Um modelo matemático baseado em wavelets para análise do método térmico de recuperação de óleo pesado aplicando irradiação eletromagnética

(1)

UNIVERSIDADE_FEDERALDO RIO GRANDE DO NORTE

UNIVERSIDADEFEDERAL DORIOGRANDE DO NORTE

CENTRO DETECNOLOGIA

PROGRAMA DEPÓS-GRADUAÇÃO EMCIÊNCIA EENGENHARIA DOPETRÓLEO

UM MODELO MATEMÁTICO BASEADO EM WAVELETS PARA ANÁLISE DO MÉTODO TÉRMICO DE RECUPERAÇÃO DE ÓLEO PESADO APLICANDO

IRRADIAÇÃO ELETROMAGNÉTICA

MOISÉS DANTAS DOS SANTOS

Orientador: Prof. Dr. Adrião Duarte Dória Neto

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Agradecimentos

A Deus, força criadora do universo.

A meu pai, Antonio Luis dos Santos, pela vida, amor, educação, conforto e exemplo de vida. Sou-lhe muito grato por ter-me feito homem.

A minha esposa Tatiana Dantas pela amor, paciência e compreensão ao longo de nossa vida a dois e no curso desse doutorado.

Aos meus irmãos, tios e demais familiares pelo afeto, amizade, apoio, pelas comemo-rações e momentos de lazer que nos fazem relaxar e esquecer os problemas da vida.

Aos meus orientadores Adrião Duarte Dória Neto e Wilson da Mata pelo conheci-mento, pela acolhida, confiança e amizade. Fico feliz em ser vosso discípulo no “ad-mirável mundo novo” da computação e engenharia do petróleo.

Aos professores e funcionários do PPGCEP/ UFRN, que contribuíram direta ou indi-retamente na minha formação e neste trabalho. Ao professor Tarcilio Viana Dutra Junior do PPGCEP/UFRN por sua gentil disponibilidade e apoio. Aos professores Jorge Dantas e Ana Maria DCA/UFRN pela motivação e auxilio.

Aos professores Abel Lins Junior e José Patrocinio, membros da banca examinadora, pelo apoio e contribuições valorosas a este trabalho.

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Resumo

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Abstract

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“Dizem que o desejo de conhecimento nos fez perder o paraíso no passado; verdade ou não, é certo que nos dará o paraíso no futuro.”

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Dedicatória

(10)

Sumário

Sumário i

Lista de fíguras iii

Lista de símbolos e abreviaturas v

Lista de tabelas ix

1 Introdução 1

1.1 Apresentação . . . 1

1.2 Motivação . . . 3

1.3 Objetivos . . . 3

1.4 Metodologia . . . 4

1.5 Organização da tese . . . 4

1.6 Revisão bibliográfica . . . 5

2 Aspectos teóricos 8 2.1 Método térmico de recuperação por aquecimento eletromagnético . . . . 8

2.1.1 Algumas considerações sobre o aquecimento eletromagnético: Tipos de dielétricos . . . 10

2.1.2 Penetração do campo eletromagnético . . . 11

2.2 Desenvolvimento do modelo matemático . . . 12

2.2.1 Formulação do problema . . . 13

2.2.2 Modelo matemático . . . 14

2.2.3 Equações para os campos elétricos . . . 16

2.2.4 Equações de Hallén . . . 19

2.3 Distribuição de potência e temperatura . . . 21

2.4 Critérios para aplicação do método por aquecimento eletromagnético . . . 22

(11)

3.2 Notação e resultados preliminares . . . 25

3.3 Definição de uma wavelet geratriz . . . 26

3.4 Transformada de wavelet contínua . . . 28

3.5 Wavelets ortogonais e a análise de multiresolucão (AMR) . . . 31

3.5.1 Análise de multiresolução (AMR) . . . 33

3.5.2 Introdução as wavelets ortogonais de Daubechies . . . 36

3.5.3 Aproximando funções com wavelets . . . 38

3.5.4 Transformada rápida com wavelets: Algoritmos rápidos de de-composição e reconstrução . . . 40

4 Método dos momentos via wavelet 44 4.1 Descrição do método dos momentos (MoM) . . . 44

4.2 Método dos momentos através das wavelets . . . 46

5 Materiais e métodos 49 5.1 Análise do desempenho do aquecimento eletromagnético através da im-plementação computacional para a antena . . . 49

5.1.1 Parâmetros utilizados na antena . . . 50

5.2 Análise do aquecimento eletromagnético adaptando o simulador STARS da CMG . . . 51

5.2.1 O simulador STARS . . . 51

5.3 Modelo físico . . . 51

5.4 Avaliação econômica . . . 53

5.4.1 Produção líquida acumulada . . . 55

6 Resultados e discussões 57 6.1 Resultados e discussões obtidos para antena . . . 57

6.2 Resultados obtidos com simulador STARS . . . 64

6.2.1 Análise do perfil de temperatura e viscosidade . . . 65

6.2.2 Análise dos fatores de produção . . . 69

6.2.3 Análise técnico-econômica através da produção líquida acumulada 72 7 Conclusões e futuros trabalhos 74 7.1 Conclusões . . . 74

7.2 Futuros Trabalhos . . . 75

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Lista de Figuras

2.1 Ação do campo elétrico (a) campo elétrico nulo: as partículas se encon-tram de forma aleatória (b) campo elétrico aplicado: as partículas tendem

a se alinhar, deslocar de acordo com o campo (Manichand, 2002). . . 9

2.2 Configuração do meio submetido ao aquecimento eletromagnético por ir-radiação (Da Mata, 1993). . . 13

2.3 Antena cilíndrica isolada tipo dipolo, imersa em um meio dielétrico dis-sipativo (Silva, 1997). . . 14

2.4 Dipolo cilíndrico simétrico, Silva (1997). . . 20

3.1 Análise do sinal através da Transformada de Fourier e Transformada Wavelet Contínua. . . 30

3.2 Transformada de wavelet contínua: descontinuidade no sinal . . . 31

3.3 Transformada de wavelet contínua: descontinuidade no sinal . . . 31

3.4 Função escala de Haarφ0,0e Wavelet de Haarψ0,0 . . . 32

3.5 Wavelet de Haarψ1,0eψ1,1. . . 32

3.6 wavelets de DaubechiesdbN. . . 37

3.7 Função da amostraSem[0,8) . . . 39

3.8 Esquema de decomposição . . . 42

3.9 Esquema de decomposição . . . 43

3.10 Esquema de decomposição em todos os níveis . . . 43

4.1 Contribuição de cada um dos níveis em relação ao número de subdivisões Belardi, Cardoso e Sartori (2005). . . 47

5.1 Vista esquemática do aquecimento eletromagnético por irradiação. A an-tena é colocada no fundo do poço, bem na frente da zona de produção (Carrizales, Lake e Johns, 2009). . . 50

5.2 Malha radial com refinamento, visão radial. . . 54

5.3 Malha radial com refinamento . . . 55

(13)

6.2 Distribuição de corrente para um dipolo: MoM wavelet de Haar versus

King, Trembly e Strohbehn (1983). . . 58

6.3 Distribuição de corrente para dois dipolos, MoM wavelet de Haar. . . 58

6.4 Distribuição de corrente para os dois dipolos: MoM wavelet de Haar ver-sus King, Trembly e Strohbehn (1983). . . 59

6.5 Distribuição de corrente utilizando os algoritmos de análise e síntese. . . . 59

6.6 Distribuição de corrente utilizando a transformada de wavelet contínua. . 60

6.7 Quantidade de elementos não nulos (pontos em cor azul), obtidas para uma antena com 64 divisões. . . 60

6.8 Distribuição de correnteI(z)versusdb2 no nívelN =3, gráfico (a). . . . 61

6.9 Distribuição espacial da componente axial do campo elétrico num meio de água salgada e petróleo de alta viscosidade. . . 62

6.10 Distribuição espacial da componente radial do campo elétrico num meio com água salgada e petróleo de alta viscosidade. . . 62

6.11 Distribuição espacial do campo elétrico total num meio de água salgada e petróleo de alta viscosidade. . . 62

6.12 Distribuição espacial da potência dissipada num meio de água salgada e petróleo de alta viscosidade. . . 63

6.13 Distribuição radial da variação da temperatura num meio de água salgada e petróleo de alta viscosidade. . . 63

6.14 Distribuição de potência análise através da wavelet de Daubechiesdb2. . 64

6.15 Distribuição de potência análise através da transformada de wavelet con-tínua . . . 64

6.16 Perfil transversal de temperatura após trinta dias. . . 65

6.17 Perfil longitudinal de temperatura após trinta dias. . . 66

6.18 Perfil transversal de viscosidade após trinta dias. . . 66

6.19 Perfil longitudinal de viscosidade após trinta dias. . . 67

6.20 Perfil transversal de temperatura após um ano. . . 67

6.21 Perfil transversal de viscosidade após um ano. . . 68

6.22 Perfil de temperatura após dez anos. . . 68

6.23 Perfil de viscosidade após dez anos. . . 69

6.24 Produção diária de óleo após dez anos. . . 70

6.25 Produção acumulada de óleo após dez anos. . . 70

6.26 Fração recuperada de óleo. . . 71

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Lista de símbolos e abreviaturas

A- área de seção transversal aberta ao fluxo(cm2)

~_A_{- vetor potencial magnético}₍_V_._m−1_._rad_._s−1₎_{, valor de pico.}

~_A_z_{- valor de pico da componente axial do vetor potencial magnético}₍_V_._m−1_._rad_._s−1₎_.

a- raio externo do condutor central da antena (Região 1)(m).

