Taxas exponenciais de convergência na lei multidimensional dos grandes números: uma...

(1)

Taxas Exponenciais de

Convergˆ

encia na Lei

Multidimensional dos Grandes

N´

umeros: Uma Abordagem

Construtiva

Geraldine G´oes Bosco

⋆

Orientador: Prof. Dr. F´abio Prates Machado

Tese apresentada ao Instituto de Matem´atica e

Estat´ıstica da Universidade de S˜ao Paulo para a

obten¸c˜ao do grau de Doutor em Estat´ıstica.

´

Area de concentra¸c˜ao:

Probabilidade.

(2)

2006-Taxas Exponenciais de Convergˆ

encia na Lei

Multidimensional dos Grandes N´

umeros: Uma

Abordagem Construtiva

Este exemplar corresponde à versão final da tese de doutorado de Geraldine Góes Bosco, corrigida e aprovada pela comissão julgadora.

a

Comiss˜ao Julgadora:

• F´abio prates Machado IME-USP

• Luiz Renato Fontes IME-USP

• Domingos Urbano Marchetti IF-USP

• Rafael Andr´es Rosales Mitrowsky FFCLRP-USP

(3)

Agradecimentos

Agrade¸co ao Fábio pela orienta¸cão e ao Thomas pela colabora¸cão estreita durante todo o desenvolvimento deste trabalho.

Agrade¸co aos membros da comissão julgadora pelas corre¸cões e sugestões.

Esta tese teve o financiamento da Capes através do Programa de Excelência Acadêmica -PROEX e contou com o apoio cient´ıfico da FAPESP através do projeto de pós-doutorado “Estimativas de

Grandes Desvios para Modelos de Adsor¸cão Seqüencial Aleatória e

(4)

Resumo

Neste trabalho apresentamos condi¸c˜oes suficientes

para a obten¸c˜ao de taxas exponenciais de

con-vergˆencia na lei multidimensional dos grandes

n´u-meros para campos aleat´orios definidos em

R

Zd

_.

Dentre poss´ıveis aplica¸c˜oes do resultado

apresen-tamos medidas n˜ao-gibbsianas e n˜ao-FKG

(limi-tes de satura¸c˜ao de processos de estacionamento)

e medidas estacion´arias origin´arias de sistemas de

(5)

Abstract

We describe sufficient conditions for the occurrence

of exponential rates of convergence in the

multi-dimensional law of large numbers for random

fi-elds in

R

Zd

_{. Non-gibbsian and non-FKG}

measu-res from statistical mechanics (jamming limits of

RSA models) and IPS (stationary measures of loss

networks, including heavy-tail long-range

interac-tion) are indicated as examples where the result

(6)

Sum´

ario

1 Taxas Exponenciais de Convergˆencia na Lei Multidimensional dos

Grandes N´umeros 1

1.1 Defini¸c˜oes Preliminares . . . 3

1.2 Resultado Principal . . . 4

1.3 Prova do Resultado Principal . . . 6

1.3.1 Primeira Parte: Amplia¸c˜ao do Espa¸co de Probabilidade . . . . 7

1.3.2 Segunda Parte . . . 9

2 Processos de Estacionamento 19 2.1 Processo de Estacionamento com exclus˜ao de primeiros vizinhos . . . . 20

2.1.1 Descri¸c˜ao do Processo . . . 20

2.1.2 Fun¸cão de constru¸cão do campo aleatórioσ . . . 21

2.1.3 Aplica¸c˜ao do Teorema Principal . . . 25

2.1.4 Exemplo de Amplia¸c˜ao do Espa¸co de Probabilidade . . . 25

2.2 Processos de Estacionamento emZd_{com regras de exclus˜}_{ao mais gerais} ₃₁ 2.2.1 Descri¸c˜ao dos Processos . . . 31

2.2.2 Fun¸cão de Constru¸cão do Campo Aleatório . . . 32

2.3 Processo de Ocupa¸c˜ao . . . 34

3 Rede de Filas com Perdas, com Intera¸c˜oes de Longo Alcance e Cauda Pesada 39 3.1 Rede de Filas com Capacidade K=1 . . . 40

3.1.1 Existˆencia do processo . . . 40

3.1.2 Constru¸c˜ao Gr´afica . . . 42

3.1.3 Fun¸cão de Constru¸cão do Campo Aleatório . . . 46

(7)

3.2 Rede de Filas com CapacidadeK≥1 . . . 52 3.3 Apˆendice 1 . . . 53

3.4 Apˆendice 2 . . . 57

(8)

Cap´ıtulo 1

Taxas Exponenciais de

Convergˆ

encia na Lei

Multidimensional dos

Grandes N´

umeros

Neste cap´ıtulo apresentamos e demonstramos o principal resultado desta tese, que estabelece condi¸cões suficientes para a existência de taxas exponenciais de convergência na Lei Multidimensional dos

Grandes N´umeros (LMGN), a partir de uma abordagem

gr´afico-construtiva.

O resultado pode ser aplicado a quaisquer medidas que possam ser constru´ıdas e estejam sob as hipóteses do Teorema (1.2.1) (ver se¸cão (1.2)). A defini¸cão precisa de constru¸cão de uma medida, ou do campo aleatório a ela associado, é exibida na se¸cão (1.2). No entanto, podemos adiantar que as idéias por trás desse conceito se

relacionam vagamente às idéias do algoritmo de simula¸cão perfeita

(9)

variáveis aleatórias uniformes i.i.d.’s. Mais precisamente, seu sig-nificado está em consonância com a constru¸cão da medida limite

(limite termodinˆamico) do processo de estacionamento apresentado

em [2], uma vez que nesta presente tese também constru´ımos (si-mulamos perfeitamente) uma janela finita de um objeto aleatório infinito, de acordo com uma lei limite previamente estabelecida, a partir de uma quantidade finita mas aleatória de variáveis aleatórias uniformes i.i.d.’s. Outras constru¸cões similares aparecem em [3].

Taxas exponenciais de convergˆencia na LMGN podem ser en-contradas, por exemplo, em [4] para campos aleat´orios indexados

por Z_{; em [5] para campos aleat´orios distribu´ıdos segundo}

medi-das estacionárias de sistemas de part´ıculas atrativos; e em [6] para sistemas percolativos de longo alcance. Nesta presente tese taxas exponenciais de convergência na LMGN são provadas a partir da técnica usada em [2] para provar o decaimento super-exponencial das correla¸cões espaciais do limite de satura¸cão do processo de es-tacionamento (ver Cap´ıtulo 2 desta tese). Esta técnica se baseia na amplia¸cão do espa¸co de probabilidade com o fim de se criarem cópias independentes do campo aleatório estudado e, a partir delas, se construir um campo aleatório “h´ıbrido” que se pare¸ca localmente com cada uma das cópias i.i.d.’s.

Embora o resultado possa ser aplicado a medidas FKG1_,

proveni-entes de medidas estacionárias de dinâmicas atrativas2_{, sua aplica¸cão}

mais interessante é no caso de medidas não-gibbsianas e não-FKG, uma vez que, até onde vai nosso conhecimento, não são tratadas na literatura corrente. Como exemplos, apresentamos nos próximos cap´ıtulos, dois processos que possuem medidas limites não-gibbsianas

1_{Uma lei}_µ_{em (}RZd

,BZd

R ) ´e dita FKG, quando, para quaisquer fun¸c˜oes cont´ınuas e

crescen-tes (no sentido da ordem parcial deRZd₎_{f, g}_:RZd_→R_,R

RZd(f·g)dµ≥

R

RZdf dµ·

R

RZdgdµ. Ver [7], por exemplo.

(10)

e n˜ao-FKG. No cap´ıtulo 2 apresentamos os Processos de Estaciona-mento, incluindo na se¸c˜ao (2.3) um processo no qual o espa¸co de

spins ´e cont´ınuo. No Cap´ıtulo 3 apresentamos um Sistema de Filas

com Perdas, incluindo Intera¸c˜oes de Longo Alcance e Cauda Pesada.

1.1 Defini¸c˜

oes Preliminares

Seja X _≡ (X(x))_x_∈Zd um campo aleat´orio, i.e. um arranjo de

variáveis aleatórias (fun¸cões reais Borel-mensuráveis) integráveis,

in-dexadas pelos s´ıtios de Zd _{e definidas num espa¸co de probabilidade}

abstrato (Ω,F,P_).

