)) =}_|_x_|β_[_u₍_x_)]p(α,β)−1₋_λ_|_x_|γ_[_u₍_x_)]p−1 _x_∈ _Ω

u(x)>0 x∈ Ω

|∇u(x)_|p−2 ∂u(x)

∂n =0 x∈ ∂Ω,

em que Ω _{é dom´ınio limitado, 0} _∈ ∂Ω_{, ,} λ _∈ R+ _{e 1} < p < N_{. Soluç ões fracas desses} problemas são pontos cr´ıticos do funcional J: Wγ1,,αp(Ω) → R definido no espaço de Sobolev

Wγ1,,αp(Ω)e dado por

J(u)_≡ 1

p

Z

Ω|x|

α

|∇u(x)_|pdx+λ

p

Z

Ω|x|

γ

|u(x)_|pdx₋ 1 p(α,β)

Z

Ω|x|

β

|u+(x)|p(α,β)dx.

Para isso, demonstramos que o funcionalJverifica a condic¸˜ao de Palais-Smale(PS)cpara todos os n´ıveisc_∈ R_{tais que}

c< (p−α+β) 2p(N+β) S

(N+β)/(β+p−α)

α,β .

O principal argumento da demonstração desse fato é um lema de concentração-compacidade. Para obtermos uma sequência de Palais-Smale no n´ıvel de minimax e com o expoente cr´ıtico usamos a hip ótese de que a curvatura média em 0∈∂Ω_{é positiva.}

Palavras-chave Operadorp-laplaciano, existência e não-existência de soluç ões, desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg.

(12)

In this monograph we study a class of quasilinear elliptic problems with singularities on the operator and on the nonlinearity. Specifically, we consider the problem

        

−div(_|x|α_|∇_u₍_x₎_|p−2_∇_u₍_x_{)) =}_|_x_|β_[_u₍_x_)]p(α,β)−1 _x_∈_Ω

u(x)>₀ _x_∈Ω

u(x) =0 x∈∂Ω_,

where Ω _⊂ RN_, _N > _{3 and} _p(α,β) _≡ p(N+β)

N−p+α is the critical value obtained from the

Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality.

Recently, several results have been published concerning this type of problem in the cases when 0 ∈ Ω _{or when} Ω _{is an exterior domain such that 0 /}_∈ _∂Ω_{. Based on the paper by}

Bartsch, Peng and Zhang [3], we consider the less studied case where 0_∈ ∂Ω. Whenα60 and

β>_{0, that is, when the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality fails, we prove a Pohozaev-type} identity. As a consequence, this problem does not have solution whenΩ_{is a cone star-shaped}

with respect to a pointx0∈ RN. Changing some conditions on the parametersαandβwe prove

an existence result by minimizing a functional defined in a Sobolev space with properties that reflect the geometry of the domainΩ_.

We also study the concrete case of the Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality. Supposing that 1 < p < N, α > p−N, β > α−p, α/p > β/p(α,β), we prove an existence result by minimizing the Rayleigh-Ritz quotient, that is,

Sα,β(Ω)≡ inf

u∈Da

0(Ω)

u6≡0

Z

Ω|x|

α

|∇u(x)_|pdx

Z

Ω|x|

β

|u(x)_|p(α,β)dxp/p(α,β)

.

The existence of a strictly positive solution with minimal energy (known as ground state so-lution) is obtained as a consequence of the maximum principle. In the same direction, as a consequence of the fact thatSα,β(Ω)is attained and from the maximum principle, we prove a

comparison result forSα,β(Ω); precisely, ifΩ1 Ω2, thenSα,β(Ω1)> Sα,β(Ω2).

In the case of smooth domains, when∂Ω_∈C2_{and with the hypothesis 0}_∈ _∂Ω_{we prove a}

nonexistence result for some types of domainsΩ. The idea is to prove thatSα,β(Ω) =Sα,β(RN)

and to use the invariance of the quotient to conclude thatSα,β(Ω)is not attained.

Based on the papers by Bartsch, Peng, and Zhang [3] and by Kou and Peng [17] we also study a boundary value problem with Neumann condition. We consider the problem

          

−div(_|x_|α_|∇_u₍_x₎_|p−2_u₍_x_{)) =}_|_x_|β_[_u₍_x_)]p(α,β)−1₋_λ_|_x_|γ_[_u₍_x_)]p−1 _x_∈_Ω

u(x)>0 x∈Ω

|∇u(x)_|p−2∂u(x)

∂n =0 x∈∂Ω,

(13)

where 0∈ ∂Ω_,_λ _∈R+_{and 1}< _p< _N_{. Weak solutions of these problems are critical points of} the functionalJ: Wγ1,,pα(Ω)→Rdefined in the Sobolev spaceWγ1,,αp(Ω)and given by

J(u)_≡ 1

p

Z

Ω|x|

α_|∇_u₍_x₎_|p_d_x₊λ

p

Z

Ω|x|

γ_|_u₍_x₎_|p_d_x₋ 1

p(α,β)

Z

Ω|x|

β_|_u

+(x)|p(α,β)dx.

To show this, we prove that the functional J verifies the Palais-Smale condition(PS)c for all levelsc∈R_{such that}

c< (β+p−α) 2p(N+β) S

(N+β)/(β+p−α)

α,β .

The main argument in the proof of this fact is a concentration-compactness lemma. To obtain a Palais-Smale sequence with a minimax level under the critical exponent we use the hypothesis that the mean curvature in 0_∈∂Ωis positive.

Key-words p-Laplacian operator, existence and nonexistence of solutions, Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequality.

(14)

≡ igualdade por definic¸˜ao

R+ _{conjunto dos n ´umeros reais positivos}

R− _{conjunto dos n ´umeros reais negativos}

x= (x1, . . . ,xN) elemento deRN

|x|= ∑N_i₌₁x2

i 1/2

norma do elementox∈RN

Bρ(x) bola aberta de raioρe centro emx∈RN

Bρ bola aberta de raioρe centro na origem

ωN volume da bolaBρ(x)emRN

NωN ´area da superf´ıcie esf´erica∂Bρ(x)emRN

p′ _≡ p

p−1 expoente conjugado dep

p∗ ≡ _NN p

−p expoente cr´ıtico de Sobolev

p(α,β)_≡ p(N+β)

N₋p+α expoente cr´ıtico de Hardy-Sobolev

∇u(x)_≡∂u(x)

∂x1 , . . . ,

∂u(x)

∂xN

gradiente da func¸˜aou

div(u1(x), . . . ,uN(x))