~_B_{- fasor complexo associado à indução magnética (Telsa). Valor de pico.}

b- raio externo do primeiro dielétrico isolante ao redor da antena (Região 2)(m). c- raio externo do segundo dielétrico isolante ao redor da antena (Região 3)(m). Ca- calor específico da água à pressão constante(Jkg−1.◦C).

ceq- calor específico equivalente do sistema óleo/água/rocha a pressão constante(Jkg−1C−1). cw- calor específico da água a pressão constante(J.kg−1.◦C).

co- calor específico do óleo a pressão constante(J.kg−1.◦C) cf - compressibilidade efetiva de formação(Pa−1).

d- densidade do óleo (adimensional).

~

D- fasor complexo associado à indução elétrica(C.m−2). ~

E - fasor complexo associado ao vetor campo elétrico(V.m−1); valor de pico.

Ei- valor de pico do campo elétrico impresso ou incidente na superfície da antena(V.m−1). ~

E∗-conjugado do fasor complexo associado ao vetor campo elétrico(V.m−1).

E4r- distribuição radial do campo elétrico(V.m−1).

E4z - valor de pico da componente axial do fasor complexo associado ao campo elétrico na Região 4(V.m−1).

E4z- valor de pico da componente radial do fasor complexo associado ao campo elétrico na Região 4(V.m−1).

E_zi - valor de pico da componente axial do campo elétrico incidente na superfície lateral da antena(V.m−1).

E_zs - valor de pico da componente axial do campo elétrico espalhado na superfície lateral da antena(V.m−1).

E_rs - valor de pico da componente axial do campo elétrico espalhado nas faces terminais da antena(V.m−1).

~

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f - frequência(Hz)

h- comprimento de cada elemento do dipolo simétrico(m).

~

H - fasor complexo associado ao campo magnético(V.m−1).Valor de pico. I- corrente elétrica do dipolo simétrico(A).

Iz - distribuição de corrente axial desconhecida induzida pelo campo elétrico impresso ou incidente(A).

j- número imaginário puro.

~

J- fasor complexo associado ao vetor densidade de corrente(A.m−2).Valor de pico. ~_J_c _{- fasor complexo associado ao vetor densidade de corrente condução}₍_A_._m−2₎_. _Valor

de pico.

~

Jd- fasor complexo associado ao vetor densidade de corrente de deslocamento no dielétrico (A.m−2).Valor de pico.

~Jr - fasor complexo associado ao vetor densidade de corrente de relaxação no dielétrico (A.m−2).Valor de pico.

~

Jc f - fasor complexo associado ao vetor densidade de fonte(A.m−2).Valor de pico. L- comprimento do meio poroso(m).

M- massa do sistema(Kg).

P- montante de óleo produzido em um determinado instante(bbl)ou(m3). Po- pressão original do reservatório.

k- número de onda(rad.m−1).

K- permeabilidade total ao fluxo de um fluido (darcy). Kw - permeabilidade total ao fluxo da fase água (darcy). Ko- permeatório (Pa).

q- vazão de fluxo(cm3/s).

r- comprimento radial horizontal do sistema de coordenadas cilíndricas(m).

r′- comprimento radial horizontal do sistema de coordenadas cilíndricas entre os eixosz ez′(m).

~_R_{- vetor posição com origem em um ponto de fonte e término em um ponto de campo} (m).

T - temperatura de equilíbrio da três fases petróleo-água-rocha(◦C). Ti- temperatura inicial da jazida.

△t - tempo de aquecimento.

△T - variação de temperatura(◦C). V - volume do meio a aquecer(m3).

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Y0- admitância de entrada do dipolo simétrico(ohm−1).

Wp- termo de perdas de energia(W.m−3).

Z - Impedância por unidade de comprimento do condutor devido ao efeito pelicular (ohm.m−1).

Y - Impedância de entrada do dipolo simétrico(ohm).

z- componente axial segundo a direção vertical em coordenadas cilíndricas(m). z′- eixo tangente a superfície do condutor central da antena paralelo àz(m).

LETRAS GREGAS

α- coeficiente de atenuação do meio dissipativo(Np.m−1).

β- constante de fases(rad.m−1).

δ- ângulo de perdas(rad).

ε- permissividade complexa efetiva do meio(F.m−1).

ε′- permissividade elétrica do meio(F.m−1).

ε′′- constante de relaxação dipolar do meio(F.m−1). ¯

ε- permissividade complexa do meio(F.m−1).

ε0- constante dielétrica do vácuo(1/(36π109).F.m−1).

ε′

r- permissividade relativa do meio(F.m−1).

ε2- permissividade do meio dielétrico isolante (Região 2)(F.m−1).

ε3- permissividade do meio dielétrico isolante (Região 3)(F.m−1).

ε4- permissividade do meio dielétrico dissipativo (Região 4)(F.m−1).

¯

ε4- permissividade complexa do meio dissipativo (Região 4)(F.m−1).

η- impedância intrínseca do meio(ohm).

Φ- potencial escalar elétrico(V).

λc- condutibilidade térmica do meio(W.m−1.0C−1).

λi- comprimento de onda incidente em um meio dielétrico(m).

λ- comprimento de onda no meio dielétrico devido a antena(m). µ- permeabilidade magnética do meio(kg.m.s−2.A−2).

µ0- permeabilidade magnética do vácuo(4π10−7H.m−1).

µr - permeabilidade magnética do meio.

ρ- densidade volumétrica de carga elétrica(C.m−3).

ρa- massa volumétrica da água(kg.m−3).

ρeq- massa volumétrica do sistema petróleo-água-rocha(kg.m−3).

ρm- massa volumétrica(kg.m−3).

(17)

σ- condutividade elétrica efetiva do meio(ohm.m)−1. ¯

σ- condutividade elétrica (iônica) do meio(ohm.m)−1. ¯

σ4- condutividade elétrica (Região 4)(ohm.m)−1.

θ- ângulo entre o eixoz′e o vetor posiçãoR(rad).

~ν- vetor velocidade superficial(m.s−1).

(18)

Lista de Tabelas

2.1 Características dielétricas a 3GHz e25◦C . . . 10 2.2 Características dielétricas a 3GHz . . . 10

6.1 Resultados de f r,Npe(Ep)para todos os casos estudados. . . 71 6.2 Cenários considerados na análise de produção liquida acumulada em dez

(19)

Capítulo 1

Introdução

1.1 Apresentação

(20)

Capítulo 1. Introdução

por aquecimento dielétrico ou de altas frequências (SILVA, 1997).

Neste trabalho, a aplicação do método térmico de recuperação através do Aqueci-mento Eletromagnético por Irradiação (AEI) é feito a partir de um irradiador ou antena cilíndrica do tipo dipolo. A antena é inserida em reservatórios constituídos por óleos pe-sados, caracterizados como meios dissipativos. Por se tratar de um fenômeno eletromag-nético, o modelo matemático foi desenvolvido a partir das equações de Maxwell. Desta forma, partindo-se das equações de Maxwell obtém-se a distribuição de corrente através da equação integral de Hallén Balanis (2004), cuja solução numérica é obtida através método dos momentos (MoM) Harrington (1968). Para aperfeiçoar a transferência da en-ergia eletromagnética no meio dissipativo, também foi calculado numericamente a partir da distribuição de corrente, o campo elétrico a potência dissipada no meio e a distribuição de temperatura.