Dizemos que X ´e estacion´ario, quando, para todo x ∈ Zd_, _X _e

Y def= (X(i+x))_i_∈Zd forem igualmente distribu´ıdos em

RZd

,BZd R

,

i.e. ∀B ∈ BZd

R

P₍_{_X _∈_B_}_{) =} P₍_{_Y _∈_B_}_{). Neste caso,}

escreve-mos X∼Y.

Dado x ∈ Zd_{, seja} _θ_x _: RZd _→ RZd _{um operador de transla¸c˜ao,}

definido, para cada ω _∈ RZd

, por θx(ωy) =ωx+y, para todo y∈ Zd.

Dizemos que X é ergódico, quando a lei de X restrita à

sigma-´algebra invariante _I def= nI _{∈ B}Zd

R : (∀x∈Zd) (θx(I) =I)

o

for

trivial, isto ´e, para qualquer I ∈ I temos que P₍_{_X _∈_I_}₎_{∈ {}_0,₁_}_.

Quando o campo aleatórioXfor estacionário, ergódico eX0 ∈L1,

vale que

P

x∈ΛnX(x)

|Λn|

n

−→E_(X₀₎def₌

Z

Ω

X0·dP quase-certamente, (1.1)

onde Λn def= [−n, n]d ´e uma a caixa deZd, centrada na origem e com

raio n. Vamos nos referir a esse resultado3 _como _Lei

Multidimensi-onal dos Grandes N´umeros (LMGN).

3_{Na sua forma mais geral, esse resultado ´}_{e conhecido como Teorema Erg´}_odico

(11)

Dizemos que a taxa de convergˆencia na LMGN ´e exponencial,

quando para qualquer ǫ > 0, existirem α >0 e C > 0 tal que para

todo n∈N_{, tivermos}

P

x∈ΛnX(x)

|Λn| −

E_(X₀₎

> ǫ

≤C·e−α·|Λn|_. _(1.2)

Observa¸c˜ao Atrav´es do 1o _{lema de Borel-Cantelli vemos que (1) implica}

em ( 1.1). Na verdade, basta que as probabilidades em ( 1) sejam som´aveis para garantirmos a validade de (1.1). Nesse sentido, uma prova da validade de (1) para um campo aleat´orio pode ser vista como uma prova alternativa para LMGN.

1.2 Resultado Principal

O teorema central desta tese nos garante a existˆencia de taxas exponenciais de convergˆencia na lei multidimensional dos grandes

n´umeros para campos aleat´orios que possam ser constru´ıdos

obde-cendo a certas condi¸c˜oes.

O significado de constru¸cão de um campo aleatório torna-se pre-ciso através da próxima defini¸cão.

Defini¸cão 1.2.1 (Constru¸cão (da lei) de um campo aleatório X).

Construir (a lei de) X significa descrever uma fun¸c˜ao mensur´avel

fX,

fX :

(0,1)Zd ≡Ω,BZd

(0,1) ≡ F, λ

Zd

(0,1) ≡P

→(R_,_BR),

associada a uma seqüência crescente de conjuntos F-mensuráveis

(An)_n_∈N tais que:

(i) o campo aleat´orio Y _≡ (Yi)i∈Zd

def

= (fX ◦θi)i∈Zd tenha a mesma distribui¸c˜ao de X em RZd_,_B_RZd

, i.e. Y ∼X.

(ii) Cada An ´e um cilindro com base em B₍₀Λn_,₁₎, i.e.

(_∀n _∈N₎ _∃_A_n _{∈ B}Λn

(0,1)

: An=An×(0,1)Z

(12)

(iii) Em cada An, fX fica determinada em Λn, i.e.

(∀ω, ω′ _∈_A

n) (ω|Λn=ω′|Λn) ⇒ fX(ω) =fX(ω′).

(iv) P_(A_n₎_ր₁_{, ou seja, com probabilidade 1,} _f_X _{fica determinada}

dentro de alguma caixa Λn.”

Em palavras, essa defini¸c˜ao nos diz que: (1) aos s´ıtios de Zd

estão associadas variáveis aleatórias uniformes independentes e

dis-tribu´ıdas no intervalo (0,1); (2) a fun¸c˜aofX associa cada realiza¸c˜ao

dessas uniformes ao spin/estado da origem, e da mesma formafX◦θx

associa cada realiza¸c˜ao ao spin/estado de qualquer outro s´ıtio x ∈

Zd_{; (3) o evento} _A_n _{´e o conjunto das realiza¸c˜oes nas quais o estado}

da origem fica determinado apenas com as informa¸c˜oes contidas na

caixa Λn, ou seja, a partir de uma quantidade aleat´oria mas finita

de uniformes; (4) se a seq¨uˆencia de conjuntos (An)n≥1 satisfizer as

condi¸c˜oes do item (iv) ent˜ao, quase certamente, precisamos de um

n´umero finito de uniformes para determinarmos o spin da origem.

Observa¸cão: Como a medida produto λZ_(0,1)d é ergódica e estacionária em

(0,1)Zd

,_BZd

(0,1)

a distribui¸cão do campo aleatórioX também será ergódica e estacionária em_{0,1_}Zd

,_BZd

{0,1}

. Este tipo de argumento é canônico em teoria ergódica e maiores detalhes podem ser encontrados em [15].

Consideremos o conjunto B das configura¸c˜oes que n˜ao definem

fX sobre quaisquer caixas finitas Λn, n ∈ N, mais precisamente

B := _{ω _∈ Ω : ω n˜ao define fX sobre as caixas finitas Λn, n ∈

N_}₌_∩∞_n₌₁_A_nc_{. Como os conjuntos}_Ac_n_,_n _≥_{1 formam uma seq¨}_uˆencia

decrescente, ent˜aoP_{(B) = lim}_n_→∞P_(Ac

n). Mas, segundo o item (iv)

da defini¸c˜ao (1.2.1), seP_(Ac

n) decair para zero emn, ent˜ao podemos

construir o campo aleat´orioX. O teorema a seguir, principal

resul-tado desta tese, diz como P_(Ac

n) deve ir para zero quando n → ∞,

(13)

campo, taxa exponencial de convergˆencia na lei multidimensional

dos grandes n´umeros.

Teorema 1.2.1 (Resultado Principal) 4 _Seja_X_{um campo aleat´orio}

assumindo valores em RZd

e fX a fun¸c˜ao de constru¸c˜ao de X. Se

fX for limitada e P(Acn) = O(n−d−δ) , para algum δ > 0, ent˜ao a

taxa de convergˆencia na Lei Multidimensional dos Grandes N´umeros

ser´a exponencial para o campo aleat´orio X.

A prova do teorema (1.2.1) consiste em mostrar que para todo ǫ >0 existem α =α(ǫ)>0 eC =C(ǫ)>0 tais que

P

x∈ΛnX(x)

|Λn| −

E_X(0)

> ǫ

≤C·(e−|Λn|·α₎ _∀_n. _(1.3)

Na prova dessa asser¸c˜ao utilizamos duas id´eias principais (1) a

am-plia¸c˜ao do espa¸co de probabilidade (do antigo(0,1)Zd

,BZd

(0,1), λ

Zd

(0,1)

para um novo (0,1)Zd

,_BZd

(0,1), λ

Zd

(0,1)

Zd

); e (2) o uso da parte mais

conhecida do Teorema de Cr´amer, que estabelece que se (Xi)i∈N for

uma seqüência de variáveis aleatórias i.i.d.’s com E_(et·X1₎_< ∞ _em

alguma vizinhan¸ca det = 0, ent˜ao existem constantes positivasC e

α tais que

P

Pn

i=1Xi

n −E(X1)

> ǫ

≤C·e−α·n.

1.3 Prova do Resultado Principal

Dividimos a prova do Teorema (1.2.1) em duas partes. Na primeira apresentamos as constru¸c˜oes provenientes da amplia¸c˜ao do espa¸co de probabilidade. E, na segunda parte, apresentamos e provamos

4_O₍_g₍_n_{)) =} _{_f₍_n_{) tais que existem constantes positivas}_c_e_n₀_{tais que 0} _≤ _f₍_n₎ _≤ _c_·

(14)

resultados que envolvem essas constru¸cões e as hipóteses do teorema, concluindo a demonstra¸cão. Recomendamos ao leitor que acompa-nhe o desenvolvimento da prova tendo como exemplo o Processo de Estacionamento de primeiros vizinhos apresentado na se¸cão (2.1) do Cap´ıtulo 2.