≡ ∂u_∂1_x(x) 1

+_{· · ·}+ ∂uN(x)

∂xN divergente do campo

(u1(x), . . . ,uN(x))

∆_u(x)_≡div∇u(x)=

N

∑

i=1

∂2u(x)

∂x2_i operador laplaciano ∆_p_u(x)_≡div|∇u(x)_|p−2_∇_u₍_x₎ _operador_p_-laplaciano

X∗ espac¸o dual do espac¸oX

supp(u) suporte da func¸˜aou: Ω_→RN

C₀∞(RN₎ _{espaço das funç ões infinitamente}

diferen-ci´aveis e de suporte compacto emRN

Lp(RN₎ _{espac¸o de Lebesgue}

kukLp ≡ Z

RN|u(x)|

p_d_x1/p _{norma no espac¸o de Lebesgue}_Lp₍_RN₎

W1,p(RN₎_≡ _{espac¸o de Sobolev}

{u∈ Lp(RN₎_:_∇_u₍_x₎_∈₍_Lp₍RN₎₎N_}

kuk ≡

Z

RN|∇u(x)|

p_d_x1/p _{norma do gradiente no espac¸o de Sobolev}

W1,p(RN₎

W₀1,p(Ω) espac¸o de Sobolev com trac¸o nulo

H1₍_Ω₎_≡_W1,2₍_Ω₎ _{espac¸o de Hilbert}

H₀1(Ω)_≡W₀1,2(Ω) espac¸o de Hilbert com trac¸o nulo

D₀α(Ω) completamento deC₀∞(Ω)na normakukDα 0

ku_kDα 0 =

Z

|x_|α_|∇u_|p1/p norma do espac¸o de SobolevDα

0(Ω)

(15)

Dα_0,_r(Ω) funç ões deD₀α(Ω)invariantes por rotaç ões em torno do eixoy

W_nγ1,,αp(Ω)≡ espac¸o de Sobolev

u∈ Lγp(Ω):

R

|x|α_|∇_u_|p_d_x₊_λR _|_x_|γ_|_u_|p_d_x _<_∞o

F(u)_≡

Z

Ω|x|

α

|∇u(x)_|pdx

hZ

Ω|x|

β

|u(x)_|p(α,β)dxip/p(α,β)

quociente de Rayleigh-Ritz

S inf

u∈Dα 0,r(Ω)

u6≡0

F(u)

Sα,β inf

u∈Dα 0(Ω)

u6≡0

F(u)

un →u convergˆencia forte (em norma)

un ⇀u convergˆencia fraca

un →uq.t.p. emX convergˆencia em quase todo ponto deX

u+(x)≡max{u(x), 0} parte positiva da funçãou u−(x)≡min{u(x), 0} parte negativa da funçãou Ω_λ =λΩ_{≡ {}λx _∈RN_: _x _∈Ω_} homotetia deΩpor fatorλ_∈R

C0₍Ω) espaço das funç ões reais cont´ınuas

Ck₍Ω) espaço das funç ões reaisk-vezes continua-mente diferenciáveis

C0,α₍Ω) espaço das funç ões reais H ölder cont´ınuas C1,α₍Ω) espaço das funç ões reais com derivadas

H ¨older cont´ınuas

Γ(z)_≡

Z ∞

0 t

z−1_e−t_dt _{func¸˜ao gama}

B(z,w)_≡ Γ(z)Γ(w)

Γ(z+w) func¸˜ao beta

(PS)c sequˆencia de Palais-Smale no n´ıvelc

(16)

(17)

Sum´ario

Resumo . . . viii

Abstract. . . x

Notac¸ ˜oes . . . xii

1 Introdu¸cão aos métodos de minimiza¸cão 1 1.1 O método direto do cálculo das variaç ões . . . 1

1.2 Exemplo do método de minimização para o operatorp-laplaciano . . . 6

1.3 A identidade de Pohozaev e um resultado de n˜ao existˆencia . . . 11

1.4 O resultado de Br´ezis e Nirenberg . . . 15

1.5 Resultados principais . . . 16

2 Demonstra¸c˜ao dos teoremas para o problema de Dirichlet 21 2.1 Um problema equivalente com singularidade do tipo de Hardy . . . 21

2.2 Caso em que a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg não é válida . . . . 24

2.3 Caso em que a desigualdade de Caffarelli, Kohn e Nirenberg ´e v´alida . . . 40

3 Demonstra¸c˜ao do teorema para o problema de Neumann 51 3.1 Resultados Preliminares . . . 51

3.2 Estimativas para os erros de aproximac¸˜ao . . . 59

3.3 Demonstração da existência da solução de energia m´ınima . . . 68

A Resultados auxiliares 83 A.1 Notac¸˜ao de Bachman-Landau . . . 83

A.2 Desigualdades anal´ıticas . . . 83

A.3 Func¸ ˜oes gama e beta . . . 84

A.4 Resultados de An´alise . . . 85

A.5 Resultados de An´alise Funcional . . . 87

A.6 Capacidade . . . 88

A.7 Teorema do Passo da Montanha. . . 89

Bibliografia 91

(18)

(19)

1 Introdu¸c˜ao aos m´etodos de

minimiza¸c˜ao

1.1 O método direto do cálculo das varia¸c ões

Entre as diversas teorias usadas no estudo de equaç ões diferenciais parciais não lineares, os métodos variacionais têm se mostrado particularmente úteis no caso de equaç ões el´ıpticas. Ilustramos essa teoria com um exemplo clássico referente à equação de Laplace. SejaΩ _⊂ R3

um dom´ınio limitado com fronteira∂Ω_{diferenciável e seja}_g_: _∂Ω _→ R_{uma função cont´ınua.}

Consideramos o problema de determinar uma func¸˜aou∈C₍Ω)_∩C2₍Ω)tal que 

 

∆_u(x) =0 x ∈Ω_,

u(x) =g(x) x ∈∂Ω_. (1.1)

Uma das interpretaç ões desse problema é a seguinte: o conjuntoΩ_{representa um objeto}

feito de um material condutor de calor; a temperatura dos pontos da fronteira∂Ω_{´e prescrita}

pela funçãog; e a temperatura de equil´ıbrio no interior desse objeto é a funçãoua ser determi-nada.