Originalmente a aplicação do MoM é feita a partir de funções de base clássicas como por exemplo, funções de pulsos Harrington (1968). Em muitos casos, a aplicação do modelo convencional do MoM aumenta o esforço computacional e não permite a apli-cação de técnicas computacionais capazes de revelar aspectos importantes do modelo em análise. Uma importante contribuição deste trabalho, foi a implementação do MoM uti-lizando Wavelets de Haar como funções base. Como resultado desta aplicação foi obtido uma redução no tempo de execução do programa devido à obtenção de matrizes esparsas geradas a partir da aplicação das transformadas wavelets (BELARDI, CARDOSO, and SARTORI 2005; LASHAB, ZEBIRI and BENABDELAZIZ 2008).

Neste trabalho a técnica do MoM foi desenvolvida considerando como funções de base as wavelets ortogonais do tipo Haar para determinar a distribuição de corrente ao longo da antena. Entretanto, é possível utilizar outros tipos de wavelets como funções de base. Testes preliminares indicam que o uso da wavelet de Daubechies poderá reduzir ainda mais o esforço computacional devido esta possuir N momentos nulos (Daubechies, 1998). Para revelar aspectos da modelagem em diferentes níveis de resolução, foi uti-lizada a transformada de wavelet contínua em conjunto com os algoritmos de análise e decomposição (MALLAT, 1989).

(21)

1.2 Motivação

Como atualmente as reservas de petróleo estão ficando cada vez mais escassas, as empresas de petróleo estão tendo um perfil mais agressivo na hora de decidir desenvolver um campo com características menos atrativas. A qualidade do óleo é um bom exemplo desta mudança de critério de decisão. O óleo pesado tem um menor preço de mercado e exige tecnologias mais avançadas para produção (mais caras) se comparado com o óleo leve. Mas mesmo assim o óleo pesado vem aumentando a sua participação nas reservas mundiais (TREVISAN, 1990).

A implementação de novas tecnologias deverá otimizar a produção dos reservatórios e trazer um aumento do fator de recuperação dos óleos pesados viabilizando a sua produção de maneira economicamente viável.

Inspirado por esta nova demanda e atratividade na produção de óleos pesados pretende-se a partir deste trabalho possibilitar uma nova ferramenta técnico-econômica que con-tribuia e auxilie significativamente com o aumento no fator de produção nos reservatórios de petróleo.

1.3 Objetivos

O principal objetivo desta tese é desenvolver um modelo para investigar o uso de uma antena linear do tipo cilíndrica adaptada para o aquecimento de um meio dissipa-tivo, contendo petróleo de alta viscosidade. Nesse trabalho são utilizadas as wavelets para revelar aspectos da modelagem em diferentes níveis de resolução, os quais não são obtidos através de métodos usuais de processamento de sinais. Além disso, utiliza-se o simulador STARS da empresa de software CMG para analisar, através de simulações termofluidodinânmicas em escala de campo, o desempenho energético e econômico do aquecimento eletromagnético por meio de um irradiador eletromagnético inserido num poço de petróleo. Através destas simulações será possível obter o comportamento real desse método térmico de recuperação e uma estimativa de produção de petróleo.

(22)

1.4 Metodologia

Neste trabalho, será formulada a técnica numérica do Método dos Momentos con-siderando como funções de base ou de expansão as wavelets ao invés da tradicional função pulso, com este propósito determinamos a distribuição de corrente da antena cilíndrica estudada, visando uma melhor precisão dos resultados obtidos. Além disso, faremos a modelagem do campo eletromagnético, da distribuição de potência e de temperatura uti-lizando as wavelets contínuas e os algoritmos de análise e decomposição desenvolvidos por Mallat (1989), proporcionando uma análise sistemática do comportamento dessas grandezas no reservatório em diferentes níveis de resolução.

A metodologia aplicada no desenvolvimento deste trabalho é dividida em etapas, des-critas a seguir:

• Estado da arte, Revisão bibliográfica sobre Engenharia de Reservatórios, Trans-formada wavelet, TransTrans-formada de Fourier, Análise Funcional, Teoria Eletromag-nética, Simulação Computacional.

• Formulação teórica com todo rigor matemático em todas as etapas apresentadas no decorrer desse trabalho, bem como no desenvolvimento dos algoritmos computa-cionais a serem implementados.

• Após a etapa de desenvolvimento teórico e implementação computacional, será pro-cedida à fase de validação onde testes com base em dados experimentais possam ser feitos para analisar o desempenho do trabalho. O simulador utilizado e adaptado será o software STARS da CMG, empresa de software especializada em simulação da Indústria Petrolífera, utilizados em várias empresas do setor. A partir de algumas adaptações feitas, o simulador permitirá representar a estrutura e o comportamento de produção do reservatório de petróleo na presença do dipolo modelado.

• Durante as etapas de desenvolvimento, validação e testes, os resultados obtidos foram publicados em congressos e revistas especializadas da área, em âmbito na-cional e internana-cional.

1.5 Organização da tese

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No Capítulo 3 desenvolve-se um estudo sobre a teoria das wavelets ortogonais e sua principal propriedade a análise de multiresolução.

No Capítulo 4 é desenvolvido o modelo numérico do método dos momentos utilizando como funções de base as wavelets.

No Capítulo 5 são apresentados os materiais e métodos utilizados para a avaliação do desempenho técnico e econômico do processo de aquecimento elétrico por irradiação.

No Capítulo 6 são mostrados e discutidos os resultados referentes ao AEI, utilizando para esta análise, os programas desenvolvidos e o simulador comercial STARS da CMG. Finalmente, no Capítulo 7 são apresentadas as conclusões sobre a avaliação do de-sempenho energético e econômico do processo AEI e propostas de futuros estudos rela-cionados à área.

1.6 Revisão bibliográfica

Os estudos relacionados ao método térmico de recuperação de petróleo por aque-cimento eletromagnético podem ser divididos em dois grupos, o primeiro tratando de aquecimento eletromagnético a baixa frequência (60Hz) e, o segundo, utilizando fre-quências elevadas (acima de 100Hz). É importante notar que apesar do desenvolvimento do método seja recente, a idéia de se utilizar energia elétrica para se levar calor até o reser-vatório é bastante antiga. Faremos consecutivamente, uma breve discussão dos principais trabalhos realizados referentes aos dois grupos de estudos:

Na década de 50 Ljungstrom (1951) apresentou um trabalho no qual utilizou o eletro-magnetismo como método térmico de recuperação de hidrocarbonetos. Os estudos davam ênfase a recuperação em folhelhos betuminosos e arenitos portadores de óleos muito pe-sados (tar sands).

No trabalho realizado por Sarapuru (1957) foi proposto a utilização de alta densidade de corrente elétrica para carbonizar os hidrocarbonetos, para assim aumentar a extração via poços, objetivando desta forma, quebrar as moléculas de óleo pesado, consequente-mente, promover a redução da viscosidade e aumentar a mobilidade do petróleo e sua recuperação. Em Julho de 1969, foi publicado pelaPetroleum Engineer, um artigo que anunciava a aplicação do método com sucesso a 4 poços do Camoi de Little Tom, sul do Texas. Estes poços que produziam uma média de 1 barril por dia, passaram a uma média de 20 barris diários. Para aumentar a eficiência do método foi realizado, em cada poço, um fraturamento hidráulico com um fluido de alta condutividade, formado por alga salgada e partículas metálicas (PIZARRO, 1989).

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realizado por El-Feky (1977). Nela, o autor desenvolve um modelo numérico bidimen-sional, de malha retangular, que procura quantificar os efeitos do método no reservatório. Também foi desenvolvido neste trabalho um modelo em laboratório, que forneceu uma série de dados experimentais que serviram para posterior comparação com os resultados do modelo numérico.

No trabalho realizado por Harvey e Arnold (1980) foi desenvolvido um modelo ma-temático para representar a distribuição do aquecimento resistivo que utiliza corrente al-ternada para aquecer um reservatório. Conclui-se que 95% da energia dissipada, em um sistema com aquecimento elétrico, estão em até 10 pés de distância dos eletrodos.

A PETROBRAS, em 1987, iniciou a implantação de um teste piloto utilizando aque-cimento elétrico no Campo de Estreito na área do Rio Panon, Bacia Potiguar, localizado a 180 km de Natal. Nesta época não se cogitava a possibilidade de aplicação de qualquer método térmico nesta área para melhorar a sua recuperação, até porque existiam dúvidas sobre a viabilidade de sua implantação.