1.3.1 Primeira Parte: Amplia¸c˜ao do Espa¸co de Probabili-dade

Nesta se¸cão o conjunto Zd _{é particionado em caixas, que são}

asso-ciadas univocamente a c´opias independentes do campo aleat´orio X.

Através dessas cópias e de uma outra cópia de X, com propriedades

que nos interessam, definimos duas fam´ılias de variáveis aleatórias que permitem reescrever o termo à esquerda da expressão (1.3) de forma que possamos usar o Teorema de Crámer.

Parti¸c˜ao de Zd

Seja P = {Γ(_iL)}i∈Zd uma parti¸c˜ao de Zd, onde Γ(_iL) ´e uma caixa

de raio L∈N_{e centro [(2L}_{+ 1)}_·_i]_∈Zd _{definida por}5

Γ(_iL) ={x∈Zd_:_|_x₋_(2L_{+ 1)}_·_i_|_sup _≤_L_}

Denotaremos por VL, o volume da caixa Γ

(L)

i ,∀i∈Zd, ou seja VL =

|Γ(_iL)_|. Omitiremos L todas as vezes que estiver claro do contexto.

A partir de Γ(_iL), definimos Λnk :=

S

i∈ΛkΓ

(L)

i para um L fixo,

isto ´e, Λnk ´e uma caixa de caixas. Mais precisamente,nk =L+ (2·

L+ 1)·k, e |Λnk|={2·[L+ (2·L+ 1)·k] + 1}

d ₌_|_Λ k| ·VL.

Fam´ılia de c´opias independentes do objeto aleat´orioX

A partir da parti¸c˜ao _P, constru´ımos uma fam´ılia de objetos

aleat´orios i.i.d.’s, (Xi₎

i∈Zd, onde Xi ∼ X, ou seja, uma fam´ılia de

c´opias independentes do objeto aleat´orio X. Mais precisamente,

5_|_x₋_y_|_supdef_{= max}

(15)

associamos a cada caixa Γi um espa¸co (0,1)

Zd

, e nesse espa¸co

cons-tru´ımos X, ou seja, ampliamos o antigo espa¸co de probabilidade,

(Ω,F,P_{) =}_(0,₁₎Zd

,BZd

(0,1), λ

Zd

(0,1)

, transformando-o em um

novo espa¸co (Ω′_,_F′_,_P′_{) =} _(0,₁₎Zd_×Zd

,BZd_×Zd

(0,1) , λ

Zd_×Zd

(0,1)

.

Em (Ω′_,_F′_,_P′_{), cada}_ω _∈_Ω′_{pode ser pensado como uma seq¨}_uˆencia

generalizada (ωi

z)z∈Zd_{, i}_∈Zd, onde cada ω_zi é uma variável aleatória

uniforme definida no intervalo (0,1). Nessa nota¸c˜ao, o ´ındice z

in-dica os s´ıtios de Zd _{e o ´ındice} _i _{est´a associado `a caixa Γ}_i_.

Seja πi _{o operador de proje¸c˜ao}

πi : (0,1)Zd_×Zd

→ (0,1)Zd

ω 7→ ωi ₌_πi_(ω),

que composto com o operador de transla¸c˜ao nos forneceθx◦πi(ω) =

θx(ωi). Podemos, assim, definir o campo aleat´orio (Xi(x) )x∈Zd :=

(fX ◦θx(ωi))x∈Zd. Fazendo isso para todo i ∈ Zd, temos em m˜aos

uma fam´ılia, ( Xi ₎

i∈Zd, de objetos aleat´orios i.i.d.’s.

Objeto aleat´orio h´ıbrido

Vamos agora construir um novo objeto aleat´orioXh _{tal que}_Xh _∼

X e seja ”similar” a Xi _{em Γ}

i.

Seja c(z) uma fun¸c˜ao que associa cada s´ıtio z _∈ Zd _{ao ´ındice}

da caixa a que z pertence, e seja ωh _:= _ωc(z)

z

z∈Zd. Podemos

ent˜ao, definir o campo aleat´orio ( Xh_{(x) )}

x∈Zd := (f_X◦θ_x)_x_∈Zd onde

Xh_{(x) =}_f

X ◦θx(ωh), que chamamos de campo aleat´orio h´ıbrido.

´

E interessante observar que constru´ımos o campo alet´orio Xh

usando a subseqüênciaωh _{que é composta por um ”peda¸co” da}

sub-seq¨uˆencia ωi_{, associado aos s´ıtios da caixa Γ}

i; por outro ”peda¸co”

da subseq¨uˆencia ωj _{associado aos s´ıtios da caixa Γ}

j; e assim

suces-sivamente, percorrendo todas as caixas (Γi)i∈Zd. Por isso o campo

aleatório Xh _{é “similar” ao campo aleatório} _Xi _{na caixa Γ}

i, e pelo

(16)

da fam´ılia (Xi₎

i∈Zd. Vale ainda observar, que o campo aleat´orioXh

depende do raio L de caixa escolhido, e por isso vamos denot´a-lo, a

partir deste momento, por Xh

L.

Tendo em m˜aos (Xi₎

i∈Zd,X_Lhe a parti¸c˜aoP ={Γ_i}_i_∈Zd, definimos

uma fam´ılia de vari´aveis aleat´orias independentes: (mi

i(L))i∈Zd, onde

mi_i(L):=

P

x∈ΓiX

i_(x)

VL

; (1.4)

e, uma fam´ılia de vari´aveis aleat´orias dependentes: (mi(L))_i_∈Zd, onde

mi(L):=

P

x∈ΓiX

h

L(x)

VL

. (1.5)

As variáveis aleatórias estão definidas em (Ω′_,_F′_,_P′_{) e assumem}

valores em R_.

Em linhas gerais, essas fam´ılias de variáveis aleatórias nos per-mitem reescrever o termo à esquerda de (1.3) como uma soma de

parcelas nas quais podemos aplicar o Teorema de Cr´amer. ´E o que

veremos na pr´oxima subse¸c˜ao.

1.3.2 Segunda Parte

Seja a seq¨uˆencia (bn)(n≥0), onde

bn :=

P

x∈ΛnX(x)

|Λn| −

E_X(0)

´e o termo que aparece na express˜ao (1.3). E seja bnk

(k≥0) uma

subseq¨uˆencia de (bn)₍_n_≥₀₎, onde

bnk :=

P

x∈Λnk

X(x)

|Λnk|

(17)

Relembrando que nk = L+ (2·L+ 1)·k, vemos que a diferen¸ca

entre os termos gerais bn e bnk reside no primeiro apresentar um

somat´orio que vai de 1 em 1, enquanto no segundo, o somat´orio vai

em m´ultiplos de L.

Uma vez que Xh

L ∼X por (1.5), temos

bnk ∼

P

i∈Λkmi(L)

|Λk| −

E_X(0).

Agora, seja ǫ > 0 e consideremos o evento

|bnk|> ǫ/2 . Ent˜ao

temos que

|bnk|> ǫ/2 ⊂

P

i∈Λkm i i(L)

|Λk| −

EX(0)

> ǫ 4 ∪ P

i∈Λkmi(L)−m i i(L)

|Λk|

> ǫ 4 .

E por subaditividade temos que

P

|bnk|>

ǫ

2 ≤ P

P

i∈Λ_kmii(L)

|Λk| −

E_X₍₀₎ > ǫ 4 + P P

i∈Λkmi(L)−m i i(L)

|Λk|

> ǫ 4 . (1.7)

Uma vez que as vari´aveis aleat´orias (mi

i(L))i∈Zd, definidas em (1.4),

s˜ao i.i.d’s, conclu´ımos a partir do Teorema de Cramer que para todo ǫ >0, existem C =C(ǫ)>0 e α =α(ǫ)>0 tal que

P P

i∈Λkm

i i(L)

|Λk| −

E_X(0) > ǫ 4 !

≤C·e−|Λk|·α _∀ _k_≥₀_. _(1.8)

(18)

(1.7) tamb´em apresenta decaimento exponencial quando n cresce;

(2) mostrar qual ´e a rela¸c˜ao entre os conjuntos {|bnk| > ǫ/2} e

{|bn| > ǫ}. Esses dois fatos se traduzem nos dois lemas a seguir,

cujas demonstra¸cões são apresentadas nas próximas duas subse¸cões.

Lema 1.3.1 Para todoǫ >0, ´e poss´ıvel encontrar um raio de caixa,

L(ǫ), suficientemente grande de tal forma que existem κ = κ(ǫ) e

φ =φ(ǫ)>0 satisfazendo

P

i∈Λkmi(L)−m

i i(L)

|Λk|

> ǫ 2

!