O princ´ıpio de Dirichlet consiste em substituir o problema (1.1) pelo problema de determi-nar uma func¸˜aou ∈ C₍Ω)_∩C2₍Ω), comu(x) = g(x)parax ∈ ∂Ω_{e que minimiza o valor do}

funcional

I(u) =

Z

Ω|∇u|

2_d_x_,

conhecido como integral de Dirichlet. Em outros termos, determinar uma funçãoupertencente à classe das funç ões admiss´ıveis

A≡ {w∈C₍Ω)_∩C2₍Ω): w(x) =g(x)sex∈ ∂Ω_e

Z

Ω|∇w|

2_dx _{´e finita} }

tal que

Z

Ω|∇u|

2_dx₆Z

Ω|∇w|

2_dx_,

para toda funçãow ∈ A. Observamos que a equação de Laplace∆_u = 0, que possui diversas aplicaç ões em Matemática e em outras ciências, é a equação de Euler-Lagrange associada ao funcional de Dirichlet.

O princ´ıpio de Dirichlet foi usado na resolução de muitos problemas; entretanto, a ideia de que o problema de minimização sempre possui solução deve ser questionada. A seguir apresentamos um exemplo de problema de minimização que pode ser formulado nos moldes

(20)

acima mas que não possui solução; a referência para esse e para os demais exemplos dessa seção é o texto de Frehse [12].

SejaΩ_{≡ {}x_∈ RN_{: 0}< |x|6₁_}_{em que}N _≥2 e sejag: ∂Ω_→R_{definida por}_g₍_x_{) =}_{0 se}

|x|= 1 eg(x) =1 sex =0. Nesse caso, a funçãog é a restrição a∂Ω_{de uma função}

continua-mente diferenciável definida emRN_{e a correspondente classe} _A_{de funç ões admiss´ıveis é não}

vazia.

Afirmamos que inf

w∈A

nZ

Ω|∇w|

2_d_xo ₌ _{0. Para verificar essa afirmativa consideramos a}

sequˆencia(wn)n∈N ⊂ Adefinida por

wn(x)≡ 2

πarctan

₁

nln

ln e

|x|

.

Para comprovar quewn ∈ Aobservamos que wn(x) = 0 se|x| = 1 e que limx→0wn(x) = 1; portanto, por uma extens˜ao cont´ınua temos wn(0) = 1. Tamb´em temos wn ∈ C2(B1\{0})

e wn ∈ C(Ω). Além disso, é claro que a sequência (wn)n∈N ⊂ A converge para a função

w: [₋1, 1]_→R_{dada por}_w₍_x_{) =}_{0 se}_x₆₌_{0 e}_w₍_x_{) =}_{1 se}_x₌_0.

1

−1

wn(x)

1

−1

b

w(x)

Usando as propriedades elementares das funç ões logar´ıtmicas e trigonométricas, temos

∂wn

∂xi

(x) = 2

π

1

n

1 1+1

nln

ln e

|x|

2

1 ln e

|x_|

(−xi)

|x|2

e

|∇wn|2 6 4

π2

1

n2

ln e

|x| −2

.

Usando coordenadas polares ´e poss´ıvel demonstrar que a integral Z

Ω ln e

|x| −2

dx ´e finita. Portanto,

lim

n→∞

Z

Ω|∇wn|

2_d_x₆ _lim

n→∞

4

π2

1

n2

Z

Ω ln e

|x| −2

dx=0.

Isso conclui a verificação da afirmativa. Assim, se existir uma funçãou ∈ Aque minimiza a integral de Dirichlet, então

Z

Ω|∇u|

(21)

1.1. O método direto do cálculo das variaç ões 3

Mas isso é uma contradição com o fato de queu ∈ A. Dessa forma, o problema de minimização não possui solução.

Para analisar o que ocorre nesse tipo de situação descrevemos sucintamente os passos que normalmente seguimos quando resolvemos um problema de minimização de uma função

F:RN _→R_.

1. Verificamos queF é cont´ınua ou pelo menos que F é semicont´ınua inferiormente, isto é, para todo t ∈ R_{, o conjunto de n´ıvel} _Ft _{≡ {}_u _∈ RN_: _F₍_u₎ 6 _t_} _{é fechado. Também} verificamos que a funçãoFé limitada inferiormente.

2. Consideramos uma sequência minimizante, isto é, uma sequência (un)n∈N ⊂ RN tal

que limn→∞F(un) =infu∈RNF(u)e verificamos que a sequˆencia minimizante ´e limitada.

Usualmente esta etapa é obtida através da verificação de que a função F é coerciva, isto é, lim_|u|→∞F(u) =∞.

3. Usamos o fato de que conjuntos fechados e limitados em RN _{s˜ao compactos e}

selecio-namos uma subsequˆencia convergente (unj)j∈N ⊂ R

N _{tal que limj}

→∞unj = u. Como

limj→∞F(unj) = infv∈RNF(v), pela semicontinuidade inferior de F temos que F(u) 6

inf_v_∈RNF(v)e isto implica queFatinge o seu ´ınfimo.

4. Verificamos queu é um ponto cr´ıtico da funçãoF.

Quando aplicado a integrais variacionais da forma F(x,u,∇u) =

Z

Ω f(x,u,∇u)dx esses passos constituem o método direto do cálculo das varia¸cões. Usualmente o ponto cr´ıtico cuja existência é garantida no passo 4 corresponde a uma solução fraca da equação diferencial de Euler-Lagrange associada à funçãoF.

Nesta monografia estudamos apenas resultados de existência e de não existência de soluç ões fracas para equaç ões diferenciais parciais envolvendo o operadorp-laplaciano; a questão da re-gularidade das soluç ões fracas, embora extremamente rica e importante para a teoria do cálculo das variaç ões, não será aqui apresentada. Entretanto, como as não linearidades das equaç ões que estudamos verificam uma desigualdade do tipo|x_|β_up(α,β)−1 _< _C₍₁₊_|_u_|p(α,β)−1₎_{em que} C ∈ R₊ _{para qualquer dom´ınio limitado} Ω′ _{tal que 0 /}_∈ _Ω′_{, a teoria de regularidade para}

equaç ões el´ıpticas e o princ´ıpio do máximo forte podem ser aplicados aΩ′. Para maiores deta-lhes consulte o livro de Struwe [21, Lemma B3, pág. 218]; veja também a Proposição2.6.