Pizzarro e Trevisan (1990) apresentaram alguns dados deste teste de campo no Rio Panon. Eles ajustaram um modelo de simulação utilizando características deste campo para extrapolar o período do teste e compararam os resultados obtidos em campo com resultados de simulação. Também foi observado por Cursino e Da Mata (1997) com os mesmo dados, em campo, que o dano a formação (fator Skin, S =0,6) foi removido

com a utilização o aquecimento elétrico. O teste mostrou que os poços que utilizaram o aquecimento elétrico, apresentaram resposta rápida e clara no aumento de produção de fluidos.

Inserido neste mesmo projeto, destaca-se também o trabalho feito por Manichand (2002), através de simulações do desempenho do aquecimento eletromagnético na re-cuperação de reservatórios de petróleo associado a injeção de água. Foram considerados dois casos de estudo: o primeiro projeto no campo em Fazenda Belém no estado de Ceará, que contém óleo de viscosidade extremamente elevado(5000cp), e o projeto piloto no campo de Canto de Amaro no estado do Rio Grande do Norte, que contém óleo de vis-cosidade moderada(30cp). Neste trabalho mostrou-se a viabilidade técnico-econômica deste método térmico de recuperação.

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um modelo em laboratório, que forneceu uma série de dados experimentais que serviram para posterior comparação com os resultados do modelo numérico.

Sob o ponto de vista de estudo e simulações utilizando o aquecimento eletromag-nético, destacam-se os trabalhos de Da Mata (1993abc, 1998be, 2000, 2001abc). Tam-bém destaca-se o estudo realizado por Silva (1997), dando continuidade ao trabalho feito por Da Mata (1993). Nesta dissertação foi desenvolvido um simulador para analisar os efeitos de uma antena ou irradiador utilizado na recuperação de petróleos viscosos via aquecimento eletromagnético.

(26)

Capítulo 2

Aspectos teóricos

O principal objetivo deste capítulo é desenvolver um estudo sobre o método térmico de recuperação por aquecimento eletromagnético em meios porosos contendo petróleo viscoso, considerando os aspectos térmicos, eletromagnéticos e hidrodinâmicos.

2.1 Método térmico de recuperação por aquecimento

eletro-magnético

O aquecimento eletromagnético baseia-se na transformação da energia elétrica em térmica, através da interação direta entre o campo eletromagnético e as partículas eletri-camente sensíveis do meio (ions ou moléculas dipolares dos fluidos). Este aquecimento é obtido a partir de dois tipos distintos de interação onda-matéria (SILVA, 1997):

• Aquecimento condutivo

Baseado no efeito Joule, que é originado a partir das colisões entre as partículas do meio e os ions em movimento presentes na densidade de corrente elétrica de condução;

• Aquecimento dielétrico

Resultante da degradação da energia transportada pela onda eletromagnética em tér-mica, que é originado a partir da fricção intermolecular, isto é, da dessincronização dos momentos dipolares e das forças de ligação nas moléculas dipolares do meio em relação a relação do campo de excitação.

(27)

Capítulo 2. Aspectos teóricos

pode ser resumido da seguinte forma Manichand (2002): quando um material dielétrico de moléculas polares é submetido a um campo elétrico, no qual a frequência é gradati-vamente aumentada, suas moléculas são orientadas constantemente na direção do campo elétrico, veja o esquema apresentado na Figura 2.1.

Figura 2.1: Ação do campo elétrico (a) campo elétrico nulo: as partículas se encontram de forma aleatória (b) campo elétrico aplicado: as partículas tendem a se alinhar, deslocar de acordo com o campo (Manichand, 2002).

(28)

2.1.1 Algumas considerações sobre o aquecimento eletromagnético:

Tipos de dielétricos

A eficiência na conversão de energia eletromagnética em térmica está diretamente relacionada com uma boa caracterização dielétrica e condutiva do meio e com a frequên-cia empregada. Em meios condutores, em baixas frequênfrequên-cias(σ¯ >>ωε′′₎_{, o processo de} condução iônica é o principal mecanismo de conversão de energia. Em meios dieletricos, em altas frequências(σ¯ <<ωε′′), a transformação de energia deve-se principalmente à rotação das moléculas dipolares do meio.

Os meios dielétricos são caracterizados através dos valores catalogados das constantes dielétricas relativas ε′_r e das tangentes de perdas tan(δp) em função da frequência e da temperatura. Os dielétricos podem ser classificados a partir destes parâmetros da seguinte forma (SILVA, 1997):

• Dielétricos a baixas perdas: São meios dielétricos que possuem moléculas de momentos dipolares extremamente baixos e, portanto, não são muito susceptíveis ao aquecimento dielétrico.

Material ε′_r tan(δp) polyetileno 2,26 0,0003 polypropileno 2,0 0,0002 polytetrafluoretileno 2,1 0,00015

Tabela 2.1: Características dielétricas a 3GHz e25◦C .

• Dielétricos a fortes perdas: A partir de um certo limite do ângulo de perdas

(tan(δp)≈0,01) e para constantes dielétricas relativas entre (1>ε′r >10), um dielétrico é susceptível a se aquecer rapidamente sob à ação de altas frequências.

• Dielétricos aquosos:Por apresentarem uma configuração molecular com momento dipolar bastante intenso, são meios ideais para ser aquecidos em altas frequências.

Água ε′

r tan(δp) líquida a 1,5◦C 80 0,31

líquida a 95◦_C ₅₂ _0,047

gelo 3,2 0,0009

(29)

Quando se trata de escoamentos em meios porosos, a geometria dos canais de fluxo é extremamente complexa, de maneira que a equação de Navier-Stokes é impraticável. A equação de grande utilização prática em meios porosos foi formulada por Henry Darcy, em 1856, e que tem a seguinte forma (MANICHAND, 2002):

~u=₋K

µ(~∇P+ρg~∇Z) (2.1)

Para as duas fases consideradas água e óleo temos as seguintes equações:

V0=−K0

µ0

∂P

∂r (2.2)

Vw=− Kw µw

∂P

∂r (2.3)

Da equação (2.1) observa-se que a velocidade de deslocamento de um fluido~ué direta-mente proporcional ao gradiente de pressão~∇P e o gradiente de altura~∇Z (no caso de fluxo inclinado), e inversamente proporcional a viscosidade do fluido,µ. E é justamente nesta última variável, viscosidade, que o aquecimento eletromagnético atua. Reduzindo a viscosidade do óleo, aumenta-se a velocidade de deslocamento e consequentemente a produção do poço.

2.1.2 Penetração do campo eletromagnético

Quando uma onda eletromagnética que se propaga em um meio atinge um dielétrico, parte da onda é refletida e outra parte é transmitida. A energia da onda transmitida é progressivamente atenuada, transformando-se em energia térmica no meio dielétrico.

A profundidade de penetração de uma onda eletromagnética plana em um meio dissi-pativo, é definida por convenção Da (Mata, 1993),

p= 1

2α (2.4)

onde, α é o coeficiente de atenuação do meio e depende das propriedades do material

(µr,ε

′

r,tan(δp))e do comprimento de onda incidenteλi, o qual determina a profundidade de penetração da onda no meio, podendo ser calculada a partir da seguinte equação:

α= 2π

λi

s

µrε′r(−1+

p

1+tan(δp)

(30)

Para o caso de um meio não-magnético,µr=1, a profundidade de penetração da ondap, noS.I., é dada por

p= λi 4π

s

2

ε′_r(₋1+p1+tan(δp)

. (2.6)

Por outro lado, note que para(tan(δp)>>1), temos

p= λi 4π

s

2

ε′_rtan(δp)

, (2.7)

de onde podemos observar que a profundidade de penetração da onda no meio é inver-samente proporcional à frequência, à raiz quadrada da tangente de perdas e da constante dielétrica do meio. Assim, os meios com elevadas tan(δp) e com grandes aptidões para aquecimento eletromagnético tem uma pequena profundidade de penetração. Portanto, nesses casos o único parâmetro a ser modificado no processo é a frequência de operação. Para o caso do aquecimento emHF, a profundidade de penetração da onda é superior à um metro, podendo atingir várias dezenas de metro. No aquecimento em microondas (MO), a profundidade de penetração é muito menor que no HF. Consequentemente, o aquecimentoHF é utilizado quando o material a aquecer apresenta grande espessura, enquanto o aquecimento(MO)é mais localizado.

A eficiência na conversão de energia eletromagnética em térmica está diretamente relacionada com uma boa caracterização dielétrica e condutiva do meio e com a frequên-cia empregada. Em meios condutores, em baixas frequênfrequên-cias(σ¯ >>ωε′′), o processo de condução iônica é o principal mecanismo de conversão de energia. Em meios dielétricos, em altas frequências(σ¯ <<ωε′′), a transformação de energia deve-se principalmente à rotação das moléculas dipolares do meio. Os meios dielétricos são caracterizados através dos valores catalogados das constantes dielétricas relativasε′_r e das tangentes de perdas tan(δp)em função da frequência e da temperatura (SILVA, 1997).