≤κ·e−|Λk|·φ

∀ k_≥0

Lema 1.3.2 Existe k suficientemente grande tal que _{|bn| > ǫ} ⊂

|bnk|> ǫ/2 , para nk₋1 < n < nk.

Prova do Lema (1.3.1)

Comecemos por observar que a express˜ao _|P

i∈Λkmi(L)−m

i

i(L)|´e a

soma das diferen¸cas entre os campos aleat´oriosXi _e_Xh

L, nas

respec-tivas caixas Γi contidas na caixa Λk. No que segue, vamos

estabele-cer as bases para enumerar as poss´ıveis fontes de diferen¸ca entre os

campos Xi _e _Xh

L em uma caixa Γi.

Consideremos caixas de raio l contidas em cada uma das caixas

Γ(_iL). Denotamos essas caixas porγ_i(L). Assim, temos6

γ(_iL) :={x∈Zd_:_|_x₋_(2L_{+ 1)}_·_i_|_sup _{< l}_}_,

e definimos ∆L:=L₋l. Chamamos deanel a regi˜ao entre as caixas

Γ(_iL) e γ_i(L) (ver figura abaixo).

(19)

Γ(iL)

γ(iL)

∆L

←→

Seja Ai

n o conjunto das configura¸c˜oes ω ∈ Ω′ tais que Xi(0) fica

determinado dentro da caixa Λn, mais precisamente

Ai_n :=_{ω :ωi _∈An}.

Consideremos o conjunto θx(Ai∆L) das configura¸c˜oes ωi que

deter-minam Xi_{(x) a partir da informa¸c˜ao contida na caixa de raio ∆L}

centrada no s´ıtio x∈γ_i(L). E seja C_i :=∩x∈γiθx(A

i

∆L), cujo

comple-mentar nos interessa:

C_ic = (∩x∈γiθx(A

i

∆L))c =∪x∈γi[θx(A

i

∆L)]c

pois é o conjunto das configura¸cões que precisam de informa¸cão que

est´a fora da caixa Γi, para que os estados dos s´ıtios x ∈ γi fiquem

definidos. Por subaditividade e pela estacionariedade de X temos

que

P_{_Cc

i} ≤

P

x∈γiP{[θx(A

i

∆L)]c}

≤ |γi| ·P{[θx(Ai∆L)]c}=|γi| ·P{(Ai∆L)c}.

(1.9)

Mas por hip´otese, temos que

P_(Ai_∆_L₎c ₌_O _∆L−d−δ_,

o que ´e equivalente a dizer que existem c > 0 el₀ >0 tais que

P_(Ai

∆L)c ≤c·∆L−d−δ, (1.10)

(20)

Queremos encontrar ∆L como fun¸c˜ao de L, de tal forma que,

quando Lcrescer, oanel n˜ao cres¸ca muito e seja grande o suficiente

para que P₍Cc

i) → 0. Ent˜ao, seja ∆L = Lβ com 0 < β < 1, e o

problema se traduz em encontrar β que satisfa¸ca essas condi¸c˜oes.

Retomando (1.9), onde substituimos (1.10), temos

P₍Cc

i) ≤ c· |γi| ·(L−∆L)d·(Lβ)−d−δ

≤ c′ _·_Ld_·_L−β(d+δ)

= c′ ·Ld−β(d+δ).

Assim, temos que ter

d₋β(d+δ)<0_⇐⇒ d

d+δ < β, o que implica em

0< d

d+δ < β <1.

As vari´aveis aleat´orias I_Cc i

i∈Zd := (Ii)_i_∈Zd

Consideremos as vari´aveis aleat´orias ICc

i

i∈Zd := (Ii)i∈Zd, que s˜ao

i.i.d.’s gra¸cas `a constru¸c˜ao estabelecida anteriormente. E

recor-demos que, por hip´otese fX ´e limitada, ou seja ∃ K > 0 tal que

|fX| ≤K. Podemos agora, enunciar o seguinte lema.

Lema 1.3.3 A discrepância relativa entre as variáveis aleatórias

mi

i(L) e mi(L)´e dada por

|P

i∈Λkmi(L)−m

i i(L)|

|Λk| ≤

K_·Vanel

VL

+K_·

P

i∈ΛkIi

|Λk|

(21)

Prova:

A discrepância relativa entre as variáveis aleatórias mi

i(L) e mi(L)

dentro de uma caixa Γi ´e proveniente de duas fontes. Primeiro, se

estivermos no eventoCi, ent˜ao mii(L)emi(L), s´o podem ser diferentes

no anel entre as caixas Γi and γi. Por outro lado, se estivermos no

eventoCc_i, as vari´aveis aleat´orias podem ser diferentes em toda caixa

Γi. Assim, temos que



   

   

SeI_i _{= 0} _ent˜ao _|_m_i(L)−mi_i(L)| ≤K· Vanel

VL ,

caso contr´ario, se I_i _{= 1 ent˜ao} _|_m_i(L)−mi_i(L)| ≤K.

E podemos estimar a discrepˆancia relativa a partir desses dois casos.

|mi(L)−mi_i(L)| ≤K· Vanel

VL

+K_·I_i

Somando sobre todo i_∈Λk, temos que

P

i∈Λk|mi(L)−m

i i(L)|

|Λk| ≤

K_·

P

i∈ΛkVanel

VL· |Λk|

+K_·

P

i∈Λk

I_i

|Λk|

,

e finalmente

|P

i∈Λkmi(L)−m

i i(L)|

|Λk| ≤

P

i∈Λk|mi(L)−m

i i(L)|

|Λk| ≤

K_·Vanel

VL

+K_·

P

i∈ΛkIi

|Λk|

.

Prova do Lema 1.3.1:

Tomemos L suficientemente grande para que Vanel/VL seja menor

(22)

Dk=

(

P

i∈Λkmi(L)−m

i i(L)

|Λk| ≥

ǫ 2

)

Fk =

P

i∈ΛkIi

|Λk|

< ǫ

4K

.

Usando o lema (1.3.3), no evento Fk temos que

P

i∈Λkmi(L)−m

i i(L)

|Λk|

<K ǫ

4K +

ǫ

4K

= ǫ

2.

E, portanto Dk∩Fk=∅, o que implica em

Dk ⊂Fkc =

P

i∈Λk

I_i

|Λk| ≥

ǫ

4K

=

P

i∈Λk

I_i

|Λk| −

EI₀ _≥ ǫ

4K−EI0 :=ǫ

′

,

que, por sua vez, implica em

P_(D_k₎_≤P

P

i∈ΛkIi

|Λk| −

EI₀ _≥_ǫ′

.

Como as variáveis (I_i₎_i_∈_Zdsão variáveis aleatórias i.i.d.’s e, por hipótese,

ǫ′ _>_{0, temos, pelo Teorema de Cramer, que existem} _κ ₌_κ(ǫ′₎ _>₀

e φ=φ(ǫ′₎_>_{0 tais que}

P P

i∈ΛkIi

|Λk| −

EI₀ ≥ ǫ′

≤κ·e−|Λk|·φ

Prova do Lema (1.3.2)

(23)

nk₋1 < n < nk.

|bnk −bn| =

P

x∈Λnk

Xh₍_x₎

|Λnk| −

E_X(0)

−

P

x∈ΛnX h₍_x₎

|Λn| −

E_X(0) = P

x∈Λnk₋1

Xh₍_x₎

|Λnk|

+ P

x∈(Λnk−Λn)

Xh₍_x₎

|Λnk| −

P

x∈ΛnX h₍_x₎

|Λn|

≤ 2_·K_·n1₋ |Λn|

|Λnk|

o

.

Como _|Λnk₋1|<|Λn|, temos que

1₋ |Λn|

|Λnk|

<

1₋ |Λnk₋1|

|Λnk|

.

E lembrando que nk =L+ (2·L+ 1)·k, temos tamb´em que

|Λnk₋1|

|Λnk|

= {2·[L+ (2·L+ 1)·(k−1)] + 1}

d

{2_·[L+ (2_·L+ 1)_·k] + 1_}d →1 quando k → ∞.

E, portanto |bnk −bn| →0 quando k → ∞. Resultado que nos

per-mite dizer que para qualquer ǫ >0 existe k suficientemente grande

tal que _|bnk −bn|< ǫ/2. Ent˜ao

{|bn|> ǫ} ⊂

n

|bnk|>

ǫ 2

o

para k suficientemente grande.