O método direto do cálculo das variaç ões não funciona se não escolhemos adequadamente o conjuntoAdas funç ões admiss´ıveis e sua topologia. Por exemplo, sejaΩ_⊂RN _{um dom´ınio}

limitado com fronteira∂Ω_{diferenciável e seja}_g_: _∂Ω_→R_{uma função cont´ınua. Se o conjunto}

de func¸ ˜oes admiss´ıveis

A≡nu∈C₍Ω)_∩C2₍Ω):u(x) =g(x)sex∈ ∂Ω_e

Z

Ω|∇u|

(22)

´e equipado com a norma do m´aximo

kuk∞ ≡max x∈Ω |u(x)|

então os passos 2 e 3 acima não são poss´ıveis. De fato, seja a sequência(vn)n∈N ⊂ Adefinida

por

vn(x)≡ln

ln e

√

1+1/n

p

|x_|2₊_1/_n

parax ∈ Ω _{≡ {}x ∈ R_: _|_x_| 6 ₁_}_{, que converge para a func¸˜ao}_v(x) _≡ lnln e

|x_|2

. Dessa forma temos

∂vn

∂xi

(x) = −xi

|x|2₊_1/_n

1 ln e

√

1+1/n

p

|x_|2₊_1/_n

e

|∇vn|2= |x|

2

(_|x|2₊_1/_n₎2

1

ln e

√

1+1/n

p

|x|2₊_1/_n

2 <

1

|x|2.

Portanto,

lim

n→∞kvnk∞ =∞ mas nlim→∞

Z

Ω|∇vn|

2_d_x _{´e finito,}

ou seja, usando a norma do máximo a integral de Dirichlet não é coerciva e o passo 2 falha. Assim sendo, dada uma sequência minimizante não podemos garantir a existência de uma subsequência convergente e o passo 3 também falha.

1

−1

vn(x)

1

−1

v(x)

Considerando o mesmo conjunto A de func¸ ˜oes admiss´ıveis do exemplo anterior, agora equipado com a norma

kuk1,2=

Z

Ω|u|

2_d_x1/2₊Z

Ω|∇u|

(23)

1.1. O método direto do cálculo das variaç ões 5

então o passo 3 não é poss´ıvel. De fato, usando a mesma sequência de funç ões do exemplo anterior vemos que a integral de Dirichlet é coerciva em relação a essa norma, mas como o conjunto de funç ões admiss´ıveis tem dimensão infinita, não podemos garantir a compacidade de conjuntos fechados e limitados. Assim sendo, não podemos garantir a existência de uma subsequência convergente e o passo 3 falha novamente.

Uma tentativa plaus´ıvel poderia ser o uso da topologia fraca. Entretanto, essa alterna-tiva não funciona se usamos o espaço de funç ões C₍Ω)_∩C2₍Ω) como conjunto de funç ões admiss´ıveis, já que esse conjunto não é fechado e também não é reflexivo. Assim, o método apropriado é o de usar o completamento deC₍Ω)_∩C2₍Ω)em relação à normakuk1,2 ou em

relação a uma outra norma equivalente a essa como espaço de funç ões admiss´ıveis. O comple-tamento deC₍Ω)_∩C2₍Ω)em relação à norma_ku_k1,2 é denotado porW1,2(Ω)ou porH1(Ω)e

´e denominado espac¸o de Sobolev.

Mais precisamente, o espaçoW1,2(Ω) é definido como o espaço quociente ˜W1,2(Ω)/N em que ˜W1,2 _{é o conjunto das sequências de Cauchy}₍_u

n)n∈N ⊂C(Ω)∩C2(Ω)com a propriedade

de que Z

Ω|un|

2_d_x1/2₊Z

Ω|∇un|

2_d_x1/2_{s˜ao finitas e}

kun−umk1,2 → 0 quandom,n →

∞_;_N _{´e o conjunto dos elementos}(un)n∈N ⊂W˜1,2(Ω)tais quekunk1,2→0 quandon→∞.

Como os elementos do espaçoW1,2(Ω)são classes de equivalência de sequências de Cau-chy, devemos considerar a questão da definição da integral de Dirichlet

Z

Ω|∇u|

2_d_x_{no espaço} W1,2₍_Ω₎_{. De fato, se}_u _∈ _W1,2₍_Ω₎_{, então existe uma sequência de Cauchy}₍_u

n)n∈N ⊂ C(Ω)∩

C2₍Ω) tal quekun−umk1,2 → 0 quando m,n → ∞ e com (un)n∈N ∈ u. Como a sequˆencia

(_∇un)n∈N ⊂ L2(Ω) é de Cauchy e já que o espaço L2(Ω) é completo, a sequência numérica

das integrais de Dirichlet Z

Ω|∇un|

2_d_x_{possui um limite quando}_n

→∞_{, que podemos definir}

como o valor de Z

Ω|∇u|

2_d_x_{. Certamente essa definic¸˜ao independe da escolha particular da}

sequˆencia Z

Ω|∇u|

2_d_x_{. Como a sequˆencia}₍_∇_u

n)n∈N ⊂ L2(Ω)´e de Cauchy, podemos associar

a cada elementou∈W1,2(Ω)o gradiente∇u∈ L2(Ω), que fica definido a menos de conjuntos de medida zero. Analogamente, a cada elementou _∈ W1,2₍_Ω₎_{podemos associar uma função} u∈ L2(Ω)que também fica definido a menos de conjuntos de medida zero.

Verificamos também que a cada elementou ∈ W1,2(Ω)podemos associar uma função que fica definida a menos de um conjunto de capacidade zero. Para a definição de capacidade e algumas de suas propriedades, veja a seçãoA.6. Aqui apenas observamos que uma função

u ∈ W1,2(Ω) não registra informaç ões em conjuntos de capacidade zero. Esta é uma outra razão porque não podemos verificar a existência de uma função minimizante para o primeiro exemplo. Naquela situação hav´ıamos prescrito condiç ões de fronteira em um ponto isolado e que tem capacidade zero; e como o espaçoW1,2₍_Ω₎ _{é a classe natural de funç ões admiss´ıveis,}

as condic¸ ˜oes de fronteira podem ser violadas em conjuntos de capacidade zero.

Para preservar as condiç ões de fronteira normalmente consideramos o espaço W₀1,2(Ω), definido como o fecho do espaço C∞

(24)

Cla-ramente, vale a inclusão W₀1,2(Ω) _⊂ W1,2(Ω) e podemos verificar que W₀1,2(Ω) consiste das funç ões deW1,2(Ω) que se anulam na fronteira∂Ωa menos de um conjunto de capacidade

zero. Essa é uma das maneiras de compreender porque usamos o espaçoW₀1,2(Ω)para expres-sar as condiç ões de fronteira.

Encerramos esta seção enunciando uma proposição que sintetiza esses comentários. Trata-se de um resultado sobre minimização convexa em espaços reflexivos.