2.2 Desenvolvimento do modelo matemático

(31)

2.2.1 Formulação do problema

Para verificar a precisão do método, o sistema físico analisado foi uma jazida cilíndrica contendo hidrocarbonetos pesados e água. Neste caso, a produção resultante do sistema é obtida considerando-se um poço vertical localizado no centro da estrutura, sobre a qual, a fonte de radiação eletromagnética é implantada.

O esquema proposto é mostrado na Figura 2.2. O problema consiste na recuperação de reservatórios de petróleos viscosos por aquecimento eletromagnético e, neste trabalho, é abordado a partir do estudo do modelo da antena cilíndrica isolada inserida em um meio dissipativo. A geometria da antena adapta-se perfeitamente aos requisitos que uma fonte de radiação eletromagnética deve ter para ser introduzido em um poço de um reservatório de petróleo (DA MATA, 1989).

Figura 2.2: Configuração do meio submetido ao aquecimento eletromagnético por irradi-ação (Da Mata, 1993).

A geometria da antena utilizada nessa aplicação é mostrada na Figura 2.3 e consiste de dois condutores centrais (Região 1), de comprimento(h1)e(h2)e raioa1, envolvido por

um cilindro de dielétrico constituído de uma ou duas camadas (Região 2 e 3), com raios externosa2 ea3, respectivamente. A região externa ao cilindro dielétrico é formada por

(32)

Figura 2.3: Antena cilíndrica isolada tipo dipolo, imersa em um meio dielétrico dissipa-tivo (Silva, 1997).

2.2.2 Modelo matemático

As teorias da eletricidade e do magnetismo são frutos de descobertas muito antigas, mas que receberam tratamento científico adequado somente no século XIX. Inicialmente os fenômenos magnéticos recebiam maior atenção, principalmente, pelo interesse prático na aplicação em navegação, ao passo que os fenômenos elétricos eram reproduzidos em demonstrações destinadas, frequentemente, a informar ao público das curiosidades sobre os efeitos da eletricidade estática. As pesquisas mais sistemáticas sobre a eletrostática foram executadas por Michael Faraday, entretanto a grande contribuição no eletromag-netismo foi a descoberta feita por Hans Christian Oersted e André Marie Ampère sobre as ações entre ímãs e corrente elétricas e interações entre condutores portadores de correntes elétricas. Sobre esse notável conjunto de fenômenos e leis, o matemático escocês James Clerk Maxwell construiu uma teoria física, atualmente designada como teoria eletromag-nética, que unifica todas as leis dos fenômenos elétricos e magnéticos num único e co-erente formalismo matemático. O conteúdo matemático dessa teoria é formado pelas chamadas equações de Maxwell, que na sua forma diferencial descrevem, localmente, as leis físicas da eletricidade e do magnetismo (BATISTA, 2003).

(33)

∇_×~E=₋jω~B (2.8)

∇_×~H=₋jω~D+J~ (2.9)

∇_·~D=ρ (2.10)

∇_·~B=0 (2.11)

Entre as intensidades e as densidades de campo elétrico e campo magnético existem ainda as seguintes relações, válidas para materiais isotrópicos lineares:

~B=µ_·~H (2.12)

~

D=ε¯_·~E (2.13)

~

J=σ¯~E+~Jf (2.14)

onde, a permissividade complexa do meio ¯εé dado por:

¯

ε=ε′₋jε′′

Observe que quando o meio apresenta cargas elétricas livres, estas podem se deslocar sob a ação do campo elétrico dando lugar a uma corrente de condução proporcional à condutividade elétrica iônica do meio ¯σ. No que segue, consideraremos que a densidade totalJ~é devida às correntes de condução~Jc, em fase com o campo elétrico, e às de fonte

~

Jf, ou seja

~

J=~Jc+~Jf =σ¯~E+~Jf

de onde temos a seguinte expressão para o campo magnético:

∇_×~H= (σ¯+ωε′′)E~ +jωε′~E+J~f. (2.15)

Podemos observar na equação (2.15) a presença de três tipos de corrente: de con-dução e de rotação, em fase com o campo elétrico, responsáveis pelo aquecimento do meio, de deslocamento, defasada de 90◦ _{em relação ao campo elétrico, responsável pela} propagação da onda eletromagnética no meio.

• A corrente de condução

~

Jc=σ¯~E

(34)

aqueci-Capítulo 2. Aspectos teóricos

mento condutivo baseado no efeito Joule. Esse efeito relaciona-se diretamente com as partículas do meio em desequilíbrio elétrico. Neste caso, o meio poroso a aque-cer deve apresentar boa condutividade elétrica que satisfaça às condições mínimas de aplicação do método, onde o fluxo de corrente seja mantido pela aplicação de níveis de tensão aceitáveis durante o processo (DA MATA, 1993) .

• A corrente de rotação

~_J_r ₌_ωε′′~_E

é resultado da interação entre o campo eletromagnético de excitação e as moléculas dipolares sensíveis às variações harmônicas do campo. Estas moléculas orientam-se conforme as linhas do campo elétrico, e a cada variação de polaridade deste campo ocorre a agitação molecular e consequentemente a conversão de energia eletromagnética em térmica por fricção intermolecular.

• A corrente de deslocamento

~

Jd= jωε

′_~

E

é responsável pela propagação da onda eletromagnética no meio dissipativo, sendo importante na penetração do campo elétrico e, portanto, do campo térmico direta-mente relacionado ao campo elétrico.

As equações de Maxwell são raramente solucionadas na forma em que estão colo-cadas, pois implicaria encontrar uma solução (analítica ou numérica) que satisfaça todas as quatro equações simultaneamente, o que torna o processo de solução em geral mais difícil, sobretudo quando se procura uma solução numérica aproximada. Desta forma, costuma-se solucionar uma equação equivalente, a qual decorre das quatro equações citadas. Para tanto, introduz-se uma grandeza vetorial auxiliar chamada de Vetor Poten-cial, o qual em princípio não possui um significado físico, servindo apenas para facilitar a solução numérica.

2.2.3 Equações para os campos elétricos

(35)

longo do eixo z, o que é perfeitamente viável na prática, considera-se a densidade de corrente~_{J, apenas como um filamento de corrente ao longo do eixo}_z_{(BALANIS, 2004):}

~

J=~azIz.

O vetor potencial magnético~_A_{será dependente apenas de}_z_{e é definido de tal forma que}

a indução~_B_{seja obtida por meio do seu rotacional:}

∇_×~Az=~B (2.16)

Por outro lado, pode-se mostrar que a relação abaixo vale para qualquer função vetorial:

∇_·(∇_×A~z) =0 (2.17)

Assim, a definição do vetor potencial dada acima satisfaz a equação (2.11), conforme se pode verificar:

∇_·~B=∇_·(∇_×A~z) =0 (2.18)

Substituindo a equação (2.12) na equação (2.16), obtém-se:

∇_×A~z=~B=µ·~H (2.19)

o que implica,

~

H=1

µ∇×A~z. (2.20)

Agora, introduzindo (2.12) e (2.20) em (2.8), resulta a seguinte expressão:

∇_×(~E+jωA~z) =0 (2.21)

Desde que a expressão entre parêntesis em (2.21) seja um campo elétrico de rotacional nulo, este será um campo conservativo e comporta-se como um campo elétrico estático. Assim, da identidade vetorial

∇_×∇Φ_≡0, (2.22)

definimos o vetor potencial escalar elétrico como sendo

~

(36)

Agora, impondo a condição de Lorentz:

∇_·A~z=−jωµεΦ, (2.24)

podemos especificar o campo

~

E =₋jωA~z+ 1

jωµε∇(∇·A~z). (2.25)

O campo elétrico total~_E _{é obtido em termos das componentes axial}_E~_z _{e radial}_E~_r _{e será}

dado por:

~

E =~Ez+Er~ =₋jωAz~ + 1

jωµε∇(∇·Az~ ) (2.26)

o que implica,

~

E=E~z+E~r=−jωA~z+ 1 jωµε[(

∂~r

∂r+

∂~z

∂z)](∇·A~z) (2.27) de onde segue,

~

E=E~z+E~r= (−jωAz+ 1 jωµε

∂2Az

∂z2 )~z+ 1 jωε

∂2Az

∂r∂z~r. (2.28)

Portanto, o campo radial e axial na forma escalar são dados pelas seguintes equações:

Er = 1 jωε

∂2Az

∂r∂z, (2.29)

Ez=

−jω+ 1 jωµε

∂2 ∂z2

Az (2.30)

onde, jé um número imaginário puro, representa a frequência angular emrad.s−1,εé a permissividade complexa efetiva do meio dada emF.m−1eµrepresenta a permeabilidade magnética do meio emKg.m.s−1.A−2.