Observa¸c˜oes Finais

(1) Nas constru¸c˜oes deste cap´ıtulo utilizamos o espa¸co de

proba-bilidade (0,1),B(0,1), λ(0,1)

Zd

. Isso equivale a associar, de

ma-neira independente, a cada s´ıtio de Zd _{uma vari´avel aleat´oria}

uni-forme distribu´ıda no intervalo (0,1). Em outras constru¸c˜oes ser´a

mais favor´avel associar, de modo independente, a cada ponto de

(24)

etc. Como estes objetos aleat´orios podem ser gerados a partir de

um único número aleatório, as constru¸cões que utilizamos não

en-volvem perda de generalidade. No cap´ıtulo 3 veremos um exemplo

onde dois processos de Poisson s˜ao associados a cada s´ıtio de Zd_.

(2) ´E importante observar que o resultado tamb´em se aplica a

medidas em SZd

, onde S ´e um compacto em Rn_{. Na se¸c˜ao (2.3),}

(25)

(26)

Cap´ıtulo 2

Processos de

Estacionamento

Neste cap´ıtulo apresentamos os processos de estacionamento como exemplos de aplica¸cão do Teorema (1.2.1) no caso de medidas não-gibbsianas e não-FKG.

Resultados rigorosos para os processos de estacionamento restrin-giam-se, at´e bem pouco tempo, a modelos unidimensionais [13, 17, 18, 19, 20, 21] e a modelos quase unidimensionais [11, 12, 16]. Em

2002, Penrose [22] apresentou uma lei fraca dos grandes n´umeros

para a densidade de part´ıculas no limite de satura¸c˜ao quando o processo de estacionamento ´e constru´ıdo em caixas. Recentemente,

Ritchie [2] provou uma lei forte dos grandes n´umeros para a mesma

grandeza, e o decaimento super-exponencial das fun¸cões de cor-rela¸cão. Esses resultados foram alcan¸cados através da constru¸cão

expl´ıcita do limite termodinˆamico1 _{do processo. Neste cap´ıtulo}

se-guiremos de perto essa constru¸c˜ao.

Na primeira se¸c˜ao discorremos sobre o caso unidimensional e onde

1_{Em Mecˆ}_{anica Estat´ıstica ´}_{e comum definirem-se medidas} _µ

n no espa¸coSΛn (S espa¸co

(27)

há apenas intera¸cões de primeiros vizinhos. Para esse caso exibimos a fun¸cão de constru¸cão e mostramos que o campo aleatório limite obedece as hipóteses do teorema (1.2.1). E por fim, exemplificamos as idéias de amplia¸cão do espa¸co de probabilidade.

Na segunda se¸c˜ao tratamos dos casos com intera¸c˜oes mais gerais.

E na ´ultima se¸c˜ao apresentamos um modelo, baseado nos

proces-sos de estacionamento, com espa¸co de spins cont´ınuo, caso tamb´em abrangido pelo Teorema (1.2.1).

2.1 Processo de Estacionamento com exclus˜

ao

de primeiros vizinhos

2.1.1 Descri¸c˜ao do Processo

Consideremos uma dinâmica a tempo discreto onde há deposi¸cão de

part´ıculas nos s´ıtios de uma caixa Λn = [−n, n] de Z. No instante

inicial todos os s´ıtios da caixa estão vazios (spin/estado 0), e um de-les é escolhido uniformemente e nele há deposi¸cão de uma part´ıcula (spin/estado 1). Imediatamente, seus dois primeiros vizinhos ficam bloqueados, isto é, nenhuma part´ıcula poderá se depositar nesses s´ıtios. Uma vez ocupado, um s´ıtio permanece nesse estado para sempre. A dinâmica prossegue com a deposi¸cão, a cada instante de tempo, de uma part´ıcula num s´ıtio uniformemente escolhido dentre aqueles não ocupados e não bloqueados. Em resumo, o s´ıtio esco-lhido só é ocupado se seus dois primeiros vizinhos estiverem vazios.

O processo continua at´e que todos os s´ıtios da caixa Λn estejam ou

bloqueados ou ocupados. A configura¸c˜ao final da caixa Λn ´e

cha-mada de limite de satura¸c˜ao de Λn, e vamos denot´a-la por σn. Este

(28)

2.1.2 Fun¸cão de constru¸cão do campo aleatório σ

Vamos denotar por σ a configura¸c˜ao final do processo constru´ıdo

em todo o Z_{, e que n˜ao pode ser determinada a partir das regras}

descritas acima, j´a que n˜ao podemos escolher uniformemente um

s´ıtio em Z_{. Na solu¸c˜ao dessa quest˜ao vamos seguir o algoritmo de}

constru¸cão de σn, apresentado em [2], que contém em si as idéias

para a constru¸c˜ao da configura¸c˜ao final σ.

Consideremos o espa¸co de probabilidade (Ω,F,P_{) =}

(0,1)Z

,BZ

(0,1), λ

Z

(0,1)

, e denotemos por ω um elemento de Ω. Em

palavras, esse espa¸co de probabilidade associa a cada s´ıtio deZ_uma

vari´avel aleat´oria uniforme definida no intervalo (0,1). Segue abaixo

o algoritmo de constru¸c˜ao de σn.

Defini¸c˜ao 2.1.1 Definimos o processo de estacionamento na caixa

Λn com condi¸c˜ao de fronteira nula atrav´es do seguinte algoritmo:

Para cada ω _∈(0,1)Z

,

Passo 1 σn(ω)(x)←0 ∀x∈Z;

Passo 2 escolha x∈Λn tal que

ωx= inf{ωz :z ∈Λn e z n˜ao tenha sido escolhido previamente};

Passo 3 Se σn(ω)(x+ 1) =σn(ω)(x−1) = 0 ent˜ao σn(ω)(x)←1;

Passo 4 Se há pontos em Λn não escolhidos ainda, então volte ao

passo 2, ou encerre o algoritmo.

Observa¸cões: (1) Os objetos aleatórios (σn)n≥0 estão definidos em

(0,1)Z

,_BZ

(0,1), λ Z (0,1)

e assumem valores em {0,1}Λn_. _{Vamos denotar por}

(µn)n≥0as respectivas medidas de probabilidade dos objetos aleat´orios (σn)n≥0.

(2) Este algoritmo ´e equivalente probabilisticamente ao descrito no in´ıcio desta se¸c˜ao.

Para o caso unidimensional, a Figura 1 mostra um ”perfil ” de

uniformes, ou seja, uma realiza¸c˜ao ω _∈ (0,1)Z

(29)

tamb´em mostra as configura¸c˜oes finais σ1,σ2,σ3, σ4 e σ7.

Observe-mos que a configura¸cão finalσ1 é diferente da configura¸cão final σ2,

que por sua vez é diferente da configura¸cão final σ3, que também é

diferente da configura¸c˜ao final σ4. No entanto, a configura¸c˜ao final

σ7 restrita à caixa Λ4 é igual à configura¸cão final σ4. Observemos

tamb´em, que as uniformes utilizadas na constru¸c˜ao do processo na

caixa Λ4 est˜ao entre pontos de m´ınimo do ”perfil”. Para

entender-mos melhor o que est´a acontecendo, vaentender-mos nos fixar em determinar

o estado da origem na configura¸c˜ao finalσ. Definamos

l0(ω) def

= max{i≤0 :ωi< ωi−1}

e

r0(ω) def

= min_{i_≥0 :ωi < ωi+1},

ou seja, l0 e r0 s˜ao os pontos de m´ınimo local do ”perfil” que est˜ao

mais próximos da origem, à esquerda e à direita da origem,

respec-tivamente. A Figura 1, mostral0 er0 para o ”perfil” exemplificado.

Observemos que as uniformes associadas aos s´ıtios entre 0 e l0 (r0)

est˜ao em ordem decrescente, e que somente o que acontecer aos s´ıtios

entre r0 e l0, poder´a influenciar o estado final da origem.

´

E f´acil verificar que, se uma caixa Λn contiver l0 e r0, e se eles

forem n´umeros pares ent˜aoσn(0) = 1, e se pelo menos um deles for

um n´umero ´ımpar, ent˜aoσn(0) = 0. Assim, uma vez que uma caixa

Λm contenha l0 e r0, ent˜ao o estado final da origem ser´a o mesmo

dentro de qualquer caixa Λn para n > m, ou seja σ(0) = σm(0).