1.1 Proposi¸cão. Seja X um espa¸co de Banach reflexivo e seja f: X→R_{∪ {}₊∞_}_{uma fun¸cão convexa,} semicont´ınua inferiormente e coerciva. Então existe um único elemento u∈ X que minimiza a fun¸cão f em X, isto é, vale a desigualdade f(u)6 _f(w)para todo w∈ X.

Referˆencia. Consulte o livro de Attouch, Buttazzo e Michaille [1, Teorema 3.3.4, p´ag. 93].

1.2 Exemplo do m´etodo de minimiza¸c˜ao para o operator

p-laplaciano

Nesta seção apresentamos um exemplo de aplicação da Proposição 1.1 para o operador não linearp-laplaciano, que é definido por

∆_p_v(x)_≡

N

∑

i=1

∂ ∂xi

|∇v(x)_|p−2∂v(x)

∂xi

=div(_|∇v(x)_|p−2_∇v(x)),

em que 1 < p < +∞. Essa hip ótese é crucial já que, para um dom´ınio Ω ⊂ RN_{, podemos}

considerar o espaçoW1,p(Ω), definido como o completamento deC∞(Ω)em relação à norma dada por

kvkW1,p₍_Ω₎ ≡ Z

Ω|∇v(x)|

p_d_x₊Z

Ω|v(x)|

p_d_x1/p_.

Sabemos queW1,p(Ω)é um espaço de Banach e como 1< p<+∞, esse espaço de Banach é reflexivo. Também consideramos o espaçoW₀1,p(Ω), definido como o completamento deC₀∞(Ω)

em relação à norma acima. Dessa formaW₀1,p(Ω) é um subespaço fechado de um espaço de Banach reflexivo; portanto,W₀1,p(Ω)também é um espaço de Banach reflexivo.

Uma outra forma de compreender o espac¸oW₀1,p(Ω) ´e descrita a seguir. SejaΩ _⊂ RN _um

dom´ınio com fronteira∂Ω_∈ C1_{. Ent˜ao para todo n ´umero}_p_∈R_{tal que}_p_≥_{1 o conjunto}C∞

0 (Ω)

é denso emW1,p₍_Ω₎_{e a aplicação restrição} _γ

0: D(Ω) → Lp(∂Ω)definida porγ0(v) ≡ v

∂Ω, que a cada elementov∈D₍Ω)associa sua restric¸˜ao a∂Ω_{, pode ser estendida por continuidade}

a uma aplicação linear deW1,p(Ω)em Lp(∂Ω), que também é denotada porγ0. A aplicação

γ0: W1,p(Ω) → Lp(∂Ω) é chamada de operador traço. Dessa forma, o espaço de Sobolev W₀1,p(Ω)é o n úcleo do operadorγ0, isto é,W01,p(Ω) ={v∈W1,p(Ω): γ0(v) =0}.

(25)

1.2. Exemplo do método de minimização para o operatorp-laplaciano 7

Como ilustração de um problema de valor de fronteira para o operador p-laplaciano, con-sideramos o problema de Dirichlet. A demonstração é baseada nos livros de Attouch, Buttazzo e Michaille [1, Theorem 6.6.1, pág. 249] e Chipot [8, Theorem 17.1, pág. 231].

1.2 Proposi¸c˜ao. Seja p ∈R₊_{um n ´umero tal que}₁< p<+∞. SejaΩ⊂RN_{um subconjunto aberto}

e limitado e seja f ∈ L∞(Ω)uma fun¸cão qualquer. As seguintes afirmativas são válidas. (a) Existe uma única solu¸cão u∈W₀1,p(Ω)do problema de minimiza¸cão

minn1

p

Z

Ω|∇v|

p_d_x

−

Z

Ωf vdx: v∈W

1,p

0 (Ω)

o

. (1.2)

(b) Equivalentemente, a fun¸cão u∈W₀1,p(Ω)é solu¸cão do problema

Z

Ω|∇u|

p−2_∇_u_{· ∇}_v_d_x₌Z

Ω f vdx, v∈W

1,p

0 (Ω), (1.3) isto ´e, u>0no sentido das distribui¸c˜oes.

(c) A fun¸cão u ∈ W₀1,p(Ω), solu¸cão do problema(1.3), é uma solu¸cão fraca do problema de valor de fronteira

  

−div(_|∇u|p−2_∇_u_{) =} _f _x_∈_Ω_,

u=0 x_∈∂Ω_, (1.4)

em que a equa¸cão diferencial é verificada no sentido das distribui¸cões e a condi¸cão de fronteira é verificada no sentido do operador tra¸co W1,p(Ω)֒→Lp(Ω).

Demonstra¸cão. Para verificar o item (a) seguimos os passos do método direto do cálculo das variaç ões e aplicamos a Proposição1.1. Consideramos inicialmente o espaçoW₀1,p(Ω)e o fun-cionalJ:W₀1,p(Ω)_→R_{definido por}

J(v)_≡ 1

p

Z

Ω|∇v|

p_d_x

−

Z

Ωf vdx. (1.5)

O funcional J é convexo, isto é, dadas as funç ões v1,v2 ∈ W01,p(Ω)e dado λ ∈ Rtal que

06_λ6_{1, temos}

J(λv1+ (1−λ)v2) = 1 p

Z

Ω|∇(λv1+ (1−λ)∇v2)|

p_d_x₋Z

Ωf(λv1+ (1−λ)v2)dx 6 1

p

Z

Ω(λ|∇v1|+ (1−λ)|∇v2)|)

p_d_x

−λ

Z

Ω f v1−(1−λ) Z

Ω f v2)dx. Agora usamos a func¸˜ao ϕ: R+ _→ R+ _{definida por} _ϕ₍_r₎ _≡ _rp_{. Dessa forma temos que}

(26)

temos

J(λv1+ (1−λ)v2)≡ λ

₁

p

Z

Ω|∇v1|

p_d_x₋Z

Ωf v1dx

+ (1−λ)1

p

Z

Ω|∇v2|

p_d_x

−

Z

Ω f v2dx

6_λ_J(v1) + (1−λ)J(v2).

Para o passo 1 mostramos que o funcional J ´e cont´ınuo emW₀1,p(Ω). De fato, observamos inicialmente que

Z

Ω||∇v| − |∇w||

p_d_x₆Z

Ω|∇(v−w)|

p_d_x

6_kv₋w_kp_W 1,p(Ω).

Essa desigualdade implica na continuidade da aplicac¸˜ao ψ: W1,p(Ω) _→ Lp(Ω), definida por

ψ(v)_{≡ |∇}v_|e, portanto, implica na continuidade do funcionalI: W₀1,p(Ω) _→ R_{definido por}

I(v)_≡

Z

Ω|∇v|

p_d_x_{. Como} _f

∈ L∞(Ω), temos que

Z

Ω f vdx

6_k_f_k∞kvk16kfk∞|Ω|1/p′kvkp6kfk∞|Ω|1/p′kvk_W1,p₍_Ω₎.