Por outro lado, substituindo (2.20) e (2.13) em (2.9) obtemos

∇_×~H=∇_×∇_×Az~ = jωµε~E+µ~Iz (2.31)

Observe que usando a seguinte identidade vetorial

(37)

segue por (2.24) e (2.31),

∇2A~z+ω2µεA~z−∇(jωµΦ+∇·A~z) =−µ~Iz (2.33) Portanto, através da condição de Lorentz, obtemos por (2.33)

∇2A~z+k2A~z=−µ~Iz; k=ω√µε (2.34) que é uma equação diferencial parcial de segunda ordem, conhecida na literatura como equação da onda vetorial.

Para o caso unidimensional, segundo Collin (1985), o vetor potencial magnético Az pode ser obtido em função da distribuição de correnteIz

Az= ❩ ₋h

h

I(z′)e jkR

4πRdz

′

(2.35)

onde,~_R₌_~_r₋~_r′

é o vetor do ponto de fonte ao ponto de campo, cujo módulo em

coor-denadas retangulares é dado por,

~_R₌q_a2_{+ (}_z₋_z′

)2. (2.36)

Por outro lado, substituindo a equação (2.35) em (2.29) e (2.30), temos respectivamente, as equações para o campo axial e radial na região 4:

E4z(r,z) = 1 jωε

❩ ₋_h

h

k2F(z,z′) + ∂

2

∂z2F(z,z ′₎

I(z′)dz′ (2.37)

E4r(r,z) = 1 jωε

❩ ₋_h

h

∂2

∂r∂zF(z,z ′₎

I(z′)dz′; (2.38)

onde,F(z,z′) = e₄_πjkR_R é a função de Green. Finalmente a equação para o módulo do campo elétrico total será dada por:

|E(r,z)_|2=_|E4z(r,z)|2+|E4r(r,z)|2 (2.39)

2.2.4 Equações de Hallén

(38)

com uma tensão de espaçamentoV, como mostra a Figura (2.4),

Figura 2.4: Dipolo cilíndrico simétrico, Silva (1997).

Para obter a equação de Hallén, considera-se como condições de contorno, que o campo elétrico tangencial à superfície da antena deve ser nulo,E4z=Etam =0, ou seja, os efeitos das faces terminais do fio cilíndrico podem ser negligenciados e a correnteIz anula-se em z=_±h, isto é, Iz(±h) =0. Assim, a partir da equação (2.34) obtemos a seguinte equação diferencial (COLLIN, 1985):

∂2A~z

∂z2 +k

2_A_~

z=0. (2.40)

Desta forma, efetuando-se algumas manipulações algébricas, Segundo Balanis (2004), a solução para equação (2.40) pode dada por:

Az= j 2YV

i

0sen(k|z|+Ccos(kz) (2.41)

onde,C é uma constante determinada a partir das condições de contorno, Y =1/pµ/ε

representa a admitância do meio emΩ−1eV₀ié a tensão elétrica impressa ou incidente na antena em Volts. Finalmente, igualando-se a equação (2.35) a equação (2.41), obtém-se a equação integral de Hallén,

❩ h

−h Iz

e−jkR 4πR dz

′₌₋j

2YV i

(39)

2.3 Distribuição de potência e temperatura

Em óleos de alta densidade, a quantidade de gás dissolvido é pequena de modo que consideraremos a presença de dois componentes apenas (óleo e água) em duas fases. O escoamento é considerado bifásico (óleo viscoso e água) com as duas fases em equilíbrio térmico. A troca de calor é efetuada por condução, por convecção e por radiação entre a fonte e as fases fluida e sólida (rocha). As equações diferenciais que regem o problema dependem do tempo de forma bidimensional e não-linear, pois as propriedades físicas dos fluidos e da rocha evoluem em função da temperatura e das posições espaciais no meio.

Toda fundamentação para o modelo utilizado no processo de recuperação de petróleo através do aquecimento eletromagnético para escoamento horizontal de fluidos é obtida em função da equação de energia dada por (DA MATA, 1993):

ρeqceq

∂T

∂t + (ρoco~νo+ρwcw~νw)

∂T

∂r =W(r) (2.43)

onde, ρeq e ceq representam, respectivamente, a massa volumétrica equivalente e o calor específico equivalente do sistema óleo-água-rocha,ρorepresenta a massa volumétrica do petróleo, co representa o calor específico do óleo e o representa~νo vetor velocidade superficial do óleo. Os termosρw, cw e~νw são respectivamente, a massa volumétrica da água, o calor específico da água e o vetor velocidade superficial da água. O termoW representa a distribuição de potência ativa dissipada no meio, transmitido pela antena e depende diretamente da condutividade elétrica efetiva do meio (σ) e da intensidade do campo elétrico, podendo ser calculada pela seguinte expressão (DA MATA 1993):

W = σ

2~E·~E∗=

σ

2 |E4z(r,z)|

2₊

|E4r(r,z)|2) (2.44) onde,~_E∗_{é o complexo conjugado do campo elétrico.}

Finalmente, para calcular a distribuição de temperatura no meio dielétrico dissipa-tivo, considera-se o caso em que não existe fluxo de fluido na direção do poço produtor, conseqüentemente, a equação reduz-se a:

T(r,t) =Ti+ W(r)

ρeqceq

t. (2.45)

(40)

2.4 Critérios para aplicação do método por aquecimento

eletromagnético

O método de aquecimento eletromagnético não apresenta limitações tais como vis-cosidade, profundidade, espessura da zona, temperatura, permeabilidade média, trans-missibilidade, salinidade da água de formação, porosidade, saturação de óleo e pressão estática, porém algumas condições podem apresentar-se como ideais para a sua aplicação (MANICHAND, 2002):

• Quanto mais viscoso o óleo, melhor a eficiência como método térmico, não apre-sentando limitação como a injeção de vapor, pois tem que se injetar o vapor de água e, caso não seja possível pela alta viscosidade do óleo, o método não pode ser aplicado. Para o caso de reservatórios com óleo de viscosidade intermediária, o aquecimento eletromagnético pode ser associado com injeção de água, tornando-o uma técnica muito atraente, sob o ponto de vista de deslocamento de fluido no meio poroso;

• Pode ser aplicado para qualquer profundidade;

• A temperatura do reservatório pode ser qualquer, porém o rendimento do processo pode ficar prejudicado para temperaturas acima da temperatura de ebulição da água, nas condições de reservatório. Isto é devido ao fato da condutividade elétrica ficar prejudicada pela vaporização da água. Este problema pode ser solucionado pela variação de frequência do sinal elétrico operante, pois, neste caso, quanto maior a frequência, menor a dependência da condutividade elétrica do meio no processo físico de aquecimento eletromagnético;

Em relação aos métodos convencionais de recuperação térmica, o aquecimento eletro-magnético apresenta ainda as seguintes vantagens:

• Pode ser aplicado sem a injeção de qualquer outro fluido no reservatório, como água quente ou vapor. Desta forma, o gasto energético é otimizado, pois se evita perda de fluido aquecido para zonas de falha ou de alta permeabilidade;

• Pode ser aplicado em reservatórios que apresentem problemas de inchamento de argilas em presença de água ou vapor;

(41)

• Não tem limite de profundidade para o reservatório;

• Pode promover a geração de vapor "in situ";

• Pode ser aplicado em reservatórios que apresentem deposição de parafinas;

• Pode ser aplicado em áreas extremamente frias, pois não tem problema de perda de calor para o ambiente, como no caso dos geradores de vapor;

(42)

Capítulo 3

Wavelets e análise de multiresolução

O objetivo deste capítulo é apresentar de uma forma condensada os principais resulta-dos sobre a teoria básica das wavelets ortogonais e a sua principal propriedade, a análise de multiresolução (AMR).

São discutidos os conceitos envolvidos na definição de uma análise de multiresolução, a qual pode ser encarada como o enquadramento geral que permite a definição e constru-ção dos sistema de wavelets que combinados com resultados de análise funcional veremos que é possível aproximar uma função arbitrária como uma combinação linear de wavelets ortogonais.