Para determinarmos os estados, na configura¸c˜ao final σ, de outros

s´ıtios usamos o mesmo m´etodo: encontramos lx erx , ou seja,

lx(ω)

def

= max{i≤x:ωi < ωi−1}

e

(30)

´

E interessante notar que neste caso particular -processo de estaci-onamento unidimensional com exclus˜ao de primeiros vizinhos - os

estados dos outros s´ıtios entre l0 e r0 tamb´em n˜ao mudam mais

dentro de qualquer caixa Λn para n > m. E de maneira mais

ge-ral, fixada uma realiza¸cão ω, a constru¸cão de σ se dá ”peda¸co” a

”peda¸co”, onde os ”peda¸cos” est˜ao separados por pontos de m´ınimo

local de ω.

Voltando `a Figura 1, a caixa Λ4 cont´em l0 e r0, e por isso a

configura¸cão final σ7 restrita à caixa Λ4 não se modifica. E então,

podemos exibir a fun¸cão de constru¸cão do campo aleatório σ que

denotamos por fσ,

fσ

def

= I_{_l

0 ∈ [0,−2,−4,···]}·I{r0 ∈ [0, 2,4,···]} =σ(0), e temos

σ(x) =θx◦fσ =I{lx−x ∈ [0,−2,−4,···]}·I{rx−x ∈ [0, 2,4,···]}, ∀x∈Z.

Formalizando um pouco mais, temos que: Se l0, r0 ∈ Λn ent˜ao

σn(0) =σ(0), o que implica emσn(0)→σ(0) q.c., e por conseguinte

σn →σ q.c., com σ ∼limn→∞µn

def

(31)

Z

?

ω∈(0,1)Z

= Ω (Ω,_F,P_{) =}

(0,1)Z

,_BZ (0,1), λ

Z (0,1) 0 .95 1 .87 2 .75 3 .50 4 .25 5 .44 6 .30 7 .80 −1 .69 −2 .62 −3 .37

l0(ω) r0(ω)

−4 .85 −5 .12 −6 .55 −7 .65 1 0 −1 Λ1

: σ1(ω)∈ {0,1}Λ1

1 2 0

−1 −2

Λ2

: σ2(ω)∈ {0,1}Λ2

1 2 0

−1 −2

Λ3

: σ3(ω)∈ {0,1}Λ3

1 2 0

−1 −2

−3 3 4

−4

Λ4

: σ4(ω)∈ {0,1}Λ4

1 2 0

−1 −2

−3 3 4

−4 −5 −6

−7 5 6 7

Λ7

: σ7(ω)∈ {0,1}Λ7

: σ(ω)_{∈ {}0,1_}Z 1 2

0 −1 −2

−3 3 4

−4 −5 −6

−7 5 6 7

?

? ?

Figura 1: Acima temos um ”perfil ” de uniformes, ou seja, uma realiza¸c˜aoω_∈(0,1)Z

(32)

2.1.3 Aplica¸c˜ao do Teorema Principal

A seq¨uˆencia de conjuntos (An)n≥1

Fica claro das considera¸c˜oes anteriores que, fixada uma realiza¸c˜ao ω, σ(0) fica determinado na caixa Λn, se essa caixa contiver l0 e

r0. Segue da defini¸c˜ao (1.2.1) (item (iii)) que o conjunto An fica

naturalmente definido por

An

def

= {−n < l0 ≤0≤r0 < n}, n= 1,2,· · ·

P(Ac n)

O conjunto Ac

n é o conjunto das configura¸cões que não

determi-nam σ(0) dentro da caixa Λn, ou em termos de l0 e r0, Acn = {ω :

l0(ω), r0(ω)∈/ Λn}. Ou ainda, é o evento no qual existem seqüências

num´ericas decrescentes que come¸cam no s´ıtio 0 e terminam fora da

caixa Λn.

A probabilidade de uma seqüência numérica de tamanho (fixo)

n+1 ser decrescente é 1/(n+1)!, e como podemos ter duas seqüências come¸cando na origem, temos que

P(Ac_n)_≤ 2

(n+ 1)! ≤

2 n! .

E, portanto, o Teorema (1.2.1) se aplica ao processo de estaciona-mento unidimensional com exclus˜ao de primeiros vizinhos.

2.1.4 Exemplo de Amplia¸c˜ao do Espa¸co de Probabilidade

O processo de estacionamento unidimensional e com intera¸c˜oes de

primeiros vizinhos, talvez seja o ´unico modelo em que podemos

exi-bir graficamente a constru¸c˜ao dos campos aleat´orios (Xi₎

i∈Z e Xh,

(33)

ConsideremosL= 2 e particionemos o eixoZ_{em caixas (Γ}_i₎_i _∈ Z,

de raioL= 2 e centro (2·L+ 1)·i= 5·i . A Figura 2 mostra um

trecho de Z_{particionado nas caixas Γ}₋₂_{, Γ}₋₁_{, Γ}₀_{, Γ}₁ _{e Γ}₂_.

Associemos a cada caixa Γi uma nova c´opia do eixo Z, a qual

chamaremos de Z_i_{. Essas c´opias aparecem na Figura 3, onde est˜ao}

”dobradas” e ”esticadas”, de forma que seus s´ıtios estejam em

cor-respondˆencia com os s´ıtios das caixas Γi de Z.

O significado do espa¸co ampliado(0,1)Z_×Z

,BZ_×Z

(0,1), λ

Z_×Z

(0,1)

´e

asso-ciar a cada c´opia Z_i _{um ”perfil” de uniformes. A Figura 4 mostra}

uma realiza¸c˜ao de ω _∈ (0,1)Z_×Z

. Cada c´opia Z_i _{tem seu perfil}

pintado por uma cor, e esses perfis s˜ao projetados nas caixas de

Z _{formando um perfil multi-colorido. Essa proje¸c˜ao ´e indicada na}

Figura 4 pelo s´ımbolo deespelho.

Se aplicarmos a fun¸cão de constru¸cãofσ a cada perfil, chegamos à

realiza¸c˜oes dos campos aleat´orios independentes que denotamos por

Xi _{na se¸c˜ao (1.3.1), e que aqui chamaremos de}_σi_{. E se aplicarmos}

fσ ao perfil multi-colorido, chegamos a uma realiza¸c˜ao do campo

aleat´orio h´ıbrido que aqui chamaremos deσh_{. A Figura 5 mostra as}

(34)

L ·· ·· ·· ·· ·· Z ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ··

0 5 10

−5

−10 15

−15

Γ−3 Γ−2 Γ−1 Γ0 Γ1 Γ2 Γ3

·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ··

(35)

Z ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ··

Γ−3 Γ−2 Γ−1 Γ0 Γ1 Γ2 Γ3

que seus s´ıtios estejam em correspondˆencia com os s´ıtios das caixas Γi

de

Z

_.

(36)

Z ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ··

Γ−3 Γ−2 Γ−1 Γ0 Γ1 Γ2 Γ3

∈

(0

,

1)

Z_×Z

. Cada c´opia

Z

_i

_{tem seu perfil}

pintado por uma cor.

Os perfis s˜ao projetados nas caixas de

Z

_,

for-mando um perfil multi-colorido.

A proje¸c˜ao ´e indicada pelo s´ımbolo

Z ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ·· ··

Γ−3 Γ−2 Γ−1 Γ0 Γ1 Γ2 Γ3

d

_com

re-gras de exclus˜

ao mais gerais

2.2.1 Descri¸c˜ao dos Processos

Seguindo [2], definimos o processo de estacionamento de forma mais abrangente, usando uma no¸c˜ao mais geral de vizinhan¸ca entre s´ıtios

de Zd_{. Essa no¸c˜ao se traduz a partir do grafo} _G_ν(d) def₌

Zd_,_E_ν(d)

,

onde Eν(d) ´e o conjunto de elos que ligam dois s´ıtios distintos, x e

y, de Zd _{tal que}2 _|_x₋_y_|_sup _≤ _{ν, para} _ν _∈ N∗ def₌ N_{\ {}₀_}_{, onde} _ν

é chamado de raio de intera¸cão. Consideramos também intera¸cões

mais gerais entre s´ıtios de Zd_{, atrav´es da defini¸c˜ao de} _{esquemas de}

estacionamento: dada uma caixa Λν contida em Zd, chamamos de

esquema de estacionamento um subconjunto Sν(d) = Sν ⊂ {0,1}Λν

tal que 0Λν _∈ _S

ν. Em palavras, dado um raio de intera¸c˜ao ν e um

s´ıtio qualquer x, _Gν(d) diz quem s˜ao os vizinhos de x, enquanto o

esquema de estacionamento informa quais vizinhos influenciam na ocupa¸c˜ao desse s´ıtio por uma part´ıcula.