Portanto, a aplicac¸˜ao L: W1,p(Ω) _→ R _{definida por}_L₍_v₎ _≡

Z

Ωf vdx é uma aplicação linear cont´ınua.

Para o passo 2 mostramos que o funcional J é coercivo. Nesse caso usamos a desigualdade clássica de Poincaré emW₀1,p(Ω), que não requer condiç ões de regularidade sobreΩmas ape-nas queΩ_{seja limitado. Pela desigualdade de Poincaré (Lema}_A.14_{), sabemos que existe uma}

constante positivaC∈R_{tal que}

Z

Ω|v|

p_d_x₆_CZ

Ω|∇v|

p_d_x _(1.6)

para todov∈W₀1,p(Ω). Para verificar a coercividade do funcionalJmostramos a propriedade equivalente de que seus subn´ıveis s˜ao conjuntos limitados. Fixamosλ ∈ R_{e consideramos o}

conjunto

Jλ ≡ {v∈W₀1,p(Ω): J(v)6_λ_}_. Parav∈ Jλ, usando a definic¸˜ao do funcionalJtemos

Z

Ω|∇v|

p_d_x₆ _pZ

Ω|f||v|dx+pλ

6 _p_k_f_k∞|Ω|1/p′kvkp+pλ. (1.7) Usando as desigualdades (1.6) e (1.7), obtemos

kvkpp 6 pCkfk∞|Ω|1/p ′

(27)

1.2. Exemplo do método de minimização para o operatorp-laplaciano 9

ou seja,

kvkpp−16 pCkfk∞|Ω|1/p′+ pCλ

kvkp. Isso implica que_kv_kp ´e limitada emW∞1,0(Ω)

Para o passo 3 consideramos uma sequˆencia minimizante(un)n∈N ⊂W₀1,2(Ω). Pelo passo 2

essa sequência é limitada e como o espaçoW₀1,2(Ω)é reflexivo, existe um elementou∈W₀1,2(Ω)

e existe uma subsequˆencia, ainda denotada da mesma forma, tal queun ⇀ ufracamente em

W₀1,2(Ω)quandon→∞_.

Antes de prosseguir, resumimos os resultados anteriores: O conjuntoW₀1,p(Ω)é um espaço de Banach reflexivo e o funcionalJ: W₀1,p(Ω)_→R_{é convexo, cont´ınuo e coercivo. As hip óteses}

da Proposição1.1são verificadas e o problema de minimização (1.2) possui solução. A unici-dade da solução é uma consequência da convexiunici-dade estrita do funcional I: W₀1,p(Ω) _→ RN

definido por I(v) _≡

Z

Ω|∇v|

p_d_x_{, que é uma consequência da convexidade estrita da função}

ϕ(r)_≡rp.

Para o passo 4 e, consequentemente, para verificar o item (b), estabelecemos a equac¸˜ao de Euler-Lagrange correspondente ao funcionalJ. Para quaisqueru,v∈W₀1,p(Ω)e para qualquer

t_∈R+_{, temos}

1

t[J(u+tv)−J(u)]>0,

e devemos passar ao limite nessa desigualdade quantot→0+. Temos 1

p

Z

Ω

|∇u+t∇v|p_{− |∇}_u_|p

t dx−

Z

Ω f vdx

>₀ _(1.8)

para toda funçaov ∈ W₀1,p(Ω). Para passar ao limite na desigualdade (1.8) usamos o teorema da convergência dominada de Lebesgue. Para isso, definimos a funçãoh(t) _{≡ |∇}u+t∇v|p_; assim, temosh′(t) = p|∇u+t∇v|p−2₍_∇_u₊_t_∇_v₎_{· ∇}_v_{. Portanto,}

1

p[|∇u+t∇v|

p

− |∇u_|p] = 1

t(h(t)−h(0))

= 1

t

Z 1

0 p|∇u+s∇v|

p−2₍

∇u+s_∇v)_{· ∇}vds. Usandot_∈R+_{tal que 0}< t61, segue que

1

p[|∇u+t∇v|

p

− |∇u_|p]6 p

t

Z t

0 |∇u+s∇v|

p−1

|∇v_|ds

6_p(_|∇u|+_|∇v|)p−1_|∇v|.

(1.9)

Observamos que|∇v| ∈ Lp(Ω)e que(_|∇u|+_|∇v|)p−1 _∈ _Lp′₍_Ω₎_{, pois}_p′ ₌ _p_/₍_p₋₁₎_{. Assim,}

o lado direito da desigualdade (1.9) é uma função que pertence aL1(Ω)que é independente de

t. Podemos passar ao limite na desigualdade (1.8) para obter Z

Ω|∇u|

p−2_∇_u_{· ∇}_v_d_x₋Z

Ω f vdx

>₀ _v_∈_W1,p

(28)

Substituindovpor−vobtemos Z

Ω|∇u|

p−2_∇_u_{· ∇}_v_d_x₋Z

Ω f vdx

6₀ _v_∈_W₀1,p(Ω). Combinando esses dois resultados, obtemos

Z

Ω|∇u| p−2

∇u· ∇vdx=

Z

Ω f vdx v∈W

1,p

0 (Ω).

Para verificar o item (c), consideramos uma função v ∈ (L∞(Ω))∗_{. Pela definição de}

deri-vada fraca temos a igualdade

−div(_|∇u|p−2∇u) = f

em que f ∈ L∞(Ω). Por outro lado, quandoΩ _{´e regular, usando o fato de que}_u _∈ _W₀1,p(Ω)

inferimos queu=0 parax_∈ ∂Ωno sentido do operador trac¸o.

1.3 Observa¸cão. Na Proposição 1.2 partimos do funcional J e mostramos que seus pontos cr´ıticos são soluç ões fracas do problema (1.4). Mostraremos como construir esse funcional a partir de uma equação diferencial. Para isso consideramos o problema modelo com condição de fronteira do tipo de Neumann, a saber,

  

−div(_|∇u|p−2_∇_u_{) =} _f _x_∈_Ω_, |∇u|p−2∂u

∂n =g x∈∂Ω,

(1.10)

em queΩ_⊂RN _{é um dom´ınio aberto, 1}< p< Ne f,g∈ L∞(Ω). Notamos que no casop=2 recuperamos a conhecida condição de fronteira de Neumann, a saber, ∂u(x)/∂n = g(x)para

x∈∂Ω_.