3.1 Introdução

A chamada teoria das wavelets constitui um desenvolvimento recente e fascinante da Matemática, com aplicações importantes nas mais diversas áreas da Ciências e Engen-harias. Uma variedade de informações sua voz, sua impressão digital, uma fotografia, uma raio-x pedido pelo médico, sinais de rádio do espaço sideral, ondas sísmicas po-dem ser traduzidas nesta nova linguagem, que emergiu independentemente em diversas áreas. Na verdade, apenas recentemente foram entendidas como uma mesma linguagem. Em vários casos, essa transformação em wavelets torna-o mais fácil de ser transmitido, comprimido e analisado ou de se extrair informações apesar do "ruído"envolvente e até mesmo a fazer cálculos mais rápidos.

(43)

re-Capítulo 3. Wavelets e análise de multiresolução

soluções múltiplas é uma forma de seccionar o espaço em diversas faixas de frequências não sobrepostas. É possível assim segregar informações de diferentes faixas espectrais. Todas essas propriedades da análise wavelet nascem naturalmente decorrente da relação de escala que satisfazem.

As wavelets são um produto da colaboração de várias áreas, desde a matemática e física puras, até engenharia e processamento de sinais. Várias pesquisas independentes nessas áreas buscavam objetivos semelhantes, mas utilizavam abordagens diferentes. Bus-cavam novas formas de representar sinais no domínio tempo-frequência. As diversas linhas de pesquisa convergiram para um ponto no final da década de 80, sendo então formalizada a teoria de wavelets. A unificação de todos os pensamentos tornou-se um fa-tor primordial para a subsequente popularidade das wavelets, impulsionando assim novas pesquisas na área.

A teoria é muito extensa, não sendo possível em um único texto fornecer todas as informações. Diversos livros existem sobre wavelets e sua aplicações, e muito mais ainda textos de conferências e jornais. A maioria dos textos é dedicada a um público que já possua algum conhecimento sobre o assunto e mesmo os textos introdutórios assumem uma maturidade e dedicação do leitor.

3.2 Notação e resultados preliminares

Nesta seção são apresentadas as notações matemáticas, definições e teoremas que são utilizados na literatura das wavelets e neste trabalho. Importantes conceitos matemáticos são revisados, para uma discussão detalhada ver Kreyszing (1989). Iremos começar o nosso estudo definindo o seguinte espaço:

Definição 1 Dizemos que uma função f está contida no espaço das funções quadratica-mente integráveis, ou seja, f _∈L2(R₎_se,

❩ +∞

−∞ |f(t)|

2

dt <∞.

Podemos observar pela definição acima que a energia de f _∈L2(R₎ é limitada ao

longo de todo eixo dos reais, neste contexto dizemos que f possui energia finita. O produto escalar e a norma doL2(R₎são definidos como segue:

hf,g_i= ❩ ₊∞

(44)

Capítulo 3. Wavelets e análise de multiresolução

Definição 2 Uma sequência(fn)num espaço de Hilbert H é ortonormal se,

hfm,fni=δm,n.

Se para f _∈H existeαntal que

lim N→∞kf−

∞

∑

n=0

αnfnk=0,

então(fn)n∈Né chamada uma base ortogonal de H. Para que uma base seja ortonormal necessitamos que_kfn_k=1.

Todo espaço de Hilbert que admite uma base ortogonal é separável e a norma de f _∈H é dada por

kf_k2= ∞

∑

n=0|

< f,fn>|2.

Seja (fn)n∈N uma sequência linearmente independente e completa emL2(a,b), isto significa que a expansão linear fechada de (fn) gera o L2(a,b). Dizemos que (fn)n∈N forma uma base de Riesz se existeA>0 eB>0 tal que

A

∑

_|ci_|2_≤k

∑

cifi_k2_≤B

∑

_|ci_|2

para cada sequência (ci) de números complexos. O teorema da representação de Riesz garante a existência do dual(fn˜)_∈L2(a,b)tal que

(1) (fn˜)é a única sequência ortogonal para(fn), isto é,_hfm,fn˜_i=δm,n.

(2)Se(cn)_∈l2, cada∑cnfnconverge emL2(a,b). (3)Para cada f _∈L2(a,b),(_hf,f˜ni)∈l2.

(4)Para cada f _∈L2(a,b), f =

∞

∑

n=1h

f,f˜nifn=

∞

∑

n=1h

f,f˜nif˜n.

3.3 Definição de uma wavelet geratriz

Definição 3 Dizemos que uma funçãoψ:R_→R_{é uma wavelet geratriz se:}

(45)

Cψ=2π

❩

R

|ψ(aˆ)_|2

|a_| da<∞. (3.2)

Construímos as wavelets associadas a uma dada wavelet geratriz (mencionada sim-plesmente wavelet) da seguinte forma: Fixado um real não nulo arbitrárioa, denotamos por

ψa(t):= 1

p

|a_|ψ

_t

a

,

que corresponde a uma compressão ou uma dilatação do gráfico deψno eixo horizontal, conforme seja _|a_|menor ou igual que 1, seguida de, respectivamente, uma dilatação ou uma compressão relativamente ao eixo vertical. No caso de a<0, tem-se também uma reflexão com relação ao eixo vertical. Observamos ainda que essa troca de escala preserva a relação (3.1), pois

❩

|ψa|2= 1 |a_|

❩

ψt

a

2

dt = 1

|a_| ❩

|ψ(s)_|2ds=1.

Em seguida, a função resultanteψaé submetida a translações:

ψa,b:=ψa(t−b) = 1

p

|a_|ψ

t₋b a

. (3.3)

A famíliaψa,b, a6=0, b∈R2é a familía de wavelets geradas porψ.

O exemplo mais antigo (1910) para a funçãoψsão as funções construídas por Haar:

ψ

t₋b a =     

1 ; t _∈[b,b+a₂]

−1 ; t _∈(b+a₂,b+a] 0 ; t _6∈[b,b+a].

(3.4)

È imediato verificar que para a>0, a equação (3.4) satisfaz às condições impostas na definição (3).

(46)

waveletψpossue momento de ordemMigual a zero, quando ❩

xkψ(x)dx k=0, . . . ,M (3.5)

Isto significa que os coeficientes das wavelets para polinômios de ordem atéMsão todos nulos. A informação de detalhe gerada no processo de decomposição será toda nula, ou seja, a informação de polinômios de ordem atéMpode ser suprimida.

3.4 Transformada de wavelet contínua

Como se sabe, um dos objetivos fundamentais do processamento de um sinal consiste na extração de informação relevante sobre esse sinal, através da sua transformação. Por exemplo, no caso de um sinal analógico de energia finita, uma ferramenta importante para esse fim é a transformada de Fourier, definida por:

ˆ

f(ξ) =

F

f(ξ):= ❩ ∞

−∞e

−iξt_f₍_t₎_dt_, _(3.6)

a qual nos dá uma descrição do comportamento do sinal em frequência (espectro do sinal). Na representação espectral de um sinal através da sua transformada de Fourier, perde-se, todavia, toda a informação desse sinal no tempo, veja Figura 3.1. Assim, em muitas aplicações, tais como análise de sinais não-estacionários ou processamento de sinal em tempo real, a simples utilização da transformada de Fourier não é adequada. Um processo de obter localização de frequências no tempo é a chamada transformada de wavelet con-tínua, que permite ultrapassar essa dificuldade, originando uma análise com janelas flexí-veis cuja largura e altura se adaptam às frequências.

A idéia da transformada contínua de wavelet é também, como no caso da transformada de Fourier em tempo curto, calcular o produto interno de f com a família de funçõesψa,b dependentes de dois parâmetros. Como pode ser visto na secção (3.3) essas funçõesψa,b são obtidas de uma função básicaψ(chamada wavelet mãe) por dilatações ou contrações,

isto é, mudanças de escala controladas pelo parâmetro a e translações controladas pelo parâmetrob.

(47)

com relação a essa funçãoψé definida por:

Wψf : R2_∗ −→

C

(a,b) _−→ Wψf(a,b):=< f,ψa,b>L2(R₎=|a|−1/2 ❘∞

−∞f(t)ψ(t−ab)dt (3.7)

Para fixar a definição considere a função de Haar da definição (3), calculemos a transfor-mada wavelet deψ

Wψf(a,b) =p1

|a_|

❩ _b₊a 2

b − ❩ _b₊_a

b+a 2

f(t)dt =

p

|a_| 2

a 2

❩ _b₊a 2

b − ❩ _b₊_a

b+a 2

f(t)dt (3.8)

Assim, o valor da transformada é a diferença entre a média da função f nos dois intervalos adjacentes determinados pora,b.