Denotemos por σ_|Λν a restri¸c˜ao deσ `a caixa Λν. Podemos

apre-sentar um algoritmo de constru¸c˜ao de σn que leva em conta regras

de exclus˜ao mais gerais do que a apresentada na se¸c˜ao (3.1), mas sempre de alcance finito.

Defini¸c˜ao 2.2.1 Dado um esquema de estacionamento Sν,

defini-mos o processo de estacionamento na caixa Λn com condi¸c˜ao de

fronteira nula atrav´es do seguinte algoritmo: Para cada ω_∈(0,1)Zd

,

Passo 1 considere σn(ω) = 0Z

d ;

Passo 2 escolha x_∈Λn tal que

ωx= inf{ωz :z ∈Λn e z n˜ao tenha sido escolhido previamente};

(39)

Passo 3 Se θx(σn(ω))|Λν ∈Sν, ent˜ao σn(ω)(x)←1;

Observa¸cão A generaliza¸cão dessa defini¸cão para o caso de subconjuntos arbitrários finitos deZd_{é imediata. Para um subconjunto finito}_F _de_Zd_{, basta}

que definamosσF(ω) da mesma maneira queσn na defini¸c˜ao (2.2.1).

2.2.2 Fun¸cão de Constru¸cão do Campo Aleatório

A constru¸c˜ao do objeto aleat´orio limite foi implementada gra¸cas ao

conceito de blindagem. Em palavras, fixada uma realiza¸c˜ao ω _∈Ω,

esse conceito diz que o estado de um s´ıtio qualquerx_∈Zd_{, no limite}

termodinˆamico, ´e determinado a partir de uma quantidade finita

mas aleat´oria de uniformes. Ou ainda, existe n tal que σ(x) pode

ser determinado sem a informa¸c˜ao contida em Zd_\_Λ_n_{, e portanto}

σ(x) =σn(x).

Blindagem

As três defini¸cões a seguir são necessárias para definirmos o conceito de blindagem.

Defini¸cão 2.2.2 Um caminho de pontos no grafo_Gν(d)é uma seqüência

finita (xi)0≤i≤n, xi ∈Zd; tal que |xi+1−xi|sup ≤ν, 0≤i≤n−1.

Defini¸c˜ao 2.2.3 Um caminho (xi)0≤i≤n ´e dito decrescente (sujeito

a ω∈(0,1)Zd

), toda vez que a seqüência numérica (ωxi)0≤i≤n for

(es-tritamente) decrescente.

Defini¸c˜ao 2.2.4 Para x, y ∈ Zd _e _ω _∈ _(0,₁₎Zd_{, dizemos que} _y

in-fluencia x sujeito a ω, se existir um caminho decrescente (xi)0≤i≤n,

(40)

Defini¸c˜ao 2.2.5 (Blindagem) Dado um subconjunto finito F _⊂Zd_,

definimos a blindagem de F (sujeito a ω ∈ (0,1)Zd

), como o sub-conjunto (aleat´orio)

A(F) =_A(F)(ω) =

y_∈Zd _:_∃ _x _∈ _F _:_y _influencia _x

Desta defini¸c˜ao fica claro que, para F, G _⊂ Zd _e _ω _∈ _(0,₁₎Zd

,

temos que (i)_A(F)(ω) _⊃ F; (ii)3 _F ₌ Un

i=1Fi ⇒ A(F)(ω) =

Sn

i=1A(Fi)(ω); (iii)F ⊂ G ⇒ A(F)(ω) ⊂ A(G)(ω); (iv)e pode ser

provado [2] que para qualquer F ⊂ Zd_, _A_(F_{) ´e (quase certamente)}

finito.

A partir da defini¸c˜ao de blindagem, o algoritmo aleat´orio limite fica precisamente definido por

σ(ω)(x)def= σA({x})(ω)(ω)(x), ∀x∈Zd

Em palavras, essa defini¸c˜ao indica que para encontrarmos σ(ω)(x):

(i) determinamos ablindagem do conjunto {x} atrav´es da defini¸c˜ao

(2.2.5), (ii) em seguida, constru´ımos/implementamos o processo de

estacionamento sobre _A(_{x_}), (iii) e ent˜ao assinalamos o valor do

correspondente limite de satura¸c˜ao σA({x}) ao s´ıtio x. Essas regras

fazem o papel da fun¸c˜ao de constru¸c˜ao fσ para este caso mais geral.

Em [2] os algoritmos finitos (σn)n≥0 do processo de

estaciona-mento s˜ao constru´ıdos no mesmo espa¸co de probabilidade de seu

algoritmo limite, de tal forma que σn → σ quase certamente 4.

Segue da´ı que, dado um esquema de estacionamento Sν, existe uma

´

unica medida de probabilidade µ definida em {0,1}Zd

,BZd

{0,1}

tal que µn ⇒ µ. O elemento aleatório σ é o limite termodinâmico da

seqüência (σn)n≥0, e sua distribui¸cão µ é a correspondente medida

termodinˆamica. A convergˆencia quase certa de σn para o algoritmo

limite σ, se baseia no fato dos conjuntos (aleat´orios)_A(_{x_}) serem

3U

denota uni˜ao disjunta.

(41)

estáveis em rela¸cão à seqüência (σn)n≥1, no sentido que, uma vez

que n seja suficientemente grande tal que A({x})⊂Λn , oslimites

de satura¸cão σm, m≥n são idênticos sobre A({x}).

Vamos definir a seq¨uˆencia de conjuntos (An)n≥0 e mostraremos que

P_(Ac

n) = O(n−d−δ), o que faz com que todas as hip´oteses do Teorema

(1.2.1) fiquem verificadas para os processos de estacionamento.

Neste caso mais geral dos processos de estacionamento, a seq¨uˆencia

de conjuntos (An)n≥0fica definida atrav´es do conceito de blindagem.

Anν def

= _{ω :_A{0_}(ω)_⊂Λnν−ν}.

Consideremos o evento Ac

nν = {A{0} 6⊂ Λnν} ou seja, o evento

no qual existe um caminho (e portanto self-avoiding) decrescente (xj)0≤j≤m, m > n, come¸cando em 0 e terminando fora da caixa

Λnν. Observemos que a probabilidade de um caminho self-avoiding

arbitr´ario (mas fixo) (xj)0≤j≤n ser decrescente ´e 1/(n+ 1)! e que o

n´umero total de caminhos self-avoinding que come¸cam em 0 e que

possuem tamanho n n˜ao ´e maior que (2ν+ 1)d.n_{, e concluimos (por}

subaditividade) que

P_{_Ac_nν_}₌P₍_A{₀_{} 6⊂}_Λ_nν₎_≤ (2ν+ 1)

d·n

(n+ 1)! ≤

(2ν+ 1)d·n

n! .

2.3 Processo de Ocupa¸c˜

ao

O Teorema (1.2.1) também se aplica a modelos onde o espa¸co de spins é cont´ınuo, porém limitado. Nesta se¸cão apresentamos um exemplo desse caso, baseado nos Processos de Estacionamento.

(42)

de mercado. Os agentes s˜ao representados pelos s´ıtios x_∈Zd _e

po-dem ocupar ´areas esf´ericas de raio r(x), uniformemente distribu´ıdo

no intervalo (0, ρ), com 0 < ρ < ∞. Tomemos uma caixa Λn,

que representa o territ´orio ou mercado em competi¸c˜ao. Um s´ıtio x

(agente) é escolhido aleatóriamente dentre os pertencentes à caixa

Λn e se apossa de uma ´area de raio r(x), condicionada a n˜ao se

so-brepor a dom´ınios j´a ocupados. O processo continua at´e que todos

os s´ıtios da caixa Λn ocupem algum espa¸co. A Figura 6 mostra uma

realiza¸c˜ao do processo na caixa Λ1.

Da mesma forma que no caso dos Processos de Estacionamento,

queremos construir o processo em todo oZd_{. Para isso, consideramos}

o espa¸co de probabilidade ((0,1)2₎Zd

,_BZd

(0,1)2, λ

Zd

(0,1)2

que, em

pala-vras, significa associar a cada s´ıtio x ∈Zd _{duas vari´aveis aleat´orias}

unifomes definidas no intervalo (0,1). As componentes de um

ele-mento ω _∈ ((0,1)2₎Zd

são pares ordenados de variáveis aleatórias

unifomes, que denotamos por (ωx

1, ωx2). Denotamos porrn∈(0, ρ)Λn

a configura¸c˜ao final do processo na caixa Λn, e por µn a

correspon-dente distribui¸c˜ao definida em (0, ρ)Λn_,BΛn

(0,ρ)

.