Multiplicando a equac¸˜ao diferencial do problema (1.10) porv_∈C∞(Ω)e integrando emΩ_,

obtemos

−

Z

Ωdiv(|∇u| p−2

∇u)vdx=

Z

Ωf vdx. Usando a f órmula de integração por partes (ProposiçãoA.9), resulta

Z

Ω|∇u| p−2

∇u· ∇vdx−

Z

∂Ω|∇u| p−2∂u

∂ηvdσ=

Z

Ω f vdx e como|∇u|p−2∂u

∂η = g(x)em∂Ω, segue que

Z

Ω|∇u| p−2

∇u_{· ∇}vdx₋

Z

∂Ωgvdσ= Z

Ωf vdx, (1.11) para todo func¸˜aov∈C∞₀ (Ω).

Definimos uma solução fraca do problema (1.10) como uma funçãou ∈ W1,p(Ω)que veri-fica a identidade integral (1.11) para todo funçãov _∈C∞(Ω). Essa solução fraca se caracteriza como ponto cr´ıtico do funcional J: W1,p(Ω)_→R_{definido por}

J(u) = 1

p

Z

Ω|∇u| p

dx₋

Z

Ω f udx− Z

(29)

1.3. A identidade de Pohozaev e um resultado de n˜ao existˆencia 11

1.3 A identidade de Pohozaev e um resultado de n˜ao existˆencia

Uma das principais dificuldades para aplicar o método direto do cálculo das variaç ões é a verificação do passo 3. A situação ideal é a seguinte: Suponhamos queI: A→R_{seja um}

fun-cional diferenciável definido em uma classeAde funç ões admiss´ıveis; seja(uh)h∈N ⊂ Auma

sequência minimizante para o funcionalI, isto é, I(uh) → infu∈AI(u)quandoh → +∞. Gos-tar´ıamos de concluir que a sequência(uh)n∈Npossui uma subsequência convergente para uma

função pertencente à classeA. Quando isso ocorre, dizemos que o problema tem compacidade. Muitos problemas desse tipo já foram estudados e podemos afirmar que são relativamente bem conhecidos. Por exemplo, seΩ _⊂ RN _{é um dom´ınio limitado e se}₍_u_n₎_n_∈_N _⊂ _W1,2₍Ω)

é uma sequência limitada, então existe u ∈ W1,2(Ω)e existe uma subsequência, sempre de-notada da mesma forma, tal queun ⇀ u fracamente emW1,2(Ω) quandon → ∞. Usando o teorema de imersão compacta de Rellich-Kondrachov (Proposição A.15), podemos extrair uma nova subsequência de modo que un → u fortemente em Lq(Ω) para q ∈ R+ tal que

2< q<2∗≡2N/(N−2)seN>_{3 e 2}< q<+∞seN=1 ouN=2.

Entretanto, existem muitos problemas em que a compacidade falha. Quando as técnicas usuais do cálculo das variaç ões não podem ser usadas diretamente para o passo 3 dizemos que se trata de um problema com ausência de compacidade. Por exemplo, se Ω _⊂ RN _{é um}

dom´ınio não limitado então o argumento descrito no parágrafo anterior não funciona mais. De fato, sejaΩ = RN _{e seja} ₍_x_n₎_n_∈N ⊂ RN uma sequência tal que |x_n| → ∞ quando n → ∞.

Dada uma função não nulau0 ∈ C∞₀ (RN), definimos a sequência (un)n∈N ⊂ W1,2(RN) por

un(x)≡u0(x−xn). Ent˜aokunk1,2=ku0k1,2ekunkLq = ku₀k_Lq. Assim,u_n(x)→0 q.t.p. emRN

e, portanto,un ⇀0 fracamente em⊂ W1,2(RN); entretanto, a sequˆencia(un)n∈N ⊂W1,2(RN)

não pode convergir para a função nula no espaçoLq(RN₎_{. O motivo é a invariância da norma}

pelo grupo de translac¸ ˜oes.

Entre os problemas com ausência de compacidade citamos, em Geometria: o problema da prescrição da curvatura escalar, o problema de Yamabe e problemas de superf´ıcies m´ınimas; e em F´ısica: o problema deNcorpos e problemas envolvendo equaç ões não lineares de Schr ödin-ger. Esses são alguns dos motivos porque problemas com ausência de compacidade estão sendo intensamente estudados por vários pesquisadores nas últimas décadas, com a obtenção de mui-tos resultados relevantes.

Sabemos que uma importante classe de problemas com ausˆencia de compacidade est´a rela-cionada com o princ´ıpio de Dirichlet. Agora consideramos o problema mais geral de minimizar um funcionalI: A_→R_{da forma}

I(u)_≡ 1

2 Z

Ω|∇u|

2_d_x₊Z

ΩG(u)dx, em queG(u) =

Z u

0 g(s)ds é a primitiva de uma funçãog:

R_→R_{e o conjunto}_A_{consiste das}

(30)

´e

  

−∆_u= g(u) sex∈Ω_, u(x) =0 sex_∈∂Ω_,

em queΩ_⊂R_{é um dom´ınio limitado com fronteira}_∂Ω_∈C2_{. Como já mencionamos, o espaço} natural para estudar este tipo de problema é o espaço de SobolevH₀1(Ω)das funç ões pertencen-tes aH1₍_Ω₎_{que se anulam na fronteira}_∂_Ω_{no sentido do traço, já que nesse espaço a integral}

de Dirichlet RΩ|∇u(ξ)|2dξ é bem definida. Entretanto, de modo a ter um funcional bem de-finido no espaço H₀1(Ω)também devemos garantir que a integral

Z

ΩG(u(ξ))dξ seja finita e continuamente diferenciável no mesmo espaço. Isto conduz à questão natural das condiç ões de crescimento da função g devido às bem conhecidas imers ões de Sobolev. Estas garantem que, paraq6 ₂∗ _≡ ₂_N_/(N−2), temos a imersão cont´ınuaH₀1(Ω)֒→ Lq(Ω), ou equivalente-mente, temos a existência de uma constante positivac ∈ R+_{tal que}_k_u_k_Lq 6 Ckuk

H1

0(Ω) para

toda func¸˜aou ∈ H₀1(Ω). Dessa forma, podemos considerar o problema modelog(s) =_|s|q−2_s

e para esse caso devemos ter q6 ₂∗ _{para que o funcional} _I _{esteja bem definido. Na verdade,} devemos impor a desigualdade estritaq < 2∗ para obtermos a propriedade de compacidade mencionada anteriormente, em que fazemos uso do conhecido Teorema de Rellich-Kondrachov (veja a ProposiçãoA.15), que garante que a imersãoH1

0(Ω)֒→Lq(Ω)´e compacta.