A condição que a funçãoψdeve satisfazer para a existência de uma inversa da trans-formadaWψf é chamada condição de admissibilidade (PAN 2003):

Cψ:=

❩ ∞

0

|ψ(ξ)_|2

ξ dξ<∞. (3.9)

Na prática, para wavelets que satisfaçam razoáveis condições de decaimento, exigir que

ψsatisfaça a condição 3.9 é equivalente a exigir que ❩ _∞

−∞ψ(t)dt =0. (3.10)

Isto significa que de algum modo,ψdeve oscilar, isto é, comportar-se como uma onda.

Ao efetuar a transformação de um sinal, é naturalmente importante dispor de um processo de recuperar o sinal depois de transformado. Assumindo que ψ é admissível, pode-se provar que a correspondência f _→Wψf é invertível no seu contradomínio, sendo

a função f completamente caracterizada pelos valores deWψf(a,b)e podendo ser

recu-perada através do uso da fórmula

f = 1 Cψ

❩ ∞

−∞

❩ ∞

0 Wψf(b,a)ψa,b

da

a2db. (3.11)

(48)

Figuras(c)e(d)mostram os espectros dos dois sinais obtidos através da Transformada de Fourier, ou seja, de(a)e(b)respectivamente e finalmente as Figuras(d)e(e)mostram a magnitude da Transformada Wavelet dos mesmos sinais. Observa-se com isso a pro-priedade de localização.

Figura 3.1: Análise do sinal através da Transformada de Fourier e Transformada Wavelet Contínua.

(49)

Figura 3.2: Transformada de wavelet contínua: descontinuidade no sinal

Figura 3.3: Transformada de wavelet contínua: descontinuidade no sinal

3.5 Wavelets ortogonais e a análise de multiresolucão (AMR)

(50)

traba-Capítulo 3. Wavelets e análise de multiresolução

lhos desenvolvidos por Mallat (1989) e Meyer (1989). O método consiste em representar funções como um conjunto de coeficientes que fornecem informação sobre a posição e a frequência da função. Podemos afirmar sem perda de generalidade que toda funda-mentação teórica das wavelets ortogonais são decorrentes das funções escalas de Haar e funções wavelet de Haar definidas como segue;

Definição 5 Sejaϕ:[0 1]_7−→R_{uma função mensurável. As funções escala de Haar ou}

escala são definida como

ϕ(t) =

(

1 se t_∈[0, 1]

0 se t_6∈[0, 1]. (3.12)

Definição 6 Sejaψ:[0 1]_7−→R_{uma função mensurável. Definimos as wavelets de Haar}

da seguinte forma:

ψ(t) =

  

 

1 se t _∈[0, 1₂]

−1 se t _∈(1₂, 1] 0 se t _6∈[0, 1].

(3.13)

Nas Figuras 3.4 e 3.5, temos a representação de algumas das funções escala de Haar e wavelets de Haar efetuando-se dilatação e translação consecutivamente:

Figura 3.4: Função escala de Haarφ0,0e

Wavelet de Haarψ0,0 Figura 3.5: Wavelet de Haarψ1,0eψ1,1

Por indução, observamos que de forma geral podemos representar as funções escalas de Haar as wavelets de Haar através das seguintes equações:

ϕj,k(x) =2j/2ϕ(2jx−k) (3.14) e

(51)

onde, jdenota a escala ou nível ek a translação ou deslocamento. Na prática o que está ocorrendo em (3.14) é uma discretização de (3.3) com a chamada rede diática definida por:

a=2−j_, _b₌₂−j_k; _j_,_k

∈Z (3.16)

3.5.1 Análise de multiresolução (AMR)

Uma das mais importantes propriedades das wavelets é a análise de multiresolução (AMR) Pan (2003). Um sinal pode ser visto como uma componente suave acrescido de flutuações, detalhes. A distinção entre o que é suave e o que são detalhes é feita de acordo com o nível de resolução empregado, isto é, uma escala a partir das quais os detalhes não podem mais ser distinguidos. Uma análise em resolução múltiplas ou de multiresolução é uma forma de representar uma função em diferentes resoluções.

Nesta seção estudaremos como são desenvolvidos os algoritmos de análise e síntese desenvolvido por Mallat (1989), a partir da tal (AMR). Também veremos como uma base de wavelets ortonormal pode ser construída a partir da análise de multiresolução, definida como segue:

Definição 7 A análise de multiresolução de L2(R₎ _{é definida como uma sequência de} (Vj)j∈Zde subespaços fechados de L2(R)e uma função escalaϕassociada satisfazendo as seguintes propriedades:

(1)Vj_⊂Vj+1⇐⇒. . .⊂V−2⊂V−1⊂V0⊂V1⊂V2⊂. . .

(2)Os subespaços Vjcom j∈Zdevem ter uma intersecção trivial, isto é,

❭

j∈Z

Vj=_{0_}.

(3)A união dos espaços Vjcom j∈Zé densa

❬

j∈ZVj=L

2₍_R₎_.

(4)Se uma função f(t)esta definida em Vjentão f(2t)está definida em Vj+1, ou seja, os

diferentes subespaços têm que estar relacionados de tal forma que

(52)

(5)_∃ϕ(t)_∈V0 tal que a coleção{ϕ(t−k); k∈Z}constituem uma base ortonormada

de Vj.

Façamos algumas observações referente as propriedades desta definição: •Para cada j_∈Z, as funções

ϕ(t)j,k(t) =2j/2ϕ(2jt−k) constituem uma base ortonormada deVj.

• Como podemos observar, sendo √2ϕ(2t₋k) uma base ortonormada em V0 ⊃V1, e

das propriedades da definição que garantem as hipóteses do teorema da representação de Riesz, então, existe uma sequência(hn)_∈l2tal que

ϕ(t) =√2

∑

n∈Z

hnϕ(2t−k);t ∈R (3.17)

onde, os coeficienteshnsão dados por

hn=hϕ(t), √

2ϕ(2t₋k)_i.

Pode ser mostrado por Daubechies (1988), que o suporte deφ é o intervalo [0,2N₋1], cujo tamanho aumenta com o parâmetroN.

A equação funcional em (3.17) é chamada equação de dilatação, de refinamento ou de dupla escala para a funçãoϕ.

•As propriedades de uma AMR permitem-nos escolher uma função fj em cada um dos espaçosVj para aproximar uma dada função f ∈L2(R). Uma maneira de construir fj será, por exemplo, através da projeção ortogonal no espaçoVj, isto é, tomar fj=Pjf onde,

Pjf :=

_∑

n∈Z

hf,ϕ(t)j,kiϕ(t)j,k. (3.18)

As propriedades AMR2 e AMR3 combinados com os teoremas de análise funcional garantem que

lim

j→∞Pjf = f.

• As propriedades AMR4 e AMR5 significam que todos os subespaços aproximadores Vj são, no fundo, versões dilatadas de um espaço básicoV0 e que, além disso, cada um desses subespaçosVj é invariante por translação proporcionais a 2−j. São precisamente estas propriedades que dão o caráter de multiresolução a esta cadeia de subespaços.

(53)

ortogonal deVjemVj+1, isto é, sejaWj o subespaço deL2(R)tal que

Vj+1=Vj+⊕Wj. (3.19)

Da definição deWj, e atendendo o fato de os subespaçosVj estarem encaixados, con-cluímos de imediato que os subespaçosWjsão mutualmente ortogonais. Das propriedades AMR2 e AMR3 podemos então, concluir que o espaçoL2(R₎admite a seguinte

decom-posição como soma ortogonal:

L2(R_{) =}_⊕_W_j_. (3.20)

Assim, se dispusermos de uma base ortonormada para cada um dos espaçosWj, a coleção dessas bases formará uma base ortonormada do espaçoL2(R₎_. Mas, os espaços

Wj herdam, dos respectivos Vj, a propriedade de dilatação AMR4. Isto significa que, se for possível encontrar uma função ψ_∈W0 tal que {ψ(t−k); k∈Z} seja uma base

ortonormada deW0, a coleção

{ψj,k=2j/2ψ(2j−k); k∈Z},

constituirá uma base ortonormada deWj, sendo, portanto, o conjunto _{ψj,k ; j,k∈Z} formam uma base ortonormada de L2(R₎_. O princípio básico de uma AMR é que tal

funçãoψexiste sempre e será construída implicitamente. Mais precisamente, pode provar

o seguinte resultado; ver, (DAUBECHIES, 1988).

Teorema 1 Dada uma AMR e sendo (hn) a sequência dos coeficientes da equação de dilatação(3.17), a funçãoψdefinida por

ψ(t) =√2