Apresentamos a seguir o algoritmo de constru¸c˜ao do processo na

caixa Λn. Neste caso usamos a norma euclidiana, que denotamos

por d(_·,_·), ao inv´es de usar a norma do sup como fizemos nas se¸c˜oes

anteriores.

Defini¸c˜ao 2.3.1 Definimos o Processo de Ocupa¸c˜ao na caixa Λn

com condi¸c˜ao de fronteira nula atrav´es do seguinte algoritmo: Para cada ω ∈((0,1)2₎Zd

,

Passo 1 r(x) = _{−∞ ∀}x_∈Zd_;

Passo 2 escolha x_∈Λn tal que

ωx

1 = inf{ω1z :z∈Λn e z n˜ao tenha sido escolhido previamente};

Passo 3 r(x) =ωx

(43)

Observa¸c˜oes

1. Esse algoritmo ´e estendido naturalmente para o caso de subconjuntos ar-bitr´arios finitos deZd_.

2. A expressão min{ρ,max{d(x, z)−r(z),0}}pode ser interpretada como a limita¸cão que a área de influência do s´ıtioz impõe à area de ocupa¸cão do s´ıtiox.

3. No caso em queρ >1, a regi˜ao ocupada por um s´ıtio pode englobar s´ıtios ainda n˜ao escolhidos.

O conceito de blindagem ´e definido da mesma forma que no caso

dos Processos de Estacionamento, atrav´es da defini¸c˜ao (2.2.5).5

Va-mos chamar de r _∈ (0, ρ)Zd

o campo aleat´orio limite, ou seja, o

objeto aleat´orio que tem como leiµdef= limn→∞µn. Da mesma forma

que na se¸c˜ao (2.2.2) temos

r(ω)(x)def= rA({x})(ω)(ω)(x), ∀x∈Zd.

O roteiro para mostramos que o Teorema (1.2.1) se aplica ao campo

aleatório r é o mesmo seguido nas se¸cões anteriores, nos casos dos

Processos de Estacionamento:

1. Defini¸cão da seqüência de conjuntos (An)n≥1,

Anρ def

= _{ω :_A{0_}(ω)_⊂Λn·ρ−ρ}.

2. E pelas mesmas justificativas elencadas na se¸c˜ao (2.2.3), temos

P _Ac

n·ρ

=P₍_A{₀_{} 6⊂}_Λ_n_·_ρ₎_≤ (2·ρ+ 1)

d·n

(n+ 1)! ≤

(2·ρ+ 1)d·n

n! . 5_{Observar que na defini¸c˜}_{ao (2.2.2) ´}_{e usada a norma do sup e}_ν₌_ρ_{. ´}_{E a norma do sup que}

(44)

E portanto, pelo Teorema (1.2.1), temos taxas exponenciais de con-vergˆencia para a medida termodinˆamica deste processo.

t=0 t=1 t=2

t=5 t=4 t=3

t=6 t=7 t=8 t=9

Figura 6:

Realiza¸c˜ao do

Processo de Ocupa¸c˜ao

na

(45)

(46)

Cap´ıtulo 3

Rede de Filas com Perdas,

com Intera¸c˜

oes de Longo

Alcance e Cauda Pesada

Neste cap´ıtulo apresentamos um exemplo de aplica¸cão do Teorema (1.2.1) à medida estacionária de um sistema de part´ıculas intera-gentes, que em sua forma mais geral apresenta intera¸cões de longo

alcance. Trata-se de uma rede de filas indexadas por Zd _com

capa-cidade total K, 1_≤K <_∞.

Na primeira se¸c˜ao tratamos do caso K = 1: apresentamos (1) a

constru¸cão gráfica do processo; (2) as condi¸cões para a constru¸cão do objeto aleatório limite, ou seja, do objeto aleatório distribu´ıdo segundo a medida estacionária do processo; (3) mostramos que o Teorema (1.2.1) pode ser aplicado às medidas estacionárias do

pro-cesso. Na segunda se¸c˜ao apenas indicamos o caso K > 1

(47)

3.1 Rede de Filas com Capacidade K=1

A cada s´ıtio de Zd _{associamos uma fila sem sala de espera e com}

capacidade de atender um cliente por vez. Qualitativamente, o

pro-cesso evolui da seguinte forma: um servi¸co termina com taxa µ;

e um cliente ´e aceito numa fila vazia a uma taxa proporcional ao ”peso“ total das filas desocupadas `a sua volta.

Mais precisamente, consideramos um processo de Markov a tempo

cont´ınuo {ηt:t ≥0}, que assume valores em {0,1}

Zd

, ou seja, para

cada x∈Zd_,_η_t_{(x) assume 0 ou 1. O estado 0 indica que n˜ao h´a}

cli-entes na fila associada ao s´ıtio x, e o estado 1 indica que um cliente

est´a sendo atendido. E dada uma distribui¸c˜ao de probabilidade, ν

emZd_{, isto ´e,}P

x∈Zdν(x) = 1, temos ent˜ao um sistema de part´ıculas

interagentes de longo alcance. Chamando dec(x, η) a taxa com que

o estado do s´ıtioxflipa quando o processo assume a configura¸c˜aoη,

ent˜ao esse sistema de part´ıculas evolui de acordo com as seguintes taxas

c(x, η) =







µ seη(x) = 1 λ_·P

y∈Zdν(y−x)[1−η(y)] seη(x) = 0.

(3.1)

Esta dinˆamica pode ser encarada como um processo que modela a entrada e a sa´ıda de usu´arios em uma rede de terminais. A sa´ıda

de um usu´ario ocorre com taxa µ, enquanto a taxa de conex˜ao de

um usu´ario a um terminal depende da configura¸c˜ao global da rede, sendo tanto maior, quanto maior for a quantidade de terminais de-socupados.

3.1.1 Existˆencia do processo

Vamos denotar por ηx _{a configura¸c˜ao} _η _{que apresenta apenas o}

es-tado do s´ıtio x flipado. Consideremos uma fun¸c˜ao g := g(η), e

definimos _||g_|| := P

(48)

Dizemos que a fun¸cão g é Lipschitz cont´ınua se _||g_|| < _∞. Um processo fica bem definido se as taxas de evolu¸cão do processo sa-tisfizerem as seguintes condi¸cões [14]:

• Apresentam invariˆancia translacional: sey _∈Zd_{e se o operador}

de transla¸c˜aoθyatua sobreη, de tal forma queθyη(x) = η(x+y)

para cadax∈Zd_{, ent˜ao a invariˆancia translacional implica que}

c(x+y, θyη) =c(x, η);

• S˜ao Lipschitz cont´ınuas, ou seja, ||c(0, .)||<∞.

As taxas definidas na expressão (3.1) satisfazem de maneira óbvia a primeira condi¸cão. Vamos mostrar que essas taxas também sa-tisfazem a segunda condi¸cão. Comecemos fixando uma configura¸cão

η e analisemos |c(0, ηx₎₋_{c(0, η)}_| _para _x _{= 0 e} _x ₆_{= 0. Para} _x _{= 0}

temos

|c(0, η0)₋c(0, η)_{| ≤ |}µ₋λ X

y:η(y)=0

ν(y)_{| ≤}max_{µ, λ_}.

Agora, tomando o sup sobre todas as configura¸c˜oes η _{∈ {}0,1_}Zd

temos

sup

η |c(0, η

0₎₋_{c(0, η)}_{| ≤}_max_{_{µ, λ}_{} ⇔ ||}_{c(0, η}0₎₋_{c(0, η)}_||

∞≤max{µ, λ}.

Parax₆= 0 temos _|c(0, ηx₎₋_{c(0, η)}_|₌_λ_·_{ν(x) e, consequentemente,}

sup

η |

c(0, ηx)₋c(0, η)_|=_||c(0, ηx)₋c(0, η)_||∞=λ·ν(x).

E, finalmente temos

||c(0, .)|| =P

x||c(0, ηx)−c(0, η)||∞

=_||c(0, η0₎₋_{c(0, η)}_||

∞+P_x₆₌₀||c(0, ηx)−c(0, η)||∞

≤max{λ, µ}+P