A seguir mencionamos uma classe de problemas para os quais o funcional não é necessa-riamente limitado inferiormente. Uma forma de utilizar o método de minimização é através da imposição de certas condiç ões na classe de funç ões admiss´ıveis. Essas condiç ões são pura-mente técnicas; entretanto, permitem a aplicação de algumas das ideias anteriores em diversas situaç ões que, a princ´ıpio, não poderiam ser estudadas como problemas de minimização. Para enunciar os resultados mais precisamente necessitamos definir o primeiro autovalor do pro-blema envolvendo o operador laplaciano com condiç ões de fronteira do tipo de Dirichlet.

SejaΩ_⊂RN_{um dom´ınio limitado com fronteira}_∂Ω_∈C2_{. Consideramos o problema} 

 

−∆_u=λu sex ∈Ω_,

u(x) =0 sex ∈∂Ω_. (1.12)

O menor n úmero λ _∈ R₊ _{para o qual o problema (}_1.12_{) possui solução não trivial é}

deno-minado primeiro autovalor e é denotado porλ1. Uma importante caracterização do primeiro

autovalor ´e dada pelo quociente de Rayleigh-Ritz

λ1= inf

u∈H1 0(Ω)

u6≡0

Z

Ω|∇u(ξ)|

2_d_ξ

Z

Ω|u(ξ)|

2_d_ξ . (1.13)

(31)

1.3. A identidade de Pohozaev e um resultado de n˜ao existˆencia 13

problema

        

−∆_u+λu=_|u|q−2_u _se_x_∈_Ω_, u(x)>₀ _se_x∈Ω_,

u(x) =0 sex∈∂Ω_.

(1.14)

1.4 Proposi¸cão. Para todoλ>−_λ₁_{o problema}₍_1.14₎_{possui solu¸cão positiva u}∈C₍Ω)_∩C2₍Ω). Referência. Consulte os livros de Struwe [21, Theorem I.2.1, pág. 14] ou de Willem [24, Theo-rem 1.19, pág. 14].

Seja agoraΩ_⊂RN _{um dom´ınio limitado com fronteira}_∂Ω_∈C∞_{e sejam}_N>3 eq=2∗ _≡ 2N/(N−2). Dadoλ∈R_{, consideramos o problema}

        

−∆u= λu+_|u|2∗−2_u _se_x_∈_Ω_, u(x)>0 sex∈Ω,

u(x) =0 sex∈∂Ω.

(1.15)

Observamos que, de modo a mantermos a consistência com a literatura, no problema (1.15) invertemos o sinal do fatorλem comparação com o problema (1.14).

Assim como no caso da Proposição1.4, podemos tentar uma abordagem do problema (1.15) usando o método direto do cálculo das variaç ões. Para isso, tentamos obter solução não trivial para o problema como m´ınimo relativo do funcional

Iλ(u)_≡ 1

2 Z

Ω|∇u|

2_d_x₊λ

2 Z

Ω|u|

2_d_x

na esfera unitária do espaçoL2∗₍_Ω₎_{, isto é, no conjunto}

M≡ u∈W₀1,2(Ω): kukL2∗₍Ω)=1 .

De forma equivalente, podemos tentar minimizar o quociente de Rayleigh-Ritz

Sλ(Ω)≡ inf

u∈Wα1,2(Ω)

u6≡0

Z

Ω|∇u|

2_d_x₊_λZ

Ω|u|

2_d_x

hZ

Ω|u|

2∗_d_xi2/2∗

.

Lembramos que, para λ = 0, o ´ınfimoS0(RN) est´a relacionado com a melhor constante

de Sobolev para a imers˜aoW1,2₍_RN₎ _֒_→ _L2∗₍_RN₎_{, que desempenha um papel importante em} muitos problemas variacionais provenientes da geometria e da an´alise. Em geral, temos os seguintes resultados.

1.5 Lema. (a) S0(Ω) =S0(RN)independe do conjuntoΩ.

(32)

(c) S0(RN) =πN(N−2)

_Γ₍_N_/2₎

Γ(N)

N/2 .

(d) O ´ınfimo S0(RN)´e atingido pelas fun¸c˜oes uε(x)≡

h₍_N₍_N₋₂₎₎1/2_ε

(ε2₊_|_x_|2₎

i(N−2)/2

em queε>0.

Referências. Consulte o livro de Struwe [21, Remark 4.5, pág. 40; Remark 4.7, pág. 42] para os ´ıtens (a) e (b), respectivamente. Para os ´ıtens (c) e (d) consulte os artigos de Talenti [22], Aubin [2], Chou e Chu [9] ou Horiuchi [15].

1.6 Observa¸c ões. 1. Pelo item (b) da Proposição1.5, paraλ =0 as ideias da demonstração da Proposição1.4não funcionam no caso cr´ıticop=2∗.

2. As funç õesuε do item (d) podem ser constru´ıdas a partir de homotetias da funçãou1(x)

através da f órmulauε(x) =ε−N/2∗u1(x/ε). Além disso, valem as relaç ões

Z

RN|∇uε|

2_d_x₌ Z

RN|∇u1|

2_d_x _e Z

RN|uε| 2∗

dx =

Z

RN|u1| 2∗

dx.

3. Em geral, para qualquer funçãou _∈W₀1,2(RN₎_{o quociente de Rayleigh-Ritz é invariante}

pelas transformac¸ ˜oesv(x)_≡λ−N/2∗u((x−x0)/λ).

1 2 3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4 N =3

uε(x)

1 2 3

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4 N=4

uε(x)

Antes de enunciar o pr óximo resultado, que trata de não existência de solução, apresenta-mos um lema conhecido como identidade de Pohozaev.

1.7 Lema. SejaΩ_⊂RN_{um conjunto compacto. Seja g}_: R_→R_{uma fun¸c˜ao cont´ınua com primitiva}

G(u)_≡

Z u

0 g(s)ds e seja u∈

C1₍Ω)_∩C2₍Ω)uma solu¸c˜ao do problema

  

−∆_u= g(u) se x ∈Ω_, u(x) =0 se x ∈∂Ω_. Ent˜ao vale a identidade

N₋2 2

Z

Ω|∇u|

2_d_x −N

Z

ΩG(u)dx+ 1 2

Z

∂Ω ∂_∂νu

2

x·νdσ =0, (1.16)